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Full text of "Bulletin des sciences mathématiques"

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1 


ii: 


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in  2010  with  funding  from 

University  of  Ottawa 


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http://www.archive.org/details/s2bulletindessci19fran 


( 


1i^ 


BUllETIN 


DES 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES. 


COMMISSION  DES  HAUTES  ÉTUDES. 


MM.  HERMITE,  président. 
BERTRAND. 
DARBOUX. 
TISSERAND. 
J.  TANNERY. 
FOUSSEREAU,  secrétaire. 


AVIS. 

Toutes  les  communications  doivent  être  adressées  à  M.  Dnrboux,  Membre 
de  l'Institut,  rue  Gay-Lussac,  36,  Paris. 


21661        Paris.—  Imprimerie  GAUTHIER-VILLARS  ET  FILS,  quai  des  Grands-Augustins,  56 


MaU 


/  \ 


BlBLlOTllÈQUi:  1)K   L'EGOLK    DES    HAUTES    i:ïUDES, 

PUBLlÉIi;   sous    LKS   AUSPIClîS    DU    MINISTÈRE    DK    LINSTRUGTION    PUBLIQUK. 


BULLETIN 


DES 


SCIENCES   MATHÉMATIQUES 

RÉDIGÉ  PAR  MM.  GASTON  DARBOUX  ET  JULKS  TANNERY, 

AVEC    LA    COLLABORATION   DE 

MM.    CH.    ANDRÉ,    BELTRAMI,   BOUGAIEFF,    BROCARD,    BRUNEL, 

GOURSAT,     CH.     HENRY,     G.     KŒNIGS,    LAISANT,     LAMPE,    LESPIAULT,     S.    LIE,    MANSION, 

A.    MARRE,    MOLK,    ROTOCKI,    RADAU,    RAYET,    RAFFY, 

S.    RINDI,    SAUVAGE,    SCHOUTE,    P.    TANNERY,    ED.    WEYR,    ZEUTHEN,    ETC., 

Sous  la  direction  de  la  Commission  des  Hautes  Études. 

PlBLICATIOiV  FONDÉE  E\  1870  PAR  MH.  G.  DARBOUX  ET  J.  IIOIEL 
ET  CONTINUÉE  DE   1876  A   1886  PAR  MM.  G.  DARBOUX,  J.   HOUEL  ET  J.  TANNERY, 


DEUXIEME  SERIE. 
TOME  XIX.  —  ANNÉE  1895. 

(tome   XXIX   DE   LA    COLLECTION.) 


PREMIERE  PARTIE. 


PARIS, 

GAUTHIER-VILLARS  ET  FILS,  IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU     BUREAU    DES    LONGITUDES,     DE    l'ÉCOLE    POLYTECHNIQUE, 
Quai  des  Grands-Augusiins,  55. 

1895 


JiL 


J 


BULLETIN 


DES 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES. 


PREMIERE    PARTIE. 


COMPTES   RENDUS  ET  ANALYSES. 

GASTON  MILHAUD.  —  Leçons  sur  les  origines  de  la  Science  grecque. 
3o6  p.  in-8°.  Paris,  Félix  Alcan,  iSgS. 

L'auteur  a  réuni  en  un  Volume  une  série  de  conférences  faites 
par  lui  aux  étudiants  des  Facultés  de  Montpellier  et  dont  le  sujet 
embrasse  le  développement  de  la  pensée  scientifique  et  philoso- 
phique en  Grèce  avant  le  siècle  de  Platon.  Il  nous  prévient  au 
reste  qu'il  n'apporte  aucun  document  inédit;  il  ne  s'agit  donc 
Yéritablement  que  de  leçons  ajant  pour  objet  de  faire  connaître 
l'état  actuel  des  connaissances  touchant  l'histoire  de  l'esprit 
humain  pendant  cette  période.  M.  Milhaud  s'est  acquitté  avec  un 
réel  talent  de  la  tâche  qu'il  avait  entreprise;  la  sûreté  de  ses  infor- 
mations, la  clarté  de  son  stjle,  la  largeur  de  ses  aperçus  mettent 
réellement  son  livre  hors  de  pair;  espérons  qu'il  obtiendra  le 
succès  qu'il  mérite  et  que  ce  premier  essai  de  l'auteur  sur  un 
terrain  trop  négligé  en  France  sera  suffisamment  encouragé  pour 
qu'il  poursuive  ses  travaux  dans  la  même  voie. 

Je  ne  veux  au  reste  signaler  ici  que  la  partie  qui  concerne  les 
Mathématiques  proprement  dites,  à  savoir  :  la  troisième  leçon  et 
la  huitième.  M.  Milhaud  a  exposé  dans  l'une  ce  que  l'on  sait  des 
connaissances  de  l'Orient  et  de  l'Egypte  en  Arithmétique  et  en 


6'  PREMIERE   PARTIE. 

Géométrie;  il  a  montré  que  ces  connaissances,  que  se  plaisent 
encore  à  exagérer  ceux  qui  n'ont  pas  étudié  la  question,  ont  pu 
servir  de  point  de  départ  aux  Grecs,  mais  qu'elles  n'avaient  point 
un  véritable  caractère  scientifique;  dans  la  dernière  leçon,  il  a 
résumé  les  progrès  accomplis  aux  vi^et  v*^  siècles  avant  notre  ère, 
en  particulier  par  l'Ecole  de  Pj'thagore. 

Ces  deux  leçons,  nourries  de  laits,  suffisent  pour  apprendre,  en 
une  soixantaine  de  pages  d'une  lecture  aisée,  ce  qu'il  y  a  de  véri- 
tablement intéressant  dans  l'histoire  des  Mathématiques  de  cette 
époque;  je  me  bornerai  à  quelques  remarques  incidentes. 

Après  avoir  exposé  le  principe  de  la  table  à  calculs  (abaque) 
et  du  boulier,  M.  Milliaud  remarque  que  cette  façon  de  représenter 
les  nombres  impliquait  déjà  la  reconnaissance  de  la  valeur  de  po- 
sition. Il  est  étrange,  ajoute-t-il,  que  ce  dernier  principe  n'ait  pas 
été  dégagé  dans  l'antiquité,  et  il  insiste  sur  la  simplicité  du  pro- 
grès qui  n'a  été  réalisé  que  bien  plus  tard,  par  les  Hindous. 

Le  fait  ne  me  paraît  pas  aussi  inexplicable,  si  l'on  réfléchit  à 
deux  circonstances.  D'un  côté,  on  n'avait  pas  à  manier,  dans  la 
pratique,  des  nombres  qui,  pour  nous,  exigeraient  plus  de  trois  à 
quatre  figures;  les  unités  métriques  ne  procédant  pas  suivant 
l'échelle  décimale,  on  n'opérait  même  le  plus  souvent  que  sur  des 
nombres  inférieurs  à  loo;  d'autre  part  on  ne  calculait  guère  la 
plume  à  la  main  (*),  mais  avec  les  jetons  sur  l'abaque,  ou  encore 
de  tête,  en  se  servant  des  doigts  pour  marquer  les  résultats  (-). 
Les  symboles  numériques  dont  le  système,  chez  les  Phéniciens,  les 
Egyptiens,  les  Chaldéens  et  les  Grecs,  était  alors  à  peu  près  aussi 
imparfait  que  celui  des  chiffres  romains,  servaient  pour  écrire  les 
nombres  d'une  façon  plus  abrégée  qu'en  toutes  lettres,  non  pour 
calculer;  on  ne  sentait  donc  pas  encore  le  besoin  de  les  simplifier. 

Lorsque  ce  besoin  apparut,  au  iii*^  siècle  avant  notre  ère,  il  est 
certainement  singulier  que  les  Grecs  aient  adopté  leur  système 
littéral  au  lieu  d'imaginer  celui  que  nous  devons  aux  Hindous. 

(')  A  cet  égard,  le  célèbi^e  papyrus  égyptien  de  Rhind  doit  être  considéré 
comme  une  exception;  c'est  bien  un  manuel  pour  le  calcul  avec  la  plume,  surtout 
pour  le  calcul  des  fractions;  mais  ce  qu'il  enseigne  n'était  guère  pratique  et,  en 
tout  cas,  suppose  l'habitude  du  calcul  de  tête. 

(^)  Suivant  un  procédé  qui  permettait  d'aller  jusqu'à  loooo  et  qui  s'est  per- 
pétué jusqu'au  moyen  âge. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  7 

Mais  ce  n'est  pas  le  seul  exemple  qui  montre  l'homme  épuisant 
ce  qui  est  compliqué  et  absurde,  avant  d'arriver  à  ce  qui  est  simple 
et  logique. 

Le  fait  véritablement  étrange  et  sur  lequel  M.  Milhaud  insiste 
à  bon  droit,  c'est  l'existence  chez  les  Chaldéens,  dès  celte  époque, 
du  système  sexagésimal,  avec  une  numération  écrite  analogue, 
comme  je  l'ai  dit,  à  celle  des  Romains  pour  les  nombres  inférieurs 
à  60.  Les  Chaldéens,  qui  ont  créé  l'Astronomie,  étaient  le  seul 
peuple  chez  lequel  une  classe  instruite  avait  à  faire  réellement  des 
calculs  compliqués.  Mais  comment  opéraient-ils  en  réalité?  avec 
l'abaque  ou  avaient-ils  des  tables  de  multiplication  (^)  allant 
jusqu'à  60?  Pour  les  calculs  astronomiques  de  l'âge  classique,  la 
même  question  se  pose  sans  que  l'on  puisse  répondre  par  aucun 
document  précis;  la  persistance,  jusqu'à  une  époque  relativement 
rapprochée  de  nous,  de  l'habitude  d'effectuer  tous  les  calculs 
astronomiques  en  opérant  sur  des  nombres  complexes  (-)  de 
degrés,  minutes,  secondes,  etc.,  est  enfin  un  fait  des  plus  singu- 
liers, alors  surtout  que,  dans  les  traités  spéciaux,  il  n'est  jamais 
fait  allusion  aux  moyens  de  simplifier  ces  calculs  fastidieux. 
L'histoire  de  l'Arithmétique  pratique  semble  avoir  une  face  encore 
inconnue  ou  à  peine  soupçonnée,  en  ce  qui  concerne  les  procédés 
transmis  traditionnellement,  mais  qui  n'ont  jamais  été  écrits,  ou 
ne  l'ont  été  que  de  longs  siècles  après  le  commencement  de  leur 
emploi.  Paul  Tanjvery. 


SOPHUS   LIE.   —    VORLESUNGEN   ïfBER   CONTINUIERLICHE   GrUPPEN,    mit    gCOme- 

trischen  und  anderen  Anwendungen,  bearbeitet  und  herausgegeben,  von 
D''  Georg  Sclieffers.  Leipzig,  Teubner,  iSgS. 

Le  nouvel  Ouvrage  de  MM.  Lie  et  Scheffers  est,  en  quelques 
points,  une  suite  de  leurs  Vorlesungen  Clber  Differentialglei- 


(*)  On  a  trouvé,  en  écriture  cunéiforme,  des  tables  de  carrés  et  de  cubes,  qui 
ont  précisément  prouvé  l'existence  de  la  numération  sexagésimale. 

(*)  C'est  seulement  au  xv*"  siècle  que  Georg  de  Peurbach  calcula  une  table  de 
sinus  d'après  le  système  décimal  (en  prenant  d'ailleurs  600000  pour  le  rayon  du 
cercle). 


8  PREMIÈRE  PARTIE. 

chungen,  bien  qu'il  en  soit  indépendant.  Comme  les  leçons  pré- 
cédentes, il  est  destiné  à  la  vulgarisation  de  la  théorie  des  groupes 
finis  et  continus  de  transformations,  but  qui  sera  facilement  atteint 
d'ailleurs,  car  cette  vaste  théorie,  si  attrayante  par  bien  des  côtés, 
exposée  dans  l'œuvre  savante  de  MM.  Lie  et  Engel,  est  devenue 
rapidement  classique.  11  n'y  en  a  pas  moins  dans  ce  Livre  une 
part  d'originalité  considérable,  car,  s'il  prend  le  lecteur  à  la 
simple  notion  de  rapport  anharmonique,  il  le  conduit,  par  une 
suite  toute  naturelle  d'idées,  à  des  théories  bien  moins  élémen- 
taires, telles  que  celles  de  la  structure  des  groupes,  des  nombres 
complexes  à  n  unités,  et  des  systèmes  d'équations  difTérentielles 
à  solutions  fondamentales. 

Le  volume  est  divisé  en  deux  Parties.  La  première,  plus  élé- 
mentaire, et  sur  laquelle  j'insisterai  moins,  développe,  en  prenant 
comme  types  les  groupes  projectifs  du  plan,  les  principes  fonda- 
mentaux de  la  théorie  des  groupes  :  c'est,  en  même  temps,  un 
exposé  complet  de  la  Géométrie  projective  du  plan  et  de  la  droite, 
et  de  la  théorie  des  groupes  finis  du  plan.  La  deuxième  Partie 
traite  des  groupes  en  général;  elle  se  termine  par  des  applica- 
tions qui  forment  les  pages  les  plus  originales  de  l'Ouvrage. 

Première  Partie.  —  Considérons  les  transformations  sui- 
vantes :  transformation  projective  d\ine  droite,  c'est-à-dire 
qui  n'altère  pas  le  rapport  anharmonique  de  quatre  points;  trans- 
formation projective  du  plan,  c'est-à-dire,  comme  le  montre 
M.  SchefTers,  la  transformation  la  plus  générale  qui  change  une 
droite  en  droite,  ou  encore,  qui  n'altère  pas  l'équation  différen- 
tielle  -1-^3=0;   transformation   linéaire  du  plan,   c'est-à-dire 

transformation  projective  qui  laisse  fixe  la  droite  de  l'infini^  trans- 
formation linéaire  spéciale,  c'est-à-dire  transformation  linéaire 
qui  conserve  les  aires;  transformation  des  mouvements,  c'est- 
à-dire  transformation  linéaire  qui  conserve  les  longueurs;  cha- 
cune d'elles  forme  un  ensemble  connu  aujourd'hui  sous  le  nom 
de  groupe  fini  et  continu,  avec  transformation  identique  et 
transformations  deux  à  deux  inverses. 

Chacun  d'eux,  et,  plus  généralement,  tout  groupe  fini  et  con- 
tinu contient  une  ou  plusieurs  transformations  infinitésimales 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  y 

linéairement  indépendantes,  en  nombre  égal  à  celui  des  para- 
mètres du  groupe,  ou  à  Voi'dre  du  groupe]  et  l'une  quelcon(jue 
d'entre  elles,  répétée  à  l'infini,  engendre  à  son  tour  un  groupe  à 
un  paramètre  de  transformations  finies  qui  appartiennent  mani- 
festement au  groupe  proposé.  Le  fait  s'établit  facilement  sur  tous 
nos  exemples,  en  vérifiant  que  la  solution  obtenue  a  la  forme 
d'une  transformation  du  groupe;  et,  dans  le  cas  général,  il  suffit, 
pour  l'établir  élégamment,  de  faire  un  changement  de  variables 
qui  réduit  la  transformation  infinitésimale  à  être  une  simple  trans- 
lation, et,  comme  conséquence,  amène  en  même  temps  le  groupe 
à  contenir  les  translations  finies  qu'elle  engendre.  Enfin,  que  ce 
mode  de  génération  reproduise  toutes  les  transformations  finies 
du  groupe,  c'est  ce  qui  résulte  immédiatement  de  l'évaluation 
du  nombre  de  paramètres  distincts  que  contient  la  transformation 
générale  ainsi  obtenue. 

On  arrive  à  la  notion  de  sous-groupe  g,  à  un  ou  plusieurs  para- 
mètres, d'un  groupe  donné  G,  et  de  sous-groupes  homologues, 
déduits  d'un  même  type  par  des  transformations  de  G  lui-même. 
Par  exemple,  pour  les  transformations  projectives  d'une  droite, 
on  a  deux  types  de  groupes  à  un  paramètre,  les  uns  laissant  fixes 
deux  points  distincts,  les  autres  deux  points  confondus,  et  un 
seul  type  de  groupes  à  deux  paramètres,  lesquels  laissent  toujours 
fixe  un  seul  point. 

On  en  déduit  immédiatement  les  divers  types  de  groupes  de 
transformations  linéaires  homogènes  du  plan,  lesquelles  ne  sont 
que  des  transformations  projectives  d'une  droite  en  coordonnées 
homogènes. 

Pareillement,  dans  le  plan,  il  y  a  cinq  types  de  groupes  pro- 
jectifs  à  un  paramètre,  caractérisés  par  la  disposition  de  leurs 
droites  et  points  invariants  :  chacun  d'eux  laissant  fixe  au  moins 
un  point  et  au  moins  une  droite,  puis,  passant  par  chacun  de  ces 
points,  au  moins  une  droite,  et,  sur  chacune  de  ces  droites,  au 
moins  un  point. 

La  détermination,  dans  le  plan,  des  autres  groupes  projectifs, 
aussi  bien  que  celle  des  différents  types  de  groupes  finis  quel- 
conques, devient  plus  difficile.  D'abord,  la  condition  nécessaire  et 
suffisante  pour  que  r  transformations  infinitésimales  distinctes, 
Ui/,  U2/,  ...,  U//,  projectives  ou  non,  soient  celles  d'un  groupe 


10  PREMIERE   PARTIE. 

à  r  paramètres,  est  que  leurs  crochets  satisfassent  à  des  relations 
de  la  forme 

I  s 

où  les  Cijis  sont  des  constantes.  La  démonstration,  très  élégante, 
donnée  d'abord  pour  les  groupes  projectifs,  puis  pour  les  groupes 
quelconques  en  x  et  y,  repose  sur  les  mêmes  idées.  Soit,  en  effet, 
un  groupe  donné  à  r  paramètres,  et  soit  une  courbe  quelconque, 
n'admettant  pas  de  transformation  du  groupe  et  soumise  à  ses 
transformations  :  elle  engendrera  un  faisceau  de  oo^  courbes,  défini 
par  une  équation  différentielle;  celle-ci,  à  son  tour,  admettra  les 
/'  transformations  infinitésimales  du  groupe,  et  par  suite  aussi 
leurs  crochets,  ce  qui  établit  que  la  condition  est  nécessaire.  In- 
versement, si  elle  est  satisfaite,  on  peut  former  une  équation  dif- 
férentielle d'ordre  /',  ayant  comme  solution  particulière  une 
courbe  arbitraire  et  admettant  les  transformations  infinitésimales 
données  et,  par  suite,  leurs  transformations  finies.  Il  en  résulte 
que  ces  dernières,  si  elles  sont  projeclives,  forment  nécessaire- 
ment un  groupe  :  dans  le  cas  d'un  groupe  quelconque  en  x  et  y, 
il  suffît,  pour  étendre  la  démonstration,  de  remarquer  qu'une 
équation  différentielle  d'ordre  /•  supérieur  à  un,  admettant  un 
groupe  fini,  l'ordre  de  celui-ci  ne  peut  surpasser  une  limite  fixe 
(/•  +  4,  sauf  pour  /-^a,  où  cette  limite  est  8);  car,  si  l'on  fixe 
convenablement  certains  éléments,  en  nombre  fini,  on  arrive  à 
une  transformation  qui  se  réduit  nécessairement  à  la  transforma- 
tion identique. 

La  classification  des  groupes  projectifs  se  fait  alors  par  une 
méthode  très  rationnelle,  reposant  sur  la  considération  des  éla- 
tions  que  contient  chacun  d'eux,  c'est-à-dire  des  transformations 
homologues  d'une  translation,  caractérisées  par  une  droite,  dont 
elle  laisse  fixes  tous  les  points,  et  par  un  point  de  cette  droite, 
toutes  les  droites  passant  par  ce  point  étant  aussi  invariantes.  On 
étudie  les  figures  formées  par  les  éléments  qui  définissent  ces  éla- 
tions,  et  on  en  conclut  qu'il  n'existe  pas  de  groupe  à  sept  para- 
mètres^ qu'un  groupe  à  six  paramètres  est  déterminé  ou  par  un 
point,  ou  par  une  droite  qu'il  laisse  fixe;  et  que  les  groupes  à 
cinq  paramètres  se  partagent  en  trois  types,  chacun  d'eux  étant 


COMPTES  RENDUS  Eï  ANALYSES.  ii 

un  sous-groupe  d'un  groupe  à  six  paramètres.  Quant  au  cas  d'un 
nombre  de  paramètres  au  plus  égal  à  quatre,  on  remarque  d'abord 
qu'à  chaque  point  du  plan,  le  groupe  (ait  correspondre  une  di- 
rection au  moins,  bien  déterminée,  de  telle  sorte  qu'il  y  a  une 
équation  invariante  du  premier  ordre,  au  moins,  c'est-à-dire  irn- 
primitivité  du  groupe.  Il  en  résulte  l'invariance  soit  d'un  point, 
soit  d'une  droite,  soit  d'une  conique  :  il  n'y  a  d'ailleurs  qu'un 
seul  groupe,  à  trois  paramètres,  laissant  invariante  une  conique 
et  cette  conique  seulement.  Reste  donc  alors  à  déterminer  tous 
les  groupes  ayant  une  droite  invariante,  et  à  prendre  leurs  dualis- 
tiques,  pour  obtenir  ceux  qui  ont  un  point  invariant. 

Passons  à  la  détermination  des  groupes  à  une  et  deux  variables. 
Dans  le  cas  d'une  seule  variable  x^  il  suffît  d'ordonner  les  trans- 
formations infinitésimales  suivant  les  puissances  de  x  —  ^o?  ^o 
étant  arbitraire,  pour  établir,  en  formant  les  crochets,  qu'il  ne 
peut  y  avoir  de  transformation  d'ordre  supérieur  à  deux  et,  par 
suite,  de  groupe  à  plus  de  trois  paramètres.  Un  changement  de 
variables  donne  alors  au  groupe,  suivant  son  ordre,  l'une  des 
formes  projectives  suivantes 

I        et  oc        O  .  j 

X  =:  --,  X  =^  ax  -^  o,         X  =^  X  -^  o. 

ex  -\-  ci 

Cette  remarque  est  fondamentale  pour  la  construction  des 
groupes  à  deux  variables.  Ceux-ci  se  partagent  en  groupes  pri- 
mitifs, qui  ne  laissent  invariant  aucun  faisceau  de  courbes,  et  en 
groupes  impriinitifs.  Les  premiers  se  distinguent  en  ce  que,  si 
l'on  fixe  un  point  du  plan,  ils  transforment  projectivement  les 
directions  passant  par  ce  point,  sans  en  laisser  aucune  invariante^ 
ou  encore,  en  ce  qu'ils  n'ont  pas  d'équation  invariante  du  premier 
ordre. 

Les  groupes  imprimitifs  eux-mêmes  se  classent  facilement.  Si, 
en  effet,  on  met  leur  faisceau  invariant  de  courbes  sous  la  forme 
;r=:const.,  ces  droites  se  transforment  entre  elles  d'après  un 
groupe  à  une  seule  variable  x  et,  sur  chacune  d'elles,  les  ordonnées 
y  sont  à  leur  tour  transformées  d'après  un  groupe  à  une  seule  va- 
riable j^,  mais  dépendant  de  x.  Si  le  groupe  en  x  est  d'ordre  zéro, 
le  groupe  en  x^yesl  intransitif,  et  leurs  types  peuvent  dépendre 
de  fonctions  arbitraires;   dans  les  autres  cas,  pour  les  groupes 


12  '  PREMIÈRE  PARTIE. 

transitifs,  les  types  ne  dépendent  plus  que  de  constantes  arbi- 
braires,  et  les  coefficients  de  leurs  transformations  infinitésimales 
sont  des  fonctions  entières  en  x  et  y^  pouvant  en  outre  contenir 
linéairement  des  exponentielles  en  e^^ . 

Quant  aux  groupes  primitifs,  on  établit,  comme  dans  Je  cas 
d'un  groupe  aune  seule  variable,  qu'ils  ne  peuvent  contenir  de 
transformations  infinitésimales  d'ordre  supérieur  au  second.  Un 
tel  groupe  est  semblable,  soit  au  groupe  projectif  général,  soit  au 
groupe  linéaire  général,  soit  au  groupe  linéaire  spécial. 

Signalons  enfin  les  notions  suivantes  qui  ont  été  rencontrées  au 
cours  de  ces  Chapitres  :  celles  de  groupes  formés  de  plusieurs 
faisceaux  discrets,  tels  que  l'ensemble  des  transformations  pro- 
jectives  et  dualistiques  du  plan,  celles  adéquations  invariantes 
et  àHnvariants  différentiels  d'un  groupe,  et  en  particulier  la 
proposition  suivante  :  un  groupe  d'ordre  r  en  x  el  y  contient 
toujours  un  invariant  et  un  seul  J,_i,  d'ordre  au  plus  égala  r  —  i, 
puis  un  invariant  d'ordre  /',  J,.,  un  invariant  d'ordre  /'  -h  i, 


Jr-(-l  — 


et,  plus  généralement,  un  d'ordre  r  -{-  k  qui  est 


^r+k  = 


di,.-\ 


Deuxième  Partie.  —  La  deuxième  Partie  débute  par  l'étude 
des  propriétés  générales  des  groupes.  Le  lecteur  étant  déjà  fami- 
liarisé avec  la  théorie,  M.  Lie  donne  des  démonstrations  analy- 
tiques, et  surtout  des  démonstrations  synthétiques  des  proposi- 
tions fondamentales.  C'est  un  des  Chapitres  les  plus  intéressants 
de  ce  Livre. 

Pour  arriver  à  la  première  proposition,  considérons  deux  trans- 
formations consécutives  T«  et  T^ 

x'  =  f{x,  a),         x"  =  f{x',b), 
donnant  par  leur  produit 

Les  paramètres  a  et  b  étant  essentiels,  on  peut  arriver  encore 


COMPTES  UENOUS  ET  ANALYSES.  i3 

à  T,.  pnr  deux  Iransforinallons  voisines  'ïa+oa  <'l  '^\+oô,  <lc  sorU; 
(|ue  Ton  a 

OU 

T^     A  a-hoa  ^~^   A  /;  1  ij-^o/n 

c'est-à-dire  deux  expressions  d'une  même  transformation  infini- 
tésimale, la  première  qui  donne 

^    ,       "^  dx\ 
ox  =    >  -—  oa. 
^  âa       ' 

la  seconde 

et  cela  pour  des  86  de  la  forme 

ob  =  'E,^{a,  b)  oa, 
d'où  les  identités  fondamentales 

àr' 

—  =Z\{x\b)^{a,b\ 

où  l'on  peut  d'ailleurs  faire  abstraction  des  6,  qui  ont  des  valeurs 
arbitraires. 

Inversement,  si  les  transformations 

satisfont  à  des  identités  de  cette  forme  et  comprennent  la  trans- 
formation identique,  elles  comprennent  aussi  les  transformations 
infinitésimales 

ox  =  Se^(.r)  0^, 

et,  par  suite,  leurs  groupes  à  un  paramètre.  Ces  derniers  forment 
un  ensemble  qui  coïncide  nécessairement  avec  l'ensemble  de 
transformations  proposées,  lequel  forme  donc  un  groupe. 

Pour  la  seconde  proposition,  il  y  a  une  démonstration  tout 
aussi  originale.  Elle  repose  sur  le  nombre  des  positions  distinctes 
que  prend,  suivant  les  valeurs  de  m,  un  m-èdre,  c'est-à-dire  un 
système  de  m  points  distincts  d'un  espace  à  n  dimensions,  lors- 
qu'on le  soumet  aux  transformations  d'un  faisceau  à  /■  paramètres. 
Partant  de  ce  que  les  conditions   nécessaires  et  suffisantes   pour 


i4  PREMIÈRE   PARTIE. 

que  le  faisceau  précédent  forme  groupe  sont  qu'il  contienne  la 
transformation  identique  et  que  le  produit  de  deux  quelconques 
de  ses  transformations  forme  un  nouvel  ensemble  ne  dépendant 
que  de  r  paramètres  essentiels,  cette  dernière  condition  s'inter- 
prète en  disant  que  le  faisceau  des  T^T^  doit  donner  à  un 
(r-4-  \)-èdre,  oo'"  positions  seulement.  Ceci  signifie,  appliqué  aux 
transformations  finies  engendrées  par  un  système  de  /•  transfor- 
mations infinitésimales  distinctes,  X,/,  .  .  .,  X^/,  qu'un  système 
quelconque  de  7-4-  i  points,  ^|*',  .  .  . ,  x^[^^^  admet  des  invariants 
par  rapport  à  ces  transformations;  et  le  nombre  de  ces  invariants 
est  tel  que  les  équations  linéaires 

Uy/=  xy)/+  x7-)/+. . .+ xy+i7  =  o 

forment  un  système  complet.  Les  relations 

s 

conduisent  alors  aux  suivantes  : 

s 

où  les  Ciks  sont  constants,  et  qui  donnent  les  conditions  nécessaires 
et  suffisantes  pour  que  les  transformations  X,/,  .  .  .,  X^/ engen- 
drent un  groupe. 

Enfin,  troisième  et  dernière  proposition  fondamentale,  les  con- 
stantes Ciks  satisfont  aux  deux  systèmes  suivants  de  relations  : 


i:( 


Ciks  -^  C/as  =  O, 
CiksCslt  -H  CkisCsit  -+-  CiisCslct)  —  O, 


la  dernière  se  déduisant  de  l'identité  de  Jacobi  : 

((X.X^OX/)  -^  ((X;i.X/)X,)  +  ((X/X,)XaO  =  o  ; 

et  inversement,  un  système  de  ctks  satisfaisant  à  ces  relations  dé- 
finit la  structure  d'un  groupe.  La  démonstration  de  cette  seconde 
partie  est  la  reproduction,  réduite  aux  éléments  essentiels  à  ce  cas 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  i5 

parliciilier,  du  magistral  théorèm(î  des  groupes  de  fonctions 
donné  dans   le  second    Volume   des   TransformaLionsgruppen. 

Ces  principes  établis,  nous  retrouvons,  avec  plus  de  précision, 
les  propriétés  générales  des  groupes,  et  d'abord  leur  distinction 
en  groupes  transitifs  et  intransitifs^  avec  la  détermination  des 
multiplicités  invariantes  d'un  groupe,  et  la  classification  de  celles-ci 
suivant  le  nombre  des  déplacements  de  directions  linéairement 
distinctes,  que  les  transformations  infinitésimales  du  groupe  im- 
priment à  un  de  leurs  points. 

Viennent  ensuite  la  notion  de  groupes  semblables  à  un  autre 
qui  s'en  déduisent  par  des  changements  de  variables,  et  les  crité- 
rium nécessaires  et  suffisants  pour  la  similitude  de  deux  groupes. 
L'un  de  ceux-ci  est  que  l'on  puisse  mettre,  par  des  combinaisons 
linéaires,  les  transformations  infinitésimales  de  l'un  des  groupes 
sous  une  forme  telle  que  les  deux  groupes  aient  même  structure  ; 
et  cette  condition  est  suffisante  dans  le  cas  de  groupes  simple- 
ment transitif  s  ^  ou  groupes  transitifs  ayant  même  nombre  de  pa- 
ramètres que  de  variables.  En  particulier,  on  peut,  dans  ce  cas, 
étudier  les  transformations  qui  changent  un  groupe  en  lui-même, 
et  l'on  arrive  à  ce  résultat  remarquable  que  ces  nouvelles  transfor- 
mations dépendent  d'arbitraires  et  forment,  à  leur  tour,  un  groupe 
qui  est  aussi  simplement  transitif;  ce  groupe  peut  être  considéré 
comme  formé  par  les  transformations  échangeables  avec  celles  du 
groupe  proposé.  Les  deux  groupes  sont  donc  réciproques  ;  de 
plus,  ils  ont  même  structure  et,  par  suite,  sont  semblables. 

Dans  un  cas  particulier,  si  l'on  transforme  un  groupe  par  un 
changement  de  variables  qui  soit  lui-même  une  transformation  du 
groupe,  l'opération  ne  fait  qu'altérer  la  forme  suivant  laquelle 
figurent  les  paramètres  dans  les  transformations  du   groupe.   Si 

l'on  opère  sur  une  transformation  infinitésimale  ^^^k^kf-,  on  ob- 

k 
tient,  relativement  aux  e/^,  une  transformation  linéaire  homogène 

qui  appartient  à  un  groupe,  le  groupe  adjoint  du  groupe  pro- 
posé. 

Ce  groupe  adjoint  est  d'une  importance  capitale,  car  il  permet 
de  trouver  sous  quelles  conditions  deux  transformations  ou  deux 
sous-groupes  du  groupe  proposé  sont  homologues,  ce  qui  revient 
à  les  classer  en  divers  types.  Le  problème  se  ramène,  en  représen- 


i6  PIIEMIÈRE   PARTIE. 

tant  une  transformation   /^g^X^/  par  un  point  de  coordonnées 

k 
homogènes  Ci,  621  •  .■=,  ^r  d'un  espace  à  r —  i  dimensions,  à  la 
détermination  des  multiplicités  invariantes  du  groupe  adjoint;  il 
est  d'ailleurs  simple,  car,  la  structure  du  groupe  étant  donnée,  les 
transformations  infinitésimales  du  groupe  adjoint  en  résultent 
immédiatement.  Parmi  celles-ci,  plusieurs  peuvent  se  réduire  à  la 
transformation  identique  :  ce  sont  celles  qui  correspondent  aux 
transformations  distinguées  du  groupe,  c'est-à-dire  échan- 
geables avec  toutes  les  autres;  si  un  groupe  d'ordre  r  di  q  trans- 
formations distinguées,  son  groupe  adjoint  est  d'ordre  /'  —  q. 

Ce  qui  précède  fait  ressortir  l'utilité  de  l'étude  des  Groupes 
linéaires  homogènes.  M.  Lie  revient  sur  cette  étude,  commencée 
déjà  dans  la  première  Partie;  il  détermine  les  divers  types  de 
groupes  linéaires  homogènes  à  trois  variables  à  l'aide  de  ceux 
des  groupes  projectifs  du  plan.  Puis,  dans  un  espace  an  —  i  di- 
mensions, il  étudie,  en  coordonnées  homogènes,  les  points  et 
plans  invariants  pour  une  transformation  linéaire  homogène 
donnée,  et  montre  que  les  deux  problèmes  se  ramènent  l'un  à 
l'autre,  les  points  invariants  en  particulier,  formant  plusieurs 
multiplicités  planes  qui,  deux  à  deux,  n'ont  aucun  point  commun. 
De  plus,  toute  transformation  laisse  au  moins  un  point  invariant, 
puis,  passant  par  ce  point,  au  moins  une  droite;  d'une  façon  gé- 
nérale, toute  multiplicité  plane  invariante  de/>  dimensions,  étant 
contenue  dans  au  moins  une  multiplicité  invariante  àe  p  -\-  i  di- 
mensions. Cette  propriété  s'étend  à  certains  groupes  linéaires 
homogènes  dont  les  transformations  peuvent  se  mettre  sous  une 
forme  X</,  .  .  .,  X,/*,  telle  que,  pour  ^  quelconque,  X</,  .  .  ., 
Xjr,/*  forment  un  sous-groupe  invariant  de  Xi/,  ...,  X^/, 
Xjp^,/*;  et  ceci,  appliqué  au  groupe  adjoint  d'un  groupe  quel- 
conque, conduit  à  la  considération  des  groupes  intégrahles ,  dont 
le  caractère  est  que  leurs  transformations  infinitésimales  peuvent 
se  disposer  comme  les  précédentes,  et  dont  la  propriété  essentielle 
est  que  l'on  peut,  par  une  seconde  simplification,  les  mettre  sous 
une  nouvelle  forme  Xi  y,  .  .  . ,  X;.y,  telle  que,  pour  p  quelconque, 
Xi^,  ...,  X^y  soit  maintenant  un  sous- groupe  invariant  du 
groupe  total.  On  reconnaît  qu'un  groupe  est  intégrable  en  con- 
struisant son  groupe  dérivé  formé  par  les  (X/X^),  puis  le  groupe 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  17 

dérive  du  précédent,  et  ainsi  de  suite  :  si  les  ordres  de  ces 
i;roupes  décroissent  constamment  et  arrivent  à  zéro,  le  grou[)e 
est  intégrable,  et  réciproquement. 

Ces  notions,  groupe  intégrable,  groupe  dérivé,  sont  très 
utiles  dans  l'étude  des  structures.  Ainsi,  l'on  voit  facilement  que 
tout  groupe  à  deux  paramètres  peut  se  mettre  sous  une  forme 
ajant  l'une  des  structures  suivantes  : 

(XiX2)  =  Xiy        ou        (XiX2)  =  o; 

puis,  que  toute  transformation  infinitésimale  d'un  groupe  appar- 
tient à  au  moins  un  sous-groupe  à  deux  paramètres;  que  tout 
sous-groupe  à  deux  paramètres,  à  son  tour,  appartient  à  au  moins 
un  sous-groupe  à  trois  paramètres  et  qu'en  général  tout  sous- 
groupe  intégrable  à  p  paramètres  appartient  à  au  moins  un  sous- 
groupe  k  p  -\-  V  paramètres. 

Les  structures  des  groupes  à  trois  paramètres  s'obtiennent  sim- 
plement :  elles  résultent  d'une  corrélation  établie,  par  le  crochet 
de  deux  transformations,  entre  les  points  et  les  droites  du  plan 
du  groupe  adjoint.  Si  la  corrélation  n'est  pas  évanouissante,  le 
groupe  adjoint  laisse  invariante,  dans  son  plan,  une  conique  et  le 
groupe  peut  se  mettre  sous  la  forme 

(X1X2)  =  Xi/,         (X2X3)  =  X3/,         (X.Xa)  =  2X2/. 

Dans  tout  autre  cas,  le  groupe  dérivé  a  deux  paramètres  au  plus, 
et  le  groupe  considéré  est  intégrable. 

De  même,  pour  les  groupes  à  quatre  paramètres,  il  j  a  lieu  de 
distinguer  entre  les  groupes  non  intégrables,  lesquels  contiennent 
un  sous-groupe  invariant  non  intégrable  à  trois  paramètres,  et 
peuvent  se  mettre  sous  la  forme 

(X1X2)  =  X,/,        (X2X3)  =  X3/,        (X1X3)  =  2X2/, 

(XiX4)  =  0,  (X.2X4)  =  0,  (X3X4)  =  0, 

et  les  groupes  intégrables,  parmi  lesquels  il  j  a  encore  lieu  de  distin- 
guer ceux  qui  contiennent  des  sous-groupes  à  trois  paramètres  en 
involution  [de  la  forme  (X<  Xo)  =  (X2X3)  =  (X,  X3)(X,  X3)]  =  o. 

Enfin,  ces  Chapitres  se  terminent  par  la  théorie  des  invariants 
du  groupe  adjoint.  Ces  invariants  peuvent  toujours  se  mettre  sous 
forme  homogène,  l'un  d'eux,  qui  existe  toujours,  étant  du  premier 

Bull,  des  Sciences  mathém.,  >.'  scrie,  l.  XIX.  (Janvier  1S9.5.)  2 


i8  PREMIÈRE  PARTIE. 

degré,  de  sorte  que  deux  Iransformations  finies  engendrées  par 
une  même  Iransformalion  infinitésimale  ne  sont  jamais  homolo- 
gues; quant  aux  autres  invariants,  on  peut  les  supposer  d'ordre 
zéro  :  s'il  n'y  en  a  pas,  deux  transformations  infinitésimales  quel- 
conques du  groupe  sont  en  général  homologues. 

Applications,  Nombres  complexes.  —  La  première  des  appli- 
cations qui  terminent  l'Ouvrage,  avec  laquelle  nous  ne  quittons 
pas  les  groupes  linéaires  homogènes,  est  consacrée  aux  nombres 
complexes.  Par  définition,  un  nombre  complexe  est  un  symbole 
de  la  forme 

0X1  x^^  ...,  Xn  sont  des  nombres  ordinaires,  et  les  e  de  simples 
indices;  V addition  satisfait  aux  lois  associative  et  commutative 

X -^{y -^  z)  =  {x -\- y) -^  z         et        x-\-y=y-\-x\ 
la  multiplication  est  définie  par  les  produits 

S 

où  les  YfVfj  sont  des  constantes;  elle  satisfait  à  la  loi  distributive 

(x  -^y)(z  -\-  t)  —  xz  -^yz  +  xt  -hyt 

et  à  la  loi  associative 

ce  qui  exige  que  les  y^A^  satisfassent  à  certaines  conditions.  Elle  ne 
satisfait  pas  nécessairement  à  la  loi  commutative. 
Alors  les  simples  formules 

x'=xa,         x"=x'b^         d'où         x"  =  x{ab), 

et 

x'=axj         x"=bx\         d'où         x"  =  {ba)x\ 

montrent  qu'à  tout  système  de  nombres  complexes  sont  associés 
deux  groupes  linéaires  homogènes  et  par  rapport  aux  va- 
riables et  par  rapport  aux  paramètres,  ces  groupes  étant  en 
outre  simplement  transitifs  et  identiques  à  leurs  propres  groupes 
de  paramètres.  Ces  deux  groupes  sont  réciproques. 

Inversement,  étant  donné  un  groupe  simplement  transitif,  li- 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  ly 

néaire  et  homogène  en  variables  et  paramètres,  un  simple  change- 
ment de  variables  le  rend  identique  à  son  groupe  de  paramètres  : 
on  a  alors  en  évidence  son  groupe  réciproque,  lequel  jouit  des 
mêmes  propriétés,  et  un  système  de  nombres  complexes  qui  leur 
correspond.  C'est  là  une  proposition  due  à  M.  Poincaré. 

De  son  coté,  M.  Study,  prenant  deux  groupes  réciproques, 
simplement  transitifs,  linéaires  et  homogènes,  a  établi  que  l'on 
peut  choisir  des  paramètres,  tels  qu'ils  figurent  sous  forme  linéaire 
et  homogène,  de  sorte  qu'il  correspond  encore  à  ces  deux  groupes 
un  système  de  nombres  complexes.  Ces  deux  propositions,  que 
rattache  M.  Scheffers,  et  dont  il  nous  donne  une  démonstration 
fort  élégante,  ramènent  la  recherche  des  systèmes  de  nombres 
complexes  à  celle  de  certains  groupes.  En  particulier,  M.  Scheffers 
nous  donne  le  Tableau  des  systèmes  de  nombres  complexes  à  deux 
et  à  trois  unités. 

Invariants.  —  Une  seconde  application,  celle  des  invariants 
différentiels,  se  présente  dans  l'étude  des  familles  de  multiplicités 
obtenues  en  effectuant  les  transformations  d'un  groupe  sur  une 
multiplicité  donnée.  Par  exemple,  une  courbe  plane,  soumise  à 
tous  les  mouvements  de  son  plan,  engendre  une  famille  définie 
par  une  équation  différentielle  où  ne  figurent  que  la  courbure  do 
la  courbe  et  sa  dérivée  par  rapport  à  l'arc,  cela  sauf  deux  cas  par- 
ticuliers, celui  d'une  circonférence  ou  d'une  droite,  et  celui  des 
droites  niininia. 

Il  en  est  de  même,  dans  l'espace,  relativement  à  une  courbe 
gauche,  pour  ses  rayons  de  courbure  et  de  torsion,  et  leurs  dé- 
rivées par  rapport  à  l'arc.  Ces  éléments  constituent  une  suite  illi- 
mitée àHnvariants  différentiels  de  la  courbe  et  sont  reproduits 
par  un  élégant  calcul,  qui  consiste  dans  la  détermination  des  in- 
variants de  trois  fonctions  x^  y,  z  d'une  même  variable  arbitraire, 
X,  suivie  de  celle  des  fonctions  de  ces  invariants  qui  constituent 
les  invariants  cherchés,  c'est-à-dire  qui  ne  changent  pas  par  une 
transformation  infinitésimale  dépendant  d'une  fonction  arbi- 
traire a(X) 

oX  =  a(X)o/. 

Deux  classes  particulières  de  courbes  se  mettent  en  évidence, 


1 


•20  PREMIÈUE  PAHTIE. 

les  droites  v\  les  courbes  minima 

\  dx  )         \dT  J 

Ces  dernières  exigent  une  étude  spéciale  qui  conduit  à  des  ré- 
sultats véritablement  nouveaux.  Une  telle  courbe,  ou  mieux  sa  dé- 
veloppable,  étant  définie  par  une  relation  entre  deux  paramètres, 
s  et  F,  le  premier  fixant  un  point  du  cercle  de  l'infini,  et  le 
deuxième  un  plan  tangent  à  ce  cercle  en  ce  point,  on  est  ramené 
à  chercher  les  invariants  différentiels  d'un  groupe  en  s  et  F.  Appa- 
raissent alors  plusieurs  classes  de  développables  minima  :  i°  les 
cônes  minima,  qui,  en  tant  que  courbes,  ne  donnent  que  les 
points  de  l'espace;  2"  les  hélices  minima,  tracées  sur  un  cylindre 
circulaire  droit,  admettant  une  transformation  du  groupe,  et  dont 
une  variété  évanouissante  est  formée  des  courbes  minima  du 
troisième  ordre;  3"  et  enfin  les  courbes  minima  générales,  celles 
d'une  même  famille  étant  définies  par  une  relation  entre  deux 
invariants  différentiels  J5  et  J^  : 

De  la  même  manière,  une  surface  quelconque  engendre,  par  ses 
mouvements  dans  l'espace,  une  famille  définie  par  un  système  d'é- 
quations, de  forme  variable  suivant  les  cas,  entre  les  rayons  de 
courbure  de  la  surface  et  leurs  dérivées  par  rapport  aux  arcs  des 
lignes  de  courbure. 

D'une  façon  générale,  le  problème  de  V équi^^alence  de  deux 
multiplicités,  par  rapport  à  un  groupe  fini  et  continu,  est  résolu 
par  un  nombre  fini  de  critériums,  obtenus  en  formant  les  équa- 
tions différentielles  invariantes  et  les  invariants  différentiels  du 
groupe.  Toutes  les  multiplicités  d'une  même  famille  sont  définies 
par  un  système  d'équations  entre  les  invariants;  certaines  familles 
sont  formées  de  multiplicités  singulières  :  elles  satisfont  à  des 
équations  invariantes  et  exigent  une  étude  spéciale.  Quant  aux 
invariants,  M.  Lie  indique  un  procédé  remarquable  qu'il  donne 
depuis  longtemps  dans  son  enseignement,  permettant,  par  la 
simple  formation  de  déterminants  fonctionnels,  d'en  obtenir  de 
nouveaux,  lorsqu'on  en  connaît  quelques-uns;  et,  dans  le  cas  au 
moins  d'un  groupe  fini,  ce  procédé  suffit  pour  les  déduire  tous 
d'un  nombre  limité  d'entre  eux. 


COMPTES   IIRNDUS  ET  ANALYSES.  u 

Dans  ce  Chapitre,  M.  IJc  montre  encore  comment  la  théorie 
(les  invariants  et  covariants  des  formes,  en  particulier  des  formes  bi- 
naires, n'est  aulrc  chose  qu'une  étiuhî  des  invariants  d'un  groupe, 
ce  groupe  étant  obtenu  en  cherchant  comment  les  coefficients  de  ces 
formes  se  transforment  quand  on  effectue  sur  x  et  jv*  une  trans- 
formation linéaire  et  homogène.  Partant  de  cette  idée,  on  retrouve 
facilement,  par  exemple,  tous  les  invariants  et  covariants,  ainsi 
que  leur  signification,  soit  d'une  forme  quadratique,  cubic|ue  ou 
biquadratiqiie,  soit  d'un  système  de  deux  formes  quadratiques. 

Équations  à  solutions  fondamentales.  —  Le  dernier  Cha- 
pitre du  Volume,  le  plus  intéressant  peut-être,  dans  lequel  on 
retrouve  tout  l'attrait  qu'il  y  a  à  suivre  M.  Lie  dans  le  développe- 
ment de  ses  diverses  théories,  est  consacré  aux  équations  difl^é- 
rentielles  ordinaires  dont  la  solution  générale  se  déduit  d'un 
nombre  fini  de  solutions  particulières.  L'exemple  le  plus  simple 
en  est  Véquation  de  Riccati 

^  =  A(^)  +  a)B(3)-i-co2G(-3), 
clz 

et  pour  tout  lecteur  familiarisé  avec  nos  théories,  la  raison  en  est 
toute  naturelle.  Si  l'on  considère,  en  effet,  dans  un  plan,  co  comme 
une  ordonnée  sur  une  des  droites  ^==const.,  l'équation  établit 
entre  les  points  de  deux  de  ces  droites  une  correspondance  qui  est 
projective,  la  correspondance  entre  deux  droites  infiniment  voi- 
sines définissant,  de  par  la  forme  de  l'équation,  une  transforma- 
lion  infinitésimale  projective.  De  cette  remarque  résultent  et  la 
forme  de  la  solution  générale,  et  les  simplifications  connues 
apportées  dans  l'intégration  par  la  connaissance  d'une  ou  de  deux 
solutions. 

De  là  résulte  aussi  que,  dans  toute  question  où  l'on  a  affaire  à 
une  simple  infinité  de  multiplicités  à  une  dimension,  dont  les  élé- 
ments soient  liés  par  une  correspondance  projective,  la  recherche 
des  trajectoires  de  ces  éléments  dépend  d'une  équation  de  Riccati  : 
c'est  le  cas  des  lignes  asjmptotiques  des  surfaces  réglées. 

Les  mêmes  considérations  s'a[)pliquent  soit  au  système 

-7-  =  A  -4-Bj^h-  Cr-f--^(H^-i-  ^x)» 
az  " 

cl  y 

-,-  =  D  -i-  Mx  +  V  y  -;    y(\\x^  K  r), 


11  PREMIËUE  PARTIE. 

à  coefficicnls  fonctions  de  z^  cl  à  ses  cas  parliculicrs  où  les  équa- 
tions sont  linéaires  ou  linéaires  et  homogènes^  soit  au  système 


dz 

= 

«1 

.r, 

-+- 

0 

Xi 

- 

Ï1-^:J, 

dx-i 
dz 

= 

a. 

■r, 

1  + 

h 

X-i 

-+- 

^i-îJ-i 

dx^ 
dz 

= 

2^3 

,r, 

,-\- 

0 

X.y 

+ 

r-^'T-,, 

à  coefficients  fonctions  de  z.  Chacun  de  ces  systèmes  établit  une 
correspondance  projective  entre  les  plans  z  =  const.,  x  et  y  étant, 
dans  le  premier  cas,  les  coordonnées  absolues  d'un  point  de  ce 
plan,  et,  dans  le  second  cas,  x^^  x.^^  x^  ses  coordonnées  homo- 
gènes. 

La  solution  générale  est,  dans  le  premier  cas, 

X  —  T— ,  y  ~ j-^^— , 

et,  dans  le  second, 

Xi  =  AiXiQ-h  J3ia?2o+  ^1^301 

X2 '^^  ^^XiQ -\-   '>2 '^20  ~l~"  ' -"S  "^30  j 
Xi=  A-^XiQ-i-  i>:iXo{)-+-  C135730, 

ovLXQ^yo,  Xio^  ^20?  -^30  sont  les  constantes  arbitraires. 

La  connaissance,  soit  d'une  courbe  intégrale,  soit  d'une  sur- 
face  intégrante,   engendrée   par   des  courbes  intégrales,  c'est- 
à-dire  d'une  relation  entre  X\ ,  ^o?  ^3^  permet  de  simplifier  l'inté- 
gration.   Il  y  a  lieu,    dans   le   cas  d'une    surface    intégrante,  de 
distinguer  plusieurs   cas,   suivant  que   ses  intersections  par  les 
plans  z  =  const.   sont  des  courbes  admettant  ou  n'admettant  pas 
de  transformation  projective.  Ce  dernier  cas  se  présente,  en  par- 
ticulier, lorsque   la  relation    en   x,,  ^o,  x^    est   linéaire    ou   du 
second  degré  :  parmi  les  simplifications  alors  obtenues  se  trou- 
vent entre  autres  celles  établies  par  M.  Darboux  (  '  ).  Si  les  courbes 
n'admettent  pas  de  transformation  projective,  la  correspondance 
entre  tous  les  plans  est  complètement  déterminée,  et  une  seule 
quadrature  permet  d'effectuer  l'intégration. 

Ces  problèmes  conduisent  au  suivant  :  Rechercher  pour  quels 

(*)  Darboux,  Théorie  des  surfaces,  t.  I,  Liv.  T.  Chap.  II. 


COiMPTES   KF.NDUS  ET  ANALYSES.  23 

svslcmcs  d'équations  difTrrenliellcs  ordinaires 

la  solution  générale  peut  se  déduire  de  m  solutions  particulières 
par  les  formules 

les  a  étant  des  constantes  arbitraires.  Mettant  ces  relations  (2) 
sous  la  forme 

les  n  fonctions  J,  formées  avec  m -{- i  intégrales  quelconques 
sont  des  constantes,  et,  par  suite,  satisfont  à  l'équation 

i  i 

OU  encore,  la  transformation  infinitésimale  U/*,  à  [m  -\-  \)n  va- 
riables, et  dépendant  d'un  paramètre -S,  doit  admettre  n  invariants 
J,  indépendants  de  ^,  et  réciproquement  la  condition  est  suffi- 
sante. Ceci  exprime,  d'après  la  forme  de  U/",  que  la  transforma- 
lion  infinitésimale 

àf 


Y/=^'nH^i,  •••'•^«'^)^i: 


appartient,  quel  que  soit  z,  à  un  groupe  X,/",  .  .  . ,  ^rfy  à  /•  pa- 
ramètres en  ^1,  .r2,  .  .  . ,  ^«, 

i 

de  sorte  que  l'on  a 

A  =  /■ 

\f=^Z,{z)X,f, 
ou  encore  que  le  système  (i)  est  de  la  forme 

k  =  r 

à  coefficients  fonctions  de  z.  On  a  ainsi  une  dernière  application 


24  PREMIEFIE   PARTIE. 

de  la  théorie  des  groupes,  et  dans  la  recherche  de  ces  systèmes, 
et  dans  leur  intégration. 

En  résumé,  les  deux  Livres  publiés  par  M.  SchefFers,  sous  l'in- 
spiration de  M.  Lie,  initient  le  lecteur  sur  presque  tous  les  points 
de  la  théorie  des  groupes^  et  peuvent  même  lui  suffire  en  vue 
des  applications;  mais  ils  ne  le  dispenseront  pas  cependant  d'avoir 
recours  au  vaste  et  patient  travail  de  MM.  Lie  et  Engel  (')  et  sur- 
tout, et  c'est  peut-être  là  leur  principal  mérite,  ils  lui  permet- 
tront d'en  apprécier  toute  la  portée  et  toutes  les  qualités. 

A.  Tresse. 


MELANGES. 

SUR  LE  PROBLÈME  DE  L'INVERSION  DE  JACOBI; 
Par  m.  E.  COURSAT. 

Le  théorème  d'Abel  permet  de  démontrer  directement,  sans 
avoir  recours  à  la  théorie  générale  des  équations  différentielles, 
que  le  problème  de  l'inversion  des  intégrales  abéliennes,  connu 
sous  le  nom  àe  problème  de  Jacobi,  conduit  à  des  fonctions  uni- 
formes de  p  variables. 

Soient 

(i)  ¥{x,y)  =  o 

l'équation  d'une  courbe  algébrique  de  degré  m  et  de  genre  />,  et 
iv^{x^y)^  ...,  ^Vp{x,y)  les  p  intégrales  normales  de  première 
espèce  attachées  à  cette  courbe.  Prenons  deux  groupes  de  ^  points 
analytiques  (a^,  p,),  ...,  (a^,  p^)  et  (y,,  8,),  ...,  (y^,  S^),  que 
nous  supposerons,  pour  fixer  les  idées,  à  distance  finie  et  distincts 
des  points  de  ramification.  Le  théorème  d'Abel,  appliqué  aux  in- 
tégrales de  première  espèce,  peut  s'énoncer  ainsi   :  pour  qu'il 

(')  Théorie  der  Transformationsgruppen,  unter  Mitwirkung  von  D-"  F.  Engel, 
bearbeitet  von  Sophus  Lie,  3  vol.  Voir  dans  le  Bulletin  les  comptes  rendus  qui 
en  ont  été  publiés  par  MM.  Vessiot  et  de  Tannenbcrg,  pour  le  vol.  I  (t.  XIV,  1S90) 
et  par  M.  Vcssiot  pour  les  deux  autres  (t.  XV,  1891,  cl  l.  XVIII,  iSg^). 


MÉLANGES.  i5 

existe  une  /onction  rationnelle  <b(jo,y)  du  point  analytique 
{x^y),  admettant  les  points  (a^,  (3/)  pour  zéros  et  les  points 
(ïo  ^i)  P^ur  pôles  du  premier  ordre,  il  faut  et  il  suffit  que 
Von  ait 

r  p 


i=l  «=1 


le  signe  ^  indique  Tégalité  à  des  multiples  près  des  périodes. 
Gela  posé,  considérons  le  système  d'équations 

'  dwi  H-    /  dwi  -h.  ..+    /  dwi  =  Vi, 

'  diK'o.  -f-    /  div-i  4-. .  .+    /  dw2  =  ^i, 


(3) 


/  <itv^^  -+-    /  dwp  -+-...-+-    I 


ûfwpp  =  ^p  ; 


le  point  essentiel  à  établir,  c'est  qu'à  un  système  de  valeurs  arbi- 
traires pour  Ti,  (^27  •  •  '■>  ^pi  il  ne  peut  correspondre  plusieurs  sys- 
tèmes de  points  analytiques  [x^^y^  ),  . . .,  {xp^  yp).  Supposons,  en 
effet,  que  deux  systèmes  de  points  analytiques  [xi^  yi)  et  {x^^y'j) 
(i  rrr:  I,  2,  . . .,  p)  donucut  Ics  mêmcs  valeurs  pour  t^,,  ('2?  •  •  •>  ^/j« 
On  aurait  les  p  relations 


r  p 


(4)  ^Wh{oc'nyi)  =  ^wn{xi,yi),         {h  =  i,  2,  ...,/?), 


t=i  ?^i 


I 


qui  expriment  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  qu'il 
existe  une  fonction  rationnelle  (^(x^y)  admettant  pour  pôles  du 
premier  ordre  les />  points  (^i,jKi),  •••,  {^piyp)  et  pour  zéros 
les/?  points  {x\^y\)^  ...,  (x'y).  Or,  si  une  fonction  ration- 
nelle ne  devient  infinie  du  premier  ordre  qu'en/?  points  seulement, 
on  sait  qu'on  peut  faire  passer  par  ces  p  pôles  une  courbe  adjointe 
de  degré  7?z —  3.  Cette  courbe  adjointe  rencontre  la  courbe  pro- 
posée en /j> —  2  autres  points  simples  (a,,  p<),  ...,  (ay,_2,  Pp-2)^ 
et  l'on  voit  que  v^^  (^07  •  •  -i  ^p  devraient  être  de  la  forme 

p—2  />  — 2 

(5)  (^j=  2K1  — V(p,(a/,,  {3/0,  ...,         Vf,=  2Kp  —  ^w,>(ci/n'^/,), 


26  PRIiMlÈUE   PARTIE. 

2K/  désignant  la  somme  constante  des  valeurs  de  l'intégrale  de 
première  espèce  (V/(^,jk)  aux  '^P  —  2  points  d'intersection,  difTé- 
rents  des  points  doubles,  de  la  courbe  donnée  avec  une  courbe 
adjointe  de  degré  m  —  3.  Par  conséquent,  si  les  valeurs  de  ('<, 
^2,  •  •  •  î  ^'p  fie  sont  pas  de  la  forme  (5),  il  ne  peut  y  avoir  plus 
d'un  système  de  points  analytiques  vérifiant  les  équations  (3). 
Mais,  si  V\ ,  ('2,  .  .  . ,  Vp  sont  de  la  forme  (5),  il  j  a  une  infinité  de 
systèmes  de  p  points  analytiques  répondant  à  la  question.  En 
effet,  si  l'on  fait  passer  par  les  p  —  2  points  (a^,  p^)  une  courbe 
adjointe  d'ordre  m  —  3,  elle  rencontre  la  courbe  proposée  en  p 
autres  points,  distincts  des  points  doubles,  qui,  d'après  le  théorème 
d'Abel,  satisfont  bien  aux  équations  (3).  En  résumé,  lorsqu'on 
fait  décrire  aux  variables  indépendantes  v^^  (^07  •  •  «7  ^p  des  con- 
tours fermés  dans  leurs  plans  respectifs,  les  p  points  analytiques 
{oc^^  y\),  ...,  {^pi  yp)  ne  peuvent  que  s'échanger  entre  eux, 
sauf  pour  les  valeurs  de  la  forme  (5)  oii  il  y  a  indétermination. 
Toute  fonction  rationnelle  symétrique  des  coordonnées  de  ces  p 
points  est  donc  une  fonction  uniforme  des  p  variables  indépen- 
dantes (^1,  (^2>  •  •  •)  ^/jj  devenant  indéterminée  pour  des  valeurs  de 
la  forme  (5). 

Si  le  genre  p  est  égal  à  un,  le  raisonnement  doit  être  modifié. 
Soit  w{x^  y)  l'intégrale  de  première  espèce;  si  celte  intégrale  re- 
prenait la  même  valeur,  à  une  période  près,  en  deux  points  ana- 
lytiques différents  (a,  p)  et  (y,  8),  il  existerait,  d'après  le  théorème 
d'Abel,  une  fonction  rationnelle  du  point  analytique  {x,  y) 
admettant  un  seul  pôle  du  premier  ordre,  le  point  (a,  j^),  et  un 
seul  zéro  du  premier  ordre,  le  point  (y,  0).  Soit  ^{x^y)  cette 
fonction  rationnelle;  la  fonction  rationnelle  o[x,y)  —  X  aurait 
aussi,  quelle  que  soit  la  constante).,  un  seul  pôle  du  premier  ordre 
(a,  [3),  et,  par  suite,  un  seul  zéro.  Les  cooordonnées  de  ce  zéro 
seraient  donc  des  fonctions  rationnelles  du  paramètre  A,  et  la 
courbe  considérée  devrait  être  unicursale. 


iwi  Cl  I— 


MÉLANUliS.  S17 

SUR  LA  RÉSOLUTION  ALGÉBRIQUE  DES  ÉQUATIONS  DE  DEGRÉ  PREMIER; 

Par  m.  J.  DOLBNIA. 

Nous  avons  l'inlcnlion  d'indiquer  ici  un  thcorcmc  au  moyen 
duquel  on  peut  résoudre  par  radicaux  les  équalioQS  de  cinquième 
et  septième  degré,  à  l'aide  d'un  nombre  fini  d'opérations,  si  ces 
équations  possèdent  le  groupe  de  Galois. 

Prenons  une  équation  algébrique  irréductible 

x"- ^ p x'^-^ -\-  qx'^-^-i-. .  .-h  rx  +  5  =  0, 

de  degré  premier  n  à  coefficients  entiers 

p,    q,     ...,     /',    s. 

Formons  une  fonction  linéaire  des  racines 

OÙ  a  est  une  racine  imaginaire  de  l'équation  binôme 

a'*  — 1  =  0; 

p  est  une  racine  primitive  du  nombre  premier  n. 

Désignons  les  substitutions  fondamentales  du  groupe  linéaire 

/ az  -h  b\ 
par 


Soit 

T(R,)=Rp,        T(Rp)=Rp., 

Théoriîme  I.  —  Si  à  la/onction 

Rpi=  Xo-+-  aa7p^-H  y.-x.2Ç)f^- 
noiis  appliquons  ta  substitution 

S  = 


28  PREMIÈRE   PARTIE. 

nous  aurons 

n  —  \—lk 

S(Rp/,)=aP        '       Rp^. 
En  effet  nous  avons 


Soit 
alors 


S  (Rpt)  =  ^1  +  a^pi+i  + .  .  .  +  a!J-a?jj.pi+i  -h . .  . 
+  a^^vpt+i  +  . .  .  +  a'^a7,tpi+i  + 

[jLp^'+  I  =  p^'"         (modAi), 
/?  - 1  -  2  A- 


Si  nous  avons 
alors 

de  même 

si 

donc 


jjL  ==  p       2       _j_  I         (mo(I/i). 

Vp'^-+  I  =  2p^S 

n-  1  —  -2  /f 
V  =  p  2         _|_  2; 

«  —  1  -  2  A- 

7:  =  p        2        _|_  3, 

TTp^'  +  I  =  3  p'''^         (  mod  n  )  ; 

«  —  1  —  2  /. 

P 


S(Rpi)=  a  (a57pH-  a2x2p^+  a^^gp^-i-..  .), 

donc 

«  —  1  —  2  A- 


P  ^ 


S(RpO=a'  RpS  c.  Q.  F.  D. 

Théorème  IL  —  Si  nous  changeons  a  en  aP,  la  série 
R„     Rp,     Rp.,     ...,     Rp'- 

est  remplacée  par  la  série 

Rp«-2,    R,,    Rp,     ...,     Rp"-3, 

c' est-à-dire  tous  les  indices  se  multiplient  par  p'^~-. 
En  effet,  nous  avons 

En  remplaçant  ici  a  par  aP,  nous  aurons 

/(ap)=:  xo-h  apxp«.+  a2p^2pn_.  .  .-+-  aJJ-p.rjj.pi-H.  . . 
-^  -r'PXvp'-  — ...  -h  a^P  j-^pi  -i- 


MÉLANGES.  29 

SI  nous  avons 

[jip  ^^  1         (mo(l/i), 

vp  ^2  » 

Tip  ^  3  » 


alors 

/(  ap)  =  a7o  H-  aj7p'>-i  4-  a2^.2p''— »  +  a^^^p^-i  +  .  .  . 
OU 

/(ap)=  Rpt-i  =  Rpfrpn-., 

c'est-à-dire  du  changement  de  a  en  aP  la  fonction  Rp/t  se  transforme 
en  Rp/'-«,  c'est-à-dire  l'indice  p^  se  multiplie  par  p^~'^. 
Formons  la  fonction  des  racines 

C,(a)=  R,  Rp.Rp.. . .  Rp.-3+  RpRp3. .  .  Rp.-.. 

Cette  fonction  ne  change  pas  évidemment  par  la  subslitution 

En  appliquante  Ç<(a)  la  substitution 
nous  obtiendrons 


SCi(a)  = 

n  - 
ri"' 

-1 

Ri 

Rp^... 

/ 

ra-(-3 

2 

Rp"-3 

+  aP 

n  —  Z 
2 

—  1 
2 
Rp3 

. . . 

a'          Rp... 

En 

remarquant  que 

i-^p^ 

p  +  p3 

+  p^ 

4-p5 

-h.  . 

-2=0 
-3=0 

1 

{modn), 

nous  concluons  que 


/?  —  l              /?  —  5 

p     2      +p     -2       +. 

.  +  p    -    =0 

«  —  3             W  —  7 

p     2      +p      2      _i_. 

.  .  H-  p    2     =0 

par  conséquent 

(mod/i); 


S^i(a)=^,(a). 


3o  PREMIÈRE   PARTIE. 

Ainsi  Çi  (a)  ne  s'allcre  pas  par  les  substitutions  du  groupe 


az  -+-  h 

z 


De  telles  fonctions,  après  Kronecker,  se  nomment  métacy- 
cliques.  En  outre,  il  est  facile  de  prouver  que  Ç,  (a)  ne  dépend  pas 
de  a.  En  effet,  en  changeant  a  en  aP,  nous  avons 

D'où  il  est  clair  que 

Si  l'équation  proposée  est  résoluble  par  radicaux,  Ç,  (a)  est  un 
nombre  entier,  c'est-à-dire  une  racine  entière  de  la  résolvante  de 

degré 

1 .2.3. .  .(n  —  -i), 

dont  les  coefficients  sont  des  nombres  entiers  connus. 
De  même  il  est  facile  de  prouver  que 

(RiRp.Rp....Rp.-3— RpRp3Rps...Rp„-.)2=^; 
est  un  nombre  entier  connu,  par  conséquent 

R,Rp.Rp....Rp.-3=i(^,  +  v/fJ, 

RpRp3Rp.....Rpn-.=  i(ç,_v/f;). 
Les  fonctions 

(R«H-R^.-+-...-l-Rff«-3)-4-(R[;-+-R«,-f-...+  R«„_,)     =1^^ 
[(Rî -I- RJ^-H.  . .+ R^^-3)-(R^' -h  R^^-i-.  . .+ R^„_0]2  =  C2 

appartiennent  aussi  à  la  catégorie  des  fonctions  métacycliques  et  ne 
dépendent  pas  de  a;  par  conséquent  elles  se  trouveront  comme  les 
racines  entières  des  résolvantes  de  degré 

1 .  2.3. .  .{n  —  2). 

Par  cette  raison  nous  aurons 

^2  et  Ç!,  sont  des  nombres  entiers  connus. 


MÉLANGES.  3i 

Viw  des  coiisiclcralions  semblables  nous  verrons  que  les  fonc- 
tions 

(  ivi  w^.  4-  ir/  H  j;.  +  ...-}-  R^'«-.  R^^^-a) 
+(HpRp^.-^  K;,'Rj:.-+-...-f-  u«„-.Hp\-o=  Cl, 

[(R?  R^'.:  +  .  .  .+  Rf;„-5Rj;«-3)-(Rf,'  R^'a-I-.  .  .+  \V^n-AV^n-.)Y  =   C, 

sont  des  nombres  entiers  connus. 
Par  conséquent 

R^  R^a -+-... +  Rf;«-.R^.-.=  ,^(^3-v/^;). 

De  même  on  trouvera 

RîR^'.R^.  +  ...-f-R^'.-:Rf;,.-.R^^-3=  i(ç,-i-/^J, 

R^R^8R^5  +  ...-t-R^'n-«R^^-.,R«,-.=  l(^,_v/^), 


D'où  il  est  clair  que  la  résolution  de  l'équation  proposée  dé- 
pend des  deux  équations  suivantes 


(I) 


(n  —  i  n  —  Z 

(       +l(Ç,-/S)î'^---±^(t,-V^)"  =  o. 

Donc  nous  aurons  le  théorème  suivant  : 

Théorjîme.  —  Si  l'équation  irréductible  de  degré  premier  n, 
à  coefficients  entiers^  est  résoluble  algébriquement,  sa  résolu- 
tion dépend  de  V équation  du  degré dont  les  coeJJlcieMls 

sont  des  quantités  de  la  forme 


3i  PREMIÈRE   PARTIE. 

oà  a  et  b  sont  des  nombres  entiers;  ces  nombres  peuvent  tou- 
jours être  définis  à  V aide  du  nombre  fini  d^ opérations. 

Application.  —  Si  réquationdu  cinquième  degré  est  résoluble 
par  radicaux,  sa  résolution  dépend  des  deux  équations  du  deuxième 
degré 

Ici  nous  aurons 

Ci=RiR4+R2R3  =  -5/?  ('), 
(:;  =  (RiR,-R2R3)2 

=  ( a  +  a'^  —  a2  —  a^ ) (      Xç^x^  —  Xç^ x^  —  Xq x^  H-  ^o ^4  +  ^i ^i 

Xx  X^  —  XiX!^-\-  X2  X-i  —  X^  X!,  H-  ^^3  ^4  )2  =  5  J  , 

où  J  est  la  fonction  métacjclique  connue  de  Jacobi  (^).  Le  calcul 
de  cette  fonction  a  été  l'objet  des  recherches  de  plusieurs  auteurs. 
Les  fonctions 

^2=  (Rf+R|)  +  (Ri+Ri), 
t^==[(Rf+Rf)-f-(Ri+Ri)p 

appartiennent  aussi  à  la  catégorie  des  fonctions  métacjcliques  et 
peuvent  être  calculées  comme  la  fonction  de  Jacobi. 

Si  1  équation  du  septième  degré  est  résoluble  par  radicaux,  sa 
résolution  dépend  des  équations  du  troisième  degré  dont  les 
coefficients  peuvent  être  définis  de  la  même  manière. 


(')  Bulletin  des  Se.  mathém.^  t.  XVIII,  p.  i35. 
(^)  Gesammelte  W'erke,  B.  III,  p.  27Ô-278. 


COMPTIÎS   lUiNDUS   HT   ANALYSRS.  33 

\ 
COMPTES   RENDUS  ET  ANALYSES. 

D'OCAGNE  (M.).  —  Le  Calcul  simplifié  par  li:s  procédés  mkcamqijes  et 
GRAPHIQUES.  Conférences  faites  au  Conservatoire  national  des  Arts  et  Mé- 
tiers. I  voL  in-8";  ii8  ]).,  38  fig.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils,  1894. 

Les  mélhodes  et  les  mécanismes  que  l'on  a  inventés  pour  faci- 
liter les  calculs  numériques  offrent  souvent,  comme  on  sait,  un 
grand  intérêt  théorique  ou  pratique  et  l'on  a,  pour  les  réaliser, 
dépensé  des  trésors  d'ingéniosité.  Si,  toutefois,  il  s'agit  d'un  mé- 
canisme, ceux-là  seuls  qui,  comme  l'on  dit,  sont  du  métier,  sont 
capables  de  s'intéresser  à  tous  les  détails  de  transformation  de 
mouvement^  c'est  le  principe  seul  qui  intéresse  les  autres,  et  une 
descri|)tion  détaillée  risque  de  les  rebuter.  Ces  derniers,  qui  sont, 
à  ce  que  je  crois,  fort  nombreux,  liront  avec  intérêt  le  petit  Livre 
de  M.  Maurice  d'Ocagne,  dont  la  clarté  et  la  simplicité  les  char- 
meront. L'auteur  passe  aussi  en  revue  les  procédés  de  simpli- 
fication, autres  que  les  mécanismes;  on  sait  quelle  étude  appro- 
fondie il  a  faite  naguère  des  procédés  graphiques  (  '  ).  De  toutes  ces 
méthodes  d'ailleurs,  il  se  borne  ici  à  donner  le  principe,  dans  un 
langage  dénué  de  lout  appareil  scientifique,  qui  peut  être  faci- 
lement compris  de  tout  homme  cultivé. 

L'auteur  a  adopté  la  classification  suivante  : 

1"  Instruments  et  machines  arithmétiques  ;  2°  Instruments  loga- 
rithmiques; 3°  Tracés  graphiques-,  4"  Tables  numériques  ou  ba- 
rèmes ;  ^^  Tables  graphiques  ou  abaques. 

Dans  chacun  de  ces  groupes  il  a  choisi  des  exemples  variés, 
particulièrement  caractéristiques,  et  en  donne  une  description 
sommaire,  bien  que  suffisante  pour  faire  nettement  ressortir  l'éco- 
nomie et  l'intérêt  de  chaque  procédé. 

Ces  descriptions,  présentées  sous  forme  d'une  causerie  dé- 
pourvue de  tout  appareil  mathématique,  de  façon  à  s'adresser  au 
public  en  général,  sont  complétées  par  de  curieuses  indications 
historiques,  peu  connues  pour  la  plupart. 


(')  Voir  Bulletin,  t.  XV,,  p.  297. 
Bull,  des  Sciences  mathém.,  ?.'  séi-io,  l.  XIX.  (Février  189.").) 


34  PREMIÈRE   PARTIE. 

Il  est  fort  intéressant,  en  ])articulicr,  de  voir  par  quelles  tran- 
sitions a  successivement  passé  le  type  primitif  de  la  machine  de 
Pascal  pour  aboutir  à  celles  de  Thomas,  de  Bollce,  de  Babbage, 
de  Scheulz,  .  .  .  ,  celte  dernière  calculant  automatiquement  et 
imprimant  des  Tables  de  logarithmes! 

Le  volume  contient  aussi,  sous  forme  d'une  Notice  séparée,  la 
première  description  détaillée  qui  ait  été  donnée  de  la  curieuse 
machine  de  Tchebichcf,  à  mouvement  continu. 

Non  moins  intéressants  sont  les  renseignements  fournis  sur  les 
instruments  (règles,  cercles,  hélices,  cylindres  à  calcul)  fondés  sur 
l'emploi  des  échelles  logarithmiques  et  que  l'auleur  ramène  à  un 
petit  nombre  de  types  bien  caractérisés. 

On  trouve  dans  la  dernière  conférence  des  indications  très  pré- 
cises et  très  détaillées,  bien  que  données  sans  aucun  secours  de 
l'Analyse,  sur  le  mode  d'emploi  et  les  avantages  des  diverses 
espèces  d'abaques  dont  la  théorie  générale  a  été  naguère  constituée 
par  l'auteur  lui-même  sous  le  nom  de  Nomograpliie. 


MELANGES. 

SUR  LE  MATHÉMATICIEN  FRANÇAIS  CHAUVEAU; 
Pau  m.  Paul  TANNE UY. 

Dans  le  Tome  III  de  la  Correspondance  de  Iliiygens  (La  Haye, 
1890),  figure  sous  le  n"  8i9  (p.  258-259)  une  solution  par  Jacq. 
Buot  d'un  problème  de  Géométrie  élémentaire  «  proposé  par 
M.  Chauveau  le  10  mars  1661  ».  Les  savants  éditeurs  ont  mis  en 
note  :  «  Peut-être  l'auteur  de  ce  problème  est-il  François  Chau- 
veau, né  en  1621  à  Paris,  où  il  mourut  le  3  février  1676.  Il  était 
dessinateur  et  graveur,  et  entra  à  l'Académie  en  i663.  » 

Cette  hypothèse  me  paraît  devoir  être  écartée;  il  n'y  a  aucun 
indice  qui  permette  de  croire  que  François  Chauveau  ('),  artiste 
très  fécond  (il  a  gravé  plus  de  trois  mille  pièces),  se  soit  adonné 


(')  Né  le  10  mai  i6i3,  daprcs  la  Grande  Encyclopédie. 


MÉLANGES.  3^) 

à  la  1  ii'omélrlo  cl  on  soit  venu  à  proposer  des  problèmes  que  les 
professeurs  de  iMalliémaliqucs  ne  dcdalgnaienL  pas  de  résoudre. 
Nous  avons  au  contraire  des  preuves  très  nelLes  de  l'exislence  à 
Paris,  vers  le  milieu  du  xvii*^  siècle,  d'un  malhcmalicicn  de  profes- 
sion du  nom  de  Cliauveau. 

Tout  d'abord  une  lettre  de  Descartes  à  Mersenne,  écrite  vers  le 
28  février  1641  (éd.  Clerselier,  II,  ;Vj,  p.  291;  éd.  Cousin,  VIll, 
p.  491  cf  suiv.),  où  on  lit  ce  qui  suit  : 

«  J'ay  connu  autresfois  un  M.  Ghauueau  à  la  Flèche,  qui  estoit 
de  Melun;  je  seraj  bien  aise  de  sçauoir  si  ce  ne  seroit  point  celuj- 
là  qui  enseigne  les  Mathématiques  à  Paris;  mais  je  croy  qu'il  s'alla 
rendre  Jésuite,  et  nous  estions  luj  et  moy  fort  grands  amis.    » 

Comme  ce  nom  ne  reparaît  pas  dans  la  Correspondance  de 
Descartes,  on  peut  croire  que  le  professeur  n'était  pas  en  fait  son 
ancien  condisciple  de  LaFkxhe.  Quoi  qu'il  en  soit  au  reste  à  cet 
égard,  j'ai  retrouvé  le  même  nom  mentionné  dans  une  lettre  iné- 
dite adressée  par  Mylon,  le  28  février  i645,  à  Mersenne  alors  en 
Italie  et  qui  demandait  à  ses  amis  de  Paris  des  propositions  à  com- 
muniquer. «  M.  Chauveau  propose  cettc-cy  :  Estant  donnés  la  su- 
perficie et  les  trois  côtés  d'un  quadrilatère  inscriptible  dans  un 
cercle,  trouver  le  quadrilatère  et  donner  le  plus  grand  (Bibl.  Nat. , 
MS.fr.,  n.  a.  620i,  p.  232).  » 

Il  s'agit  là  d'un  problème  solide,  qui,  pour  l'époque,  n'était  pas 
sans  intérêt. 

Dans  la  même  collection  de  lettres  inédites  à  Mersenne  (MS. 
fr.,  n.  a.  6205,  p.  446),  se  trouve  un  billet  de  Duverdus,  l'élève 
de  Roberval  auquel  on  doit  la  rédaction  de  la  méthode  des  tan- 
gentes (^Anciens  Mémoires  de  V Académie  des  Sciences,  t.  VI). 
Ce  billet  est  curieux  en  ce  qu'il  indique  une  certaine  jalousie 
entre  Roberval  et  Chauveau  et  qu'il  a  pu  donner  à  Mersenne  l'oc- 
casion de  parler  à  Descartes  du  second  de  ces  mathématiciens. 
Aussi  je  serais  tenté  de  dater  ce  billet  de  1640  ou  i64i  •  Le  voici 
in  extenso  avec  son  orthographe  : 

«   Mon  trcz  Reuerend  Père, 

Jevisl'autre  jour  M.  Chauuot  et  l'obligé  a  me  promettre  quelque 
explication  sur  l'algèbre  de  M.  Descartes,  laquelle  je  ne  manque- 


36  PREMIÈRE   PARTIE. 

raj  pas  de  vous  communiquer  dez  que  je  l'aura  j  eue  :  mais  pource 
que  j'aprehande  que  sj  M.  Chauuot  venoit  à  sçavoir  que  j'aj  des- 
ia  donné  celle  peine  à  M.  de  Roberual,  qu'il  ne  se  communique- 
roit  pas  sj  libremenl,  soit  qu'il  ne  voulut  pas  qu'un  escolierd'un 
autre  apprit  ses  secrets,  soit  qu'il  creut  que  j'en  sceusse  plus  qu'en 
effect  je  n'en  aj  jamais  appris,  je  vous  pricray,  s'il  vous  plaist, 
irez  humblement  de  me  faire  la  faueur  de  ne  parler  point  à  M.  de 
Rob.  de  M.  Chauuot  nj  à  M  Chau.  de  M.  Rob.  Pour  ce  qui  est 
des  cartes  que  je  vous  avois  promis,  j'en  aj  desia  taillé  une  par- 
lie  et  pour  ce  que  je  vous  les  veux  donner  les  plus  justes  qu'il  se 
pourra,  je  ne  vous  les  enuoyeraj  que  dans  cincq  ou  six  jours  que 
je  me  donneray  l'honneur  devons  voir.  C'est,  mon  Irez  Reuerend 

Père, 

Vostre  Irez  humble  et  obéissant 

serviteur, 
Du  Verdus.  » 

11  n'est  peut-être  guère  à  espérer  que  l'on  puisse  trouver  des 
indications  réellement  biographiques  sur  ce  mathématicien  Chau- 
veau  ;  il  ne  semble  avoir  composé  aucun  Ouvrage  et  son  rôle  fut 
évidemment  secondaire;  cependant  c'était  sans  aucun  doute  un 
professeur  estimé  et  jouissant  à  Paris  d'une  certaine  notoriété  (^). 
Mais  c'est  à  peu  près  aussi  tout  ce  que  l'on  peut  dire,  par  exemple, 
de  Pierre  Hérigone,  sur  lequel  M.  Gino  Loria  a  récemment  appelé 
l'attention  dans  ce  Bulletin;  Hérigone  est  pourtant,  lui,  l'auteur 
d'un  Ouvrage  réellement  remarquable  au  moins  au  point  de  vue 
pédagogique.  Quand  on  voit  les  éditeurs  de  la  Correspondance 
de  Iluygens  parvenir  à  donner  des  renseignements  précis  sur 
presque  tous  les  contemporains  hollandais  de  leur  grand  compa- 
triote, qui  ont  été  en  relations  avec  lui,  on  ne  peut  que  regretter 
de  voir  combien  peu  on  est,  en  France,  en  mesure  de  faire  des  re- 
cherches fructueuses  du  même  genre.  La  publication ,  certainement 
très  désirable,  du  Recueil  des  Lettres  de  Mersenne,  que  possède  la 


(')  Dans  le  Traité  des  coniques  de  Desargues,  qui  est  de  1689,  Chauveau  est 
mentionné  (page  226  de  l'édition  Poudra)  comme  ayant  conçu  «  depuis  peu  de 
jours,  un  instrument  bien  simple  cl  d'autant  plus  gentil  »  pour  le  tracé  de 
toutes  les  coniques. 


MÉLANGKS.  37 

Bibliollièquc  Nationale,  11c  potiriiul  inalhcureusemcnL  se  faire 
sans  poser  presque  aiilaiit  de  nouveaux  points  d'interrogation 
qu'elle  permettrait  par  exemple  d'en  résoudre  pour  la  Corres- 
pondance de  Descartes. 


^T-TTiQi'.^» 


QUELQUES  REMARQUES  SUR  LES  INTÉGRALES  PARTIELLES 

Pau   m.   Étienni:  DELASSUS, 
Professeur  au  Lycée  de  Douai. 

Dans  une  fonction  dépendant  de  deux  constantes  arbitraires 
a,  p,  remplaçons  ^  par  une  fonction  arbitraire  de  a,  soit  V(a)  et 
intégrons  par  rapport  à  a  entre  deux  limites  réelles  qui  peuvent 
dépendre  des  variables,  nous  aurons  des  svmboles  que  nous 
appellerons  des  intégrales  partielles,  et  que  nous  voulons  étudier. 

Théorème  I.  —  AS'/F(a,  ^)  dépend  effectivement  de  [j,  il  est 

impossible  que  S  =  /      F[a,  V  (a)]<3^a  ait  une  valeur  indépen- 
dante  6/e  V(a.). 

Supposons  que  S  ne  dépende  pas  de  V.  Prenons  arbitrairement 

V,(a)etQ(a);  posons 

t];(a)  =  Vi(a)-e(a), 

et  considérons  la  fonction  dépendant  d'une  constante  arbitraire, 

V(a)  =  aO(a)4-4;(a). 
Si  l'on  prend  cette  fonction  V,  S  ne  dépendra  pas  de  a,   donc 

en  posant  -77-  =  <ï>(a,  p).  En  particulier,  faisons  a  =  i ,  on  aura 

/       4>(a,Vi)0(a)f/a=o. 
Mais  V,  et  B  ont  été  choisies  arbitrairement,  ce  qui  prouve  immé- 


38  PREiMIÈRE  PARTIE, 

dialemcnl  que  Ton  doil  avoir 

*(a,V,)-o, 

quelle  que  soit  la  fonction  V,  ce  qui  veut  dire  que  F  ne  contient 
pas  p. 

Relations  entre  des  intégrales  partielles  dépendant  de  la 
même  fonction  arbitraire.  —  Soient  n  intégrales 

Si=/       Fi[a,V(a)]^a,  ...,         8,,=   /       F^a,  V(a)]  r/a, 

dont  tous   les  éléments  contiennent  V.    Admettons  qu'il  existe 
entre  elles  une  relation 

c)'(Si,  S2,  ....  S„)  =  o, 

vérifiée  quelle  que  soit  la  fonction  V. 

Posons  toujours,  pour  abréger,  —^  =  ^/(a,  ji). 
Soient  n  +  i  fonctions  de  a  choisies  arbitrairement 

et  considérons  la  fonction  V  dépendant  de  ti  constantes  arbitraires 

V(a)  =  «icpiH-  «202  +  -  .  -H-  a«9rt+  ^w+i  ; 

les  S  deviendront  n  fonctions  des  n  variables  a  et  il  j  aura  entre 
elles  une  relation  indépendante  de  «  ;  de  sorte  que  le  détermi- 
nant fonctionnel  sera  nul. 


doc 


=  o, 


ou 


(  Ai<ï>,+  Aa^oH--  •  •+  A„*I>/j)  cpi  doL  =  o, 


A,,  Ao,  .  .  ,,  An  désignant  les  mineurs  relatifs  à  la  première  ligne. 

Je  dis  que  la  parenthèse  doit  être  nulle  quels  que  soient  les  a 

et,  pour  cela,  je  vais  démontrer  qu'elle  est  nulle  pour  les  valeurs 

iji,,  {jio,  .  .  .,  \*.„  attribuées  aux  <7,   et  choisies  d'une  façon  quel- 


MÉLANGRS. 


39 


couqiic  ;  posons 


(^1^1 +••  .H-  {J-u^n-h  On-i-i  =  I'(a), 


Cl  désignons  par  0(a)  ce  que  devient  la  parenlhcsc  pour  ce  sys- 
tème de  valeurs  des  a.  Soit  cp]  (a)  une  fonction  quelconque  de  a. 
Déterminons  o,'^^,(a)  par  l'équation 

Si  nous  avions  fait  le  raisonnement  précédent  en  prenant 

Vi(a)  =  a\o[  4-rticp2-h...+  aAo„H-çp,\^.i. 

On  aurait  été  conduit  à  écrire  que  l'égalité 

/      (A}  *i  4-  A|  *,+...  +  AA<ï'«)  o\  doL  =  o 

serait  vraie  pour  toutes  les  valeurs  des  a*  ;  en  particulier,  faisons 
«]  =z  jji,,  a^  =  [Kfi^  la  parenthèse  se  réduira  à  0(a),  de  sorte  qu'on 
aura 


6(a)  cpl  <r/a  =  o, 


Mais  o]  étant  arbitraire,  il  en  résulte  que 

0(a)  =  o. 

Pour  éviter  les  confusions,  nous  changerons  de  variables  et  nous 
écrirons  l'identité 

Ai<ï>, [X„  V(Xi)]  +. . .+  A„*„(Xi,  V(XO]  =  o. 

On  pourra  la  remettre  sous  forme  de  déterminant  et  recommencer 
le  raisonnement  précédent  sur  sa  seconde  ligne,  parce  qu'on 
pourra,  sans  changer  les  mineurs  correspondants,  remplacer  cp, 
et  cp2  par  des  fonctions  arbitraires  et  ainsi  de  suite;  finalement, 
on  arrivera  à  l'identité 


*i[X,,v(X,)]    ...    *4Xi,v(Xoi 

*i[X,„V(X;,)]     ...     <î>„[X„,V(X„)J 


=  o, 


qui  doit  être  vérifiée  quelles  que  soient  les  variables  X,  les  fonc- 
tions o  et  les  constantes  a. 


4o  PREMIÈRE   PARTIE. 

Dans  ces  conditions,  V(X,),  .  .  .,  V()vO  pourront  être  considé- 
rées comme  des  valeurs  arbitraires,  absolument  indépendantes 
des  A,  et  on  sera  conduit  à  l'identité 


*I>l(X„,  IX„)       ...       <Pn{ln,  lX,i)    ! 

devant  être  vérifiée,  quelles  que  soient  les  valeurs  de  X,  .  .  ,\,i, 
jj.,  .  .  .  tji//.  11  est  évident  qu'une  pareille  identité  exige  qu'il  existe, 
entre  <^i(aL[i),  ...,  <ï>/i(aj^),  une  ou  plusieurs  relations  linéaires 
et  homogènes  à  coefficients  indépendants  de  a  et  (3.  Donc  : 

Théorème  II.  —  SUL  existe  entre  S, ,  S2,  .  .  . ,  S,;,  une  relation 
indépendante  de  v,  il  y  a  entre  <ï>,  (a,  [i) .  .  .  ^«(a,  (3)  une  ou 
plusieurs  relations  linéaires  et  homogènes  à  coefficients  con- 
stants. 

Soit 

une  telle  relation,  on  en  déduit 

GiFi  +  G2F2H-...-i-C,,F,,=  0(a), 

Q(a)^a,  on  en  conclut 

Gi  Oi  -f-  G2  02  -h  ...  -i-   G«  J,i  =   G/iH-1. 

Il  existe  donc  une  relation  linéaire  à  coefficients  constants 
entre  les  S. 

Supposons  qu'entre  les  S  existent  des  relations  non  linéaires 
j^  =  o,  rf2=  O7  •  •  ••  Il  y  aura  forcément  des  relations  linéaires 
entre  les  S^  supposons  qu'il  y  en  ait  m  distinctes  {m  <i  n).  On 
pourra  en  tirer  tn  des  S,  par  exemple  S|,  So,  ...,  S,„,  comme 
fonctions  linéaires  de  S,,^^,,  .  .  . ,  S^  et  entre  ces  fi —  m  dernières 
quantités,  il  n'existera  aucune  relation  linéaire  et,  par  suite, 
aucune  relation  non  linéaire.  Il  en  résulte  que,  si  dans  cT,  =  o, 
,^2  =:  o,  ...,  on  remplace  S,,  S2,  ...,  S^^  par  les  expressions 
trouvées,  on  obtiendra  des  identités  en  S^^.,.,,  .  .  .,  Sn-,  sans  quoi 
les  égalités  trouvées  constitueraient  des  relations  entre  S^^.,,  .  .  ., 
S,i.  Nous  exprimerons  ce   fait  en   disant  que  les    relations    non 


MÉLANGES.  4i 

linéaires  rf«  =  o,  ...  sonl  des  consé(|iienccs  ;il^él)rl(jucs  des  rela- 
tions linéaires  qui  exislenl  entre  les  S  et,  par  suite,  nous  aurons: 

TnÉoRiiME  in.  —  Il  ne  peut  exister  entre  S,,  S2,  .  .  -,  S,^  que 
des  relations  linéaires  et  les  relations  non  linéaires  qui  en 
sont  des  conséquences  algébriques. 

Remarque.  —  Ces  théorèmes  subsistent  lorsque  F  et  les 
limites  a,,  a2  dépendent  de  x^^  ^o,  .  .  .,  Xp.  Le  seul  changement 
est  que  les  coefficients  des  relations  linéaires  peuvent  dépendre 

Cherchons  maintenant  s'il  peut  exister  des  relations  indépen- 
dantes de  V  entre  Si,  S2,  .  .  .,  S„  et  les  valeurs  de  V  et  de  ses  dé- 
rivées aux  limites. 

Supposons  qu'il  j  ait  une  relation  entre 

S,,S2,...,S„,     V(aO,V'(aO,...,V('«)(aO,     V(a,),  ¥'(«0),  .  •  . ,  V^-^l^-Ka^); 

posons 

n  -\-  r^.in  -^  \x.  =  N , 

et  considérons  une  fonction  V  dépendant  de  N  constantes  arbi- 
traires 

V  =  «1  ^1 -h  «2  ?2  -+- •  •  • -^  <^JS  9N  +  9IN  + 1- 

On  sera  conduit,  comme  dans  le  théorème  II,  à  annuler  un  déter- 
minant dont  la  première  ligne  sera 

/<i>icpiO?a,  .  .  .,       <PnOid:t, 

?i(ai),cp;(ai),  ...,cpr(aiX     91(^2),  cpUaO,  . . . ,  cpf  ^^'Ca^). 

les  autres  lignes  étant  formées  de  la  même  façon  avec  c5o,  •  .  .,  cpj^. 
En  appelant  A,,  Ao,  ...,  A,,;  BJ,  BJ,  ...,  B'f;  B^,'...,  B'^^+!^ 
les  mineurs  relatifs  aux  éléments  de  la  première  ligne,  et  faisant 
usage  des  formules 

Ja.      1^2— îci  '  ao— aj 

,   ,,      ,         r^'  [oc  — ai      .      ,,,    ,       o(^J(a)l    , 

.}  L^2  -   '-^i    '  '^2—  ^1  J 


49.  PREMIÈRE   PARTIE. 


le  développemcnl  du  déterminant  pourra  s'écrire 


i 


Gomme  dans  le  théorème  II,  on  montre  que,  sans  que  l'égalité  cesse 
d'être  vérifiée  et  sans  changer  les  G,  on  |)eut  supposer  o,  arbi- 
traire.'Si  tous  les  G  ne  sont  pas  nuls,  la  quantité  entre  parenthèses 
sera  une  fonction  arbitraire  de  a  et,  par  suite,  l'intégrale  ne 
pourra  pas  être  nulle.  On  a  donc 

Go  =  ^1  =  C2  =  . . .  =  Ci„i+^.-hï  =  o, 

et  cela  quelle  que  soit  la  valeur  de  a.  En  formant  les  expressions 
des  G  et  remarquant  que  a,  ^  ao,  on  en  déduit  que  tous  les  B 
sont  nuls. 

B'.^'^^  est  un  déterminant  analogue  à  celui  que  nous  venons  de 
considérer,  mais  contenant  en  moins  une  colonne  relative  à 
Vja„^^*.  On  démontrera  de  la  même  façon  que  tous  ses  mineurs 
relatifs  aux  termes  en  V  sont  nuls,  et  ainsi  de  suite.  En  recom- 
mençant 2  m  +  [i.  fois  ce  raisonnement,  on  arrivera  à  faire  dispa- 
raître toutes  les  colonnes  relatives  aux  termes  en  v  et  l'on  arrivera 
à  un  déterminant,  formé  uniquement  avec  des  termes  de  la  forme 
f^ijdy.,  et  qui  devra  être  nul  identiquement.  Il  en  résultera, 
comme  dans  le  théorème  II,  qu'il  existera  au  moins  une  relation 
linéaire  et  homogène  entre  <ï>i,  Oo,  .  .  . ,  fp,i  et,  par  suite,  une 
relation  linéaire  entre  S,,  S2,  .  .  .,  S„. 

Désignons,  en  général,  par  ^1,^27  •  •  •  ^es  valeurs  de  ^  et  de  ses 
dérivées  auxlimites.il  est  évident  que,  si  Vest  arbitraire,  on  pourra 
considérer  les  Ç  comme  des  variables  indépendantes. 

Supposons  qu'il  y  ait  des  relations  cf  =  o  indépendantes  de  V 
entre  les  S  et  les  Ç.  Il  j  aura  forcément  des  relations  linéaires 
entre  les  S  ;  s'il  j  en  a  m  distinctes,  on  pourra  tirer  S< ,  So,  .. .,  S/„, 
par  exemple,  comme  fonctions  linéaires  de  S,„^,,  .  .  .,  S„,  entre 
lesquelles  n'existera  aucune  relation.  Portons  ces  valeurs  de  S», 
S2,  .  .  .,  Sf,i  dans  les  équations  ^=:  o,  S„i^, ,  .  .  .,  S,i  devront  dis- 
paraître identiquement,  car  s'il  n'en  était  pas  ainsi,  il  en  résulte- 
rait des  relations  entre  S,„_j.,,  .  .  .,  S,/.  11  ne  reste  alors  que  les  Ç; 
ceux-ci  doivent  aussi  disparaître  identiquement  puisque,  pouvant 
être  considérés  comme  des  variables  indépendantes,  il  ne  \)ein 
exister  aucune  relation  enlrc  eux.  On  a  donc  : 


MfaANGnS.  43 

Théorème  IV.  —  S^il  existe  entre  les  S  et  les  Ç  des  relations 
^  =z  o  indépendantes  de  v,  c'est  qu'il  y  a  entre  les  S  des  rela- 
tions linéaires  dont  les  équations  eT  =  o  sont  des  conséquences 
algébriques,  quelles  que  soient  les  valeurs  des  Ç  considérés 
comme  des  variables  indépendantes. 

Équations  aux  dérivées  partielles  vérifiées  par  une  inté- 
iirale  S.  —  Supposons  que  F  et  a,,  a2  dépendent  de  p  variables 
X\^  Xo-,  ....,  Xpdi  supposons  qu'il  existe  une  multiplicité  à  p  di- 
mensions \,u  pour  tous  les  points  de  laquelle  on  puisse  prendre  les 
dérivées  partielles  jusqu'à  l'ordre  m  sous  le  signe  f. 

Considérons  d'abord  le  cas  où  a<  et  a2  sont  des  constantes, 
toutes  les  dérivées  partielles  de  S  jusqu'à  l'ordre  m  seront  de 
même  forme  que  S.  11  pourra  y  en  avoir  qui  ne  dépendront  pas 
de  V  ;  désignons-les  par  S'^ ,  S!,,  .  .  . ,  les  autres  étant  représentées 
par  S,  S,,  S2,  ....  Soient,  en  outre,  8'^(^<,^2j  ••'■)^p)i 
82(^0  «^2 j  •  •  «7  ^p)^  '  '  •  les  valeurs  des  premières. 

Soit  une  équation  §=z  o,  d'ordre  au  plus  égal  à  w,  vérifiée  par  S 
dans  A,„. 

Premier  cas.  —  j'^r  o  ne  contient  aucun  S'.  On  est  alors  dans 
le  cas  du  théorème  II  et  5"  =  o  est  linéaire  ou  conséquence  algé- 
brique d'équations  linéaires  entre  S,  Si,  S2,  .... 

Deuxième  cas.  —  c)"  =  o  ne  contient  que  des  S'.  Soit 
les  fonctions  B, ,  B'^,  ...   vérifient  la  relation 

^(e;,6',,...)  =  o, 

et  la  relation  proposée  est  une  conséquence  algébrique  des  équa- 
tions linéaires 

S'i  =  6'i,         S2  =  6^,         

Troisième  cas.  —  rj'  =  o  contient  simultanément  des  S  et  des  S'. 
Si  ^(Si ,  So,  .  .  . ,  8, ,  8.,,  .  .  .)  =  o  se  réduit  à  une  identité  en  y  con- 
sidérant Si,  So,  .  .  .  comme  des  variables  indépendantes,  on  peut 
considérer  ^' =:  o  comme  conséquence  algébrique  des  équations 
linéaires   S',=:8',,   82=82,    ....   Sinon,   c'est    une    conséquence 


4Î  PREMIÈUE   PARTIE, 

algébrique  du  système 

i(Si,S2,  ...,o;,o;,...)-=o,      s;  =  o',,      s;  =  o;,      ...; 

la  première  de  ces  relations,  étant  dans  les  conditions  du  premier 
cas,  est  une  conséquence  algébrique  de  certaines  relations  linéaires 
^^  ::=  o,  ^^'2=  o,  ...  entre  les  S,  de  sorte  que  finalement  ^  =  o  est 
conséquence  algébrique  des  équations  linéaires 

oJ'i  =  o,         5^2=0,         ...,         Si  =  0'i,         82  =  02,         

Donc  : 

Théotiiîme  V.  —  Si  oLi  et  ol^  sont  des  constantes,  à  IHntéiieur 
de  ^mi  S  ne  peut  vét'ljlej',  comme  équations  aux  dérivées  par- 
tielles d^ordre  inférieur  ou  égal  à  m,  que  des  équations  li- 
néaires et  leurs  conséquences  algébriques. 

Supposons  maintenant  les  limites  variables  et  désignons  par  <t 
les  dérivées  prises  sous  le  signe  f  ^  comme  si  a<  et  ao  étaient  des 
constantes. 

Il  suffît  d'appliquer  la  règle  de  dérivation  pour  voir  que  toute 
dérivée  de  S,  d'ordre  au  plus  égal  à  m,  est  égale  au  o-  correspondant 
plus  une  certaine  fonction  a  des  Ç  qui  s'annule  quand  on  j  rem- 
place tous  les  Ç  qui  j  figurent  par  des  zéros.  Il  pourra  y  avoir,  en 
outre,  des  a-  qui  ne  dépendront  pas  de  V;  nous  les  désignerons 
par  d'  et  nous  représenterons  leurs  valeurs  par  B'. 

On  aura  donc 

Si  =«1-1-  ai,  S2=«2~l-<^25  '■'■,         S',  =  a'i -h  j'i  =  a'i -r- ô'i ,  .... 

Soit 

c^'(S,Oi,S2,    ...,Sj,02,    ..•)  =  0 

une  équation  d'ordre  au  plus  égal  à  m  vérifiée  par  S  dans  ^m-  On 
aura 

5'(S,  «iH-  0-1,  «2+  <^2,    .  .  .,  rt'i  H-  O'i,  «2-1-02,    .  .  .)  =  O. 

Cette  relation  est  dans  le  cas  du  théorème  IV;  elle  continuera 
donc  à  être  vérifiée  quand  on  y  remplacera  tous  les  Ç  par  des 
zéros,  ce  qui  revient  à  annuler  tous  les  a 

#(S,7i, 72,  .••,o;,02,  ...)  =  o. 


MÉLANGES.  45 

ou 

.f(S,a,,  <T2,  .  ..,  a'i,  a;,  .  .  .)  =  o. 
Donc  : 

Théorème  VT.  —  a,  et  ao  étant  variables,  si  dans  A,„,  S  vé- 
rifie une  équation  d^ ordre  inférieur  ou  égal  à  m,  cette  équation 
est  aussi  vérifiée  par  S  et  ses  dérivées  partielles  prises  comme 
si  cLi  et  y.2  étaient  des  constantes. 

Si  rT  conlient  des  S',  les  o-'  étant  indépendantes  de  V,  le  théo- 
rème I  montre  que  la  dérivée  correspondante  de  ^  doit  être  nulle, 
quels  que  soient  a  et  [^,  ce  qui  constitue  une  équation  linéaire  et  ho- 
mogène vérifiée  par  <ï>.  Si  5*  contient  des  S,  la  relation 

.T(S,  (T,,(7.2, . . .,  e'i, O2,  .  .  .)  =  o 

montre,  d'après  le  théorème  TI,  qu'il  doit  exister  une  relation  li- 
néaire et  homogène  entre  <î>  et  celles  de  ses  dérivées  qui  corres- 
pondent à  0-,,  0-0,  ...  ;  donc  nous  obtenons  le  théorème  suivant, 
qui  montre  bien  la  liaison  qui  existe  entre  les  intégrales  partielles 
et  les  équations  linéaires  : 

Théorème  VII.  —  a,  et  ao  étant  constantes  ou  variables,  si,  à 
V intérieur  de  A,„,  S  vérifie  une  équation  d'' ordre  inférieur  ou 
égal  à  m,  ^(.2:,,  ^27  ...,^;,,  a,  |3),  oit  a  et  [j  sont  considérés 
comme  des  constantes  arbitraires,  vérifie  au  moins  une  équa- 
tion linéaire  et  homogène  d^ ordre  au  plus  égal  à  m. 

Soit 

une  équation  linéaire  vérifiée  par  S,  5"  étant  une  fonction  linéaire 
et  homogène  de  S  et  de  ses  dérivées  jusqu'à  l'ordre  m. 

Cette  équation  devra  être  vérifiée  par  les  o-,  ce  qui  conduira  à 


X 


a. 

§{¥)dy.  =  0; 


l'intégrale  du  premier  membre  étant  indépendante  de  v,  c'est  que 


46  PREMIÈRE  PARTIE. 

c'est-à-dire 

Donc  : 

Théorème  VlII.  —  Si  S  véri/le  à  r intérieur  de  l,n  une  équa- 
tion linéaire  d'ordre  au  plus  égal  à  m,  ^{x^,  jCoi  •  •  ^t^p,  a,  |i), 
oii  l'on  considère  a  et  [j  comme  des  constantes  arbitraires,  est 
solution  de  l'équation  sans  second  membre. 

Sur  le  degré  de  généralité  des  fonctions  S.  —  Lorsque  l'élé- 
ment de  S  contient  effectivement  V,  S  dépend  effectivement  de  V; 
peut-il  arriver  qu'en  réalité  S  ne  dépende  que  d'un  nombre 
limité  de  constantes  arbitraires?  Nous  allons  traiter  celte  question 
en  supposant  a,  et  ao  constantes. 

Supposons  que  S  dépende  de  n  constantes  arbitraires 

S  =  6(Xi,  X2,    .  .  .,  iTp,  II.  X2,    . . .,  X„). 

Prenons  arbitrairement  /? -f- i  systèmes  de  valeurs  de  jc,, 
.2*21  •  •  •  ;  x^p 

/y»0  /y»0/y»l  'y»  /y»'?  /ytH 

'*'1>    ••:    ^/;?   '^  l  ^    ,  .  .  ^  u.  p,    •••;    «*!'    •••?   '*'/;' 

Soient  Sq,  S|  ,  . . .,  S«  les  valeurs  correspondantes  de  S,  Sq,  • . ., 
S/i  seront  n  -f-  i  fonctions  des  n  variables  a,,  Ao,  ..  .,  )>//• 

On  peut  donc  dire  qu'il  existe  entre  Sq,  S,,  ....  S/,  une  rela- 
tion indépendante  de  )v, ,  Ao,  ...,  A//7  c'est-à-dire  de  V,  et  cela  a  lieu 
quels  que  soient  les  systèmes  de  valeurs  de  .r,,  x-^i  ...,  .^ï'/j.  Par 
l'application  du  Chapitre  II,  on  aura  une  identité  de  la  forme 


i=z\. 


Fixons  arbitrairement  les  n  derniers  systèmes  de  valeurs  de  x.  Il 
restera  une  identité  en  ^J,  ...,  x^  et,  en  supprimant  l'indice  o 
inutile  maintenant,  on  obtiendra 

/"« 


/=i 


Réciproquement,  supposons  que  <I>  soit  de  cette  forme  et  ne 
puisse    pas   se  réduire  à  une    forme  analogue   avant    moins    de 


MÉLANGES.  47 

n  termes.  \Li\  intégrant  par  ra])|)ort  à  j'i,  on  aura 

i  —  n 

F(r,,.r2,  ...,.r/„a,  p)  =  U(.r,,  . .  .,  a^,,,  a)  +  ^  (p,(^i,  .  . . ,  ar,/)  W,Ca,  P), 


i  =  1 


et  par  suite 


a,  '  ~  "  a, 

S=    /       U(.r,,  ...,^/,,  a)<ia-h  V  7,('^i^  •  ••'■^/O  /       ^r/[a,  V(a)]  c^a; 

la  première  intégrale  est  une  fonction  déterminée  des  x  et  les  /? 
dernières  sont  des  constantes.  On  peut  donc  écrire 


i  =  i 


Cette  expression  dépend  efTectivement  de  n  constantes  arbi- 
traires, car,  si  l'on  pouvait  réduire  le  nombre  de  ces  constantes, 
on  pourrait,  d'après  la  première  partie  de  la  démonstration,  ré- 
duire ^  à  une  forme  analogue  à  celle  que  nous  avons  supposée, 
mais  a^ant  moins  de  n  termes. 

Nous  remarquerons  que  si  S  dépend  d'un  nombre  limité  de 
constantes  arbitraires,  il  en  dépend  linéairement. 

Dans  un  grand  nombre  de  cas  on  a  à  considérer  des  fonctions  F 
de  la  forme  ^J\x^,  ...,  Xp^  a);  la  condition  précédente  se  sim- 
plifie :  la  forme  à  laquelle  on  arrive  est 

/=« 
/(^i,  ...,Xp,  a)  =  2^0i{xu  ...,a7p)t];i(a), 

i  =  1 

et  S  sera  alors  fonction  linéaire  et  homogène  des  n  constantes  ar- 
bitraires dont  elle  dépendra. 
Soient  11  intégrales  partielles 

S,=    r    'F,[a,V(a)]r/a,  ...,         S,,=  f   '  F„[a,  V(a)]  r/a. 

Si  nous  supposons  qu'il  n'existe  aucune  relation  linéaire  et 
homogène  entre  ^i  (a,  (^),  . . .,  <ï>«(a,  p),  il  ne  pourra  exister  aucune 
relation  entre  Si,  S2,  . .  .,  S/^  et,  par  suite  S,,  .  . .,  S,i  pourront  être 
considérées   comme    des    constantes    arbitraires    indépendantes. 


48  PRKlVIIÈlUi    PAKTIE. 

Mais  rien  ne  prouve  a  priori  qu'on  peut  leur  faire  |)renclre  w\\ 
syslème  de  valeurs  choisi  sans  la  moindre  resLriclion.  Pour  avoir 
une  propriété  précise,  supposons  que  tous  les  F  soient  de  la 
forme  py"(a)  et  qu'il  n'existe  aucune  relation  linéaire  et  homo- 
gène entre  les/". 

Donnons-nous  arbitrairement  un  système  «,,  «2?  •••>  <^n  ^t 
voyons  si  l'on  peut  déterminer  v  satisfaisant  aux  n  équations  si- 
multanées 

Soient  Vi  (a),  ...,  V„(a),  /?  fonctions  indéterminées  jusqu'à 
présent.  Posons,  en  général, 


/,v, 

-1 


da. 


le  déterminant  D  formé  par  les  o-f  ne  peut  être  nul  quelles  que 
soient  les  fonctions  V,  car  il  en  résulterait  par  un  raisonnement 
analogue  à  celui  du  théorème  H,  que  les  /  seraient  liées  par  une 
relation  linéaire  et  homogène.  On  peut  donc  choisir  des  Va  de  façon 
que  l'on  ait  D  ^  o  ;  posons 

On  aura 

S,-=X,aJ  +  X2a|  +  ...-i-X„cr;.S 

et,  puisque  1)^0,  les  équations 

Xi  aï  -1-  X2  (tJ  -i- .  .  .  -f-  X,i  a^'-  =  «j  (  ?  =  1 ,  2,  .  .  .,  n) 

détermineront  toujours  les  X. 

Ceci  posé,  nous  allons  étudier  d'une  façon  plus  détaillée  les  in- 
tégrales de  la  forme 

a^J  oLo  étant  des  constantes. 

D'après  les  théorèmes  donnés  au  début,  on  voit  immédiatement 
le  résultat  suivant  : 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  S  ne  puisse 
vérifier,  quelle  que  soit  V,  aucune  équation  aux  dérivées  par- 


liellcs,  est  que  f^  où  Von  considère  a  comme  une  constante  ar- 
bitraire, ne  soit  solution  d^ aucune  équation  aux  dérivées  par- 
tielles linéaire  et  homogène. 

Supposons  qiic/(.r,,  x-,-,  •  .  • ,  Xp^  a),  satisfaisant  à  cette  condi- 
tion, soit  au  voisinage  de  ^'J,  x\^  .  .  .,  x\  a^  une  fonction  analy- 
tique de  ^< ,  Xo,  .  .  . ,  Xp^  a.  Prenons  un  point  quelconque x\^  .  .  . , 
x^  au  voisinage  de  x\.,  ,  .  .,  x^  et  considérons  /  et  ses  dérivées 
partielles  par  rapport  à  ^, ,  .  .  . ,  ^^  en  ce  point.  Nous  avons  ainsi 
des  fonctions  de  a  et,  sauf  en  certains  points  particuliers,  il  ne 
pourra  exister  aucune  relation  linéaire  et  homogène  entre  un 
nombre  fini  quelconque  de  ces  fonctions.  Il  résulte  alors  de  la 
remarque  faite  précédemment  qu'on  pourra  se  donner  arbitraire- 
ment les  valeurs  en  ^J,  . .  ,  ^  x^  d'un  aussi  grand  nombre  de  dé- 
rivées partielles  de  S  qu'on  voudra.. 

On  peut  encore  l'exprimer  en  disant  qu'o/i  peut  déterminer 
V(a)  de  façon  que  S  ait  en  x\^  .  . .  ^  Xp  un  contact  d'ordre  aussi 
élevé  qiC  on  voudra  avec  une  fonction  quelconque  de  x^^  X2-,  .  •  . , 
Xp  analytique  en  x",  .  .  . ,  x'^. 

Soit  y(^4,  .To,  ...,^pa)  une  telle  fonction;  elle  permet  d'en 
former  une  infinité  d'autres.  Soit  o(.r,,  ^25  •  •  •  5  -^/jj^)  une  fonction 
telle  qu'il  existe  une  relation  linéaire  et  homogène  à  coefficients 
indépendants  de  a  entre  f^  cp  et  leurs  dérivées  partielles.  Si  o  vé- 
rifiait une  équation  linéaire  et  homogène,  on  en  pourrait  facile- 
ment conclure  que  y  vérifierait  aussi  une  équation  linéaire  et  ho- 
mogène. Donc  cp  possède  la  propriété  fondamentale  àe  f.  En  outre, 
si  dans  z>  nous  faisons  le  changement  le  plus  général  de  variables, 
remplaçant  ^,,  ^o,  .  .  . ,  Xp  par  x\^  x'.j_,  .  .  . ,  ^'  cp  deviendra  une 
fonction  de  ^', ,  .  .  . ,  ^'  qui  conservera  encore  la  ])ropriété  fonda- 
mentale de  f. 

Dans  le  cas  de  deux  variables,  il  est  facile  de  trouver  efl'ective- 
ment  une  de  ces  fonctions,  c'est 

car  un  calcul  facile  montre  que,  si  l'on  suppose  que  cette  fonction 
vérifie  une  équation  linéaire  et  homogène,  il  en  résulte  que 
4^(a)  est  une  fonction  algébrique  de  a,  ce  qui  est  absurde. 

Démontrons  maintenant,  d'une  façon  générale,  l'existence  de 
ces  fonctions  f. 

Bull,  des  Sciences  mathcni.,  2"  série,  l.  .\I\.  (  Fcvx-icr  iScj').)  4 


jo  PKEMIËHE   PAUTIE. 

Nous  savons    que  la    condition  nécessaire    el  suffisante   pour 
qu'entre  n  fonctions 

ne  puisse  exister  aucune  relation  linéaire  et  homogène  à  coeffi- 
cients indépendants  de  a,  est  que  le  déterminant 


. 

/i 

fa 

àA 

àfa 

0-x\ 

d% 

ô-\f\ 

à-'fa 

ôa.'^-^ 

doi^-l 

ne  soit  pas  nul  identiquemenl. 

Soient 

f^f^ 

U 

'  '  '  1 

f  et  toutes  ses  dérivées  partielles  par  rapport  à  x^^  .ro,  .  .  . ,  Xy, 
rangées  dans  un  ordre  quelconque.  Appelons  A„  le  déterminant 
précédent  relatif  k  f,  f^^  ,  ,  . ,  f,i  et  considérons  la  suite 

Ao,  Al,  A,, 

Si  un  terme  de  cette  suite  est  identiquement  nul,  il  en  est  de 
même  de  tous  les  suivants. 

Si  donc  f  vérifie  une  équation  linéaire  et  homogène,  tous  les 
termes  de  cette  suite  seront  identiquement  nuls  à  partir  d'un  cer- 
tain rang. 

Supposons  que  f  soit  une  fonction  analytique  de  x^^  x-i^  .  .  . , 
Xp^  a  au  voisinage  de  x\^  .  .  . ,  :r" ,  a".  Il  en  sera  de  même  de  tous 
les  A.  Il  en  résulte  que  tous  les  A  qui  seront  identiquement  nuls 
seront  nuls  pour  x\.  .  .  .,  .r"  a".  Soient 

\  0       \  0  \  0 

^^•)  '^  \i   •  •  '  1  -^ii        •  •  ' 

les  A  pour  ces  valeurs  des  variables.  Cette  suite  définira  un  déter- 
minant infini  ('),  lequel  sera  nul  si  y  vérifie  une  équation  linéaire 
et  homogène. 

Si  donc  nous  pouvons  former  une  fonction  y  analytique  au  voi- 


(')  Helgk  vox  Koch,  Sur  les  déterminants  infinis  et  les  équations  dijj'éren- 
ticlles  linéaires. 


MftLANGKS.  r)r 

sinagc  de  a.'",  .  .  • ,  ^l,,  ^-'S  et  Icllc  que  ce  délcrminanl  Infini  ne 
soil  pas  nul,  on  pourra  rigoureusement  en  conclure  que  /  ne 
peut  vérifier  aucune  équation  linéaire  et  homogène. 

Ce  déterminant  a  pour  éléments  les  valeurs  en  jc",  .  .  . ,  .t^^,,  a'> 
de /et  de  toutes  ses  dérivées  partielles  par  rapport  à  Xi ,  ^u,  .  .  . , 
Xp,cL.  Donnons-nous  a  priori  un  déterminant  infini  de  forme 
normale  dont  la  valeur  ne  soit  pas  nulle.  Avec  ses  éléments, 
nous  pourrons  reformer  une  série  en 

et  le  déterminant  étant  de  forme  normale,  cette  série  sera  abso- 
lument convergente  si 

et  représentera,  dans  cet  intervalle,  une  fonctiony(j?;,  ,^05  ••  -v^/^'  ^O 
ayant  la  propriété  demandée. 

Intégrales  partielles,  solutions  d'équations  linéaires  aux 
dérivées  partielles.  —  Soit  Ç(^)  =  o  une  équation  linéaire  et 
homogène  d'ordre  n  di p  variables  x^ ,  ^2?  •  •  •  5  ^p- 

Si  nous  connaissons  une  intégrale  dépendant  d'une  constante 
arbitraire  y(^i ,  ^25  -  •  • -,  ^n  ^)  ^^  peut  toujours  la  généraliser  en 
formant 

S=   /      f{xi,...,Xp,'x)\(o(.)doL         (ai  et  a3  constantes). 

"a, 

Quelle  que  soit  la  fonction  V,  S  vérifie  toujours  Ç(S)  =  o.  Il  peut 
arriver,  comme  nous  l'avons  vu,  que  S  ne  dépende  en  réalité 
que  d'un  nombre  limité  de  constantes  arbitraires. 

Ampère,  dans  son  célèbre  Mémoire  (')  a  donné  une  définition 
de  l'intégrale,  qu'on  peut  exprimer  ainsi  : 

Pour  qu'une  intégrale  soit  générale,  il  faut  qu'elle  ne  puisse, 
en  aucun  point,  vérifier,  quelles  que  soient  les  arbitraires  qui  j 
figurent,  aucune  équation  non  conséquence  de  l'équation  pro- 
posée. 

Nous  disons  qu'une  équation   est  conséquence  de  Ç(^)  si  elle 


(')  Ampère,  Considérations  générales  sur  les  intégrales  des  équations  aux 
diJJ'érentielles  partielles  {Journal  de  l'Ecole  Polytechnique,  WIII*"  Cahier). 


52  PKEMIEIIE   PAHTIH. 

est  une  conséquence  algébrique  de  l'équation  C(z)  et  des  équa- 
tions dérivées. 

En  outre,  Ampère  cite  une  équation  du  second  ordre,  à  deux 
variables,  pour  laquelle  il  y  a  une  intéî^rale  partielle  dépendant 
d'une  seule  fonction  arbitraire  d'une  seule  variable  et  satisfaisant 
à  sa  définition  de  l'intégrale  générale.  Nous  nous  proposons  de 
démontrer  que  ce  fait  est  général. 

Théokème.  —  La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour 
que  S  soit  V intégrale  générale  d^ Ampère  est  que  f  ne  vérifie 
aucune   équation  linéaire  et  homogène^   non  conséquence  de 

Supposons  que  S  vérifie  une  équation  H(S)  =  o  non  consé- 
quence de  Ç(S)  =  o.  En  vertu  du  théorème  V,  S  vérifiera  un 
certain  nombre  d'équations  linéaires  parmi  lesquelles  se  trouvera 
Ç(S)  =  o,  et  dont  H(S)  =  o  sera  [une  conséquence  algébrique. 
D'après  la  forme  de  S,  ces  équations  seront  homogènes,  et  l'une 
d'elles  au  moins  ne  sera  pas  conséquence  de  Ç(S)  =  o,  sinon 
H(S)  =  o  serait  conséquence  de  s(S)  =  o.  Soit  K(S)  =  o  cette 
équation.  D'après  le  théorème  VllI,  f  devra  vérifier  K(^)=ro, 
c'est-à-dire  une  équation  linéaire  et  homogène  non  conséquence 
de  <^{z)  =  o. 

Réciproquement,  si/* vérifiait  une  telle  équation  K(^)=  o,  on 
en  déduirait  K(S)  =  o  et  S,  vérifiant  une  équation  non  consé- 
quence de  Ç(^)  =  o,  ne  serait  pas  l'intégrale  générale  d'Ampère. 

Si  /possède  cette  propriété,  il  est  évident  qu'elle  se  conser- 
vera par  un  changement  quelconque  de  variables  et,  par  suite, 
nous  pouvons  nous  borner  à  étudier  les  équations  qui  possèdent 

un  terme  en  -7-77  • 

On  voit  immédiatement  que  toute  équation  linéaire  et  homo- 
gène non  conséquence  de  t^(3)  =  o  peut  alors  se  ramener,  au 
moyen  de  Ç(^)  =  o  et  de  ses  dérivées,  à  ne  contenir  que  des  dé- 
rivées prises  n —  i  fois,  au  plus,  par  rapport  à  a^i  et  que,  réci- 
proquement, toute  équation  de  cette  forme  ne  peut  être  consé- 
quence de  s(^)  =  <^-  Nous  sommes  donc  ramenés  à  chercher  les 
fonctions  f(Xi ,  .  .  . ,  Xp,  a)  solutions  de  t{z)  =  o  et  ne  vérifiant 


MÉLANGES.  53 

aucune  cquation  lun''(iirc  ci  lioniogcne  ne  conienani  que  des 
d('/-ivces  prises  n  —  i  fois  au  plus  par  rapport  à  x^. 

Supposons  qu'en  x".  .  , . ,  x^  tous  Jcs  coefficients  de  Ç(-î)  =  o 

soient  analytiques  et   que  celui  de  — ^  ne  soit  pas  nul.  l^e  tliéo- 

rème  fondamental  de  Gauchy  montre  que,  si  l'on  se  donne  des 
fonctions 

analytiques  au  voisinage  de  x",  ^!J,  .  .  .  ,.r"  ,a'^,  il  existera  une  inté- 
graley(^, ,  x^i  •  •  • ,  ^p-,^-)  vérifiant  Ç(^)  =  o,  analytique  au  voisi- 
nage de  x^^^  .  .  .,  .2:",  a",  et  telle  que /"et  ses  n  —  i  premières  déri- 
vées par  rapport  à  x^  se  réduisent,  pour  x^  =  x^\  respectivement. 
à  cpo,  'f,,  .  .  .,  cp//_<. 

Considérons  la  suite  des  dérivées  de  y  prises  n  —  i  fois  au  plus 
par  rapport  à  ^,, 


df  ^           dn-yf        df          d\f 
*^'  dx^'     '  '      dx'}-^  '      dx2  '      Ox.2  OXi  '  '  ' 

'      dXiâx'l-^ 

If 

àx3 

et  formons  les  déterminants 

Ao,   Al,   A2,    .  .  ., 

comme  nous  l'avons  déjà  fait.  Si  y  vérifie  une  équation  non  con- 
séquence de  Ç(;:î)  =  o,  tous  ces  déterminants  seront  identique- 
ment nuls  à  partir  d'un  certain  rang,  et  comme  ils  sont  tous  des 
fonctions  analytiques  de  ^,,  ...,^y,,  a  au  voisinage  âe  x^^^ ...,  x^  ,c(.^, 
ils  seront  encore  identiquement  nuls  si  l'on  y  fait  Xi  =  x\. 

Soit 

A'     A'     A' 

^0'     '^1»     ^^2'     ••• 


la  suite  des  A  dans  lesquels  on  a  fait  X\  =  x\. 

Il  nous  faut  chercher  une  fonctiony  pour  laquelle  cette  suite  ne 
soit  pas  formée  de  zéros  à  partir  d'un  certain  rang.  Or,  nous 
pouvons  remarquer  que  cette  suite  est  formée  avec  les  fonctions  es 
prises  dans  l'ordre 

?0,    Tl.     •••.    ^n-U    ^.     ••-     ^^;    ^.    ••-    -J^^     "" 

En  continuant  un  raisonnement  déjà  fail,  on  verra  qu'en  se 
donnant  un  déterminant  infini  de  forme  normale  et  dont  la  \aleur 


54  PIUiMlEUE   PAIlïlE. 

n'est  pas  nulle,  on  pourra  rcconslilucr  cpo,  'j,,  ...,  cp,^  sous  forme 

de  séries  ordonnées  en 

^yi       o^  0  ^y»        /y»  0  f^     ri  0 

Jj  2  —  •*'2'       •••)       '^  Il        "^  ni       ^  -*■» 

absolument  et  uniformément  convergentes  sous  la  condition 

Ces  fonctions  cp  satisferont  à  la  condition  posée  puisque  la  suite 
des  A  n'aura  pas  zéro  pour  limite  et  elles  permettront  de  refor- 
mer f  sous  forme  de  série  ordonnée  en 

/y*  ,    /y>  0  /y> /y»  0  /y*        /y»  0  /y     /y  0 

Nous  avons  donc  : 

Théorème.  —  Etant  donnée  une  équation  linéaire  et  homo- 
gène à  coefficients  analytiques,  d^ordre  quelconque  et  à  un 
nombre  quelconque  de  variables,  il  est  toujours  possible  de 
trouver  des  symboles 


,  Xp^  a)  V(a)  da, 


ne  contenant  comme  arbitraire  cjue  V(a)  et  satisfaisant  à  la 
définition  de  V intégrale  générale  cV Ampère. 

On  voit  immédiatement  que  les  fonctions  initiales  de  S,  c'est- 

a-dire  les  fonctions  auxquelles  se  réduisent  o,  -r—  ?  •••>  y-^f  pour 
x^  =  x^^  sont  respectivement 

Mais  par  hypothèse  il  n'existe  en  ^2,  ....  x^  aucune  relation 
linéaire  et  homogène  entre  Oo?  ^\i  -  -  •■>  'f//-<  et  leurs  dérivées  par- 
tielles. On  pourra  donc  se  donner  arbitrairement  les  valeurs  en 
x?y^  . . .,  Xp  d'un  aussi  grand  nombre  de  dérivées  qu'on  voudra  de 

?0,   ?.,    ...,   ^n-i- 

Il  en  résulte  immédiatement  qu'on  pourra  déterminer  V  de 
façon  que  S  ait  en  ^J,  . . .,  ^î,  un  contact  d'ordre  aussi  élevé  qu'on 
voudra  avec  une  intégrale  quelconque  de  Ç(^)  analytique  en 
*^  t  J   '  -  •  J  '^  p' 


Il  y  en  aiM-a  (jiii  pourront  èlvo  rigoureusement  représentées 
par  S,  mais,  en  général,  ce  fait  ne  sera  pas  possible  et  S  ne  pourra 
représenter  qu'asym|)lotiqiiement  les   intégrales   au   voisinage  de 

Ces  remarques  semblent  bien  mettre  en  évidence  que  la  défini- 
tion de  l'intégrale  générale  donnée  par  Ampère  est  tout  à  fait 
distincte  de  la  définition  adoptée  ultérieurement  à  la  suite  des 
travaux  de  Gauchj. 

Si  une  intégrale  est  générale  au  sens  actuel,  elle  sera  forcément 
générale  au  sens  d'Ampère,  mais  la  réciproque  n'est  pas  vraie. 

Ainsi,  nous  pouvons  montrer  par  un  calcul  facile  que,  si  aucun 
des  deux  nombres  [3,  P'  n'est  un  entier  négatif  ou  nul,  la  fonction 

(x  —  a)-P(^  — a)-P' 

est  une  solution  de  E(p,  P')  =z  o  ne  vérifiant  aucune  équation  non 
conséquence  de  E(p,  p')  =  o,  par  suite 


(^  — a)-.«(7  — a)-P'V(^)^a 


est  l'intégrale  générale,  au  sens  d'Ampère,  de  E([3,  ^')  =  o  et  les 
travaux  de  M.  Appell  (  ^  )  montrent  que,  pour  obtenir  véritablement 
l'intégrale  générale,  il  faut  employer  deux  signes  d'intégration 
partielle  de  façon  à  avoir  deux  fonctions  arbitraires  indépendantes. 

Pour  terminer,  considérons  une  équation  ^(5)=  o  du  second 
ordre,  à  deux  variables  x  ety,  à  l'intérieur  d'une  région  où  elle  a 
ses  caractéristiques  réelles  et  distinctes  et  ses  coefficients  analy- 
tiques. 

Soit /(a:,  y,  a)  une  intégrale  analytique  possédant  deux  lignes 
singulières  distinctes  dépendant  de  a  et  traversant  la  région  con- 
sidérée. Il  résulte  d'un  théorème  général  que  j'ai  démontré  (-) 
que  ces  lignes  singulières  seront  formées  par  les  deux  systèmes  de 
caractéristiques,  de  sorte  que,  si  ces  lignes  sont 


(')  Appell,  Sur  une  équation  linéaire  aux  dérivées  partielles  {Bulletin  des 
Sciences  mathématiques  ;  1882). 

(^)  Dklassus,  Sur  les  équations  linéaires  aux  dérivées  partielles,  à  carac- 
téristiques réelles  {Comptes  rendus,  2  juillet  189'}). 


5r.  PUEMIÈKE  PARTIE, 

en  posant 

dx  dx 

\  et  \x  seront  les  deux  racines  de  l'équation  caractéristique. 

Supposons  que,  par  un  changement  de  variables,  on  ait  ramené 

l'équation  Ç(i;)  =  o  à  avoir  un  terme  en  y^^  c'est  dire  que  l'équa- 
tion caractéristique  n'aura  aucune  racine  nulle  ou  encore  qu'aucune 
des  quantités  1,  p.  ne  sera  nulle  identiquement. 

Supposons  que  /  vérifie  une  équation  linéaire  et  homogène, 
non  conséquence  de  'C{z)  =  o.  Cette  équation  ne  contiendra  que 
des  dérivées  prises  une  fois  au  plus  par  rapport  à  .2;  et  de  ce  que  /' 
est  analytique  et  dépend  d'une  constante  arbitraire,  il  résultera 
qu'on  pourra  toujours  supposer  ses  coefficients  analytiques. 

Si  une  telle  équation  est  d'ordre  /^,  ses  termes  d'ordre  n  seront 

a  - — ^ ,  +  0  - —  1 

dxdy'^-^  dy>^ 

son  équation  caractéristique 

aura  toutes  ses  racines  réelles  et  il  y  en  aura  au  plus  une  non 
nulle  identiquement.  Si  /  la  vérifiait,  forcément  cp(a:,  j)  =  a  et 
^(^7  y)  =  ^  seraient  des  caractéristiques  et,  par  suite,  A  et  [i.  qui 
sont  distinctes  et  différentes  de  zéro  devraient  vérifier  l'équalion 
caractéristique^  ce  qui  est  impossible.  Il  en  résulte  que  f(^x,y^  a) 
ne  peut  vérifier  aucune  équation  linéaire  et  homogène  non  con- 
séquence de  ^('S)- 

Ce  théorème  permet,  par  exemple,  de  montrer  que  la  solution 
i^x  —  '^Y^{y  —  a)~P'  de  E(P,  P')  possède  cette  propriété  si  ^ 
et  [^'  ne  sont  pas  des  entiers  négatifs  ou  nuls,  car  elle  possède  alors 
les  lignes  singulières  essentielles. 

37  =  a,       ^  =  a. 


COMPTIiS   MCNDUS   I- T  ANALYSES.  67 


COMPTES   RENDUS   ET  ANALYSES. 

LUCAS  (Edouard).  —  Rkcrkvtions  mathématiques,  l.  IV,  in-8°,  viii-266  p. 
Paris,  Gauthier-Villars  et  fils,  1894. 

Le  succès  qui  a  accueilli  les  Volumes  précédents  des  Récréa- 
tions mathématiques  attend  le  tome  IV  et  dernier,  qui  a  été  pu- 
blié par  les  soins  des  amis  du  regretté  Edouard  Lucas,  MM.  H. 
Delannoy,  A.  Laisant,  E.  Lemoine,  membres  de  la  Société  mathé- 
matique de  France.  Les  Récréations  qui  paraissent  aujourd'hui 
et  terminent  la  série  portent  les  titres  suivants  : 

Le  Calendrier  perpétuel; 

V Arithmétique  en  boules; 

L' Arithmétique  en  bâtons; 

Les  Mérelles  au  wif  siècle; 

Les  carrés  magiques  de  Fermât; 

Les  réseaux  et  les  dominos; 

Les  Régions  et  les  quatre  Couleurs  ; 

La  Machine  à  marcher. 

La  dernière,  qui  se  rattache  à  la  théorie  des  systèmes  articulés, 
a  pour  but  principal  de  faire  connaître  en  France  un  mécanisme 
imaginé  par  M.  Tchebichef.  La  précédente  se  rapporte  au  célèbre 
problème  des  quatre  couleurs.  Supposons  qu'étant  donnée  une 
Carte  géographique  divisée  en  régions,  on  se  propose  de  la  co- 
lorier de  telle  manière  que  deux  régions  séparées  par  une  limite 
n'aient  jamais  la  même  couleur.  Depuis  longtemps,  les  éditeurs 
avaient  constaté  par  l'expérience  que  quatre  couleurs  suffisent 
dans  tous  les  cas.  Depuis  longtemps  aussi,  ce  fait  si  curieux  et 
encore  si  peu  connu  avait  attiré  l'attention  des  géomètres  anglais  ; 
mais  c'est  M.  Kempe  qui,  le  premier,  en  a  donné  en  1879  une 
démonstration  satisfaisante,  bientôt  imprimée  dans  le  tome  II  de 
V American  Journal.  M.  Lucas  explique  d'une  manière  très  claire 
toutes  les  recherches  sur  cette  intéressante  question. 

La  quatrième  Récréation  est  consacrée  au  Jeu  des  Mérelles.  Il 
s'agit  ici  non  plus  de  la  Marelle  vulgaire,  passe-temps  de  nos  en- 
fants dans  cpielques  pays;   mais  d  une  Marelle  complexe,  cojnprc- 

BulL  des  Sciences  mathéin.,   ;'  scric,  t.  \IX.  (Mais  i8gô.)  3 


58  PKIiMIKUK    PAUTIK. 

liant  trois  carrés  compris  les  uns  dans  les  autres.  Il  nous  paraît 
inutile  de  donner  plus  de  détails.  Nos  lecteurs  connaissent  déjà 
la  manière  dont  Lucas  tiaitait  les  sujets  de  cette  nature,  et  il  nous 
suffira  de  leur  dire  cpie  le  VoIumk»  dont  nous  rendons  comple 
tiendra  sa  place  à  colé  des  précédents.  G.    I). 


Hugo  GVLDÉN.  —  Traltk  analytique  des  orbites  absolues  des  huit  pla- 
nètes PRINCIPALES.  Tome  1  :  Théorie  générale  des  orbites  absolues,  iii-4", 
viii-578  p.  Stockholtii,  F.  et  G.  Beijcr,  iSgS  ;  à  Berlin,  chez  Mayer  et  Millier; 
à  Paris,  cliez  A.  Ilermann.  8,  rue  de  la  Sorbonne. 

M.  Gyldén,  après  de  longues  et  patientes  recherches  théoriques 
sur  le  mouvement  des  corps  célestes,  publiées  en  grande  partie 
dans  les  Acta  matlietnatica  et  bien  connues  de  tous  ceux  qui 
s'intéressent  à  la  Mécanique  céleste,  vient  de  commencer  la  pu- 
blication d'un  grand  Ouvrage  dont  le  titre  seul  indique  Textrême 
importance.  Remercions  tout  d'abord  M.  Gjldén  d'avoir  choisi 
la  langue  française  pour  écrire  son  nouvel  Ouvrage;  et  si,  en 
France,  on  s'en  réjouit  particulièrement,  personne  ailleurs,  main- 
tenant qu'on  n'écrit  plus  en  latin,  ne  pourra  le  regretter,  car 
c'est  la  langue  des  maîtres  de  la  Mécanique  céleste,  Lagrange  et 
Laplace,  pour  ne  citer  que  ceux-là. 

Dans  la  courte  préface  qui  précède  le  premier  Volume,  seul 
paru  jusqu'à  présent,  M.  Gyldén  nous  avertit  qu'il  poursuit  un 
double  but  :  il  se  propose  d'abord  d'établir  des  méthodes  qui  ne 
se  trouvent  pas  en  défaut  dans  les  cas  difficiles,  et  qui  ne  condui- 
sent pas  à  des  développements  divergents  pour  les  inégalités  du 
mouvement  des  planètes  et,  en  second  lieu,  d'établir  les  théories 
numériques  des  planètes  principales  indispensables  à  l'Astro- 
nomie, sur  le  fondement  des  nouvelles  méthodes.  Toutefois,  son 
intention  n'est  pas  de  mener  les  calculs  numériques  à  un  tel 
degré  de  perfectionnement  qu'on  puisse  s'en  servir  pour  la  con- 
struction des  Tables,  et  il  se  borne  à  calculer  les  ternies  élénien- 
laires  ou  bien,  ce  qui  revient  au  même,  les  perturbations  sécu- 
laires et  les  éléments  absolus. 

jl  ajoute  que,  les  perturbations  séculaires  niunlaiil  dans  \ç.  cou- 


CO.MP'IKS    UriiNDUS    I:T   ANALVSIiS.  '5<, 

raiil  (les  siècles  à  des  (|ii;mlil('s  (|nl  sont  comparables  aii\  exccn- 
Iricités  cl  aiiv  Inclinaisons  inuLucIlcs  des  diverses  orbiles  cllipli- 
(jues  de  notre  système  planétaire,  il  a  dû  abandonner  la  concep- 
lion  des  ellipses  képlérienncs,  pour  la  rem{)Iacer  par  celle  des 
orbites  absolues,  (pii  se  prête  mieux  cpie  la  précédente  à  inspirer 
des  idées  justes  sur  les  mouvements  ellectifs  des  planètes. 

Ces  extraits  presque  textuels  de  la  préface  de  l'auteur  nous 
montrent  suffisamment  ses  intentions  :  son  nouvel  Ouvrage  est, 
pour  ainsi  dire,  le  couronnement  praticjue  des  longues  recherches 
théoriques  que  nous  rappelions  plus  haut. 

La  première  Partie  de  TOuvrage  de  M.  Gyldén  est  consacrée 
à  rex[)Osition  de  la  théorie  générale  des  orbites  absolues.  Elle  est 
divisée  en  quatre  Livres,  et  ceux-ci  en  Chapilres  que  nous  allons 
analyser  succinctement,  en  insistant  surtout  sur  les  premiers,  qui 
sont  fondamentaux,  et  dans  lesquels  on  trouve  l'explication  de  la 
terminologie  spéciale  de  M.  Gjldén. 

J^e  premier  Livre  est  intitulé  :  Cinématique  des  orbites  ab- 
solues^ et  contient  quatre  Chapitres,  Le  Chapitre  I  est  consacré 
à  l'étude  des  courbes  périple gmatiques.  M.  Gyldén  désigne  sous 
le  nom  de  périple ginatique  une  courbe  qui  parcourt  incessam- 
ment l'espace  entre  Aç,y\^  sphères  de  même  centre  O,  et  qui 
tourne  en  chaque  point  M  sa  concavité  vers  le  plan  mené  par  O 
perpendiculairement  au  rajon  Oi\L 

Le  type  le  plus  important  des  courbes  périplegmatiques  planes 
est  celui  qui  est  fourni  par  l'intégrale  de  l'équation 


d'-'- 


dv 


^-7=7K-^^'-p»"K-i:)-i^]- 


0 

OÙ  /•  et  i'  sont  des  coordonnées  polaires,  p  une  constante,  A  un 
agrégat  périodique  de  la  forme  I]y/ cos[(i  —  a-/)(^ — B^),  et  H 
une  fonction  de  certains  coefficients  que  nous  allons  mettre  en 
évidence;  en  oulre,  les  quantités  [i,,  j^a,  y^,  a-/  sont  des  constantes 
petites  du  premier  ordre,  et  les  B/  sont  des  angles  quelconques. 

Si  l'on  fait  —  r=r  i  -{-  o,  cl  si  x  et  V  sont  deux  constantes  d'inté- 

gration,  on  obtient 


r,o  i>u1':.\iii:ki:  pakiii:. 

avec 
et. 


X/  = 


(,-7,)^-(i-S,-3,H) 


La  foiiclion  H  est  prise  égale  à  ^'x^- ;  elle  existe  et  est  appelée 
fonction  Jioristique,  parce  (pie  la  présence  du  terme  [^3  H  permet 
de  démontrer  la  convergence  de  l'intégrale  p. 

r\  et  t:  étant  des  fonctions  convenablement  déterminées  de  ^', 
on  peut  encore  écrire,  en  faisant  p  =  a{\  —  'r\-)^ 

r  = 


1  H-  7]  co  s  [(  1  —  ç  )  P  —  r  J 


Le  diastème  de  la  courbe  à  chaque  instant  est  la  quantité  2.ar^, 
différence  entre  les  valeurs  maxima  et  minima  du  rajon  vecteur; 
'r\  est  \^  fonction  diasténiaticjue. 

Si  3i,  [^3  et  les  Yi,  a-/  sont  des  quantités  du  premier  ordre  par 
rapport  aux  forces  perturbatrices,  les  y.i  ne  disparaissent  pas 
avec  ces  forces.  Les  termes  qui  ne  s'annulent  pas  avec  les  forces 
perturbatrices,  et  qui  correspondent  dans  la  fonction  r,  ou  dans 
le  développement  de  la  fonction  perturbatrice,  ou  dans  les  expres- 
sions des  inégalités,  à  des  arguments  de  la  forme  or  +  A  ou 
(^i  — ^^(?_j_B,  sont  dits  élémentaires  du  type  (A)  ou  du  type 
(B).  Si  leurs  coefficients  sont  multipliés  par  une  quantité  d'ordre 
n  par  rapport  aux  forces  troublantes,  ils  sont  sousélénientaires 
d'ordre  n.  11  y  a  aussi  des  termes  surélémentaires,  qui  devien- 
nent infinis  quand  les  masses  troublantes  disparaissent;  mais  ils 
ne  peuvent  se  produire  que  passagèrement,  et  on  peut  toujours 
les  éviter. 

Les  formes  précédentes  de  0  et  /•  seront  conservées  par  la  suite 
comme  convenant  pour  définir  une  orbite  absolue  dans  le  plan 
instantané  déterminé  par  deux  ra^'ons  vecteurs  consécutifs;  0  et  r, 
sont  des   fonctions    élémentaires    respectivement   des    tvpes  (B) 

et  (A). 

Dans  le  second  Chapitre,  M.  Gjldén  définit  les  divers  systèmes 
de  coordonnées  qu'il  emploiera;  ces  systèmes  se  rapprochent 
beaucoup  de  celui  employé  avec  tant  do  succès  j)ar  llansen. 
M.  Gvldén  effectue  les  calculs  en  supposant  que  le  sinus  de  la  lati- 


r.()Mi'Ti:s  ui:m)US  i:ï  analvsks.  (u 

lude  de  la  phmrlo  au-dessus  du  |)lari  (i\e  esl  donné  pai-  la  for- 
mule 

3  =  i  sin[(i  -+-  x)p  —  0J  -H  i:t/sin[(i  -+-  Zi)v  —  S/]. 

Cette  forme  de  3,  élémentaire  du  tyj)e  (B),  convient  aux  orbites 
absolues  des  planètes;  t.  et  B  y  désignent  deux  constantes  d'inté- 
gralion  ;  les  li  etT/  sont  comme  t  des  constantes  du  premier  ordre, 
les  Sf  sont  des  angles  quelconques. 

I  et  Q  étant  des  fonctions  de  v  convenablement  choisies,  on  peut 

encore  écrire 

3  =  lsin[(i-t-T)p  — i2|. 

I  est  la  fonction  anasténialiquc ;  Vanastèmr  à  chaque  instant 
est/-I,  c'est-à-dire  la  hauteur  au-dessus  du  plan  fixe  à  laquelle 
monte  la  courbe. 

Reprenant  l'expression  de  0  déjà  donnée,  on  dit  que  x  et  i  sont 
les  modules  diastématiquc  et  anastématique ;  les  x/  et  les  t./ 
sont  les  coefficients  diasténiaiiques  ai  anas  té  ma  tique  s.  Les  argu- 
ments (i  —  ç)r  —  -net  (i  +-:)('  —  il  sont  les  arguments  diasté- 
matiquc et  anastématique.  On  les  appelle  arguments  astrono- 
miques; plus  généralement,  un  argument  dont  la  différence  avec 
un  argument  astronomique  est  un  agrégat  périodique  est  aussi 
un  argument  astronomique,  et  ces  deux  arguments  sont  dits  iso- 
cinétiques. Enfin,  si  la  différence  entre  deux  arguments  isociné- 
liques  ne  dépend  que  de  ces  deux  arguments  eux-mêmes,  ils  sont 
dits  ho  m  ory  th  m  iq  ues . 

Le  Chapitre  III  est  Tétude  des  Relations  entre  les  arguments 
astronomiques  et  le  temps.  On  introduit  d'abord  le  temps  réduit 
Ç  défini  par 

v/h^   ;i-htjCOs[(i  — O^'  — -^li^' 

où  |j.  désigne  une  constante  bien  connue  :  le  rapport  ^  est  tou- 
jours voisin  de  l'unité. 

En  appelant  F  l'argument  diastématiquc,  on  peut,  à  laide  de  F, 
et  en  considérant  r,  comme  une  constante  définie,  définir  deux  nou- 
veaux arguments  E  et  G  jouant  le  même  rcMe,  par  rapport  à  F,  que 
l'anomalie  excentrique  et  l'anomalie  moyenne  par  rapport  à  l'ano- 
malie vraie  dans  la  théorie  du   mouvement  elliptique.  Le  resie  du 


(h.  PRK.MIKKK   PAiniH. 

Cliapilie  est  consacré  à  divers  dcveloppeinenls  en  série  analogues 
à  ceux  que  l'on  rencontre  dans  le  moiivemenl  elliptique. 

Le  Cliapitre  IV  contient  la  définition  des  éléments  absolus. 
Les  éléments  primaires  d'une  orbite  péri[)legmatifjue,  qui  figurent 
comme  constantes  d'intégration  dans  la  résolution  du  problème 
abstrait,  sont  les  longitudes  absolues,  c'est-à-dire  les  longitudes 
moyennes  pour  ^  =  o^  à  l'origine  du  temps,  du  mobile,  du  péri- 
hélie et  du  nœud  ascendant;  juils  le  protomètre  a  et  les  modules 
diastématique  et  anastématique.  Les  autres  constanles  cjui  figurent 
dans  les  formules  et  qui  dépendent  des  précédentes,  telles  que 
les  coefficients  diastématique  et  anastématicpie,  les  quantités  o  et 
T,  a-/  et  T/,  et  les  arf>'uments  initiaux  13/  et  S/  sont  les  éléments 
secondaires. 

Les  éléments  primaires  ne  sont  pas  toujours  les  mieux  appro- 
priés à  donner  une  idée  nette  et  immédiate  du  mouvement.  Il  en 
sera  réellement  ainsi  si  le  module  diastématique  (ou  anastéma- 
tique) est  supérieur,  en  valeur  absolue,  à  la  somme  des   valeurs 
absolues  des   coelficients   diastématiques  (ou  anastématiques).  Si 
l'un  des  coefficienls  diastématiques  (ou  anastématiques)  est  plus 
grand  en  valeur  absolue  que   la   somme  des  valeurs  absolues  de 
tous  les  autres  et  du  module  correspondant,  les  l'ormules  établies 
garderont  leur  caractère   analytique   inaltéré,    à   la   condition    de 
remplacer  x,  p  et  V  (ou  t.,  t  et  B)  par   les  éléments  secondaires 
X,;,  1,,  et  B,^  ((,,/,  T/^  et  B//),  y.,i  (ou  in)   étant  le  plus  grand    coeffi- 
cient  diasténuitique   (ou    anastématique)   en   valeur    absolue.    Si 
enfin  aucune   des  deux  lijpotlièses   précédentes  n'est  vérifiée,  la 
forme  analytique  des  formules  subsiste  encore  après  une  transfor- 
mation convenable,  et  Ton  voit  par  suite,  contrairement  à  l'opi- 
nion exprimée  par  M.  Stockwell  dans  son  important  Mémoire  sur 
les  variations  séculaires  des  éléments  elliptiques,  que  le  périliélie 
et  le   nœud  ont  encore  des   mouvements   movens,    sauf  dans  des 
cas  très  exceptionnels  ;  seulement,   aucun  des   termes  de  la  fonc- 
tion p  (ou  3)  n'îi  son   argument  isocinélique  avec  l'argument  dia- 
stématique (ou  anastématique);  celui-ci  ne  figure  [)as  directement 
dans  les  formules. 

Le  Livre  H  est  intitulé  :  Relations  entre  le^  arguments  ap- 
partenant à  deux  planètes  et  contient  trois  Chapitres,  savoir: 
Chapitre  1  :  Relations  entre   les  arguments  diastématiques 


co.MPTi'S  ui<:m)US  i<:t  analvsi;s.  61 

(le  (leur  /)l((/irfrs;  (A\i[\)'\lvc  11  :  h\rpressions  se  rappo/ta/it  à 
('(Uigle  entre  les  rayons  vecteurs  de  deux  planètes]  iÀv,\- 
pilrc  III  :  Divers  développements  procédant  suivant  les  puis- 
sances des  fonctions  diastéma tiques  et  anastématiq ues . 

Ce  Livre  qui  prépare  le  suivant  est  consacré  tout  entier,  comme 
les  titres  des  Cliapitres  l'indiquent  suffisamment,  à  des  dévelop- 
pements en  série  dans  le  détail  desquels  nous  ne  pouvons  entrer 
ici. 

Le  Livre  III  est  intitulé  :  Développement  de  la  fonction  per- 
turbatrice, et  contient  quatre  Clia[)itres,  savoir  : 

Chapitre  I  :  Crénéralités  sur  la  fonction  perturbatrice;  Cha- 
pitre 11  :  Développement  des  puissances  impaires  de  la  fonc- 
tion -;  Chapitre  IM  :  Exposition  détaillée  du  calcul  des  coeffi- 
cients de  la  fonction  perturbatrice  ainsi  que  de  ses  dérivées 
partielles;  Chapitre  IV  :  Forme  diastématique  du  développe- 
ment de  la  fonction  perturbatrice. 

Dans  ce  Livre,  on  trouve  tout  ce  qui  est  nécessaire  pour  le  dé- 
veloppement complet  de  la  fonction  perturbatrice.  La  méthode 
employée  par  M.  Gyidén  pour  efl'ectuer  ce  développement  ofTre 
les  mêmes  avantages  que  celles  de  Laplace,  de  Le  Verrier  et  de 
Newcomb;  en  même  temps,  elle  n'est  pas  inférieure,  au  point  de 
vue  du  calcul  pratique,  à  celles  de  Hansen  et  de  Backlund  :  elle 
tient,  pour  ainsi  dire,   le   milieu  entre  ces  différentes  méthodes. 

Le  Livre  IV  est  intitulé  :  Les  équations  différentielles  du, 
mouvement  des  planètes.  M.  Gjldén  va  établir  un  système 
d'équations  difierentielles,  analogue  à  celui  dont  Jlansen  a  fait 
usage,  saui  que  les  éléments  constants  sont  remplacés  par  des 
fonctions  élémentaires.  Ce  système  est  susceptible  d'être  décom- 
posé en  systèmes  partiels  dont  les  solutions  absolues  peuvent  être 
obtenues,  du  moins  dans  le  cas  des  planètes  principales  ;  mais  cette 
décomposition  sera  faite  suivant  des  principes  nouveaux,  et  échap- 
pera ainsi  aux  critiques  trop  justifiées  que  Ton  peut  adresser  aux 
anciennes  méthodes. 

Ce  Livre  est  divisé  en  trois  Chapitres  :  le  premier  est  consacré 
à  l'étude  des  Transformations  <^énérales.  M.  Gyidén  y  établit 
vingt-trois  équations  fondamentales  dont  il  se  servira,  par  la  suite, 
pour  déterminer  les   coordonnées   d'une    planète  :  ces  équations 


64  PREMIËHK   PAHTIK. 

sont  d'ailleurs  préparées  de  façon  à  pouvoir  opérer  facilement  la 
séparation  des  termes  élémentaires  et  des  inégalités  périodiques 
proprement  dites. 

Dans  le  Chapitre  II,  M.  Gyldén  expose  le  Débat  des  approxi- 
mations successii^es.  Si  l'on  considère  à  la  fois  les  huit  planètes 
principales,  on  aura  tout  d'abord  à  intégrer  un  système  de  seize 
équations  simultanées;  en  se  servant  de  la  méthode  de  réduction 
donnée  par  l'auteur  dans  ses  Mémoires  précédents,  on  peut  par- 
venir à  effectuer  cette  intégration  par  la  méthode  des  approxima- 
tions successives  :  la  première  approximation  consistera  d'ailleurs 
à  intégrer  deux  systèmes  distincts  de  huit  équations  linéaires, 
équations  jouissant  de  la  propriété  d'être  horistiques,  et  se  prê- 
tant, par  conséquent,  à  la  recherche  de  solutions  uniformément 


convergentes, 


Enfin,  dans  le  Chapitre  III,  M.  Gyldén  s'occupe  particulière- 
ment des  termes  critiques,  c'est-à-dire  des  termes  qui  dépendent 
d'un  argument  dans  lequel  le  coefficient  de  la  variable  indépen- 
dante s'abaisse  au-dessous  d'une  limite  déterminée.  L'auteur 
montre  comment,  par  l'introduction  d'équations  différentielles 
horistiques  convenables,  on  peut  obtenir  des  solutions  conver- 
gentes, malgré  la  présence  des  termes  critiques.  En  dernier  lieu, 
il  fait  voir  comment  on  calculera  les  termes  critiques  et  élémen- 
taires dans  l'expression  de  la  réduction  du  temps  :  c'est  là  d'ail- 
leurs le  point  le  plus  délicat  de  l'analyse  des  inégalités  planétaires. 

H.   Andoyer. 


MÉLANGES. 

M.  ZEUTHEN  ET  SA  GÉOMÉTRIE  SUPÉRIEURE  DE  L'ANTIQUITÉ; 
Par  iM.  Maurice  CANTOR. 

En  juillet  1894,  M.  Zeuthen  publia  dans  le  tome  XVIII  de  la 
i'^  série  du  Bulletin  des  Sciences  mathématiques  un  article  de 
sept  pages  intitulé  :  M.  Maurice  Cantor  et  la  Géométrie  supé- 


M  ^:  LANGES.  6) 

ricure  de  Vanliquité.  I^e  liraj^e,  cjii'il  a  eu  la  courlolsie  de 
m'expédier,  est  arrivé  à  Heidelberg  pendant  nn  voyage  que  je 
faisais  pour  me  reposer,  et  j'avais  défendu  expressément  de  faire 
suivre  les  im|)rini('s,  parce  que  je  voulais  avoir  le  droit  de  ne  pas 
songer  aux  Sciences  pendant  quelques  semaines.  En  revenant,  le 
'il\  octobre,  j'ai  trouvé  l'attaque  de  M.  Zeuthen,  mais  je  n'ai  pas  eu 
le  loisir  d'y  répondre  de  suite,  divers  autres  travaux  urgents  récla- 
mant tout  mon  temps  pour  une  quinzaine  de  jours.  Ce  n'est  qu'au- 
jourd'hui 9  novembre  que  j'ai  pu  me  mettre  à  répondre  à  mon 
adversaire,  et  je  tiens  à  fixer  ces  dates  afin  d'expliquer  l'intervalle 
entre  les  deux  articles. 

M.  Zeuthen  ne  m'épargne  guère  les  reproches.  A  l'entendre,  je 
n'ai  pas  su  comprendre  toute  la  grandeur  d'Apollonius,  je  n'ai 
pas  su  m'apercevoir  non  plus  de  ce  qui  existait  avant  lui  en  fait 
de  Géométrie  supérieure,  j'ai  méconnu  tellement  le  but  des  quatre 
premiers  Livres  des  Coniques  que  je  l'ai  résumé  de  la  manière 
suivante  Qu'ils  devaient  (^)  contenir  la  partie  de  la  Géométrie 
supérieure  que  devaient  connaître  les  étudiants  souhaitant 
posséder  tout  ce  qui  était  nécessaire  pour  résoudre  le  pro- 
blème Délique  et  des  problèmes  d'une  difficulté  {^ou  facilité) 
semblable. 

Comme  appui  de  ces  paroles,  que  je  copie  textuellement  pour 
ne  pas  donner  lieu  à  un  malentendu,  M.  Zeuthen  cite  dans  une 
Note  ajoutée  au  bas  de  la  page  mes  paroles  :  «  So  musste  das  IV 
Buch...  gleichmaessige  Verbreitung  mit  den  3  ersten  Biichern 
gewinnen,  deren  Abschluss  es  gewissermassen  fur  solche  Mathe- 
matikstudirende  bildete,  melche  von  der  damaligen  hoheren  Ma- 
thematik  grade  das  in  sich  aufnehmen  wollten,  was  bis  zur  Lusung 
der  delischen  Aufgabe,  dièse  mit  inbegriffen,  nolhvvendig  war  », 
propos  étonnants^,  poursuit-il,  quil  n! a  pas  su  traduire  ver- 
balement. 

Moi,  je  vais  les  traduire,  afin  qu'on  s'aperçoive  que  je  suis  loin 
d'avoir  dit  ce  que  M.  Zeuthen  me  prête.  J'ai  dit  :  Le  IV^  Livre  de- 
vait se  propager  en  commun  avec  les  trois  premiers,  parce  qu'ils 
contenaient  pour  ainsi  dire  le  fin  mot  des  Mathématiques  supé- 


(')  Qu'on  rrmaiHjue  bien  ce  mol  devaient! 


(iG  PRHMIÎUIK    PAUTIK. 

ricures,  telles  fjii'on  les  comprenall  alors,  pour  des  lecteurs  qui 
ne  voulaient  en  savoir  que  le  slrict  nécessaire  pour  résoudre  le 
problème  Délique. 

Contenir  entre  autres  certaines  vérités  et  avoir  pour  but  de 
les  contenir,  est-ce  donc  la  même  chose?  L'Ouvrage  d'Apollonius 
n'est  arrivé  en  grec  jusqu'à  nos  jours  que  dans  ses  quatre  pre- 
miers Livres.  Comment  cela  s'est-il  fait?  C'est  qu'à  dater  du  V*' 
Livre  c'était  un  ouvrage  beaucoup  trop  difficile  pour  qu'il  ait  pu 
trouver  un  nombre  considérable  de  lecteurs  et  par  conséquent 
aussi  de  copistes.  Il  y  avait  bien  un  certain  nombre  de  personnes 
qui  demandaient  à  savoir  ce  qui  était  nécessaire  pour  traiter  le 
problème  Délique  et  cju'on  renvoyait  alors  aux  Coniques  d'Apol- 
lonius comme  l'Ouvrage  sur  cette  matière  le  plus  récent  et  le  plus 
complet.  Arrivés  au  bout  du  IV*^  Livre,  ils  en  savaient  tout  ce  qui 
leur  était  nécessaire,  tout  ce  qu'ils  pouvaient  comjjrendre,  j'allais 
dire  qu'ils  étaient  au  bout  de  leur  grec.  Us  ne  Usaient  donc  plus 
les  Livres  V-Vllï;  les  copies  existantes  s'en  perdirent,  sauf  quel- 
ques-unes qui  se  trouvaient  dans  les  mains  de  véritables  mallié- 
maticicns  et  qui  furent  traduites  plus  tard  aussi  loin  que  le  ^  IP 
Livre  par  un  véritable  mathématicien  arabe. 

Mais  (ju'Apollonius  se  soit  proposé  comme  but  de  faire  contenir 
dans  ses  quatre  premiers  Livres  ce  qu'il  fallait  pour  résoudre  le 
problème  Délique,  c'est  ce  que  je  n'ai  jamais  voulu  dire,  et  j'es- 
père que  mes  lecteurs,  en  comparant  ma  phrase,  Texplication  que 
je  viens  d'en  donner  et  la  soi-disante  transcription  de  M.  Zeu- 
ihen  se  rangeront  de  mon  avis,  que  M.  Zeuthen  me  prête  des  opi- 
nions (|ue  je  n'ai  jamais  émises.  Et  pourtant  c'est  sur  ce  quipro- 
quo que  M.  Zeuthen  revient  encore  à  sa  dernière  page  pour  me 
lancer  ces  paroles  peu  bienveillantes  :  et  M.  Canlor  a  tort  en 
disant  qu'il  donne  le  contenu  de  l' Ouvrage  d  Apollonius  ; 
en  effet,  ses  remarques  citées  su/'  le  but  des  quatre  premiers 
Livres  en  voilent  les  plus  grandes  beautés. 

Certes,  l'irritation  de  M.  Zeuthen  contre  moi  a  dû  être  bien 
grande  pour  l'aveugler  de  façon  à  lui  faire  faire  ce  que  je  nomme 
hineinlesen,  c'est-à-dire  parvenir  à  lire  dans  un  auteur  ce  qu'on 
voudrait  y  trouver,  tantôt  pour  Fcn  blâmer,  tantôt  pour  l'en 
louer. 

Mais  poiircjuoi  M.  Zeuthen  ru  fn  vcul-il  tniil,  f[u  il  a  yiu  se  Intni- 


Mf-ILANGKS.  G7 

pcr  siii-  le  sens  (rime  |)hias('  (pic  moi  du  moins  je  crois  très  coin- 
|»i  ('iMMisiblo?  C'osl  qiio,  dans  la  seconde  édition  du  1''  Volume  de 
mes  Levons  d' lu'stoirc  des  Matliématlqucs^  je  n'ai  pas  cilé  suf- 
(isammenl  ses  Iravaiiv  sur  les  coniques  dans  l'anliquilé,  soit  pour 
me  ranger  à  son  avis,  soit  j^our  le  réfuter. 

Les  instincts  personnels  sont  dillV'renls.  H  J  a  des  personnes 
<pii  aiment  les  (l(''!)als  seienliliques  et  autres,  en  un  mot  la  polé- 
mi([ue,  il  y  en  a  (Taulres  (pii  la  détestent,  et  je  fais  partie  des  der- 
niers. Jamais,  dans  la  eaiiirre  scientifique  assez  longue  sur  laquelle 
je  regarde  en  arrière,  je  n'ai  porté  les  premiers  coups,  et  la  polé- 
mique me  répugne  d'autant  plus,  si  elle  doit  s'adresser  à  un  savant 
dont  j'estime  le  mérite  incontestable  sur  un  terrain  qui  lui  est 
propre.  S'égare-t-il  autre  part,  je  me  tais  d'abord,  et  je  ne  parle 
qu'y  étant  forcé.  C'est  ainsi  que  je  me  suis  tu  vis-à-vis  de  INI.  Zeu- 
llien  le  géomètre  éminent,  et  c'est  à  regret  que  je  me  sens  obligé 
à  riposter  une  lois,  mais  pas  davantage,  comme  je  constate  dès  au- 
jourd'hui. 

On  sait  qu'Apollonius  a  vécu  vers  200,  Geminus  vers  ^^  avant 
l'ère  chrétienne.  Il  n'y  a  certainement  pas  un  siècle  et  demi  entre 
les  deux  auteurs.  Geminus,  sans  avoir  écrit  une  Histoire  des  Ma- 
illé matiques  comme  on  l'a  cru  longtemps,  aimait  à  fouiller  les 
vieux  auteurs  et  à  en  tirer  parti.  Il  a  dit,  et  c'est  un  autre  mathé- 
maticien rechercheur  de  vieilles  traditions,  Eutocius,  qui  a  gardé 
ses  paroles,  qu'Apollonius,  le  premier,  a  su  coupern'importe  quel 
cône  droit  ou  oblique  par  un  plan  de  façon  à  faire  paraître  sur  la 
surface  du  cône  une  conique  quelconque.  M.  Zeulhen  croit  que 
les  renseignements  de  Geminus,  rapportés  par  Eutocius,  n'ont 
égard  qu^aux  définitions  stéréométriques  des  courbes  et  de 
leurs  constantes,  phrase  qui,  entre  parenthèses,  aurait  peut-être 
besoin  d'un  peu  d'éclaircissement.  INIoi,  j'ai  eu  le  tort  de  m'en 
tenir  à  Geminus,  qui  généralement  pesait  très  bien  ses  expres- 
sions, tout  en  faisant  remarquer  qu'Archimèdc  avait  su  couper 
une  ellipse  sur  un  cône  dilïerent  de  celui  qu'on  nommait  oxygone. 
Je  me  disais  que  la  différence  entre  la  production  sur  un  cône 
quelconque  d'une  ellipse  seulement  ou  d'une  conique  en  général 
est  immense,  et  je  ne  pensais  pas  avoir  besoin  de  souligner  ce  que 
iM.  Zeulhen  semble  me  demander,  savoir  que  Geminus,  en  racon- 
tant le  jirogrès  du  à  Apollonius,  ir<'lail  guèie  obligé  de  diiMMpr.Xi- 


08  PUHiMIKIU:    PAiniK. 

cliiniède  auparavant  en  éludianl  relli[)se,  avait  trouvé  un  cas  spé- 
cial de  ce  qu'Apollonius  avançait  en  général.  Geminus  aurait  pu 
le  dire,  mais,  s'il  n'en  a  rien  fait,  il  ne  faut  pas  lui  en  chercher 
querelle,  nia  moi  non  plus. 

La  grande  pièce  de  résislance  des  Coniques  dans  U antiquité  de 
M.  Zeutlien,  c'est  la  résolution  du  ])roblème  à  trois  et  à  quatre 
droites.  Qu'est-ce  que  ce  problème?  Apollonius  en  parle  dans  la 
lettre  introductoire  à  Eudème  par  laquelle  il  commence  le  l'''  Livre 
des  Coniques.  Il  y  reproche  à  Euclide  de  ne  pas  avoir  donné  en 
entier  le  lieu  à  trois  ou  cjuatre  droites,  mais  seulement  en  partie 
et  encore  d'une  manière  peu  heureuse. 

A  ce  reproche,  Apollonius  joint  de  suite  l'excuse  d'Euclide.  Il  dit 
qu'en  effet  ce  lieu  ne  pouvait  être  discuté  en  entier  sans  le  secours 
des  théorèmes  contenus  dans  le  III'  Livre  des  Coniques,  mais  c'est 
tout  ce  qu'Apollonius  nous  en  dit.  Gomment  a-t-il  résolu  le  pro- 
blème en  question,  où  l'a-t-il  fait,  l'a-t-il  fait,  c'est  ce  qu'il  nous 
laisse  ignorer.  Le  mot  même  lieu  à  i/ois  ou  quatre  droites  ne 
revient  plus  dans  Apollonius,  ni  dans  le  IIP  Livre  des  Coniques, 
ni  dans  la  lettre  introductoire  du  iV^  Livre,  ni  dans  ce  que  nous 
connaissons  de  ses  autres  Ouvrages.  Il  faut  descendre  jusqu'à 
Pappus  pour  le  retrouver.  Pappus,  mathématicien  ti'ès  distingué 
qu'on  croit  avoir  vécu  vers  l'année  3oo  de  l'ère  chrétienne,  n'est 
pas  un  admirateur  à  toute  épreuve  d'Apollonius  et  il  lui  en  veut 
d'avoir  blâmé  Euclide  de  la  manière  que  je  viens  de  dire.  A  cette 
occasion,  il  nous  apprend  ce  que  c'est  que  le  lieu  à  trois  et  à 
quatre  droites.  Etant  données  de  ])Osition  trois  ou  quatre  droites 
et  tirant  d'un  point  variable  des  droites  coupant  les  droites 
données  sous  des  angles  donnés,  de  manière  que  le  rapport  du 
produit  de  deux  des  droites  tirées  au  produit  des  deux  autres  (soit 
au  carré  de  la  troisième)  reste  le  même,  le  point  variable  aura 
pour  lieu  une  conique.  Apollonius,  qu'a-t-il  fait  pour  ce  problème, 
c'est  ce  que  Pappus  ne  nous  notifie  pas  assez  clairement  pour 
dissoudre  l'obscurité  historique  dans  laquelle  se  trouve  la  ques- 
tion. 

G'est  ici  que  M.  Zeutlien  est  entré  en  lice.  Il  s'est  saisi  du  pro- 
blème à  trois  ou  à  quatre  droites  en  maître  de  la  Géométrie  s\n- 
thétique  moderne.  Il  a  trouvé  la  conique  en  question  en  ne 
s'appuyanl  que  sur  des  vérités  contenues  dans  le  III''  Livre  d'Apol- 


Mr:i.AN(;i<s.  c^c) 

Kmins.  (]<'sl  loiil  cr  (jii  il  a  de  plus  iii^iMiicux  coniiiic  ('1  iidc  j^éo- 
nx'l  iKjiic,   mais  ce  iTesL  pas  de  I  liisloircî. 

Je  lu;  puis  pas  pi'ouvcr  (pic  la  marche  d'Apollonius,  s'il  a  mis 
par  écrit  ses  pensées  sur  le  piohlcujc,  ce  (pii  n'est  pas  sans  vrai- 
scmhlance,  ait  été  dinérente  de  celle  de  INI.  Zeuthen;  nous  ne  la 
connaissons  pas!  Mais  M.  Zeuthen  peut  encore  bien  moins  prou- 
ver (pi'il  se  irouxe  sur  les  pas  d'Apollonius.  C'est  sa  Géométrie 
supérieure  de  l'antiquité  à  lui  qu'il  nous  donne. 

Avais-je  le  droit  de  la  passer  sous  silence  dans  un  Volume  gros 
déjà  de  cinquante-cinq  feuilles  et  que  je  devais,  par  conséquent, 
m'abstenir  de  grossir  encore,  à  moins  qu'il  ne  s'agît  de  nouvelles 
découvertes  liistori(juement  avérées?  Je  le  crois.  M.  Zeuthen  est 
de  l'avis  op[)osé,  et  c'est  ce  que  je  comprends  facilement,  puis- 
qu'il s'agit  d'hypothèses  auxquelles  il  avoué  un  travail  long,  con- 
sciencieux, et  à  son  opinion  fertile.  Nous  ne  différons  que  sur  ce 
dernier  point.  Nous  ne  saurions  être  juges  nous-mêmes  dans  cette 
contradiction  d'appréciations.  M.  Zeuthen  surtout  ne  peut  pas 
l'être  là  où  il  est  en  cause.  ]Mais  il  y  a,  en  dehors  de  M.  Zeuthen  et 
moi,  des  savants  qui  s'occupent  d'histoire  des  Mathématiques.  At- 
tendons qu'ils  publient  leurs  recherches  sur  Apollonius.  Nous 
verrons  bien,  et  le  public  verra  aussi,  s'ils  consentiront  à  réunir 
sous  le  nom  d'Apollonius  les  recherches  de  M.  Zeuthen. 


SUR  L'EXPRESSION  DU  PRODUIT  l  .2.3. .  .(/i  -  1)  PAR  UNE  FONCTION 

ENTIÈRE: 

Pau  m.  J.  HADAMAKD. 

On  sait  former  une  fonction  entière  qui,  pour  une  suite  donnée 
de  valeurs  (isolées) 

(l)  •  «1,       «2,        ■••,       «/n        ..-, 

attribuées   à  la   variable,   prenne  des  valeurs   également  données 
/Ji,  ù,,  .  .  .,  bn,  .... 

On  doit,  à  cet  effet,  partir  d'une  fonction  '-p(^)  admettant  les  a 
pour  zéros  et   la  mulli[)lier   par  niir   autre   '^■^{•v)   qui    présente,  en 


70  pki:mii:kI':  pautie. 

ces  mêmes  poliils,  des  jxjIcs  avec  les  valems  correspoiidanles  de 


«f  an 


)Our  résidus. 


Si  la  suite  (i)  n'est  autre  (jue  la  suite  naturelle  des  nombres,  on 
j)eut  prendre 

O  (  ./■  )  —   r  (  .2?  )  SI  II  TT  X  =    „  , » 

'   ^       ^  ^  I    (  I  —  ./•  ) 

ce  qui,  pour  n  entier  et  positif,  donne 

cp'(/0  =  (-!)"  T:r(/0. 

Si  donc  on  cherche  une  fonction  entière  qui  coïncide  avec  la 
fonction  Y  pour  les  valeurs  entières  et  positives  de  la  variable,  la 
fonction  ^{oc)  sera 


^{x)^- 


1 


1  II  -r-  I  \>.  H 


(■i) 


1    A. 

iz  dx 


I  —  x\ 


On  voit  (pic  le  d('îvelo[)pemcnt  de  '\{jc)  constitue  une  moitié  du 
développement  de  coséc7:.r,  de  même  que  celui  de  -j-  lo^Tj;  est  la 

moitié  du  développement  de  cotiij?:. 

La  fonction  cherchée  s'obtient  en  multipliant  'f  (x)  par  '\{^x). 
Les  principes  connus  relatifs  à  la  fonction  F  montrent  qu'elle  peut 
se  mettre  sous  la  forme 

F(^;)  =  s/û(U'V— r\"), 
où  U  et  V  sont  les  deux  fonctions  entières 


"./■ 


U  = 


\  = 


'2'^ 


IM  I 


•2  • 


..   (•»>' 


•2  ■  • 


V  -, 


y  (  I  ,_  L 


BULLKTIN    inHlJ()(il{AlMIK)U[:.  71 

Quant  à  rét|Uiilioii  aux  (liUcrcMccs  à  la(juelle  salisrall,   la    foiio 
llou  F (./•),  clic  csl 

F(J7  -I-  i)  —  .r  V{J^)  -i-  -  <f(j"  )  —  .'-c  V{x )  -f-  -- 


t:   '  '  r(i  —  ./-j 


lî  u  L  L 1: 1 1  ^    n  I  lî  IJ  O  (i  H  A  IMI  l  O  L)  E. 


Bacii.mann  (P.).  —  Zalilcntheoi-ie,  Versuck  einer  Gesaninildaialclluiig 
dieser  Wissenschaft  in  ihreii  Ilaupttlieilen.  1  Thle.  Die  analyt.  Zuliien- 
theoric.  Gr.  iii-8",  xvui-îyî  p.  J.cipzig,  Tcubncr.  vi  ni. 

Biwcni  (LiiGi).  —  Lezioai  dl  Geonietria  differenziale.  I11-8",  54-î  p. 
IMsa,  Sj)oerri.  iG  m. 

BouEL  (E.M.)-  —  '^it^f^  quelques  points  de  la  théorie  des  fonctions. 
Iii-Zi",  53  ]).  avec  fig.  Paris,  Gaiilliier-\'illars  et  fils.  • 

IIehz  (N.).  —  Gescliichte  der  Baknbestinimung  von  Planeten  u.  Ko- 
nieten.  II.  Thl.  :  Die  empirischen  Mellioden.  Gr.  in-8°,  vui-264  p.  avec 
plancties.  Leipzig",  Teubner.  10  m. 

Mannhkim  (A.).  —  Principes  et  développements  de  Géométrie  ciné- 
matique. In-4°,  ix-591  p.  avec  fig.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils.  25  fr. 

PoixcARK  (H.).  —  Les  méthodes  nouvelles  de  la  Mécanique  céleste. 
T.  II  :  Méthodes  de  MM.  IScNvcomb,  Gyldén,  Lindstedt  et  Boliiin, 
I11-8".   viii-j8o  p.  Paris,  Gauthicr-Villars  et  fds.  12  fr. 

Veronesk  (G.).  —  Grundzûgc  der  Géométrie  von  mehreren  Dinien- 
sionen  n.  mehreren  Arten  gradliniger  Einheiten  in  elementarer 
Forni  entwickelt.  Uebersetzt  von  A.  Schepp.  In-8",  XLVi-710  p.  avec 
figures.  Leipzig,  Teubner.  20  m. 

D'Arcais,  ....  —  Corso  cli  Calcolo  infinitésimale.  Vol.  II,  in-S".  Pa- 
dova,  Draghi.  6  1. 

Lazzeri  (  G.j.  —  Trattalo  di  Geonietria  analitica.  In-S".  Livorno, 
Giusti.  10  1. 

BiANCiii  (L.).  —  Lezione  di  Geometria  differenziale.  In-8".  Pisa, 
Spoerri.  20  1. 

C.VRTAN  (L.).  —  Sur  la  structure  des  groupes  de  transformation  finis 
et  continus.  ln-/|",  1  3()  p.  Paris,  Nony  et  G'*. 


72  BULLKTIN    BIIiLIOCi  U  AIMIIQUF.. 

CoMTK.  —  Art  Géométrie  analytique  d'Auguste  Comte.  Nouvelle  édi- 
tion, précédée  de  la  Géométrie  de  Deseartes.  fn-8",  GoG  p.  avec  fig.  et 
3  planches.  Paris,  Bahl. 

DuMONT  (F.)-  —  Essai  cVune  théorie  élémentaire  des  surfaces  du 
troisième  ordre.  In-8°,  80  p.  Annecy,  i/npr.  Dépollier  et  C"^. 

Grassmann  (II.)'  —  Gesammelte  matJiematiscIie  und  physikalische 
Werke.  Auf  Yeranlassung  der  kgl.  sachs.  Gesellschaft  der  Wissenschaften 
herausgegeben  von  F.  Engel.  i.  Bd.  i.  Thl.  Gr.  in-8°.  Leipzig,  Teubner. 
\i  m. 

Lelieuvuk.  —  Sur  les  surfaces  à  génératrices  rationnelles.  In-4°, 
ii3  p.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils. 

Lucas  (E.).  —  Récréations  matJiématiques.  T.  IV.  In-iG,  viii-267  p. 
avec  fig.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils.  7  fr.  5o  c. 

NiEWiîNGLOWSKi  (B.).  —  Cours  de  Géométrie  analytique.  T.  I  :  Sections 
coniques.  In-8",  vi-484  p.  avec  fig.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils.  10  fr. 

Repetitoriam  Kurzes  der  hôlieren  Mathematik.  II.  Thl.  Integral- 
rechnung.  In-8°,  G3  p.  avec  12  fig.  Wien,  Breitenstein.  i  m.  10  pf. 

Seguier  (J.-A.  de).  —  Sur  deux  formules  fondamentales  dans  la 
tliéorie  des  formes  quadratiques  et  de  la  multiplication  complexe 
d'après  Kronecker.  In-S",  vii-34o  p.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils. 

Smith  (H.-.1.-S.).  —  The  Collected  Mathematical  Papers.  Edited  by 
J.-\V.-L.  Glaisher.  1  vol.  in-4".  London,  Frowde.  G3  sh. 

Hertz  (H.).  —  Die  Prinzipien  der  Mechanik,  in  neuem  Zusam- 
menhange  dargestelt.  Mit  ein  Vorwort  von  H.  v.  Ilelmholtz.  Gr.  in-8'', 
xxix-3r2p.  Leipzig,  Barth.  12  m.;  rel.  i3  m.  5o  \A. 

Kelvin  (Lord).  —  The  Molecular  Tactics  of  a  Chrystal  :  Robert 
Boyle  Lecture,  1893.  In-8".  London,  Frowde.  3  sh.  G  d. 

LoNGRAiRE  (L.  de).  —  Notice  hiblio graphique  sur  la  traduction  des 
Mécaniques  de  Héron  d'Alexandrie,  de  M.  le  baron  Carra  de  Faux. 
Paris,  impr.  Chaix. 

BoREL  (E.)  et  Dracii  (J.).  —  Introduction  à  l'étude  de  la  théorie  des 
nombres  et  de  l'Algèbre  supérieure.  In-8°,  iv-355  p.  Paris,  Nony  et  G'^. 


COMPTFS   RKNDLIS    l<: T  ANALYSES.  73 

V 

C()I\ir»TI<:S    KKNDUS    KT   ANALYSES. 

DUKKGK  (II.).  —  lù-F>AiK\Ti:  dkr  Iukokii-:  dkr  Funktioxen  einkr  complkxen 
VKRANDKRLiciiEN  GROSSE.  —  Viortcr  Aiiflairc.  I  vol.  in-H",  x-3oo  p,  I.oipzii^, 
Teubner,  189'i. 

Nous  sommes  lieiireux  d'annoncer  la  (jiiatrlème  édition  de  la 
Théorie  des  Fonetions  de  M.  Durège.  La  première  édition  re- 
monte à  1864,  la  seconde,  dont  M.  Honël  a  rendu  compte  dans  le 
Bulletin  (t.  VI,  i(S^/|i  p-  2:->5),  est  de  i8-3.  [>a  troisième  et  la 
quatrième  en  diftèrent  surtout  par  quelques  améliorations  que 
l'auteur  a  introduites  dans  la  façon  dont  il  présente  la  théorie 
des  surfaces  de  Riemann. 


ErNESTO    CESÀRO.   —    InTRODUZIONE    alla    TEORIA    MAXEMATrCA    DELLA   ElAS- 

TiciTA  (Introduction  à  la  théorie  mathématique  de  l'Élasticité).  In-8°,  213  p.; 
Turin.  Bocca  frères,  1894. 

M.  E.  Cesàro,  ayant  suppléé  le  professeur  G.  Battaglini,  durant 
l'année  scolaire  1 892-1 898,  à  l'Université  de  Naples,  a  pris,  pour 
sujet  de  ses  leçons,  l'exposé  de  la  théorie  mathématique  de  l'Élas- 
ticité ;  il  publie  aujourd'hui  la  rédaction  de  son  cours,  et  nous  la 
présente  comme  le  premier  Volume  d'une  série  d'écrits  sur  les 
Mathématiques  supérieures  qu'il  a  l'intention  de  livrer  à  l'impri- 
merie; ce  premier  Volume  fera  attendre,  non  sans  quelque  impa- 
tience, la  publication  des  suivants. 

M.  Cesàro  nous  présente  modestement  ces  leçons  :  «  Elles  ne 
contiennent  rien  de  nouveau,  dit-il,  et  n'ont  nullement  la  pré- 
tention de  constituer  un  cours  complet  sur  la  théorie  mathéma- 
tique de  l'Elasticité;  on  ne  les  doit  considérer  que  comme  une 
préparation  à  la  lecture  des  nombreux  et  excellents  traités  dont 
l'élasticité  est  l'objet,  et  à  l'étude  des  Mémoires,  en  particulier  des 
Mémoires  italiens,  qui  ont  été  publiés  sur  cette  théorie.  »  M.  Ce- 
sàro, dans  ces  lignes,  nous  promet  peu  de  choses;  l'effet  dépasse 
de  beaucoup  les  promesses. 

Bull,  des  Sciences  mathéni.,  2"  série,  t.  \I\.  (Avril  189").)  6 


74  PREMIÈRE  PARTIE. 

C'est  déjà  un  grand  service  rendu  à  la  Science  que  de  condenser 
en  nn  pelit  nombre  de  pages  ce  que  les  géomèlres  italiens  ont 
écrit  d'excellent  sur  les  déformations  élastiques  des  corps;  car, 
depuis  un  certain  nombre  d'années,  l'étude  de  l'Elasticité  paraît 
être  devenue  l'étude  de  prédilection  des  mathématiciens  les  plus 
illustres  de  l'Italie;  il  suffit  de  citer  les  noms  de  Betti,  de  Beltrami 
et  de  Gerruti,  pour  évoquer  le  souvenir  des  Mémoires  aussi  ri- 
goureux qu'élégants  que  cette  étude  a  fait  éclore.  Mais  si  M.  Cesàro 
connaît  à  fond  les  travaux  de  ses  compatriotes,  il  n'est  point  ex- 
clusif et  sait,  quand  il  le  faut,  faire  appel  aux  travaux  les  plus 
récents,  qu'ils  soient  nés  en  France,  en  Angleterre  ou  en  Alle- 
magne. 

Un  ordre  très  simple,  très  clair  règne  dans  ce  livre.  La  ciné- 
matique des  petits  mouvements,  base  de  toute  l'Elasticité,  fait 
l'objet  des  premiers  Chapitres;  nous  y  trouvons  deux  démonstra- 
tions, dues  à  M.  Beltrami,  des  conditions  nécessaires  et  suffisantes 
que  doivent  remplir  six  fonctions  de  x,  y^  z^  pour  qu'il  soit  pos- 
sible de  les  identifier  aux  trois  dilatations  et  aux  trois  glissements 
dans  une  déformation  infiniment  petite.  Puis,  la  forme  du  poten- 
tiel des  actions  élastiques  est  établie,  les  conditions  de  stabilité 
discutées.  De  l'expression  du  potentiel,  le  principe  des  vitesses 
virtuelles  permet  de  déduire  aisément  les  équations  d'équilibre. 
Le  lemme  de  Betti,  appliqué  à  ces  équations,  montre  sans  peine 
que  l'équilibre  élastique  suppose  que  les  forces  extérieures  se 
fassent  équilibre  sur  un  corps  rigide  de  même  forme.  Passant  alors 
à  la  distribution  des  actions  internes,  M.  Cesàro  introduit,  par  la 
méthode  de  Cauclij,  les  théorèmes  fondamentaux  relatifs  aux 
])ressions. 

L'étude  des  petits  mouvements  lui  donne  occasion  d'établir  les 
théorèmes  généraux  de  Clebsclî,  de  Saint-\enant,  de  M.  Poincaré. 
Enfin,  ces  diverses  théories  générales  trouvent  des  exemples  aussi 
simples  qu'élégants  dans  l'étude  de  l'équilibre  d'une  enveloppe 
sphérique  et  des  vibrations  d'une  sphère  pleine.  Tel  est,  en  peu 
de  mots,  le  plan  de  la  première  Partie  de  l'Ouvrage;  elle  ren- 
ferme, en  soixante-dix  pages,  tout  ce  qu'un  phvsicien  peut  désirer 
connaître,  touchant  l'équilibre  et  le  mouvement  des  corps  élas- 
tiques. 

La  seconde  Partie  nous  fail  pénétrer  plus  profondément  l'étude 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES.  75 

analytique  des  questions,  dont  l<>s  principes  ont  été  posés  dans  la 
première  l^artie. 

Après  avoir  rappelé  les  théorèmes  les  plus  essentiels  concernant 
le  problème  de  Dirichlel,  M.  Cesàro  démontre  d'une  façon  remar- 
quablement brève  que  toute  déformation  infiniment  petite  peut  se 
décomposer  en  deux  autres,  dont  l'une  n'entraîne  aucune  rota- 
tion, et  l'autre  aucun  changement  de  densité.  11  montre  ensuite, 
conformément  à  la  méthode  de  Clebsch,  comment  Tétude  de  ces 
deux  sortes  de  déformations  se  ramène  toujours  à  l'intégration 
d'équations  nu\  dérivées  partielles  de  la  forme 

Cette  équalion  canonique  des  petits  mouvements  admet  l'inté- 
grale générale  donnée  par  Poisson  ;  de  la  forme  de  cette  intégrale, 
se  déduisent  les  vitesses  de  propagation  des  deux  espèces  de  dé- 
formations élastiques  au  sein  d'un  milieu  isotrope.  M.  Cesàro 
se  contente  de  citer,  sans  l'exposer,  le  mémorable  travail  de 
G.  KirchhofFsur  l'équation  canonique  des  petits  mouvements. 

Après  avoir  montré  comment  le  théorème  de  Betti  permet  de 
déterminer  la  dilatation  cubique  et  les  composantes  de  la  rotation 
en  un  point  quelconque  d'un  milieu  isotrope,  M.  Cesàro  montre 
comment,  lorsqu'on  se  donne  les  déplacements  à  la  surface,  on 
intégrera,  en  général,  le  problème  de  l'équilibre  élastique  et,  en 
particulier,  le  problème  de  l'équilibre  élastique  des  corps  iso- 
tropes; il  établit  les  beaux  résultats  de  Betti,  de  Boussinesq,  de 
Cerruti.  L'étude  des  déformations  thermiques  est  ensuite  traitée 
d'une  manière  approfondie. 

Le  problème  de  Saint-Venant  et  les  applications  de  ce  problème 
à  la  théorie  de  la  résistance  des  matériaux  terminent  la  seconde 
Partie. 

La  troisième  Partie  est  consacrée  presque  en  entier  à  l'étude  des 
équations  de  l'Elasticité  en  coordonnées  curvilignes,  étude  dont 
Lamé  a  montré  depuis  longtemps  l'importance  et  la  fécondité. 
Une  introduction  générale  sur  les  coordonnées  curvilignes,  les 
paramètres  différentiels  des  fonctions,  les  systèmes  isothermes, 
précède  l'établissement  des  équations  de  TElasticité. 

L'Ouvrage  se  termine  par  l'étude  de  l'Elasticité  dans  les  espaces 


h 


76  PREMIÈRE   PARTIE. 

non  euclidiens;  ce  dernier  Chapitre  nous  semble  une  pure  curio- 
sité, sans  signification  physique;  mais  il  rentre  dans  un  ensemble 
de  recherches  fort  à  la  mode  aujourd'hui  en  Italie. 

Cette  sèche  énumération  donnera  peut-être  une  idée  de  l'abon- 
dance et  de  la  variété  des  matières  traitées  dans  l'Ouvrage  de 
M.  Cesàro;  elle  ne  peut  en  exprimer  la  clarté  et  l'élégance,  qua- 
lités qui  le  feront  vivement  priser  des  lecteurs  français. 

P.    DuHEM. 


MÉLANGES. 


SUR  L'INTEGRALE     ' 


/, 


^  a;' -{-  p  X'  -+-  q 
Par  m.  J.  DOLBNIA. 


1.   Dans  le  Traité  de  Calcul  intégrai  àe.  M.  Bertrand  l'inté- 


grale 


/ 


dx 


\J  x'* -\-  p  x'^  ■ 


est  réduite  à  la  catégorie  des  elliptiques  (').  De  la  manière  même 
de  la  transformation  et  de  ses  résultats  définitifs  on  voit  que  x- 
s'exprime  par  les  fonctions  elliptiques  monodromes  d'un  certain 
argument.  D'un  autre  côté,  il  est  évident  que  l'intégrale 


J=    '  ^^ 


j  y  oc'* 


px'^ 


a  un  point  critique  logarithmique  à  l'infini.  Par  conséquent,  se 
présente  évidemment  la  question  :  sous  quelles  conditions  lin- 
tégrale  mentionnée  s'exprime  par  des  logarithmes.  Pour  résoudre 


(')  P.  67. 


Mf:LANGES.  77 

celte  question,  présentons  l'intégrale  donnée  sons  la  forme 

d.v 


J 


^/ 


\/{x^—a){x^—ù) 
Nous  avons 


j^         _v/(.r2-a)(.r2_^)    ^^^^_ 


Posons 
alors 

(  rï  —  />  )  y  4-  I                                      T  <iK 

a:-'  —  o  =  '- ,  âx  = 


y  '^  \J y'^  s/ ay  -\-  i 

{a  —  b)y  -i-  I 


y 


Par  conséquent, 

,  _        i     r \/(a  —  b)y  -\-  1  dy 


ou 


J  ^  ■  g^^^a  —  h  ày 


j^       ,y  8  fWy^  ày 

y  3a-^{a  —  b)J 


I  n  I 


«  a  —  b 


En  posant 


''■^  -dz. 


et  en  intégrant  l'équation 

avec  la  condition  que  y  a  son  infini  pour  :;  =  o,  nous  aurons 

y  =  ^p'^-^> 


78  PREMIÈRE  PARTIE. 

où  pz  esl  la  fonction  de  Weierstrass  avec  les  invariants 

2(P-a) 
S-i  =  —^^3 '  ^3  =  o. 

Par  cette  raison 

"  v/6/?2^  dz 


J  = 


6aHa  —  b)J 


ou 


J  = 


P^.     e 


Posons 
alors 

pz  I    /  I 


p'^z  —p'^Zo        1  \pz — pzo        pz-v-pzQ 
par  conséquent 


I 

1                    _  .     - 

~        v/63a2(a- 

-b) 

Nous  avons 

I                    I 

m 

pz—pzQ           p'Zo 

I                    I 

'     -à.. 


pzo       pz-hpzo 


pZ-^pZo  p   {ZqI)^ 

Suivant  les  formules  connues  d'homogénéité,  nous  avons 

p'(zoi)  =  ip'izo), 

donc 


pz  -T-pzo       p  Zo 
Par  conséquent 


pz—pzo       pz-hpzQ 


=  4-\t(z-z,)-^(z-}-Zo)-l[^^{z-Zoi)-t{^-^^oi)]l 

p    Zq    ^  ' 


MÉLANGES.  79 

Par  conscfj lient 

0)  l<y{z  —  zoi)i  S' 


J  = lor 


ou 

Calculons  maintenant />':;o.  Nous  avons 


Et  comme 


I  I  6 


P-a  = 


a  —  ù        a        a  {a  —  b) 


^  ^*^-6  -  6(a-6) 


do 


ne 


ib 


I 


y^o-  ^g(^_^^^  3(a  — 6)        l>a{a  —  b)' 

P'^'^y    -i^a^^a-by 
par  conséquent, 

D'où  il  suit  que  l'intégrale  donnée  J  ne  s'exprime  que  par 
des  logarithmes  si  Zq  est  une  partie  commensurable  d'une  période. 

2.  Avant  de  réduire  cette  formule  à  une  forme  calculable,  con- 
sidérons deux  cas  particuliers  d'intégrabilité  par  des  logarithmes; 
ces  cas  sont  remarquables  par  leur  simplicité. 

i*'  Si  a  =  — bj  l'intégrale 


II 


\/(x'^ —  a){x-  —  b) 
ne  s'exprime  que   par  des   logarithmes.  Pour  le  prouver,  remar- 


L 


8o 

q  110  11  s  que 


PREMIÈRE   PARTIE. 


I    I  p"  z  "^  ' 

4     V/»    -3o 


2/?^,,  =  — 


'2 


v/6(a  —  6) 


//  /.    9  •  Za  —  b 


">.  '"       3  a  (  a  —  b  ) 


P  Z{) 


■pu^a  —  b)' 


dom 


donc 


p"zoY       (3a  —  bY'^:Ua  —  b) 


P  ^0 


p(-izo)  =  — 


3a(a  —  by-^/'i 

(3a  —  b  )2  /3 (  a  —  b) 


nous  aurons 


/'(23o) 


\/(j{a—b)  '3a{a  —  bY^'?. 

a  =  —  b, 

2  42a2v^^ 


Par  conséquent. 


'2  y/o  rt  3.4^  CL-''  \/'>- 

p(-iz^)  =  o. 


P'{izq)  =  0; 
d'où  il  suit  (]ue  iz^  est  une  demi-période;  donc 


im 


Par  cette  raison,  l'intéf^rale 
OU  plus  simplement  l'intégrale 


/: 


dx 


y/^^dz 


ne  s'exprime  que  par  des  logarithmes. 
2"   En  résolvant  Tcquation  transcendante 


y9(9.3n)=/?(^o), 


nous  Irouvons 

_    9,7iT 

^0-    -3-; 


trun  aiilrc  cote,  nous  avons 

5t  (  3  «  —  6  )2  v/3(«  — 6) 


ou 


v/6(rt  — 6)  4.3a(a  — ^)V2  \/G(rt  — 6j 

(  3  a  —  6  )2  ^i{a  —  b)  3 


4 . 3  a  (  a  —  ^  )  /•>.  /g  (  a  —  6) 

ou 

(3(2  —  6)2=i2a2 —  l'iab^ 

b  =  —  3  a  d=  9.a\/3. 
Par  conséquent,  l'intégrale 


/ 


\/(a72_a)(a72-h  3a  di  9.«/3) 

ne  s'exprime  que  par  des  logarithmes.  L'existence  des  autres  cas 
d'intégrabilité  par  des  logarithmes  aurait  pu  être  prouvée  par  des 
formules  de  mulliplication  de  l'argument  elliptique  par  un 
nombre  entier. 

3.   Quand  est  donnée  l'intégrale 

dx 


f 


\/{cc-^—a){x^—b) 

et  qu'il  faut  résoudre  la  question  :  ne  s'exprime-t-elle  que  par  des 
logarithmes,  on  peut  procéder  de  la  manière  suivante  : 
A  l'aide  des  formules 

1  26 

y/6(a_6)  3a(a  — 6j 

4 


^'"^«"V   3^a2(a-è)' 


on  peut  calculer  successivement 

pi-îZo),      /?(222o),      p('l^Zo),        

Si    l'intégrale   ne   s'exprime   que   par   des  logarithmes,   :;o  est 


8'2  PUEMIÈUE  PARTIE. 

une  partie  commensurable  de  la  période;  alors  la  série 

doit  être  périodique. 

4.   Montrons  maintenant  le  moyen  de  ealcuier  la  formule 

J  = log  —. (  H-  -  log  -J ^^  • 

Citons  deux  formules  connues 


/?^     —  PZQ=Z    — 


a^z  <y^  Zq 


En  profitant  de  ces  formules,  nous  aurons 

J    =-l0g(7?^  — /?^o)  —  log — -\os{pZ-\-pZo)-h  ilog  — -: 

2  ^-*  2  u^ 

OU 

2        ^{pZ-^pZ^y  ""  (JZ 


Si  ;:o=  —  est  une  partie  commensurable  d'une  période 

m  ^  '■ 

[).  =  m  —  l 


ioCT 


(J{Z  —  Zq) 


=  —  ;)^log"     JJ    [p(z  -\-iizq)   —pzo]\>-'', 


'■J   M  lit, 

[X  =  «l  —  1 


a(3  —  ^oO  ^ 

{JL=0 


loglA^—p^''  =--llog     JJ    [/9(i;-f-iai;oO-^/'^o]H--i(-), 


par  cette  raison 


[).  =  m—\ 


J  =  -lo 


pz pZQ         ^       I        TT      i       p{z  -\~  Zq[x)—  pZ()       \V--'^ 


2        ^  (pz  ^pZoY  m      ±1      |[/?(^  -4-  [J.GoO+/''So]' 


oij  nous  aurons  pz  de  l'équation 


(')  IIalphkn,  Traité  des  fonctions  elliptiques,  t.  1,  p.  i-yi. 

(')  Bulletin  des  Sciences  mathématiques,  >*  série,  t.  XVII,  p.  187. 


MfaANCES.  83 

(loru* 

pz  = 
on 


\/^-^' 


/         I  /x^—  b  _  /x^—  h 


l*ar  consécincnl 


/.r2  —  b 


4/ I  \).  =  m-\ 

J  =  'os  — ^^ — = r- H los     I    I      \r-^, : A 


-h  I  H-=o 


o.   bi  Cy  =:  -— ,  m  =^  4  ;  alors 

4 


y    x^ —  a 


.        I,  y    x^ — a  I,  /?(^  +  2^o)  —  P^Q 

J    =    -  lOir :==z :    H lOff  r— ^ r ^ ^ 

4     "^  /     /x'-—b        Y       4     "  [/H^  +  '^^oO^/^-^o]' 
/ 


y/   a:"-^  —  <2 


Citons  les  formules  connues 

I     I  p  Z  —  p'  IZq 


p{z-\-    IZq)   ——pz — p-lZQ-^ 

i\  \  j:)z  —  pi 

.  .,  i  ( p' z>^  ip'iZQ\- 

P{z-\-'1ZqI)  =—  pz  -\-piZQ-\-  - '- , 

/i   \   pz  -\-  piZo    / 

p{z-^3zo)    =—pz—pzo-i--(^ ^—^), 

f\     \   pZ—pZQ    J 

p{z^3z(,i)  =  —pz  -^  pzo  -^  -     -!■ '- . 

4  \  />-  -i-p^o  / 

Dans  le  cas  actuel 

a  =  —  b  =  i, 

p('2Zo)  =  o,        p'(izo)  =  o,        pzo=  — — ,         yzo=  -v/3; 
par  conséquent, 


«4 
et 


PREMIÈRE   PARTIE. 


?--4-i  I  I     (x)/x'* — I -I- .r^ — I 


'        v/3       v/3  \  v^x^  —  i  — 


x^-\-  I 


P(.  +  3.„Oh-P^-o=-^/^  +  ^  +  ^ 


.r  \/x'*  —  I  -\-  iix'^  — 


\/  x'"  — 


I  -h  X' 


f\ 


Par  conséquent, 


/i 


dx 


t/. 


=  loi 


Z*  —  I 


/x-  -+-  I 
\/  x-^  —  l   ~ 


/a72  -f-  [ 
1/   573—1 


'  X-'—  I 


—  I 


x'~  —  I 

.r2  +  I 


+  I 


1  lo< 


I  /  X  y  x'*  — -  \  -T-  x'^  —  I 
1 


\     \/ x'" F  


X-  -4-  I 


ip 


V^a^'^  —  \  -^  i{x'^ —  F) 


\/x'* —  I  H-  ^2 —  1 


De  même  nous  calculerons  l'intégrale 

dx 


f 


y/ (372 —  a){x'^-\-  3a  zh  2a/3) 


2  0) 


Ici  nous  avons  ^0=  -^)  par  conséquent, 


/ 


dx 


^{x-^—  a){x}-^?>a±'xa\/?>) 


^ë^og 


/:r2  —  b  _ 
y    x"^ —  a 


I  ,  p{z  -\-  iz^^)  — pZQ 


i        3      ^  [/>(^  + 'iZoO +/^'5o]' 


/.r2  —  b 
Il  reste  à  remplacer  ici  les  symboles />  par  des  quanlités  données. 


COMI^TKS    HKNDIJS    I-:!'   ANALVSKS.  «5 


C()Mi>Ti:s  hi:ni)us  i:r  analyses. 

MANNIlIilM  (Colonel  A.),  Professeur  à  l'école  Polyleclinique.  —  Phincipks 
KT  DiîvKLOPPKMENTS  i)B  GÉoMKTuiK  ciNKMATiQui:.  Ouvrogo  conlcnaiit  de  nom- 
breuses applicalions  à  la  théorie  des  surfaces.  In-.|",  x-589  p.  Paris.  Gau- 
Ihier-Villars  et  fils;  1894. 

Ce  nouvel  Ouvrage  du  colonel  Mannheim  peut  être  considcM-é 
comme  le  complément  du  Cours  de  Géométrie  descriptive  de 
r  Ecole  Polytechnique  ;  mais  il  n'a  plus  le  caractère  d'un  Traité: 
l'auteur  a  simplement  voulu  (aire  l'exposé  méthodique  de  ses 
travaux  relatifs  à  une  branche  des  plus  intéressantes  de  la  Géomé- 
trie. Une  analyse  rapide  des  différentes  Parties  fera  connaître  à 
nos  lecteurs  la  marche  suivie  par  le  savant  professeur  et  les  ré- 
sultats qu'il  a  obtenus.  Ces  résultats  se  trouvent  pour  la  plupart 
dans  les  nombreux  Mémoires  qu'il  a  successivement  publiés  depuis 
le  débnt  de  sa  carrière  scientifique,  mais  M.  Mannheim  les  a  com- 
plétés fréquemment  et  leur  a  souvent  donné  aussi  nne  forme 
nouvelle. 

La  première  Partie  comprend  non  seulement  le  déplacement 
plan  des  figures  de  forme  invariable,  mais  aussi  le  déplacement 
des  figures  polygonales  de  forme  variable.  Nous  y  signalerons  plus 
particulièrement  un  Chapitre  relatif  au  triangle  mobile  de  gran- 
deur variable,  un  autre  relatif  au  déplacement  infiniment  petit 
d'une  figure  polygonale  de  forme  variable,  etc.  L'auteur  excelle  à 
démêler,  dans  les  figures  dont  le  mouvement  et  la  déformation  sont 
les  plus  compliqués,  des  éléments  simples  auxquels  on  peut  appli- 
quer les  résultats  obtenus  dans  l'étude  du  déplacement  d'une 
figure  invariable.  A  la  fin  de  cette  Partie,  il  reproduit  les  recherches 
élégantes  que  nous  lui  devons  sur  les  arcs  des  courbes  planes  et 
splîériqucs  considérées  comme  enveloppes  de  cercles. 

J^a  seconde  Partie  est  intitulée  :  Géométrie  cinématique  de 
l^espace.  Presque  entièrement  consacrée  à  la  théorie  du  déplace- 
ment infiniment  petit  d'une  figure  de  forme  invariable,  elle  a  son 
point  de  départ  dans  les  découvertes  de  Chasles.  Elle  contient 
l'exposé,  coordonné  des  résultats  qu'y  a  ajoutés  1\L  Mannheim, 
de  la  méthode  des  normales  que  nous  lui  devons,  [^a  théorie  ciné- 

/?////.  des  Sciences  wathcm.,  .<•  série,  l.  \I\.  (Mai  1^9").)  7 


86  PREMIERE   PARTIE. 

maliqiie  de  la  courbure  des  surfaces  occupe  un  Cliapitre  presque 
entier.  Des  applications  particulières  à  l'étude  du  mouvement 
d'une  figure  dont  tous  les  points  décrivent  des  ellipses,  à  celle  de 
la  polhodie  et  de  l'herpolhodie,  au  déplacement  d'une  droite,  d'un 
dièdre  ou  d'un  trièdre  dans  des  conditions  les  plus  variées  se 
mêlent  à  la  théorie  générale  et  en  constituent  en  quelque  manière 
l'illustration. 

La  troisième  Partie  est  constituée  par  diverses  applications  de 
cette  théorie  relatives  aux  normales  et  aux  normalies,  aux  sur- 
faces réglées,  au  contact  du  troisième  ordre  de  deux  surfaces, 
à  la  surface  de  l'onde  de  Fresnel,  etc.  Nous  y  signalerons  plus 
particulièrement  un  Chapitre  inédit  Sur  le  déplacement  infini- 
ment petit  d'une  figure  polyédrale  de  dimensions  variables. 

U Appendice  contient  plusieurs  Notes  relatives  à  la  construction 
des  tangentes  et  des  centres  de  courbure,  aux  longueurs  compa- 
rées d'arcs  de  courbe  différentes.  Nous  y  remarquons  plus  particu- 
lièrement le  Mémoire  d'Optique  géométrique,  où  l'on  trouvera 
la  solution  géométrique  complète,  donnée  pour  la  première  fois  et 
dans  le  cas  le  plus  général,  du  problème  de  la  détermination  des 
éléments  des  surfaces  caustiques. 

En  résumé,  l'Ouvrage  nouveau  peut  être  considéré  comme  l'in- 
dispensable complément  du  Cours  de  Géométrie  descriptive  de 
r École  Polytechnique;  il  offre  la  synthèse  des  élégantes  propo- 
sitions que  nous  devons  à  M.  Mannheim  ou  des  démonstrations 
simples  et  nouvelles  de  résultats  déjà  obtenus  par  d'autres 
géomètres.  Espérons  qu'il  contribuera  notablement  à  maintenir 
et  à  développer  le  goût,  qui  se  perd  de  plus  en  plus,  des  recherches 
géométriques. 


MÉLANGES.       '  8- 


mi!:l/vn(iES. 


RAPPORT   SUR   LES   PROGRÈS   DE   LA  THÉORIE   DES    INVARIANTS 

PROJECTIFS; 

Par    m.    Fr.   MEYER   (dk   Claustiial). 


Traduction  annotée  par  II.  FEIIH. 
{Suite.) 


DEUXIÈME  PARTIE. 

AFFINITÉ     DES     FORMES. 


A.  —   Systèmes   finis. 
a.  —  Généralités. 

Après  avoir  traité  le  problème  de  l'équivalence,  nous  avons  à 
exposer  le  développement  remarquable  qu'a  pris  cette  partie  de 
notre  théorie  dans  laquelle  on  étudie  les  relations  algébriques  si 
diverses  entre  les  formations  invariantes  d'une  forme  ou  d'un 
système  de  formes  données. 

Si  nous  nous  bornons  d'abord  aux  formations  entières  et  ra- 
tionnelles ;  nous  constatons  que  la  nouvelle  période  (depuis  1868) 
est  caractérisée  par  un  problème  bien  déterminé,  celui  des  sys- 
tèmes  finis. 

La  question  la  pbis  importante,  au  sens  de  l'Algèbre  moderne, 
est  précisément  de  savoir  s'il  existe  un  domaine  fini  (^Integri- 
tàtsbereich)  pour  l'ensemble  des  formes  déduites  par  des  opéra- 
tions invariantes  de  certaines  formes  données,  c'est-à-dire  si  dans 
cet  ensemble  on  peut  fixer  un  nombre  fini  àe  types  dont  les  puis- 
sances et  les  produits  reproduisent  tout  autre  type  du  même 
domaine.  Dans  l'affirmative,  quels  sont  les  moyens  qui  permettent 


88  PRExMIËRE   PARTIE. 

d'établir  ce  nombre  fini  de  types  soit  la  base  ou  le  système  com- 
plet des  formes  fondamentales  du  domaine  ('  )? 

Ces  questions  remontent  àGajley(-)  (IP  Mémoire,  i856)  qui, 
ainsi  que  Sjlvester,  avaient  déjà  montré  l'existence  d'nn  système 
complet  de  formes  fondamentales  dans  le  cas  particulier  des 
formes  binaires,  jusqu'à  celles  du  4*^  ordre  inclusivement.  Gajlev 
s'attaque  ici  au  cas  général  des  formes  binaires.  Par  des  considé- 
rations qui  reposent  sur  rex[)ression  du  poids  d'un  invariant  ou 
d'uncovariant,  il  parvient  à  faire  dépendre  le  problème  d'un  système 
d'équations  linéaires.  En  supposant  celles-ci  indépendantes  entre 
elles,  il  en  conclut  l'impossibilité  de  l'existence  d'un  système  fini 
pour  les  formes  d'un  ordre  supérieur  au  quatrième.  Plus  tard 
cette  hvpotlièse  a  cependant  été  reconnue  inadmissible  [voir 
plus  bas,  It,  A^  d). 

P.  Gordan  (^)  montra  le  premier  (1868)  qu'à  toute  forme 
binaire  ('')  absolument  générale  appartient  un  ensemble  limité  de 
formes.  La  démonstration  (même  dans  ses  rédactions  ultérieures 
et  simplifiées)  présente  certaines  longueurs;  mais  elle  fournit, 
par  contre,  des  métbodes  très  pratiques  pour  indiquer  et  délimiter 
les  systèmes  complets.  En  général,  celles-ci  laissent  passer  quel- 
ques types  superflus;  toutefois  pour  les  formes  du  cinquième  et  du 
sixième  ordre  (p.  343  et  34^)  la  réduction  conduit  au  système 
le  plus  simple,  soit  respectivement  de  28  et  26  formes  fonda- 
mentales   [voir  H,  A,  b). 

La  méthode  de  Gordan  repose  essentiellement  sur  la  représen- 
tation   symbolique    des    invariants    et    covariants   de  /,    d'après 


(')  Voit  Kronecker's  Festschri/t,  1882,  p.  i.'|.  La  dénomination  de  système 
{complet)  de  formes  fondamentales,  ou  s\n)p\ement  système  complet  est  due  à 
Gordan,  Journ.  fiir  Math.,  LXIX,  p.  3'(3;  18G8. 

Il  est  vrai  qu'il  existe  des  domaines  sans  base  finie  {voir,  par  exemple,  Hilbert, 
Gott.  Nachr.,   1891;  p.  i'i>.,  233);  mais  nous  n'en  parlerons  pas  dans  ce  Rapport. 

{■")  Collected  Papers,  t.  II,  p.  250-275. 

Comparer  la  remarque  de  Cayley  dans  le  Mémoire  IX,  Phil.  Trans.,  CLXI, 
p.  17-50  ;  1870. 

(')  Journ.  fur  Math.,  LXIX,  p.  323-354  ;  1868.  C'est  après  une  communication 
verbale  avec  C.  Jordan  que  Gordan  a  été  amené  à  résoudre  le  problème  en  ques- 
tion. Voir  l'exposé  de  la  méthode  de  Gordan,  présenté  par  Cayley,  dans  le 
lAT'  Mem.  Trans.  of  London,  1870;  en  part.,  p.  45-5o. 

(*)  Dans  la  suite  nous  représenterons  une  forme  binaire  par  la  notation  /,, 
ou   .5„. 


MÉl.ANCKS.  8(j 

Aronhold  cl  Clcbscli,  ainsi  que  sur  le  rôle  fondamcnlal  cjue  joue 
la  eouiposiliou  des  covarianls  introduite  par  Cajlej. 

La  démonstration  est  basée  sur  une  loi  de  récurrence  (p.  ?)i9.)^ 
en  vertu  de  laquelle  tout  |)roduit  symbolique  de  degré  /??,  par 
ra|)port  aux  coctlicients  de  /'  (et  par  suite  toute  forme  invariante 
de  ce  degré)  est  une  fonction  linéaire,  à  coeflicients  numériques,  de 
formes  qui  sont  des  composés  de  formes  de  degré  m  — i  avec  /. 
C'est  précisément  en  cela  que  consiste  le  progrès  sur  la  méthode 
symbolique  compliquée  des  Anglais.  En  répartissant  les  formes 
ainsi  obtenues  d'une  façon  convenable  en  classes,  on  en  déduira, 
après  un  examen  approfondi,  l'existence  d'un  système  complet. 

Gordan  étendit  bientôt  son  théorème  à  un  système  (  ^  )  de  formes 
binaires  données,  puis  aux  combinants  d'un  pareil  système  de 
formes  de  même  ordre  et,  enfin,  aux  formes  ternaires  (-)  d'un 
ordre  peu  élevé;  depuis  cette  époque,  le  savant  professeur  a  con- 
stamment travaillé  à  la  simplification  de  la  démonstration. 

L'introduction  simultanée  de  plusieurs  formes  données  facilite 
même  le  problème.  On  démontre,  par  un  procédé  relativement 
simple,  le  théorème  suivant,  d'une  grande  portée  par  ses  applica- 
tions :  Si  deux  formes  possèdent  chacune  une  base  finie,  il  en  est 
encore  de  même  du  système  combiné  (^)  résultant  de  la  composi- 
tion {Ueberschiebung)  des  produits  des  types  de  l'un  des  systèmes 
avec  les  produits  de  ceux  de  l'autre. 

Le  Programme  (*)  (iS^S)  de  Gordan  offre  des  progrès  très 
divers.  L'usage  exclusif  de  la  composition  des  covariants  avait 
exigé  l'emploi  d'un  grand  nombre  de  symboles  nouveaux.  Cet 
inconvénient  se  trouve  diminué  de  beaucoup  par  rintroducliou 
d'un  procédé  que  Gordan  désigne  par  Faltung  (^)  et  qui  est  une 


(')  Math.  Ann.,  II,  p.  227-280^  1870;  t.  V,  p.  95-122  et  p.  ôgô-Goi;  1872. 

(-)  Pour  les  formes  cubiques  ternaires  voir  Math.  Ann.,  I,  p.  90-128;  pour 
deux  formes  quadratiques  voir  Clebsoh-Lixdermann,  t.  I,  p.  291,  1875.  Voyez  un 
exposé  plus  récent  dans  les  Math.  Ann.,  XIX,  p.  529-551;  1882. 

(^)  Math.  Ann.,  V,  p.  595.  —  Plus  tard,  Mertexs  a  étendu  ce  principe  à  cer- 
taines classes  de  formes  ternaires  et  quaternaires,  Wien.  Der.,  t.  XGV,  1887  et 
suivants;  voir  la  remarque  de  Gordan  dans  le  Programme,  p.  5o. 

{*)  Leipzig,  chez  Teubner.  —  Noetiieh  en  a  donné  un  exposé  très  clair  dans  les 
Forlschritte  der  Math..,  Vil,  p.  5o-52. 

(')  Nous  adopterons  comme  équivalent  Craiiçais  le  mot  de  transposition.  Cetlc 
opération  purement  syniboliciuc  consiste   à   remplacer  le  produit  a^.  b^  de  deux 


90  PREMIÈRE  PARTIE. 

généralisation'sjmbollquc  de  la  composition  [Ueberschicbung). 
Cette  opération  permet  également  d'établir  très  simplement  le 
système  des  formes.  De  plus,  l'auteur  fait  usage  d'un  procédé  non 
symbolique,  du  développement  en  série  (p.  7).  On  peut,  pour 
une  forme  à  deux  variables  non  homogènes  x  et  y,  trouver  un 
développement  fini,  suivant  les  puissances  de  x — y,  et  tel  que 
'les  coefficients  soient  les  polaires  de  formes  qui  contiennent  seu- 
lement encore  la  variable  x.  Cette  méthode  donne  des  relations 
très  fécondes  entre  produits  symboliques. 

Pour  des  formes  binaires  d'un  ordre  supérieur  au  sixième  le 
calcul  était  avancé  à  ce  point  que,  plus  tard,  von  Gall  ('),  après 
avoir  établi  explicitement  les  formes  fondamentales  appartenant  à 
une  forme  du  septième  et  du  huitième  ordre,  put  se  rattacher 
directement  aux  systèmes  de  Gordan. 

La  plupart  des  moyens  auxiliaires,  en  particulier  le  développe- 
ment en  série,  après  une  modification  convenable,  restent 
encore  applicables  aux  formes  ternaires  et  à  celles  d'un  nombre 
de  variables  plus  élevé  (/.  c,  §  19).  Si,  malgré  cela,  la  démon- 
stration de  l'existence  d'un  système  fini  pour  des  formes  quel- 
conques d'un  rang  supérieur  rencontre  des  difficultés  insurmon- 
tables, il  faut  l'attribuer  aux  expressions  symboliques  qu'on  ne 
peut  plus  dominer  dans  leur  ensemble  ;  c'est  ce  qui  se  présente 
déjà  à  partir  des  formes  quaternaires  (inclusivemenl). 

Dans  les  Vorlesungen  (-)  (Leçons)  de  Gordan,  la  démonstra- 
tion se  présente  d'une  façon  plus  claire,  grâce  à  la  notion  des 
systèmes  relativement  complets,  renfermant  celle  des  systèmes 
complets.  On  désigne  sous  ce  nom  un  ensemble  de  formes  tel 
que  toute  forme  qui  en  dérive  au  moyen  de  la  transposition  (^Fal~ 
tung)  peut,  à  certains  facteurs  près,  être  exprimée  en  fonction 
entière  et  rationnelle  des  formes  du  système.  Le  développement 
en  série  devient  alors  inutile;  par  contre,  l'usage  des  réductants^ 


facteurs  de  première  es[>èce  et  de  symboles  différents  par  {ab)  et  réciproque- 
ment. —  Jordan  fait  usage  de  cette  méthode  pour  la  formation  des  systèmes, 
/.  de  Liouville  (  3),  t.  II  et  V.  —  H.  F. 

(')  Math.  Ann.,  XVII,  18S0;  WXI,  188S.   Cf.  II.  A,  b. 

(^)  Publiées  par  Keuschensteiner,  Leipzig,  Teubner,  t.  I,  Detcrminanten,  iSS.î; 
II,  Binàre  Fornien,  18S7.  ^^  démonstration  est  exposée  dans  les  §§  21,  11  du 
tome  II. 


MfaAN(JF.S.  91 

iiilroduils  par  Cj(3rclan  clans  son  Programme  (1875,  §8),  ofïVc  de 
j;raîuls  avanla<;es.  Ce  sont  des  facteurs  contenus  dans  des  pro- 
duits syml)oli(|ucs  et  tels  que  leur  présence  permet  de  reconnaître 
immikliatement  la  réductibilité  de  ces  derniers  à  des  formes  plus 
simples. 

C'est  à  l'aide  do  ces  considérations  nouvelles  que  Gordan  par- 
vient à  établir  d'une  façon  très  élégante  les  S3'stèmes  complets  des 
formes  du  5®  et  du  6"  ordre  (/.  c,  p.  287  et  a^S). 

Dans  toutes  ces  démonstrations,  qui  sont  basées  sur  la  nota- 
tion symbolique,  les  formes  qui  servent  de  point  de  départ  doi- 
vent être  considérées  comme  absolument  générales  de  leur 
espèce,  les  coefficients  étant  donc  envisagés  comme  des  variables 
indépendantes.  Il  en  est  de  même  pour  les  substitutions  corres- 
pondantes. 

Les  résultats  obtenus  peuvent  être  immédiatement  reportés  aux 
formes  binaires  contenant  plusieurs  séries  de  variables  (homo- 
gènes), ces  dernières  étant  soumises  aux  mêmes  substitutions. 
Cependant,  comme  l'a  fait  voir  Peano  (  ^  )  en  1881 ,  on  peut  aussi, 
sans  avoir  recours  à  des  moyens  auxiliaires  essentiellement  nou- 
veaux, donner  une  démonstration  pour  le  cas  plus  général  où  les 
substitutions  effectuées  sur  les  différentes  séries  de  variables  jc,, 
^2ÎJKoJK2  5  •••  sont,  toutes  ou  en  partie,  indépendantes  les  unes 
des  autres.  Peano  en  donne  une  application  importante  à  la  for- 
mation des  invariants  fondamentaux  des  correspondances  (-). 

Plus  récemment  Gordan  est  parvenu  à  des  résultats  analogues 
par  une  voie  directe,  en  introduisant  la  notion  importante  des 
systèmes  prolongés  (^).  Ainsi,  supposons  établi,  sous  forme  de 
composés,  le  système  complet/, , /o,  .  .  .  d'une  forme  unique;  il 
suffira  de  supprimer  les  indices  pour  obtenir  le  système  pro- 
longé. 

A  ce  qui  précède  nous  devons  rattacher  un  travail  remarquable 


(•)  Atti  di  Torino,  XVII,  p.  73-80. 

(")  Voir  aussi  son  Mémoire  dans  le  Datt.  G..  XX,  p.  79-101;  188.?. 

Si  Ion  égale  à  zéro  une  l'orme  binaire  à  deux  séries  de  variables,  on  délermiue 
une  correspondance  entre  deux  éléments  géométriques;  les  deux  séries  de  variables 
sont  soumises  à  des  substitutions  indépendantes  l'une  de  l'autre.  11.  I'". 

(')  Erlanger  Ber.,  1887;  MaLli.  Ann.,  XXMIl,  p.  373-389;  1888. 

Pour  les  fornies  quadratiques  voyez  Stluy,  Erl.  Ber.,  1887,  p.  385-388. 


(P^  PREMIÈRE   PARTIE. 

« 

(1882)  de  IVano  (*),  réalisant  des  progrès  imporlanls  dans  une 
aiilrc  direclion.  D'après  Clebscli  (/Jincïre  Fornien,  §  58),  les 
formalions  invariantes  d'une  suite  linéaire  ou  quadratiques  de 
formes  binaires  jouissent  de  la  propriété  de  pouvoir  être  ramenées 
à  un  certain  nombre  de  types;  deux  covariants  sont  d'un  même 
type  lorsqu'on  peut  les  déduire  l'un  de  l'autre  par  des  opérations 
polaires.  Quel  que  soit  le  nombre  de  formes  proposées,  celui  des 
types  est  ///?/.  Pcano  généralise  les  résultats  précédents  en  s'ap- 
puyant  sur  un  travail  de  Capelli  (-);  l'auteur  montre  que,  pour 
une  suite  do  formes  binaires  d'un  degré  quelconque,  mais  iden- 
tique })our  toutes  les  formes,  le  nombre  des  types  reste  fini  lorsque 
celui  des  formes  augmente  indéfiniment.  Il  examine  ensuite  le  cas 
d'un  nombre  quelconque  de  cubiques  binaires  et  démontre  qu'on 
obtient  10  types;  de  plus,  il  donne  encore  le  nombre  de  forma- 
tions appartenant  à  chacun  de  ces  types. 

Nous  constatons  ici  un  changement  de  direction  pour  le  déve- 
loppement de  la  théorie  des  systèmes  finis.  Dans  les  démonstra- 
tions précitées  ('^),  la  formation  effective  de  ces  systèmes  était 
prise  directement  en  considération;  ce  point  de  vue,  plutôt  pra- 
tique, passe  dès  lors  au  second  plan,  tandis  que  le  principal  in- 
térêt se  concentre  sur  la  théorie  proprement  dite.  Les  méthodes 
nouvelles  qui  en  résultent  n'ont  plus  ce  caractère  purement  sym- 
bolique et  mettent  plus  en  relief  les  propriétés  essentielles  des 
systèmes  de  formes. 

La  première  impulsion  dans  ce  sens  a  été  donnée  par  un  Mé- 
moire de  Mertens  ('')  sur  le  système  fini  d'un  système  de  formes 
binaires;  l'auteur  y  présente  une  démonstration  générale,  indé- 
pendante des  auxiliaires  des  symboles. 

(•)  AuLdi  Torino,  XVII,  p.  58o-586. 

(")  Batt.  G.,  XX,  p.  29.3-301;  1882. 

(')  Nous  devons  encore  mentionner  deux  dénionslraLions,  l'une  de  Jordan, 
l'autre  de  Sylvester,  à  l'aide  desquelles  on  peut  déterminer  directement  la 
limite  supérieure  du  degré  et  de  l'ordre  des  systèmes  d'une  forme  binaire. 

Jordan,  Comptes  rendus,  LXXXII  (1870),  L\XXVII  (1878);  Joiirn.  de  Liou- 
ville,  (3),  t.  II,  p.  177-233;  1876,  et  t.  V,  p.  3/|5-379,  1879. 

Sylvester,  Proc.  of  London ,  XXVII,  p.  i  \-\'d  ;  1878,  Comptes  rendus,  LXXXVI, 
p.  1437-14^1,  i49i-i'i92,  i5i9-i522;  1878.  Quant  aux  autres  recherches  de  Syl- 
vester, voir  plus  loin,  II,  A,  c. 

{*)  Journ.  fur  Math.^  C,  p.  223-23o;  1886.  Travail  simpliné  dans  les  Wien. 
Ber.,  XCVIll,  p.  t-H;  1889. 


M  fi:  LAN  G  FS.  (j3 

De  son  (•ùu',  llill)ci'L  (*),  aïKjiicl  noli'c  théorie  doit  ses  progrès 
r(''((Mils  si  reinarquahles,  avait  déjà  piihlié  imo  démonstration 
analogue  à  celle  de  Merlens  et  tout  à  fait  générale. 

Plus  récemnient  encore,  dans  son  hcau  Mémoire  C-^)  de  1890, 
llilbert  démontre  d'une  façon  générale,  et  en  ne  faisant  exclusi- 
vement usage  (|ue  d'opérations  rationnelles,  que  le  système  des 
invariants  résultant  d'une  suite  proposée  de  formes  quelconques 
à  n  variables,  est  un  système  fini.  L'auteur  a  réussi  d'autant 
mieux  qu'il  a  su  délivrer  (^)  le  noyau  de  la  question  du  domaine 
étroit  de  la  théorie  des  invariants,  pour  en  faire  une  propriété 
fondamentale  d'une  infinité  de   systèmes  de  formes  algébriques. 

La  méthode  repose  essentiellement  sur  la  proposition  suivante  : 
Considérons  une  suite  ininterrompue  de  formes  F,,  F2,  ...  à 
n  variables,  obtenue  suivant  une  loi  quelconque  donnée,  l'ordre 
des  F  et  les  coefficients  n'étant  soumis  à  aucune  restriction;  les 
coefficients  appartiennent,  par  exemple,  à  un  domaine  de  ration- 
nalité  IL 

«  On  pourra  toujours,  dans  la  suite  des  F,  fixer  un  nombre 
fini  de  formes  F/,  F,,,  .  .  .,  F,  ,  telles  que  toute  forme  F^  de  la 
série  puisse  être  exprimée  linéairement  au  moyen  de  celles-ci, 
c'est-à-dire  telles  que  l'on  ait 

F.  =  A,,  F,,  +  A,,  F,,^  -i- . . .  +  A,„.  F,„.,  ' 

où  les  A  sont  également  des  formes  en  x  dont  les  coefficients  ap- 
partiennent au  même  domaine  R.  » 


(')  Math.  Ann.,  XXXIII,  p.  228-226;  1888.  Voir  dans  les  Math.  Ann.,  XXXIV, 
p.  3i9-32o  (1889)  une  Note  dans  laquelle  Cayley  propose  une  modification  du 
pi-océdé  de  Hilbert;  dans  le  t.  XXXV,  Petersen  vient  rectifier  une  erreur  dans 
les  conclusions  (p.  110-112).  —  Dans  les  Forlsch.  der  Math.,  XXI,  p.  io4,  Hil- 
bert dit  expressément  que  sa  démonstration  n'exige  aucun  complément. 

C^)  Math.  Ann.,  XXXVI,  p.  473-534-  Voir  d'abord  une  série  de  communications 
insérées  dans  les  Gott.  Nachr.,  1888,  n°  16,  p.  /|5o-.'i57;  1889,  n°  2,  p.  2.5-34,  et 
n»  15,  p.  423-43o  et  dans  les  Math.  Ann.  (t.  XLI,  p.  469-490;  1893),  une  Note  de 
Story  sur  la  théorie  de  Hilbert.  Consulter  dans  ce  mrnïe  Hecueil  les  Mémoires 
récents  de  Hilbert  (t.  XLII,  p.  3i3-373;  1893)  et  de  Gordan  (p.  i32-i'|a).     • 

(')  Kn  eiïet,  la  mélliode  de  Hilbert  élai)lil  un  lien  très  étroit  entre  la  théorie 
des  formes  et  celle  des  systèmes  modulaires  cl  des  corps  al^i^briqucs  de  Kno- 
NKCKER  d'une  part  et  de  Deoekind  et   Werer  d'aulrc  pari. 


94  PUEMIÈUE   PARTIE. 

De  plus,  l'auteur  généralise  l'opération  cayleyenne  Q^?  étu- 
diée par  Gordan  et  Mertens  ('),  et  il  en  déduit  une  proposition 
auxiliaire  d'un  usage  très  fécond  dans  la  formation  des  systèmes. 

La  méthode  de  Hilbert  s'applique  même  au  cas  plus  général  de 
plusieurs  séries  de  variables  en  nombre  égal  ou  inégal,  et  sou- 
mises à  des  substitutions  quelconques,  identiques  ou  différentes. 

Son  Mémoire  contient,  en  outre,  une  série  de  propositions  im- 
portantes concernant  la  formation  des  syzygies  {cf.  11,  A,  d). 

Dans  un  travail  plus  récent  (-),  Hilbert  a  encore  exposé  d'autres 
conséquences  de  sa  méthode  en  l'examinant  tout  particulière- 
ment au  point  de  vue  de  la  formation  effective  des  systèmes  com- 
plets. Il  s'est  également  proposé  le  problème  intéressant  qui  con- 
siste à  déterminer  une  forme  ayant  certains  invariants  donnés. 
Nous  aurons  l'occasion  de  revenir  sur  ce  dernier  point  (11,  B,  b). 

b.  —  Sur  certains  points  spéciaux  de  la  théorie  des  systèmes  complets. 

Nous  examinerons,  dans  ce  paragraphe,  les  travaux  visant  par- 
ticulièrement le  calcul  des  systèmes  complets.  On  conçoit  facile- 
ment que,  dans  les  méthodes  fondées  par  Clebsch  et  Gordan,  le 
nombre  des  formes  d'un  système  présente  d'abord  le  caractère 
d'une  limite  supérieure  :  en  effet,  on  a  constaté  que,  dans  plu- 
sieurs cas  (^),  ces  systèmes  contenaient  des  formes  superflues. 


(')  Voir  les  Vorlesungen  de  Gordan,  t.  II,  §  9. 

Mertens  en  a  donné  une  démonstration  dans  les  Wien.  Ber.,  XCV,  p.  942- 
991,  1887,  et  s'en  est  servi  depuis  dans  une  série  de  travaux  publiés  dans  le 
même  Recueil,  cf.  II,  A,  h. 

Clebsch  s'est  servi  du  même  procédé  pour  les  formes  linéaires;  voir  Journ. 
fiir  Math.,  LI\,  p.  7  et  suivantes. 

(^)  Gott.  Nachr.,  1891,  p.  282-242;  1892,  p.  2-12  et  1892,  n°  12,  p.  11  et  suivantes. 
Pour  ce  qui  concerne  les  systèmes  complets  à  coefficients  entiers,  consulter 
Weber,  Gôtt.  Nachr.,  p.  109-112;  1893, 

(')  Les  exemples  les  plus  instructifs  sont  fournis  par  les  systèmes  simultanés 
des  formes  (Z,,  9^),  {f^,  9J,  (/„  cpj  et  (/^,  ^J  et  par  le  système  d'une  forme/,. 

Dans  le  cas  (/j,  93)  consulter  Sylvesteh,  Comptes  rendus,  LXXXIX,  p.  82S- 
833;  1877  et  Ani.  Journal,  II,  p.  024-329  (1879);  puis  d'Ovidio  et  Gkrbai.di  dans 
les  Atti  di  Torino,  XV,  p.  2G7-270;  1880. 

Le  système  if^,f^)  de  Gordan  et  Gundelfinger  a  été  réduit  de  trois  formes  par 
Sylvester,  Comptes  rendus,  LXXXVII,  p.  44^-448,  477-48i  ;  «878. 

La  réduction  du  système  (./,,  9,)  a  été  examinée  par  Sylvester,  Comptes 
rendus,  LXXXIV,  p.  1285-1289  (1877);  ^''*^-   Journ.,    il,   p.   324-329  (1879),  puis 


MÉLANGES.  95 

Ce  n'est  que  plus  lard,  en  examinant  les  travaux  des  géomètres 
anglais  [cf.  II,  A,  c)  que  Ton  a  |)u  fixer  dans  ces  noml)res  ceux 
qui  sont  absolument  exacts. 

Pour  une  forme  binaire  unique,  les  cas  les  plus  simples 
^î  =r=  2,  3,  4  ont  été  déterminés  depuis  longtemps  par  Cajley  et 
Sjlvester-,  mais  ce  ne  fut  qu'en  i868  que  Gordan  parvint  à  ré- 
soudre le  problème  pour  /s  et  /,;  (*).  La  métbode  que  suivit  ce 
dernier  pour  démontrer  l'existence  de  ces  systèmes  respective- 
ment de  23  et  26  formes  fondamentales,  permettait  une  extension 
à  une  forme  quelconque /z^,  sans  exiger  des  moyens  auxiliaires 
essentiellement  nouveaux.    ' 

En  se  basant  sur  la  démonstration  simplifiée  par  Gordan  dans 
son  Programme,  V.  Gall  établit  directement  le  système  com- 
plet de  /s  (-)  et  plus  tard,  en  surmontant  des  difficultés  plus 
grandes,  il  obtint  celui  àe  f^  (^). 

Quant  au  système  simultané  de  deux  formes  Z^^,  les  cas  (2,  2), 
(  2,  3),  (3,  3)  ont  été  examinés  par  Salmon  et  Clebsch ;  (3,  4)  par 
Gundelfinger(*),  (2,  5)  par  Winter  (^)  et  (2,  6)  par  V.  Gall  («). 
Gordan  en  a  fait  une  étude  systématique  dans  un  travail  (^),  à  la 
fin  duquel  il  donne  le  tableau  des  formes  pour  lesquelles  aucune 
des  deux  ne  dépasse  le  4^  ordre.  Citons  encore  une  étude  du 
système  (4?  4)  due  à  Bertini  (^). 

Pour  ce  qui  est  des  systèmes  simultanés  de  plus  de  deux  formes 

par  d'Ovidio,  Atti  di  Tor.^  XV,  p.  3ot-3o^|,  et  par  Stroh,  Math.  Ann.,  XXII, 
p.  29o-"i96  (i883  ). 

Quant  à/,,  voyez  les  Notes  de  V.  Gall,  Math.  Jnn.,  XVI,  p.  4^6  (18S0)  et  de 
Sylvester,  Comptes  rendus,  LXXXIV,  p.  ■2\o-2\t\,  532-534,  t.  XCIII,  p.  192-196, 
365-3G9;  Am.  Journ.,  IV,  p.  62-85  (1881);  puis  une  communication  de  Stroh, 
dans  les  Math.  Ann.,  XXXI,  p.  444-454  (t888). 

(')  Journ.  fur  Math.,  LXIX,  p.  323-354;  voir  aussi  Maisano,  Boni.  Ace.  L. 
Menu,  (3),  XIV  (i883)  et  XIX  (188^). 

{■")  Math.  Ann.,  XVII,  p.  3i-52,  109-152,  456  (1880). 

{')  Math.  Ann.,  XXXI,  p.  3i8-336  (1888).  Comparer  Krey,  Dissert.,  Striegau, 

1874. 

(*)  Progranini,  Stuttgart,  1869,  p.  i-^3. 

(*)  Progranim,  Darmstadt,  1880. 

{")  Progranini,  Lcmgo,  1873. 

(')  Math.  Ann.,  II,  p.  227-281;  1870. 

(')  Batt.  Giorn.,  \IV,  p.  1-1 4;  i'*^7^^>  reproduit  dans  les  Math.  Ann.,  XI, 
p.  3o-4i;    1877. 


96  PUEMIËUE   PAUTIi:. 

Ijinaires,  on  n'a  guère  dépassé  Clel)scl)(*)  qui  a  tiailé  le  cas 
d'une  série  quelconque  de  formes  respcclivement  linéaires  et 
quadratiques;  le  système  de  quatre  formes,  dont  deux  linéaires 
et  deux  quadratiques,  a  été  étudié  en  détail  ])ar  Perrin  (-). 

Si  nous  passons  aux  formes  ternaires  G,,,  nous  avons  d'abord, 
pour  une  forme  unique,  un  cas  présentant  certaines  difficultés  : 
c'est  celui  de  n  = '6  pour  lequel  Gordan  (^)  a  démontré  l'exis- 
tence d'un  système  de  34  formes. 

Ge  ne  fut  que  beaucoup  plus  tard  (jue  Mertens  ('•)  arriva  au 
même  résultat  par  une  voie  non  symbolique,  uniquement  au 
moyen  de  Vopéi'atlon  ù. 

Pour  /i  =:  4  ie  nombre  des  formes  devient  si  considérable  que 
Gordan  préféra  se  limiter  à  un  type(^)  spécial  qui  peut  être 
caractérisé  par  l'existence  d'une  simple  identité  entre  covariants; 
ce  type  se  présente  dans  l'étude  de  l'équation  du  "-/  ordre  admet- 
tant i68  substitutions  en  elle-même.  Dans  le  cas  général  de  G4, 
Maisono  (^)  a  déterminé  les  formes  dont  le  degré  ne  dépasse  pas 
le  nombre  0. 

L'étude  du  système  de  deux  formes  G2  a  été  entreprise  par 
Gordan  (^)  qui  l'a  rattachée  plus  tard  (^)  à  celle  du  type  G4  cité 


(')  Consulter  à  ce  sujet  son  traité  :  Binaere  Formen,  Leipzig,  1872,  ainsi  que 
l'exposé  siraplifié  par  Gordan  dans  ses  Vorlesungen,  t.  II,  Leipzig,  1887. 

(-  )  Bull.  Société  math.,  XV,  p.  /|5-6i  (18S7  ).  Tout  récemment  von  Gall  a  traité 
le  cas  de  trois/,,  Math.  Ann.,  t.  XLV,  p.  207-284;  iBç/i. 

(')  Math.  Ann.,  I,  p.  90-128;  p.  359-400;  t.  XVII,  p.  Q17-233  (1S80).  Voir  aussi 
t.  VI,  p.  43(J-5i2  et  les  simplifications  introduites  par  GuxDKLFiXGKrx,  t.  IV, 
p.  144-168  et  t.  V,  p.  442-447. 

Pour  la  forme  normale  de  liesse  C^  :^  ax^  -h  ày'  ^  c z^  -{-  Gdxyz,  consulter 
Cayley,  Ani.  Journ..^  IV,  p.  i-iG  (18S1)  ;  on  y  trouvera  des  renseignements  biblio- 
graphiques. 

Quant  aux  formes  x y'^  —  \'i'' -j^-  g ^x^ y -h  g ^x^  el  a x  z^—  ^by\  voyez  Dingkldky, 
Math.  Ann.,  XXXI,  p.  157-176  ([888). 

(*)   Wien.  Ber.,  XCV,  p.  942-991  et  XCVII,  p.  487-518;  t888. 

(')  Math.  Ann.,  XVII,  p.  217-288.  Système  complet  de  54  formes.  Joir  une 
Note  dans  le  traité  Clebscli-Lindeniann,  t.  I,  p.  174. 

(«)  Batt.  Giorn.,  XI\,  p.  198-287  (1881)  et  Pal.  Bend.,  I,  p.  54-56  (188G). 

(')  ClebscJi-Lindemann,  t.  I,  p.  288  et  suivantes.  Voyez  p.  291  le  tableau  des 
20  formes  du  système. 

(")  Math.  Ann.,  XI\,  p.  529-552;  1880.  Voif  aussi  Osgood,  Ani.  /..  XIV, 
p.  262-278;  1892. 


AIT:  LANGES.  '  97 

plus  haiil.  n<'C(Mi)in(Mil  l'crrin  a  oxposé  les  relations  al^éliriques 
et  j;é()mctri(|iics  des  formes  de  ce  système  (*). 

La  connaissance  dn  système  complet  de  trois  formes  (^2  est  due 
à  ('iamberlini  (-). 

IjCs  formes  ([nalc^rnaires  ¥,i(^x)  ont  été  étudiées  dans  le  cas  de 
n  =  2  par  Merlens  (•')  (pii  est  parvenu,  en  modifiant  convena- 
blement l'opération  Q,  à  un  système  complet  de  20  formes.  Il  a 
également  montré  comment  des  systèmes  isolés  de  2  formes  F2, 
on  peut  facilement  passer  au  système  simultané  de  ces  deux  der- 
nières. En  suivant  une  méthode  analogue,  le  môme  auteur  a  exa- 
miné (  ')  les  formes  bilinéaires  alternées  de  deux  séries  de  variables 
quaternaires  et  cogrédienles. 

Enfin,  quant  aux  formes  à  plusieurs  séries  de  variables,  nous 
devons  mentionner  les  Mémoires  de  Studj  et  de  Gordan  sur 
le  système  complet  d'une  forme  binaire  doublement  quadra- 
tique (•'). 

Dans  le  domaine  ternaire,  on  ne  possède  encore  que  le  système 
d'une  formé  linéaire  à  deux  séries  de  variables  contragrédientes 
œ  et  u;  ce  |3roblème  (•')  a  été  étudié  par  Clebsch  et  Gordan. 
Récemment  (")  IMertens  a  examiné  la  question  analogue  pour  les 
formes  quaternaires. 

Il  nous  reste  encore  à  signsi]ev  cevidi'ins  sous-systèmes  complets. 


(')  Bull.  Société  Math.,  XVIII,  p.  1-80;  1890.  Le  Rapporteur  en  a  donné  un 
compte  rendu  détaillé  dans  les  Fortsch.  der  Math.,  t.  XXII. 

Comparer  encore  Hosanes,  Math.  Ann.,  YI,  p.  264  et  Gerbaldi  Annali  di 
Mat.  (2),  XVII,  p.  161-146;  1889. 

(0  Batt.  G.,  XXIV,  p.  141-157;  1886.  C'est  un  système  de  127  formes. 

{')  Wien.  Ber.,  XCVIII,  p.  691-739  (1889).  L'année  suivante  (p.  367-884),  il 
détermine  explicitement  le  système  complet  (47  formations)  de  3  formes  F^. 

(')   Wien.  Ber.,  XCVII,  p.  519-537;  1888. 

(5)  Math.  Ann.,  XXXItl,  p.  372-889;  1889.  Système  composé  de  38  formes. 
]'oir  les  Notes  de  Study  et  de  Gordan  dans  les  Erlanger  Ber.  de  1889.  Le  sys- 
tème complet  des  invariants  avait  déjà  été  trouvé  par  Capelli,  Batt.  G.,  XVII, 
p.  69-148;  1879. 

Dans  les  formes  binaires  à  plusieurs  séries  de  variables  congrédientes.  Le 
Paige  a  étudié  dans  un  but  géométricjue  celles  qui  sont  triliuéaires  et  quadrili- 
néaires.  Comptes  rendus,  XCII,  p.  io'i8-49;  iio3-5;  XCIII,  p.  26^-265,  p.  5og-5i2 
(1881);  XCIV,  p.  69-71;  Atti  Torino,  Wll,  p.   299-826  (1882). 

(^)  Math.  Ann.,  I,  p.  359-400;  1869. 

(   )    Wien.  Ber.,   XCVIII,  p.  i3-32;  1890. 


98  PIIEMIÈRE   PARTIE. 

Si  nous  faisons  abstraction  de  ceux  dont  l'existence  est  évidente  (  '  ), 
nous  pouvons  nous  borner  à  deux  cas. 

Le  premier  appartient  à  la  catégorie  des  combinants  binaires 
que  Gordan  (2)  a  reconnus  en  18^9  comme  constituant  le  système 
complet  d'une  forme  unique  à  plusieurs  séries  de  variables  cogré- 
dientes.  Le  cas  le  plus  simple  est  celui  de  deux  formes /"/,.  D'après 
la  méthode  de  Gordan,  la  recherche  du  système  complet  des  com- 
binants revient  à  celle  du  système  simultané  ordinaire  de  deux 
covariants  élémentaires  respectivement  du  6^  et  du  2^  ordre  entre 
lesquels  il  existe  une  certaine  relation  identique.  Le  calcul  qui  s'j 
rattache  a  été  fait  par  Stephanos  (^). 

]1  y  a  ensuite  un  sous-système  très  remarquable  rencontré  par 
Wiltheiss  dans  l'étude  des  fonctions  hyperelliptiques  ('*).  C'est 
un  système  de  neuf  covariants  de  /  qui,  soumis  à  l'opération  0 
(d'Aronhold)  donnent  toujours  naissance  à  des  covariants  du  sys- 
tème. 

Les  recherches  sur  les  systèmes  complets  basées  sur  les  fonc- 
tions génératrices  et  celles  des  systèmes  complets  des  syzygies 
seront  traitées  plus  loin.  Par  contre,  nous  avons  déjà  eu  l'occasion 
(T,  A,  b)  de  mentionner  ceux  des  systèmes  complets  qui  se  rat- 
tachent aux  groupes  finis  de  substitutions  linéaires. 

c.  —  Systèmes  associés  et  représentation  typique. 

Au  lieu  d'avoir  en  vue  la  détermination  du  système  fini  des 
formes  invariantes  déduites  de  formes  données,  certains  travaux 
ont  plus  particulièrement  pour  but  d'obtenir  pour  ces  formes  un 
domaine  de  rationalité  (^)  à  base  finie.  C'est  à  ces  Mémoires  que 
nous  consacrons  ce  paragraphe. 


(  '  )  Par  exemple,  ceux  dont  les  formes  ne  contiennent  qu'une  partie  des  variables, 
de  plus  les  classes  de  systèmes  A,  A^  ...  d'après  Gordan  (  Vorlesungen,  II,  §  21). 

(*)  Math.  Ann.,  V,   p.  95-122;   1876. 

(')   Comptes  rendus,  XCVII,  p.  27-81;  1880.  L'auteur  a  obtenu  26  formes. 

(*)  Math.  Ann.,  XXXV,  4.^3-456;  1889;  t-  XXXVI,  p.  i34-i53;  t.  XXXVII, 
p.  229-2-2  ;  1890. 

(*)  Dans  ce  même  ordre  d'idées,  on  pourra  consulter  les  développements  que 
Lagrange  a  donnés  aux  relations  rationnelles  entre  fonctions  semblables.  Voir 
aussi  KuNiG,  Math.  Ann.,  XVIII,  p,  69-77  ('881). 


Le  [problème  remonte  à  Hennile  (*),  qui  (it  voir,  en  i852,  que 
les  formes  invarianlcs  qui  déiivent  d'une  forme  binaire  y  peuvent 
être  exprimées  à  l'aide  de  /et  des  formes  associées  Z)-2,  CÛ3,  .  .  .,  '^„. 
Cependant,  comme  le  remarqua  Clebsch  (^)  en  i8no,  ce  système 
associé  peut  être  ramené  à  un  autre  plus  simple,  composé  du  co- 
variant  'l  (du  second  degré)  de/'  et  du  déterminant  fonctionnel 
y  de  'i>  et  de  /;  ce  dernier  est  un  covariant  du  3*^  degré  de/.  Les 
cp  deviennent  alors  exprimables  à  l'aide  de  formules  récurrentes 
en  fonction  de  ^^y^f.  Ce  résultat  a  été  démontré  dans  toute  sa 
généralité  au  mojen  de  la  méthode  symbolique  par  Gundel- 
finger  (•^),  qui  de  plus  en  a  fait  l'extension  au  système  simultané 
de  deux  formes //^  et  cc,,^. 

Le  cas  d'une  série  de  formes  binaires  a  été  étudié  par  Sjl- 
vester('')  qui  s'est  appuyé  sur  les  sources  des  covariants. 

Kohn  (^)  a  fait  une  application  intéressante  des  formes  associées 
à  la  divisibilité  des  résultants  et  des  discriminants  de  covariants 
par  une  puissance  du  discriminant  de  la  forme  ou  d'un  système 
simultané  de  formes  données. 

C'est  en  se  basant  sur  les  sources  des  formes  associées  'J>,  y, 
introduites  par  Clebsch,  que  Perrin  (")  a  pu  étendre  les  résultats 
précédents    au    cas  de    formes  F  a  p  variables  cogrédientes  x^, 

Ce  problème   a   été   traité  directement  et  d'une  façon  remar- 


(')  Journ.  fur  Math.,  LU,  p.  i-38.  Dans  une  autre  voie,  en  rapport  avec  la 
résolution  des  équations  algébriques,  c'est  Igel  qui  a  fondé  la  théorie  des 
formes  associées;  Vienne  (chez  Gerold),  1889. 

(')  Gott.  Nachr.,  1870,  p.  [\ob-\o^  ou  Math.  Ann.,  III,  p.  265-267;  187t. 

Ce  travail  a  donné  lieu  à  un  Mémoire  de  Gayley  sur  la  représentation  typique 
de /j  ;  A\  Mem.  Phil.   Traiis.,  p.  6o3  661;  1878. 

(^)  Journ.  filr  Math.,  LXXIV,  p.  87-91;  1871.  Cet  exposé  a  été  simplifié  par 
l'auteur  dans  Salmon-Fiedler,  p.  459-463  (1877).  Le  problème  inverse  a  été  exa- 
miné par  GoRDAN,  Math.  Ann.,  XL,  p.  5o3-526;  1892.  Voir  aussi  Barthlein,  Dis- 
sert. Erlangen,  1S87  et  Forsyth,  mess.,  n°  202,  1888;  ainsi  que  le  travail  récent 
de  ItiEL,  Monatshe/te  fiir  Math.,  \,  p.  29-302;  1894. 

(*)  Comptes  rendus,  LXXXVI,  p.  !\'\^-\'m)',  1878.  Ann.  Journ.,  I,  p.  1 18-12^1; 
1878. 

(')  Wien.  Ber.,  juillet  1891  (29  pages);  octobre  1891  (5  pages). 

(')  Comptes  rendus,  CIV,  p.  108-1 1 1,  220-223,  280-283;  1887.  L'auteur  ramène  la 
recherche  des  invariants  et  covariants  de  F  ou  d'un  système  de  F  à  celle  des 
invariants  d'un  systètiie  dclenniné  de  formes  dp —  i   variables  cogrédientes. 


100  PniîMIEUH    PARTI  H. 

quable  par  Forsjlli  (')  qui,  en  oulre,  a  entièrement  développé 
certains  cas  isolés  pris  dans  le  domaine  ternaire  ou  quaternaire. 
Dans  le  cas  des  formes  ternaires  F  =  F,i(.X\^  X2-,  ^3)  le  système 
des  ternarianfs  associés  à  F  se  compose,  abstraction  faite  du  co- 
variant  identique,  de  ^  (n  -\-  4)  {fi  —  i)  formes. 

Dans  la  méthode  d'Hermite  les  systèmes  associés  reposent  sur 
les  transformations  (linéaires)  des  formes  binaires  données. 
Briosclii  (-)  a  étendu  cette  méthode  aux  formes  à  plusieurs 
variables.  La  question  a  été  entièrement  résohie  dans  deux  cas 
isolés  :  pour  la  forme  ternaire  générale  C3  et  pour  une  forme 
spéciale  G4  (  •'). 

Ce  que  nous  venons  de  voir  se  rapporte  à  la  représentation 
typique  des  formes  invariantes  à  l'aide  de  co^ariants.  En  elFet, 
d'une  manière'générale,  la  méthode  consiste  à  multiplier  la  forme 
donnée  F(x)  (ou  la  série  des  formes  proposées)  par  une  certaine 
puissance  d'un  covariant  écrit  au  moyen  des  variables  cogré- 
dientesj)/',  et  tel  que  le  produit  puisse  être  développé  suivant  les 
puissances  des  fonctions  entières  i,  'r\  de  .r,  jk,  les  nouveaux  coef- 
ficients représentant  des  covariants  de  F(^).  On  peut  se  limiter 
au  cas  où  la  substitution  effectuée  sur  les  jk  est  linéaire. 

Par  contre,  il  existe  une  représentation  typique  à  l'aide  d'in- 
variants; la  forme  donnée  (ou  la  série  des  formes)  multipliée  par 
une  certaine  puissance  d'un  invariant  B  de  F  et  développée  sui- 
vant les  puissances  des  fonctions  entières  ^,  */)  de  x  (qui  seront 
des  covariants  de  F)  aura  comme  nouveaux  coefficients  des  inva- 
riants de  F. 

La  transformation  qui  permet  ce  passage  est  une  transformation 
ordinaire  de  Tschirnhausen  ;  cependant,  dans  beaucoup  de  cas, 
on  peut  éviter  l'application  directe  de  celte  méthode  (parfois  pé- 


(')  Am.  J.,  XII  p.  1-60,  ii5-iGo;  1S89  (Ternariaiits)  ;  voir  aussi,  pour  ce  qui 
est  du  domaine  ternaire,  I^rungate,  Quart.  J.,  XXV,  p.  i55-t8i;  1891. 

Cambr.  PJiil.  Trans.,  XIV,  p.  409-466;  1889.  (Quaternariants). 

(^)  Voir  plus  haut,  p.  191,  note(').  Une  pareille  extension  a  été  faile,  en  sui- 
vant une  autre  voie,  par  Grassmanx,  Math.  An/i.,  VII.  p.  538-548;  1878,  et  par 
CiiuisTOFFEL,  Math.  Ann.,  XIX,  p.  280-290;  189'?. 

(^)  Le  premier  est  dû  à  Clehsch  et  Gordan  :  Math.  Ann.,  I,  p.  57-89;  1869. 

Le  cas  de  C^  admettant  168  substitutions  a  été  examiné  par  Gordan  dans  un  tra- 
vail mentionné  à  plusieurs  reprises  {Math.  Ann.,  WII,  p.  359-379:  18S0). 


MELANGES.  ,„i 

nlhlc),  (le  sorle  (jue  la  Iransformalion  elle-même  passe  à  Tiinii-re- 
|)lai). 

On  reconnaît  facilement  qu'il  existe  un  grand  nombre  de  pro- 
blèmes conduisant  a /?r/o/7  à  une  pareille  forme  invariantive  qui 
laisse  entrevoir  le  caractère  d'invariance  des  formes  données  ou 
de  certaines  fonctions  de  celles-ci. 

C'est  le  cas  de  la  représentation  typique  donnée  en  premier 
lieu  (i85i)  par  Ilermite  (')pour  les  quintiques  et,  en  général, 
pour  les  formes  binaires  d'ordre  impair;  les  nouvelles  variables 
sont,  comme  on  sait,  deux  covariants  linéaires. 

Clebscb  et  Gordan  (-)  ont  étudié  (1867)  en  détail  la  repré- 
sentation typique  d'une  quintique  en  suivant  la  voie  tracée  par 
Hermite^  en  particulier,  ils  ont  tenu  compte  des  cas  spéciaux 
qu'entraîne  l'évanouissement  de  certains  invariants,  fis  ont  pré- 
senté une  étude  analogue  pour  la  sextique.  Leur  Mémoire  montre 
clairement  comment  l'on  peut,  en  faisant  usage  d'identités  symbo- 
liques, éviter  l'application  directe  des  substitutions. 

Lindemaun  (=*),  dans  ses  recherches  sur  une  certaine  forme 
type  C,i,  a  observé  que  cette  forme,  considérée  comme  forme 
ternaire  à  trois  variables  quelconques,  pouvait  être  caractérisée 
par  l'évanouissement  d'un  certain  covariant.  L'interprétation 
géométrique  de  ces  relations  le  conduit  aux  éléments  de  la  théorie 
de  Vapolai  ité  (voir  plus  loin,  II,  D.  b.). 

Quant  à  la  représentation  typique  des  formes  binaires  simulta- 
nées les  plus  simples,  nous  devons  mentionner  les  recherches  de 
Bessel  (*)  et  de  Harbordt  (•^). 

Hermite(^)  avait  déjà  présenté  un  cas  intéressant  par  sa  re- 
marque que  deux  formes  binaires  cubiques,  considérées  comme 
dérivées  premières  d'une  forme  biquadratique,  avaient  une  repré- 


(')  Cambr.  and  Dublin  Math.  J.,  IX.  p.  172-217.  Voir  à  la  p.  iSd  {Bull., 
XVIII J  le  Rapport. 

(')  Annali  {2).,  \,  p.  3,3-79.  Comparer  à  cela  l'exposé  dans  Gordan  :  Voiie- 
sungen,  II,  §§  24,  29.  —  Gordan  en  fait  une  application  à  l'équation  modulaire 
(lu  6"  ordre  de  Jacobi.  Annali  (2),  I,  367-372;  1867. 

{')Bull.  Soc.  Math.,  t.  V,  p.  ii3-i26;  1876;  t.  VI,  p.  r9')-2o8;   1878. 

(*)  Math.  Ann.,  I,  p.  173-194;  1869. 

(')  Math.  Ann.,  I,  p.  210-224;   1869. 

(')  Journ.  fiir  Math.,  LVII,  p.  371-37.V,  1860. 

Bull,  des  Sciences  mathéni.,  j'  série.  I.  \I\.  (Mni  i8()5.)  8 


IÛ2  PUHMlî:UH   PAUTIK. 

sentalion  ly|)l(|ii('  Ires  simple.  Cnylcy  (')  basa  là-dcssiis  sa  Lrans- 
formaùon  du  Iroislcmc  ordre  de  l'inlégrah;  elliplique  de  première 
espèce. 

Glebsch  (-)  cL  plus  tard  Guodelfinger  (■')  ont  développé  celte 
remarque  de  Hermite. 

Lindemann  ('•)  parvint  ensuite  à  montrer  que,  d'une  façon  ana- 
logue, on  peut  considérer  trois  formes  binaires  biquadratiques 
comme  dérivées  secondes  d'une  sextique. 

C'est  encore  à  Hermite  {■')  que  l'on  doit  le  premier  exemple 
analogue  dans  le  domaine  ternaire;  il  indique  comment  on  peut 
déterminer  une  cubique  ayant  comme  dérivées  premières  trois 
formes  quadratiques  données;  dans  ce  cas,  les  invariants  simul- 
tanés de  ces  dernières  coïncident  avec  les  coefficients  de  la  cu- 
bique. Ce  travail  justifie  aussi  l'expression  donnée  par  Sy\- 
vester  (^)  pour  le  résultant  de  trois  formes  quadratiques,  considéré 
comme  combinant  de  celles-ci. 

Gundelfinger  reprit  la  proposition  d'Hermite  pour  en  donner 
une  démonstration  très  simple  (').  11  en  appliqua  les  résultats 
aux  transformations  quadratiques  d'une  intégrale  elliptique  de 
première  espèce,  prise  le  long  d'une  courbe  plane  du  troisième 

ordre. 

Enfin,  il  convient  de  mentionner  encore  la  représentation  ty- 
pique que  l'on  rencontre  dans  les  travaux  de  Gordan  {^)  sur 
l'équation  du  septième  ordre  admettant  i68  substitutions  en  elle- 
même. 

La  représentation  typique  à  l'aide  d'invariants  joue  un  rôle  re- 


(>)   Voir  l'exposé  donné  par  Glebsch  dans  son  Trailé  :  Binàre  Formen,  §  101. 

{')  Journ.  fur  Matli.,  LXVII,  p.  371-380;  18(37. 

{')  MaLli.  Ami.,  VII,  p.  452-456;  187',.  —  Consuller  aussi  Wiederiiold, 
Math.  Jnru,  VIII,  p.  44'r43'-'-;  1875.  Igkl,  Monatsh.  f.  Matk.,  p.  iSç)  ;  189',. 

{*)  Clersoii-Lindkmann,  Vorlesiingen,  I,  p.  900.  —  Voyez  les  Dissertations  tic 
FiuKDUicH,  Giessen,  1886,  et  de  E.  Mkyeiî,  Konigsberg,  1888.  Igel  a  étudié  trois 
formes /,  comme  dérivées  secondes  d'une  /.,  et  en  a  fait  une  appliciilion  à  la 
transformation  d'après  Jerrard,  d'une  é<iuation  du  cinquième  ordre  (  Wien.  lier., 
LUI,  p.  i5:)-i8|;  1887). 

{■')  Journ.  fiir  Math.,  LVII,  p.  371-37.");  1860. 

(*>)  Canwr.  and  Dublin  Math.  J.,  VIII,  p.  63. 

(')  Journ.  f.  Math.,  LWX,   p.    73-85;    1875  et   Math.  Ann.,  VII,    p.  4i9-'}5i; 

(')  Malh.  Ann.,  W.  p.  Ôjg-So?.;  i88-.^. 


MftLANGKS.  loi 

mai(|ii;il)l('  (^  '  )  (liins  le  svslrmc  coinplcl  des  (;oinl)in;uils  de  deux 
lormcs  hiiiiiii'cs  y,/,  '^/^  :  miil  I  i|>li(''s  par  iiik;  puissance  convenable; 
(Iti  i('stillaiil  (le///  cl  w;/,  l(;s  types  du  syslènie  (levicnn(;nL  ceux  du 
syslèiuf  coinplel  (riinc  forme;  binaire;  imiepie  d'ordre  :>.(^n  —  i). 

L'importance  de  \\\  représentation  typique  dans  la  lh(''0)ie  des 
sv/vi;i(\s  ressortira  neMIcmeiit  (bins  le  parai^raplic  suivant. 

cl.  —  Dca  srzvgies. 

\a'.  domaïue  de  rationalité,  comme  celui  des  systèmes  complets, 
nous  odVe  des  movems  d'approfondir  les  relations  algébriques 
(pii  existent  entre  les  diilérents  systèmes  de  formations  inva- 
riantes. Mais  cela  ne  nous  permet  de  faire  rpi'un  premier  pas.  Il 
s'agira  de  nouveau  d'établir,  dans  cbaque  cas,  l'ensemble  de  ces 
lelations  algébriques  ou  syzygies,  c'est-à-dire  qu'il  faudra  encore 
fixer  pour  les  premiers  membres  (ou  sjzygants)  de  ces  relations, 
la  base  (ir)ie  des  syzy gants  fondamentaux  ;  dans  ces  derniers 
les  coefficients  [)Ourront  être  des  formes  fondamentales  du  sys- 
tème des  formes  proposées. 

De  ces  sjzjgies  de  première  espèce,  on  passera  ensuite  à  celles 
de  rang  supérieur. 

Le  problème  lui-même  est  bien  défini,  lui  elTet,  tout  récem- 
ment, Hilbert  (-)  est  parvenu  à  montrer  que  les  syzjgies  de 
chaque  espèce  constituent  un  système  complet  et  que  la  chaîne 
des  syzjgies  est  limitée. 

Dans  ces  recherches,  d'un  caractère  purement  expérimental, 
les    résultats    [)artiels    obtenus    dépendent   en   picmie're  ligne   de 


(')   Voir  te  Mémoire  de  Sthoh  «hins  les  Math.  Ann.,  XWIV,  p.  32i-3.3i  ;  1889. 

Dans  son  Cours  (hiver  i8i)i-9'2)  Klein  a  in(!i(|ué  une  anLre  représentation  ty- 
pique, d'une  forme  binaire  /.  La  forme/,  multipliée  par  son  discriminant,  peut 
être  ramenée  au  t}  pe  |  a^.-^-  )v^,j.  [. 

liappclons  encore  la  représentation  typi(|uc  des  intégrales  elliptiques  (et  abé- 
liennes)  telles  i\\\c  l'a  introduite  Weierstiass,  et  développée  ensuite  par  Klein  et 
ses  élèves.  Voyez,  par  exemple,  les  travaux  de  Im.kin,  Math.  Ann.,  X\  II,  p.  i.33- 
i3S;  18H0,  et  Leipziger  ylOh.,  188").  Consulter  aussi  Bhuno,  Am.  J.,  Y,  p.  i-'^5, 
iS8>;  Hui'.KiiAiiDT,  Dissert.  .Munie!»,  1S87;  Wimi:,  .\ova  ^cta,  I.XII,  n"  2,  p.  /i3- 
1  >8,  et  l'exposé  général  dans  IlALriii-N,  Traité  des  fonctions  elliptiques,  t.  Il, 
F'ai-is,  1888. 

{' )  Math.  Ann.,  WWl.  p.  \-'.l-'')?)\;  1890;  voir,  en  [)arti(ulier,  p.  53  |. 


io4  PREMIKUE   PARTIK. 

l'habileté  de  chaque  auteur.  Nous  ne  pouvons  donc  qu'esquisser 
à  grands  traits  l'état  actuel  de  cette  branche  en  signalant  les  prin- 
cipales voies  suivies  parles  différents  géomètres. 

Cajlej  (^)  et  Brioschi  ('^)  ont  étudié  avec  succès  le  cas  de  la 
forme  binaire  /^^  en  prenant  pour  base  la  théorie  des  systèmes 
associés  fondée  par  Ilermite.  Sjlvesteret  Hammond  complétèrent 
plus  lard  (^)  le  tableau  donné  par  Cayley  pour  les  sjzygies  de 
première  espèce  de  f-^.  Cependant  l'extension  de  cette  métiiode 
rencontre  de  grandes  difficultés  de  calcul;  elle  n'apprend  d'ail- 
leurs que  fort  peu  sur  la  structure  des  systèmes  de  syzygies. 

Stephanos  (^)  a  tracé  une  autre  voie.  Il  suit  la  niélhode  sym- 
bolique en  s'appuyant  sur  les  recherches  de  Clebsch  (^).  Pour 
les  formes  binaires  il  existe  un  domaine^  celui  des  déterminants 
fonctionnels,  à  l'intérieur  duquel  on  peut  grouper  les  syzygies. 
L'auteur  applique  ces  considérations  à  l'étude  des  formes y*c- 

Von  Gall  (^)  a  développé  ce  principe  des  déterminants  fonc- 
tionnels en  le  rattachant  à  l'opération  d'Aronhold.  11  réussit  ainsi 
à  abréger  les  calculs  et  parvient  à  déterminer,  dans  cette  multitude 
de  relations,  celles  qui  sont  irréductibles,  c'est-à-dire  les  syzygies 
fondamentales. 

Perrin  (')  a  donné  une  méthode  plus  directe,   sans  recourir  au 


(')  Mém.  II,  III,  V,  VIII,  1867,  X'  1878- 

(*)  Annali  (2)  XI,  p.  291-304*,  1880.  Pour  le  domaine  ternaire,  \o\r  Annali  {■2), 
XV,  p.  235-252;  1887.  L'auteur  se  sert  des  syzygies  pour  la  détermination  de  cer- 
taines formes  canoniques  utiles  dans  la  résolution  des  équations  du  cinquième 
(et  sixième)  degré. 

(^)  Sylvester,  Am.J.,  IV,  p.  41-62,  1881;  en  part.  p.  58. 

Hammond,  Am.  J.,  VIII,  p.  19-25;  i885. 

(♦)  Comptes  rendus,  XCVI,  p.  232-235,  1 564- 1067;  i883. 

{'■)  Binaere  Formen,  §  54.  Comparer  à  cela  Gord.\n,  Vorlesungen,  II,  ^§  4, 
11.  12. 

(')  Math.  Ann.,  XXXI,  p.  424-'i4o  :  1888.  Cas  de  deux  formes  Z^. 

Math.  Ann.,  XXXIII,  p.   197-223;   1888.  Cas  de  deux  formes/,. 

Math.  Ann.,  XXXIV,  p.  332-353;  1889.  ^^• 

Math.  Ann.,  XXXV,  p.  63-8i,  1889.  Cas  d'une  forme  Z^. 

(')  Bull.  Soc.  math.,  XI,  p.  88-107  ;  i883.  C.  /?.,  XCVI,  i883,  p.  426-430,  479- 
482,  563-565,  1717-1721,  1776-1779;  1842-1845. 

Sylvester  s'était  déjà  servi  de  cette  méthode  de  réduction,  Am.  J.,  V,  p.  79-139, 
1882-1883.  —  Les  formes  f^  et  f^  ont  été  examinées  encore  tout  récemment  par 
d'Ovidio,  Palermo  Rend.,  t.  VI,  p.  225-233,  1892;  t.  VII,  p.  i-4;  1893  et  Torino 
Atti,  t.  XXVII,  p.  535-563,  1892:  t.  XXVIII,  p.  ii8-i33,  4  17-451;  1893. 


MftLANGKS.  io5 

calcul  SN  im1)()1i(|ii(\  mais  en  siiivanl  la  voie  o;ivcile  par  Gayley  et 
Uobcrls.  Il  hase  la  formation  des  .sjzygies  sur  les  sources  (pénin- 
V(ir/'//i/s)  (li;s  (ovai'ianls:  un  péninvariant  étant  donne,  on  sait, 
(Ml  cllcl,  (|ue  le  covariant  dont  il  est  la  source  est  détermine  et 
calculable.  En  combinant  ce  principe  avec  celui  des  formes 
associées,  Tauleur  parvient  à  une  théorie  générale  qui  permet  de 
faire  le  calcul  même  dans  des  cas  très  compliqués.  Il  a  développé 
l'application  de  sa  méthode  aux  casy^  elfa. 

Une  sjzjgie  (de  première  espèce)  étant  une  relation  entre  les 
formes  fondamentales  A,,  B,,  ...  d'un  système,  elle  sera,  à  coup 
silr,  irréductible  si,  dans  ses  termes_,  il  s'en  trouve  au  moins  un 
de  la  forme  AB.  Ilammond  (')  a  remarqué  qu'en  effet  toutes  les 
sjzjgies  connues  (de  première  espèce)  contiennent  un  pareil 
terme  binaire^  de  sorte  que  ce  dernier  peut  précisément  servir  à 
caractériser  une  sjzygie.  Cette  remarque  apporta  certaines  sim- 
plifications dans  la  formation  de  sjzjgies  nouvelles. 

Von  Gall  (2)  rencontra  cependant  un  exemple  —  la  relation 
entre  les  8  covariants  de  deux  formes  //,  —  qui  échappait  au 
théorème  de  Hammond.  En  spécialisant  convenablement  les  coef- 
ficients, Stroh  (^)  confirma  ce  résultat;  par  conséquent  ce  théo- 
rème, déduit  de  l'observation,  n'a  pas  la  généralité  qu'on  voulut 
d'abord  lui  attribuer. 

Dans  une  série  ('')  de  Mémoires  remarquables,  Stroh  a  généra- 
lisé la  méthode  des  déterminants  fonctionnels  employée  par  Ste- 
phanos  et  Von  Gall,  et  il  a  montré  que  toutes  les  syzygies  dérivent 
de  relations  entre  les  composés  (CJeberschiebungen)  d'ordre  supé- 
rieur d'un  certain  nombre  de  formes. 

Si  nous  considérons  les  résultats  obtenus  jusqu'ici,  en  tenant 
compte  de  ceux  qu'a  fournis  l'emploi  des  fonctions  génératrices. 


(')  Am.  /.,  VII,  p.  3-27-344,  188',  ;/^.  Am.  J.,  MIL  p.  19--5,  iS85;  /,. 

{')  Math.  Ann.,  \X\IV,  v.  p.  332:  1889. 

(')  Math.  Ann.,  WXVI,  p.  i.3/i-i56;  1890. 

(*)  Math.  Ann.,  XWIII,  p.  61-108;  1888.  ïl  i)rend  comme  exemple  la  forme/.. 
(Consulter  encore  Math.  Ann.,  XWIV,  p.  3.5 '1-370,  1890.  Le  germe  de  la  méthode 
se  trouve  dans  son  Mémoire  inséré  dans  les  Math.  Ann.,  XXXL  p.  444-454".  '888. 
^ipliraliuii  au  cas/.,  Malh.  Ann..  X\XIV.  p.  3()6-3iX:  18)^9.  rt  XXXVI,  P-  262-3. .3, 


lof)  PKK.MIKHK  PAimi:. 

nous  (lovons  reconnaître  (jiie  la  lliéorlo  des  s^zyj^ies,  malgré 
Tabonclancc  des  calculs,  n'esL  encore.-  (|irà  sa  [)ériode  de  dévelop- 
pement ('  ). 

Les  reclierclies  si  étendues  pour  les  cas  /"i,  /*„,  et  pour  les  sys- 
tèmes simultanés  (/.,  cp.j),  (/,,  cp,),  (/,,  o,,),  (/.,  cp,)  semblent 
bien  avoir  fourni  une  limite  inférieure  exacte;  mais,  si  l'on  fait 
abstraction  des  cas  ordinaires  fiif-^-,  cl  i  f.>  (-),  on  ne  possède, 
d'une  manière  certaine,  encore  aucun  système  complet  de  svzv- 
gies,  même  de  première  espèce. 

Les  systèmes  d'ordre  supérieur  n'ont  j^uèreété  traités  juscpi'ici; 
il  en  est  de  même  de  la  recherclie  fondamentale  qui  consiste  à 
savoir  où  doit  s'arrêter  la  chaîne  des  syzygies  qui  correspondent 
à  un  cas  donné. 


e.  —  Méthode  tiuméraLlve ;  fonctions  génératrices. 

Les  méthodes  de  Clebsch  et  d'Aronhold  fournissent  pour  les 
systèmes  finis  une  limite  siipérleui'C  du  nombre  des  formes  fon- 
damentales. Si  donc,  par  une  autre  voie,  on  parvient  à  déterminer 
pour  ces  nombres  une  limite  iiiférieiire,  on  possédera  à  coup  sûr 
le  nombre  exact  de  ces  formes  lors(|ne  ces  deux  limites  se  confon- 
dront. 

Plusieurs  géomètres  anglais,  notamment  Cayley  et  Sylvester  (•'), 
se  sont  pro|)osé  la  détermination  de  pareilles  limites  inférieures 
en  basant  leurs  recherches  sur  \di  fonction  génératrice  que  l'on 
rencontre  dans  les  travaux  d'Euler  ('•)  sur  la  partition  des 
nombi-es. 

Les  premiers  Mémoires  de  Cayley  ('')  remontent  à  l'année  i856. 


(')  Ucmarq lions  encore  que  iMac-Mahon  a  consacré  un  Mémoire  aux  syzygics 
enlve  perpétuants;  Am.  J.,  \,  p.  149-16S;  18S7. 

(^)  D'après  ma  correspondance  avec  Hiliîkrt,  ce  dernier  a  établi  le  système 
complet  des  (i/|)  syzygies  d'un  système  de  trois  formes  quadratiques.  Cf.  Math. 
Ann.,  XXXVI,  p.  534. 

(^)  Voyez  sa  Note  dans  le  A/n.  /.,  IV,  p.  (Ja  ;  1881. 

(»)  Jntroductio  in  Ana/ysin. .  .^  I,  §  30i. 

{')  l'oir  dans  noire  Introduction^  Bull.,  2"  série,  XVIII,  p.  187  cl  188. 


MÉLANUI'S.  107 

INIodilirs  (  '  )  |>lii>    litrd    |);ir   riiiilciir",    ils   (oiiiiciil    hi   Ijiisc  de   loiilo 
iiii(>  S('mm('  (le   lra\;iii\  (jiic  Ton  doil  à  Sylvosl.cf  (- ). 

(  ]()iîsid(''r()i)S,  [)ai'  (;\(!rï)|)l(î  (^•'  ),  imc  (oiuk;  hltiairc  im  kjik;  //  ayant 
les  cocniclcMls  «'//.  La  soiii'cc  ci>  (rim  (jiiolconfjiie  d(;  ses  coxailauls 
d'ordre  ^^\  de  degré  /el  de  poids  vv  -—  |  (//  —  ^'),  salisCail  à  l'éqna- 
lioM  diiréreiuielle  eai"ael<''nsli(jne 


Oo                 c)o 

ôo 

OCp   =  «0  — '-  -}-  '2  «1  — -^    -H  .  , 

.  .  -\-  in,- 

_i    , 

\)ai             '  Oa-i 

i^f// 

o. 


Le  problème  foiulainenlal  consisle  à  trouver  1(;  nombre  des 
covariants  (el  invariants  incl.)  de  fi  ayant  [)Our  le  degré  et  le 
poids  (on  pour  le  degré  et  l'ordre)  des  valeurs  assignées  à  l'avance. 

Si  Ton  désigne  par  ((v  :  i,j)  le  nombre  des  coenicients  d'une 
source,  il  suffira,  pour  résoudre  celle  question,  d'en  retraneber  le 
nombre  des  relations  linéaires  et  linéairement  indépendantes  cpii 
sont  imposées  aux  coeflicienls  de  o  par  l'idenlilé  ocp  =  o.  Sj  I- 
vesler  (')  a  démontré  (183:8)  d'une  manière  générale  l'hypolbèse 
de  Cavley,  d'après  laquelle  le  nombre  de  ces  relations  est  égal  à 


(')  IX  Mem.  Pliil.   Trans.,  p.  17-50;  1870  et  X,  Mem.  l.  c,   p.   GoS-OGi  ;  1(878. 
(')  i^^77)  Comptes    rendus,  LWXIV,    p.    2!\i)-2\\,   532-534,   974-97"'>    ii»3-)6, 
1207-11,  1285-89,  1359-G2,   i^j27-3(). 
Comptes  rendus,  LXXXV,  p.  991-995,  io35-39,  1091-93. 

1878,  PJiil.  i\Jag.,  p    1-12  et  Lond.  Proc. 
Journ.  f.  Math.,  LXXW,  p.  89-114. 
Comptes  rendus,  hWWl,  p.  1437-41,  1491-92. 

Comptes  rendus,    LXXXVII,   p.    24^-24'!,   287-289,    '\\^i-\'\^,  5o5-5o9, 

899-903. 
Am.  J.,  I,  p.  370-378. 

1879,  Am.  /.,  II,  p.  71-84,  98-99. 
Comptes  rendus,  LXXXÏX,  p.  895-396. 

i883,  Am.  J.,  V,  p.  241-250. 

I-'rancklin  a  calculé  suivant  les  iiiéLliodcs  de  Sylvester  les  tables  des  fondions 
génératrices  des  forincs  fondanienlales  el  des  syzygies  :  yl//i.  J.,  t.  II,  p.  223-201, 
293-3o6;  1879;  t.  III,  p.  221-329;  18S0;  t.  \',  p.  2^i-25o;  1882. 

Ce  même  géomètre  a  léuni  les  principaux  lliéorèmes  de  Sylvester  el  de  Cayley, 
en  un  exposé  publié  dans  le  Am.  J.,  III,  p.  i28-i5^;  18X0. 

(^)  Consulter  rcxpo?é  qu'en  donne  Bruno  dans  son  Traité,  ^  12. 

(*)  Phil.  Mag.,   p.  1-12;  1878,  et  Journ.  f.  Math.,  LXXXV,  p.  89-114. 

Ce  métnc  lliéorème  a  encore  été  démontré  par  des  méthodes  les  plus  diverses  : 
par  Capelli,  liom.  Ace.  Z,.,Mém.,  XII,  p.  1-62;  1881  ;  par  \ULTiv.\\ii,  Math.  Ann., 
X\X,  ]).  15-29;  1887;  par  Siwon,  Math.  Ann.,  XXXI,  p.  ^^\i-^'i;  1888;  parSiUDY, 
Methoden,  %  1),  p.  187;  iS.>t).  Elliot  a  encore  étendu  les  limites  du  théorème, 
London  M.  S.  Proc.,  XXXIII,  p.  298304,  1892  et  XXXIV,  p.  2i-36;  1893. 


io8  PREiMIÈHE   PARTIE. 

celui  des   termes  de  O'Z).  Le  nombre  cheiclié  esl  donné  (')  parla 
dilTérence  A(iv  :  i, y)  : 

La  fonction  gént'ralrice  telle  que  l'a  employée  Enier  peut  être 
ramenée  à  la  forme  réduite  (-),  puis,  après  un  calcul  souvent  très 
laborieux,  à  la  forme  représentative.  Cette  fonction  génératrice 
représentative  est  avant  tout  une  source  commuivk  pour  le 
nombre  [et  le  type)  des  formes  fondamentales  et  des  syzygies 
de  toute  espèce. 

Franklin  a  appliqué  ce  principe  à  plusieurs  exemples.  Dans  le 
cas  de  la  quintique/g,  il  est  parvenu  (^)  à  un  minimum  de  23  formes 
fondamentales,  tandis  que  la  méthode  de  Gordan  donne  un  maxi- 
mum de  2.3  formes;  dans  les  deux  systèmes,  celles-ci  se  corres- 
pondent par  ordre  et  par  degré.  La  question  du  nombre  et  du  tvpe 
des  formes  fojidamentales  d'une  quintique  se  trouve  donc  entière- 
ment résolue.  L'auteur  passe  ensuite  aux  sjzjgies  de  L  espèce  et 
parvient  à  un  certain  système  de  6  syzygies  liées  entre  elles  par 
une  seule  et  unique  syzygie  de  IL  espèce  ('*). 

En  poursuivant  les  calculs  de  Franklin,  Sylvester  (^)  examine 
le  cas  d'une  série  de  formes  données  en  déterminant  les  limites 
inférieures  du  nombre  des  syzygies  de  L  espèce,  prises  soit  par 
groupes,  soit  dans  leur  ensemble. 

D'après  Cayley,  la  fonction  génératrice  représentative  ne 
demande  qu'une  légère  modification  pour  donner  non  seulement 


(')  Dans  les  Mess.,  (2)  Mil,  p.  i-S  (18-S),  Sylakstki!  iiidicjuc  une  règle  très 
simple  pernneLtant  de  calculer  A.  Cf.  Franklin,  Ani.  J.,  II,  [>.  187-188;  1879. 

(-)  Cayli:y  a  développé  le  calcul  de  la  fonction  génératrice  réduite  en  pre- 
nant comme  exemple  la  forme/,;  Arn.  /.,  II,  p.  71-8/1;  1879.  Quanta  la  fonclion 
génératrice  représentative,  elle  semblait  d'abord  ne  pas  pouvoir  s'appliquer  à  /,. 
Cette  difficulté  a  cependant  été  résolue  par  IIammond,  Math.  Ann.,  WWl, 
p.  255-261:   1890. 

(  ')  Am.  J.,  II,  p.  224. 

{*)  Ces  syzygies  de  H.  espèce  étaient  restées  inaperçues  par  Cayley.  11  en 
résulta  une  erreur  dans  la  conclusion  de  son  II.  Meni.  (i856)  lorsqu'il  énonça 
qu'une /j  ne  pouvait  admettre  un  système  complet  fini  de  formes  fondamentales. 
Cons.  son  VIII.  Mem.  Phil.   7'rans..  p.  ôi.S;  1870. 

{')  Am.  /.,  IV,  p.  'ii-(S,. 


MliLANGI':S.  ,,„, 


les  iK)n»l)i('s,  mais  t'iicori'  les  formalioris  circcllvcs  ilcs  (ormes  lori- 
damcntales  cl  des  syzjgics  (*). 

Lorsque  les  formes  fondamentales  sont  entièrement  connues,  la 
fonction  génératrice  représentative  permet,  d'après  Hammond  (2), 
d'obtenir  une  limite  supérieure  du  nombre  des  syzjf'ies  de  I. 
espèce.  Il  suffira  donc  de  comparer  ce  nond)re  à  la  limite  inférieure 
déterminée  d'après  Sj'lvester  :  pour  les  formes  (/'^  ety^)  étudiées 
jusqu'ici,  les  deux  limites  coïncident,  sauf  dansquelques  cas  isolés. 

C'est  ici  qu'il  convient  de  signaler  \e  postulat  fondamental  {^) 
de  Sylvester,  d'après  lequel,  pour  u\\  degré  et  un  ordre  donnés 
la  présence  des  formes  fondamentales  exclut  celle  de  syzygies. 
Hammond  rencontra  ('•)  cependant  un  exemple  [le  cas  (5,  i3) 
d'une  forme /y],  en  contradiction  avec  ce  postulat  et  reconnut 
bientôt  {^)  que  cette  exception  devait  être  attribuée  à  une  identité 
récurrente  qui  résulte  directement  des  équations  différentielles  des 


sources 


On  possède  aussi  des  fonctions  génératrices  plus  spéciales  qui 
correspondent  à  certaines  classes  particulières  de  formations 
invariantes,  tels  que  \qs perpétuants  (")  de  Mac-Malion. 

Dans  le  domaine  binaire,  Jordan  et  Sjlvester  ont  établi  des  for- 
mules pour  les  limites  supérieures  du  degré  et  de  l'ordre  des  for- 
mations invariantes.  Le  savant  géomètre  français  (')  part  des 
relations  entre  les   covariants   du   troisième   degré,  en  s'appuyant 


(•)  Il  en  est  de  même  de  la  Fonction  génératrice  réale  de  Cayley  (X.  Mem.). 
Voir  aussi  la  remarque  de  Sylvester  dans  le  Am.  /,,  IV,  p.  07. 

(^)  Am.  7.,  VIII,  p.  19-25;  i885.  Consulter  par  le  cas/^  :  Am.  J.,  VII,  p.  327-34îi; 
et  pour  celui  du  système  (/j,  cp,  )  :  Am.  /.,  VIII,  p.  i38-i55;  1886. 

(^)  Franklin  en  donne  un  exposé  dans  le  Am.  J.,  III,  p.  i3o-i32. 

(*)  London  Proc,  XIV,  p.  85-88;  Am.  J.,  V,  p.  218-228;  i883. 

Voir  les  remarques  de  Cayley  :  London  Proc,  XIV,  p.  88-91;  Hopk.  Cire,  II, 
p.  85-86,  i5o,  III,  p.  i3  (i8S3  et  188/,). 

(')  Voir  son  second  Mémoire  cité. 

(«)  Am.  J.,  VII,  p.  2G-47;  '^*^^-  Hammond,  Am.  J.,  VIII,  p.  104-126.  Voyez  àd^ns 
ce  Rapport  le  §  II,  C,  a,  a. 

Sthoh  a  développé  ces  recherches  à  l'aide  de  la  méthode  symbolique;  les  résul- 
tats auxquels  il   est  parvenu  ont   une  forme  très  simple  v.  Math.  Ann.    XXXVI 
/.c.,§§10,  11. 

(')  J.  de  Liouville  (3),  II,  p.  177-233;  1H76  et  t.  V,  p.  345-379;  1H79.  Fot/' aussi 
ses  Notes àdiUs  les  Comptes  rendus  :  t.  LXXX,  p.  875-877, 1160-1161  ;  1875;  t.  LXXXI, 
p.  495-498;  1875;  t.  LXXXII,  p.  269-270;  1876;  t.  LXXXVII,  p.  202-204;  i^T^- 

Le  premier  Mémoire  conlienl  un  exposé  général  de  la  théorie  de  Gordan. 


110  PREMIÈRE   PARTIE. 

csscnLicllcmcnt  sur  le  j)roccdé  de  Gordan.  Les  li/niles  oblcniics 
par  Jordan  sont  icellemenl  alteinles,  coinnie  le  monlre  le  tableau 
de  Sj'lvester  et  Franklin  (' ). 

De  son  côté  S}'lvester  nous  donne  (-),  sans  démonstration,  des 
formules  analogues  à  celles  de  Jordan,  mais  ne  conlenant  que  des 
facteurs  numériques  rationnels;  par  contre  les  limites  obtenues 
sont  plus  élevées.  Nous  lui  devons  encore  un  procédé  {^)  per- 
mettant de  déterminer  la  limite  inférieure  du  nombre  total  des 
formes  fondamentales  d'une  forme  donnée  d'ordre  pair. 

Il  nous  reste,  pour  terminer  ce  Chapitre,  à  citer  l'extension,  aux 
formes  à  plusieurs  séries  de  n  variables,  du  théorème  de  Gajlej  et 
Sylvester  sur  le  nombre  des  formations  (du  domaine  binaire)  d'un 
ordre  et  d'un  degré  donnés  et  linéairement  indépendantes.  Ce 
problème  de  haute  difficulté  a  été  abordé  et  développé  par  Ca- 
pelli  (^•)  dans  une  série  de  beaux  Mémoires.  Mais  c'est  à  De- 
ruvts  ('*)  que  revient  le  mérite  d'avoir  résolu  entièrement  cet 
importante   question.  (A  suivi-e.) 


(')  Am.  J.,  II,  p.  223-25i. 

(^)  Proc.  of  London,  WVII,  p.  ii-i3;  1S78. 

(')  Comptes  rendus,  LXWVI,  p.  i437-i'i4'>  i^^iil*)'-»  i^iq-iS^-j. 

(')  Fondamenti di  iina  teoria  générale  délie  forme  algebriclie,  Mem.  Rom. 
Ace.  L..I  XII,  p.  1-72;  18S2,  [oir  les  dévcloppenicnts  de  la  Batt.  G..  X\, 
p,  293-3oi;  1SS2;  el,  pour  certaines  formes  spéciales,  le  t.  XIX,  au  Batt.  G., 
p.  87-1  iG.  Consulter  Mem.  Rom.  Ace.  L.,  t.  XV,  i883,  et  Batt.  G.,  XXI,  p.  343-35Ô; 
i883. 

Une  pareille  extension  se  retrouve  dans  le  traite  de  Study,  Methoden,  p.  100. 
Voir  aussi  Stuoii,  Math.  Ann.,  XXII,  en  pari.  p.  4o3;  i883. 

(■■)  Théorie  générale...,  1891,  Ch.  VII.  Bull.  Belg.  (3),  XXI,  p.  '|37-'|,')i  ;  1891. 
Voj-ez  plus  loin  :  §  II,  D.,  a. 


>©^ 


BULLETIN    BIBLIOGUAIMIIOUK.  m 


B  U  L  L  El  1 N  m  I M  J  0  r.  U  A  l  M 1  K  J  U  i: 


ORRXiiArcii  (F.-.I.).  —  Monife.  der  Bci^runder  dcr  darstellendeii 
Géométrie  a/s  WisscnachaJ't.  lilinc  inatliein.  histor.  Sludic.  II.  Gr.  in-H", 
•xo  |).  lîriinn,  Prof.  Obcnraucli,  Waisciiliaus^asse  9,8.  i  m.,  (I.  u.  II  : 
•1  m.  5o  |)f. 

Si:guii:u  (.1.).  —  Formes  fjuadrdtiques  et  maltipLicatloii  complexe. 
Deux  formules  fondamentales  d'après  Kronecker.  Gr.  in-8",  viii-339  p. 
Herlin,  Dames. 

Weikrstrass  (K.).  —  Mathematische  Werke.  Ilcrausgcg.  unter  Mit- 
wirko^.  cincr  von  d.  kgl.  preiiss.  Akademie  d.  Wissenschaften  eingeselzten 
Commission,  i,  Bd.  Ahliandlungen.  J.  Gr,  in-4'',  viii-35()  p.  Berlin,  iMayer 
et  IMiilIer.  21  m.,  denii-rel.  •?.\  m, 

Weyr  (E.)'  —  Ueber  elnen  symhollschen  Calcul  auf  Trdgern  vont 
Geschlechte  Eins  u.  seine  Anwendung.  In -8",  77  p.  avec  7  fig.  Leipzig, 
Freytag.  t  m.  40  j^f. 

KojiLRVUscii  (F.).  —  An  Introduction  to  Physical  Measurements. 
AVitli  Appendices  on  absoliite  Electrical  Measurements,  etc.  Translated 
from  the  German  by  T. -H.  Waller  and  II.-R.  Procter.  3"  édit.,  in-8°, 
486  p.  London,  ChurcliilL  ri  sli.  6  tL 

BiAXCiii  (L.).  —  LezLoni  di  Geometria  differenziale.  In-8".  Pisa, 
Spoerri.  20  \. 

Cavley  (A.).  —  Collected  Mathematical Papers.  VoL  7.  ln-4''.  London, 
Cambridge  Warehouse.  25  sh. 

D.VRBOUX  (G.).  —  Leçons  sur  la  théorie  générale  des  surfaces  et  les 
applications  géométriques  du  Calcul  infinitésimal .  V  Partie,  fn-8", 
viii-3r2  p.  avec  fig.  Paris,  Gautliier-Villars  et  fils.  i5  fr. 

Haas  (A.).  —  Lehrbuch  der  Differentialrechnung .  3  ThI.  Anwendung 
der  DifTerentialreclinung  auf  die  ebcnen  Kur\en.  Nebst  4'^5  gelosten  Auf- 
gabeii,  i()4  fig.  u.  i38  Erklargn.  Beaib.  iiacli  dem  System  Kleyer.  Gr.  in-8'*, 
vni-272  S.  Slutlgarl.  Maicr.  7  m. 

Jalirbucli  i'iber  die  Forschritte  Mathematik,  bcgrundet  v.  C.  Ohrt- 
mann,  unter  i\lit\virkg.  von  F.  IMiilIer  u.  A.  Wangerin  heiausgog.  von  E. 
Lampe.  23  Bd.  Jahrgang  1891,  3.  (Sciduss-)  Ileft.  Gr.  in-8",  lxiv  et 
8()7-rjr3  p.  Berlin.  Georg  Reimer.  12  m. 


ii;.  BULLETIN    BlBL10(;RAPlIigUL. 

Jordan  (W.).  —  Handbuch  cler  Vertnessungskunde.  \.  Bel.  Ausglei- 
chungs-Rechnung  nach  der  Méthode  der  kleinsten  Quadrate.  4*  édition 
(en  2  fascicules).  P'  fasc.  gr,  in-8",  359.  p.  avec  fig.  Stuttgart,  Melzler. 
6  m.  6o  pf. 

Schilling  (C.)-  —  Wilhelm  Olbers,  sein  Leben  u.  seine  Werke.  Im 
Auflrage  der  Nachkommen  herausgeg.  i.  Bd.  Gesammelte  Werl^e.  In-8", 
xi\-707  p.  avec  portrait.  Berlin,  Springer-  i6  m. 

Engelmann  (Tii.-W.).  —  Gedàchtnissrede  auf  Hermann  v.  Ilelmholtz. 
Nach  dem  Hollând.  Gr.  in-8",  43  p.  Leipzig,  Engelmann.  6o  pf. 

KoHLRAUSCH  (F.).  —  Physical  Measurements.  Translated  by  Waller  and 
Procter.  3®  édit.  In-8°.  London,  Churchill.  12  sh.  6  d. 

PoiNCARÉ  (H.).  —  Mathernatische  Théorie  des  Lichtes.  Vorlesungen. 
Autoris.  deutsche  Ausgabe  von  E.  Gumlich  u.  \V.  Jaeger.  Gr.  in-8°,  x- 
295  p.  avec  35  fig.  Berlin,  Springer.  10  m. 

Rayleigh  (Baron).  —  The  Théorie  of  Sound.  1"  édit.  2  vols,  vol  I.  In-8''. 
490  p.  London,  Macmillan.  12  sh. 

Annales  de  l'Observatoire  de  Paris,  publiées  sous  la  direction  de 
M.  F.  Tisserand.  Observations  (1887).  In-4'',  x-751  p.  avec  fig.  Paris, 
Gauthier-Villars  et  fils.  4o  fr. 

Connaissance  des  Temps  ou  des  mouvements  célestes  pour  le  méri- 
dien de  Paris,  à  l'usage  des  astronomes  et  des  navigateurs  pour  l'an  1897, 
publiée  parle  Bureau  des  Longitudes.  In-8",  vi-864  p-  et  2  planches.  Paris, 
Gauthier-Villars  et  fils.  4  f''- 

Edwards  (J.).  —  Intégral  Calculus  for  Beginners.  With  an  Intro- 
duction to  tlie  Study  of  Differential  Equations.  In-8",  326  p.  London, 
Macmillan.  4  sh.  6  d. 

Graf  (J.-H.). —  Einleitung  in  die  Théorie  der  Gammafunction  und 
der  Eulerschen  Intégrale.  Gr.  in-S",  iv-64  p.  avec  ^\^.  Bern,  Wyss.  i  m. 
Go  pf. 

Laurent  (H.).  —  Traité  d' Algèbre,  à  l'usage  des  candidats  aux  écoles 
du  gouvernement.  5*^  édit.  2^  Partie.  In-8",  27  i  p.  Paris,  Gauthier-\'illars 
et  fils.  4  fr. 

—  Traité  d' Algèbre.  Compléments.  4*  Partie  :  Théorie  des  polynômes 
à  plusieurs  variables.  In-S",  62  p.   r  fr.  5o  r. 


COMPTAS   HKMniS   K'V  ANALVSHS.  ni 


C()Mi>Ti:s  in:i\i)i]s  i:r  an\lysi:s, 


IŒVUIî:  lUIiLKHiflAPIlIQUIî:. 

«  Die;  rinin(ll;t<T(;ii  der  (leomctrif!  siiul  càii 
(iebiet,  dcssen  IJe.irboitiinf^  srlnvi(;iig  iiiul. 
sagen  wir  es  ofroti,  ziomlilich  iiruliiiikhar  ist  ». 

LiK. 

Fondamcnti  di  Gcomctria  a  pià  dimensiord  a  piii  specie  di  iinità  rettilinec 
esposti  in  forma  elementare.  Lezioni  pcr  la  Sciiola  di  magistero  in  Male- 
matica  di  Giuseppe  Veronese.  Padova,  Tip.  del  Seminario,  iSqf,  p.  xlviii- 
63o. 

Grundzûgen  der  Géométrie  von  melireren  Dimensionen  iind  mehreren  Arten 
gradlinigcr  Einheitcn  in  elementarer  For/nentwic/œlt  von  (jivseppeYeho- 
NESE.  3Iit  Genehmlgung  des  Ver \ assers  nacli  einer  neuen  Bearheilung  des 
Ori'^inals  àbersetzt  von  Adolf  Schepp.  Leipzig,  B.-G.  Teubncr,  189  j,  p.  xlvi- 

Le  but  que  se  proposa  IM.  Veronese,  lorsqu'il  ébaucha  l'Ouvrage 
dont  nous  allons  nous  occuper,  est  celui  de  poser  la  Géométrie  des 
espaces  linéaires  à  un  nombre  quelconque  de  dimensions  sur  des 
bases  aussi  solides  que  celles  sur  lesquelles  s'élève  la  Géométrie 
d'Euclide.  Pour  l'atteindre,  il  s'est  proposé  de  généraliser  les  pro- 
cédés en  usage  pour  les  formes  géométriques  de  première, 
deuxième  et  troisième  espèce;  en  conséquence,  il  a  été  entraîné  à 
soumettre  à  une  revision  complète,  tout  notre  système  géométrique 
et  tandis  qu'il  faisait  cela,  il  arriva  à  des  conclusions  dignes  d'in- 
téresser même  ceux  qui  pensent  que  l'espace,  que  nous  percevons, 
est  le  champ  d'investigation  dans  lequel  doivent  rester  les  géo- 
mètres. En  particulier,  M.  Veronese  a  été  amené  à  analyser,  à  la 
loupe,  le  groupe  de  vérités  non  démontrées,  sur  lesquelles  s'élève 
notre  Science  géométrique.  Cette  entreprise,  quoiqu'elle  ait 
mené  à   des  résultats  tout  à   fait  originaux,  n'était  aucunement 


(')  Dans  le  compte  rendu  suivant  nous  ne  faisons  aucune  distinction  entre 
l'original  et  la  traduction,  parce  qu'ils  sont,  dans  le  fond,  identiques,  car  la  tra- 
duction contient  seulement  quelques  courtes  additions  et  un  certain  nombre  de 
cbangements  de  détail. 

Bull,  des  Sciences  nialhéin.,  ■>.'  série,  t.  \I\.  (Juin  189J.)  9 


Mî  PUEIVIIËUE   PARTIE. 

nouvelle.  On  sail,  en  efTet,  fjii'urie  des  critiques  |)lus  graves  cl 
jusliliées  (ju'on  l'ail  aux.  Eléments  d' EucUde,  est  qu'à  la  base  des 
raisonnements  qui  sont  là  exposés,  on  trouve,  en  dehors  d'un 
certain  nombre  d'axiomes  honnêtement  exposés,  beaucoup 
d'autres  non  expressément  déclarés  et  dont  le  lecteur  doit  per- 
cevoir la  vérité  à  l'aide  d'expériences  personnelles.  On  sait  aussi, 
qu'à  ôter  cette  imperfection  de  ce  célèbre  traité  ont  travaillé  des 
innombrables  habiles  géomètres,  qui  se  sont  proposé  :  i'*  de 
déterminer  toutes  les  données  qu'on  est  forcé  de  déduire  de  l'expé- 
rience, si  l'on  veut  démontrer  rigoureusement  tous  les  théorèmes 
d'Euclide;  2"*  d'en  réduire  le  nombre  au  minimum  ;  3"  de  cher- 
cher s'il  est  possible  de  le  substituer  par  d'autres  plus  évidents. 

Il  nous  est  absolument  impossible  de  décrire  tous  les  efforts 
faits  dans  cette  direction  et  les  résultats  auxquels  ou  est  arrivé,  car 
une  telle  description  embrasserait  toute  l'histoire  de  la  Géométrie 
élémentaire.  Au  contraire,  ce  qu'il  est  nécessaire  de  remarquer 
est  que  l'analyse  des  propositions  indémontrables  qui  sont  le 
fondement  de  la  Géométrie  euclidienne,  lorsqu'elle  est  menée 
jusqu'au  but,  fait  arriver  inévitablement  aux  sources  les  plus  éloi- 
gnées, aux  racines  mêmes  de  la  pensée  mathématique.  Cette  ana- 
lyse, d'un  côté,  fait  parvenir  et  même  aller  au  delà  de  la  ligne  de 
séparation  entre  mathématique  et  psychologie,  d'un  autre  côté, 
mène  à  un  grand  domaine  d'études,  qui  embrasse  la  Science  du 
nombre  et  la  Science  de  l'extension  figurée  et  dans  lequel  un 
espace  très  considérable  est  occupé  par  cette  Science,  que  Grass- 
mann  a,  le  premier  peut-être,  aperçue  et  certainement  étudiée 
méthodiquement  en  l'appelant  Ausdehnungslehre. 

Ces  remarques  expliquent  pourquoi  le  livre  auquel  est  dédié 
cet  article,  quoiqu'il  ait  un  but  exclusivement  géométrique  (voir 
son  titre),  s'ouvre  par  une  longue  introduction  qui  entre,  plus  ou 
moins  profondément,  dans  toutes  les  parties  des  Mathématiques; 
elles  expliquent  aussi  pourquoi  ce  livre,  quoiqu'il  soit  adressé 
aux  mathématiciens  de  profession,  pourrait  paraître,  à  ceux  qui 
voudraient  le  juger  d'après  les  premières  pages,  comme  un  essai 
de  rapprochement  et  peut-être  de  fusion  des  Mathématiques  et  de 
la  Philosophie  ;  c'est  un  système  qui  a  joui  d'une  grande  faveur 
dans  l'âge  d'or  de  la  Philosophie  grecque,  mais  qui,  à  présent,  est 
mort  (on  peut  dire  que  c'est  Euclidc  qui   l'a   enseveli)  et  auquel 


COMPTES   lUÎNDUS  ET  ANALYSES.  n5 

M.  Vcroncsc  ne  vcul  aucunement  essayer  de  donner  une  vie 
nouvelle. 

Pour  (Icuioulrer  in(;xisLanl  le  défaut  que  quelque  eri tique  pour- 
rait trouver  dans  ce  (jue  l'auteur  a  choisi  comme  hases  de  ses 
investij^ations,  des  idées  hien  plus  générales  et  ahstraites  que 
celles  qu'on  emploie  dans  la  Géométrie,  il  est  suffisant  de  remar- 
quer que  tirer  le  cas  particulier  du  cas  général  est  conforme  aux 
règles  de  la  logique  la  plus  saine,  que  d'ailleurs  ce  procédé  est 
recommandahle  dans  le  cas  actuel,  car  il  permet  de  concevoir 
clairement  par  quels  caractères  nos  figures  géométriques  se  dis- 
tinguent d'autres  formes  plus  générales  que  notre  esprit  peut 
imaginer.  Un  raisonnement  plus  long  n'est  pas  nécessaire  pour 
tranquilliser  les  mathématiciens  qui,  lorsque  apparut  le  livre  de 
M.  Veronese,  sentirent  se  réveiller  les  craintes  (surgies  à  cause 
des  mémorables  publications  de  M.  George  Cantor)  d'être  obligé 
d'introduire  la  Philosophie  dans  le  cycle  ordinaire  de  leurs  occu- 
pations, car  il  est  évident  que  quiconque  veut  pousser  jusqu'au 
but  l'analyse  de  toute  notion  mathématique  est  amené  à  la  con- 
statation de  l'acte  de  penser  et  à  s'occuper  après  des  concepts 
primordiaux  ai  unité  ei pluralité,  A^ avant  et  après,  et  semblables, 
comme  fait  notre  auteur,  qui  d'ailleurs  exclut  (comme  étrangère 
à  son  but)  la  recherche  de  Forigine  psychologique  de  ces  idées. 

La  discussion  des  principes  fondamentaux  de  la  Géométrie  a 
deux  faces  :  l'une,  exclusivement  scientifique,  l'autre  en  quelque 
sorte  pratique,  car  elle  se  rapporte  à  l'enseignement  élémen- 
taire (');  elle  mène  à  la  question  de  l'existence  des  quantités 
actuellement  infiniment  grandes  ou  infiniment  petites  et  aux  pro- 
blèmes qui  ont  donné  la  vie  à  la  Géométrie  non  euclidienne.  Par 
conséquence,  M.  Veronese  dut  s'occuper  dans  son  livre,  de 
presque  toutes  les  questions  les  plus  épineuses  et  débattues 
qu'agitent  les  mathématiciens  il'aujoux^d'hui  ;  cela  prouve  que  du 
livre,  dont  nous  parlons,  doivent  s'occuper  tous  les  savants  comme 
le  mérite   tout  fruit   d'investigations   persévérantes  et  conscien- 


(')  A  ce  propos,  il  est  bon  de  remarquer  de  M.  Gazzaniga,  professeur  au  Lycée 
de  Padoue,  s'occupe  maintenant,  sous  la  direction  de  M.  Veronese,  à  appli(|uer 
a  l'enseignement  de  la  Géométrie  élémentaire  les  idées  exposées  dans  les  Fonda- 
nienti. 


ii6  IMUiMIKIUi   1>AUT1E. 

cieuses,  toul  livre  où  soiil  courageusemeriL  allaqués  et  Lrancjuil- 
lement  traités  des  j)rol)lèines  que  les  géomètres  et  les  analystes 
rencontrent  dans  leur  travail  de  chaque  jour. 

Un  reproche,  qu'on  peut  raisonnablement  faire  à  M.  Veronese, 
est  celui  de  n'avoir  pas  tenu  un  compte  suffisant  des  difficultés 
que  le  lecteur  aurait  trouvées  à  suivre  son  exposition  où  chaque 
problème  est  considéré  d'après  tous  les  points  de  vues  possibles; 
c'est  un  reproche  qui  est  presque  une  plainte,  car  le  système 
d'exposition  qu'il  a  adopté  rendra  certainement  plus  petit  le 
nombre  de  lecteurs  que  les  Fondamenti  auraient  le  droit  d'at- 
tendre. 

Une  analyse  complète  et  détaillée  de  l'Ouvrage  de  M.  Veronese 
nous  ferait  aller  au  delà  des  bornes  fixées  à  cet  article  (*);  qu'il 
nous  suffise  donc  de  donner,  aux  lecteurs  du  Bulletin,  une  idée 
de  la  méthode  choisie  par  l'auteur.  A  cet  effet,  remarquons  que, 
dans  la  préface,  il  s'est  étendu  à  exposer  ses  idées  sur  les  crité- 
riums auxquels  on  doit  rester  attaché  dans  le  choix  des  axiomes 
et  des  postulats,  sur  les  conditions  auxquelles  ils  doivent  satis- 
faire et  même  sur  les  méthodes  qu'on  doit  préférer  en  étudiant  les 
propriétés  plastiques  de  l'espace  (-).  Dans  le  texte,  pour  arriver 

(')  I^lus  de  détails  se  liouvent  dans  deux  remarquables  articles  sur  les  C/v^/u/- 
ziio-e,  signés  A.-lil.-H.-I..,  et  publiés  dans  le  journal  anglais  Nature  (20  et  27  sep- 
tembre 189 '1  ).  / 

(■')  Pour  mieux  éclaircir  la  manière  d'envisager  ces  questions,  adoptée  par 
l'auteur,  nous  lapportons  les  lignes  suivantes  qu'il  écrivit  ailleurs  : 

«  Ou  donne  le  nom  de  postulat  à  toute  proposition  logiquement  possible, 
mais  qu'on  ne  peut  pas  dériver  de  ce  qu'on  a  déjà  admis.  De  ce  caractère  du 
postulat  découle  le  problème  scientifique  des  principes  des  Mathématiques  pures, 
qu'on  peut  énoncer  en  peu  de  mots,  comme  il  suit  :  a.  Étant  donné  un  système 
complet  de  postulats  A,  B,  C,  I),  ...,  pour  les  formes  (grandeurs)  mathématiques 
abstraites  ou  pour  une  classe  de  ces  formes,  lequel  de  ces  postulats  est  en  con- 
tradiction avec  les  autres?  S'il  ne  l'est  pas,  est-il  indépendant,  c'est-à-dire  peut-on 
tirer  des  autres  ce  postulat  ou  bien  la  proposition  contraire?  Et  si  un  des  pos- 
tulats, par  exemple  D,  est  indépendant  des  autres,  en  le  substituant  par  un 
autre  D,,  aussi  possible  avec  les  autres  A,  B,  C,  ...,  ciiiel  est  le  système  de  pro- 
priétés auxquelles  on  arrive  en  conséquence?...  l*our  caractériser  la  Géométrie, 
il  est  nécessaire  d'ajouter:  b.  La  condition  essentielle  de  la  Géométrie  est  la  com- 
préhension de  l'espace;  c'est-à-dire  les  postulats  géométriques  doivent  exprimer 
des  [jropriétés  intuitives  ou  telles  qu'elles  ne  contredisent  pas  logiquement  les 
propriétés  intuitives  nécessaires  pour  définir  la  forme  qui  correspond  au  champ 
de  notre  observation  extérieure  .»  G.  Vkhonfse,  Ossennzioni  sui  principii  délie 
Geometiia.  {Atli  c  Meniorie  délia  If.  Accadeinia  di  Padoat.  l.  \,  189 '|.) 


I 


I 


I 


CO.MPTHS   HKNDUS   MT   ANALVSKS.  117 

au  j;i()M|)('  (le  V(''i'il('s  g(''onu' I  ri(|ii('s  piiiiioidialc^  aii(|ii(;l  il  «loiiiia 
la  prrfi  rriicc,  il  commence  par  exposer  de  siinplcs  icmaivpies 
empiriques  cl  il  les  Iradiiil  m  a  11  Lan l  de  postulais,  don L  il  démo  11  Ire 
rindépeiidance  miihi(dle  ;  eerlaines  lois,  il  les  suhstilue  f)ai' 
(Taiilrivs,  douées  criincî  ('évidence  plus  grande,  loujours  il  fait  rcmar- 
(|uer  les  axiomes  (pi'exigcnL  les  appliealions  pratiques  usuelles, 
linlrc  les  nouveaulés  cpi'on  apprend  du  Iravail  de  M.  \  eronesc, 
nous  fixons  rallention  du  lecteur  sur  rex[)Osition  des  principes  de 
la  Géomélrie  pour  un  espace  lout  à  Tait  général,  c'esL-à-dire  à  un 
nombre  actuellement  infini  de  dimensions;  les  considérations 
originales  sur  le  postulat  d'Arcliimcde  qui  ont  amené  à  la  décou- 
verte d'une  classe  nouvelle  d'élres  analytiques  (')  et  à  la  conclu- 
sion que,  même  en  le  niant,  on  peut  arriver  à  établir  une  bomo- 
grapbie  entre  les  points  de  deux  droites;  ensuite  les  remarcjues 
sur  le  mouvement  (jui  mènent  l'auteur  à  conclure  que  la  Géométrie 
est  indéj)endante  du  mouvement  effectif;  les  observations  sur  les 
postulats  du  plan  et  de  l'espace  à  trois  ou  à  n  dimensions  f|u'il 
tire  des  postulats  sur  la  droite,  du  postulat  sur  la  parallèle  unique 
(définie  sans  avoir  recours  au  plan)  et,  enfin,  du  postulat  sur 
l'existence  d'un  point  en  dehors  de  la  droite,  du  plan,  etc.;  ajoutons 
encore  que  l'auteur  est  arrivé  à  prouver  des  axiomes  que  beaucoup 
de  géomètres  ont  admis,  implicitement  ou  explicitement,  sans 
démonstration. 

Gomme  tout  ce  qui  précède  est  insuffisant  à  faire  connaître  le 
plan  général  de  l'Ouvrage  de  M.  V^eronese,  nous  croyons  bon  d'en 
traduire  ici  la  Table  des  matières  : 

Introduction.  —  Principes  fondamentaux  des  formes  ma- 
thématiques  abstraites, 

Chap.  1.  Notions  et  opérations  communes.  11.  Premières  pro- 
priétés des  formes  mathématiques  abîstraites.  111.  Le  nond)re  dans 
sa  première  formation.  Les  nombres  naturels.  IV.  Des  systèmes 
d'éléments  en  particulier  de  ceux  à  une  dimension.  V.  La  forme  fon- 
damentale. VI.  Les  segments  finis,  infiniment  grands  et  infiniment 


(')  Gomparer    T.   I.kvi-Civma,   Sugli  infiniti  cd  injinilesinii   attuali  ({unli 
elemcnti  analitici.  {  Atti  dcl  H.  Istitulo  Veneto,  L  \\  dr  la  7''  série.) 


ILS  PlUiMlEUK   PAHTIIÎ. 

peliLs,  indcfiniiiicnl  grands  et  indéfiniment  pcLils,  Les  nombres  in- 
infinis. Vil.  Formes  à  plusieurs  dimensions.  Ensemble  de  toutes 
les  formes.  Grandeur  extensive  et  grandeur  intensive  d'une  forme  ; 
appliealions  à  la  forme  fondamentale.  VIII.  Les  nombres  réels, 
relatifs  et  absolus,  positifs  ou  négatifs.  IX.  Considérations  finales 
sur  la  forme  fondamentale. 

Pue  M  il:  RE  Partie.  —  La  droite,  le  plan  et  ^  espace  à  trois  di- 
mensions dans  l'espace  général. 

Livre  L  —  Les  droites  et  les  figures  rcctilignes  en  général. 
Ghap.  I.  Les  droites  et  les  figures  rectilignes  en  général.  Axiomes 
et  hjpolhèses. 

Livre  H.  —  Le  plan.  Ghap.  L  Le  faisceau  de  rayon  et  le  plan 
euclidien.  II.  Le  plan  complet  (ou  de  Riemann).  III.  Autres  con- 
sidérations sur  les  systèmes  géométriques  d'Euclide,  de  Lobat- 
chewski  et  de  Riemann. 

Livre  III.  —  L'espace  à  trois  dimensions.  Ghap.  L  L'espace 
euclidien  à  trois  dimensions.  IL  L'espace  complet  à  trois  di- 
mensions. 

Seconde  Partie.  —  V espace  à  cjuatie  et  à  n  dimensions  dans 
l'espace  général. 

Livre  I.  —  L'espace  à  quatre  dimensions.  Ghap.  L  L'espace 
euclidien  à  quatre  dimensions.  IL  L'espace  complet  à  quatre  di- 
mensions. 

Livre  H.  —  L'espace  euclidien  à  n  dimensions.  Ghap.  L  L'es- 
pace euclidien  à  n  dimensions.  IL  Les  opérations  de  projeter  et 
sectionner  dans  l'espace  8,^.  Application  de  ces  opérations  à 
l'étude  des  configurations  d'un  nombre  fini  d'éléments  dans  chaque 

espace  S„(^/-^'^')  (')• 


(')  Dans  ce  Cliapilre  on  trouve  une  partie  de  la  matière  du  IMcmoirc  bien 
connu,  que  M.  Veroncse  a  fait  paraître  en  i8<S2  dans  le  tome  XIX  des  Mathe- 
/nat esche  Annalcn. 


COMPTIiS  IIKNOUS    KT   ANALYSES.  m<) 


APPEJVDICKS. 


Cependant  de  celle  l'able,  on  n'apprend  pas  fpi(î  rOiivra<^('  (h; 
M.  Vcronesc  non  senlemcnlapporte  de  rcmar(piablcs  conlriljulions 
à  la  niélliodoloi^ie  nuilhénialiciiic,  mais  fait  aussi  avancer  la  Géo- 
niélricnon  euclidienne  synllicliqne  et  la  Géoniélrie  pure  à  plusieurs 
dimensions.  Elle  ne  signale  même  pas  la  partie  historique  et  cri- 
tique que  renferment  les  Appendices  et  ([ui  est,  selon  nous,  douée 
d'une  valeur  hors  ligne;  elle  prouve  que  M.  Veronese  a  commencé 
à  rédiger  son  travail  après  avoir  profondément  réfléchi  sur  toutes 
les  publications  antérieures  analogues;  cela  prouve  que  les  Fon- 
damenti  ne  sont  pas  un  de  ces  travaux  qu'on  détruit  par  quelques 
lignes  de  critique  de  détail,  ils  sont,  au  contraire,  une  mine  riche 
de  noble  métal  qui  récompense  quiconque  veuille  le  labourer. 
Ajoutons  que  l'indépendance  avec  laquelle  M.  Veronese  a  jugé  les 
travaux  des  morts  ôte  à  sa  critique  tout  caractère  de  personnalité, 
lorsqu'il  s'occupe  des  productions  de  nos  jours;  en  conséquence, 
ses  jugements  seront  généralement  acceptés  avec  celle  tranquillité 
avec  laquelle  on  apprend  les  arrêts  prononcés  au  nom  de  la  vé- 
rité. Par  cela  nous  n'entendons  pas  accepter,  sans  exception, 
les  opinions  de  M.  Veronese;  en  particulier,  nous  sommes,  bien 
plus  que  lui,  favorables  à  la  logique  mathématique  ('),  dont  seu- 
lement, à  l'avenir,  on  pourra  déterminer  exactement  la  vraie 
valeur,  et  qui  attendit  jusqu'à  nos  jours  à  se  développer,  peut-être 
parce  que,  auparavant,  les  notions  mathématiques  étaient  moins 
étendues,  les  recherches  moins  compliquées  et  abstraites,  tandis 
que  les  exigences  sur  la"  rigueur  étaient  infiniment  moindres. 

Gl]NO    LORIA. 
(')  Comp.  le  Tome  précédent  du  BuUelin,  première  Partie,  p.  107-112. 


iw  '        l'UiiMiKui:  PAirnr: 


(^ii.vuLi:s  lIliiNUV.  —  Amuaiii  bi:  la  tiikoiui!:  des  ponctions  kllii'Tiqles,  ù 
l'usage  des  candidats  à  la  licence  es  Sciences  Riathématiques.  126  p.  in-S". 
Paris,  Nony  et  (V\  1H9"). 

Voici  lu)  petit  Livre  appelé,  cro}'ons-nous,  à  rendre  de  réels 
services  à  ceux  qui  désirent  acquérir  une  connaissance  rapide  des 
fondions  elliptiques. 

«  L'étudiant,  nous  citons  l'auteur,  l'étudiant  qui,  pour  la  pre- 
mière fois,  ouvre  un  traité  des  fonctions  ellipli(pies  est  souvent 
rebuté  par  la  multiplicité  des  formules  et  l'abondance  des  calculs, 
dont  il  n'aperçoit  pas  toujours  le  but.  Mettre  en  relief  les  idées 
principales,  signaler  nettement  l'objet  qu'on  se  propose,  éviter 
les  longues  transformations  algébriques  qui  ne  servent  qu'à  le 
masquer,  telle  est  la  pensée  qui  a  présidé  à  la  composition  de  cet 
(3  pu  seule.   )) 

Le  Livre  de  lAL  Clmiles  Henry,  divisé  en  quatre  I^arties,  met  le 
lecteur  au  courant  des  perfectionnements  modernes  que  la  science 
doit  à  d'illustres  maîtres,  et  en  particulier  à  M.  Weierstrass. 

La  première  Partie  est  consacrée  à  l'étude  des  périodes  et  des 
propriétés  générales  des  fonctions  doublement  périodiques,  envi- 
sagées du  point  de  vue  de  la  théorie  des  fonctions  d'une  variable 
complexe. 

Ces  généralités  trouvent  leur  application  dans  la  deuxième  Par- 
tie. Il  s'agit  maintenant  de  prouver  l'existence  effective  des  fonc- 
tions elliptiques.  La  plus  simple  est  la  fonction  pu.  M.  Ch.  Henry 
la  définit  par  une  série  à  double  entrée  qui  met  les  pôles  en  évi- 
dence. Ce  mode  de  représentation  est,  comme  on  sait,  éminem- 
ment propre  à  faire  ressortir  les  propriétés  les  plus  essentielles 
de  pu  et  des  fonctions  ^u^  du  qui  lui  sont  associées. 

L'incontestable  supériorité  de  la  fonction  p  u  ne  doit  pas  faire  ou- 
blier les  services  qu'ont  rendus  les  fonctions  elliptiques  sn,  en,  dn, 
autrefois  introduites  dans  la  science  par  Abel  et  Jacobi.  M.  Gh.  Henry 
consacre  la  troisième  Partie  de  son  Opuscule  à  une  étude  succincte, 
mais  suffisante,  de  ces  fonctions,  qu'il  fait  dériver  de  pu. 

Enfin,  il  est  indispensable  de  savoir  comment  s'elTcclue  le  calcul 
pratique  des  fonctions  elliptiques.  Cette  question  est  traitée  dans 


COMPTES   KKNDIJS   MV  ANALYSES.  171 

l;i  (|iialrirni('  et  dcruirrc  Partie,  on  s'inlrodiiiscnl  loul,  naliii'cllc- 
iiKMil   l(vs  lonclions  0  do  .lacol)!. 

()n  voit  ('oinhicn  csl  simple  cl  claire  l'ordonnance  du  livic  (jiic 
nous  analysons. 

L'aiileur  le  présente  comme  nn  simple  abrégé  de  la  magistrale 
théorie  des  fonctions  elliptiques  cpie  M.  Camille  Jordan  a  exposée 
dans  la  deuxième  édition  de  son  Cours  d'Analyse.  (]elte  décla- 
ration modeste  ne  doit  pas  être  prise  trop  à  la  lettre.  La  part  cjui 
revient  en  [)ropre  à  INI.  Cli.  Henry  n'est  peut-être  pas  aussi  insi- 
gnifiante qu'il  afFectc  de  le  dire.  Nous  citerons,  par  exemple,  une 
solution,  qui  nous  a  paru  nouvelle,  du  problème  de  la  transforma- 
tion des  périodes;  une  élégante  démonstration  de  la  formule  qui 
donne  p{if  +  r)  en  fonction  de  pu,  j)i',  p'u,  p'ç;  un  développe- 
ment de  la  théorie  des  fonctions  sn,  en,  dn,  qui  n'était  qu'en 
germe  dans  le  cours  de  M.  Jordan. 

D'ailleurs,  si  M.  Ch.  Henrj  a  suivi  fidèlement  son  guide, 
nous  n'avons  aucune  envie  de  le  lui  reprocher;  il  n'en  pouvait 
choisir  un  meilleur.  Nous  serions  plutôt  tenté  de  regretter  qu'il 
n'ait  pas  toujours  imité  la  parfaite  rigueur  de  son  modèle.  L'au- 
teur, c'est  lui  qui  nous  en  a  fait  la  confidence  dans  son  Avant- 
propos,  offre  au  public  un  résumé  qu'il  avait  écrit  pour  son  usage 
personnel,  afin  de  mieux  s'assimiler  la  moderne  théorie  des  fonc- 
tions elliptiques.  Préoccupé  surtout  de  faire  ressortir  les  grandes 
lignes  du  programme  qu'il  s'était  tracé,  M.  Gh.  flenrj  n'a  pas 
toujours  évité  les  négligences  de  détail.  Quoi  qu'il  en  soit,  son 
J^ivre,  concis  sans  être  sec,  sera  lu  sans  fatigue  et  sans  ennui; 
c'est  un  mérite,  qui,  même  en  Mathématiques,  n'est  pas  à  dé- 
daigner. L.  Raffy. 


r^<sr» 


127.  PRHMIKUK    PAHTIK. 


MELANGES. 


REMARQUES  SUR  L'INTÉGRATION  DES  ÉQUATIONS  LINÉAIRES 
AUX  DÉRIVÉES  PARTIELLES; 

Pau  IV[.  Kmile  BOHEL, 
à  Lille. 

ConsidéroDS  une  équation  linéaire  d'ordre  quelconque  /?,  à  n 
variables  jt,,    x^,    .«.,    x^    et   à   coefficients    analytiques.    Nous 

supposons  1  équation  résolue  par  rapport  a  la  dérivée——  et  les 

coefficients  liolomorplies  au  voisinage  du  point  analytique  JC,  =<r/,, 
Xo  =  «25  .  .  . ,  Xn=  (^/i-  On  sait  qu'une  intégrale  de  l'équation  est 
parfaitement  déterminée,  si  on  la  suppose  holomorplie  au  voisi- 
nage de  ce  point,  lorsqu'on  se  donne  les  valeurs  o^^  o-y,  .  .  . ,  o^ 

j  dz      d^z  dP-^z  , 

de  Zf  - —  )  —Y,  •  '  ■■)  y-jjiri  pour  x^  =  cif  ;  ces  valeurs  sont  nécessai- 
rement des  fonctions  liolomorplies  de  Xo,  x^j  .  .  . ,  jr„  dans  le  voi- 
sinage de  X2=^ci2j  . . . .,  x,i  =  a„.  11  est  clair  qu'on  obtiendra  toutes 
les  intégrales  de  l'équation  donnée  holomoj'plies  en  quelque 
point  en  prenant  de  toutes  les  manières  possibles  : 

i"Le  point  analytique  a,,  «2,  ...,  a,i'^ 

2"  Les  fonctions  cp<,  cpoj  •  •  •  ?  ^p  des  p  —  i  variables  X2-,  x^,  . . . , 
x„,  assujetties  à  être  liolomorphes  dans  le  voisinage  de^2=<^25  •••> 

X/i  =  Ct/i . 

Nous  nous  proposons  de  rechercher  une  formule  qui  représente 
toutes  ces  intégrales  ;  cette  formule  pourra  donc  représenter  toutes 
les  intégrales  de  l'équation  proposée,  sauf  celles  qui  ne  sont  liolo- 
morphes dans  aucune  région  du  plan.  Pour  une  classe  étendue 
d'équations,  signalées  par  M.  Picard,  et  qui  n'admettent  pas 
d'autres  intégrales  que  des  intégrales  analytiques,  la  formule 
trouvée  représentera  toutes  les  intégrales  sans  aucune  restriction. 

Considérons  une  intégrale  quelconque  Z,  correspondant  au 
point  ai ,  «2,  .  .  . ,  a,i  et  aux  fonctions  o, ,  cso,  .  w  . ,  '-Dp.  Donner  ces 
fonctions,  c'est  donner  les  valeurs  pour  j:,  =  «,,  X2=cf2',  •  •  •, 
x,i=^a,i  de  toutes  les  dérivées  de  .3,  prises  moins  de  p  fois  par 
rapport  à  jc, .  Nous  désignerons  par  a,,  7.2,  .  .  .  ces  valeurs  rangées 


MIlLANGHS.  ,a3 

triiiK'  niimirrc  (|ii('l(()iu|iit;,  en  supposmil  sinij)lc'in('iil,  (luc  Tordre 
lolal  (le  (l(5riv;ili()ii  de  3  n'iiille  pas  en  dirninuiniL  dans  eellc  suiu;. 
Désignons    j)ar    /•,,    i-.^^    ...    les    valenrs    ponr    ./;,  =  <'/,,     ..., 
ar,t=z  a,i  des  déiivées  de  la  fonelion 


/ ^  _  xx  —  a\  \  /  j  _  -^2  —  a-i  y  .    / ,  _  ^n  —  an  \ 

prises  au  plus  /;  —  i  fois  par  rapport  à  x^  et  supposées  rangées 
dans  le  même  ordre  qne  a,,  7.2,  .... 

II  est  clair  que  les  fonctions  ca,,  C92,  .  .  -,  Op  étant  liolomorphes 
dans  le  voisinage  de  ^<=:«< ,  . .  .,  Xa^=-cin-,  on  peut  donner  à  /•  une 
valeur  /'  telle  que  Ton  ait,  au  moins  à  partir  d'un  certain  rang  k 

a>|a/.|. 

Nous  donnerons  à  /'  une  valeur  fixe  /'  supérieure  à  /'. 

La  valeur  de  /'  étant  ainsi  choisie,  calculons,  par  la  méthode  de 
Cauchy,  le  développement  en  série  de  l'intégrale  de  l'équation 
proposée  dont  les  dérivées  partielles,  prises  au  plus/?  —  i  fois  par 
rapport  à  Xs-,  ont  pour  valeurs  r< ,  /'o,  ...,  pour  ^^  =  a,,  . .  ., 
Xn=^cin'  Cette  intégrale  est  unique  et  déterminée;  son  développe- 
ment en  série  se  présente  sous  la  forme 

(l)  2  =  /'i^];i+ /'2'1'2-H- •  •> 

d»,,  '^21  •  '  '  étant  des  fonctions  de  ^,,  ^o,  .  .  .,  x,i  liolomorphes 
dans  le  voisinage  de  a^ ,  «o?  •  •  •  •  De  plus,  ce  développement  (que 
nous  supposons  obtenu  en  regardant  /', ,  /'o,  .  •  .  comme  des  indé- 
terminées et  calculant,  au  mojen  de  l'équation  donnée,  les  autres 
dérivées  de  z)  est  convergent  lorsqu'on  remplace  /*<,  /'o,  .  .  .  par 
leurs  expressions  en  fonction  de  r  et  tous  les  termes  des  '^  par 
leurs  modules,  pourvu  que  les  modules  àe  x^  — «,,  .  .  .,  x,i  —  a,i 
soient  suffisamment  petits;  il  est  même  uniformément  convergent 
si  l'on  suppose  ces  modules  inférieurs  à  des  nombres  fixes  que 
l'on  sait  déterminer. 

Regardons  /•,,  z^,  .  •  .  comme  des  fonctions  déterminées  de  /• 
et  considérons  la  fonction  Q(^^,  x^-,  .  -  .  y  x,i\  ct^^  ao,  .  .  • ,  ci,i',  f,  a) 
définie  par  la  relation 

0  =  /'l'Ii  cosa  +  /'2'^2  co5  2a  -+-  r^'b^  cobj  x  -h.  .  . . 


i2i  PKKJMIÈHE   PARTIE. 

Il  est  clair  que,  «i,  n.^^  .  .  .,  ct„^  r  ayant  des  valeurs  données, 
.r,  —  <7(,  .  .  .,  x„  —  On  des  modules  inférieurs  à  des  limites  que 
Ton  peut  fixer,  et  a  étant  quelconque,  mais  réel,  la  série  mul- 
tiple à  /?  4-  I  indices  et  à  /?  -f-  i  variables 

G  =  SAa,,a, a,,,/.  (-2^1—  «i)^'.  --{oOn—  a^Y^n  rosÂa 

est  absolument  et  uniformément  convergente. 
Posons  maintenant 

/(a)  =  —  cosaH cos2a  H cos3a  -i-.  .  . . 

•^  ^1  r2  /'a 

J^a  série  /{ol)  est  absolument  et  uniformément  convergente 
diaprés  la  manière  dont  a  été  choisi  /',  et  l'on  a  visiblement 

au 


Je  dis  que  le  second  membre  de  celte  égalité  est  précisément 
l'intégrale  Z  que  nous  avions  choisie  arbitrairement.  Il  est  clair, 
en  effet,  d'après  la  manière  dont  nous  avons  obtenu  le  développe- 
ment (i),  que  l'intégrale  de  l'équation  proposée,  définie  par  les 
valeurs  initiales  des  dérivées 

«i,     ao,      .  . ., 
est  précisément 

ai  -j/i  -H  «2^2+  •  •  .  • 

J^a  convergence  absolue  et  uniforme  de  ce  développement  est 
assurée  par  les  relations  d'inégalité  qui  cxislent  entre  les  r  et  les  a. 

Remarquons,  d'autre  part,  qu'il  résulte  de  ces  relations  que  la 
fonction  y(a)  est  une  fonction  paire,  admettant  la  période  2 r:  et 
ayant,  dans  cet  intervalle,  des  dérivées  de  tout  ordre;  c'est  une 
fonction  complexe  delà  variable  réelle  a(').  Réciproquement,  en 
prenant  pour  y  toutes  les  fonctions  satisfaisant  à  ces  conditions  et 


(')  En  posant  6  = /•,(},(cosa -h  t  sin  a)  h-.  . .,  on  pourrait  prendre  pour  /(a) 
une  fonction  réelle  de  la  variable  réelle  a;  ce  ne  serait  plus  une  fonction  paire; 
c'est  sous  cette  forme  que  j'ai  énoncé  le  théorème  dans  une  Note  présentée  à 
l'Académie  des  Sciences,  le  25  mars  i8ç)5;  mais  ces  détails  ont  très  peu  d'im- 
portance. 


iMfilLANGKS.  xx'i 

(Ml  lalsaiiL  vaiici-  /',  il  csl  cluli-  (|ii(î  Ton  oblicndra  loules  les  va- 
leurs possibles  (les  a  oL,  par  suite,  loiiLes  les  inléf^rahîs  (\v.  l'étjiia- 
lioii  |)it)[30sée  liolomorplics  au  voisinage  du  |)oint  a,,  a^^  .  .  .,  On. 
()ii  obtiendra  d'ailleurs  chacune  de  ces  intégrales  |)Our  une  infi- 
nité de  valeurs  dillérentes  de  /*;  il  est  néanmoins  nécessaire  pour 
être  assuré  d'avoir  toutes  les  intégrales,  de  donner  à  /•,  sinon 
toutes  les  valeurs,  du  moins  une  infinité  de  valeurs  décroissant(;s 
et  ayant  pour  limite  zéro. 

Nous  avons  donc  indiqué  le  moyen  d'obtenir,  par  les  méthodes 
de  (^auclij,  u\\(i  fonction 

0(j7i,  x-i^  . .  . ,  x,i  ;  «i,  a=i^  .  .  . ,  Ofi',  r,  a), 

dépendant  des  n -\- 2  constantes  a,,  «27  •••?  <^^/o  ''?  ^-  ^t  telle 
(jue  toute  intégrale  de  l'équation  proposée,  holomorphe  en  quelque 
point,  soit  donnée  par  la  formule 

Z  =    /       0/(a)é/a, 
»-  0 

les  constantes  «,,  ...,  a,iy  r  étant  convenablement  choisies, 
ainsi  que  la  fonction y^( a). 

Si  l'on  recherche  seulement  les  intégrales  holomorphes  dans  le 
voisinage  d'un  point  donné,  on  devra  regarder  a,,  a.2,  ...,  a,i 
comme  des  constantes;  la  fonction  9  ne  dépendra  plus  alors  que 
des  deux  arbitraires  /•  et  a.  Enfin,  si  l'on  suppose  r  constant,  la 
formule  ne  sera  plus  apte  à  représenter  que  les  intégrales  holo- 
morphes à  l'intérieur  de  certains  cercles  ayant  pour  centres  les 
points  ^,  =  a<,  ...,  Xn^^ciu)  et  dont  les  rayons  sont  égaux  aux 
rayons  de  convergence  de  l'intégrale  r,  'i't  -t-  /'2'^2-l- •  •  •  •  En  don- 
nant à  (7,,  «2,  .  .  .,  a,i  toutes  les  valeurs,  on  obtient  chaque  inté- 
grale une  infinité  de  fois;  pour  avoir  toutes  les  intégrales,  on 
pourrait  se  contenter  de  donner  à  a,,  rto,  .  .  .,  a,i  une  infinité  dé- 
nombrable  de  systèmes  de  valeurs  convenablement  choisies,  par 
exemple  toutes  les  valeurs  rationnelles  (réelles  et  complexes). 

J'ai  été  conduit  à  l'idée  qu'on  pouvait  exprimer  l'intégrale  gé- 
nérale d'une  équation  linéaire  quelconque  aux  dérivées  j)artielles 
à  l'aide  d'une  formule  ne  i-enfermant  qu'une  fonction  arbitraire  à 
la  suite   de    la   leclure    d'un  très    intéressant   Tins  ail   de  ^1.    De- 


is>/)  PREMIERE   PARTIE. 

lassus(').  Dans  ce  Travail,  M.  Delassus  montre;  (juc  l'on  pciil 
obtenir  une  formule  ne  renfermant  qu'une  fonction  arbitraire 
d'une  variable  et  satisfaisant  à  la  définition  donnée  par  Ampère 
de  l'intégrale  générale.  D'ailleurs  les  symboles  de  M.  Delassus 
semblent  ne  pas  satisfaire  à  la  définition  de  l'intégrale  déduite 
des  travaux  de  Cauchj  (-).  Comme  je  suis  convaincu,  avec 
M.  Darboux  (voir  loc.  cit.)  que  la  définition  d'Ampère  peut  être 
ramenée  à  celle  de  Gaucliy^  j'ai  été  amené  à  cliercber  l'expression 
donnée  plus  haut  de  l'intégrale  générale. 

Au  sujet  de  la  définition  d'Ampère,  j'ajouterai  les  remarques 
suivantes  :  il  est  clair  que  l'intégrale 

r''o/(a)rfa, 

dans  laquelle  a,,  a.y,  .  .  .,  a^  r  ont  des  valeurs  constantes  et  où 
/"(a)  est  arbitraire,  satisfait  à  la  définition  d'Ampère;  elle  ne 
satisfait  pas  absolument  à  la  définition  de  Cauchy,  puisqu'elle  ne 
représente  que  les  intégrales  holomorphes  à  l'intérieur  de  certains 
cercles.  Mais  on  voit  que  les  fonctions  arbitraires  qui  figurent 
dans  la  définition  donnée  par  M.  Darboux,  d'après  Caucby,  ne 
sont  assujetties,  en  quelque  sorte,  qu'à  des  conditions  d'me^a//f^'. 
De  plus,  une  formule  représentant  l'intégrale  générale  d'Am- 
père, et  renfermant  une  fonction  arbitrairey(a),  peut  ne  conserver 
aucun  sens  lorsque /"(a),  tendant  vers  une  limite,  atteint  cette 
limite,  la  valeur  donnée  par  la  formule  tendant,  au  contraire, 
vers  une  limite  avec  f{oi).  D'autres  particularités  de  ce  genre 
peuvent  encore  se  présenter  et  des  transformations  analytiques 
difficiles  être  nécessaires  pour  mettre  en  évidence  que  la  for- 
mule représente  bien  toutes  les  intégrales,  tout  au  moins  à  des 
inégalités  près.  Dans  ces  conditions,  il  serait  actuellement  témé- 
raire de  tirer  de  ce  qui  précède  et  du  travail  de  M.  Delassus  une 
conclusion  précise  sur  la  valeur  de  la  définition  d'Ampère;  pour 
ma  part,  je  reste  convaincu  qu'elle  doit  être  conservée  (^). 


(')  Sur  les  intcgrales  partielles  {Bulletin  des  Sciences  niatheniulir/ues,  fé- 
vrier 189.5  ). 

{')  Voir  Darboux,  Théorie  des  surfaces,  l.  II,  p.  97,  98, 

(')  J'indique,  en  terminant,  l'extension  facile  de  la  méthode  employée  aux 
systèmes  d'équations  linéaires  et  par  suite  aux  systèmes  dillérentiels  quelconques. 


MÉLANGES.  1/7 


()'  Z  ()Z 


SUR  LES  INTÉGRALES  ANALYTIQUES  DE  L  ÉQUATION  '-1^  r^ 

l'Ait  M.  1.1;  noiix, 
Professeur  an  Lyeée  de  IJrcsL. 

Les  inl('!i;i;il('s  anal vliijiics  de  celle  é(|uali(Hi  pcuvenl  elre  re- 
j)réscnlées  par  la  série 

'  I  I .  '2        '  ^    '  1.2.3 

C5  Cl  'l  désiiinanl  des  fondions  analvli(nics  arbilraircs  de  x. 

D'autre  part,  si  l'on  désigne  par  0(j")  la  valeur  de  z  sur  la  ca- 
ractéristique x  =  Xo,  on  est  conduit  à  représenter  l'intégrale  par 
le  développement 

(..)  z  =  0(7)  +  "^-^^-^  ()"(y)  +  ^"^-"""^'e-cr)  +. . . , 


I  .'2 

0: 


et  la  dérivée  -^^  parla  formule 

D'après  Poisson,  l'expression  (2),  qui  contient  une  seule  fonc- 
tion arbitraire,  est  aussi  générale  que  l'expression  (i)  qui  en  con- 
tient deux.  Ce  résultat  est  exact  quand  les  séries  considérées  sont 
convergentes.  Examinons  ce  point. 

Les  fonctions  cp  et  tL  ayant  été  choisies  arbitrairement,  la  sé- 
rie (i)  est  convergente  dans  tout  le  plan  des  y,  tant  que:?;  difïére 
de  toute  valeur  qui  soit  singulière  pour  l'une  de  ces  fonctions. 
En  effet,  soit  Xq  la  valeur  attribuée  à  x.  Les  deux  séries 

9(^0)  H ?  {Xo)-h..  ., 

<h{Xo)-\- ^4''(^o)-H.  .  . 

admettent  des  rayons  de  convergence  que  je  suppose  supérieurs 
à  p.  Il  existera  donc  des  nombres  finis  A  tels  que  l'on  ail 

i'f""(^.)i<-^' 

P 


1-28  PUEMIÈKE   PAUTllî. 

Le  coefficienl  de  (y  — JKo)^"  dans  la  série  (i)  esl  donc  inférieur  à 

A  r 

p«  (n  -\-  i). . .  "in 

el  celui  de  (r — yo)'-""^'  à 


p«  ( /i  -h  1  ) ( /i  -4-  7. ) .  .  .xn{'iii  —  I  ) 


d'où  résulte  la  propriété  énoncée. 

En  revanche,  les  séries  (2)  el  (3)  sont,  en  général,  divergentes. 
Pour  qu'elles  puissent  converger,  il  faut  que  la  fonction  ^{f) 
soit  liolomorplie  dans  tout  le  plan  (j^),  et  cette  condition  n'est 
même  pas  suffisante. 

Soit 

La  fonction  Q  sera  liolomorphe  dans  tout  le  plan,  sauf  à  l'infini  si 

V\cin\ 

tend  vers  zéro  lorsque  n  croît  indéfiniment.  Mais,  pour  qu'elle 
rende  convergentes  les  séries  (2)  et  (3),  il  faut,  en  outre,  que  le 
rapport 


\a, 


\/\ 


n 


reste  inférieur  à  un  nombre  fini.  Cette  condition  suffit. 

Il  y  a  là  une  vérification  intéressante  du   théorème  relatif  à  la 
nature  des  lignes  critiques  accidentelles  des  intégrales. 


CO.MPTKS   KRNDUS   i; T   ANALYSI':S.  i^ 


COMPTES  HKNnns  ]:t  analyses. 


JAHIU^SBHKICHT   DKH   DHUTSGIIKN  MATIlIiMATIKHK- VKIU-INKJUNG.  — 

Driltcr  Band,  i89'>.-93.  EiUliallcnd  dio  Chronik  dcr  Vereinigijngflir  1 899.-93, 
kur/.e  Bcriclilc  iibcr  dio  aiif  dcr  Vcrsamiiiliing  in  Miinciicn  i^elialLcnen  Vor- 
triige,  sowio  oiiicMi  ausl'urlichcn  Bericlit  iihor  die  ]^]nl\vicklung  dcr  Théorie 
der  algebraischen  P^inctionen  in  altérer  11  nd  neuerer  Zeit  von  D""  A.  BrilL 
in  Tiibingen  und  D'"  N.  Noether  in  Erlangen  sovvie  einen  Bericht  uber  die 
Entwicklung  und  die  IIai]])laufgaben  dcr  Théorie  dcr  einfachen  Fachvverke 
von  D'  L.  Hcniiehcrg  in  Darmstadt.  Ilerausgegeben  im  Auflrage  des  Ver- 
slandes  von  W.  Dyck,  E.  Lampe.  1  voL  in-8'\  699  p.  Berlin,  Reimcr,  1894. 

Les  savants  qui  dirigent  la  publication  du  Jahresbericht 
der  DeutscJien  Alathematiker-Vereinigung  semblent  vouloir 
l'orienter  vers  une  excellente  direction,  à  en  juger  par  les  trois 
Volumes  qui  ont  paru. 

En  dehors  des  intéressantes  chroniques  qu'ils  renferment,  des 
résumés  de  Communications  qui  prouvent  la  vitalité  de  l'Associa- 
tion, chaque  Volume  contient  un  ou  plusieurs /?<7/?/?o/*^5  détaillés. 
On  a  publié  récemment,  ici  même,  une  analyse  étendue  du  Rap- 
port de  M.  Mejer  sur  la  théorie  des  invariants  qui  figure  dans  le 
second  Volume.  Le  troisième  Volume,  qui  vient  de  paraître,  con- 
tient un  travail  d'ensemble  sur  le  développement  de  la  théorie 
des  fonctions  algébriques,  qui  est  dû  à  MM.  Brill  et  Noether. 
Personne  n'était  mieux  qualifié  que  ces  deux  savants  pour  exposer 
l'histoire  de  cette  théorie,  à  laquelle  ils  ont  contribué  pour  des 
points  importants  et  difficiles.  La  richesse  des  renseignements 
qu'ils  nous  apportent  est  telle  que  personne  ne  voudra  plus  étu- 
dier cette  théorie  sans  avoir  consulté  leur  travail.  Il  semble  inu- 
tile d'insister  sur  l'importance  du  service  que  MM.  Brill  et 
Noether  ont  rendu  aux  travailleurs. 

Le  sujet  qu'ils  ont  abordé  est  extraordinairement  vaste,  et 
paraît  embrasser  bien  des  sujets  spéciaux  qui  regardent  tantôt  la 
pure  Algèbre,  tantôt  la  Géométrie,  tantôt  la  théorie  générale  des 
fonctions,  tantôt  l'Arithmétique  ;  il  comporte  cependant  une  unité 
supérieure,  et,  suivant  l'heureuse  comparaison  de  MM.  Brill  et 
Noether,  comme  un  petit  nombre  d'idées   fondamentales  qui  se 

Bull,  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  t.  \I\.  (Juillet  iSqS.)  10 


i3o  l»UEMIKini;   l'AUTIK. 

Lraduisoiil  dans  des  langues  diverses,  (ùonlraircmenl  à  leurs  inlen- 
lions  primitives,  ils  ont  cru,  depuis  la  mort  de  Kronccker,  devoir 
laisser  de  côté  ce  cpii  concerne  l' Arithmétique.  Quelques  regrets 
(pie  doive  lui  causer  cette  lacune,  le  lecteur  reconnaîtra  que  la 
lâche  qu'ont  accomplie  MM.  Hrill  et  Noether  restait  singulière- 
ment lourde. 

Leur  Rapport  comprend  près  de  cinq  cents  pages.  Après  avoir 
brièvement  rappelé  dans  quelle  mesure  il  convient,  d'après  les 
travaux  récents,  d'accorder  aux  anciens  une  certaine  connaissance 
de  l'idée  de  coordonnées  et  de  l'idée  de  fonction,  ils  abordent 
leur  exposition  détaillée  qui  commence  à  Descartes,  dont  le  rôle, 
disons-le  en  passant,  en  peut  être  jugé  avec  quelque  sévérité.  Elle 
est  divisée  en  dix  Sections,  placées,  le  plus  souvent,  sous  l'invoca- 
tion de  noms  illustres  qui  résument  un  progrès  essentiel  dans 
le  mouvement  scientifique.  Chaque  Section  contient  la  liste  des 
Ouvrages  qui  se  rapportent  au  sujet  dont  s'occupent  les  auteurs. 
Nous  reproduisons  ci-dessous  ces  précieuses  indications  bibliogra- 
phiques; elles  ont  un  grand  intérêt  en  elles-mêmes,  et  leur  suite 
donnera  au  lecteur  une  idée  de  Tordre  adopté  par  MM.  Brill  et 
Noether. 


PREMIÈRE  SECTION. 

COMMKNCEMENT     DUNE    THÉORIE    DES   COURBES   ALGÉBRIQUES    ET    DE    l/ÉLIMINA- 
TIOX,    DEPUIS    DESCARTES   JUSQU'a    EULER    ET    BÉZOUT. 

Descartes.  —  Discours  de  la  Mcthocie,  plus  la  Dioptriquc,  les  Météores 
et  la  Géomélrie.  i  vol.  in-4°.  Leydcn,  163;.  Édition  isolée  de  la  Géométrie; 
Paris,  1886. 

Newton.  —  Isaaci  Newtoni  opéra  quœ  extant  omnia,  comm.  S.  Horsiey; 
Londres,  1779,  1785,  4  vol.  in-4".  Voir  dans  le  Tome  i)remier  :  Arithmetica 
universalis,  p.  i-2'29;  Analysis  per  œquationes  numéro  terminorum  infî- 
nitas,  p.  9/37-7.8?,;  Excerpta  quœdam  ex  epistolis  Newtoni,  p.  283-329; 
Geometria  analytica  sivc  spécimen  artis  analyticaî;  p.  39i-5i8;  Enumeratio 
linearum  tcrtii  ordinis,  p.  53i-56o.  Pour  la  biographie  et  les  dates,  voir  : 
Brewsier,  Mémoire  sur  la  vie,  les  écrits  et  les  découvertes  de  Sir  I.  New- 
ton, 2  vol.  Londres,    18G0. 

Leibniz.  —  OEuvrcs  complètes  de  Leibniz;  éd.  V.  Pertz;  écrits  mathé- 


COMPTAS   UKNDUS   liT  ANALVSHS.  lii 

maliqucs   publiés   pai    il.    .1.    (icrliai  dj,  ;    |{(rliii,    llalh;,    1 8  |<)-i8(')'{  ;    7   vol. 
in-S". 

/>'.  Tdylor.  —  Mctiuxliis  incrcincnlonmi  <lir(;r,ta  cl  inversa;  Londres, 
1717. 

/.  Stirlinf^.  —  Lincse  tcrtii  ordinis  Ncwtonianœ,  sivc  illuslratio  trac- 
talus  D.  iNcwtoni  do  enunicrationc  lincarum  tcrtii  ordinis;  O\ford,  1717; 
édition  postérieure,  réunie  au  Mémoire  de  Newton;  Paris,  1797,  in-8". 

C.  Mac  Laiirin.  —  Geomctria  orj:^anica,  sivc  descriptio  lincarum 
curvarum  universalis;  Londres,  1720,  in-4"  ;  Traité  des  fluxions,  en  deux 
volumes;  2  vol.  in-4°,  Edimbourg,  1742;  Traité  d'Algèbre  en  trois  parties 
avec  un  appendice  :  De  lincarum  gcomctricarum  proprietatibus  generali- 
bus  tractatus,  in-8";  i*""  éd.,  Londres,  1748;  4''  i^d->  Londres,  1788. 

De  Gua  de  Malves  (1740).  —  Usage  de  l'analyse  de  Descartes  pour  décou- 
vrir, sans  le  secours  du  Calcul  diiïérentiel,  les  propriétés  ou  afTeclions  prin- 
cipales des  lignes  géométriques  de  tous  les  ordres;  Paris,  1740,  in-12. 

G.  Cramer.  —  Introduction  à  l'Analyse  des  lignes  courbes  algébriques. 
Genève,  in-4°. 

L.  Eiiler.  —  Introductio    in   Analysin   infinitorum.    2   vol.,   Lausanne, 
1748.  Démonstration  sur  le   nombre  des  points  011  deux   lignes  d'ordres 
quelconques  peuvent  se  couper;  Acad.de  Berlin.,  année  1748(1750).  Nou 
velle  méthode  d'éliminer  les  quantités,  etc.;  Acad.  de  Berlin,   1754. 

E.  Bézout.  —  Recherches  sur  le  degré  des  équations  résultantes  de 
l'évanouissement  des  inconnues  et  sur  le  moyen  qu'il  convient  d'employer 
pour  trouver  ces  équations;  Méni.  Acad.  Paris,  1764-  Théorie  générale  des 
équations  algébriques,  Paris,  1779;  in-4".  Cours  de  Mathématiques  à 
l'usage  des  Gardes  du  Pavillon  et  de  la  Marine;  Paris,  1776;  3"  Partie  : 
Alffèbre. 


'&' 


DEUXIÈME  SECTION. 

FONDATION    d'uNE    THEORIE    DES    FONCTIONS    :    LAGKANGE,    GAUSS,    CAUCIIY, 

PUISEUX. 

L.  Lagrange.  —  Théorie  des  fonctions  analytiques,  ...;  Paris,  1796. 
—  Nouvelle  méthode  j)our  résoudre  les  équations  littérales  par  le  moyen 
des  séries;  Mém.  Acad.  Berlin,  XXIV,  année  1768;  Œuvres,  \\\. 

C.  F.  Gauss.  —  Demonstratio  nova  theorematis  omnem  lunctionem 
algcbricam  rationalem  integram  unius  variabilis  in  factorcs  reaies  primi 
vel  secundi  ordinis  rcsolvi  posse;  Dissert.  Helmstâdt,  1799.  Œuvres,  t.  III, 
187G.  —  Demonstratio  nova  altéra  theorcm.atis,  etc.  Comm.  Gottingen, 
i8i5.  t.  III;  Œuvres,  III.  Theorematis  de  resolubililate  functionuni  alge- 


13/  PUKMIËKK  PAIITIF. 

braicaruin  intcgrarum  iii  faclores  rcales  dcmonslralio  icilia;  ibid.,  181G, 
OEuvres,  III.  Correspondance  entre  Gauss  et  Bessel,  Leipzig,  1880;  lettre 
(IcGaussdu    i.>.  janvier  iSr/;  OEuvrea,  III. 

A.  Cauchy.  —  Cours  d'analyse;  Paris,  i8:ii.  Ménnoire  sur  la  théorie  des 
intégrales  définies,  lu  à  l'Inst.  en  i8i4;  Savants  étranf(ers,  I.  Ménnoire 
sur  les  intégrales  définies  prises  entre  des  limites  imaginaires;  T\aris,  i8'23, 
in-.|".  De  rinfluencc  que  peut  avoir  sur  une  intégrale  double  l'ordre  dans 
lequel  on  effectue  les  intégrations;  Exercices  de  Mathématiques,  i8'26,  I. 
Sur  diverses  relations  qui  existent  entre  les  résidus  des  fonctions  et  les 
intégrales  définies;  ibid..,  1826,  I, 

Moigno.  —  Leçons  de  Calcul  différentiel  et  de  Calcul  intégral,  rédigées 
d'après  les  méthodes  et  les  Ouvrages  de  M.  Cauchy;  2  vol.,  I,  1840,  4 •*  le- 
çon; II,  1844,  7",  9*,  21^  leçons. 

Cauchy.  — Mémoire  sur  les  fonctions  complémentaires.  Comptes  rendus^ 
XIX,  1844.  Sur  les  intégrales  qui  s'étendent  à  tous  les  points  d'une  courbe 
fermée,  Comptes  rendus,  1846,  XXIIÏ.  Sur  les  intégrales  dans  lesquelles 
la  fonction  sous  le  signe  /  change  brusquement  de  valeur;  ibid.  Con- 
sidérations nouvelles  sur  les  intégrales  définies  qui  s'étendent  à  tous  les 
points  d'une  courbe  donnée,  et  sur  celles  qui  sont  prises  entre  des  limites 
imaginaires;  ibid.  Rapport  sur  un  Mémoire  présenté  à  l'Académie  par 
M.  Puiseux  et  intitulé  :  Recherches  sur  les  fonctions  algébriques; 
Cauchy,  rapporteur;  Comptes  rendus,  i85i,  XXXII.  Mémoire  sur  divers 
points  d'Analyse;  Mém.  de  VAcad.,  VIII,  1827.  Mémoire  sur  le  développe- 
ment de  /(O  suivant  les  puissances  ascendantes  de  h,  t,  étant  une  racine 
de  l'équation  x —  ^ —  Atît(Ç)  =  o;  ibid.  Extrait  d'une  lettre  à  M.  Coriolis, 
Comptes  rendus,  IV,  1837.  Lettre  sur  la  résolution  des  équations  de  degré 
quelconque  ;  ibid.,  IV.  Lettre  sur  la  détermination  complète  de  toutes  les  ra- 
cines des  équations  de  degré  quelconque  ;  ibid.,  IV.  Considérations  nouvelles 
sur  la  théorie  des  suites;  Exercices  d'Analyse  et  de  Physique  mathéma- 
tique, I,  i8}0.  Résumé  d'un  Mémoire  sur  la  Mécanique  céleste  et  sur  un 
nouveau  calcul  appelé  Calcul  des  limites;  ibid.,  II,  i84i.  Mémoire  sur  la 
nature  et  les  propriétés  des  racines  d'une  équation  qui  renferme  un  para- 
mètre variable;  ibid.,  II. 

Moigno.  —  Leçons  etc.;  I  :  Introduction,  17*^  et  18^  leçons. 

Cauchy.  —  Sur  les  caractères  à  l'aide  desquels  on  peut  distinguer  entre 
les  diverses  racines  d'une  équation  celle  qui  se  dévcloj)pe  en  série  conver- 
gente par  le  théorème  de  Lagrange;  Comptes  rendus,  j84(),  XXIII.  Mé- 
moire sur  les  fonctions  irrationnelles;  Comptes  rendus,  i83i,  XXXII.  Sur 
les  fonctions  de  variables  imaginaires;  ibid.,  XXXII.  ]Mémoire  sur  l'appli- 
cation du  calcul  des  résidus  à  plusieurs  questions  importantes  d'Analyse; 
ibid.,  XXXII.  Sur  les  fonctions  monotypiques  et  monogènes;  ibid.,  XXXII. 
Rapport  sur  un  Mémoire  présenté  à  l'Académie  par  M.  Puiseux  et  intitulé  : 
Recherches  sur  les  fonctions  algébriques  ;  Cauchy,  rapporteur;  ibid.  Rap- 


COMPTliS   KKNDUS   \VV  ANALVSHS.  i  ii 

|K»it    sur    un    M('iiioiic    «If    M.    l'iiisciix    :    Nouvelles   rcchcrclics    su/-    les 
l'ourlions  <tl ijfchri(ni<s ;  ihid.^   WXII. 

//.  L<ini((rlc.  —  Noie  sm-  le  llicorcmc  de  M.  Caucliy  reliilif  ;ni  (lrv(I<t|)- 
pcinciil  (les  lonclions  en  séries,  JouriKil  de  FAnavllle,  XI,  i8/i("). 

P.-A.  Laurent.  —  Extension  du  théorème  de  M.  Gauchy  relatif  à  la 
convergence  du  développement  d'une  fonction  suivant  les  puissances  ascen- 
dantes de  la  variable;  Coni/)tes  rendus,   i843,  XVII. 

Chio.  —  Recherches  sur  la  série  de  Laj^range;  Savants  élrani^ers,  XII, 
i854  (présentées  en  iS/iG). 

V.  Puiseux.  —  Recherches  sur  les  fonctions  algébriques  ;  Lfowp«7/e^ 
i85o,  XV.  Suite;  ibid.,  i85i,  XVI. 

TROISIÈME  SECTION. 

LE  THÉORÈME  d'aBEL  ET  LE  PROBLÈME  d'iNVERSION  DES  FONCTIONS  ELLIPTIQUES, 

d'abel  a  WEIERSTRASS. 

N.-H.  Abel.  —  OEuvres  complètes  de  N.-H.  Abel,  publiées  par  Ileimboe; 
2  vol.,  Christiania,  1889.  OEuvres  complètes  de  N.-IL  Abel,  publiées  par 
L.  Sylow  et  S.  Lie;  2  vol.,  1881.  Mémoire  sur  une  propriété  générale  d'une 
classe  très  étendue  de  fonctions  transcendantes,  1826;  OEuvres,  I.  Dé- 
monstration d'une  propriété  générale,  etc.;  ibid.  Remarques  sur  quelques 
propriétés,  etc.;  ibid.  Sur  la  comparaison  des  fonctions  transcendantes; 
Œuvres,  II. 

Ch.  Jûrgensen.  —  Sur  la  sommation  des  transcendantes  à  différentielles 
algébriques;  Journal  de  Crelle,  i83i,  XIX.  Remarques  générales  sur  les 
transcendantes  à  différentielles  algébriques;  Journal  de  Crelle,  1840, 
XXIII. 

O.-J.  Broch.  —  Sur  quelques  propriétés  d'une  certaine  classe  de  fonctions 
transcendantes;  Crelle,  XX.  Mémoire  sur  les  fonctions  de  la  forme,  etc.; 
ibid.,  1841,  XXIII. 

F.  Mindiiig.  —  Propositiones  quœdam  de  integralibus  functionum 
algebraicarum  unius  variabilis  e  principiis  Abelianis  derivatse  ;  ibid., 
i84i,  XXIII. 

G.  Rosenhain.  —  Exercitationes  analyticœ  in  theorema  Abelianum  de 
integralibus  functionum  algebraicarum;  ibid.,  1844?  XXVIII;  i845,  XXIX. 

/.  Jacobi.  —  Considcrationcs  générales  de  transcendentibus  abelianis; 
Crelle,  i83'2,  IX;  OEuvres,  éd.  Weierstrass,  II.  De  functionil)u--  dua- 
rum  variabilium  quadriipliciter  periodicis,  quibus  theoria  transcendcntiuin 
abelianarum  innilitur;  Crelle,  i8i4,  XIII;   OEuvres,  II. 


i34  PUEMIÈUE    PAHTIli. 

A.  Gôpel.  —  Thcoria3  transcendciUiiim  ubclianuruin  j>rimi  ordinis  adum- 
bratiolevis;  Crelle,  1847,  XXXV. 

Extrait  de  plusieurs  lettres  de  Rosenhain  à  Jacobi  sur  les  transcendantes 
hyperelliptiques;  Crelle,  XL. 

G.  Rosenhain.  —  Mémoire  sur  les  fonctions  de  deux  variables  et  à 
quatre  périodes  qui  sont  les  inverses  des  intégrales  ultra-elliptiques;  Sa- 
vants étrangers,   i85r,  XL 

K.  Welerstrass.  —  Essai  sur  la  théorie  des  intégrales  abéliennes  :  Pro- 
gramme du  Gymnase  de  Braunsberg  pour  1 848-1849.  Sur  la  théorie  des 
lonctions  abéliennes;  Crelle,  j853,  XLVJT.  Théorie  des  fonctions  abé- 
liennes; Crelle,  i8')G,  LIL 


QUATRIÈME  SECTION. 

THÉORIE    DE    RIEMANN    SLR    LES    FONCTIONS   ABÉLIENNES   ET    SES    ORIGINES. 

G.  Green.  —  Essai  sur  l'application  de  l'Analyse  mathématique  aux 
théories  de  l'électricité  et  du  magnétisme.  Nottingham,  1828.  Extraits  dans 
le  Journal  de   Crelle,  XXXLX,   XLIV,   XLVII;   Matliematical  Papers, 

1871,  Londres. 

C.-F.  Gauss.  —  Théorèmes  généraux  relatifs  aux  forces  d'attraction  ou 
de  répulsion  qui  agissent  en  raison  inverse  du  carré  de  la  distance,  Res. 
Beob.  magn.  Ver.  Leipzig,  1840;  Œuvres,  V. 

G.  Lej eune-D irichlet .  —  Leçons  sur  les  forces  qui  agissent  en  raison 
inverse  du  carré  de  la  distance;  éditées  par  Grube.  Leipzig,  1876. 

B.  Riemann.  —  Pesanteur,  électricité  et  magnétisme,  d'après  les  leçons 
de  Riemann,  rédigées  par  Hattendorf.  Hannover,  1876. 

D.  Riemann.  —  Equilibre  de  l'électricité  sur  des  cylindres  à  section 
circulaire  et  à  axes  parallèles.  (Tiré  des  papiers  laissés  par  Riemann.) 
Œuvres  de  Riemann,  i'*  édition,  p.  4i3;  Leipzig,  1876.  Fondements  d'une 
théorie  générale  des  fonctions  d'une  variable  complexe.  Dissertation  inau- 
gurale; Gottingen,  i85i.  Œuvres,  p.  3.  Théorie  des  fonctions  abéliennes, 
Crelle,  1807,  Ll\  ;  OEuvres,  p.  8r. 

G.  Roch.  —  Sur  le  nombre  des  constantes  arbitraires  dans  les  fonctions 
algébriques;  Crelle,    i8G4.  LXH  . 

B.  Riemann.  —  Sur  Tannulalion  des  fonctions  !^  ;  Crelle,  i8G('),  LX\' ; 
Œuvres,  j).    198. 


COMPTAS  iu*:m)Us  in  analyses.  iVt 

CINQUIÈMI-:  SECTION. 

LK8    l)ll\i:CTIONS   GÉOMKTRICO-ALGKBIUQUKS. 

(J.  La/nc.  —  lîlxanicn  des  diflôrcntcs  nicthodcs  employées  pour  résoïKJic 
K's  problèmes  de  Géomélrie,  i<Si8. 

J.  Plûcker. —  Développements  analytico-géométriques  ;  i'"'  vol.,  )828, 
p.  ^/iS  ;  v>>'  vol.,  i83o,  |).  •i\'i.  Reelierches  sur  les  courbes  (surfaces)  algé- 
briques de  tous  les  defçrés.  Annales  de  Gergonne^  1828-1829,  XIX. 
Théorèmes  généraux  concernant  les  équations  d'un  dej^ié  quelconque 
entre  un  nombre  quelconque  d'inconnues;  C relie,  1837,  XVI.  Système  de 
Géométrie  analytique;  Berlin,  i835.  Théorie  des  courbes  algébriques,  fondée 
sur  une  nouvelle  manière  de  traiter  la  Géométrie  analytique;  Bonn,  1839. 

C.-G.-J.  Jacobi.  —  Theoremata  nova  algebraica  circa  systema  duarum 
œquationum  inter  duas  variabiles  propositarum  ;  Crelle,  i835,  XIV; 
Œuvres,  éd.  Weierstrass,  III.  De  relationibus  quœ  locum  habere  debent 
intra  puncta  intersectionis  duarum  curvarun)  vel  trium  superficierum  alge- 
braicarum  dati  ordinis,  simul  cum  evolutione  paradoxi  algebraici  ;  Crelle, 
XV;  OEiwres,  III. 

A.  Cayley.  —  Sur  la  réduction  de  dusJXS,  lorsque  U  est  une  fonction 
du  quatrième  de^vè;  Journal  de  Cambridge  et  Dublin,  1846,  I;  OEuvres, 
I,  n"  33.  Sur  la  transformation  cubique  d'une  fonction  elliptique;  Philoso- 
phical  Magazine,  i858,  XV;  Œuvres,  III,  n°  2ro.  Sur  quelques  formules 
pour  la  transformation  des  intégrales  elliptiques;  Crelle,  i858,  LV; 
Œuvres,  IV,  n"  235.  — (  Voy.  aussi  Brioschi,  Annali  di  Mat.,  1860,  III.) 

Ch.  H  ermite.  —  Sur  la  théorie  des  fonctions  homogènes  à  deux  indé- 
terminées. Premier  Mémoire;  Crelle,  i856,  t.  LU.  —  (  Voy.  aussi  Gaylev, 
Crelle,  L,  p.  287  et  LV,  p.  24.)  Sur  la  transformation  du  3'""*  ordre  des 
fonctions  elliptiques;  Crelle,  1861,  LX. 

S.  Aronhold.  —  Réduction  algébrique  à  la  forme  fondamentale  des 
transcendantes  elliptiques  de  l'intégrale  j  ¥ {x,  y)  dx,  oh  ¥{x,y)  est  une 
fonction  rationnelle  arbitraire  de  x  et  y,  lorsqu'il  existe  entre  ces  der- 
nières quantités  une  équation  générale  du  troisième  degré  ;  Berlin,  J/o/ia^s- 
berichte,  1861.  Sur  une  nouvelle  manière  algébrique  de  traiter  l'intégrale 
d'une  diiïérentielle  irrationnelle  de  la  forme  11(^7,  y)dx,  où  Yl{x,  y)  est 
une  fonction  rationnelle  arbitraire  des  variables  x,  y  entre  lesquelles  il 
existe  une  équation  géiiéiale  du  second  ordre;  Crelle,  1862,  LXI. 

F.  Brioschi.  —  Sur  la  théorie  des  formes  cubiques  à  trois  indéterminées; 
Comptes  rendus,  i863,  LVI. 

Mac  Laurin.  —  De  linearuni  gcomeiricaruni  propriclatiiius  gencralibus 
iraetatus,  1748. 


i3G  PHEMli:iU:   PARTI  H. 

/.  Plûcker.  —  (  Voir  plus  haut.) 

O.  liesse.  —  Sur  l'élimination  des  variables  entre  trois  équations  algé- 
briques (lu  second  degré  à  deux  variables;  Crelle,  1844,  XXVllI.  Sur  les 
points  d'inflexion  des  courbes  du  troisième  ordre;  Crelle,  184/1,  XXVIII. 
Résolution  algébrique  des  équations  du  neuvième  degré,  etc.  ;  Crelle,  18  jG, 
XXXIV.  Sur  les  courbes  du  troisième  ordre  et  les  sections  coniques  qui 
touchent  ces  courbes  en  trois  points  différents;  Crelle,  1847,  XXXIV. 

/.  Steiner^  —  Théorèmes  de  Géométrie;  Crelle,  i845,  XXXII;  Œu- 
vres, II.  Théorèmes  sur  les  courbes  du  second  et  du  troisième  ordre; 
Crelle,  i845,  XXXII;   OEuvres,  II. 

G.  Salmoii.  —  Traité  des  courbes  planes  d'ordre  supérieur;  i^*^  éd.,  Du- 
blin, i852. 

J.  Steiner,  —  Propriété  des  courbes  du  quatrième  ordre,  relativement 
à  leurs  tangentes  doubles,  XLIX,  i852;   OEuvres,  II. 

O.  Hesse.  —  Sur  les  déterminants  et  leurs  applications  à  la  Géométrie, 
en  particulier  aux  courbes  du  quatrième  ordre;  Crelle,  i853,  XLIX.  Sur 
les  tangentes  doubles  des  courbes  du  quatrième  ordre  ;  Crelle,  i853, 
XLIX.  Sur  les  tangentes  doubles  des  courbes  du  quatrième  ordre;  Crelle, 
1857,  LV. 

B.  Riemann.  —  Sur  la  théorie  des  fonctions  abéliennes  pour  le  cas 
yo  =  3  ;  OEuvres,  i"^  éd.,  p.  456-47"2. 

G.  Rocli.  —  De  theoremate  quodam  circa  functiones  abelianas;  Habilita- 
tionschrift.  Halle,  i863.  Sur  la  troisième  espèce  des  intégrales  abé- 
liennes du  second  ordre;  Crelle,  i865,  LXV.  Sur  les  tangentes  doubles 
aux  courbes  du  quatrième  ordre;  Crelle,  1864,  LXVI.  Sur  les  fonctions 
thêta  à  plusieurs  variables;  ibid.,  LXVI.  Sur  les  intégrales  abéliennes  de 
troisième  espèce;  ibid.^  1866,  LXVIII.  Sur  le  nombre  des  constantes  arbi- 
traires dans  les  fonctions  algébriques;  1864,  LXIV. 

A.  Clebsch.  —  Sur  un  théorème  de  Steiner  et  quelques  points  de  la 
théorie  des  courbes  algébriques;  Crelle,  i863,  LXIII.  Sur  l'application  des 
fonctions  abéliennes  à  la  Géométrie;  ibid.,  LXIII.  Sur  les  courbes  planes 
dont  les  coordonnées  sont  des  fonctions  rationnelles  d'un  paramètre;  ibid., 
1864,  LXIV.  Sur  les  courbes  dont  les  coordonnées  sont  des  fonctions  ellip- 
tiques d'un  paramètre;  ibid.^  LXIV. 

H. -A.  Schwarz.  —  De  superficiebus  in  planum  explicabilibus  primorum 
septem  ordinum,  Crelle,  1864,  LXIV. 

A.  Brill.  —  Sur  les  courbes  dont  les  coordonnées  sont  des  fonctions 
hyperelliptiques  d'un  paramètre;  ibid.,  i865,  LXV.  Note  sur  les  tangentes 
doubles  d'une  courbe  du  quatrième  ordre  avec  un  point  double;  Mathe- 
matische  Annalen,  1872,  VI. 


COMPTIiiS   UHNDUS    HT   ANALYSES.  13; 

Ij.  Ci'cnioiia.  —  Siii"  les  Inm^roniiations  ^M'oiiu-lriques  des  fi^ui'cs 
planes;  Mémoires  de  l'Acadéiaie  de  liolof^ne,  •>,""  série,  i8(')>,  i8G5,  II,  V. 

.'/.  Cayley.  —  Sur  la  transformation  des  courbes  planes;  Proccedings 
of  thc  Lond.  Matli.  Soc.^  i8G");  OKuvres,  VI.  Sur  la  correspondance  de 
deux  points  sur  une  courbe;  Proc.  of  thc  Lond.  Math.  Soc,  i8G(»  ;  Œuvres, 
\I;  l*hilosophical  Transactions,   18G8. 

A.  Clebsch  et  P.  Gordan.  —  Théorie  des  fonctions  abélienncs  ;  Lcipzi^s 
18G6. 

A.  Brill.  —  Essai  sur  la  théorie  des  transformations  univoques;  Ilabi- 
litationschri/t,  Giessen,  1867.  Note  sur  le  nombre  des  modules  d'une 
classe  d'équations  algébriques.  Math.  Ann.,  18G9,  I.  Deuxième  Note,  etc.; 
Math.  Ann.,  1870,  II. 

L.  Cremona.  —  Sur  la  transformation  des  courbes  hyperelliptiques; 
Comptes  rendus  de  V Institut  lombard,  1869.  Sur  les  intégrales  des  dif- 
férentielles algébriques  (fragments  de  leçons);  Mémoires  de  V  Académie  de 
Bologne,  -1^  série,  1869,  X. 

F.  Casorati  et  L.  Cremona.  —  Sur  le  nombre  des  modules  des  équa- 
tions et  des  courbes  algébriques  d'un  genre  donné;  Comptes  rendus  de 
V Institut  lombard,   1869. 

//.  Weber.  —  Sur  la  théorie  de  l'inversion  des  intégrales  abéliennes  ; 
C relie,  1869,  LXX. 

L.  Cremona.  —  Préliminaires  d'une  théorie  géométrique  des  surfaces; 
Bologne,  1866;  Mémoires  de  l'Acad.  de  Bologne,  2*  série,  VI,  VII. 

E.  Bertini.  —  Journal  de  Battaglini,  t.  VII;  H.  G.  Zeutheîs^  Comptes 
rendus,  t.  LXX  et  Math.  Ann.,  1870,  III. 

A  Voss.  —  Gœtt.  Nachr.,  1878;  A.  Clebsch,  Leçon;  voy.  Noeteier, 
Math.  Ann.,  VIII. 

J.  Liiroth.  —  Note  sur  les  coupures  d'une  surface  de  Riemann;  Math. 
Ann.,  1871,  IV. 

A.  Clebsch.  —  Sur  la  théorie  de  la  surface  de  Riemann;  Math.  Ann., 
1872,  VI. 

L.  Schlâjli.  —  Sur  les  relations  linéaires  entre  les  2/?  cycles  de  pre- 
mière espèce  et  les  ip  cycles  de  seconde  espèce  dans  la  théorie  des  fonc- 
tions abéliennes  de  MiM.  Clebsch  et  Gordan;  C  relie,  1878,  LXXVI. 

F.  Casorati.  —  Les  relations  fondamentales  entre  les  modules  de  pério- 
dicité des  intégrales  abéliennes  de  première  espèce;  Annali  di  Matema- 
tica,  2^  série,  II. 


i38  PIUiMlliUI::   PAinii:. 

A.  Jitill.  —  Sur  deux  problèmes  (réliriiiiiatioii  ;  Goetl.  Nadir.,  1870. 
Sur  les  courbes  d'uu  faisceau  qui  touclienL  \\x\(i  courbe  donnée  en  deux 
points;  Matli.  yln/i.,  1871,  III.  Pour  la  tbéorie  de  i'éliniinalion  et  des 
courbes  algébriques;  .}fath.  Ann.,  1871,  IV.  Sur  deux  problèmes  de  con- 
tact; Malh.  Ann.,  IV.  Sur  l'élimination  entre  un  certain  système  d'équa- 
tions; ibid.,  i87[,  V.  Sur  la  correspondance  des  systèmes  de  points  sur 
une  courbe;  ibid.,  187?-,  VI. 

M.  Noetlier.  —  Pour  la  théorie  de  la  correspondance  univoque  des 
figures  algébriques  dans  l'espace  à  un  nombre  quelconque  de  dimensions; 
Math.  Ann.,  1869,  II.  Sur  un  théorème  de  la  théorie  des  fonctions  algé- 
briques; Math.  Ann.,  i87'2,  VI. 

A.  Brill  et  M.  Noether.  — ■  Sur  les  fonctions  algébriques  et  leur  appli- 
cation à  la  Géométrie;  Math.  Ann..,  1873,  VII.  (  Fot>  aussi  une  Note  dans 
la  traduction  par  Fiedler  des  Courbes  planes  de  Salmon,  1873.) 

Sylvester.  —  {Y^An^Xes  Courbes  planes  àc^dAmon,  i"  éd.,  1873,  et  dans 
la  traduction  de  Fiedler,  1873.)  Théorie  de  la  résiduation  dans  les  cubiques. 

E.  Bertini.  —  La  Géométrie  des  séries  linéaires  sur  une  courbe  plane 
suivant  la  méthode  algébrique;  Annali  di  Mat.,  2*^  série,  1894,  XXII. 

C lebsch-Lindemann.  —  Leçons  sur  la  Géométrie,  t.  I  ;  4*^  et  6*^  Parties, 
1876;  Remarque  de  Noether  dans  le  Compte  rendu  publié  dans  le  Zeit- 
scJirift  fil  r  Ma  th.  u.  P  hys .,  1877. 

Klein-Friche.  —  Fonctions  modulaires  elliptiques,  t.  I,  1890,  section  3, 
ch.  2. 

E.  Study.  —  Un  théorème  de  réciprocité  dans  la  théorie  des  fonctions 
algébriques;  Berichte  der  Sachs.  Geselschaft  der  Wiss.,  1890. 

SIXIÈME  SECTION. 

LA   THÉORIli:   DES    POINTS    SINGULIERS. 

A.  Cayley.  —  Sur  les  singularités  su[)érieures  des  couibes  planes;  Quar- 
terly  Journal,  i8(")5,  VII;  OEuvres,  V,  n°  374.  Note  sur  les  singularités 
supérieures  des  courbes  planes;  Crelle,  LXIV. 

L.  Kronecker.  —  Sur  le  disciiminant  des  fonctions  algébriques  d'une 
variable;  Monatsbcrichte  de  Berlin,  i8(V2;  Leçons  de  1870  publiées  dans  le 
Journal  de  Crelle,  XCI,  et  dont  la  suite  annoncée  n'a  pas  encoie  paru. 

A".  Weierstrass.  —  Leçons  sur  les  fonctions  abéliennes,  i8()9,  1873,  etc. 
(  Voir  plus  bas,  septième  Section.) 

J/.  Hamburger.  —  Sur  le  développement  des  fonctions  algébriques  en 
séries;  Zeitschrift  fi'ir   Math,  und  Phys..  1871,  XVI. 


COMPTIÎS   HI<NÏ)US  ET  ANALYSES.  iU) 

L  Kôniffsbei'îicr.  —  I^cçoiis  sur  lii  I.licoric;  des  foiiclions  (;lli()l  i(|iics  ; 
Loi|>/.i<;,  1871;   i""  Partie,  <)*■  leçon. 

)/.  Noetlier.  —  Sur  les  fonctions  alf^ébriqucs;  Goett.  IS'achr.,  1871,  Sui- 
la  théorie  de  la  correspondance  univoque  des  fif^iires  al^n';l)riffues;  Math. 
.Inn.,  1871,  VIII.  Sur  les  systèmes  de  valeurs  singulières  d'une  fonction 
algébrique  et  les  points  sinj^uliers  d'une  courbe  algébrique  ;  iOid.,  1875,  IX. 
Développement  rationnel  des  opérations  dans  la  théorie  des  fonctions  algé- 
briques; ibuL,  188!},  XXIII.  Sur  le  théorème  fondamental  de  la  théorie 
des  fonctions  algébriques,  ibicL,  1889,  XXXIV.  Les  condjinaisons  caracté- 
ristiques dans  la  transformation  d'un  |)oint  singulier;  Rendicontl  dit 
Cercle  inathéinatiqiie  de  Païenne,   1890,  IV. 

A.  Brill  et  M.  Noetlier.  —  Sur  les  fonctions  algébriques  et  leur  appli- 
cation à  la  Géométrie;  Math.  Ann..  1878,  VII. 

O.  Stolz.  —  Sur  les  points  singuliers  des  fonctions  et  des  courbes  algé- 
briques; Math.  Ann.,  1874,  VIII.  La  multiplicité  des  points  d'intersection 
de  deux  courbes  algébriques:  ibid.,  1879,  XV. 

De  la  Gournerie.  —  Note  sur  les  singularités  élevées  des  courbes  planes; 
Journal  de  Liouville,  1^  série;  XIV  et  XV.  Note  sur  le  nombre  des  points 
d'intersection  que  représente  un  point  multiple  commun  à  deux  courbes 
planes;  Comptes  rendus,  1873,  LXXVII. 

L.  Painvin.  —  Sur  l'abaissement  de  la  classe  d'une  courbe  produit  par 
la  présence  d'un  point  de  rebroussement  ;  Bulletin,  1873,  IV.  Note  sur 
l'intersection  de  deux  courbes;  ibid.,  1873,  V. 

G.-H.  Halphen.  —  Mémoire  sur  la  détermination  des  coniques  et  des 
surfaces  du  second  ordre.  Première  Partie  :  théorèmes  généraux  sur  les 
intersections  des  courbes  planes  algébriques;  Bulletin  de  la  Soc.  math., 
1873,  I,  II.  Sur  les  points  singuliers  des  courbes  algébriques  planes;  Sa- 
vants étrangers,  1877,  XXVJ  (remis  en  1874.)  Sur  une  série  de  courbes 
analogues  aux  développées;  Liouville,  3^  série,  II.  Sur  la  recherche  des 
points  d'une  courbe  algébrique  plane  qui  satisfont  à  une  équation  différen- 
tielle algébrique  ;  ibid.^  3^  série,  II.  Sur  une  question  d'élimination,  ou  sur 
l'intersection  de  deux  courbes  en  un  point  singulier;  Bulletin  de  la  Soc. 
math.,  1875,  III.  Sur  la  conservation  du  genre  des  courbes  algébriques 
dans  les  transformations  uniformes;  ibid.,  1870,  IV.  Sur  le  contact  des 
courbes  planes  avec  les  coniques  et  les  courbes  du  troisième  degré;  ibid., 

1875,  IV.  Sur  les  correspondances  entre  les  points  de  deux  courbes;  ibid., 

1876,  V.  Sur  le  genre  des  courbes  algébriques;  Comptes  rendus  de  V Asso- 
ciation française,  4*^  session  ;  Nantes,  1875.  Etude  sur  les  points  singu- 
liers; Appendice  à  la  traduction  française  {O.  Chemin)  des  Higher  plane 
curves  de  Salmon  ;  Paris,  i884- 

II. -J.  Stephen  Smith.  —  Sur  les  singularités  élevées  des  courbes  planes; 
Proceedings  of  the  London  Math.  Soc,  1870,  VI. 


i4o  PREMIÈRE  PARTIE. 

E.  Klein.  —  Une  nouvelle  relation  entre  les  singularités  d'une  courbe 
algébrique;  Derichte  de  la  Société  cU Erlaiigen\  dcc.  1875,  et  Math. 
A  tin.,  X. 

II. -G.  Zeuthen.  —  Note  sur  les  singularités  des  courbes  planes;  Math. 
Anii.,  1876,  X.  Sur  un  groupe  de  théorèmes  et  formules  de  la  Géométrie 
énumérative  ;  Acta  Mathematica,  1882,  I. 

A.  Drill.  —  Sur  les  singularités  des  courbes  algébriques,  etc.;  Math. 
Ann.y  i<S79,  XVI.  Sur  la  multiplicité  des  points  d'intersection  de  deux 
courbes  planes;  Sitzungsberichte  de  l'Acad.  de  Munich,  1888.  Sur  les 
valeurs  d'une  fonction  de  deux  variables  dans  le  voisinage  d'un  zéro;  ibid., 
1891.  Sur  la  résolution  des  singularités  élevées  d'une  courbe  algébrique 
en  singularités  élémentaires;  i>ew^5cAe  i]/a^A.  Vereinigung,  1892,  Munich. 

G.  B.  Guccia.  —  Sur  une  question  concernant  les  points  singuliers  des 
courbes  algébriques  planes;  Comptes  i^endas,  1886,  GUI. 

E.  Bertini.  —  Sur  quelques  théorèmes  fondamentaux  des  courbes  planes 
algébriques,  Rendiconti  de  l'Institut  lombard,  1888,  XXI.  Sur  le  nombre 
de  points  d'embranchement  des  courbes  algébriques;  ibid.,  1891,  XXIII. 
Démonstration  d'un  théorème  sur  la  transformation  des  courbes  algé- 
briques, Rivista  di  Matem.^  1891  ;  Math.  A/in.,  XLIV. 

Ch.-A.  Scott.  —  Sur  les  singularités  élevées  des  courbes  planes;  Ameri- 
can Journal.,  1892,  XIV. 

II.-F.  Baker.  —  Exemples  de  l'application  du  polygone  de  Newton  à  la 
théorie  des  points  singuliers  des  fonctions  algébriques;  Transactions 
philosopliiques  de  Cambridge,  1894,  XV.  (Extrait  dans  les  Math. 
Ann.,  XLV.  j 

SEPTIÈME  SECTION. 

LA   DIRECTION   DE   WEIERSTRASS,    A    PARTIR    DE    1869. 

K.  Weierstrass.  —  Les  trois  Mémoires  signalés  dans  la  troisième  Sec- 
tion. —  Sur  l'intégration  par  les  logarithmes  des  différentielles  algébriques; 
Monatsber.  de  Berlin.,  1857.  Leçons  sur  la  théorie  des  fonctions  abéliennes 
à  partir  de  1869;  leçons  d'introduction  dans  les  semestres  d'été  de  i863  et 
de  1866.  (d'après  des  Notes  ou  rédactions  de  Wagner,  Wedekind,  Liiroth, 
Jijrgens,  Mangoldt,  Hettner,  Knoblauch,  Schottky,  Schur).  —  Quelques 
théorèmes  relatifs  à  la  théorie  des  fonctions  analytiques  de  plusieurs 
variables;  lithographie,  1879.  Mémoires  sur  la  théorie  des  fonctions; 
Berlin,  188G  (Mém.  Y). 

O.  Biermann.  —  Théorie  des  fonctions  analytiques;  Leipzig,  1887. 

E.   Netto.   —   De  transformatione    ecquationis  ^"=:R(:r),   désignante 


COMPTAS  RENDUS  !<  T  ANALVSKS.  ,;, 

!{(./•)    riiiicl  ioiiom     iiilc^iîim     riilioiialom     v;ii'ial)ilis     j\     iii      UMjiialioiicm 
T)2  —  i{i($);  Disserf.,  lîciliii,   i.Sjo. 

/''.  Schotlky. —  Sur  la  représentation  conform(;  des  surfaces  planes  plu- 
sieurs fois  connexes;  Dissert.,  Berlin,  187).  Sur  la  représentation  conforme 
(les  surfaces  planes  plusieurs  fois  connexes;  Crelle,    1877,  LXXXIII. 

G.  Ilettner.  —  Sur  la  réduction  aux  intégrales  hyperelliptiques  d'une 
certaine  classe  de  diiïérentielles  algébriques;  Dissert.,  Berlin,  1877.  Sur 
les  équations  algébriques  entre  deux  variables  qui  admettent  un  faisceau 
de  transformations  en  elles-mêmes  rationnelles  et  réversibles;  Goett. 
Nachr.,  1880. 

O.  Valentiii.  —  De  œquatione  algebrica  quœ  est  inter  duas  variabiles 
in  quamdani  formam  canonicam  transformata;  Dissert.,  Berlin,  1879. 

F.  Kôttev.  —  Application  des  fonctions  abéliennes  à  un  problème  de 
Statique,  etc.;  Crelle,  188;'),  GUI. 

E.-B.  Christoffel.  —  Démonstration  algébrique  du  théorème  sur  le 
nombre  des  intégrales  linéairement  indépendantes  de  première  espèce; 
Annali  cli  Mat.,  n^  série;  1880,  X. 


HUITIEME  SECTION. 

REPRÉSENTATION    SOUS    FORME    INVARIANTE. 

//.  Weber.  —  Théorie  des  fonctions  abéliennes  d'espèce  3;  Berlin,  Rei- 
mer,  187G.  Remarques  sur  cet  écrit  dans  le  Journal  de  Crelle,  1879, 
LXXXVIII.  Sur  certains  cas  d'exception  dans  la  théorie  des  fonctions  abé- 
liennes; Math.  Ann.,  1877,  XIII. 

L.  Kraus.  —  Note  sur  un  groupe  spécial  extraordinaire  sur  des  courbes 
algébriques;  Math.  Ann.,  1879,  XVI. 

M.  Noether.  —  Sur  la  représentation  invariante  des  fonctions  algé- 
briques; Math.  Ann.,  1880,  XVII.  Note  sur  les  courbes  normales  pour 
p  =  !j.^  0,  7  ;  Math.  Ann.,  i885,  XXVI.  Développement  rationnel  des  opéra- 
tions dans  la  théorie  des  fonctions  algébriques;  Math.  Ann.,  i883,  XXIII. 
Sur  la  tliéorie  des  différentielles  et  des  fonctions  abéliennes;  Math.  Ann., 
XXXVII,  première  Partie  :  expressions  différentielles;  deuxième  Partie  : 
fonctions,  1890.  {Sitzungsberichte  dErlangen,  1884  et  188G). 

H.-A.  Schwarz,  —  Sur  les  équations  algébriques  entre  deux  variables 
qui  admettent  un  faisceau  de  transformations  en  elles-mêmes  rationnelles 
et  réversibles;  Crelle,  1875,  LXXXVII. 

G.  Ilettner.  —  Sur  les   équations   algébriques  entre  deux  variables  qui 


\\},  PUEJMIÈKIî    PAimii. 

admettenl  un   fiiisccau   de  iransformations  en  elles-mêmes  rationnelles  et 
réversibles;  Goett.  Nachr.,   1880. 

F.  Klein.  —  Sur  la  théorie  de  Ricmann  des  fonctions  algébriques  et  de 
leurs  intégrales  ;  Jjei|)zig,  1S89.. 

M.  NoetJier.  —  Sur  les  courbes  algébriques  qui  admettent  un  faisceau  de 
transformations  univoques  en  elles-mêmes;  Math.  Ann.,  1882,  XX.  Suite 
au  Mémoire  précédent;  Math.  A  un.,  1882,  XXI. 

//.  Poincaré.  —  Sur  un  théorème  de  M.  Vnch?,]  Acta  Math.^  1884,  VII. 

A.  Hurwitz.  —  Sur  les  figures  algébriques  qui  admettent  une  transfor- 
mation univoque  en  elles-mêmes;  Goett.  Nachr.,  1887;  Math.  Ann., 
XXXII.  Sur  les  figures  algébriques  et  leurs  transformations  univoques  en 
elles-mêmes  ;  il/a^/i.  yln/i.,   1892,  XLI, 

E .  Picard.  —  Mémoire  sur  la  théorie  des  fonctions  algébriques  de  deux 
variables  indépendantes  (Mémoire  couronné  en  1888);  Liouville,  4*  série, 
1889,  V.  Sur  les  transformations  irrationnelles  des  courbes  algébriques  en 
elles-mêmes;  Bulletin  de  la  Soc.  math,  de  France,  1893,  XXI. 

E.-B.  Christoffel.  —  Sur  la  forme  canonique  des  intégrales  de  première 
espèce  de  Riemann  ;  Annali  di  Matematica;  1878,  9,^  série,  IX. 

F.  Klein.  —  Sur  les  fonctions  sigma  hyperclliptiqucs;  Math.  Ann., 
1886,  XXVII.  Pour  la  théorie  des  fonctions  hyperclliptiqucs  d'un  nombre 
quelconque  de  variables;  Goett.  NacJir.,  1887.  Sur  les  fonctions  sigma 
hyperclliptiqucs  ;  Math.  Ann.,  1888,  XXXII.  Sur  les  covariants  irrationnels; 
Goett.  Nachr..,  1888.  Pour  la  théorie  des  fonctions  abélieniics;  ihid.,  1889. 
Pour  la  théorie  des  fonctions  abéliennes;  Math.  Ann.,  1889,  XXXVI.  — 
Formes  principales  sur  la  surface  de  Riemann;  Comptes  rendus,  1889.  — 
Des  fonctions  thêta  sur  la  surface  générale  de  Riemann;  Comptes  rendus, 
1889.  —  Note  dans  les  Proceedings  of  the  London  Math.  Soc,  1889. 
Leçons  sur  les  surfaces  de  Riemann;  autographiées;  Goettingen,  i*^'  cahier, 
1 891-1892;  2*^  cahier,  1892. 

Klein-Fricke.  —  Fonctions  modulaires  elliptiques,  t.  II,  1892. 

G.  Pick.  —  Pour  la  théorie  des  fonctions  elliptiques;  Math.  Ann.,  1886, 
XXVIII.  Pour  la  théorie  des  fonctions  abéliennes;  .]/a//i.  ^l//«.,  1886,  XXIX. 

//.  Burkhardt.  —  Essais  sur  la  théorie  des  fonctions  sigma  hypercllip- 
tiqucs; Math.  Ann.,  1888,  XXXII.  Esquisse  d'une  systématique  générale 
des  fonctions  hyperelliptiques  du  premier  ordre  (d'après  les  leçons  de 
F.  Klein);  Math.  Ann.,  1889,  XXXV. 

Brioschi  :  Rendiconti  de  l'Académie  des  Lincei,  1886-1890;  Goett. 
Nachr.,  1890.  Wiltheiss  :  Math.  Ann.,  XXIX-XXXVIII,  1886-1890; 
Goett.  Nachr..  1889.  Krazcr  .-Math.  Ann.,  1888.  XXXIH.  Pascal  :  Goett. 


COMPTKS   UHNDUS   KT   ANAI.YSKS.  i/,{ 

INaclir.,   iSSS,  iSScj;  Amuili  <li  iM;il.,   •>,'•  si'-iic,    Wll,  XVIII.  (Ksî(ond  :  Dis- 
scil.,   ICrlaii^on,    iS()().    Whilc  :  Disscrl.,   (jocHiiij^fMi,    i^!)f.    IVirtin/fc/- 
iMonalsIiclïo  de  N'ioiinc,   iHyi  ;  IMalli.  Ami.,  i8()r,  XL. 


NEUVIÈME  SECTION. 

FONCTIONS    ABÉLIENNES    PROPREMENT    DITES- 

J.  l'/ilcAer,  i83().  Gôpel  :  Grelle,  XXXV.  G.  Rosen/iaiii  :  i\lém.  des 
sav.  étr.  publié  en  i85i;  Lettre  à  Jaeobi,  Crelle,  i8:î4,  XL,  1849. 
A.   W^eierstrass  :  1849,  clc.  /.  Steiner  :  i8f)7,.  O.  liesse  :  i863. 

Ch.  If  ermite.  —  Sur  la  théorie  de  la  transformation  des  fonctions  abé- 
liennes;  Comptes  rendus^  i855,  XL. 

B.  Rieniann.  —  Théorie  des  fonctions  abéliennes;  Crelle,  iSjj,  LIV; 
Œuvres,  i'^  éd.,  p.  81.  Pour  la  théorie  des  fonctions  abéliennes  dans  le 
cas  de/?  =  3;  Œuvres,  p.  456;  leçon  de  1862. 

F.  Pryni.  —  Nouvelle  théorie  des  fonctions  ultra-elliptiques;  Denk- 
schrifte  de  l'Acad.  de  Vienne,  i8G3,  XXIV  ;  première  Partie,  jusqu'au 
§  17.  Theoria  nova  functionum  ultraell.;  Dissert.,  Berlin,  i863;  a*^  éd.  de 
la  Nouvelle  théorie,  etc.  avec  des  remarques  nouvelles,  Berlin,  i885. 

G.  Rock.  —  Habilitationschrift,  t863.  Sur  les  tangentes  doubles,  etc.; 
Crelle,  1864,  LXVI. 

A  .  Clebsch.  —  Sur  l'application  des  fonctions  abéliennes  à  la  Géométrie  ; 
Crelle,  LXIII,  LXIV. 

L.  Kônigsherger.  —  Sur  la  transformation  des  fonctions  abéliennes  du 
premier  ordre;  Crelle,  LXIV,  LXV. 

*S.  Aronhold.  —  Sur  la  dépendance  des  28  tangentes  doubles  d'une 
courbe  générale  du  quatrième  Aq,^vô,\  Monats.  de  V Acad.  de  Berlin,  1864. 

/.  Thomae.  —  La  transformation  générale  des  fonctions  thêta;  Dissert. 
Gottingen,  1864.  Détermination  de  <^log3r(o,. .  .,0)  par  les  modules  de 
classes;  Crelle,   i863,  LXVI. 

B.  Riemann.  —  Sur  l'annulation  des  fonctions  3r;  Crelle,   iSGS,  LXV. 

A.  Brill.  —  Sur  les  courbes,  etc.  (/;  =  •>. );  Crelle,  i865,  LXV. 

E.  Prynx.  —  Pour  la  théorie  des  fonctions  sur  les  surfaces  à  deux 
i&mWels;  DenkscJirifte  de  la  Naturforsch.  Geselhch.  de  Suisse,  1866, 
XXII. 

L.  Kroneckcr.  —  Sur  les  formes  bilinéaires;  Monats.  de  VAcad.  de 
Berlin,  18GG;  Crelle,  LXVIII,  leçon  de  i8()4- 


i44  PUKIVIIKIIK   PAiniH. 

y1.  Clebsch  ci  P.  6'o/Y/a/i.  —  Tlicoric;  des  fonctions  Jiljclicimes  ;  Leipzig;, 

J .  Tlioniae.  —  Quelques  théorèmes  sur  VAnalysis  siLiis  dos  surfaces 
de  Riemann;  Zeitsclirift  fil?^  Matli.  und  Phys.,  1867,  XII. 

M.  Heiioch.  —  De  functionum  abelianarum  periodis;  Dissert.,  Berlin, 

A.  Cayley.  —  Note  sur  l'alf^orithmc  des  tangentes  doubles  d'une  courbe 
du  quatrième  ordre;  C relie,  1867,  LXVIIl. 

R.  Sturni.  —  Recherches  sur  le  réseau  de  surfaces  du  second  ordre; 
C  relie,  1868,  LXX. 

C.-F.  Geiser.  —  Sur  les  tangentes  doubles  d'une  courbe  plane  du  qua- 
trième ordre;  Math.  Ann.,  1868,  I.  —  Sur  les  théorèmes  de  Steiner 
relatifs  aux  tangentes   doubles  des    courbes  du    quatrième  ordre;    Crelle, 

1870,  LXXII.   Voy.  aussi    W.  Frahm  :  Remarque,  etc..  Math.  Ann.,  VII; 
E.  Toeplitz  :  Sur  un  réseau  de  surfaces,  etc.,  Math.  Ann.,  XI. 

A.  Clebsch.  —  Sur  la  théorie  des  formes  binaires  du  sixième  ordre  et  la 
tripartition  des  fonctions  elliptiques;  Abhandlungen  de  la  Gesell.  der 
W.  de  Gôttingen.  1869,  XIV. 

C.  Jordan.  —  Traité  des  substitutions  et  des  équations  algébriques; 
Paris,  1870.  (Extrait  :  sur  les  équations  de  la  division,  etc.;  Math.  Ann., 
I,   18G9.) 

A.  Clebsch.  —  Sur  la  connexion  d'une  classe  de  représentations  de  sur- 
faces et  la  dimidiation  des  fonctions  abéliennes;  Math.  Ann.,  1870,  III. 

L.  Fuchs.  —  Sur  la    forme  des  arguments  des  fonctions  thêta;  Crelle, 

1871,  LXXIII. 

/.  Thomae.  —  Essai   sur   la  théorie   des  fonctions  abéliennes;    Crelle, 

1872,  LXXV.  Représentation  des  quotients  de  deux  fonctions  tliêta,  etc.; 
Math.  Ann.,  VI,  XVIII. 

W.  Godt.  —  Sur  le  connexe  du  premier  ordre  et  de  seconde  classe; 
Dissert.,  Gôttingen,  1873.  Voy.  Clebsch-Lindemann,  Leçons  sur  la  Géo- 
métrie, i""^  éd.,  sixième  et  septième  Parties.  Leipzig,  1876. 

A.  Pringsheini.  —  Pour  la  transformation  du  second  degré  des  fonctions 
hyperelliptiques  du  premier  ordre;  Math.  Ann.,   1870,  IX. 

//.  Weber.  —  Théorie  des  fonctions  abéliennes  d'espèce  trois;  Berlin, 
1876.  Remis  à  la  Soc.  de  Gôttingen  en  1874;  remarques  dans  le  Journal 
de  Crelle,  1879,  LXXXVIIL 

/.  Thomae.  —  Réunion  de  formules  qui   servent   dans  l'application  des 


C()I\IPTI<:S   URNDUS   \i\    ANALYSliS.  146 

loiulions  (.'lliplitiucs  et  (h's  foiiclioiis  de  Kosciiliaiii  ;  Halle,  iHjii.  Sur   une 
certaine  classe  de  fonctions  abéliennes;  Halle,  1877. 

.1.  I*rt'/i i^slici'm .  —  Pour  la  lliéorie  des  fonctions  li ypeiclliptiqucs,  en 
pail  icuiicr  du  Iroisièine  ordre;  {p  =  4)>  Malh.  Ann.,  1H77,  XH. 

A.  Cayîey.  —  Sur  les  fonctions  tlièla  doubh^s  et  leur  raj)|)ort  avec  une 
surface  du  quati'iènîe  dei;i'é  à  seize  points  doubles  :  Crelle,  1877,  LXXXIH. 
Autres  reclicrchcs  sur  les  fonctions  thêta  doubles;  Crelle,  1877,  LXXXHl. 

C.-W.  Bovcliardl.  —  Sur  la  re|)résentation  de  la  surface  de  Kummcr 
du  qualriènie  ordre  avec  seize  points  doubles  au  moyen  de  la  relation 
biquadratique  de  Gopel  entre  quatre  fonctions  thêta  de  deux  variables; 
Crelle,  1877,  LXXXIII. 

A.  Cayley.  — Sur  la  surface  du  quatrième  degré  à  seize  points  doubles; 
Crelle,  LXXXIV,  XGIV. 

H.  Weber.  —  Sur  la  surface  de  Kummer  du  quatrième  ordre  avec 
seize  points  doubles  et  sa  relation  avec  les  fonctions  thêta  de  deux  variables  ; 
Crelle,  1877,  LXXXIV. 

K.  Rolin.  —  Transformation  des  fonctions  hyperelliptiques /?  =  2,  etc.; 
Math.  Ann.,  1879,  XV. 

F.  Brioschi.  —  La  relation  de  Gopel  pour  les  fonctions  hyperelliptiques 
d'ordre  quelconques;  Annali  di  Mat.,  1881,  X. 

F.  Klein.  —  Sur  les  configurations,  etc.;  Math.  Ann.,  i885,  XXVIL 

P.  Domsch.  —  Représentation  des  surfaces  du  quatrième  ordre  à  conique 
double,  etc.;  Dissert.,  Leipzig,  i885. 

E.  Reichardt.  —Représentation  de  la  surface  de  Kummer,  etc.;  Nova 
acta  Leopoldina,  1867,  L,  et  Math.  Ann.,  XXVIIL 

L,  S chleier mâcher.  —  Sur  les  fonctions  thêta  à  deux  variables;  Sit- 
zungsberichte  de  la  Société  dErlangen,   1886,  XVIIL 

E .  Picard.  —  Sur  les  intégrales  de  différentielles  totales,  etc.  ;  Liouville, 
4*  série,  i885,  L  Mémoire  sur  la  théorie  des  fonctions  algébriques  de  deux 
variables,  etc.;  ihid.,  1888,  V. 

E.  Pascal.  —  Annali  di  Mat.,  X\  III  et  XIX. 

W.  Wirtinger.  —  Goett.  Nachr.,  1889;  Monatshefte  de  Vienne,  1890, 1; 
Math.  Ann.,  i89[,  XL. 

F.  Schottky.  —  Sur  les  relations  entre  les  seize  fonctions  thêta  de  deux 
variables;  Crelle,  1889,  GV. 

F.  Caspary.  —  Sur  les  deux  formes,  etc.;  Comptes  rendus,  1891. 
Bidl.  des  Sciences  matlicm.,  2'  série,  l.  XI\.  (Juiilel  iSijS.)  11 


i46  PlUiMIÈlUi:   PAUTlIi. 

C.  Ilumbert.  —  Théorie  générale  des  surfaces  liyperellipliques  ;  Liou- 
ville;  4^  série,  189!},  IX. 

//.  Weber.  —  Sur  certains  cas  d'exccplion  dans  la  lliéorie  des  fonctions 
abéliennes;  Ma^/i.  Ann,,  1877,  XIII. 

A.    Cayley.   —   Mémoire    sur    les    fonctions    thêta    doubles;    Crelle, 

1877,  LXXXV. 

//.  Weber.  —  Sur  la  théorie  de  la  transformation  des  fonctions  thêta, 
en  particulier  de  trois  variables;  Annale  di  Mat.,  1^  série,  1878,  IX. 
—  Application  des  fonctions  thêta  de  deux  variables,  etc.;  Math.  Ann., 

1878,  XIV. 

Caspary.  —  Crelle,  1881,  XCIV. 

M.  Noether.  —  Sur  les  transformations  uni-bivoques;  Sitzungsberichte 
de  la  Société  d'Erlangen,  1878,  X.  Sur  une  classe  de  doubles  plans  repré- 
sentables sur  le  plan  simple;  Math.  Ann.,  1888,  XXXIII.  Sur  la  théorie 
des  fonctions  thêta  de  quatre  arguments;  Math.  Ann.,  1878^  XIV. 

E.  de  Paolls.  —  Transformation  plane  double  du  troisième  ordre  du 
premier  genre  et  son  application  aux  courbes  du  quatrième  ordre;  Mé- 
moi?'es  de  VAcad.  des  Lincei;  1878,  3^  série,  II. 

F.  Schottky.  —  Abrégé  d'une  théorie  des  fonctions  abéliennes  de  trois 
variables;  Leipzig,  1880. 

A.  Cayley.  —  Sur  les  fonctions  thêta  triples;  Crelle,  1878,  LXXXVII. 
Algorithme  pour  les  caractéristiques  des  fonctions  thêla  triples;  ibid., 
1878,  LXXXVII. 

C.-W.  Borchardt.  —  Remarque  sur  le  précédent  Mémoire  (de  Cayley); 
ibid.,  1878,  LXXXVII. 

A.  Cayley.  —  Sur  les  fonctions  thêta  triples;  ibid.,  LXXXVII. 

M.  Noether.  —  Sur  les  équations  du  huitième  degré  et  leur  rôle  dans 
la  théorie  des  courbes  du  quatrième  degré;  Math.  Ann.,  1879,  ^^• 

A.  Cayley.  —  Sur  l'addition  dans  les  fonctions  thêta  doubles;  Crelle, 
1878,  LXXXVIII.  —  Philosophical  Transactions;  1879,  CLXXI. 

H.-B.  Forsyth.  —  Mémoire  sur  les  fonctions  thêta,  en  particulier  sur 
les  fonctions  de  deux  variables;   ibid.,  1881,  GLXXIII. 

C.  Jordan.  —  Mémoire  sur  les  caractéristiques  des  fonctions  thêta; 
Journal  de  l'Ecole  Polytechnique,  1879,  XLVP  Cahier. 

II.  Stahl.  —  Le  théorème  d'addition  des  fonctions  thêta  de  p  arguments; 
Crelle,  1879,  LXXXVIII. 


COMPTAS   lUÎNOUS    \l\    ANALYSKS.  147 

.1/.  j\oct/i('r.  —  Sur  les  (-araclérislifjiKîs  des  ronflioiis  ihrta;  Sitzanf^a- 
hericlitc  de  la  Snriéfc  d'Iirlaiiî^en,    iHjç),  XI. 

//,  Slahl.  —  I  Jcmonshal  ion  (11111  llK'orèinc,  de  Uii'iiiaiin  sur  les  carac- 
téristiques (les  fondions  I  hèla  :  Crclle,  1879,  LXXXVIII. 

M.  Noctiicr.  —  Pour  la  lliroric  des  fond  ions  tlicla  d'un  nombre  arhi- 
iraiio  d'ari;uments;  Math,  .{un.,  1879,  XVI. 

L.  Kraics.  —  Note  relalise  aux  ^rouj)Cs  spéciaux  extraordinaires  sur 
les  courbes  alj^ébriqucs;  Math.  Ann.,  i<S79,  XVI. 

//.  Stalil .  —  Pour  la  solution  du  problème  d'inversion  de  Jacobi;  Crelle, 
1880,  LXXXIX. 

G.  Fî'obenius.  —  Sur  le  théorème  d'addition  des  fonctions  thêta  de 
plusieurs  variables;  C relie,    1880,  LXXXIX, 

M.  Noetlier.  —  Sur  la  représentation  invariante  des  fonctions  algé- 
briques; Math.  Ann.,    1880,  XVII. 

F.  Prym.  —  Recherches  sur  la  formule  des  thêta  de  Riemann  et  sa 
théorie  des  caractéristiques.  Leipzig,  1889.. 

A.  Krazer.  —  Théorie  des  séries  thêta  doublement  infinies  fondée  sur 
la  formule  des  thêta  de  Riemann;  Leipzig,  1882.  —  Sur  les  fonctions  thêta 
dont  les  caractéristiques  sont  formées  avec  des  tiers  de  nombres  entiers^; 
Math.  Ann.,  i883,  XXII. 

Schleicher.  —  Représentation  et  inversion  des  quotients  de  thêta  dont 
les  caractéristiques  sont  formées  avec  des  tiers  de  nombres  entiers;  Bay- 
reuth,  1880. 

Sievert.  —  Essais,  etc.  Festschrift  pour  le  jubilé  de  la  i5o^  année  de 
l'Université  d'Erlangen;  Niirnberg,  1898. 

A.  Cayley.  —  Sur  les  bitangentes  à  une  quartique  plane;  Crelle,  1882, 
i883,XGIV.'^ 

A.  Anieseder.  —  Etude  géométrique  des  courbes  planes  du  quatrième 
ordre,  relativement  à  leurs  coniques  tangentes.  Sitzunpçsberichte  de 
VAcad.  de  Vienne,  1882,    i88j. 

G.  Frobenius.  —  Sur  les  groupes  de  caractéristiques  des  fonctions 
thêta;  Crelle,  i883,  XGVI.  —  Sur  les  fonctions  thêta  de  plusieurs 
variables  ;  ibid. 

H.  Weber.  —  Sur  le  groupe  de  Galois  de  l'équation  du  28*^  degré  dont 
dépendent  les  tangentes  doubles  à  une  ronrbr  du  quatrième  ordre;  Math. 
Ann.,   i883. 

O.  Stai/dc.  —  Sur  hi  re|)résentalion  jiaranK'f rique  du  rapjiort  des  fonc- 


i48  PUKMli<:Kli    PAUTlIi:. 

lions  tliéta  de  deux  \ariables;  Matk.  /inn.,  i88/|.  Sur  les  caracléris- 
liques  algébriques  des  fonctions  thèla  liyperelliptiques;  Math.  Ann., 
i88i,  XXV. 

G.  Frobenius.  —  Sur  la  relation  (Mitre  les  'JtS  tangentes  doubles  d'une 
courbe  plane  du  quatrième  ordre;   C relie,    i885,  XGIX. 

F.  Klein.  —  Sur  les  fonctions  sigma  hyperelliptiqucs;  Matk.  Ann., 
1886,  XXVJI;  1888,  XXXII. 

//.  Burkardt.  —  Passai,  etc.;  ibid.,    1888. 

G  HiiTubert.  —  Application  de  la  théorie  des  fonctions  fuchsiennes  à 
l'étude  des  courbes  algébriques;  Liouville,  \'^  série,  1886,  II. 

M.  Noether.  —  Sur  le  problème  d'inversion  dans  la  théorie  des  fonctions 
abéliennes;  MatJi.  Ann.,  i886,  XXVIII. 

F.  Schottky.  —  Pour  la  théorie  des  fonctions  abéliennes  de  quatre 
variables;  Crelle,  188O,  Cil.  Sur  les  fonctions  spéciales  abéliennes  de  qua- 
trième rang;  ibid.,  1887,  GUI. 

K.  Bobek.  —  Sur  les  courbes  du  quatrième  ordre,  d'espèce  2,  leurs 
systèmes  de  coniques  tangentes  et  leurs  doubles  tangentes;  Denkschrifte 
de  VAcad.  de  Vienne,  1887,  LUI. 

G.  Frobenius.  —  Sur  les  fonctions  de  Jacobi  de  trois  variables;  Crelle, 

1888,  GV. 

A.  V.  BraunniûJil.  —  Sur  le  groupe  de  Gopel  des  caractéristiques  des 
fonctions  thêta  /?"p'*%  formées  avec  des  tiers  de  nombres  entiers;  Math. 
Ann.,  1888,  XXXII;  Sitz.  de  la  Société  d'Erlangen,  1886,  XVIII;  yl6Aa/iâ?/. 
de  VAcad.  de  Bavière,  1887;  Math.  Ann.,  1890,  XXXVII. 

M.  Noether.  —  Pour  la  théorie  des  courbes  tangentes  aux  courbes 
planes  du  quatrième  ordre;  Abhandl.  de  VAcad.  de  Bavière,  1889,  XVII. 

F.  Schottky.  —  Etude  algébrique  sur  les  fonctions  thêta  de  trois  argu- 
ments; Crelle,  1889,  GV. 

H.  Burkhardt.  —  Esquisse  d'une  systématique  générale  des  fonctions 
hyperelliptiqucs  du  premier  ordre;  d'après  les  leçons  de  F.  Klein;  Math. 
Ann.,  1889,  XXXV. 

F.  Klein.  —  Pour   la   théorie   des  fonctions  abéliennes;  Math.  Ann., 

1889,  XXXVI.  Leçon  (autogr.)  sur  les  surfaces  de  Riemann;  deuxième 
Partie,  Goeltingen,   1892. 

G.  Rohn.  —  Sur  les  coniques  tangentes  et  les  tangentes  doubles  de  la 
courbe  générale  du  quatrième  ordre;  Crelle,    1890,  GMI. 

W.   Weiss.  —  Sur  une  théorie  algébrique  des  faisceaux  de  courbes  tau- 


COMPTES  RENDUS  KT  ANALYSES.  149 

gcntcs  non  adjointes  qui  appartiennent  ù  une  eourbe  algébrique;  Sitzungs- 
berichte  de  rAcad.  de  Vienne,  iScjo;  Société  Math,  de  Prague,  iBcj'i; 
Sitz.  de  Vienne,  i«Sg3, 

W.  F.  Osgood.  —  four  la  théorie  des  fonctions  abélicnnes  relatives  à 
la  figure  algébrique j""  =  R(:r);  Dissert.,   Erlangen,  1890. 

F.  Schottky.  —  Sur  les  équations  caractéristiques  de  surfaces  planes 
symétriques  et  les  fonctions  abélicnnes  correspondantes  ;  Crelle,  1890,  CVI. 
—  Théories  des  fonctions  elliptico-hyperelliptiques  de  quatre  arguments; 
C relie,  1891,  CVIII. 

/.  Thoniae.  —  Sur  les  fonctions  thêta,  dont  les  arguments  sont  égaux 
à  un  système  de  tiers  de  périodes;  Zeitschrift  fur  Math.  undPhys.,  1891. 

E,  Pascal.  —  Représentation  géométrique  des  caractéristiques  de 
genre  3  et  de  genre  4  et  leurs  groupes  de  substitutions;  Annali  di  Mat. 
2*  série,  1892,  XX. 

//.  Stahl.  —  Sur  une  formule  générale  pour  la  résolution  du  problème 
d'inversion  de  Jacobi;  Crelle,  1898,  CXI, 

H .-D.  Thomson.  —  Systèmes  de  coupures  hyperelliptiques  et  coordi- 
nation des  caractéristiques  algébriques  et  transcendantes  de  fonctions 
thêta;  Amer.  Journal,  iSgS,  XV. 


DIXIEME  SECTION. 

CORRESPONDANCES   ALGÉBRIQUES    ET   GROUPES    DISTINGUÉS. 

Cayley.  —  Note  sur  les  correspondances  de  deux  points  sur  une 
courbe;  Cotnptes  rendus,  1866,  LXII;  Œuvres,  V,  n°  877;  Proceedings  of 
the  London  Math.  Soc,  1866,  I;  Œuvres,  VI;  n°  385.  Second  Mémoire 
sur  les  courbes  qui  satisfont  à  des  conditions  données;  le  principe  de 
correspondance  ;  P/^iV.  Trans.,  1886,  CLVIII;  OEuvreSyN\.,n°  Wt. 

H.-G.  Zeuthen.  —  Nouvelle  démonstration  du  théorème  sur  les  séries 
de  points  correspondants  sur  deux  courbes;  Math.  Ann.,  1870,  III. 
Nouvelle  démonstration  du  principe  de  correspondance  de  Gayley  et  Brill, 
et  méthode  de  détermination  des  coïncidences  de  correspondances  algé- 
briques sur  une  courbe  d'un  genre   quelconque;  Math.  Ann.,   1891,  XL. 

Brill.  —  Sur  deux  problèmes  d'élimination  de  la  théorie  des  courbes 
qui  satisfont  à  des  conditions  données;  Goett.  Nadir.,  1870.  Sur  la  cor- 
respondance des  systèmes  de  points  sur  une  courbe;  ibid.,  1871.  Pour 
la  théorie  de  l'élimination  et  des  courbes  algébriques;  Math.  Ann., 
1871,  IV.  Sur  deux  problèmes  de  contact;  ibid.,  1871,  IV.  Sur  l'éli- 
mination, dans  certains  systèmes  d'équations;  1-871,  V.  Sur  la  correspon- 
dance des  systèmes  de  points  sur  une  courbe;  ibid.,  1872,  VI. 


i5o  PIIKMIERE   rAUTIR. 

1.  /)/•///  cl  .1/.  Xoethcr.  —   Sur  les   Ovulions  algébriques,  cir.;   Math. 
Afin..  1871.  \  II. 

A.Drill.  —  Sur  la  formule  do  rorrospondnnro:  //;/r/..  \II.  Sur  les 
correspondances  algébriques;  ihid.,  \\\l.  \\\\  I. 

-1.  Clcbscli.  —  Leçons  sur  la  déoniétrie;  Leip/.ig.  iSjO. 

Lindcmann.  —  Extrait  d'une  seconde  Kitre  concernanl  l'application 
des  intégrales  abélienncs  à  la  Géométrie  tles  courbes  jdanes.  adressée  à 
M.  llermite;  CrcIIc,  XXWIV. 

//.  Schubert.  —  Calcul  de  la  Géométrie  énumérati\e:  Leipzig,  1879, 

A.  Ifunvitz.  —  Mémoires  de  188G  et    1887  {voir  plus  bas). 

A*.  Bohck.  —  Sur  le  principe  de  correspondance  généralise;  Sitz.  de 
VAcad.  de  Vienne.  1886. 

G.  Castelnuoeo.  —  Une  application  de  la  Géométrie  énumérative  aux 
courbes  algébriques;  Rendic.  du  Cercle  Math,  de  Païenne,  1888,  IIL 
Nombre  des  espaces  qui  coupent  plusieurs  droites  dans  un  espace  à  n  di- 
mensions; Rendic.  de  VAcad.  des  Lincei,  1889.  Nombre  des  involutions 
rationnelles  portées  par  une  courbe  de  genre  donné;  ii)id.,  1889. 

L.  Kronecker.  —  Sur  le  nombre  des  classes  dilTérentes  de  formes  qua- 
dratiques de  déterminant  négatif;  C relie.  1859,  LVII. 

R.  Dedekind.  —  Lettre  à  Borchardt  sur  la  théorie  des  fonctions  modu- 
laires elliptiques;  ibid..  1877,  LXXXllL 

F.  Klein.  —  Pour  la  théorie  des  fondions  modulaires  elliptiques;  Sitz. 
de  l'Acad.  de  Munich.  1879;  -^^f^flf-  Ann..  X\  II.  Sur  les  formes  nor- 
males en  nombre  infini  des  intégrales  elliptiques  de  première  espèce; 
Sitz.  de  l'Acad.  de  Munich.  1880;  Moih.  Ann..  XVII.  Nouvelles  re- 
cherches sur  les  fonctions  modulaires  elliptiques  des  plus  petites  dimen- 
sions ;  Berichte  de  Leipzig.  i885. 

W.  Fiedler.   —  Sur  une   classe   particulière   de    fonctions   modulaires 
irrationnelles  des  fonctions  elliptiques;  Dissert.  Leipzig.  1886. 

Friedrich.  —  Les  équations  modulaires  des  modules  de  Galois  de  la 
deuxième  à  la  cinquième  dimension:  Leipzig.  1886. 

/.  Gicrster.  —  Sur  les  relations  entre  les  nombres  de  classes  des  formes 
quadratiques  binaires  de   déterminant  négatif;  Math.   Ann..  1880,  X\  IL 

F.  Klein.  —  Leçons  sur  les  fonctions  modulaires  elliptiques,  rédigées 
par  R.  Fricke.  2  vol.;  Leipzig,  i89o-i89>. 

A.  Jlurivitz.  —  Sur  la  théorie  des  équations  modulaires:  Goett.  \achr., 
i883.  —  Sur  les  relations  entre  le<  n(>uibre«^  de  elas?e>  de*  formes  quadra- 


Le  Rapport  de  M.  L.  Henneberg,  dont  il  nous  reste  à  parler, 
concerne  le  développement  de  la  théorie  des  travures  simples  et 
les  principaux  problèmes  que  pose  cette  théorie. 

La  théorie  toute  récente  des  travures  réticulaires  ofTre  un 
exemple  intéressant  de  développement  que  peut  prendre  une  théo- 
rie sous  l'inspiration  de  nécessités  pratiques.  Depuis  longtemps 
déjà  l'art  du  constructeur  a  substitué,  aux  maçonneries  lourdes  et 
massives  de  l'ancien  temps,  des  charpentes  plus  sveltes  et  plus 
légères  en  bois  et  surtout  en  tiges  de  fer.  Ces  dernières  joignent 
à  l'avantage  d'une  grande  résistance  sous  un  faible  volume  celui 
d'un  façonnage  commode.  Ces  tiges  interviennent  uniquement  par 
les  tensions  ou  compressions  longitudinales  qu'elles  supportent 
et  qu'elles  se  transmettent  les  unes  aux  autres  sous  les  efforts 
extérieurs  auxquels  leur  ensemble  se  trouve  soumis. 

Calculer  la  longueur  et  la  disposition  qu'il  convient  de  donner 
aux  tiges  de  cet  ensemble,  en  vue  d'un  but  à  atteindre,  se  rendre 
compte  des  propriétés  générales  de  leur  configuration  et  enfin 
déternjiner  les  tractions  ou  les  compressions  qu'elles  subissent, 
tels  sont  les  problèmes  fondamentaux  de  cette  théorie. 

Dans  une  première  approximation,  on  peut  regarder  les  tiges 
comme  inextensibles.  Le  problème  revêt  alors  une  forme  notable- 
ment plus  simple. 

L'hjpothèse  contraire  conduirait  à  un  des  chapitres  les  plus 
difficiles  de  la  théorie  de  l'Elasticité;  elle  a  été  moins  étudiée, 
et  donne  en  tous  les  cas  des  résultats  bien  moins  élégants  et 
jusqu'ici  moins  intéressants  pour  le  mathématicien  pur.  Aussi 
l'auteur  s'en  tient-il  au  cas  de  la  rigidité  parfaite.  Il  convient 
peut-être  de  rappeler  que  bien  souvent  l'hypothèse  de  tiges  non 
extensibles  laisserait  indéterminée  la  question  de  la  distribution 


i52  PREMIÈRE  PARTIE. 

des  tensions,  preuve  évidente  de  la  nécessité  qu'il  j  a  de  recourir 
alors  à  l'élasticité. 

Dans  cet  article,  consacré  à  un  résumé  des  travaux  publiés  sur 
les  travures  réticulaires,  l'auteur  rappelle  d'abord  les  premiers 
écrits  de  Ritter  et  surtout  ceux  de  Culmann  dont  la  Statique 
graphique  a  été  le  berceau  de  la  théorie  nouvelle. 

Au  commencement  de  ce  siècle,  Mobius  et  Chasles  ont,  comme 
on  sait,  mis  au  jour  une  doctrine  particulièrement  féconde,  que 
Plunker  a  développée  ensuite  dans  sa   Théorie  des  complexes. 

Nous  voulons  parler  de  la  réciprocité  polaire  qui  naît  du 
complexe  linéaire.  Cette  doctrine  abstraite,  où  l'on  admirait  sur- 
tout des  rapports  ingénieux  et  nouveaux  entre  les  figures  de  l'es- 
pace, s'est  tout  à  coup  trouvée  avoir  un  rôle  pratique  à  remplir,  et, 
pour  lui  assigner  ce  rôle,  il  a  suffi  d'un  théorème  de  Maxwell 
convenablement  interprété,  peu  de  temps  après  sa  découverte, 
par  Cremona. 

Le  théorème  de  Maxwell  est  le  suivant  : 

Si  Von  fait  agir  des  forces  représentées  en  grandeur  par  les 
lignes  d^ une  figure,  entre  les  extrémités  des  lignes  correspon- 
dantes de  la  figure  réciproque,  les  points  de  cette  figure  sont 
en  équilibre  sur  V influence  de  ces  forces. 

Par  figures  réciproques  Maxwell  entendait  la  projection,  sur 
le  plan  d'un  parallèle,  des  arêtes  de  deux  polyèdres  polaires  réci- 
proques l'un  de  l'autre  par  rapport  à  un  paraboloïde  de  révolu- 
tion. 

Mais  Cremona  remarqua  qu'il  suffisait  de  faire  tourner  l'une 
des  deux  figures  d'un  angle  de  90"  autour  de  l'axe  de  révolution, 
pour  que  les  deux  figures  deviennent  les  projections  de  deux  po- 
lyèdres polaires  réciproques  l'un  de  l'autre  par  rapport  à  un  com- 
plexe linéaire,  ayant  comme  axe  central  l'axe  de  révolution  du 
paraboloïde. 

Cremona  a  développé  sa  belle  remarque  dans  un  petit  livre  plein 
d'intérêt,  publié  en  français  en  i885  ('). 


(•)  Cremona,  Les  figures    réciproques  en    Statique   graphique;   Paris,  Gan- 
thicr-ViJIars. 


r.OMPTKs  lUîNons  irr  anai-vsks.  ivi 

M.  Jlanck  a  fail  observer  que  le  |)aral)ol()ï(l('  do  Maxwell  p(nii- 
rnlt  rire  renij)lae('  par  une  siiilaee  ([iieleoncpie  de  révoliilioii  du 
second  dei;r('. 

La  nolion  de  Iraviire  a  élé  j^c-néraliséc  par  M.  Molir,  puis  par 
M.  Fœppl  qui  a  élendu  celte  notion  au  cas  de  l'espace. 

L'auleur  passe  en  revue  les  travaux  qui  ont  été  publiés  sur  la 
configuration  des  travures,  il  rappelle  que  le  nombre  n  des  nœuds 
et  le  nombre  ///  des  tiges  sont  liés  par  la  relation 

m  =  'i/i  —  3  ; 

il  en  rappelle  diverses  conséquences.  La  détermination  des  ten- 
sions dans  une  travure  donnée  a  été  l'objet  des  premières  re- 
cherches de  Ritter  et  de  Culmann.  Leurs  deux  méthodes  sup- 
posent qu'on  peut  pratiquer  dans  la  travure  des  sections  ne 
i^encontrant  chacune  que  trois  tiges;  celte  hypothèse  suffit  dans 
beaucoup  de  cas;  mais  enfin  il  était  désirable  de  résoudre  le  cas 
général.  M.  Saviotli  a  fait  un  premier  pas  vers  la  solution  et 
indiqué  une  méthode  de  fausse  position  qui  s'applique  parfaite- 
ment dans  les  exemples  qu^il  a  traités.  C'est  l'auleur  même  de  l'ar- 
ticle que  nous  analysons,  ]\L  Henneberg,  qui  a  donné  la  première 
solution  complète;  M.  MuUer-Breslau  en  a  donné  une  autre 
depuis. 

Les  travures  dans  l'espace  ont  été  moins  étudiées.  L'auteur  cite 
à  ce  propos  les  travaux  de  MM.  Fœppl,  MuUer-Breslau  et  Griibler. 

G.  K. 


i5i  PHEMlkUE   PARTIE. 


MELANGES. 

PROPOSITION    TOUT    A    FAIT    ÉLÉMENTAIRE,   A  SUBSTITUER  AU  LEMME 
DE  CAUCHY  DANS  LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DES  FONCTIONS; 

Par  m.  Cil.  MÉRAY, 
Professeur  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Dijon. 

1.  A.11  nombre  des  théorèmes  qui  ont  un  caractère  absolument 
vital  pour  toute  l'Analyse,  il  faut  ranger,  en  première  ligne  selon 
moi,  ceux  qui  font  dépendre  la  convergence  initiale  des  dévelop- 
pements par  la  formule  de  Tajlor,  des  fonctions  composées,  in- 
tégrales, implicites,  de  la  seule  possession  (ou  à  peu  près)  de  la 
même  propriété  par  celles  intervenant  comme  données  dans  les 
opérations  génératrices  de  ces  diverses  fonctions.  Si  l'on  veut  se 
reporter,  en  particulier,  aux  n"^  247%  301*,  307*,  362*  et  sui- 
vants de  mes  Leçons  nouvelles  sur  V yinalyse,  etc.  (*),  où  je  les 
ai  repris  et  méthodiquement  enchaînés,  on  constatera  immédiate- 
ment que  leur  point  d'appui  essentiel,  commun  à  tous,  est  le 
lemme  suivant,  dont  le  principe  est  dû  à  Cauchj  (-)  : 

S  i  la  fonction  f{x,  y,  . .  .)  est  olotrope  dans  les  aires  limitées 
Sx,  Sj,  ...,  avec  les  olomètres  o^,  8^,  ...  (89*),  (139*),  et 
si  Von  représente  par  rjc,  ry^  .  .  .  des  quantités  positives  in- 
férieures à  8;^,  8j,  .  .  .  respectivement f  par  M  une  limite  supé- 
rieure de  mody(jr,y,  .  .  .)  pour  toutes  valeurs  de  x^  y^  ... 
tombant  dans  ces  aires  accrues  de  zones  additionnelles  dont 
les  épaisseurs  sont  comprises  entre  rx-,  ry^  ,  .  .  d^ une  part  et 
o^^ùy^  ...  d^ autre  part  (181*),  on  a,  dans  tout  Vintérieur 
des  mêmes  aires  et  pour  toutes  valeurs  des  indices  de  différen- 
tiationp^  q^  .  .  .,  V inégalité 

(,)  mod/(/^7,...)(^,  j.,  . . .)  <  M  ^^7^^   '-^^  '  '  '  (1S^*> 


(')  Paris,  iSy'i,  GauLliier-Villars  et  fils.  Les  numéros  de  renvoi  aiïcctés  d'aslé- 
ris(jues  viseront  ici  la  prennicre  Partie  de  cet  Ouvrage. 

(')  Briot  et  BouQUKT,  Tlicoiie  des  fonctions  doublement  périodiques^  etc. 
i859,  p.  4.'). 


I 


Mf^:i>AN(iF>S. 


laj 


L;i  (li'inonsiiiilion  linhlliiclle  met  enjeu  des  considéralions  hicn 
(l('l()urnée.s  et  disparates,  hien  e()inj)liqiiées  en  somme,  [)nisfjir('llc 
impose  des  références  aux  propriétés  des  intégrales  définies 
(mêmes  multiples),  à  celles  de  l'exponentielle  imaginaire  ou 
plutôt  des  lignes  trij^onométriques  auxquelles  on  continue  à 
ramener  cette  fonction,  etc.  (').  Tenant,  au  contraire,  «adonner 
à  ce  lemme  une  assiette  peu  étendue  et  parfaitement  délimitée,  à 
le  dégager  notamment  de  la  moindre  allusion  spéciale  à  l'Analyse 
infinitésimale  ou  à  la  monographie  des  transcendantes,  pour 
|)ouvoir  ensuite  fonder  sur  lui,  avec  netteté  et  en  pleine  sécurité, 
toutes  les  parties  de  la  théorie  générale  des  fonctions,  j'en  ai 
donné  deux  démonstrations  (s'appliquant  du  moins  à  un  fait  équi- 
valent) qui  sont  tirées  exclusivement  des  principes  courants  de 
l'Algèbre  proprement  dite.  La  dernière,  publiée  en  1891  dansée 
Recueil,  puis  reproduite  au  n''  130*,  est  d'une  brièveté,  les  moyens 
mis  en  action  sont  d'une  simplicité  qui  la  rendent  très  supérieure 
à  l'autre  datant  de  1872  {Noiw.  Précis  d' Analyse  injiniiési- 
male^  p.  80);  on  peut  néanmoins  lui  reprocher  encore  un  de  ces 
tours  de  main,  une  de  ces  considérations  peu  directes,  (jui  sont 
acceptés  sans  doute  parce  qu'ils  réussissent,  mais  qui  prouvent 
les  choses  sans  les  éclairer,  et  qui,  pour  ce  motif,  sont  de  véri- 
tables difformités  dans  les  raisonnements  où  ils  se  mêlent. 

2.  Il  me  semble  impossible  de  faire  mieux,  si  du  moins  on  veut 
conserver  à  ce  lemme  Vexacte  étendue  de  l'énoncé  ci-dessus,  et 
continuer  à  le  placer  tout  entier  au  seuil  de  la  théorie  des  fonc- 
tions. Mais,  si  l'on  prend  garde  que  la  formule  (i),  considérée 
comme  garantie  de  la  convergence  des  développements  fondamen- 
taux mentionnés  tout  à  l'heure,  doit  son  efficacité  à  sa  structure 
propre  exclusivement,  point  du  tout  à  cette  circonstance  parti- 
culière que  la  lettre  M  y  représente  une  limite  supérieure  de 
mod/(.r,  j/,  .  .  .),  plus  ou  moins  rapprocliée  de  son  véritable 
maximum,  on  présumera  la  possibilité  d'instituer  une  démons- 
tration plus  élémentaire  encore,  au  prix  de  quelque  sacrifice  con- 
senti sur  la  petitesse  de  M.  Je  viens  précisément  d'y  réussir  en 


(')  BuiOT  CL  liuLQUET,  loc  Cit.  —  K.  l'icAUD,   TiaiLc  d'Analyse,   t.  II,  p.  208, 
1S92.  —  Etc. 


i56 


PREMIÈRE   PARTIE. 


procédant  comme  je  le  fais  dans  le  numéro  suivant,  où  la  modi- 
fication apportée  à  l'énoncé  du  n"  1  est  indiquée  par  des  caractères 
saillants. 

11  est  bien  vrai,  dois-je  ajouter,  que,  dans  la  discussion  des  dé- 
veloppements dont  j'ai  parlé,  la  substitution  de  la  formule 
(2,  inf.)  à  la  formule  (i),  procédant  immédiatement  des  idées  de 
Gauclij,  diminue  les  valeurs  minimums  des  rayons  de  conver- 
gence sur  lesquels  on  peut  compter  pour  ces  séries;  mais  la  chose 
est  sans  importance,  parce  que,  dans  toutes  lés  théories  et  même 
dans  la  monographie  des  fonctions,  le  point  capital  est  que 
V existence  de  quelque  groupe  de  rayons  de  convergence  soit 
assurée,  nullement  que  les  valeurs  minimums  considérées  pour 
ceux-ci  soient  plus  grandes  ou  plus  petites  (202*),  (302*,  VI). 
Au  surplus,  et  par  rapport  à  leurs  maximums  effectifs  dans 
chaque  cas  particulier,  les  valeurs  obtenues  pour  ces  rayons  en 
partant  de  la  formule  (i),  sont  généralement  si  petites,  qu'on  ne 
peut  pas  les  considérer  comme  en  fournissant  une  approximation, 
même  très  grossière.  Quand  il  arrive,  par  exemple,  que  ces  rayons 
sont  illimités,  la  formule  en  question  ne  le  dit  jamais. 

3.  Si  la  fonction  f{x  ^  y  ^  .  .  .)  est  olotrope  dans  les  aires  limi- 
tées S^c,  Sj,  .  .  .  avec  les  olomètres  8.^,  8^,  ...  (89*),  (139*), 
et  si  Von  représente  par  /'^,  /'^-,  .  .  .  des  quantités  positives  in- 
férieures à  Oj;,  0^,  ...  respectivement,  puis  par  X  cne  con- 
stante POSITIVE  CONVENABLEMENT  CHOISIE,  on  «_,  dans  tout  V inté- 
rieur des  mêmes  aires  et  pour  toutes  valeurs  des  indices  de 
différentiation  p^  q-,  .  •  . ,  l^ inégalité 


(2) 


n\oàf^P>n,-){x,y,  . .  .)<  o^l, 


l  .'2.  .  .p     1.9, 


1.  Soient 

(3)  F(^,j,  ...)=  ^  («,,,,,,,...  ^'"^''...), 

la  somme  d^  une  série  entière  admettant  3^,  o^,  .  .  .  pour  /ayons 
de  convergence,  et  3^,  3'^,  ...,  0'^,  3'^.,  ...  des  quantités  posi- 
tives donnant 


(4) 


^'  ^  ^'' 

'^x  <  '^x 


Ov, 


MfaANGIiS.  15; 

Poui-  toi/ f es   valeurs  de  x^  y,    ...    renip lissant  les  conditions 

on  a 


(G)  mo(lF(/'.'/--)(j7,j,  ...)< 


1.2.../)         1.9, 


formule  où  a  désigne  une  certaine  constante  positive. 

L'hjpotliùsc  admise  et  les  inégalités  (4)  assurant  la  convergence 
de  la  série  (3),  de  celle  aussi  des  modules  de  ses  termes,  pour 
iY\oàx  =  ù"^,  modjK^oJ^,  ...  (114*),  la  variante  a,„,„^...ô7'o^". .  . 
où  ^m,n,...  =  iïiod<2,„^„  ...,  cst  infiniment  petite,  et  en  particulier 
finie.  Quels  que  soient  les  indices  m^  n,  .  .  . ,  on  a  donc 

„  y'iny'n  ^^  „ 

^m,n,...^x   Oj    ...  <^  et, 

où  a  représente  quelque  quantité  positive  convenable;  on  a,  en 
d'autres  termes. 


Quand  les  conditions  (5)  sont  remplies,  on  en  conclut 

mod  D'^v^;::'(a,„,„,...ic'«7«  .  .  .) 

=  [ni(m  —  !)...( /n  — p  -H  i)][n{n  —  i)...]{n  —q-\-  i)].  .  .a,„^„^,..(mod^)"^-P(modj^)«-'7. 


Oj.         Oy        ... 

^       1.1... P    \.l...q            (/?  H- l)(/?  4- 2)  .  .  .  (/? -h  I  4-  /n — p  — 

I) 

^"^       o",^              ô;y                                            i.^i...{ni-p) 

iq  -^-i)..  .(q  -hi-hn  —  q  —  i)          /  o'^\"''f'  /  Oy-V'-^ 
^                   i.-2...{n-q)                           [o'J           [YyJ 

Il  en  résulte  (lo7*,  3") 

modF(/^•7.•••'(:r,J,  ...)<^  [mod  D(g'J.;::;'(a,„,„,...a:'"jK«  •  •  •)] 

^      \.i...p  \. ■?....  q        ^[{  l>^\){  p-\-'x)...(  p-\-\-\-\\\  —  \) 
^''~al^^         W'  -^L  1.2... m 


X 


1 . 2 . . .  n 


,58  PUEMIÈKE   PARTIE. 

La  somme  qui  figure  dans  ce  dernier  membre,  el  qui  doit  être 
étendue  à  toutes  les  combinaisons  de  valeurs  nulles  et  positives  des 
entiers  m,  n,  .  .  . ,  est  évidemment  celle  d'une  progression  géomé- 

trique  nyunlp  +  i  raisons  égales  à  .,?  (<  i),  q  -i-  i  raisons  égales 

a' 

à  -Z  (<^  i)^  ...  ;  elle  a  donc  pour  valeur 

et  la  substitution  de  cette  expression  dans  l'inégalité  précédente 
conduit  immédiatement  à  la  formule  (6)  qu'il  s'agissait  d'établir. 

II.  L'exactitude  de  notre  énoncé  peut  être  affirmée  quand 
les  dimensions  des  aires  S^,  Sj,  .  .  .  (89*)  sont  inférieures  à 
des  quantités  positives  o^,  8'^,  ...,  limitées  par  les  inégalités 

(7)  s;^  <  0^  — /';r,      ^>-<0j  — 'v,      — 

A  cause  de  ces  conditions,  et  en  posant 

(8)  rx-^o'x^'ox,         r^.4-o;.=  s;'., 

on  a  évidemment  les  inégalités  (4).  Si,  de  plus,  on  nomme  Xq^ 
yo,  .  .  .  des  valeurs  initiales  des  variables  prises  à  volonté  dans 
les  aires  considérées,  puis  si,  à  partir  d'elles,  on  développe 
/(^,y,  .  .  .)  par  la  formule  de  Taylor,  on  trouvera 

série  entière  en  ^  —  ^07  r  —  Jo,  •  •  •?  admettant  0^,  o^,  ...  pour 
rayons  de  convergence,  et  les  inégalités 

mod(;r  —  a7o)<  o^-,  niod(a7  —  ^0)  <  Oyî 

subsistent  tant  que  x^  y,  ...  restent  intérieures  aux  mêmes  aires. 
On  obtiendra  donc  immédiatement  l'inégalité  (2)  dans  le  cas 
qui  nous  occupe,  en   appliquant  la  formule  (6)  à  la  série  (9),  en 
ayant  égard  aux  égalités  (8),  et  en  posant 

III.  Notre  proposition  est  vraie,  quelles  que  soient  les  di- 
mensions des  aires  S^,  Sj,  .... 

Si  0'.,  0'.,  .  .  .  représentent  des  quantités  positives  satisfaisant 


MELANGES.  159 

aux  inc^alllt'S  (^),  011  peut  cvidcmmcnl  subdiviser  les  aires  S^, 
Sj,  ...  en  des  nonihres  limités  de  fragments  dont  les  dimensions 
sont  inCérienres  à  0',,  ponr  la  première,  à  0'  pour  la  seconde, 
à  .  .  . ,  et  les  combinaisons  d'une  subdivision  de  S^c,  avec  une  sub- 
division de  Sj,  avec  .  .  .  sont  aussi  en  nombre  limité  N. 

Comme  notre  énoncé  s'applicjue  à  chacune  de  ces  diverses  com- 
binaisons (H),  sauf  l'adoption  successive,  pour  la  constante  J^^ 
de  certaines  valeurs  convenables  X',  X" ^  .  .  .,  X^^\  il  s'appliquera 
évidemment  aussi  aux  aires  considérées  tout  entières,  en  attri- 
buant à  c.l>  une  valeur  quelconque   supérieure  à  toutes  celles-ci. 

4.  Cette  simplification  du  lemme  de  Cauchy,  qui  déjà  facilite 
considérablement  sa  démonstration,  offre  un  intérêt  doctrinal 
peut-être  encore  plus  grand.  Elle  dégage  elTectiveinent  de  toute 
considération  spéciale,  de  tout  artifice,  elle  rattache  étroitement 
aux  principes  mêmes  de  l'existence  des  séries  entières,  ren- 
fermés dans  le  théorème  fondamental  d'Abel  (114*),  sa  partie 
capitale,  celle  qui  lie,  d'une  manière  si  remarquable  et  si  nette, 
les  grandeurs  relatives  des  modules  des  dérivées  d'une  fonction 
olotrope,  à  leurs  indices  de  difTérentiations  et  aux  olomètres  de 
celle-ci.  En  outre  ,  et  si  cette  entreprise  n'avait  pas  perdu  irrévo- 
cablement tout  intérêt,  elle  permettrait  évidemment  d'exposer  la 
théorie  des  fonctions  réelles,  en  laissant  absolument  de  côté  les 
allusions  aux  quantités  imaginaires  dont  elle  semblait  ne  pouvoir 
se  passer;  c'est  la  justification  de  ce  que  j'ai  avancé  dans  la  pré- 
face de  mes  Leçons  (p.  xviii). 

A  la  vérité,  elle  ne  s'applique  pas  à  l'autre  partie  du  lemme, 
consistant  à  dire  que,  dans  la  formule  (2),  la  valeur  de  la  con- 
stante A>  peut  être  abaissée  jusqu'à  la  quantité  M  figurant  dans  la 
formule  (i),  partie  qui,  si  elle  n'est  pas  essentielle,  comme  je  l'ai 
dit,  n'en  prête  pas  moins  un  appui  indispensable  à  d'autres  théo- 
rèmes importants  (133*),  (201*),  (273*  et  siiiv.)^  (où  l'on  re- 
marquera que  l'intervention  des  quantités  imaginaires  est  en 
général  inéluctable).  Mais,  une  fois  assis  sur  la  formule  (2),  les 
principes  généraux  delà  théorie  des  fonctions  fournissent,  pour  le 
point  restant  ainsi  en  souffrance,  une  démonstration  facile  et  sur- 
tout très  directe;  c'est  ce  que  je  ferai  voir  dans  une  autre  occasion. 


iGo  BULLETIN    BIBLIOGUAPIIIQUE. 

BULLETIN    BIBLIOGUAIMIIQUE. 


OslwalcVs  Klassiker  der  exakten  Wissenschaften.  N°*  06,  V>1  et  fiO. 
Jn-8°,  cart.  Leipzig,  Engclmann. 

IS"  56.  Die  Gesctze  der  Ueberkaltung  u.  Gefrierpunktserniedrigung.  2.  Ab- 
handlungcn  von  Ch.  Blagden.  (1788).  Hcrausgeg.  von  A.  J.  v.  Oeltingen  /19  p. 
80  pf.  —  57.  Abhandlungcn  iibcr  Thermomclrie  von  Fahrenheit,  Réaumur, 
Celsius.  1724,  1730-1733,  1742.  Hcrausgeg.  von  A.  J.  v.  Oeltingen.  i4o  p.  avec 

r7  fig.  2  m.  40  pf. 

DixoN  (A.-C).  —  The  Elementary  Properties  of  the  Elllptic  Func- 
ilons,  with  Examples.  In-8°,  i4o  p.  London,  Macmillan.  5  sh. 

KuNZE  (C.-L.-A.).  —  Das  geoinetrische  Figurenspiel  fur  Kinder  u. 
Erwachsene.  \(f  édition.  In-12,  8  p.  avec  20  planches  et  7  petites  planches. 
Wcimar,  Bolilau.  (Dans  un  étui).  1  m. 

Zermiîlo  (E.).  —  Uiitersuchungen  zur  Variations-Rechnung.  (Dissert.) 
Gr.  in-8",  97  p.  avec  8  fig.  Berlin,  Mayer  ci  Muller.  2  m.  5o  pf. 

ZiWET  (A.).  —  An  Elementary  Treatise  on  Theoretical  Méchantes. 
Part  3.  Kinetics.  ln-8°.  London,  Macmillan.  8  sh.  G  d. 

ScIlLESL^GER  (L.).  —  Handbuch  der  Théorie  der  linearen  Differential- 
gleichungen.  (En  2  volumes.)  Tome  IL  Gr.  in-8",  xx-486  p.  Leipzig, 
Teubner.  iG  m. 

Hermann  v.  Helmiioltz.  —  Gedàchtnissrede.  Yon  AV.  v.  Bczold.  Avec 
portrait  d'après  Lenbach.  Gr.  in-8°,  3i  p.  Leipzig,  Barth.    1  m. 

BuRR  VAN  Bleck  (E.).  —  Zur  Keltenbruchentwickelang  Lanié'scher 
und  dhnlicher  Intégrale.  Inauguraldiss.  In-4°,  91  p.  Gottingen. 

DuMONT  (F.).  —  Essai  d'une  théorie  élémentaire  des  suif  aces  du 
troisième  ordre.  T.  II.  In-8",  90  p.  Annecy,  impr.  Depollier  et  G'*". 

Glauner  (Th.).  —  Ueber  den  Verlauf  der  Potentialfunctionen  ini 
Baume.   Inauguraldiss.  In-8'',  62  p.  Gottingen. 

Lie  (S,).  —  Untersuchungen  i'iber  unendliche  continuirliche  Grup- 
pen.  In-8°,  108  p.  Leipzig,  Hirzel.  5  m. 


COiMPTKS   KIîNUUS   \iV   ANALYSES.  iGi 


COMPTES    UKNDUS    ET    ANALYSES. 

WTRHR.  —  LiîiiRiujcii  i)i;ii  Algebra,  in  zwoi  Biinden.   Ersior  Band, 
\vi-()35  j).  in-8";  Uraunschwoig,  Vicvvcg  und  Sohn;  i8(j5. 

Ce  Traité  (V  Algèbre  ne  peut  manquer  d'avoir  un  grand  succès; 
rcxcellent  géomètre  qui  en  est  l'auteur  s'est  illustré  par  d'im- 
portantes rcchcrclies  d'Algèbre  et  d'Analyse;  nous  avons  essayé 
naguère  de  dire  les  rares  mérites  de  son  Traité  des  fonctions 
elliptiques  :  ces  mérites  se  retrouvent  ici,  peut-être  avec  un  souci 
plus  grand  de  la  pédagogie,  car  c'est  véritablement  un  Lelirbuchj 
un  livre  où  l'on  pût  apprendre  l'Algèbre,  que  M.  Weber  a  voulu 
écrire,  et  il  y  a  pleinement  réussi.  Son  goût  pour  la  concision  ' 
n'est  que  la  recliercbe  de  la  simplicité  dans  la  pensée  et  d'une 
forme  de  langage  adéquate  à  cette  pensée;  il  ne  dk  jamais  rien 
que  d'essentiel,  mais  il  a  grand  soin  de  ne  rien  omettre  qui  soit 
essentiel;  dans  le  fond  et  dans  la  forme,  son  livre  est  véritable- 
ment clair. 

C'est  l'habitude  en  Allemagne,  dans  les  livres  de  cette  nature, 
que  de  reprendre  les  choses  au  début;  il  serait  intéressant  de  sa- 
voir si  celte  habitude  correspond  à  une  forme  d'esprit,  à  un  cer- 
tain goût  logique,  ou  si  elle  dépend  de  l'organisation  de  l'ensei- 
gnement dans  les  gymnases  et  dans  les  universités;  quoi  qu'il  en 
soit,  M.  Weber  n'y  manque  pas  et  il  a  mis  au  début  quelques 
pages  d'introduction  sur  le  concept  de  nombre,  en  se  plaçant  au 
point  de  vue  de  M.  Dedekind.  Le  reste  est  divisé  en  trois  Livres  : 
les  fondements,  les  racines,  les  grandeurs  algébriques. 


L  Le  premier  Livre  débute  par  les  opérations  sur  les  polynômes  ; 
mais,  dès  la  multiplication,  on  reconnaît  la  tendance  de  l'Ouvrage; 
c'est  là  que  l'auteur  montre  que  le  produit  de  deux  polynômes, 
dont  chacun  a  ses  coefficients  entiers  sans  autre  commun  diviseur 
(|uc  l'unité,  est  un  polynôme  de  la  même  nature,  et  c'est  là  d'ail- 
leurs la  véritable  place  de  cette  proposition  si  simple  et  si  impor- 
tante. Notons  encore,  dans  ces  commencements,  le  problème  de 
rinlerpolalion,  pour  le  cas  où  les  valeurs  données  du  polynom<* 
lîull.  des  Sciences  inatiu'in.,  2'  scrio,  i.  \I\,  (Août  189').)  i.i 


iG>  PHRIMIKIIH    PAimi-:. 

(le  dcgrc'  Il  (jiio  l'on  cliciclie  correspondent  aux  valeurs  o,  i ,  2,...,  11 
delà  variable,  placé  immédialemenl  après  la  formule  du  binôme, 
ainsi  que  l'étude  rapide  des  progressions  arithmétiques  d'ordre 
supérieur.  I^e  Chapitre  suivant  contient  toutes  les  propositions 
essentielles  sur  les  déterminants  et  les  équations  linéaires. 

Après  avoir  défini  les  racines  d'une  écjuation  algébrique,  à 
coefficients  réels  ou  imaginaires,  l'auteur  montre  algébriquement, 
en  supposant  successivement  n  =:  1  et  n  impair,  que  toute  équa- 
tion de  la  forme 

x"-  —  a  -\-  bi 

a  une  racine  réelle  ou  imaginaire;  il  donne  ensuite  la  résolution 
trigonométrique  de  ces  équations,  et  applique  ces  résultats  à  la 
résolution  des  équalions  du  second,  du  troisième  et  du  quatrième 
degré;  il  aborde  alors  le  théorème  fondamental  de  l'^Vlgèbre,  qu'il 
établit  d'après  le  procédé  bien  connu  qui  consiste  à  montrer  que 
le  module  du  premier  membre  de  l'équation  proposée  ne  peut 
avoir  d'autre  minimum  que  zéro;  il  va  sans  dire  que  la  démon- 
stration est  présentée  de  manière  à  ne  laisser  place  à  aucune  objec- 
tion qui  concerne  la  rigueur;  il  reproduit  ensuite,  en  la  simpli- 
fiant d'après  une  remarque  de  M.  Dedekind,  la  démonstration  de 
M.  Lipschitz  ('),  qui  fournit  un  moyen  plus  pratique  pour  cal- 
culer effectivement  les  racines  d'une  équation  donnée.  On  remar- 
quera aussi  la  forme  précise  et  la  démonstration  simple  donnée 
pour  cette  proposition  :  les  racines  d'une  équation  varient  d'une 
façon  continue  avec  les  coefficients.  Étant  donnée  une  équation 

dont  le  premier  membre,  pour  un  système  de  valeurs  numériques 
attribuées  aux  coefficients  a^,  .  ,  .,  a,n  peut  se  mettre  sous  la  forme 

f{x)  =  ix  -  ayj-  {x  —  bf{x  —  c)y, 

où  a,  b^  6',  .  .  .  sont  des  nombres  réels  ou  imaginaires  différents, 
on  peut  fixer  deux  nombres  positifs  s,  p  assez  petits  pour  que,  si 
l'on  décrit  autour  des  points  a^  6,  c, .  .  .  des  cercles  de  rayon  0, 
toute  équation  de  la  forme 

/(^)-Ho(.r)  =  o, 


{')\o\v  Bulletin,  ■>.'  série,  l.  IV,  p.  385. 


f:()MPTI':S  UKNDUS   in    analyses.  i63 

où  p(./')  <*sl^  '111  polynôme*  de,  (lci;i'(';  /f  —  i  dont  les  coofficlcnls  ont 
dos  modules  moindres  (jne  £,  ;iil,  j)r(';c,is('ni(;i)I,  a,  [j,  y,.  ..  racines 
dans  les  cercles  (jiii  ont  respectivement  pour  centres  les  points 
((,  />,  r,.  .  .  M.  Weber  traite  ensuite  des  fonctions  symétriques. 
Après  avoir  montré  comment  on  pouvait  les  calculer  au  moyen 
des  formules  de  Newton,  il  établit,  par  la  méthode  de  Cauchy  et 
par  celle  de  Gauss,  le  ihéorème  fondamental  sur  la  possibilité 
d'exprimer,  et  cela  d'une  seule  façon,  toute  fonction  symétrique 
entière  à  coefficients  entiers  de  n  variables,  en  fonction  entière  à 
coefficients  entiers  des  fonctions  symétriques  élémentaires  de  ces 
n  variables;  il  s'arrête  un  instant  sur  les  discriminants,  et  la  for- 
mation du  discriminant  de  l'équation  du  quatrième  degré  lui  four- 
nit l'occasion  d'introduire  les  deux  invariants  de  la  forme  biqua- 
dratique;  il  traite  de  l'élimination,  établit  les  propositions 
fondamentales  sur  la  divisibilité  et  la  décomposition  des  fonctions 
de  plusieurs  variables,  expose  la  transformation  de  Tschirnhausen 
pour  l'appliquer  à  la  résolution  des  équations  du  troisième  et  du 
quatrième  degré  et  à  la  réduction  de  l'équation  du  cinquième 
degré.  Le  Chapitre  suivant  est  consacré  aux  transformations 
linéaires.  Après  avoir  exposé  brièvement  la  décomposition  en 
carrés  d'une  forme  quadratique  et  la  loi  de  l'inertie,  M.  Weber 
passe  aux  formes  binaires  pour  montrer  la  formation  des  covariants 
d'une  forme 

au  moyen  de  sommes  de  produits  de  facteurs  tels  que  œ  —  a,;^', 
y-p  —  y-q'-i  il  donne  ensuite,  pour  la  forme  cubique^  l'invariant  et  les 
covariants  fondamentaux  en  montrant  de  la  façon  la  plus  simple 
que  tout  autre  co variant  entier  de  la  forme  s'exprime  en  fonction 
entière  de  l'invariant  et  des  covariants  fondamentaux.  Il  traite  des 
mêmes  questions  pour  la  forme  biquadratique,  mais  en  se  bor- 
nant à  démontrer  que  tous  les  invariants  s'expriment  au  moyen 
des  invariants  fondamentaux. 

Un  Chapitre  spécial  est  consacré  à  la  forme  particulière  sous 
laquelle  M.  Hermite  a  traité  de  la  transformation  de  Tschirnhausen. 
Rappelons  en  quelques  mots  le  point  essentiel  des  recherches  de 
M.  Hermite,  qui  remontent  à  i85y.  Considérant  une  équation 


i04  piUiMiKiU!;  PAiniH. 

cL  posant 

Fo       •—  «0^        H ' 

•1  cil 

Fi  =  rt,,^-         -hrti^TH J 

'  Il 

■• 1 

n  —  T 

F„_2  =  «0^""'+  ^1-2^"       +•  •  '^ <^ln-\^ 

une    transformation    de   Tschirnhausen    peut    se    mettre    sous  la 

forme 

y  =  t,i-^  Fo  -I-  ^«-3  Fi  -h  . . .  +  ^0  F„_2, 

OÙ  io,  fn-  '  '  y  tn-2  sont  des  coefficients  arbitraires;  la  transfor- 
mation est  préparée  de  manière  que  le  coefficient  de  jk'^"^  dans 
Féqualion  transformée  en  j- soit  nul;  les  autres  coefficients  de 
cette  équation  seront  des  fonctions  de  ««,  at,.  .  . ,  a^,  to,  -  •  •  tn-2  ; 
ces  fonctions  sont  des  invariants  simultanés  des  deux  poljnomes 

ao  a?"  +  «1  x'^-'^  -4- . . .  -T-  «/i, 

1  I  •  2 

Cette  belle  proposition  s'applique  très  simplement  à  la  transfor- 
mation et  à  la  résolution  des  équations  du  troisième  degré.  Cette 
même  transformation  permet  d'introduire  la  forme  quadratique 
en  ^0)  ^M  •••>  ^11-2  d'une  part,  en  «o?  <^i,  •••?  ^f^n  de  l'autre,  à  laquelle 
M.  Sjlvester  a  donné  le  nom  de  Bézoutiant  :  elle  n'est  autre 
chose  que  la  somme  des  carrés  des  racines  de  l'équation  en  y,  et 
M.  Weber  montrera  plus  lard,  dans  le  cas  où  les  quantités  «,,  <:/2..-, 
ttn  sont  réelles,  comment  la  décomposition  en  carrés  de  cette 
forme  (en  /«j  ^<,  •  •  -,  tn-\)  permet  de  calculer  le  nombre  de  racines 
réelles  de  l'équation  proposée.  Pour  le  moment,  il  fait,  de  la 
considération  de  cette  forme,  une  belle  application  à  la  réduction 
de  l'équation  générale  du  cinquième  degré  à  la  forme  normale 
(Klein) 

^5  +l5^*  —  lOY-32-h  Z-Ç-  =  o, 

et  cela  sans  introduire  d'autre  irrationnalité  que  la  racine  carrée  du 
discriminant  de  cette  équation. 

II,  La  deuxième  Partie   se  rapporte  à  la  résolution  numérique 


COMPTAS   UFNDUS   HT   ANALYSES.  i65 

des  ('finalloiis  ;  cc\i\  (|iii  ;ntnriil,  TAI^rhi'o  (''prouveront,  quelque 
plaisir  à  voir  avec  (|uclle  ampleur  iM.  Wcber  développe  celle  belle 
lliéorie,  qu'ils  re«;rcllenl  d'avoir  vu  disparaître  de  nos  programmes 
d'ensei^nemenl. 

Les  iormules  préeédemmenl  obtenues  [)0ur  les  équations  du  Iroi- 
sième  el  du  qualrième  degré  permellenl  d'abord  de  reconnaîlre 
sur  les  coefficienls  de  ees  écpialions  le  nombre  des  racines  réelles. 
La  considération  du  Px'zoulianl  conduil  en  général,  comme  on  l'a 
déjà  dit,  à  la  solution  du  même  problème  :  l'auleur  développe  avec 
détails  celle  dernière  métbode.  Les  siiiles  de  Slurm  permellenl, 
plus  généralemenl,  de  trouver  le  nombre  de  racines  distinctes 
comprises  entre  deux  nombres  donnés;  l'un  des  premier  exemples 
d'une  suite  de  Slurm  que  donne  l'auteur,  avant  même  d'avoir 
expliqué  comment  la  recberche  du  plus  grand  commun  diviseur 
entre  un  polynôme  et  sa  dérivée  permet  d'obtenir  une  pareille 
suite,  est  Tourni  par  le  premier  membre  d'une  équation  aux  iné- 
galités séculaires  mise  sous  forme  de  déterminant  el  les  mi- 
neurs principaux  de  ce  déterminant.  M.  Weber  développe  aussi 
la  méthode  de  M.  Hermile,  en  la  rattachant  à  la  transformation 
de  Tschirnhausen  :  il  donne  quelques  indications  sur  ces  carac- 
téristiques de  Kronecker,  qui  fournissent  l'extension  du  théorème 
de  Sturm  aux  équations  à  plusieurs  inconnues,  et  rattache  à  celte 
nolion  la  première  des  trois  démonstrations  que  Gauss  a  données 
du  théorème  fondamental  de  l'Algèbre.  Pour  ce  qui  est  de  la 
séparation  des  racines,  il  développe  successivement  les  théorèmes 
de  Budan,  de  Newton,  de  Descartes  et  compare  géométriquement 
les  différents  critériums  par  une  méthode  que  l'on  doit  à  M.  Klein  ; 
il  passe  ensuite  à  la  recherche  des  limites  des  racines,  au  théo- 
rème de  Rolle,  et  aux  intéressantes  propositions  que  l'on  doit  à 
Laguerre  touchant  la  séparation  des  racines  d'une  équation  qui 
n'a  pas  de  racines  imaginaires.  Le  calcul  numérique  des  racines 
(interpolation,  méthodes  de  Newton,  de  Daniel  Bernoulli,  de 
Grade)  est  traité  avec  soin;  signalons  encore,  dans  le  même  ordre 
d'idées,  l'exposition  d'une  méthode  due  à  Gauss  pour  la  recherche 
des  racines  réelles  ou  imaginaires  d'une  équation  trinôme. 

Un  Chapitre  spécial  est  consacré  aux  fractions  continues;  l'au- 
teur a  l'occasion  d'y  aborder  de  belles  théories  arithmétiques  : 
l'équivalence    des    noYnbres    irrationnels,    les    irrationnelles    du 


iGG  PRRINIIEUE  PARTIE. 

second  degré,  la  réducLion  de  ces  irralionnelles,  les  lois  de  leur 
développement  en  fractions  continues,  l'équation  de  l*ell  et,  par 
occasion,  les  formes  cpiadratiques  binaires  à  coeflicients  entiers  ; 
à  la  fin  de  ce  Chapitre,  il  traite  ra[)idement  de  la  recherche  des 
racines  rationnelles  et,  plus  généralement,  des  diviseurs  rationnels 
d'un  polynôme  à  coefficients  entiers.  Un  autre  Chapitre  se  rapporte 
aux  équations  binômes,  traitées  tout  d'abord  au  point  de  vue  de 
la  pure  Algèbre,  indépendamment  delà  représentation  Irigonomé- 
triquc  de  leurs  racines;  la  théorie  de  ces  équations  est  alors  paral- 
lèle à  celle  des  congruences  binômes,  en  Arithmétique,  et  c'est 
j)our  l'auteur  l'occasion  d'exposer  cette  dernière  théorie.  La  théorie 
de  la  division  des  arcs  se  rattache  immédiatement  à  celle  de 
l'équation  binôme,  quand  on  considère  l'expression  trigonomé- 
triquc  des  racines;  dans  les  équations  de  la  division,  la  considé- 
ration du  produit  des  racines  fournit  immédiatement  les  égalités 


«  —  1 

2    -      Il  cos =±1 

n 


n 

2   2     II  sin =±\/n, 

qui  servent  de  base  à  la  démonstration  d'Eisenstein  de  la  loi  de 
réciprocité  des  restes  quadratiques. 

III.  C'est  le  troisième  Livre,  consacré  aux  nombres  algébriques, 
qui  constitue  la  partie  la  plus  originale  et  la  plus  intéressante  du 
Volume.  L'auteur  y  a  exposé,  tout  d'abord,  la  théorie  de  Galois 
et  il  faut  reconnaître  cjue,  de  ce  point  de  vue,  les  choses  s'éclai- 
rent singulièrement.  Outre  que  la  considération  du  groupe  de 
Galois  fait  évanouir,  dans  les  propositions  indispensables  de  la 
théorie  des  substitutions,  toute  dillérence  entre  les  cas  où  Ton  a 
affaire  à  des  variables  indépendantes  et  celui  où  Ton  a  affaire  aux 
racines  d'une  équation  déterminée,  la  plupart  des  questions  qui 
se  présentent,  dans  cette  belle  et  difficile  théorie,  s'engendrent 
en  quelque  sorte  d'une  façon  nécessaire,  et  l'on  n'aborde  guère 
un  problème  qu'au  moment  même  où  le  lecteur  se  le  pose  de  lui- 
même  ;  lorsqu'on  est  arrivé  à  exposer  ainsi  un  ensemble  de  pro- 
positions, il  semble  qu'on  puisse  être  assuré  de  s'être  vraiment 
placé  au  point  de  vue  qui  domine  la  théorie. 


COAlPTIiS    KIwNDUS   \i\    ANAl.VSKS.  1G7 

I/;uil(Mir,  corïiinc  les  LciKlaiiccs  j^é  11  (M'aies  de;  son  IJvro  pouvaient 
le  l'aire  prévoir,  a  pris  pour  j)oinl,  de  (l(^parL  la  nolioii  de  corps. 
Rappelons  que  M.  I)e(l(dvind  appelle  ainsi  un  ensemble  de  nom- 
bres tel  que  loul  nombre  obtenu  en  ajoutant,  multipliant  ou  divi- 
sant deux  nombres  de  eet  ensemble,  appartienne  encore  à  l'en- 
semble. Il  esl  elair  (pu^  tout  corps  contient  l'ensemble  des  nom- 
bres rationnels  proprement  dits.  Un  corps  peut  d'ailleurs  aussi 
contenir  des  variables  indéterminées;  il  contient  alors,  parmi  ses 
éléments,  toutes  les  fonctions  rationnelles  de  ces  variables  dont 
les  coefficients  sont  les  éléments  purement  numériques  du  corps; 
mais  il  doit  être  bien  entendu  que  les  variables  doivent  alors 
garder  leur  caractère,  être  toujours  représentées  par  des  lettres. 
Un  diviseur  Q'  d'un  corps  lî  est  un  corps  dont  tous  les  éléments 
sont  contenus  dans  0.  Quoique  Ivronecker  se  soit  placé  à  un 
point  de  vue  différent,  dont  ce  n'est  pas  le  lieu  de  discuter  ici 
les  avantages,  il  est  bien  évident  que  la  notion  de  corps  et  celle 
de  domaine  de  rationnalité,  sont  équivalentes.  Tous  les  éléments 
d'un  corps  sont  dits  rationnels  dans  ce  corps.  On  peut  considérer 
des  polynômes  dont  les  coefficients  appartiennent  à  un  corps,  et 
les  notions  d'irréductibilité,  de  décomposition  en  facteurs  pre- 
miers, reçoivent  une  extension  facile  et  immédiate.  Si  a  est  une 
racine  d'une  équation  dans  Q,  c'est-à-dire  d'une  équation 
F(.r)  =  o  dont  les  coefficients  appartiennent  au  corps  Q,  le  corps 
Q(a),  obtenu  par  l'adjonction  de  a  à  Q,  contiendra,  outre  les  élé- 
ments de  Q,  toutes  les  fonctions  rationnelles  de  a  dont  les  coeffi- 
cients sont  des  éléments  de  Q,  fonctions  qui  peuvent  être  réduites 
facilement  à  des  polynômes  de  degré  n —  i,  si  l'équation,  irré- 
ductible dans  Q,  que  vérifie  a  est  de  degré  n\  n  est  le  degré  du 
corps  Q(a). 

Galois  a  montré  comment  l'adjonction  de  racines  a,  p,  y,  ... 
d'équations 

(ï)  A(.r)  =  o,         13(^)  =  o,         C(.r)  =  o,  ..., 

dont  on  suppose  seulement  que  les  coefficients  appartiennent  à 
12,  et  que  toutes  les  racines  soient  inégales  entre  elles,  revient  à 
l'adjonction  d'une  seule  racine  d'une  équation  convenablement 
choisie.  Ce  n'est  pas  la  démonstration  même  de  Galois  que  rap- 


r()8  PHEAIIÈKf'    PAimii. 

porlc  M.  Weber;  ayant  formé,  comme  Galois,  l'éf|ualion 

au  moyen  d'une  foncLion  rationnelle  ç  de  a,  [i,  y,  ...,  telle  que 
l'on  n'ait  pas 

à  moins  d'avoir 

en  supposant  que  a',  P',  y',  .  .  .  soient  des  racines  respectives 
des  équations  (i),  dési<^nons  par  ?,  Ç',  f,  ...  les  racines  nécessai- 
rement distinctes  de  l'équation  F(?)  =  o  ;  ces  racines  correspon- 
dront manifestement  aux  divers  arrangements  que  l'on  peut  dé- 
duire de  l'arrangement  a,  p,  y,  .  •  • ,  en  prenant  pour  a,  p,  y,  .  .  . 
les  diverses  racines  respectives  des  équations  (i)  ;  si  maintenant 
0(a,  p,y,  ...)  est  une  fonction  rationnelle  de  a,  p,  y,  ...,  en 
remplaçant,  dans  ©(a,  j3,  y,  .  .  .),  a,  j^,  y,  .  .  . ,  par  ces  divers  arran- 
gements, on  obtiendra  une  suite  de  quantités 

0       0'       0" 

distinctes  ou  non,  qui  correspondront  manifestement  aux  ra- 
cines ^,  ^',  Ç",  .  .  .  ;  il  suffît  maintenant  de  se  reporter  à  la  formule 
d'interpolation  de  Lagrange  pour  voir  que  le  polynôme  en  /, 

qui  est  symétrique  par  rapport  aux  racines  de  l'équation  F(/)  =  o 
et  dont  les  coefficients  appartiennent,  par  conséquent,  à  Q,  fournit 
l'expression  rationnelle  de  0  en  fonction  de  ?,  puisque  l'on  a 
évidemment 


0  = 


F'(0 


Le  même  mode  de  raisonnement  sera  employé  dans  divers  cas. 

Si  F(^)  =  o  est  une  équation  irréductible  dans  0,  dont  les  ra- 
cines soient  a,  a,,  .  .  . ,  a,;.,,  les  corps  l^(a),  Û(a,),  .  .  . ,  Ù[%,i_^) 
sont  dits  conjugués;  un  élément  primitif  dans  Q(a)  est  une 
fonction  rationnelle  de  a  qui  prend  n  valeurs  distinctes  quand  on 
y  remplace  a  par  a,  a,,  .  .  .,  y.,i_^  ;  cbaque  élément  de  i.i(^.)  s'ex- 


COMPTMS   UIÎN'DUS   \VV   ANALYSES.  i(i., 

primo  rai  ioiiiicllrnicnl  au  iiioy(;n  de  irmiporic  (|ii('l  (;l<''mcnL  pii- 
inilif.  Un  (''l(''in('iil  imprmiil  i(  [j  de;  il(a)  est  une  lonclion  ration- 
nelle (le  a  (pi  1  ne  j)ren(l,  clans  les  mêmes  conditions,  que  //,  valeurs, 
n^  étant  plus  j)elil,  (pn^  // ;  //,  est  néccssaircincnt  un  diviseur  de  //, 

et  le  corps  i^(i^)  est  un  diviscmi*  de  ii{y.)  d(;  degré  —  ;  inversement, 

tout  corj)s  <pii  divise;  ii(a)  et  (pii  eontient  il,  peut  être  obtenu  par 
l'adjonction  à  il  d'un  élément  imprimitif  de  Û(a).  Un  corps  il(a), 
qui  ne  contient  pas  d'autres  éléments  imprimitifs  que  les  éléments 
de  0  est  dit  prinni if.  Si  l^'(^')  =z  o  est  une  équation  dans  12,  irré- 
ductible ou  non,  mais  à  racines  distinctes  a,  a,,  ...,  a„i_i,  le 
corps  ll(a,  a, ,  ao,  .  . . ,  '^-m-s  )  est  le  coi'ps  de  Galois  de  cette  équa- 
tion. Le  corps  de  Galois  peut  être  obtenu  par  l'adjonction  à  0 
d'une  fonction  rationnelle  de  a,  a,,  .  ..,  a„i_,  qui  prend  1.2.  .  ./^i 
valeurs  distinctes  quand  on  y  permute  a,  a,,  .  .  .,  a„^_,,  de  toutes 
les  façons  possibles;  si  p  est  un  élément  primitif  du  corps  de  Ga- 
lois, p  est  une  fonction  rationnelle  de  a,  a,,  .  .  .,  a„,_,  ;  inverse- 
ment, ces  quantités  sont  des  fonctions  rationnelles  de  p;  l'équa- 
tion {/'réductible  que  vérifie  p  est  une  équation  no///iale, 
c'est-à-dire  une  équation  irréductible  telle  que  toutes  ses  racines 
s'expriment  rationnellement  au  moyen  de  l'une  d'elles;  c'est  une 
résolvante  de  Galois  de  l'équation  F(^)  =  o.  Le  corps  de  Galois 
est  normal,  c'est-à-dire  qu'il  est  identique  à  tous  ses  conjugués. 
Si  l'on  désigne  par  p,  p,,  .  .  .,  ^p-\  les  racines  de  la  résolvante,  en 
la  supposant  de  degré  y?,  les  racines  a,  a,,  7.0,  .  .  . ,  y.m-\  de  F(.r) 
sont  toutes  des  fonctions  rationnelles  de  l'une  quelconque  p^  des 
racines  de  la  résolvante;  si,  dans  ces  fonctions  rationnelles,  on 
remplace  p^  par  p^,,  on  retrouve  les  mêmes  racines  a,  a,,  .  .  . ,  y.,n_\ 
rangées  dans  un  même  ordre;  en  d'autres  termes,  à  toute  substi- 
tution [oa,  ^(,)  du  corps  de  Galois  correspond  une  substitution 
des  éléments  a,  a<,  ...,  a,„_<.  Toute  substitution  (o^,  p^)  équi- 
vaut à  une  substitution  Çp,pc)  de  l'élément  p^,  convenablement 
clioisi,  à  l'élément  p;  inversement,  toute  substitution  (0,  o^)  peut 
être  mise  sous  la  forme  (p^,  p/,)  où  l'un  des  élémenls  p^,  p6  est 
arbitraire,  l'autre  étant  déterminé  par  celui-là  et  par  p^;  les  p  sub- 
stitutions des  éléments  a,  a,,  .  .  .,  a,„_,  que  l'on  obtient  en  expri- 
mant rationnellement  ces  quantités  au  moyen  de  p,  et  en  rempla- 


I70  PREMIÈRE   I^MiTlE. 

çanl  successivement  p  par  p,  p,,  ...,  p/;  i ,  formoiiL  un  groupe; 
c'est  le  groupe  de  Galois  de  l'équation  F(jc)  =  o,  groupe  dont 
les  éléments  correspondent  manifestement  aux/>>  substitutions 

(p,9)^     (p,  Pi),     •••,     (p^9p-i) 

du  corps  de  Galois.  Toute  équation  rationnelle  dans  Q  entre  a, 
a,,  ...,  c/.„i_f  subsiste  quand  on  efï'ectue,  sur  ces  quantités,  une 
substitution  du  groupe  de  Galois;  toute  fonction  rationnelle  dans 
Q  de  a,  a, ,  .  .  . ,  y.,„_i ,  qui  garde  la  même  valeur  quand  on  efTectue 
sur  a,  a,,  ...,a/„_,  une  substitution  quelconque  du  groupe  de 
Galois,  est  un  élément  de  0;  inversement,  un  groupe  de  substi- 
tutions qui  jouit  de  ces  propriétés,  coïncide  avec  le  groupe  de 
Galois.  Le  degré  p  du  groupe  de  Galois  est  un  diviseur  de 
I.2.3.../7Z;  le  quotient  est  le  degré  d'aj/'ect  de  l'équation 
F(;r)  =  o;  si  ce  degré  est  i,  l'équation  est  sans  alTect;  telle  est 
l'équation  générale  de  degré  m  dans  le  corps  formé  par  les  fonc- 
tions rationnelles  à  coefficients  entiers  de  ces  coefficients,  regardés 
comme  des  variables  :  le  groupe  de  Galois  est  alors  identique  au 
groupe  symétrique  des  racines.  Le  problème  de  la  résolution  de 
l'équation  F(^)  =  o  consistera  à  augmenter  son  alTect  par  Tad- 
jonction  à  Q  de  quantités  algébriques  convenables.  On  reconnaît 
de  suite  que  l'équation  F(^)  =  o  est  réductible  ou  non,  suivant 
que  son  groupe  de  Galois  est  transitif  ou  non,  et  le  caractère 
nécessaire  de  la  notion  de  transitivité  apparaît  ainsi  clairement. 
De  même,  pour  la  notion  de  primitivité  et  d^imprimitivité  rela- 
tive à  un  groupe  de  substitutions  :  si  l'on  considère  une  équation 
irréductible  f{^)  =  o  à  racines  a,  a, ,  .  .  . ,  fy.n-\  et  dont  le  groupe 
de  Galois  est  par  conséquent  transitif,  l'existence  d'un  élément 
imprimitif  6  dans  le  corps  i^(a),  prenant  seulement  /•  valeurs 
quand  on  remplace  a  par  a,  a,,   .  .  .,  a//_,,   montre  clairement  la 

possibilité  de  séparer  ces  racines  en  ■!>■=-  suites  de  /•  éléments, 

telles  qu'une  substitution  quelconque  du  groupe  de  Galois  ne 
fasse  jamais  que  permuter  les  éléments  de  l'une  de  ces  suites,  ou 
remplacer  en  bloc  une  suite  par  une  autre;  en  d'autres  termes,  le 
groupe  de  Galois  est  imprimitif;  et  le  corps  imprimitif  iî(a),  du 
/i "''"''  degré,  par  l'adjonction  à  Ù  du  corps  du  i'"^'"*"  degré  Q'=:  1^(6), 


COMPir-lS   HMNDUS   K\    AiNALVSMS.  171 

est  raïucnr  à  un  (:orj)s  il'(a)  du  /•""""  dog^rc';.  Invcrsemcnl,  l;i  pri- 
millvilr  ou  rimprlinil ivlU;  du  j^roupc  de  Galois  permet  de  cou- 
(dure  à  la  piimiLivllé  ou  à  rinij)rirnitlvilé  du  eorp.sl}(a). 

il  est  naturel  maintenant  d'i'tudier  le  rôle  d'un  sous-groupe  ou 
diviseur  du  groupe  de  (ialois.  Désignons  par 

le  corps  de  Galois  d'une  équation  de  degré  n,  par  P  le  groupe  de 
Galois  de  cette  équation  supposé  de  degré  /;,  par  tt  =  i ,  ?:,, 
TTo,  .  .  . ,  T:p_i  les  substitutions  de  ce  groupe  ;  soit  enfin  Q  un  sous- 
groupe  de  l\  de  degré  q^  c'est-à-dire  contenant  q  substitutions; 
on  pourra  décomposer  P  en  j  suites  de  substitutions  que  l'on 
peut  représenter  symboliquement  par 


Q,     Q711,     QTia,      ...,     Quy. 


■1) 


chaque  substitution  contenue  dans  Qtt,,  par  exemple,  étant  ob- 
tenue parla  composition,  avecT:,,  d'une  substitution  de  Q;  /  = — 

1 

est  l'indice  du  diviseur  Q  par  rapport  à  P.  A  chaque  diviseur  Q 
de  P  correspond  une  fonction  rationnelle  (dans  0)  de  a,  a,,  .  .  ., 
'y-m-i  qui  garde  la  même  valeur  quand  on  y  effeetue  les  substitu- 
tions de  Q,  et  non  quand  on  y  effectue  une  autre  substitution  de 
P;  cette  fonction  appartient  au  sous-groupe  Q;  inversement, 
chaque  fonction  rationnelle  W  (dans  ù)  de  a,  a^,  ... ,  a„i_<  appar- 
tient à  un  diviseur  déterminé  Q  de  P;  en  y  effectuant  les  substi- 
tutions contenues  dans  le  symbole  Qt:,,  elle  prend  une  autre  va- 
leur Wiy  la  même  pour  toutes  ces  substitutions;  de  même  aux. 
substitutions  Q'hTo,  •  .  • ,  Q'^y-i  correspondent  les  valeurs  ^'2?  •  •  •  i 
^Py_,  ;  le  groupe  de  substitutions  comprises  dans  P  qui  conservent 
à  ^\  sa  valeur  peut  être  représenté  par  le  symbole  tt"'  Q'^,;  les 
groupes 

sont  des  sous-groupes  conjugués  :  les  quantités  Wi,  W^^  .  .  .,  ^l'y-» 
sontdes  racines  d'une  équation  irréductible  dans  ù  de  degréy, 
et  toute  fonction  rationnelle  (dans  Q)  de  a,,  a^,  ...,  ^m-i,  qui 
reste  invariable  par  les  substitutions  du  groupe  Q,  s'exprime  ra- 
tionnellement au  moyen  de  ^F  :  c'est  le  célèbre  théorème  de  La- 


lyi  PREMIKKE   PARTIE. 

grange;  on  adjoignant  à  12  la  fonction  W^  le  groupe  du  corps  N  se 
réduit  à  Q. 

Si  les  différents  groupes  -n:"*  Qtt,  conjugués  de  Q,  sont  Iden- 
tiques, les  quantités  M*,  M^< ,  ...,  Wj-i  s'expriment  rationnelle- 
ment au  moyen  de  Tune  d'elles  et  0(^F)  est  un  corps  normal; 
Q  est  alors  un  diviseur  normal  (sous-groupe  distingue;  ou  inva- 
riant); si  enfin  Q  n'est  pas  un  diviseur  normal,  le  plus  grand 
commun  diviseur  des  sous-groupes  conjugués  t:"'^-,  c'est-à-dire 
le  groupe  formé  par  les  substitutions  communes  à  ces  groupes, 
est  certainement  normal.  Un  groupe  normal,  qui  n'a  pas  d'autre 
diviseur  normal  que  lui-même,  est  dit  simple. 

Si  les  groupes  conjugués  t:"'  Qtt  n'ont  pas  d'autre  substitution 
commune  que  la  substitution  identique,  le  corps  de  Galois  coïn- 
cide avec  le  corps  0(W,  Wf,  .  .  . ,  Wy_<  ),  et  l'équation,  irréductible 
dans  Q,  cp(i)  =  o,  dont  les  racines  sont  W^  W^,  .  .  .,  ^'y_4,  admet 
les  mêmes  résolvantes  de  Galois  que  l'équation  proposée  F(^):=o  ; 
la  résolution  de  l'équation 'xi(^)  =  o  entraîne  la  résolution  com- 
plète de  l'équation  ¥(x)  =^  o,  dont  l'équation  cp(/)  =  o  est  une 
résolvante  totale.  Au  contraire,  si  les  sous-groupes  conjugués 
Tî"^  Qti  ont  un  plus  grand  commun  diviseur  R  de  degré  ;■,  l'ad- 
jonction des  racines  de  l'équation  C5(/)  ==  o  au  corps  Ù  permet 
seulement  de  décomposer  en  facteurs  de  degré  r  la  résolvante  de 
Galois  de  l'équation  primitive,  dont  l'équation  o{l)  =  o  est  une 
résolvante  partielle.  On  peut  dire  encore,  en  général,  que  le 
degré  du  groupe  de  Galois  de  l'équation  o(^)  =  o  est  égal  à  l'in- 
dice ^  de  R  par  rapport  à  P. 

Le  problème  de  la  résolution  d'une  équation  peut  se  poser 
maintenant  comme  il  suit  :  adjoindre  au  corps  ù  des  quantités 
algébriques  les  plus  simples,  de  façon  à  rendre  possible  la  décom- 
position de  la  résolvante  de  Galois  ou  l'abaissement  du  groupe  de 
Galois  dans  le  nouveau  corps,  qui  peut  être  représenté  par  l^(î), 
£  étant  une  racine  d'une  certaine  équation  irréductible  dans  ù;  si 
l'on  désigne  par  g(^t)  =  o  la  résolvante  de  Galois  de  l'équation 
proposée,  par^,(^,£)  un  facteur  de  i^(^),  irréductible  dans  ^(s), 
et  si  les  racines  de  l'équation  ^',  (^,£)  =  o  sont  o,  p,,  ...,p^^_,, 
les  substitutions 


COMPTES  UKNDUS  l- 1  ANALYSES.  173 

loiiiKMil  lin  s()iis-i;i()ii|)(î  (^,  (Tlndic'O  /'  |);ir  ia|)[)()rl  au  j^'^roiipc  de 
(ialois  V'j  si  M^  csl  une  roncliou  (jui  .ippailicnnc  au  f^rou[)0  (J>, 
M'  s'exprimera  raliounclicmer)!,  au  moyen  de  £,  et  le  eorps  (2(^F) 
sera  un  divis(uir  de  ^^(s);  le  degré  de  ti(s)  ou  le  degré  de  réc|ua- 
liou  il  réduclihle  dans  il  (|ue  vérifie  e  sera  donc  un  multiple  de/; 
si  ee  degré  est  égal  à  /,  c'est  que  £  est  une  fonction  rationnelle 
de  W,  ou  si  l'on  veut  un  élément  du  corps  de  Galois  Û(p),  ou 
encore,  suivant  le  langage  de  Kronecker,  une  irrationnalité  natu- 
relle de  l'équation  proposée. 

Il  reste  à  compléter,  en  se  plaçant  toujours  au  point  de  vue  des 
diviseurs  du  groupe  de  Galois,  les  résultats  déjà  obtenus  dans  le 
cas  où  ee  groupe  est  imprimitif.  Supposons  que  l'équation  proposée 
soitirréductible  dansQ,  de  degré  /i  et  que  ses  n  racines  puissent  être 
disposées  dans  s  lignes  de  /•  éléments,  telles  qu'une  substitution 
du  groupe  de  Galois  permute  les  éléments  d'une  ligne,  ou,  en  bloc, 
les  éléments  d'une  ligne  avec  les  éléments  d'une  autre  ligne.  Les 
substitutions  qui  ne  font  que  permuter  les  éléments  des  lignes 
constituent  un  diviseur  normal  Q  du  groupe  de  Galois  P;  le 
groupe  Q  dont  nous  désignerons  l'indice  par  y  est  d'ailleurs  in- 
Iransitif.  Si  W  est  une  fonction  qui  appartienne  à  Q,  l'équation 
proposée,  par  l'adjonction  de  W,  peut  se  décomposer  en  s  facteurs 
du  r"^'"^'  degré.  W  est  racine  d'une  résolvance  partielle  du  yi'-™'- 
degré,  qui  est  une  équation  normale.  Dans  le  corps  normal  Q(W), 
les  groupes  de  Galois  des  équations  obtenues  en  égalant  à  zéro 
les  s  facteurs  sont  les  mêmes;  j  est  d'ailleurs  un  multiple  de  s. 
Inversement  un  groupe  transitif  ne  peut  avoir  un  diviseur  normal 
intransitif  (autre  que  la  substitution  identique)  sans  être  impri- 
mitif. Finalement,  on  arrive  à  la  proposition  suivante  :  une  équa- 
tion irréductible/(.r)  =  o,  si  elle  devient  réductible  par  l'adjonc- 
tion d'une  racine  d'une  équation  normale  du  y'^'"^  degré,  se 
décompose  alors  en  facteurs  irréductibles  de  même  degré  et  de 
même  groupe.  Le  nombre  de  ces  facteurs  est  un  diviseur  de  j, 
et,  par  conséquent,  est  égal  à  y,  si  j  est  premier. 

Nous  avons  essayé  de  résumer  fidèlement  cette  exposition  de  la 
théorie  générale,  en  laissant  toutefois  de  côté  quelques  proposi- 
tions élémentaires^  de  la  théorie  des  substitutions  (décomposition 
en  transpositions,  en  cycles,  groupe  symétrique,  groupe  alterné, 
propriétés  des  groupes  transitifs  qui  contiennent  une  transj)osi- 


174  PREMIÈRE  PARTIK. 

lion,  un  cycle  de  Irols  clémenls,  etc.),  proj^osllioiis  qu'il  faul 
bien  placer  quelque  parL,  et  dont  les  unes  étaient  immédiatement 
indispensables,  tandis  que  les  autres  seront  utilisées  dans  la  suite. 
INous  résumerons  plus  brièvement  les  applications,  quel  qu'en  soit 
l'intérêt. 

M.  Webcr  traite  d'abord  des  équations  générales  du  troisième 
et  du  quatrième  degré,  puis  des  équations  abéliennes,  dont  la 
résolution  se  ramène  à  la  résolution  d'équations  cycliques^  la  ré- 
solution d'une  équation  cyclique  dépend  de  la  résolution  d'autres 
équations  cycliques  dont  les  degrés  sont  les  facteurs  premiers  du 
degré  de  l'équation  proposée.  D'un  autre  côté,  la  résolvante 
de  Lagrange  permet  de  ramener  la  résolution  des  équations  cy- 
cliques à  la  résolution  des  équations  de  la  forme 

xf^=  A. 

La  belle  théorie  de  la  division  du  cercle,  dont  on  ne  saurait  dire 
si  elle  est  plus  intéressante  par  les  résultats  qui  lui  sont  propres, 
ou  par  le  rôle  essentiel  qu'elle  a  joué  dans  la  genèse  de  la  théorie 
générale  des  équations  algébriques,  fait  l'objet  d'un  Chapitre 
spécial  :  ce  Chapitre  se  termine  par  quelques  indications  sur  la 
théorie  des  nombres  entiers  (complexes)  dans  le  corps  R-(a) 
formé  par  l'adjonction  au  corps  des  nombres  rationnels  propre- 
ment dits  d'une  racine  de  l'une  des  équations 

^2  -+-  I  =  o,  .r2  -+-  .2?  -h  I  =  o. 

M.  Weber  traite  ensuite  de  la  résolution  des  équations  par  ra- 
dicaux, ou,  ce  qui  revient  au  même,  au  moyen  d'une  chaîne  d'é- 
quations cycliques  de  degré  premier.  Il  désigne  sous  le  nom 
ô^équalions  métacyclirjues  les  équations  dont  on  peut  ainsi  ob- 
tenir la  résolution  complète.  Pour  qu'une  équation  soit  mélacy- 
clique,  il  faut  et  il  sufiît,  d'après  la  théorie  générale,  qu'il  y  ait 
une  chaîne  de  groupes 

P      T^        P 

1   ,    11,     l   2'     •  '  -1 

tels  que  chacun  soit  un  diviseur  normal  de  celui  qui  le  précède, 
le  premier  étant  le  groupe  de  Galois  de  l'équation,  tandis  que  le 
dernier  se  réduit  à  la  substitution  identique.  Etendant  quelque 
peu  le  sens  donné  à  ce  mot  par  Rronecker,  l'autour  désigne  sous 


COMPTI-S    UIÙNDUS   \'/\    ANALYSES.  17.0 

le  nom  (l<*  ^i-oupr  nirldcyclû/iic  loiil  ^Toii[)C  P  pcrmetlanl  de 
(li'lcrmincr  une  siiilc 

I*,   1*1,   1*2,    .  •  • ,   I , 

dans  liKjncllc,  (U)innic  lonl  à  l'Iicnrc,  clia(|ii(;  f^roiij)c  est  un  divi- 
seur noinial  do  c(dul  qui  le  précède,  mais  d'indice  premier  par  rap- 
port à  lui.  Une  équation  irréductible  est  métac3'cli(|uc  lorsque, 
j)ai'  l'adjonction  successive  de  racines  d'équations  cycliques,  une 
de  ses  racines  finit  par  devenir  rationnelle. 

Pour  une  é(juation  générale  de  degré  supérieur  à  4>  le  groupe 
allerné  est  simple^  il  en  résulte  qu'une  pareille  équation  ne  peut 
être  résolue  par  radicaux.  11  convient  de  rapprocher  de  cette  cé- 
lèbre {proposition,  la  suivante  :  Pour  chaque  degré  premier,  il  y  a 
une  infinité  d'équations  à  coefficients  entiers  qui  n'ont  pas  d'afïbcl. 
r^e  {problème  de  la  résolution  par  radicaux  conduit  à  poser  le  pro- 
blème de  la  résolution  par  radicaux  réels  et  l'on  reconnaît  ainsi 
le  caractère  général  de  la  circonstance  qui  se  présente  dans  le  cas 
irréductible  de  l'équation  du  troisième  degré. 

Les  équations  métacjcliques  de  degré  premier  offrent  un  in- 
térêt tout  particulier  :  ici  intervient  la  notion  des  groupes  méta- 
cjcliques dans  le  sens  de  Kronecker,  groupes  auxquels  M.  Weber 
donne  le  nom  de  groupes  linéaires.  Si  Xz  est  une  racine  d'une 
équation  de  degré  premier  z^  et  si  l'on  convient  de  supposer 

oc -'  =  oc  ~^ 

quand  on  a  z'  ^  zi^moàn),  l'ensemble  des  substitutions  qui  chan- 
gent une  racine  Xz  en  une  autre  racine  XazJrb-)  ^^  désignant  par  r/, 
b  (les  entiers  dont  le  premier  n'est  pas  divisible  par  /i,  forment 
un  groupe,  c'est  un  groupe  linéaire.  Galols  a  montré  que  le 
groupe  d'une  équation  métacycllque  de  degré  premier  est  linéaire  ; 
inversement,  toute  équation  irréductible  de  degré  premier  dont 
le  groupe  est  linéaire  est  une  équation  métacycllque.  Si  l'on  sup- 
pose, dans  la  définition  du  groupe  linéaire,  que  a  ne  puisse 
|)rendre  que  les  valeurs  qui  soient  des  restes  quadratiques  de  /?, 
on  obtient,  au  lieu  du  groupe  linéaire,  le  groupe  ml-métacyclique 
de  Kronecker.  Une  intéressante  application  de  cette  théorie,  que 
nous  ne  pouvons  qu'Indiquer,  est  faite  aux  équations  du  cinquième 
degré. 


ijG  PREMIÈRE  PARTIE. 

J.cs  lois  si  simples  relatives  aux  cqualions  mélacycliques  de 
degré  premier  permettent  d'aborder  le  problème  de  la  formation 
de  toutes  les  équations  mélaejcliques  de  degré  premier  donné,  et 
la  construction  de  leurs  racines.  On  sait  que  Kronecker  a  entiè- 
rement résolu  ce  problème,  qu'Abel  avait  posé  et  sur  lequel  il 
avait  laissé  (piclques  indications.  M.  Weber  en  reprend  l'étude, 
par  un  procédé  très  intéressant,  qu'il  avait  fait  connaître  récem- 
ment dans  les  SiLzungsberichte  de  la  Société  pour  le  développe- 
ment des  Sciences  naturelles,  de  Marburg. 

C'est  ici  que  se  termine  le  premier  Volume  de  l'Algèbre  de 
M.  Weber;  d'après  l'annonce  placée  sur  la  couverture,  le  second 
Volume  contiendra  la  théorie  générale  des  groupes  finis  et  son 
application  à  divers  problèmes  particuliers  ;  il  se  terminera  par  la 
théorie  des  nombres  algébriques.  J.   T. 


PiETRO  RlCCARDl.    —  Saggio   di   una   bibliografia   euclidea.    Gr.    in-4% 
Bologna,  Gamborini  et  Parmcgiaiii;  1887-1893. 

Le  patient  et  savant  auteur  de  la  Bibliographie  galiléenne  a 
réuni,  sous  le  titre  qui  précède,  trois  importants  Mémoires  insé- 
rés dans  le  Recueil  de  L^ Académie  de  Bologne  (1887,  1888  et 
1893),  et  dont  l'objet  est  de  présenter  la  série  chronologique  et 
le  classement  méthodique  des  éditions,  traductions,  imitations  et 
paraphrases  d'Euclide,  ainsi  que  des  divers  travaux  imprimés  con- 
cernant le  vieux  géomètre  grec.  De  1842  à  1890,  M.  Riccardi  a 
bien  noté  quinze  cents  volumes,  et  il  ne  se  vante  pas  d'être  com- 
plet. Quel  bibliographe  véritable  peut  avoir  cette  prétention?  Il 
n'en  est  pas  moins  certain  que  son  œuvre  est  des  plus  utiles;  que 
si  son  premier  Mémoire  présentait  des  lacunes  sensibles,  elles  sont 
largement  comblées  dans  les  suivants;  qu'enfin  les  recherches  en- 
treprises ou  provoquées  par  M.  Riccardi  ont  abouti  à  l'éclaircis- 
sement de  nombre  de  questions  obscures  et  au  redressement  d'er- 
reurs multiples. 

Toutefois,   l'œuvre  n'est  pas  dès  maintenant  achevée,   et  elle 
oflre  encore  aux  chercheurs  bien  des  problèmes  à  résoudre. 

La  bibliographie  du  xvi'^  siècle  et  celle  du  commencement  du 


COMPTES   IIRNDUS   \i\    ANALYSES.  177 

\\  II''  csl,  (Ml  cfVol  un  vri'llahlc  chaos,  par  suiU;  des  hahlludcs  de  la 
librairie  d'alors,  l'oiii-  écouler  les  stocks  et  pour  profiter  des  cé- 
Irhres  l'oires  de,  Fraiicfoi-l,  où  se  dallaient  les  affaires  pour  les 
()u\rai;cs  neufs,  on  rajeunissait  les  vieilles  éditions  en  refaisant 
l(^s  feuillets  de  i\[\'c.  avec  une  autre  date,  souvent  même  avec  wn 
aulre  nom  de  libraire  ou  même  un  autre  nom  de  ville,  à  la  suite 
d'arrangements  réciproques.  Dans  ces  conditions,  on  n'est  pour 
ainsi  dire  jamais  sûr  que  telle  indication  bibliographique  soit 
inexacte;  d'un  aulre  côté,  comme  il  n'est  pas  aisé  de  confronter 
les  exemplaires  appartenant  à  des  bibliothèques  différentes,  il  est 
souvent  difficile  d'affirmer  l'identité  réelle  de  deux  éditions  pré- 
sentant des  dates  différentes,  avec  une  même  composition  typo- 
graphique. 

Je  prends  pour  exemple  le  volume  in-folio  :  Textus  de  SpJiœra 
lohannis  de  Sacrobosco  ciun  additione,  etc.  et  Geometria  Eu- 
clidis  Mcgarensis  (en  réalité,  il  s'agit  de  la  Géométrie  dcBoèce). 
M.  Riccardi  en  cite  une  édition  de  Paris,  i5oo  [Per  impressoreni 
WoJfgangiun  IJopylium),  une  à  Venise  (-iSe/va)^  i5oi,  d'autres 
à  Paris,  chez  Henri  Estienne,  1007,  i5ii,  i5i6,  1019,  chez  Si- 
mon Colinœus,  1021,  id3i,  i532,  1 534,  d'autres  enfin  à  Venise, 
i52j,  i53i,  1559.  Dans  le  précieux  Répertoire  des  Ouvrages 
pédagogiques  du  xyi*^  siècle,  Paris,  1886,  que  M.  Riccardi  n'a 
pas  utilisé,  les  éditions  sont  en  partie  sous  le  titre  complet,  en 
partie  seulement  sous  la  rubrique  Sphera,  parce  que  le  dépouil- 
lement n'a  pas  été  correctement  fait;  je  relève  en  outre  une  édition 
à  Paris,  chez  Simon  Colinœus,  de  i538,  plus  six  autres  in-folio 
douteuses,  Paris,  1494?  149^?  i534  (R.  Calderius);  Venise,  i5o8 
(Piubœus),  i5i8  (Giunta);  Leipzig,  1509.  (Il  y  a  de  fait  une 
autre  édition  in-folio  de  la  sphère  de  Sacrobosco,  à  Paris,  chez 
J.  Petit,  i5o8  et  i5i5,  bien  distincte  de  la  précédente,  en  ce  qu'elle 
ne  contient  pas  la  Géométrie  de  Boèce,  mais  le*  commentaire  de 
Giruelo  et  les  questions  de  Pierre  d'Ailly.) 

On  voit,  pour  la  bibliographie  de  ce  seul  Volume,  combien  il  y 
aurait  encore  de  recherches  à  faire,  si  l'on  voulait  reconnaître  le 
nombre  d'éditions  réellement  distinctes. 

Or,  s'il  ne  s'agissait  que  de  la  reproduction  du  texte  de  Sacro- 
hosco  ou  de  Boèce,  l'intérêt  de  la  question  serait  minime;  mais 
ces  textes  sont  accompagnés  de  commentaires  du  wT  siècle  (en 

Bull,  des  Sciences  malliéin.,  i' série,  t.  \l\.  (Août  189.;.)  i3 


178  PHIixMIElU*   PAKTIE. 

/fiarlicullcr  de  Lcfcvrc  d'ElapIcs),  et  il  serait  utile,  au  point  de  vue 
lii6Jtori(|uc,  d'en  apprécier  la  valeur. 

Mais  on  se  trouve  dans  un  cercle  vicieux,  puisque  pour  pouvoir 
faire^  sans  trop  de  perte  de  temps,  des  recherches  fructueuses  sur 
un  suj-cl  de  ce  genre,  il  faudrait  une  bonne  bibliographie  et  que 
celle-ci  fait  défaut. 

Or,  il  -en  sera  toujours  ainsi  tant  qu'on  n'entreprendra  pas  de 
bibllograpliies  [)ar  siècles  ou  autres  périodes  déterminées,  et  que 
pour  les  |)remières  de  ces  périodes  on  ne  s'appuiera  pas  sur  des 
descriptions  exactes  et  complètes  d'exemplaires  avec  indication 
de  la  bibliothèque  où  ils  se  trouvent.  Les  modèles,  donnés  par  Je 
prince  13oncompagni  dans  son  BuUettino,  devraient  d'ailleurs  être 
adoptés,  car  la  minutie  des  détails  dans  lesquels  ils  entrent,  inu- 
tile à  la  vérité  pour  les  temps  modernes,  est  essentielle  pour  les 
premiers  âges  d«e  la  librairie. 

Qu'il  me  soit  permis  d'exprimer  ici  un  autre  desideratum;  il  y 
aurait  lieu,  en  France  comme  en  Italie,  de  suivre  rigoureusement 
la  règle  ordinairement  suivie  maintenant  en  Allemagne,  de  ne  pas 
changer,  d'après  les  habitudes  de  la  langue  où  l'on  écrit,  les  pré- 
noms des  auteurs  pas  plus  que  leurs  noms.  Les  Italiens  peuvent  nous 
reprocher  de  dire  Galilée  et  Bonaventure  Cavalieri,  par  exemple, 
mais  il  est  aussi  choquant  pour  nous  de  lire  dans  un  index  Pietro 
Fermât  ou  Pietro  Ramus  (').  Au  moins  M.  Riccardi  n'a-t-il  pas 
été  jusqu'à  supprimer  les  H  initiales,  comme  on  l'a  fait  parfois  en 
Italie,  ce  qui  enlève  précisément  toute  utilité  aux  index  pour  les 
pavs  étrangers.  Paul  Tajnjnehy. 


WOLDKMAR    WOIGT.     —    KOMPENDIUM     DEU    TIIEORETISCIIEN    PhYSIK,     ill    ZWCi 

Biindcn.  Erslcr  Baiid  :  Mechcuàk  starrcr  luid  nichtstarrer  Kôrper.  —  nV7/'- 
melclire  (Compcndium  de  l^hysiquc  lliéoriciuc,  en  deux  volumes.  Premier 
volume  :  Mécanique  des  corps  solides  ou  non.  Théorie  de  la  chaleur). 
Leipzig,  Veit  et  C'^  in-8",  x-Gio  p.;  1895. 

M.  Woldemar  Woigt,  professeur  de  Physique  mathématique  à 


(•)  Il  serait  même  convenable  de  conserver  les  formes  latines  pour  les  auteurs 
qui  ont  écrit  en  latin,  en  imprimant  leurs  noms  en  italique,  par  exemple,  pour 
les  distinguer. 


coMni':s  iu<:ni)Us  i<:t  analyses.  i;., 

rUnivcrsilc  (le  Gœllingiic,  s'csl  j)roposc  (Je  réunir,  dans  le  coml 
espace  de  deux  volumes,  les  lliéories  les  mieux  acquises  de  la  V\\y- 
si(|ue  mallicmali(jue.  La  première,  la  plus  grave  difficulté  d'un 
|)arcil  projet,  c'est  évidemment  de  trouver  une  rèji;lc  précise,  cpii 
permette  de  choisir  entre  les  innombrables  recherches  dont  la 
Phjsi(jue  mathémati([ue  fait  l'objet,  celles  qui  doivent  être  ex- 
posées et  celles,  beaucoup  plus  nombreuses,  qui  doivent  être 
passées  sous  silence.  M.  Woigt  s'est  arrêté  à  la  règle  suivante  : 
laisser  de  coté  tous  les  problèmes  spéciaux  et,  en  particulier,  tous 
ceux  qui  ont  un  intérêt  purement  mathématique,  pour  ne  traiter 
que  les  problèmes  qui  ont  un  intérêt  général  au  point  de  vue  de 
la  Physique. 

Cette  règle,  sévèrement  appliquée,  élague  un  nombre  considé- 
rable de  questions  qui,  assurément,  ne  sont  pas  dépourvues  d'in- 
térêt, mais  qui,  en  somme,  ne  sont  pas,  pour  le  physicien,  de 
première  utilité;  on  ne  peut  que  la  trouver  très  sage. 

Peut-être  certains  lecteurs  s'étonneront-ils  de  voir,  dans  ce 
Compendîiim,  l'étude  des  corps  cristallisés  tenir,  dans  la  plupart 
des  questions,  le  premier  rang  et  les  propriétés  des  corps  iso- 
tropes se  présenter  comme  des  cas  particuliers.  A  coup  sûr,  nul  ne 
contestera  que  la  stricte  logique  ne  donne  raison  à  M.  Woigt. 
Mais,  d'autre  part,  on  rappellera  que  l'ouvrage  a,  avant  tout,  un 
but  pratique;  qu'il  est  destiné  à  fournir  au  physicien  les  éléments 
théoriques  qui  lui  servent  constamment,  et  que,  sauf  en  Optique, 
le  physicien  a  plus  souvent  affaire  aux  corps  isotropes  qu'aux  corps 
cristallisés.  Sera-t-il  permis  de  faire  observer  à  ces  esprits  cha- 
grins, s'il  en  est,  que  l'appréciation  du  degré  d'importance  d'un 
problème  est  chose  subjective;  que  l'opinion  d'un  physicien  peut, 
sur  ce  point,  différer  de  l'opinion  d'un  autre;  qu'elle  s'inspirera, 
en  général,  des  recherches  qui  ont  surtout  occupé  ce  physicien, 
des  questions  qui  l'ont  particulièrement  passionné  ;  que  M.  Woigt, 
dont  la  vie  a  été  consacrée  aux  études  les  plus  minutieuses  et  les 
plus  difficiles  de  physique  cristalhne,  a  bien  le  droit  de  professer, 
touchant  l'importance  des  problèmes  concernant  les  corps  cristal- 
lisés, des  idées  différentes  de  celles  qui  sont  communément 
acceptées. 

D'ailleurs,  si  le  physicien,  qui  demande  seulement  un  traité  de 


i8o  PU  11  RI  I  EU  K  PAUTIH. 

IMiysifjiic  llicoiicjiic  le  plus  coiiiL  cL  le  [)lii.s  condensé  possible,  se 
plaignait  de  la  place  un  peu  large  occupée  dans  le  Compendiuni 
j)ar  les  équations  relatives  aux  corps  cristallisés,  il  serait  bientôt 
contredit  par  Flioinme  de  science,  qui  s'intéresse  surtout  aux  idées 
de  l'auteur,  et  (|ui  est  heureux  de  trouver,  dans  ce  livre,  un  ré- 
sumé succinct  de  travaux  publiés  par  M.  Woigt  dans  des  recueils 
souvent  difficiles  à  consulter.  11  nous  est  arrivé,  autrefois,  de 
donner  une  tliéorie  de  la  pjro  et  de  la  piézo-électricité,  dont  les 
principaux  résultats  avaient  été  trouvés,  depuis  plusieurs  années, 
par  le  professeur  de  Gœttingue;  ce  plagiat  involontaire  nous  eût 
été  épargné  par  le  Compcndium,  où  la  théorie  des  phénomènes 
pjro-électriques  est  développée  à  titre  d'exemple  de  la  notion  de 
potentiel. 

Parmi  les  Chapitres  consacrés  aux  cor])s  cristallisés,  il  en  est 
un  qui  nous  semble  particulièrement  utile  et  conforme  au  but 
pratique  du  livre  :  c'est  celui  où  l'auteur  examine  la  symétrie  des 
divers  systèmes  cristallins  et  montre  quelle  réduction  les  éléments 
de  symétrie  propres  à  chaque  système  apportent  au  nombre  des 
coefficients  indépendants  des  diverses  formes  de  fonctions  que 
Ton  peut  avoir  à  traiter  en  Physique.  Tous  ceux  qui  se  sont 
occupés  de  physique  cristalline  savent  combien  les  erreurs  se 
glissent  aisément  dans  les  réductions  de  ce  genre;  ils  seront  heu- 
reux d'en  trouver  ici  les  résultats  établis  d'avance  par  des  méthodes 
s  lires. 

M.  Woigt  ayant  eu  surtout  pour  but  d'exposer  les  théorèmes 
généraux  et  les  équations  fondamentales  de  la  Physique  mathéma- 
tique, on  ne  trouve  guère,  dans  son  Compendiiim,  de  discussion 
touchant  les  principes  physiques  des  théories  ou  les  hypothèses 
sur  lesquelles  elles  reposent;  on  y  lit,  par  exemple,  d'une  part, 
la  théorie  de  l'élasticité  fondée  sur  l'attraction  moléculaire,  d'autre 
part,  la  théorie  qui  regarde  les  tensions  comme  de  simples  forces 
de  liaisons^  mais,  nulle  part,  on  ne  trouve  les  raisons  qui  militent 
pour  ou  contre  l'adoption  de  l'une  ou  de  l'autre  théorie;  de  même, 
la  tension  superficielle  est  introduite  dans  l'étude  de  la  capillarité 
sans  aucun  examen  des  hypothèses  qui  ont  conduit  à  la  considérer; 
sans  doute,  le  lecteur  comprendra  qu'un  Compcndium  ne  sau- 
rait accorder  une  large  place  à  des  discussions  presque  philoso- 


COMPTAS   lU^NDUS  lîT  ANALYSES.  i«i 

|)lii(|ii('s;  loiildois,  le  pli)  sicicii  r('^rcll(îra  [)iir(()i.s  <l<;  nu  pas 
li()n\(M-,  dans  \c  livre  dont  nous  rendons  complc,  au  moins  une 
cs(piiss(;  de  certaines  de  ces  discussions. 

l'cuL-t'Iic  rc^rcLleia-l-il  aussi  (pie  certaines  parties  du  livre 
aient  uik;  touiMiui'e  trop  i^énérale  et  trop  abstraite;  il  é|)rouv(;ra 
siiilout  ce  sentiment  en  étudiant  les  applications  de  la  Thermo- 
d)'nami(pic;  sans  doute,  les  théorèmes  généraux  de  Gibljs  sur  les 
systèmes  formés  dey>  composants  distribués  en  n  phases  mettent, 
dans  beaucoup  de  questions  de  Chimie,  un  ordre  admirable;  ce- 
pendant, une  étude  complète  du  passage  de  l'état  liquide  à  l'état 
gazeux,  ou  de  la  dissociation  dans  un  système  qui  renferme  des 
gaz  parfaits,  intéresserait  peut-être  davantage  un  plus  grand 
nombre  de  lecteurs. 

Ces  légères  critiques  ne  doivent  pas  étonner^  ni  tromper  sur 
notre  pensée;  il  serait  bien  étrange  qu'un  physicien  soit,  pendant 
six  cents  pages,  toujours  d'accord  avec  un  autre;  mais  nous  avons 
pensé  qu'en  montrant  le  peu  que  nous  trouvions  à  reprendre 
dans  le  livre  de  M.  Woigt  et  le  caractère  tout  subjectif  des  quel- 
ques reproches  que  nous  nous  sommes  permis  de  formuler,  nous 
marquerions,  mieux  que  par  de  longs  éloges,  toute  l'estime  que 
nous  avons  pour  cet  Ouvrage  et  toute  l'utilité  que  nous  lui  attri- 
buons. 

A  ces  quelques  remarques  joignons  seulement  la  liste  des 
Chapitres  traités  dans  ce  premier  Volume  : 

Inlroduciion.  —  Lois  physiques  et  constantes,  unités  et  di- 
mensions. 

PiiEMiEiii':  Partie.  —  Mécanique  des  corps  solides. 

Chapitre  I.  —  Mouvement  d'un  point  matériel. 

Chapitre  II.  —  Mouvement  d'un  système  de  points  matériels 
(ce  Chapitre  contient  la  théorie  cinétique  des  gaz). 

Chapitre  III .  —  Mouvement  des  corps  solides  (ce  Chapitre 
contient  la  théorie  des  systèmes  cycliques  et  la  théorie  électro- 
dynamique  de  Maxwell,  la  théorie  moléculaire  de  Félaslicité, 
l'élude  de  la  synu'lrie  rrislalline). 


i82  PRIiJMlÈllE   PAinili. 

CJiapilre  IV .  —  Les  fonctions  poLcnlicllcs  (ce  Gliapilie  eon- 
lienl  la  ihéorie  moléculaire  de  la  pyro  et  de  la  piézo-élcclricilé). 

Deuxième  Partie.  —  Mécanique  des  corps  non  solides. 

Chapilre  /.  —  lujualions  fondamentales  de  l'équilibre  et  du 
mouvement  des  corps  non  solides. 

Chapitre  II.  —  Hjdroslaliquc  (ce  Chapitre  contient  la  théorie 
de  la  capillarité  et  la  théorie  de  l'équilibre  électrique  sur  les 
corps  conducteurs). 

Chapilre  III.  —  Dynamique  des  fluides  parfaits  (ce  Chapitre 
renferme  la  théorie  de  la  conductibilité  calorifique  et  élastique). 

Chapitre  IV.  —  Elasticité  et  acoustique. 

Chapitre  V.  —  Frottement  interne  et  elastische  Nacliwir- 
kiing. 

Troisième  Partie.  —  Théorie  de  la  chaleur. 
Chapitre  I .  —  Transformations  thermomécaniques. 
Chapitre  II.  —  Transformations  thermochimiques. 

P.   DuHEM. 


La  Géométrie  analytique  d'Auguste  Comte.  Nouvelle  édition  précédée  do 
la  Géométrie  de  Descartes,  i  vol.  in-8",  112-598  p.,  3  pi.  Paris,  Louis  Balil; 
Rio  de  Janeiro.  F.  Briguict,  189.1. 

La  Géométrie  analytique  d'Auguste  Comte,  parue  en  i843, 
était  devenue  excessivement  rare.  Les  adeptes  du  Positivisme,  ré- 
pandus sous  des  latitudes  très  diverses,  accueilleront  sans  doute 
avec  faveur  cette  œuvre  de  leur  Maître,  à  laquelle  il  semble  avoir 
attaché  quelque  prix  :  cette  réédition  excitera  ailleurs  une  curio- 
sité qui  ne  peut  guère  manquer  d'en  assurer  le  succès.       J.  T. 


'■■ri3C»i' 


iMt-lLANCiKS.  18} 


MELANGES. 

RÉPONSE  AUX  REMARQUES  DE  M.  CANTOR  (•); 
Pau  1\I.  II. -G.  ZKUTIIEN. 

J'accepte  volontiers  la  traduction  donnée  par  M.  Canlor  des 
paroles  que  j'avais  citées  en  allemand,  et  les  explications  suivantes 
de  M.  Gantor  me  montrent  que,  dans  la  mienne,  je  m'étais  rendu 
coupable  d'un  malentendu.  J'avais  trop  fixé  mon  attention  sur  ce 
qui  est  toujours  pour  moi  V essentiel  àd^ns  la  phrase  de  M.  Canlor, 
savoir  les  rapports  présumes  des  quatre  premiers  Livres  d'Apollo- 
nius avec  les  lecteurs  qui  ne  voulaient  savoir  que  le  strict  néces- 
saire pour  résoudre  le  problème  Délique.  Le  renvoi  de  ces  lecteurs 
aux  coniques  d'Apollonius,  et  la  supposition  qu'un  tel  lecteur 
arrivât  au  bout  du  Livre  IV,  caractérisent  selon  moi  assez  mal  le 
riche  continu  de  ces  livres  pour  me  permettre  de  dire  encore  que 
les  remarques  de  M.  Cantor  en  voilent  les  plus  grandes  beautés. 
Qu'on  se  rappelle  que  le  mot  souligné,  opposé  à  la  prétention  de 
donner  le  contenu  nu  {nackte  Inhalt),  n'était  qu'une  réplique  à 
une  remarque  dont  l'adresse  n'était  pas  douteuse  pour  moi. 

Si  j'ai  cru  qu'il  ne  fallait  pas  négliger  entièrement  mes  expli- 
cations de  la  Géométrie  supérieure  des  anciens  et  mes  contributions 
à  en  faire  voir  la  portée,  les  hypothèses  que  j'y  ai  fondées  ne  sont 
nullement  mes  seuls  motifs  de  cet  espoir.  Je  fais  ici  cette  remarque 
parce  que,  à  côté  de  sa  correction  de  ma  traduction,  M.  Gantor 
s'occupe  exclusivement  de  deux  de  ces  hypothèses.  Il  y  oppose 
quelques  faits  historiques,  auxquels  je  crois  avoir  eu  tous  les 
égards  possibles  en  formant  ces  hypothèses  (-). 

Quant  à  la  dernière  de  ces  hypothèses,  celle  que  M.  Gantor 
appelle  la  grande  pièce  de  résistance  de  mes  Coniques  dans  V anti- 
quité^   je  n'ai  pas  parlé,  dans  mon  précédent  article,  de  ma  resti- 


(•)  Voir  Bulletin,  t.  XIX,  p.  64  et  suiv. 

(  =  )  Je  n'oublierai  jamais  ce  que  je  dois  à  cet  égard  à  réminent  historien  des 
INIathematiqucs  qui  est  à  présent  mon  adversaire  :  j'ai  toujours  eu  recours  à  ses 
Leçons  pour  éviter  d'oublier  les  égards  historiques  dans  mes  explications  mathé- 
matiques. 


i8i  PUEMlÈIUv  PAin  IH. 

liition  des  lieux  à  liois  cl  à  c|MaLrc  droites.  C'csl  Apollonius  qui 
caractérise  la  porlce  de  son  troisième  Livre  en  parlant  de  ces  pro- 
blèmes. En  remarquant,  de  mon  coté,  que  les  trois  derniers  théo- 
rèmes de  ce  Livre  contiennent  de  fait  la  démonstration  (ju'une 
conique  quelconque  est  un  lieu  à  trois  droil.es,  je  rappelle  seule- 
ment un  fait,  que,  du  reste,  j'aurais  pu  mentionner  d'une  manière 
plus  précise  :  ce  sont  les  démonstrations  de  ces  théorèmes  qui 
contiennent  cette  propriété  d'une  conique  quelconque.  On  la 
trouve  de  fait,  mais  non  pas  énoncée  formellement,  dans  l'édi- 
tion Ileiberg,  t.  I,  p.  l\/\'i^  ligne  lo;  p.  44^,  1.  2-3;  p.  448,  L  24-20. 
Ma  restitution  du  lieu  à  quatre  droites  contient  trop  de  détails 
pour  que  je  puisse  émettre  la  prétention  d'y  avoir  surmonté  toutes 
les  difficultés  de  la  manière  la  plus  plausible.  J'attends  donc  avec 
M.  Cantor,  et  peut-être  plus  impatiemment  que  le  célèbre  histo- 
rien, que  d'autres  connaisseurs  de  la  Géométrie  ancienne  s'oc- 
cupent de  la  même  question. 


COMPTHS   UKXDUS   V/V   ANALVSI-IS.  i8' 


coMTTKs  iu:ni)us  i:t  analyses. 

JORDAN  (C).  —  Cours  d'Analysk  a  i/fuioLi-:  PoLVTRnixrQiii:;  'i"  édition. 
Tome  11  :  Calcul  intégral,  i  vol.  in-8",  XVI11-G27  p.  Paris,  Gauthicr-Villais 
et  fils;  1894. 

Nous  avons  dit  rcceniment  (')  clans  quel  sens  M.  C.  Jordan 
avait,  en  publiant  la  seconde  édition  de  son  Cours  d'Analyse, 
modifié  l'exposition  des  principes;  le  Calcul  intégral  est  natu- 
rellement modifié  dans  le  même  sens,  et  l'auteur  a  mis  tous  ses 
soins  à  préciser  les  concepts  et  les  énoncés,  en  leur  laissant  toute 
la  généralité  ou  toute  la  largeur  possibles  :  il  suffira  de  signaler, 
dans  cet  ordre  d'idées,  la  façon  nouvelle  dont  Tauteur  a  présenté 
la  notion  d'intégrale  définie  simple  ou  multiple,  dans  le  cas  des 
limites  finies  ou  infinies,  les  conditions  sous  lesquelles  on  peut  in- 
tégrer ou  différencier  sous  le  signe  f,  modifier  l'ordre  des  intégra- 
tions, etc. 

La  théorie  du  potentiel  a  été  augmentée  des  propriétés  fonda- 
mentales des  fonctions  harmoniques  qui  se  déduisent  immédiate- 
ment du  théorème  de  Green.  Le  principe  de  Dirichlet  est  établi 
dans  le  cas  simple  où  la  surface  limite  est  une  sphère.  On  notera, 
dans  le  Chapitre  relatif  aux  séries  de  Fourier,  l'extension  que 
l'auteur  donne  au  second  théorème  de  la  moyenne,  et  encore, 
dans  le  Chapitre  sur  les  intégrales  complexes,  diverses  additions 
intéressantes,  qui  concernent  notamment  le  cas  où  les  extrémités 
du  chemin  d'intégration  sont  des  points  critiques,  et  le  théorème 
relatif  à  l'existence  de  n  racines  infiniment  petites  de  l'équation 
en  z 

f{z,  W,  V,  W,   .  .  .)  =  G, 

dont  le   premier   membre  est  une   fonction  analytique   régulière 
pour  ;;  =  o,  «  ;=  o,  ç  -.=  o^  . .  .,  telle  que 

f{z,  0,0,0,  ...) 


(')  Bulletin,  t.  XVII,  p.  i49- 
Bull,  des  Sciences  mathéni.,  2"  série,  t.  XIX.  (Septembre  iSgô.) 


i86  ruEMiÈur:  pautir. 

conlicnnc  z"  on  l'acLciir.  On  rcniiir(jiicra  aussi,  dans  ce  mcmc 
Cfiapilro,  une  tendance  plus  accenluée  à  allrlhuer  un  rôle  ini- 
porlantaux  s(;ries  enlièrcs  dans  la  consLiliilion  de  Tidée  de  fonc- 
tion d'une  varial)l<i  complexe.  Mais  la  inodificalion  la  |)lus  pro- 
fonde de  l'Ouvrage  conceine  la  llx'oricî  d(!S  fonctions  (dlipliqnes 
et  celle  des  fonctions  abélienncs.  Avec  nn  art  (pTon  ne  peut 
manquer  d'admirer,  M.  G.  Jordan  est  j)arvenu  à  exposer  en 
deux  cents  paires  les  points  les  plus  essentiels  de  la  lliéorie  des 
fonctions  elliptiques.  Nous  croyons  utile  de  résumer  rapidement 
l'ordre  qu'il  a  adopté  :  le  lecteur  sera  ainsi  renseigné  sur  la  richesse 
et  la  variété  des  sujets  qu'a  traités  M.  Jordan. 

Quelques  pages  sont  d'abord  consacrées  à  la  notion  de  période 
(périodes  primitives,  réseau  des  péiicules,  iin|)Ossil)ilité  d'une 
fonction  analytique  uniforme  ayant  plus  de  deux  périodes,  etc.), 
puis  à  la  décom[)osition  en  substitutions  élémentaires  d'une  substi- 
tution linéaire  à  coefficients  entiers.  I^'auteur  introduit  ensuite  la 
notion  de  ce  qu'il  appelle  le  triangle  principal  :  si  :>.0,,  2Q25 
2Q:i  sont  trois  périodes  primitives  liées  par  la  relation 

2l2i+  2 122+  '2123=  o; 

si  l'on  considère  un  triangle  MNP  dont  les  cotés,  parcourus 
dans  un  sens  convenable,  représentent  respectivement  ces  périodes, 
ce  triangle  sera  dit  principal  s'il  n'a  jias  d'angle  obtus.  Le  tri- 
angle symétrique  de  MNP  par  rapport  à  l'un  des  sommets  repré- 
sente, de  la  même  façon,  les  trois  j)ériodes  j)rimitives  — 2Q,, 
—  P,Qo,  —  2II3;  c'est  encore  un  triangle  principal;  il  n'y  a  que 
ces  deux  triangles  qui  soient  princi[)au\  si  les  trois  angles  sont 
aigus;  si  l'un  d'eux  est  droit,  il  y  a  deux  autres  triangles  prin- 
cipaux; l'importance  du  triangle  principal  consiste  en  ce  qu'il 
fournit  les  périodes  primitives  de  module  minimum  et,  par  suite 
aussi,  le  moyen  de  choisir  les  deux  périodes  primitives,  généra- 
trices du  réseau,  de  façon  que,  dans  leur  ra[)porl,  le  coefficient  de  i 
soit  le  plus  grand  possible. 

Après  avoir  établi  les  théorèmes  généraux  sur  les  fonctions  dou- 
blement périodiques,  l'auteur  introduit,  comme  M.  Weierstrass, 
les  fonctions  iit^  "Çu,  pu  dont  il  développe  les  propriétés  élé- 
mentaires. 


COMPTAS   UIi:NM)US   IVY  ANALYSES.  187 

P;ii'IanL  cnsiiilc  de  I  ccjiialioii  <liir(';r(;nLicllc; 

{Èï  ^ '""^ ^"  - ^" 

où  Ton  sn|)j)()sc  ^2}  A':i  donnes  de  façon  (ju(;  le  second  membre 
ail  ses  trois  racines  <",,  Cy,  e-^  iné<;alcs,  il  élablil  qu'elle  est  vé- 
rifiée par  une  fonclion  m('romor|)he  de  //,  en  admettant  les  pro- 
positions de  la  lliéorie  des  équalionsdilIVirentielles  dont  il  a  besoin; 
il  est  ensjiite  aisé,  comme  on  sait,  de  (b'inonlrer  que  cette  fonc- 
tion est  doublcmenl  périodique  et  d'établir  les  pro|)riétés  relatives 
aux  pôles;  mais  Fintérét  de  la  démonstration  de  M.  Jordan  con- 
siste à  montrer  d'une  façon  très  simple  comment  les  trois  périodes 
auxquelles  il  est  conduit  forment  un  triangle  principal  et 
comment  le  coefiicient  de  /,  dans  le  rapport  des  deux  premières, 
est  positif.  11  étudie  dans  le  même  oidre  d'idées  le  cas  où  les  trois 
racines  e,,  Co,  e^  sont  réelles  et  celui  où,  l'une  étant  réelle,  les 
deux  autres  sont  imaginaires  conjuguées,  puis  les  cas  particu- 
liers où  le  triangle  principal  est  isoscèle  et  rectangle,  ou  équila- 
téral. 

Après  avoir  exposé  les  divers  moyens  de  représenter  une  fonc- 
tion elliptique  qui  admet  les  mêmes  périodes  que  J3w,  il  établit  les 
propriétés  fondamentales  relatives  à  l'addition  et  à  la  multiplica- 
tion. Un  paragraphe  intéressant  tiailc  de  la  détermination  des 
quantités 


et,  en  particulier,  de  celles  de  ces  quantités  qui  correspondent  aux 
périodes  principales.  Il  passe  ensuite  à  l'étude  des  cofonctions  et 
de  leurs  quotients,  et,  en  particulier,  des  fonctions  classiques 
snz/,  en;/,  dn;^,  puis  à  l'étude  des  fonctions  2^,  introduites  a 
priori;  il  insiste  sur  le  moyen  pratique  d'exécuter  les  calculs  re- 
latifs aux  fonctions  elliptiques.  Il  traite  des  fonctions  de  seconde 
et  de  troisième  espèce,  des  développements  en  séries  trigonomé- 
triques,  des  dérivées  prises  par  rapport  aux  périodes  et  aux  inva- 
riants ^0,  ^3;  l'étude  de  la  fonction  J(t)  fournit  un  exemple  bien 
net  de  fonction  modulaire  ;  M.  Jordan  étudie  aussi  l'elî'et  des  sub- 


i88  PRliMlEUr:  PARTIE. 

stilnlions  élcmentaires  sur  les  produits 

n  —-  00 
Cpi(x)=   /-I^'"'^  J[j[(H-r/2^), 

n  —  <*> 

n  -  1 
_  .  n  =  00 


n  =  1 


La  division  est  Irailée  avec  détails  pour  la  fonction  pu.  L'auteur 
montre  comment  le  problème  dépend  de  la  division  des  périodes; 
il  développe  les  réductions  successives  de  ce  dernier  problème,  et 
montre  enfin  comment  sa  résolution  dépend  de  la  résolution  des 
équations  modulaires.  Abordant  ensuite  le  problème  de  la  trans- 
formation, il  traite,  toujours  pour  la  fonction  j)i/,  de  la  transfor- 
mation du  second  ordre  et  de  la  transformation  d'ordre  impair  et 
montre,  en  particulier,  d'après  M.  Kiepers,  comment  le  produit 


n 


,0  ^-  l^Wl 


lorsque  n  est  premier  à  3,  est  le  cube  d'une  fonction  rationnelle  et 

symétrique  de 

2Wi  ^(jii  (n  —  i)wi 

P '     P y     P~ —  ? 

n  n  n 

et  développe  les  conséquences  de  cette  proposition  pour  la  forma- 
lion  des  équations  modulaires.  ]1  consacre  quelques  pages  à  la 
multiplication  complexe  et  termine  cet  important  Chapitre  en 
traitant  de  l'intégration  des  différentielles  abéliennes  de  genre  i; 
il  donne  à  ce  propos  quelques  développements  sur  la  méthode  de 
M.  Bruns  pour  l'intégration  des  différentielles  elliptiques 

où  X  est  un  polynôme  du  quatrième  degré,  sur  l'intégration  de 
Téquation  d'Euler,  et  les  polygones  de  Poncelet. 


MÉLANGES.  189 

r.(^  (iliapilic  sur  les  Inlégralos  abélieiines  ne  fij^iirail  pas  dans  la 
prcniiiTC  ('cliLioii. 

[j'aiilcur  |)arl.  (TurK;  rclalion  alj^chriqiif  iiT<';(liiclil)lc  pr('j)aréc 
au  mojcn  de  liansfonnalions  hiralionncllcs  ou  liomograpliiqucs 
de  manière  à  en  sitn[)Ii(ier  le  jilus  possible  les  singularités  :  il  in- 
troduit le  système  de  coupures  canoniques  que  M.  Lùroth  a  appris 
à  former.  Il  expose  ensuite  la  conception  de  la  surface  de  Riemann 
et  les  propositions  essentielles  relatives  à  la  connexité,  aux  sys- 
tèmes de  coupures,  aux  lignes  équivalentes  ;  définit  les  intégrales 
abéliennes  et  leurs  périodes  (premières  et  deuxièmes  périodes 
cycliques,  et  périodes  polaires),  démontre  le  théorème  d'Abel, 
traite  de  la  réduction  des  intégrales  abéliennes  et  enfin  du  pio- 
blème  de  Tinversion. 

En  résumé,  celte  seconde  édition  constitue  à  bien  des  égards 
un  Livre  nouveau,  et  c'est  ce  qu'il  importe  de  faire  savoir  au 
lecteur.  Quant  au  mérite  de  ce  Livre,  aux  services  qu'il  ne  peut 
manquer  de  rendre  tant  aux  étudiants  qu'à  leurs  maîtres,  le  nom 
de  l'auteur  nous  dispense  assurément  d'en  rien  dire.         J.  T. 


MELANGES. 

NOTICE  SUR  CAYLEY  ('); 
Far  m.  BRIOSCHI. 

J'ai  le  pénible  devoir  d'annoncer  à  l'Académie  la  perte  de  son 
illustre  Associé  étranger,  Arthur  Cayley  ;  je  crois  être  l'interprète 
des  sentiments  de  l'Assemblée  et  de  tous  ceux  qui  cultivent  les 
Sciences  mathématiques,  en  adjoignant  cette  Notice  sur  la  vie  et 
les  œuvres  du  grand  mathématicien  anglais. 

Arthur  Cayley  naquit  le  16  août  1821  à  Richmond  ,  dans  le 
comté  de  Surrey.  Sou  père  était  associé  dans  la  maison  de  com- 


(')  KxUiiil  (les  AlLi  dclla  reale  Acadcmia  dci  Lincci. 


I 


iQo  PREMIÈHIi:   PAHTIIÎ. 

mcrcc  Tliornton,  Mclvillc  cl(^ajlcj,  cominorçanls  à  Pctcrsboiirg. 
Arlhur  eiil  deux  frrres,  l'un  mort  en  bas  â^^^o,  l'autre  très  versé 
dans  la  lilléralure  italienne  et  traducteur  de  Dante. 

En  l'année  iH:>a),  la  famille  Cavlej  al)andonna  la  lUissie  et  élut 
domicile  à  Blacklicath,  près  Londres.  Là,  Arthur  commença  ses 
études  dans  une  école  privée,  puis  fui  envoyé,  à  l'âge  de  quatorze 
ans,  au  King^s  Collège  de  Londres  pour  les  continuer.  Le  direc- 
teur (lu  collège  remarqua  bien  vite  les  aptitudes  extraordinaires 
du  nouvel  élève  ])0ur  les  études  mathématiques,  et  conseilla  à  son 
père  de  lui  faire  abandonner  la  carrière  du  commerce  pour  suivre 
les  cours  de  l'Université  de  Cambridge;  le  conseil  fut  aussitôt 
suivi,  et  Arthur  fut  admis  extraordinairement  au  Trinity  Collège 
à  l'âge  de  dix-sept  ans.  Il  en  sortit  en  1842,  après  avoir  obtenu 
les  grades  les  plus  élevés  dans  les  études  classiques  et  mathéma- 
tiques. Un  de  ses  biographes  mentionne  que  Gajley  ne  brilla  pas 
parmi  les  jeunes  gens  les  plus  habiles  en  gymnastique;  il  fut 
pourtant,  durant  de  longues  années,  l'un  des  membres  les  plus 
actifs  du  Club  alpin. 

Les  brillants  succès  de  Cayley  lui  valurent  le  rare  honneur 
d'être  élu  fellow  au  Trinity  Collège,  en  cette  môme  année 
1 84'^  ;  mais  il  ne  pu  t  occuper  cette  position  que  pendant  quelques 
années,  car  il  ne  voulut  pas  entrer  dans  les  ordres  sacrés.  Une 
nécessité  impérieuse  obligea  alors  Cayley  à  choisir  une  carrière 
plus  rémunératrice  que  celle  des  Mathématiques;  et,  en  effet, 
après  avoir  rapidement  obtenu  le  titre  de  inaster,  il  entra  dans 
l'étude  de  M^  Cristie,  notaire  à  Londres.  On  raconte  qu'en  pos- 
tulant sa  charge,  Cayley  ne  souffla  |)as  mot  de  sa  brillante  carrière 
universitaire;  aussi  M*^  Cristie  fut-il  profondément  étonné  quand 
il  connut  la  véritable  situation  du  candidat.  Cayley  devint  bientôt 
l'élève  favori  de  l'étude  Cristie,  et  vit  enfin  sa  position  financière 
solidement  établie.  Il  resta  dans  cette  étude  pendant  quatorze  ans, 
de  1849  ^  i8C3;  et  il  n'est  pas  superflu  de  remarquer  que  la  partie 
de  l'œuvre  scientifique  de  Cavley,  conçue  dans  cette  période, 
suffirait  seule  à  rendre  son  nom  impérissable. 

En  l'année  i863,  une  femme  intelligente  et  généreuse,  lady 
Sadler,  laissa  en  mourant  une  certaine  somme  pour  fonder,  à 
l'Université  de  Cambridge,  une  chaire,  dont  le  titulaire  devait 
enseigner  les  Mathématiques  pures  et  appliquées  et   contribuer 


MÉLANGliS.  191 

;mx  prc)j;i('s  de  ccMlc  Sciciicc.  L'Uiiivci  silc  sVîniprcssa  (ruHrir 
cvMc  cUiùvc  à  (liiylcy,  (|iii  FiliésiUi  pas  à  ahandouiicr  la  j)OsiLion 
|)Iiis  lucrative  (jii'il  avail  à  Londres  pour  S(;  consacrer  ('OfDpIclc- 
nuMil  aux  Malhcinalicjucs.  il  se  maria  en  [H67)  et  vint  liahiler,  à 
Cambridge,  une  maison  modeste,  mais  agiéahie;  (piel(pies-uns 
(l'cnlie  nous  l'y  visitèrent  et  reçurent  l'accueil  le  plus  corcJial. 

Il  mourut  le  .>.6  du  mois  de  juin,  aj)rès  avoir  souflert  (pielquc 
lcm[)s  d'une  maladie  de  vessie,  laissant  une  veuve  et  deux  (ils  qui 
l'avaient  constamment  entouré  de  leur  allection.  Les  plus  grandes 
institutions  scientifiques  anglaises  se  (iient  représenter  à  ses  ob- 
sèques par  leurs  maîtres  les  plus  éminents. 

Le  mol  de  prédilection  de  Ca^ley  :  Poilus  esse  quam  viderij 
donne  une  juste  idée  de  ses  qualités  morales;  mais,  pour  juger 
de  ses  rapports  avec  les  autres  géomètres,  on  ne  peut  donner 
de  meilleur  témoignage  que  les  paroles  prononcées  par  INL  lier- 
mite  à  l'Académie  des  Sciences,  pendant  la  séance  du  4  fé- 
vrier : 

((  J'ai  eu  une  part  dans  quelques-unes  des  recherches  de 
Gajiej;  les  mêmes  cjuestions  nous  avaient  rapprochés  au  com- 
mencement de  notre  carrière,  et  le  souvenir  me  restera  à  jamais 
de  sa  bonté,  de  sa  grande  simplicité,  de  son  entier  dévouement 
à  la  Science.  Je  joins  ce  souvenir,  qui  m'est  bien  cher,  à  mes 
douloureux  regrets,  à  l'hommage  que  j'adresse  à  sa  mémoire.  » 

L'œuvre  scientifique  de  Gajlej  est  si  prodigieuse,  si  vaste,  qu'il 
est  difficile  de  la  résumer.  Elle  se  compose  de  800  Mémoires  et 
d'un  Livre  sur  la  Théorie  des  fonctions  elliptiques.  Les  Collée- 
ted  niatlieniatlcal  Papers,  le  plus  digne  monument  que  le  Con- 
seil de  l'Université  de  Cambridge  puisse  élever  à  la  mémoire  de 
l'illustre  géomètre,  se  composent  déjà  de  sept  Volumes,  et  cinq 
nouveaux  Volumes  seront  encore  nécessaires  pour  rassembler 
tous  les  écrits  de  Cajlej. 

Bien  que  Cayley  soit  revenu  souvent  sur  ses  pas  pour  traiter 
les  mêmes  questions,  il  n'y  a  pas  de  dilTérences  dans  la  méthode 
et  la  forme  de  ses  divers  écrits,  et  les  résultats  obtenus  par  cette 
méthode  et  celte  forme  si  personnelles  en  démontrent  la  singu- 
lière puissance.  Il  est  donc  nécessaire  de  faire  une  classification 
avant  de  procéder  à  l'examen  des  différents  travaux. 


192  PUHMIKUF.   l'AUTIF. 

La  classification  la  plus  commode  me  paraît  être  la  suivante  : 
Mémoires  se  rapporlaul  :  i"  à  la  théorie  des  formes;  2"  à  la  théorie 
des  fonctions  ellipticpies  et  hvjierelliptlcpies  ;  3"  aux  recherches 
géométriques;  4"  à  la  Mécanique  rationnelle. 

Quelques  petits  travaux  d'analyse  sur  les  intc'grales  définies  et 
l'intégration  des  équations  échappent  à  cette  classification;  mais 
leur  importance  n'est  pas  comparable  à  celle  des  travaux  compris 
dans  les  quatre  classes  établies  plus  haut. 

La  première  classe  s'étend  à  tous  les  travaux  de  Cajley  sur  les 
déterminants,  sur  les  transformations  linéaires,  sur  les  hjperdé- 
terminants  et,  en  général,  sur  toutes  les  questions  réunies  sous  le 
titre  :  Théorie  des  formes.  Le  premier  travail  de  Gajiej  est  de 
l'année  1841,  il  était  encore  élève  au  Trlnity  Collège.  Le  titre, 
Sur  un  théorème  de  Géométrie  de  position,  est  géométrique, 
mais  le  théorème  est  relatif  à  la  multiplication  des  déterminants, 
et  la  recherche  géométrique  de  la  relation  entre  les  distances  de 
cinq  points  dans  l'espace  est  une  application  de  ce  théorème.  On 
voit  déjà  apparaître  dans  ce  travail  de  jeunesse  la  forme  élégante 
et  symétrique  qui  est  le  caractère  prédominant  de  toutes  les 
œuvres  de  Gaylej. 

La  théorie  des  déterminants  occupa  à  plusieurs  reprises  l'esprit 
de  Cajiej;  il  fit,  le  premier,  connaître  les  propriétés  de  cette 
classe  de  déterminants,  à  laquelle  il  donna  le  nom  de  détermi- 
nants gauches  et  symétriques  gauches,  et  il  appliqua  avec 
beaucoup  de  succès  ces  propriétés  au  problème  de  la  transforma- 
tion d'une  forme  quadratique  en  elle-même  par  des  substitutions 
linéaires. 

Les  deux  Mémoires  des  années  i845  et  1846,  portant  le  titre 
Sur  la  théorie  des  substitutions  linéaires,  publiés  d'abord  dans 
le  Journal  de  Mathématiques,  de  Cambridge,  et  reproduits  dans 
le  Journal  de  C relie,  sous  le  titre  :  Mémoire  sur  les  hyperdé- 
terminants,  renferment  les  principes  de  ces  recherches  sur  les 
propriétés  invariantes  de  certaines  fonctions  algébriques  qui  ont 
tant  agrandi  le  domaine  de  l'Algèbre  et  qui  firent  écrire  au  pro- 
fesseur Salmon  :  «  C'est  dans  cette  découverte  de  Cavlej  que  se 
trouve  l'origine  de  la  nouvelle  Algèbre.  » 

Quand  Salmon  exprimait  ce  jugement  si  conforme  à  la  vérité, 
on  n'avait  pas  encore  étendu  le  concept   d  invariance  à  d'autres 


MELANGES.  i<)\ 

ItiMiiclK's  (le  r  \ii;il)'.so;  lions  pouvons  dire  ;m joindlim  (|ii<'  j)rc^(jii(' 
tous  les  |)roi;ics  faits  en  Anal^'sc  diiiis  l;i  sncondc  inoilié  de  ee  sièele 
sont  dus  à  rc^xlcnsion  doiiiiéc  ù  ec  coiiccpL. 

Diiiis  ecs  deux  Mémoires,  Cajlcy  ra[)|)cllc  (|iic  Boole  avait  déjà 
reeoimii  l'invarianee  du  discriminant  et  avait  calculé,  pour  la 
])rcmiérc  fois,  Tinvariant  cubicpie  d'une  forme  l)iquadratique  ;  et 
((ue,  en  outre,  liesse  avait  établi  certaines  propriétés  invariantes 
de  la  forme  cubique  ternaire. 

La  tliéorie  des  hjperdéterminants  attira  à  plusieurs  reprises 
l'attention  de  Cajley  ;  mais  c'est  |)lus  spécialement  en  l'année 
i854  qne,  par  ses  œuvres  et  celles  d'autres  géomètres,  la  théorie 
des  formes  acquit  le  caractère  d'une  discipline  spéciale. 

Gaylej  adopta  les  dénominations  de  covariants  et  à^ invariants 
introduits  en  Algèbre  par  Sylvester,  établit  pour  la  première  fois, 
en  i854,  les  équations  dKférentielles  qui  doivent  vérifier  ces 
formes  algébriques,  et  commença,  en  cette  même  année,  cette 
série  de  Mémoires  ayant  pour  titre  commun  :  Sur  les  quan- 
tiqiies ,  qui  constituent  à  eux  seuls  un  véritable  Traité  de  la 
question. 

La  part  qui  appartient  aux  deux  éminents  géomètres  Sylvester 
et  Hermite,  dans  la  création  d'une  théorie  si  féconde,  et  les  tra- 
vaux contemporains  de  Salmon  et  d'AronlioId,  et  les  contributions 
des  autres  géomètres,  sont  exposés  avec  beaucoup  de  soin  et 
d'érudition  dans  une  publication  récente;  il  serait  trop  long 
de  revenir  sur  ee  thème.  Il  me  paraît  utile  d'ajouter  une  seule 
observation  :  les  travaux  de  Gayley  et  de  Sylvester  pendant  cette 
période  portent  les  traces  des  nombreuses  communications  ver- 
bales que  se  firent  les  deux  jeunes  mathématiciens,  résidant  l'un 
et  l'autre  à  Londres;  aussi  est-il  malaisé  de  reconnaître,  dans 
chaque  cas,  celui  des  deux  qui  a  eu  la  première  inspiration.  Les 
découvertes  de  la  loi  de  réciprocité,  de  l'invariant  du  dixième 
ordre  des  quantiques,  du  critérium  relatif  aux  racines  réelles  et 
imaginaires,  déterminé  par  les  invariants,  et  des  covariants  asso- 
ciés, sont  dues  intégralement  à  Hermite. 

La  théorie  fondée,  son  application  aux  différents  problèmes 
d'Algèbre  ne  se  fit  pas  attendre.  Le  problème  de  l'élimination, 
celui  des  fonctions  symétriques,  des  fonctions  de  Sturm,  et, 
enfin,    le    problème    plus    important    de    la    transformation    des 


194  PRILMIÈRR  PAUTIE. 

cqualions  allircrent  vile  l'altcnlion  de  Cajlcy  el  des  autres  géo- 
mètres. 

Ce  fut  en  i858  qu'IIermitc  fit  connaître  la  forinule  générale 
de  transformation  des  équations  algébriques,  par  lacjuelle  les 
coefficients  de  l'équation  transformée  résultent  des  invariants  de 
l'équation  primitive.  Cajiev,  adoptant  cette  formule,  l'appliqua 
avec  le  |)lus  grand  succès  aux  équations  d'ordre  trois,  quatre  et 
cinq,  d'abord  d^ns  quatre  Mémoires  ayant  pour  titre  .*  Su/-  la 
transformai LOR  de  TscJiirnausen,  puis  dans  un  autre  :  Sur  la 
transformation  de  Jerrard. 

Le  problème  de  la  détermination  du  nombre  des  invariants  et 
des  covariants  indépendants  fut  l'objet  de  longues  méditations 
de  la  part  de  Gaylej,  et,  bien  ({n'il  n'ait  pas  réussi  à  le  résoudre 
dans  toute  sa  généralité,  ses  recherches  Sur  la  répartition  des 
nombres  ont  une  grande  valeur.  Ce  problème  lui  tenait  tellement  au 
cœur  que,  lorsque  Gordan  eut  démontré  que  le  nombre  de  ces  inva- 
riants était  fini  et  les  eut  calculés  pour  les  formes  des  premiers 
degrés,  Gajlej  communiqua  ce  résultat  important  à  l'Association 
britannique  réunie  à  Edimbourg  en  1871,  et  lui  consacra  son  neu- 
vième Mémoire  sur  les  quantiques;  |)lus  récemment,  en  i88c),  les 
travaux  de  Hilberl  sur  le  môme  sujet  Tamenèrent  à  s'en  occuper 
de  nouveau,  dans  le  Tome  XXXIV  des  Matliematisclie  Annalen. 

La  formule  d'élimination,  relative  au  résullaiit  de  deux  formes 
binaires,  qui  porte  maintenant  en  Analyse  le  nom  de  Cayley,  a 
son  importance  comme  résultat;  mais  elle  a  acquis  une  plus 
grande  importance  à  la  suite  de  l'œuvre  de  Gordan.  en  conduisant 
au  calcul  du  résultant  en  fonction  des  invariants  simidtanés. 

La  nouvelle  Algèbre,  créée  particulièrement  par  l'œuvre  de 
Gajley,  a  pris  possession  de  tant  de  branches  des  IMathématiques 
que,  si  l'activité  de  son  génie  se  fût  arrêtée  là,  l'admiration  des 
géomètres  lui  serait  déjà  due. 

Mais  la  théorie  des  fonctions  elliptiques  d'abord,  ])uis  celles 
des  fonctions  liypcrelliptiques  lui  doivent  une  nouvelle  lumière. 

Les  premiers  travaux  de  Gayley  sur  les  fonctions  elliptiques, 
et  spécialement  sur  l'équation  dififérentielle  de  Jacobi  pour  la 
transformation,  bien  que  remarquables,  ne  portent  pas  autant 
son  empreinte  originale  que  le  Mémoire  de  i858  ayant  pour  titre  : 
Sur  quelques  formules  pour  la  transformation  des  fondions  el- 


MfiLANGKS.  i(j-> 

/infi(/f/('s.  \\rc  l;i  (('•Irhrc  I  ransformiil  ion  duo  à  II(;nnil(!  ol  avec 
les  loiinulcs  rcMjrcniK'cs  (l;ms  ccl,  ('cril,  Ions  les  éléincnls  ponr  lo 
|);»ss;i^<'  (le  rinh'j^ralc  de  Jucohi  cl  d'Alj(d  à  vaiWc  de  Wclcrslrass 
sont  délerniiiK's.  La  liansfornialion  des  fondions  ellipliqncs  (il 
pins  (Tniic  fois  l'objet  des  elï'orls  de  (]ayl(!y,  el  k  ses  premiers 
iMénioires,  pnbliés  dans  les  Philosop/ucal  Jranscœlions  eu  iH^/j- 
i8j8,  fonlsnile  de  pins  récents,  cpie  l'on  tronve  dans  les  Tomes  IX 
et  X  de  V American  Journal  of  Mdlliematlcs  (1807-1 88(S).  Il 
prit  le  i;erme  >\(^  ses  Iravanx  dans  la  formnio  de  transformation 
de  Jacobi  et,  avec  nne  habileté  de  calenl  qni  Ini  était  partienlière, 
il  présenta  les  écpialions  modniaires  sons  nne  nonvelle  forme, 
et  révéla  la  [)ropriété  de  certaines  conrbes  de  pouvoir  être  repré- 
sentées. 

Pendant  riiivcr  de  l'année  1882,  Gaylej  fut  prié  de  donner  une  sé- 
rie de  leçons  à  l'université  Jolins  Ilopkins,  de  Baltimore;  il  accepta 
et  développa  à  un  nouveau  point  de  vue  la  théorie  des  fonctions 
abéliennes  de  Clebsch  et  Jordan,  publiée  en  18GG;  on  trouve  ces 
leçons  rassemblées  dans  les  Tomes  V  et  VII  de  V American 
Journal.  C'est,  à  mon  avis,  un  des  travaux  les  plus  médités 
de  Cayley,  bien  qu'une  notation  un  peu  compliquée  en  rende 
l'étude  difficile. 

Cavley  tira  de  l'étude  des  propriétés  des  fonctions  iheta  la  ma- 
tière d'une  série  de  Mémoires.  11  commença,  en  i  877,  avec  un  tra- 
vail Sur  les  fonctions  thêta  doubles  en  relation  avec  une  surface 
à  16  /lœuds;  pendant  les  années  1879,  1880,  je  distinguerai,  dans 
les  Pliilosophical  Transactions,  l'important  Mémoire  Sur  les 
fonctions  thêta  doubles  singulières,  et  dans  deux  Volumes  du 
Journal  de  Mathématiques ,  de  Borchardt,  le  travail  Sur  les 
fonctions  thêta  doubles  et  triples. 

Ce  qui  prédomine  dans  ces  écrits,  c'est  la  façon  originale  dont 
Gaylej  envisage  les  divers  aspects  des  problèmes  qu'il  traite.  C'est 
là  un  très  grand  mérite,  et  pourtant  cette  originalité  même  est 
cause  que  ces  travaux  n'ont  pas  eu  une  induence  correspondante 
sur  le  dévelopj)ement  normal  des  Mathématiques. 

Je  n'ai  pas  l'intention  d'énumérer  toute  l'œuvre  de  Cayley  sur 
les  fonctions  elliptiques  et  hyperelli[)tiques  ;  mais,  en  restant  dans 
les  limites  (|ui  me  sont  permises,  je  ne  dois  pas  oublier  de  ciler 


196  PREiMIÈRH   PARTIR. 

riinique  Ouvrage  qu'il  ait  publié  :  Trcalise  of  clUplic  Func- 
tions,  édile  en  187G.  [I  adopta  dans  ee  livre  les  notations  de 
Jacobi  et  exposa  les  difTérentes  parties  de  celte  théorie  difficile 
avec  une  clarté  singulière  et  une  grande  rigueur  de  démonstra- 
tion; il  fut  par  là  très  utile  à  ceux  qui  voulaient  s'initier  à  cette 
théorie.  En  publiant  son  Livre,  dix  ans  avant  le  grand  Traité 
d'Halphen,  Cayley  donna  un  exemple  excellent. 

En  examinant  les  sept  Volumes  des  MatJiematical  Papet's  déjà 
publiés  et  les  travaux  de  Gajlej  qui  fourniront  la  matière  des  cinq 
autres,  il  apparaît  clairement  que  les  problèmes  de  Géométrie 
exercèrent  sur  lui  une  grande  attraction.  On  pourrait  dire  de  lui, 
comme  de  quelques  autres  parmi  les  plus  éminents  géomètres, 
qu'à  chaque  progrès  réalisé  en  Analyse  correspond  un  progrès  en 
Géométrie,  et  réciproquement.  C'est  pourquoi  il  lui  arrivait  de 
revenir  à  plusieurs  reprises  sur  les  mêmes  questions  géomé- 
triques; il  les  traitait  à  nouveau  lorsque  les  découvertes  en  Ana- 
lyse faites,  soit  par  lui,  soit  par  d'autres,  lui  fournissaient  un 
instrument  plus  puissant  pour  les  résoudre. 

En  l'année  i844^  il  publia  un  premier  Mémoire  Sur  les  courbes 
planes  du  troisième  ordre,  bientôt  suivi  d'un  autre  en  i845; 
plusieurs  propriétés  nouvelles  de  ces  courbes  y  sont  démontrées, 
mais  la  méthode  de  recherche  est  indirecte.  L'étude  des  formes 
cubiques  ternaires,  la  découverte  de  leurs  invariants,  covariants, 
contrevariants  offraient  un  moyen  de  pénétrer  plus  avant  dans  la 
connaissance  des  propriétés  de  ces  courbes.  Cayley,  reprenant 
cette  étude  dans  son  beau  Mémoire  des  Philosopliical  Transac- 
tions, de  la  Société  royale  de  Londres,  en  i856,  y  laissa  des  traces 
durables;  dans  ce  Mémoire  apparaît  pour  la  première  fois  la 
courbe  qui  porte  son  nom. 

Le  Mémoire  de  184-,  Recherches  sur  V élimination  et  la  théo- 
rie des  courbes,  auquel  fit  suite  un  autre  en  1864  et  avec  le  même 
titre,  sont  un  exemple  de  l'intérêt  que  portait  Cayley  aux  progrès 
de  la  théorie  des  formes  et  de  la  théorie  des  êtres  géométriques. 
Lui-même  l'affirme  par  ces  paroles  :  ((  Mon  but  a  été  de  donner 
une  idée  précise  des  théorèmes  à  démontrer,  pour  former  une 
théorie  toute  analytique  des  polaires  réciproques;  je  n'ai  fait 
qu'avancer  ces  théorèmes  (sans  chercher  à  les   démontrer)  pour 


MfU.ANT,  F.S.  i(,7 

faire  \(»ir  1<mii'  Iinisoii  ;i\<'<-  i:i  iIm'oimc  (le  l'(''liimii;il  ion  cl  MVfc  celle 
des  Im  |)ci(l(lciinm;ii)ls  ;  rcsl  à  celle  dciiilèi-e,  (lu  j);irlieiilicr,  fju'll 
faiil  elc.,  el(".  » 

Les  rcclicrclies  de.  ('nylcy  sur  les  tangentes  doubles  d'une  quar- 
liqiie,  sont  pn'eédc^es  par  le  Mémoire  de  i859  Sur  1rs  tan  fientes 
doubles  cVuiic  courbe  plane.  Déjà  le  nombre  des  tangentes  avait 
élé  déterminé  j^ar  IMncker  et  Jacobi  ;  et  Jïesse  avait  déterminé 
l'équation  du  i/j'"  degré  donnant  les  points  de  contact  de  la  quar- 
tique  avec  ses  tangentes  doubles,  quand  le  travail  magislral  de 
Salmon  en  i858  :  On  tlie  double  tangents  to  plane  curies  posa 
la  solution  du  problème  sur  d'autres  bases.  Le  Mémoire  ci-dessus 
mentionné  de  Cavley  traite  la  question  dans  toute  sa  généralité, 
en  suivant  les  traces  de  Salmon;  et,  avec  une  habileté  de  calcul 
incomparable,  il  donna  la  solution  complète  du  problème  pour 
une  courbe  de  degré  quelconque.  Peut-être  ce  Mémoire  n'est-il 
pas  assez  connu  et  apprécié;  il  contribua  d'ailleurs  lui-même  à  ce 
résultat  en  abandonnant  la  méthode  [)récédenle  dans  ses  Mémoires 
de  1882  et  i883  :  On  tlie  bitangents  of  a  plane  quartic^  pour 
reprendre  la  méthode  particulière  aux  quartiques,  indiquée  par 
Riemann  et  développée  plus  tard  par  Weber. 

Les  singularités  des  courbes  planes,  les  correspondances  de 
points,  la  classification  des  courbes  dans  l'espace,  sont  les  sujets 
de  différents  Mémoires  de  Gajley  '-  les  principaux  sont  justement 
examinés  dans  une  récente  publication  due  à  Brill  et  Nœther. 

Dans  son  Mémoire  de  1849,  ^^^^  ^^^  plans  tangents  triples 
des  surfaces  du  troisième  ordre.,  Caylej  donna  les  principes  de 
ses  recherches  répétées  sur  les  propriétés  géométriques  des  sur- 
faces. La  représentation  des  45  plans  tangents  triples,  contenue 
dans  ce  Mémoire,  sert  d'introduction  à  tous  les  travaux  sur  la 
matière,  spécialement  en  Angleterre,  et,  après  les  travaux  de  Sal- 
mon sur  la  Théorie  des  surfaces  réciproques,  et  de  Cajlej  lui- 
même  dans  son  grand  travail  de  1869,  A  Menioir  on  cubic  sur- 
faces., on  peut  dire  que  dans  le  champ  analytique  le  sujet  est 
épuisé. 

La  surface  de  Steiner,  qui  a  fait  l'objet  d'importants  travaux 
de  Rummer,  Weierstrass,  Gremona  et  Schroter;  la  surface  du 
quatrième  ordre,  qui  porte  le  nom  de  Kummer;  la  surface  de 
l'onde,  qui  a  des  rapports  avec  la  précédente,  occupèrent  (Cavley 


198  PREMIERH  PARTIE. 

à  plusieurs  ropris(îs,  cl  loiil  pnrijculièrcmcnl  cctlo  dernière.  La 
recherche  de  l'équalion  des  lignes  de  courl)ure  de  la  surface  de 
l'onde  fil  le  ihrine  d'un  de  ses  écrits  de  jeunesse,  et  aussi  celui 
d'un  de  ses  derniers  iravaux,  que  j'ai  eu  la  bonne  fortune  de  pu- 
blier en  1892  dans  les  AiinaLi  di  Matemallca. 

11  consacra  trois  Mémoires  à  la  Théorie  j^énérale  des  cpiartiques 
doués  de  nœuds,  pendant  les  années  1869-1870. 

L'œuvre  de  Caylej  sur  la  Théorie  des  surfaces,  se  rapportant 
soit  à  l'étude  des  singularités,  soit  à  celle  de  surfaces  particu- 
lières, telles  que  les  surfaces  gauches,  contribua,  avec  un  des  tra- 
vaux les  plus  estimés  de  Gremona,  à  leur  classification.  Il  fut 
amené,  par  la  théorie  des  formes,  à  faire  des  recherches  originales 
sur  les  surfaces  développables. 

Le  problème  des  polygones  inscrits  ou  circonscrits  à  une 
conique,  auquel  Cajiey  consacra  dix  ou  douze  courtes  Notes, 
reçut  de  lui  une  nouvelle  solution,  dont  la  valeur  fut  accrue  par 
la  polémique  qu'elle  créa  avec  Poncelet.  Enfin,  nous  devons  citer 
dans  cet  ordre  d'idées  deux  Mémoires  Sur  la  représentation  géo- 
métrique de  certaines  intégrales. 

Il  n'y  a  aucune  partie  de  la  Géométrie  où  l'activité  de  Gajlej 
n'ait  pénétré,  et  où  il  n'ait  laissé  de  traces  de  son  génie.  Nous 
devons  ajouter  à  nos  nombreuses  citations  des  Iravaux  sur  la  Géo- 
métrie de  position,  sur  la  Géométrie  à  plusieurs  dimensions,  sur 
la  Géométrie  non  euclidienne,  sur  la  Géométrie  de  Gauss,  et 
d'autres  encore. 

Mais,  quand  on  porte  son  attention  vers  les  travaux  de  Gajley 
sur  la  Dvnamique  et  la  Mécanique  céleste,  on  est  de  plus  en  plus 
émerveillé  de  son  activité  infatigable.  Tout  d'abord,  il  rendit  un 
signalé  service  à  la  théorie  de  la  Mécanicpic  rationnelle  avec  ses 
deux  excellentes  Communications:  On  tlie  récent  progress  of 
theorical  Dynamics  faites  à  la  réunion  de  l'Association  britan- 
nique, l'une  en  1807,  l'autre  en  1862.  La  |)remière,  débutant  avec 
la  Mécanique  analytique  de  Lagrange,  suit  pas  à  pas,  et  avec 
quelle  clarté  d'exposition  et  quelle  rigueur  de  citations,  les  rapides 
progrès  (lu'a  vu  faire  la  première  moitié  de  ce  siècle  dans  la  Dyna- 
mique, avec  Poisson,  Jacobi,  llamilton,  Bertrand,  Bour  et  les 
autres;  et  c'est  encore  le  meilleur  écrit  que  pourra  lire  quelqu'un 
([ui  veut  s'initier  à  cette  étude. 


MfiLANGKS.  I.,,, 

(îiivlcN  ('liiil  (iMiilaiil  plus  piN'p.'irr  i'i  ces  ('MimIos  liislDi'ifjiins 
MU  il  ;iv;nl  ;i('(|iiis  (1rs  s;i  jctmcssc  mic  i;r;iii(l('  ciiIIiiit  (hiris  ('cLU; 
|»;irli(*  (les  M;il  lu' in;il  Kjiics,  cl  ;i\;iil  en  plus  d'iiuc  ()Cc;jsM)n  (h;  Irai- 
Icr  (les  pi"()l)l(''mcs  (le  Dynariiupic.  Dans  soti  prcimcr  Iravai!  :  Oli 
tlic  mol  ion  of  fold  I  ion  <\f  a  solid  hody,  il  applupic  pour  la  prc- 
iin(''rc  fois  à  ce  |)r()l)l(''in(;  les  clc'^anlcs  ionnulcs  d  Oliudes  l»o(ln- 
j;ncs.  l'.u  i(S^(),  ii;iioraiil  la  dccouvcrlc  rc'îccnlc  de  Jacohi,  il  liaiLa 
i\c  nouveau  le  prohIcMiic  de  la  rotation  du  corps  solide  autour 
d'un  poinl  li\e,  en  adinctiant  cpie  roriqnn;  (Jes  cof)rdonn(':es  soil 
ce  poiiil  lui-iiuMue;  et  par  rintroduction  de  deux  fonctions  spé- 
ciales, faciles  à  inlerpr(''lei"  j^éométriquernenl ,  il  ramena  le  pro- 
blème, dans  le  cas  pailieiilier  d'une  fonction  des  forces  nidles,  à 
deux  quadratuies-,  et  il  donna  à  la  solution  toute  sa  généralitié 
par   la  variation  des  constantes  arhilrair'cs. 

Après  quelques  moindres  écrits  sur  la  ihéorie  de  la  f^une  de 
ITansen,  sur  la  solution  du  problème  des  trois  corps  de  Jacobi 
et  llamilton,  Caylej,  par  ses  importants  Mémoires  de  i85c)  et 
1862  :  On  ihepiobleni  of  dist urbecl  elllptic  motion;  —  On  ihe 
developmenl  of  llie  disturbing  function  in  ilie  Lunar  Tlieory- 
Disturbing  Function  in  tlie  Lunar  and  tJie  Plancly  théories. 
—  On  the  secular  accélération  of  tlie  Moons  mean  motion, 
établit  les  principes  de  cette  série  de  travaux  sur  l'A.stronomie  et 
la  Mécanique  céleste  qui  le  rendit  célèbre  parmi  les  astronomes, 
et  lui  valut,  en  1866,  la  nomination  de  membre  du  Board  of 
Visitors  de  l'observatoire  de  Greenwich. 

Dans  tout  cela,  comme  dans  toute  l'œuvre  de  Gajlej,  deux  qua- 
lités sont  dominantes  :  d'abord,  la  connaissance  exacte  de  tout  ce 
qui  était  publié  sur  ces  questions;  puis,  une  façon  très  originale 
de  présenter  soit  ses  solutions,  soit  celles  des  autres.  Ainsi,  pour 
indiquer  un  premier  exemple  de  l'étude  consciencieuse  qu'il  fai- 
sait des  travaux  d'autrui,  ce  (ïit  lui  qui  reconnut  l'omission  d'un 
facteur  dans  certaines  formules  de  la  théorie  de  la  Lune  de  Plana, 
omission  qui  causa  une  certaine  discordance  entre  les  travaux  de 
Pontécoulant  et  ceux  de  Delaunaj. 

L'attraction  d'un  ellipsoïde  sur  un  point  intérieur,  problème 
traité  à  plusieurs  reprises  par  Cajiej,  est  un  second  exenq)le 
digne  d'être  noté.  Cinq  de  ses  écrits  sur  la  question  sont  consa- 
crés aux  solutions  de  Legendre,  Jacobi,   Laplace,   Gauss  et  Ko- 


9.00  PUEMIÈUI':   PAUTIH. 

drigiies;  puis  il  donna  une  solution  nouvelle  où  I  (iude  de  Finlc'- 
j^rale  délinie  tri[)le,  allachée  au  |)roblènie,  occupe  une  place 
importa  nie. 

Gayley  fut  jugé  par  son  élève  préféré,  Glaislier,  «  le  plus  grand 
algébriste  vivant  »,  et  ce  jugement  fut  approuvé  par^  l'illustre  géo- 
mètre Salmon,  qui  fut  son  collaborateur. 

Le  rapide  examen  que  j'ai  fait  de  la  majeure  partie  de  son 
œuvre  m'a  laissé  la  vive  impression  de  la  grande  influence  qu'elle 
eut  sur  les  progrès  des  Mathématiques  ;  et  mon  opinion  est  que 
le  nom  d'Arthur  Ca^'lej  restera  dans  l'histoire  de  la  Science  parmi 
ceux  des  plus  perspicaces  et  des  plus  féconds  innovateurs  dans 
des  branches  multiples.  Et  il  serait  injuste  de  refuser,  à  ces 
innovateurs  du  milieu  du  siècle,  une  partie  de  l'honneur  des 
découvertes  actuelles. 

La  grande  estime  que  j'ai  toujours  éprouvée  pour  le  génie  de 
Cajlej  m'a  conduit  à  écrire  ces  pages,  que  vous  jugerez  peut-être 
dignes  d'élre  dédiées  à  sa  mémoire. 


COMPTHS   KIÎNDUS   HT   ANALYSES.  v.oi 


COMPTES    UKNDUS    ET    AiNALVSES. 


SCIII.ESINGRR  (ï..).  —  HwDnucir  di:ii  tiirorie  niîa  ijnearfîn  Difkrfn- 
Ti  VL(.LKi(:iir\c;i:N;  in  zwci  Hiindcr  :  Hrsl(3r  Haiul.  xx-iHC  p.  Iii-S".  I^cipzig, 
Toiibner,  iHy'). 

Le  but  de  M.  Schlesinger  est  de  présenter  au  Lecteur  un  Taljlcau 
d'ensemble  de  la  lli('orie  des  équations  difTérentielles  linéaires, 
dans  Télat  où  elle  est  parvenue  aujourd'hui,  trente  ans  environ 
après  la  publication  du  premier  Mémoire  de  M.  Fuclis.  11  semble 
bien  inutile  d'insister  sur  les  services  que  rendent  de  pareils 
livres,  lorsque  les  auteurs  sont  maîtres  de  leur  sujet  et  qu'ils  le 
traitent  avec  une  entière  conscience.  Ajouterai-je  que  la  possibilité 
et  l'incontestable  opportunité  d'un  tel  Ouvrage,  sur  un  sujet  qui, 
il  ja  cinquante  ans,  aurait  semblé  très  particulier,  est  une  preuve 
réjouissante  de  l'activité  scientifique  de  notre  époque? 

Le  Livre  de  M.  Schlesinger  s'ouvre  par  une  intéressante  Intro- 
duction historique  où  l'auteur  résume  clairement  les  diverses 
phases  par  lesquelles  a  passé  le  problème  de  l'intégration  et  de 
l'étude  des  équations  différentielles;  les  points  essentiels  de  cette 
histoire  sont  bien  mis  en  lumière  et  le  rôle  de  chacun  y  semble 
apprécié  avec  une  pleine  justice. 

C'est  les  théories  générales  qui  sont  l'objet  propre  de  ce  pre- 
mier Volume^  on  j  rencontrera  sans  doute  quelques  applications; 
mais  les  recherches  relatives  aux  équations  différentielles  linéaires 
dont  les  coefficients  ou  les  intégrales  jouissent  de  propriétés  par- 
ticulières seront  exposées  dans  le  second  Volume,  comme  aussi 
celles  qui  dépendent  de  la  théorie  des  groupes  de  substitutions. 

L'auteur  établit  d'abord  l'existence  des  intégrales,  montre 
comment  les  points  singuliers  de  ces  intégrales  sont  les  points  où 
les  coefficients  de  l'équation  différentielle,  en  supposant  que  le 
premier  soit  égal  à  un,  cessent  d'étie  des  fonctions  régulières  et 
définit  les  systèmes  fondamentaux  d'intégrales.  Il  passe  ensuite  à 
ce  qu'il  nomme  les  tliêories  formelles;  les  unes  concernent  les 
analogies  avec  la  théorie  des  équations  algébriques  :  théorème  de 
M.  A[)|)cll  sur  les  fonctions  rationnelles  des  éléments  d'un  svstème 

Butt.  des  Sciences  nialhcm.,  2'  scric,  l.  \I\.  (Oclobrc  iSyâ.')  jj 


202  PUKiMIÈUE  PARTIH. 

fondamental  el  de  leurs  dérivres  (jui  se  reproduisent  multipliées 
par  un  facteur  constant,  (jiiand  on  substitue  à  ces  éléments  ceux 
d'un  autre  système  fondamental;  reclierclie  des  solutions  com- 
munes à  deux  équations  diOférentielles  linéaires,  extension  de  l'al- 
gorithme d'Euclide;  décomposition  en  fadeurs  symboliques  du 
premier  membre  d'une  équation  dinérentielle  linéaire;  réduction 
d'une  équation  didérentielle  linéaire  dont  on  connaît  des  inté- 
grales particulières;  les  autres  se  rapportent  à  la  théorie  des 
équations  adjointes,  à  l'intégration  des  équations  didérentielles 
avec  second  membre,  enfin  à  la  notion  de  l'irréductibilité  d'après 
M.  Frobenius.  En  supposant  que,  dans  une  région  (E)  du  plan, 
où  les  intégrales  de  l'équation  sont  régulières  en  chaque  point, 
les  coefficients  de  l'équation  satisfassent  à  certaines  conditions 
déterminées,  qui  se  conservent  quand  on  différencie  ces  coeffi- 
cients ou  qu'on  effectue  sur  eux  des  opérations  rationnelles,  l'é- 
quation est  irréductible  dans  (E)  quand  elle  n'a  aucune  solution 
commune  avec  une  équation  différentielle  linéaire  d'ordre  moindre, 
dont  les  coefficients,  dans  (E),  satisfont  aux  mêmes  conditions; 
autrement  elle  est  réductible.  Cette  notion  conduit  à  des  proposi- 
tions analogues  à  celles  qui  concernent  les  équations  algébriques; 
mais  il  y  a  une  diflerence  essentielle,  parce  que  chaque  intégrale 
d'une  équation  réductible  ne  satisfait  pas  nécessairement  à  une 
équation  irréductible  d'ordre  moindre.  Le  cas  où  la  condition  im- 
posée aux  coefficients  dans  (E)  est  d'être  univoques  est  particu- 
lièrement intéressant  :  le  nombre  des  branches  linéairement  indé- 
pendantes de  chaque  solution  particulière  est  alors  égal  à  l'ordre 
de  l'équation,  si  elle  est  irréductible.  11  est  clair  que,  si  (E)  est 
simplement  connexe,  l'équation  (à  coefficients  univoques)  est  ré- 
ductible :  il  en  est  de  même  si  (E)  est  doublement  connexe,  ainsi 
qu'il  résultera  de  l'étude  de  Véqaation  fondamentale,  que 
M.  Schlesinger  va  maintenant  aborder. 

Lorsque,  dans  une  région  doublement  connexe  où  les  coefficients 
sont  uniformes,  la  variable  décrit  un  contour  simple  U,  les  élé- 
ments j^i,  JK2»  •••)  y'n  d'un  système  fondamental  sont  remplacés 
par  des  fonctions  linéaires  à  coefficients  constants  de  ces  mêmes 
éléments;  en  d'autres  termes,  ])arcourir  le  contour  U  revient  à 
effectuer  sur  les  fonctions  j^,,  y-^,  .  . .,  jn  une  substitution  linéaire 
(a/y);  Téquation   fondamentale  relative  au  contour  U  est,  comme 


COMPTFS   [{FNDUS   I-:t   ANALVSKS.  w^ 

on   sali,  1  ('■(jiialioii  ru   (o  donloii  ol)Licnr  I(^  premier  membre  en 
remplaçant,  dans  le  (Irlcrniinanl  du  //'""'"  ordre 

1^/7  K 

1rs  éléments  a//  do  la  diagonale  principale  par  clu —  o).  On  y  est 
encore  amené  en  considérant  la  relation  à  coefficients  constants 
qui  doit  exister  entre  les  n-\-i  sointions  v^  Op,  O^p,  ...,  fj«r,  0"(('), 
dont  la  j)remicre  est  l'intégrale  générale,  et  les  autres  ce  que 
devient  cette  intégrale  générale  quand  on  décrit  le  contour  U  une 
fois,  deux  fois,  ..  .,  n  fois.  L'existence  de  solutions  communes  à 
deux  équations  difFérentielles  linéaires  se  traduit  par  l'existence 
d'un  facteur  commun  aux  deux  équations  fondamentales  corres- 
pondantes. 

Quand  les  racines  de  l'équation  fondamentale  sont  simples,  il 
existe  un  système  fondamental  canonique  composé  d'éléments 
ifi ,  11-2,  . . .,  ihi,  tels  que  l'on  ait 

en  désignant  toujours  par  ^m  ce  que  devient  la  fonction  m  quand 
on  décrit  U  et  par  w^  une  racine  simple  de  l'équation  fondamen- 
tale. A  une  racine  multiple  (o«  de  l'équation  fondamentale  corres- 
pond un  groupe  de  solutions,  qui  se  reproduisent,  à  une  substitu- 
tion linéaire  près,  quand  on  décrit  U;  ces  solutions  se  décomposent 
en  sous-groupes,  comme  l'a  montré  M.  Hamburger. 

Les  nombres  des  éléments  d'un  sous-groupe  peuvent  s'ob- 
tenir de  diverses  façons  ;  ils  dépendent,  par  exemple,  des  diviseurs 
élémentaires  du  premier  membre  de  l'équation  fondamentale; 
quoi  qu'il  en  soit,  la  considération  de  l'équation  fondamentale 
conduit  dans  tous  les  cas  à  constituer  un  système  fondamental  ca- 
nonique, formé  par  la  réunion  des  éléments  de  tous  les  sous- 
groupes,  et  les  propriétés  que  l'on  vient  de  rappeler  conduisent, 
dans  le  cas  où  le  domaine  considéré  est  formé  par  les  environs 
d'un  point  singulier  a,  à  mettre  sous  une  forme  analytique  simple 
les  éléments  de  ce  système  fondamental  ;  ainsi  les  éléments  d'un 
sous-groupe  pourront  se  mettre  sous  la  forme 

«1=  (a:-  — a)'a'Ln(^), 

M2=(^— rt)''«f'^2t(^)  +  '1^22(^)l0gC^  — «)1, 


(.r  — ^/;'„[.^„,,(^)+.;/,„2(x)iog(.r  — rt)+...4->>,;,.;,(.r)iog'"-'(r  — rt)], 


v>.o4  PREMIÈRE   PARTIE. 

où  cliaciine  des  fondions  •}  est  la  somme  de  deux  séries  entières  l'une 

en  :r  —  a,  l'auti'e  en Lorsque  Loulcs  les  fonctions  <h  qui  fi- 

fj^urent  dans  une  intégrale  ne  contiennent  qu'un  nombre  limité  de 
termes  en >  on  dit  que  le  point  a  est  un  point  de  détermi- 
nation pour  l'intégrale,  qui  est  dite  elle-même  déterminée  en 
ce  point.  Alors,  en  modifiant  d'un  nombre  entier  convenable  l'ex- 
posant ra-,  on  peut  s'arranger  pour  que  toutes  les  fonctions  d» 
soient  des  séries  entières  en  ^  —  a,  dont  l'une  au  moins  contienne 
un  terme  indépendant  de  ^  —  <2;  si  r^  est  la  valeur  modifiée  de  /'«, 
on  dit  alors  que  l'intégrale  considérée  appartient  à  l'exposant  z*^. 
On  sait  que  l'un  des  premiers  et  fondamentaux  résultats  obtenus 
par  M.  Fuchs  a  été  de  reconnaître  la  forme  des  équations  difTéren- 
tielles  linéaires  pour  lesquelles  toutes  les  intégrales  sont  déter- 
minées en  un  point  singulier;  si  ce  point  singulier  est  le  point  o, 
l'équation  peut  s'écrire 

x'^  V ,i{x)y^'^^  -^  x'^-'^  P„_i(x)jK'«-i^-f-.  .  .H-  \\{x)y  =  o, 

où  Vn  (^),  r*//_i  (^),  • .  -,  Po(-^)  sont  des  séries  entières  en  x^  dont 
la  première  ne  s'annule  pas  pour  ^  =  o;  c'est  là  ce  que  M.  Fro- 
benius  a  appelé  X-à  forme  normale  ;  on  peut,  si  l'on  veut,  supposer 
P„(^)=i  I.  On  obtient  la  fonction  caractéristique  de  l'équation 
difTérentielle  linéaire  en  remplaçant^  par^P;  et  la  considération 
de  cette  fonction  caractéristique  conduit  naturellement  à  la  no- 
tion de  ^équation  déterminante.  Inversement,  quand  l'équation 
a  la  forme  normale,  ses  intégrales  sont  déterminées  au  point 
;r  =  o.  La  démonstration  que  développe  M.  Schlesinger  est  due  à 
M.  Frobenius.  [^'auteur  étudie  ensuite  les  liens  entre  l'équation 
fondamentale  et  l'équation  déterminante,  la  constitution  des 
sous-groupes  d'intégrales  de  M.  Hamburger,  les  critérium  pour 
l'existence  ou  la  non-existence  des  termes  logarithmiques  dans 
les  intégrales;  la  forme  des  intégrales  dans  les  environs  du  point 
à  l'infini,  ou  d'un  point  d'embranchement  algébrique  pour  les 
coefficients. 

Les  équations  dififérentielles  linéaires  pour  lesquelles  les  coeffi- 
cients sont  des  fonctions  rationnelles  de  x  (')  et  dont  les  inté- 

(')  La  supposition  que  ces  coefficients  sont  des  fonctions  algébriques  n'est  pas 
plus  générale. 


COMPTES   KHNDUS   HT  ANALYSES.  2o5 

j;ral<'s  soiil  pitrioiil  {lélcrmiiHM'S  odVcnt  un  inL(';r('!l,  parliculicr  (jui 
esl  iniiiiifcslc  ;  on  a  juslemcnt  attribue  \v,  nom  de  M.  Fuelis  à  la 
classe  formée  par  ees  équations.  Une  propriété  intéressante  des 
intégrales  de  ees  équations  el  rcdalive  à  la  façon  dont  elles  se 
comportent  sur  le  cercle  de  convergence  a  été  mise  en  évidence 
par  ^J.  Tliomi'. 

Quand  on  se  donne  les  points  sin^niliers  d'une  é(juation  de 
M.  Fuclis,  ainsi  que  les  racines  des  équations  déterminantes  cor- 
respondantes, racines  qui,  toutefois,  doivent  vérifier  une  certaine 
relation,  on  peut  construire  l'équation  différentielle  linéaire,  qui 
comporte  d'ailleurs  un  certain  nombre  de  coefficients  arbitraires; 
on  est  amené  ainsi  à  étudier,  en  particulier,  le  cas  de  un  ou  deux 
points  singuliers;  le  cas  d'une  équation  différentielle  du  second 
ordre  à  deux  points  singuliers  amène  à  la  célèbre  équation  de 
Gauss,  à  laquelle  M.  Scblesinger  consacre  un  important  Cha- 
pitre. 

Si,  dans  le  cas  où  le  point  singulier  que  l'on  considère  est  un 
point  de  détermination,  les  méthodes  de  M.  Fuchs  permettent,  et 
cela  par  des  procédés  purement  algébriques,  d'obtenir  un  système 
fondamental  canonique  et  de  reconnaître  comment  il  se  comporte 
quand  on  fait  le  tour  du  point  singulier,  il  n'en  est  plus  de  même 
quand  on  a  affaire  à  un  point  d'indétermination,  même  en  suppo- 
sant toujours  que,  aux  environs  de  ce  point,  les  coefficients  aient 
le  caractère  de  fonctions  rationnelles;  alors,  ainsi  que  l'observe 
l'auteur,  on  rencontre  les  mêmes  difficultés  que  lorsqu'on  veut 
étudier  les  intégrales  à  l'intérieur  d'une  couronne  circulaire,  et  la 
détermination  des  éléments  du  système  canonique  repose  sur  des 
procédés  d'une  nature  transcendante,  qui  permettent  le  calcul  de 
ces  éléments  avec  une  approximation  indéfinie,  mais  qui  ne  four- 
nissent pas,  en  gêné/ al,  de  renseignements  sur  la  façon  dont  se 
comporte  le  système  quand  on  fait  le  tour  de  la  couronne. 

L'un  de  ces  procédés  conduit  à  la  résolution  d'un  système  infini 
d'équations  linéaires  et  M.  Helge  von  Koch  a  montré  le  parti  qu'on 
pouvait  tirer  des  déterminants  infinis  pour  atteindre  ce  résultat. 

Un  autre  procédé,  auquel  se  rattachent  des  résultats  impor- 
tants, est  dû  à  M.  Hambiirger.  Dans  des  cas  particuliers,  il  arrive 
que  le  point  singulier  est  un  point  de  détermination  pour  certaines 
intégrales  particulières,  tout  en  étant  un  point  d'indétermination 


9,00 


puEiMiÈnK  PAUTin:. 


|)oiir  rinlégrale  générale  ;  on  ))cnl  cLi'e  rcnsclj^né  sur  ces  intégrales 
parliculières. 

L'étude  des  solutions  d'une  équation  difTérentielle  linéaire  au- 
tour du  point  oo,  quand  l'équation  déterminante  relative  à  ce 
point  est  de  degré  zéro,  ou,  si  l'on  veut,  quand  ce  point  n'est  un 
point  de  détermination  pour  aucune  solution,  conduit  à  quelques 
notions  importantes.  L'é(juation  différentielle  linéaire  étant  mise 
alors  sous  la  forme 


(A)     y^^ 


?lvX^)  +  Q.-l(^.)]y''-''+--.-^[^r.(.r)-r-Qo(^)]r  =  0, 


OÙ  fxx(^)  est  une  fonction  entière  en  x  de  degré  au  plus  égal  à  Ax, 

tandis  que  les  Q  sont  des  séries  entières  en  -  qui  s'annulent  pour 

,x  =  oo,  on  dit  que  cette  équation  est  de  rang  x  4-  i . 
L'équation  différentielle  linéaire 

obtenue  en  supprimant  dans  les  coefficients  les  termes  qui 
s'annulent  pour^  =  oo,  et  dont  les  solutions  sont  manifestement 
des  fonctions  transcendantes  entières,  est  l'objet  d'une  étude  par- 
ticulière; l'équation 

G« H-  A„_,  C«-i  -h...-{-An  =  o, 

où  A//_x,  est,  en  général,  le  coefficient  de  jc'^'^dans  c5Xx(^),  est  dite 
équation  caracté/'istique  (A),  par  extension  du  cas  des  équations 
linéaires  à  coefficients  constants,  équations  qui  se  déduisent  du 
t^'pe  (al,)  en  supposant  x=:o  (  *  ).  L'auteur  montre  comment,  pour 


(')  A  propos  de  l'étude  de  cette  équation  que  nous  ne  pouvons  que  mentionner 
dans  cette  rapide  analyse,  il  convient  de  faire  connaître  à  ceux  de  nos  lecteurs  qui 
voudront  étudier  le  Livre  de  M.  Schlesinger  une  inexactitude  qui  s'est  glissée 
dans  le  passage  dont  nous  parlons;  cette  inexactitude,  M.  Schlesinger  a  bien 
voulu  nous  la  signaler;  nous  espérons  calmer  les  scrupules  bien  honorables  qu'il 
montre  en  publiant  sa  lettre  : 

«...  Dans  le  n°  95  (p.  34 1  et  suivantes)  on  suppose  essentiellement  que  le 
développement 

w=  C„-{-C/;  +  C/;^-h... 

est  convergent.  Si  cela  n'a  pas  lieu,  la  détermination  des  fonctions  tv-^,  v-^,  z-^  est 
pourtant  possible  de  la  manière  indiquée,  mais  alors  les  z-^  ne  représentent  pas 


COMPTKS   HKNDUS   KT   ANALYSES.  707 

CCS  ('(lUiilioiis  (rXa)^  011  |)('iil  patNCiiir  ;'i  iiii  syslriiK;  f()ii(I;nii('iil;il 
(le  soltil  ions,  dos  soliilioiis,  dans  le  cas  ^/■néral  (  A  ),  cnlicnL  coininc: 
farUuirs  dans  les  iulr^ialcs  noriHdlcs  on  srrics  norntalcs  de 
M.  Thonu",  le  mol  iV in Ir ivraies  cLanl  rcs(;rv{;  au  cas  où  les  séruts 
normales,  (|ni  salislonL    ronnellemcnL  à  l'éqnalion   difïéreriLicllc, 


sont  convcr^enlcîs. 


On  sait  reconnaître  le  cas  particulièrement  intéressant  où  l'équa- 
tion (A)  aduK^t  II  intég^rales  normales;  on  montre  encore  que 
l'étude  d'une  écjuation  did'érentielle  linéaire  de  rang  x  peut  être 
ramenée  à  l'élude  d'une  équation  dilïérentielle  linéaire  de  rang  un, 
cas  auquel  l'équation  (-1.)  est  à  coelïicients  constants. 

Le  problème  de  l'intégration  d'une  équation  dilFérentielle  à 
coefficients  rationnels  peut  se  poser  dans  les  termes  suivants  : 
partant  d'un  système  fondamental  de  solutions,  système  défini  en 
un  point,  on  suit  un  chemin  déterminé  quelconque,  assujetti  seu- 
lement à  ne  passer  par  aucun  point  singulier  :  définir  le  système 
fondamental  avec  lequel  on  arrive  à  l'extrémité  du  chemin.  C'est, 
à  coup  sûr,  un  problème  qui  occupera  encore  longtemps  les 
géomètres;  il  comporte  toutefois  des  solutions  partielles  que 
M.  Schlesinger  développe  à  la  (in  de  ce  premier  Volume.  Après 
avoir  montré  comment  le  problème  dépend  de  la  détermination  et 
de  la  composition  de  certaines  substitutions  linéaires,  il  développe 
divers  modes  de  représentation  des  intégrales  d^une  équation  dif- 
férentielle linéaire  qui  s'appliquent  le  long  d'un  chemin  quel- 
conque, sans  qu'on  soit  obligé  de  passer  par  le  procédé  tout 
théorique  du  prolongement  des  séries  entières.  L'un  de  ces  modes 
de  représentation,  qui  est  dû  à  M.  Fuchs,  est  particulièrement  re- 
marquable ;  il  permet  d'obtenir  l'intégrale  générale  sous  forme 
d'une  série  convergente  dont  les  termes  s'obtiennent  au  moyen 
d'intégrations  répétées,  effectuées  sur  des  fonctions  rationnelles  et 
fournit,  lorsque  le  chemin  décrit  par  la  variable  est  fermé,  des  ren- 
seignements sur  les  coefficients  de  l'équation  fondamentale  cor- 


immédiatement  des  solutions  de  l'équation  (cAd),  il  faut,  pour  obtenir  de  telles 
solutions,  multiplier  les  ^-^  par  certaines  fonctions  holonnorphes.  C'est  ce  que  j'ai 
négligé  dédire  explicitement.  De  plus  il  faut  ajouter  dans  l'équation  (iG)  (p.  34->) 
au  coefficient  de  u  le  terme 


2o8  PREMIÈRE  PARTIE. 

respondanlc.  jM.  Paul  Giinllier  a  développé  les  cnlciils  pour  une 
éfpiation  du  second  ordre  et  pour  un  anneau  circulaire  à  l'inlérieur 
du(|uel  il  n'j  a  pas  de  points  singuliers.  Un  autre  mode  de  repré- 
sentation des  intégrales,  (|ui  conduit  à  quelf|ues  résultats  imj)or- 
lants,  notamment  pour  les  écpiations  de  rang  un,  repose  sur  la  con- 
sidération de  la  transformée  de  Laplace.  Enfin,  les  dernières 
pages  du  Livre  sont  consacrées  à  l'élude  des  substitutions  fonda- 
mentales et  des  invariants  fondamentaux.  J.  T. 


MELANGES. 

SUR  L'ÉQUATION  D'EULER  ; 
Par  m.  V.  JAMET. 

Nous  désignons  ainsi,  avec  M.  Darboux  {^Leçons  sur  la  théorie 
des  surfaces^  t.  Il,  p.  54)  l'équation  aux  dérivées  partielles  du 
second  ordre 

,    (^-z  dz         ,  dz 

^  ^  ^  -^  '  dx  dy  dx  <^y 

dans  laquelle  a,  b  désignent  des  constantes,  et  nous  nous  pro- 
posons de  faire  connaître,  sous  forme  explicite,  l'intégrale  de  cette 
équation  assujettie  à  devenir  identique  à  une  fonction  donnée  de 
l'une  quelco.nque  des  deux  variables,  quand  on  donne  à  l'autre 
une  valeur  déterminée.  Nous  rappellerons  d'abord  que  toute 
expression  de  la  forme 


/ 


(x  —  0Ly>{ y  —  a)^  f{oi)  dx 


est  une  intégrale  de  cette  équation,  pourvu  que  le  contour,  fermé 
ou  non,  suivant  lequel  on  elTectue  l'intégration^  ne  dépende  ni  de 
a:  ni  dey.  Plus  généralement  l'expression 

(2)      A -f-   l{T  —  i)l'{y  —  a)'^/(a)  <Ya -h  j  (x  —  oc)'^{y  —  ocY' 0(01.)  doL, 


M  fa  AN  G  H  s.  voç, 

où  A  (l(''^ii;ii('  une  comsImiiIc,  cl  où  les  riciix  i  ti  l('t;i;il(S  soiil  cal- 
(Milt'cs  I(^  loiii;  (le  deux  comIoiiis  dillV-rculs,  rcniplissniil  l'iiii  et 
l'iiiihc  la  (M)ii(llli()n  cl-dcssiis,  rsL  tiiic  iiih'^rah;  de  Trciiialion  (i). 
Oi",  MOUS  voulons  formel'  une  lnl(;^ralc  (jui,  ponr  .x  ■=  .X(^  devienne 
i(lenli(|ne  à  une  l'onelion  donnée  dey,  soil  *h{y)]  et  qui,  pour 
y  =y()  devienne  i(lenli(jue  à  une  f'onelion  donnée  de  .r,  soit  F(.r). 
Mais  nous  devons  supposer  aussi  F(xo)=  ^t(yo)  5  car,  si  l'on 
désiijne  l'intégrale  cherchée  par  0(^,y),  on  doit  trouver 

0(^0,  Jo)  =  ^(^o)         et         0(:ro,7o)  =  ^I'(j»'o)- 

Soit  donc  A  la  valeur  su|)j)Osée  connue,  de  0(^o^  ^o);  c'est  là  le 
sens  que  nous  attribuerons  à  la  lettre  A,  dans  la  formule  (2).  Nous 
supposerons  aussi  que  les  deux  constantes  j^o,  yo  sont  did'érentes, 
et  que,  considérées  comme  des  quantités  complexes,  elles  sont 
représentées  par  deux  points  distincts,  M,  N.  Nous  poserons 

/(a)=  ^-^^ cp(a)=  '-^ , 

et  nous  supposerons  la  première  intégrale  calculée  le  long  d'un 
contour  fermé  simple,  contenant  le  point  JM  et  non  le  point  N,  et 
tel  que  la  fonction  F(^),  supposée  holomorphe  dans  le  voisi- 
nage du  point  ^0)  soit  également  holomorphe  dans  tout  ce  contour, 
et  par  conséquent  développable  en  une  série  entière  par  rapport 
à  X  —  Xq,  savoir 

A  + Ai(^  —  ^0)+  A2(a7  — ^o)^  +  -  •  •+  A„(a7  — :ro)"H- 

Nous  définissons  d'une  manière  analogue  le  contour  relatif  à  la 
deuxième  intégrale,  et  nous  supposons  que  le  développement  cor- 
respondant de  la  fonction  ^^{y)  est  le  suivant 

A  +  B,  (  j  -jKo)+  Bo(y  -70)'-  +  . . .+  B,,(jK  -yo)"  -+-.... 
Pour  rappeler  ces  hvpothèses,   nous  désignons  la  première  des 
deux  intégrales  par  le  symbole    /  ,  la  deuxième  parle  symbole    /  , 
et  l'intégrale  (2)  se  présente  alors  sous  la  forme 
(o  /,A^       \  a-    r  {oo-c^)''{y-<^Yg{^^)d^-^    .      r  {x-7.y>{y-:x.Yh{:L)d:L  ^ 


9.10  IMMLMlf^UK    PAUTlIî. 

Si,  clans  celle  expression,  on  lail  ^  =  .ro,  cl  si  Ton  suppose 
que  la  fonction  i,'  (a)  est  holoniorplic  à  l'inléj-ienr  du  conlour  re- 
latiCà  la  [)remière  intégrale,  celle-ci  devicnl  nulle;  et  l'expression 
(y,  bis)  se  réduit  à 

Nous  préciserons  davantage  encore  la  forme  de  nos  contours,  en 
disant  que  ce  sont  des  cercles  décrits  des  points  ^o  et  )'o  comme 
centres,  avec  des  rayons  assez  petits  pour  que  toutes  les  condi- 
tions énoncées  ci-dessus  soient  remplies.  Alors  le  rap|)ort^^ — 

ayant  un  module  moindre  que  l'unité,  le  second  membre  de  l'éga- 
lité ci-dessus  sera  développable  en  une  série  ordonnée  par  rapport 
aux  puissances  entières  et  croissantes  de  ce  rapport,  savoir 

et  le  problème  sera  résolu,  en  ce  qui  concerne  la  détermination  de 
la  fonction  A(a),  si  l'on  peut  déterminer  celle-ci  de  telle  sorte  que 
l'on  ait,  quel  que  soit  /i, 


i  .2.3.  .  .n  f    /  -       --   x" 


Mais,  sous  la  réserve  des  hypothèses  faites  au  sujet  de  la  fonc- 
tion /i{ol),  l'intégrale  qui  figure  dans  cette  égalité  sera  égale  à 


2  7rV— I /i'"~'Hro)      ,r  lin        ,     N 

(ionnule  de  Cauchy), 


l  .1.3.  .  .71  —  I 

et  l'on  conclura 


1.2.3.. .n  —  i        ■i-\J—i   a{a  —  \){a  —  2)...{a  —  n-^\) 
Si  donc  il  existe  une  fonction  h{y.)  remplissant  les  conditions 


MfiL.\N(Ji:S.  91 1 

(In  j)i()l)Iùin(',  elle  S(M-;i  ('^alc  à  la  sornliic  (riiiic  sniic  t'iilirif,  savou- 
ra 


(3)  A  +  2-" 


(— i)/^-^'        (/?  +  [)!  I^^,^i(a— jo)/^ 
,7-/Zrr  a(a  —  i){a  —  2)...{a—p) 


pourvu  (jiic  celle-ci  soil  convergenle  à  rinléricur  d'un  cercle  (1<''- 
cril  (lu  point  )^o  comme  cenire.  Or  je  dis  (ju'elle  est  convergente 
pour  toute  valeur  de  a,  intérieure  au  contour  circulaire  suivant 
lequel  nous  calculons  la  deuxième  intégrale  de  la  formule  (2  bis). 
En  ellet,  soit  a'  une  imaginaire  représentée  par  un  point  intérieur 
au  même  cercle,  mais  (elle  que  le  module  de  a' — y^  soit  supérieur 
au  module  de  a  — Jq.  La  série 

est  absolument  convergente,  et  il  en  est  de  même  de  la  série 

p  :=  00 

(4)  2  (/^  +  i)B;.+i(a'-7o)^ 

formée  avec  les  dérivées  de  ses  termes,  par  rapport  à  a'.  Mais  on 
obtient  les  termes  de  la  série  (3)  en  multipliant  ceux  de  la  série  (4), 
respectivement,  par  ceux  de  la  série  suivante 

(5)   _! yV,) '■^■^■■■p ("l^zî]", 

^  p  =  0 

et  ceux-ci  ne  croissent  pas  au  delà  de  toute  limite  quand  p  est  de 
plus  en  plus  grand.  En  effet,  le  terme  général  de  cette  série  s'ob- 
tient en  multipliant  le  terme  précédent  par  le  facteur 

(6)  ^P_i=Zî, 

P  —  a  a  — jo 

dont  le  module  a  pour  limite  un  nombre  inférieur  à   i,  savoir 

mou  -; — =^—  • 

a  —70 

Il  s'ensuit  que  la  série  (5)  est  convergente;  que,  par  conséquent, 


212  l'KEMlÈUK   PAUÏIE, 

ses  termes  Lendcnl  vers  /.rro.  Donc  ils  ne  erolssenl  pas  an  delà  de 
toute  limite;  doue  la  séi'ie  (3)  est  eonverj^ente. 

On  déteimineia  de  mènie  la  fonel.ion  ,i,'(a);  mais  on  observera 
que   la   démonstration   précédente  n'est  valable  que  si  le  facteur 

— - —  est  (ini  pour  toute  valeur  entière  de  n,  c'est-à-dire  si  a  n'est 
jP  —  a  '  '^  ' 

pas  égal  à  un  nombre  entier  positif.  Toutefois,  si,  dans  ce  cas,  la 
fonction  ^  était  un  poljnome  entier,  de  degré  a  —  i,  la  même 
méthode  serait  applicable,  et  l'on  trouverait,  pour  l'expression 
de  A,  un  polynôme  entier,  de  degré  a  —  i,  dont  le  dévelop- 
pement serait  encore  donné  par  la  formule  (3),  à  condition  que 
la  limite  supérieure  du  signe  ^  y  soit  remplacée  par  a —  i.  Si  b 
était  aussi  un  nombre  entier  positif,  et  F(^)  un  polynôme  entier 
de  degré  b  —  i,  la  fonction  ^(a)  serait  de  même  un  polynôme  de 
degré  b  —  i .  Plus  généralement,  supposons  que,  dans  le  voisinage 
du  point  j^07  lî^  fonction  <ï>  soit  développable  par  la  série  de  Taylor, 
et  adoptons,  pour  son  développement,  la  forme  suivante 

*"(ro) 
(7)   {  +-^\>-7o)^  +  ... 


*^«K7o) 


—  (r— Jo)^H 1 — -    /     iy  —  t)^^h^^-^^Ut)dt. 

.a  -^  i  .>..3. .  .a  J ,      ^ 


1,2.3 

Si  b  n'est  pas  un  nombre  entier  positif,  nous  désignerons  par  9, 
l'intégrale  de  l'équation  (i)  qui,  poury  ^nj'-o  se  réduit  à  F(.r),  et 
qui,  pour^  =  ^o  est  égale  au  second  membre  de  l'égalité  précé- 
dente, diminué  du  terme  complémentaire  et  de  celui  qui  le  pré- 
cède. Nous  observerons  que,  dans  le  cas  actuel,  Téquation  (i) 
admet  l'intégrale  suivante 


/ 


^  'yy  —  tY{T  — 1)'>  ^^^Hj)dt 


.;  0 


et  nous  en  conclurons  que  la  fonction 


Oi 


(  o-o  —  JKo  /'  1 . 2 .  3  ...  a 

i 

1.2.3'" 


IVll^.rANGKS.  'Ai3 

csl   imc  iiil('t;i';il('  de  rccjiialloii  (i),   r(;iii|)lissanl   loiilcs  l(!s   Cdiidi- 
hoiis  (lu  ni()l)lriii('. 

Si  l(\s  nombres  ((,  cl  A  son!,  Tiin  cl  raiili-o,  enlicrs  et  posiLiTs, 
nous  adjoindrons,  an  dévcloppcnicnl,  précédent  do  la  fonction 
<!>()■),  le  développcnicnl  suivant  de  la  (onctiorï  F 

(8)  '  w) 

i.'2. 3. .  .6  1  .'2.3. .  .6»/.. 

Aux  seconds  membres  des  formules  (7)  et  (8)  supprimons  les 
termes  com[)lémentaires  et  ceux  qui  les  précèdent  immédiatement, 
et  soient  <I>,  (^y)  et  F,  (^x)  les  poljnonies  obtenus.  Soit  aussi  0,  l'in- 
tégrale de  l'équation  (i)  qui,  pour  x  =  Xq^  devient  égale  à  <I>i  {y)  et 
qui,  pour  y  =  j'(,  devient  égale  à  F^{x).  L'intégrale  cherchée 
sera,  dans  le  cas  actuel, 


(^0  — JKo)*  1.2. 3...  a  (70  —  ^0)'*  J.2.3...6 

^^  {y  —  tYix  —  tf 


•  i        \  Y  —  t  i"^ V  ^  —  i-  )      ^  ,        .s  ,     V     j 


-^iS>0«î 


RAPPORT  SUR  LES  PROGRÈS  DE  LA  THÉORIE  DES  INVARIANTS 

PROJEGTIFS; 

Pau   m.   Fr.   MEVEH    (de   Claustiial). 


Traduction  anncitce  par  II.  FEHR. 

DEUXIÈME  PARTIE 

(Suite). 

B.  —  Irrationalité  des  formes. 

La  question  des  formes   irrationnelles  a^été  soulevée  dès  les 
débuts  de  notre  théorie  et  particulièrement  sous  l'influence  de  la 


Géométrie;  mais  ce  n'est  que  tout  récemment  que  l'on  a  été  con- 
duit à  une  introduction  systématique  des  covariants  irrationnels, 
et  Ton  ne  possède,  sur  ce  sujet,  encore  aucune  théorie  complète. 

Au  point  de  vue  historique,  on  constate  deux  directions.  D'un 
côté,  la  prati([uc  a  donné  lieu  à  des  recherches  sur  les  formes 
canoniques  invariantes.  D'autre  part,  on  a  soulevé  le  problème 
inverse,  (jui  consiste  à  déterminer  les  formes  qui  auraient  comme 
formes  invariantes  une  ou  plusieurs  formes  données;  il  s'agit, 
dans  ce  cas,  de  fixer  le  nombre  de  ces  formes  primitives  et  les 
équations  dont  elles  dépendent. 

Il  est  vrai  que  ce  second  problème  n'a  été  traité  que  pour 
quelques  cas  isolés.  Il  constitue  cependant  un  complément  in- 
dispensable à  la  théorie  des  invariants  rationnels  et  de  leurs  sy- 
zjgies,  et  semble,  par  conséquent,  avoir  quelque  avenir. 

a.  —  Canonisation  des  formes. 

Les  bases  (')  se  retrouvent  déjà  dans  les  premiers  développe- 
ments de  la  théorie  des  formes.  Caylej  et  Svlvester  (-)  mon- 
trèrent que  les  formes  binaires  pouvaient  être  représentées  à 
l'aide  de  puissances  d'expressions  linéaires  x —  a,  les  a  étant  les 
racines  de  simples  covariants  (canonisanls). 

Plus  tard,  Gundelfinger  (^)  a  traité  cette  question  d'une  ma- 
nière tout  à  fait  générale,  en  ayant  recours  à  l'analyse.  Il  parvint 
ainsi  à  introduire,  dans  la  théorie  des  invariants,  une  série  de 
théorèmes  tirés  de  la  théorie  des  équations  diflerentielles. 

Rosanes  ('•)  avait  déjà  étudié  la  canonisation  d'une  forme  bi- 
naire f,i,  pour  examiner  ensuite,  au  point  de  vue  géométrique, 

(')  Nous  avons  pu  réduire  ce  paragraphe  aux  points  les  plus  essentiels,  vu  que 
ce  Chapitre  est  traité  en  détail   dans  les  Ouvrages  de  Clebsch,   Salmon,  Bruno, 

GORDAN. 

(')  Voir  l'extension  qu'en  a  donné  Le  Paige,  Belg.  B.,  (3),  H,  p.  4o-53  :  C. 
R.,  XCII,  p.  io48-9,  iio3-5;  XCIII,  p.  -264-265  et  509-512.  1S81:  C.  B.,  XCIV, 
p.  3i,  69,  424;  Tor.  Atti,  XVII,  p.  299-820,  1882;  Boni.  Ace.  P.  N.  XXXV,  p.  54- 
84,  140-145  ;  Lisboa  Jovn.  de  Sciencias  math.,  IX,  i883. 

(^)  Gott.  Nachr.,  p.  ii5-i2i;  i883  et  avec  plus  de  détails  dans  le  /. /.  Math., 
C,  p.  4*3-424.  —  Consulter  la  remarque  de  IIilbert,  Math.  Ann.,  XXX,  p.  i5. 

(*)  Journ.  f.  Math.,  LXXV,  p.  172-176,  1878;  LXXVI,  p.  3i2-33o,  1878;  Math. 
Ann.,  VI,  p.  264-3 12;  1873.  —  Nous  reviendrons  sur  celte  question  en  parlant  de 
la  théorie  de  1'  Vpolarité,  Ch.  II,  D.  b. 


Mr'M.ANGRS.  2r'> 

le  (Ms  nitis  i;«'ii('ral  de  n  foniKis  y,^.  Les  r('.siill;ils  ()])l('iiiis  sont  en 
liaison  Irrs  ('lioilc  \\\cc.  la  llu'oiic  des  poiv^oiics  cl  des  polyèdres 
polaii'cs. 

De  son  colé,  lleje  (')  a  élé  conduit  à  des  résultats  analogues 
en  suivant  une  lout  autre  voie;  il  a,  en  outre  (^),  indicjué  une 
i;('nér;disalion  de  la  reinarf|ue  (I<î  Sylvester,  d'après  laquelle  nne 
lornie  cubique  (piahMMiaire  peut  être  représenlée  à  l'aide  d'une 
somme  de  cinq  cubes.  Le  Rapporteur  a  dévelopj)é  (^),  avec  beau- 
coup de  détails,  les  relations  qui  existent  entre  le  point  de  vue  de 
Rosanes  et  celui  de  Reyc,  en  montrant,  en  particulier,  comment 
la  représentation  canonique  dans  des  domaines  d'ordre  supérienr 
peut,  à  Taide  de  la  théorie  des  fonctions  symétriques,  être  ra- 
menée à  des  cas  plus  simples. 

Quant  aux  formes  binaires,  nous  avons  encore  à  mentionner  le 
Mémoire  récent  de  G.  Rauer  ( '•  )  sur  la  forme  canonique  des 
formes /o/^;  puis  un  travail  de  Hilbert(^),  qui  donne  un  critère 
permettant  de  reconnaître  si  une  forme  donnée  est  une  puissance 
entière  d'une  autre  forme  binaire. 

On  doit  encore  (*')  à  Hilbert  un  principe,  d'après  lequel  la 
présence  des  irrationalités  est  nettement  mise  en  rebef  :  on 
cherche  les  formes  cpv  (d'ordre  v),  dont  le  composé  (d'un  ordre 
suffisamment  élevé)  avec/  (d'ordre  pair)  ne  diffère  de  cette  der- 
nière que  par  un  facteur  constant  X;  cette  quantité  \  est  un  inva- 
riant irrationnel  de  /,  tandis  que  les  formes  cp  se  présentent  comme 
covariants  irrationnels. 

La  théorie  des  équations  et  la  transformation  de  Tschirnhausen 
ont  également  donné   naissance   à  un   grand   nombre   de   formes 


(')  Journ.  f.  Math.,  LXXII,  p.  293-826;  1870. 

(')  Journ.  f.  Math.,  LXXVIIl,  p.  \\l\-\ii  et  p.  123-129;  1874.—  Foi/- les  remar- 
ques historiques  dans  la  biographie  de  Clebsch  Math,  yln/i.,  VII,  p.  17. 

(')  Apolaritàt  und  rationale  Carven,  Tubinfjuc,  i883. 

(*)  Miinch.  Ber.,  p.  3-2o,  1892. 

(*)  Math.  Ami.,  XXVII,  p.  i58-iGo;  1886.  Au  point  de  vue  de  la  nnéLhodc,  voir 
plus  loin  II  C.  b.  d.  —  Maisano  avait  déjà  (i883)  examiné  les  cas  simples  dans  le 
Rom.  Ace.  L.,  (3),  VII,  p.  23i-233. 

(«)  Leipz.  Ber.;  i885,  p.  427-!Î38;  Math.  Ann.,  XXVIII,  p.  38i-''/|G.  —  Dans  le 
Journ.  de  Math.,  (4),  IV,  p.  249-256,  1886,  Hilbert  a  montré  que  son  principe 
pouvait  être  étendu  aux  domaines  ternaire  et  quaternaire. 


2iO  PREMIÈRE  PARTIE. 

canoniques.  Nous  signalerons  ici  sculcnienl  le  Mémoire  de  Biill  (  ^  ) 
qui  donne  j)oiir  lcsy«  deux  formes  très  remarquables. 

Il  nous  l'cslc  à  considérer  la  représentation  canonique  caracté- 
ristique des  formes  (déllnics)  d'ordre  /z,  à  variables  et  à  coeffi- 
cients réels,  et  conservant  le  même  signe,  indépendamment  des 
valeurs  réelles  attribuées  aux  variables.  Aux  cas  bien  connus 
ni=:9.,  tn  étant  quelconque,  et  in=^i^  n  étant  quelconque, 
Hilbert  (-)  a  ajouté  le  suivant  n  =  4,  i^i  =  3,  auquel  correspond 
une  représentation  (à  l'aide  de  trois  paramètres  arbitraires)  sous 
la  forme  d'une  somme  de  trois  carrés.  De  plus,  l'auteur  a  prouvé 
que,  pour  toute  autre  combinaison  des  nombres  m  et  /i,  la  repré- 
sentation en  somme  de  carrés  est  impossible. 

b.  —  Retour  des  covariants  aux  formes  primitives.  Invariants  et  covariants 

irrationnels. 

Dans  la  théorie  des  nombres,  on  est  parvenu  à  grouper  les 
types  non  éqttivalents  de  formes  quadratiques  binaires  a[)parte- 
nant  à  un  déterminant  donné ^  ce  sont  des  Ijpes  tels  qu'il  est 
impossible  de  passer  de  l'un  des  types  à  un  autre  par  une  substi- 
tution linéaire  (à  coefficients  entiers).  Ce  problème  n'a  pas  été 
sans  influence  sur  les  premiers  développements  de  la  théorie  des 
invariants,  car,  lorsque  Hermite('')  se  proposa  d'en  faire  l'exten- 
sion aux  formes  binaires  d'ordre  supérieur,  il  se  vit  obligé  de 
développer  d'abord  les  méthodes  de  la  théorie  des  formes. 

D'un  autre  côté,  la  Géométrie  conduisit  à  des  problèmes  ana- 
logues. Le  premier  exemple,  et  en  même  temps  le  plus  remar- 
quable^ est  donné  par  la  cubique  plane  Cz'=^  o,  admettant  une 
courbe  covariante  H3=o.  Hesse  découvrit  non  seulement  cette 

(')  Math.  Ann.,  XX,  p.  33o-3j7;  1882.  Ce  sonl  les  formes  : 
x^-\- '2px''-]-2,qx--\- !\rx^ -\-Zx'+2px -\- q        et        x''-\- ax' -\- bx^ -,- ex- -{-i. 

Voir  encore,  pour  la  représentation  canonique  de /,.  : 

Maschke,  Gott.  Nach.;  1887,  p.  42i-4-^4;  Math.  A/in.,  XXX,  p.  496-5i5;  Bom. 
Ace.  L.  li.,  (4),  IV,  p.  i8i-i84;  i884;  Biuosciii,  Acta  Math.,  XII,  p.  83-ioi;  1888; 
LiNDEMAN^N,  Math.  Aiui.,  XX[,  p.  71-109;  BoLZA,  Math.  Ann.,  XXX,  478-493- 

(-)  Math.  Ann.,  XXXIt,  p.  332-35o;  1880. 

(')   Voir,  en  particulier,  le  Journ.  fiir  Matli.,  XL,  XLI;  i85o,  i85i. 


Mftl.AN(;i<S.  217 

(l(MMiicro,  mais  11  parvint  encore  à  monlrer  qiio  réciprorjucnnont, 
H:i  clanl  suppose  donné,  il  y  avait  trois  coiirl)es  corres|)ondantcs. 

IMais  ce  ne  dit  (jik;  plus  lard  que  l'on  approfondit  ces  (jiicstions 
au  point  de  vue  de  la  théorie  d(;s  formes. 

Dans  le  domaine  binaire,  il  y  a  un  [)rol)lèmc  qui,  |)ar  ses  nom- 
breuses a[)plications  géométriques,  a  pris  quelque  importance. 
C'est  celui  qui  consiste  à  déterminer  les  tjpes  non  équivalents  de 
faisceaux  de  formes  y„  H-  A  c^/,  admettant  comme  déterminant  fonc- 
tionnel une  forme  donnée  f2{n-\)  d'ordre  ^(/i  —  i).  Brill  (*)  a 
montré  le  premier  que  ce  problème  admet  un  nombre  fini  de 
solutions,  c'est-à-dire  qu'il  n'existe  aucune  relation  entre  les  coef- 
ficients àe  f2[n-\)' 

Si  le  cas  /^  =  3,  avec  deux  solutions,  n'offrait  pas  de  diffi- 
cultés (-),  il  en  fut  tout  autrement  pour  n  =  4?  conduisant  à  cinq 
solutions  (^).  L'équation  du  cinquième  ordre,  dont  celles-ci  dé- 
pendent, a  été  examinée  par  Steplianos  (^•),  tandis  que  Brill  ('')  a 
étudié  ces  cinq  faisceaux,  particulièrement  dans  leurs  relations 
avec  les  équations  du  sixième  ordre.  D'un  autre  côté,  le  Rappor- 
teur [^)  s'est  occupé  des  liens  qui  rattachent  ces  faisceaux  à  la 
théorie  des  courbes  rationnelles  planes  C/,  et  Ce,  puis  à  la  théorie 
des  cubiques  dans  l'espace.  Il  a  même  été  le  premier  à  donner  la 
solution  (')  du  cas  général,  solution  qui  a  été  confirmée  ensuite, 
à  l'aide  d'autres  méthodes,  par  Steplianos  (^)  et  Schubert  (^). 
Enfin,  Hilbert  parvint  ('*^),  en  s'appujant  sur  le  principe  signalé 
dans  le  paragraphe  précédent,  à  déterminer  l'équation  donnant 


(  ')  Math.  Ann.,  XX,  p.  33o-357;  1882.  Voir  l'exposé  qu'en  donne  le  Rapporteur, 
Apolaritàt. . . ,  p.  820. 

(*)   Voir,  par  exemple,  Caporali,  A'ap.  Rend.,  XXII,  p.  95-114;  i883. 

(')  Dans  les  Math.  Ann.,  XXI,  p.  71-109,  Lindemann  examine  le  cas  parti- 
culier dans  lequel  le  déterminant  fonctionnel  se  confond  avec  le  hessien  de  f^. 

{*)  C.  R.,  XCIII,  p.  993-997;  1881.  C'est  l'extrait  d'un  Mémoire  plus  considé- 
rable couronné  par  l'Académie  et  publié  dans  les  Sav.  étrangers;  i883. 

(^)  Math.  Ann,  XX,  p.  33o-357;  1882. 

(«)  Apolaritàt.. .;  i883. 

(»)  Loc.  cit.,  p.  391.  Pour  un  déterminant  fonctionnel  donné  d'ordre  2n,  il  y  a 

—-r-, —  '     .  faisceaux  de  formes/,..,. 

(•)   Thèse,  r4  pages;  1884. 

(9)  Acta.  Math.,  VIII,  p.  97-117;  1886. 

(•0)  Leipz.  Der.,  p.  1 12-122,  1887;  Math.  Ann.,  XXXIII,  p.  217-236. 

Bull,  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  l.  XIX.     Octobre  1896  )  16 


•ii8  PREMIÈRE   PARTIE. 

les  solutions  du  problème  et  à  traiter  la  question  analogue  relative 
au  faisceau  de  formes  correspondant  à  un  discriminant  donné  {*). 

Ce  dernier  problème,  dans  le  cas  de  deux  variables  indépen- 
dantes, a  été  résolu,  d'une  façon  remarquable,  par  Hurwitz  Ç^),  à 
l'aide  des  métbodes  de  la  théorie  des  fonctions.  Gela  revient, 
selon  cet  éminent  géomètre,  à  chercher  les  surfaces  de  B.iemann 
admettant  des  points  de  ramification  [Verzweigungspunkte) 
donnés.  Ses  résultats  renferment,  comme  cas  particuliers,  ceux 
qui  avaient  été  obtenus  précédemment. 

Dans  les  travaux  récents  sur  la  résolution  des  équations  de 
degré  supérieur,  on  rencontre  un  problème  inverse  assez  remar- 
quable (■^);  il  s'agit,  si  l'on  suppose  les  formes  d'un  sjstème  com- 
plet affectées  de  valeurs  numériques  fixes  (compatibles),  d'éta- 
blir les  équations  dont  dépend  la  détermination  de  la  forme 
primitive. 

L'introduction  des  formes  irrationnelles  dans  la  théorie  des 
fonctions  elliptiques  et  abéliennes,  a  fortement  contribué  au  dé- 
veloppement de  cette  branche.  On  sait,  ainsi  que  l'a  bien  re- 
marqué Klein  (''),  que  l'intégrale  elliptique  de  i'®  espèce  peut 
admettre  une  infinité  de  formes  canoniques,  suivant  les  dimen- 
sions de  l'espace  dans  lequel  on  considère  la  courbe  elliptique 
normale.  Le  modale  de  l'intégrale  est  alors  un  invariant  irra- 
tionnel de  cette  courbe. 

Dans  l'étude  des  genres  /?  ==  2  et  /?  =  3,  on  se  trouve  en  pré- 
sence de  méthodes  très  diverses  (^).  Si,  pour  le  second  cas,  on  se 
borne  à  la  courbe  normale  la  plus  simple,  à  une  quartique  plane 


(')  Math.  A/ifi.,  XXXI,  p.  482-492;  1888. 

(^)  Math.  Ann.,  XXXIX,  p.  1-61;  1891.  Ce  Mémoire  conLient,  ca  outre,  de 
nombreux  renseignements  bibliographiques.  Consulter  aussi  Frobemus,  Journ. 
fur  Math.,  CVI,  p,  125-189;  1890. 

Ce  genre  de  problème  inverse,  examiné  au  point  de  vue  de  la  théorie  des  fonc- 
tions, a  été  présenté,  avec  une  remarquable  clarté  d'exposition  par  Picard  dans 
son  Traité  d'Analyse .f  t.  II,  Chap.  VI;  1892.  Le  Mémoire  de  Hurwitz  se  trouve 
cité  à  la  p.  482.  n.  K. 

(3)  Voir  par  exemple  le  traité  de  Klein,  Vorlesiingen  iiber  das  Ikosaeder, 
et  les  travaux  de  Klein  et  de  Gordan  cités  plus  haut  (  I.  B.  b.  ). 

(<)  Math.  Ann.,  XVII,  p.  i33-i38;  1880.  Leipz.  Abh.,  p.  339-899;  i885.  Con- 
sulter PiCK,y]/ai/i.  ^n/i.,  XXVIII,  p.  3o9-3i8;  1887;  Wiener  Ber.,  iuin  1888,  7  pages; 
et  mars  1889,  28  pages. 

Pour  ce  qui  est  du  genre  p  =  2,  nous  renvoyons  surtout  aux  travaux  de 


MÉLANGIÎS.  7.i(j 

(],,  les  iiiU'gralcs  et  les  fonctions  (")  correspondantes  se  modificni 
dans  leur  caractère  suivant  le  domaine  d(;  rationalité  (jiie  l'on  a 
pris  pour  hase.  Klein  (')  a  fait  voir  (pie  les  fornnes  invariantes 
d(Mil  on  fait  usage  dans  ce  cas  [)ossèdent,  en  général,  la  propriété 
des  combinants.  Toutes  ces  reclierclies  ont,  en  même  temps, 
})ermis  d'enregistrer  des  progrès  dans  la  théorie  géométrique  (^) 
des  C4. 

C.  -    Opérations  symboliques  et  invariantes. 

Nous  arrivons  maintenant  au  domaine  plus  étroit  qui  a  trait 
aux  opérations  dont  on  fait  usage  dans  la  théorie  des  invariants. 
Celles-ci  se  répartissent  en  deux  grandes  classes,  en  opérations 
symboliques  et  en  opérations  réelles;  ces  dernières  se  composent 
d'opérations  dilTérentielles  effectuées  sur  les  formes,  tandis  que 
les  premières  appartiennent  à  l'Algèbre.  En  effet,  on  reconnaît 
facilement  que  le  principe  qui  est  à  la  base  de  ces  méthodes  sym- 
boliques se  confond  avec  celui  des  nombres  idéaux  introduit 
dans  la  Science  d'une  manière  générale  par  Kummer. 

a.  —  Méthode  symbolique  et  représentation  graphique. 

a.  Ecole  allemande.  —  La  méthode  symbolique  (^),  introduite 
par  Glebsch  et  Aronhold,  et  développée  ensuite  par  Gordan  et 
ses  élèves,  a  atteint  un  certain  degré  de  perfection.  Elle  a  princi- 
palement pour  but  de  ramener  la  théorie  des  invariants  des  formes 
d'un  degré  quelconque  à  celle  de  formes  linéaires. 

Dans   l'Introduction,    nous    avons   déjà    tracé  à  grands    traits 


Klein,  Burkhardt  et  Wiltheiss,  publiés  dans  les  Math.  Ann.  à  partir  du 
t.  XXVII. 

Quant  au  genre  /?  =  3,  consulter  Pick,  Math.  Ann.,  XXIX,  p.  ^S^-i'ji)  Klein, 
Gôtt.  Nachr.j  p.  191-194;  i888;  Math.  Ann.,  XXXVI,  p.  i-83;  Wiltheiss,  Math. 
Ann.,  XXXVIII,  p.  1-28,  et  les  Mémoires  de  Pascal  dans  les  Annali  di  Math., 
2»  série,  XVII,  XVIII;  1889,  1890. 

(')  Gott.  Nach.,  p.  191-194;  1888.  Voir  encore  Wirtinger,  Math.  Ann.,  XL, 
36i-4i2;  1892. 

(^)  A  ce  sujet,  on  peut  consulter  Frobenius,  Journ.  fiXr  Math.,  IC,  p.  275-3 1^, 
t.  cm,  p.  189-183 ;  1888. 

(')  Le  lecteur,  désireux  de  s'initier  rapidement  à  ces  méthodes,  pourra  con- 
sulter les  Vorlesungen  de  Gordan,  t.  II,  I"  Partie. 


220  PREMIÈRE  PARTIE. 

les  bases  sur  lesquelles  reposent  les  méthodes  adoptées  par  les 
géomètres  allemands.  Après  avoir  démontré  le  lliéorème  fonda- 
mental d'après  lequel  toute  forme  Invariante  peut  être  représentée 
à  l'aide  d'un  produit  symbolique,  Ciebsch  (^  )  étendit  son  théorème 
à  un  système  de  formes  contenant  nn  certain  nombre  de  formes 
linéaires.  Au  point  de  vue  scientifique,  l'emploi  des  symboles  n'a 
cependant  été  justifié  que  plus  tard,  grâce  à  nne  proposition  gé- 
nérale démontrée  (-)  par  Gordan  pour  les  formes  binaires,  par 
Study  pour  les  formes  ternaires,  et  par  Pascal  pour  les  formes  à 
n  variables. 

Nous  avons  indiqué  plus  haut  (IP  Partie,  A,  ci){^)  comment  la 
méthode  symbolique  se  rattache  à  la  notion  des  réductants,  et  à 
celle  des  systèmes  complets,  relativement  complets  ou  prolongés, 
notions  introduites  par  Gordan.  On  doit  à  ce  dernier  encore  un 
principe  de  translation  symbolique  {Uebertragungsprincip){'*)  : 
si,  pour  une  forme /"=  aj,  on  suppose  connu  le  système  des  inva- 
riants et  covariants  (5,  de  degré  m  —  i  par  rapport  aux  coefficients, 
et  tel  que  toute  autre  formation  soit  exprimable  linéairement  au 
moyen  des  cp,  le  principe  en  question  permet  de  passer  au  système 
correspondant  de  degré  m. 

Tout  récemment  (^),  Strohest  parvenu  à  simplifier,  d'une  façon 
remarquable,  la  méthode  svmbolique  de  Ciebsch  et  Aronhold. 
Son  procédé  revient,  au  point  de  vue  pratique,  à  rendre  le  plus 
petit  possible  le  nombre  des  facteurs  symboliques  dont  se  com- 
pose un  invariant.  L'introduction  des  symboles  fondamentaux  lui 


(')  Jouni.  fiir  Math.,  LIX.  p.  i-G:^;  iSHi  ;  Bbiaere  Fornien,  §  12.  Voir  aussi 
les  démonstrations  de  Daiil  Zeuthen  Tiddskr.,  4"  série,  IV,  p.  i54-i58;  de 
Gordan  Vorlesungen,  II,  §  9,  et  celle  de  Study,  Methoden,  §  5. 

Consulter  encore  Clebsgh,  Gottinger  Abh.,  XVII,  p.  1-62;  1872  et  Math.  Ann., 
II,  p.  1-8;  Waelscii,  Math.  Ann.,  XXXVII,  p.  i4i-i52;  Study,  Leipz.  Ber.y 
p.  172;  1890  et  une  remarque  par  Gordan,  Programni.  (Appendice). 

(^)  Vorlesungen  de  Gordan,  II,  n°  117.  —  Study,  Math.  Ann.,  XXX,  p.  120- 
126  et  Methoden,  §  6.  —  Pascal,  Batt.  G.,  XXVI,  p.  33-38,  io2-io3;  Rom.  Ace. 
L.  Rend.,  4*  série,  IV,  p.  1 19-124;  Rom.  A.  L.  Mém.,  4*  série,  V,  p.  376-387. 

(')  Voir  Bulletin,  XIX^,  p.  87  et  suivantes. 

(♦)  Math.  Ann.,  I,  p.  90-101;  1869;  XVII,  p.  217-234,  Chap.  I;  1880.—  Ne  pas 
confondre  ce  principe  avec  celui  qu'a  donné  Clebscii,  et  que  l'on  trouvera,  par 
exemple,  dans  Clebsch-Lindemann,  t.  I,  p.  274  (ou  dans  l'édition  française, 
t.  I,  p.  342). 

(')  Math.  Ann.,  XXXVI,  p  262-3o3,  §  7;  1890. 


m(i:langrs.  221 

permet  de  donner  des  expressions  1res  simples  pour  les  cova- 
rianls  et  les  péninvarianls. 

La  méthode  s^niholicpic  peut  également  s'étendre  aux  formes 
à  plusieurs  séries  de  variables  soumises  à  des  substitutions  difFé- 
rentes.  Parmi  ces  formes  les  plus  importantes  sont  les  combinants. 
Stroh  a  donné  ('),  pour  ces  derniers,  une  représentation  symbo- 
lique qui  permit  à  Study  (-)  d'étendre  les  résultats  aux  combinants 
de  formes  qui,  à  coté  des  variables  x^  contiennent  encore  les  va- 
riables contragrédientes  u. 

On  parviendra  d'une  façon  analogue  aux  invariants  et  covariants 
des  formes  plus  compliquées  de  l'espèce  y-i'ci'^  •  •  . ,  dans  lesquelles 
figurent  les  différentes  séries  des  ^,  Ç,  ....  Gordan  (^)  a  donné, 
pour  le  domaine  binaire,  une  représentation  symbolique  ne  con- 
tenant qu'un  seul  symbole. 

Rappelons  enfin,  pour  terminer,  que  les  principaux  symboles 
de  la  théorie  des  groupes  de  transformations  d'après  Lie,  le  ,/!^f" 
de  la  transformation  infinitésimale  et  le  (X^X^)  [Klammeraus- 
druck)  ont  été  adaptés  avec  succès  par  Study  au  domaine  plus 
spécial  des  transformations  projectives  (^). 

j^.  Ecole  anglaise.  —  Si  les  méthodes  signalées  dans  le  para- 
graphe précédent  possèdent,  dans  leur  ensemble,  un  caractère 
uniforme,  celles  que  l'on  rencontre  actuellement  chez  les  auteurs 
anglais  (  ^  )  présentent  des  tendances  très  diverses.  On  peut  les  exa- 
miner à  trois  points  de  vue  différents  :  d'abord  on  constate  l'in- 
troduction de  représentations  graphiques  dans  le  but  de  faciliter 
l'étude  des  expressions  de  la  théorie  des  formes,  puis,  inverse- 
ment, le  fait  que  notre  domaine  peut  être  considéré  comme  une 
branche  de  l'Algèbre  (universelle)   des  matrices,   enfin,    le  lien 


(')  Math.  Ann.,  XXII,  p.  393-4o5;  i883. 

Une  méthode  analogue  a  été  suivie  par  Capelli  pour  les  formes  quadratiques 
à  deux  séries  binaires  {Datt.  G.  XVII,  p.  69-148;  1879),  et  par  Le  Paige  pour  des 
formes  muUilincaircs  {Belg.  Bull.,  3®  série,  II,  p.  4o-53  ;  1881). 

(')  Voir  son  Traité  Metlioden,  etc.,  II,  §  13. 

(•^)  Math.  Ann.,  XXXTII,  p.  372-889;  1889. 

(*)  Methoden,  II,  §  15. 

(*)  Dans  ses  derniers  travaux,  Cayley  qui  avait  cependant  créé  la  représenta- 
tion symbolique,  préféra  faire    usage  des  sources    et  des  fonctions   génératrices. 


222  PUEMIÈHIi   PARTIE. 

symbolique  qui  ralLachc  les  péninvarianls  à  l'étude  des  fonctions 
symétriques. 

En  1 878,  Sylvester  (  '  )  a  fait  voir  que,  dans  la  théorie  atomique, 
les  formules  de  constitution  présentent  une  grande  analogie  avec 
la  représentation  symbolique  des  invariants  et  covarianls  binaires. 
Si  l'on  envisage  les  éléments  chimiques  comme  des  formes  binaires, 
par  exemple, 

la  valence  correspondant  à  l'ordre  de  la  forme,  on  voit  que  les 
combinaisons  saturées  correspondent  aux  invariants  et  les  com- 
binaisons 7ion  saturées  aux  covarianls.  Ainsi,   dans  le  premier 

cas,  on  a 

2O  =  {00'y,         H20  =  {ho)(h'o). 

En  représentant  alors,  comme  en  Chimie,  les  éléments  par  des 
points  et  les  liaisons  (Aa-,  etc.)  par  des  droites,  on  possédera  une 
image  de  la  représentation  symbolique  des  invariants  binaires. 
Sylvester  en  a  tiré  des  applications  très  curieuses,  concernant  la 
loi  de  réciprocité  d'Hermite  et  les  formes  associées  de  Clebsch. 

Il  est  évident  qu'une  pareille  représentation  graphique  est 
sujette  à  de  nombreuses  modifications.  Ainsi,  on  peut  faire  usage 
de  l'expression  d'un  invariant  binaire  en  fonction  des  différences 
des  racines;  c'est  une  somme  (symétrique)  de  produits  tels  que 

{Xi—  CC2)^{Xi  —  Xz)^{X2—  X^)!  ..  .{Xa-i  —  Xn)', 

où  les  exposants  sont  ^  o,  les  degrés  en  ^, ,  X2-,  .  .  .  ^  Xn  étant  tous 
égaux.  On  représentera  chaque  x  par  un  point  et  chaque  difl'é- 
rence  xi  —  x^  par  une  ligne  joignant  Xi  à  Xh-  On  aurait,  par 
exemple,  pour 

{Xi—  x,_y{Xi—  X'^YiXx—  X^)(^X.i—  X!,){X^  —  X^){Xi—  Xz), 

un  carré  avec  deux  côtés  opposés  doubles  et  deux  diagonales. 


(')  Ann.  J.,  t.  I,  p.  63-125;  1878.  Voir  dans  le  même  Recueil  les  remarques  de 
Clifford,  p.  126-129  cl  de  Malet,  p.  277-282. 

Clifford  a  étendu  ce  procédé  aux  formes  binaires  linéaires  par  rapport  à  plu- 
sieurs séries  de  variables.  Lond.  M.  S.  Proc,  X,  p.  124-129,  214-221;  1879.  Voir 
aussi  p.  204-214  une  Note  de  Spottiswoodc. 


MÉLANGHS.  v.23 

Il  s(î  présente  alors  une  cjiicslion  iinporlante,  celle  de  la  réduc- 
lil)ilil('-  (le  l'li)ia<;c  (').  Pelcrsen  ("-)eii  fail  usaj:;c  pour  (l(;monlrcr 
un  ihcorèriK*  de  (iordan  d'aprrs  lequel^  poiii"  iiiic  forme  donnée, 
le  nombre  des  produits  ci-dessus  est  fini,  tout  autre  produit  pou- 
vant être  déduit  de  ceux-ci  par  une  multiplication;  de  plus,  il 
parvient  même  à  déterminer  ces  produits. 

Quant  à  la  théorie  des  invariants,  considérée  comme  cas  parti- 
culier de  l'Algèbre  des  grandeurs  extensives,  nous  nous  bornerons 
à  indiquer  un  exemple.  Etant  données  deux  formes  binaires  bili- 
néaires 

?  =  ^H^ljl  -+-  ^12-2^172-+-  ^21^271  +  ^22^272, 

on  peut  former  le  second  composé  {Ueberschiebung)^  qui 
reste  invariant  même  pour  des  substitutions  indépendantes  effec- 
tuées sur  les  deux  séries  de  variables,  en  faisant  le  produit y*cp, 
ces  unités  x^^  Xo,  yt-,  y^-,  étant  soumises  aux  conditions 

xi  =  xl  =y\  =yl  =  o,         xix.2  =  —  XiXi=  yiy2  =  —  fifi^  r. 
On  obtient,  en  effet, 

{f^Y-=  «11^22—  «12^21  —  «21  ^12+  «22^11. 

La  généralisation  n'offre  aucune  difficulté.  On  trouve  des  dé- 
veloppements, sur  ce  sujet,  dans  Clifford  (/oc.  cit.)^  bien  que 
le  germe  de  celte  théorie  se  présente  déjà  dans  l'œuvre  de  Grass- 
mann  [^). 

Nous  passons  maintenant  à  la  représentation  symbolique  des 
invariants  binaires  basée  sur  la  théorie  des  fonctions  symétriques. 

La  source  Go  d'un  covariant  de  f,i  est,  comme  on  sait,  une 
forme  isobare  par  rapport  aux  coefficients  «o»  <^i5  <^2)  •  •  •  5  elle 
vérifie  l'équation  différentielle 

c)Go  ôCq       _      (9Go 

12  =  «0  -; h  2  ai  -; h  3  a2  -; h  . .  .  =  o. 

aai  da=>  oa^ 


(')  Consulter  Bucuheim,  Loiid.  M.  S.  Proc.^  XVII,  p.  80-106,  et  Kempe,  p.  107- 
121;  1886,  t.  XXIV,  p.  97-118;  1893. 

(')  Acta  Math.,  XV,  p.  198-220;  1891. 

(')  Voir  par  exemple,  un  exposé  dans  la  biographie  de  Grassmann,  Math.  Jnn,, 
XIV,  p.  9  cl  suivanlcs. 


224  PHEMlÈUIi    PARTIE. 

Par  suite,  Gq  restera  une  pareille  source  pour  toute  (orme  fn+i^ 
/n+2-,  '  •  •  d'un  ordre  plus  élevé.  On  désigne  alors  Go  sous  le  nom 
de  péni/ii^ariant  (semi-mwairianl)  de  la  série  prolongée  des  va- 
leurs «0,  a,,  cioy  ....  Gcs  péninvariants  sont  indépendants  de 
l'ordre  n  de  la  forme  fondamentale;  c'est  là  une  proposition  fon- 
damentale que  l'on  doit  à  Mac-Mahon  (*  ).  Il  en  résulte  une  parti- 
tion symbolique,  procédé  que  l'on  retrouve  dans  les  principes 
que  Sjlvester  a  placés  à  la  base  d'une  Algèbre  universelle  (^). 

Gette  méthode  a  permis  à  Gayley  (loc.  cit.)  d'établir  pour  les 
péninvariants  la  fonction  génératrice 


xJ 


{l  —  X^){]  —  X^).  .  .(i  —  xJ) 


dans  le  développement  de  laquelle  le  coefficient  de  œ"^  indique  le 
nombre  des  péninvariants  de  degré  j  et  de  poids  (P,  et  linéaire- 
ment indépendants. 

En  suivant  une  marche  analogue,  Mac-Mahon  (loc.  cit.)  est 
parvenu  à  la  fonction  génératrice  des  perpétuants,  c'est-à-dire 
des  péninvariants  qui  ne  sont  pas  fonction  entière  et  rationnelle 
de  péninvariants  de  degré  moindre.  Gette  fonction  prend  la  forme 

simple 

3727-1  —  I 


2.3.4. ..y 


Gajlej  et  Mac-Mahon  ont  calculé,   d'après  cela,  des  tables  très 
étendues  pour  les  péninvariants,  les  perpétuants  et  leurs  syzygies. 


{')  Am.   /.,   VII,  p.  26-47;    i884-   Consulter   Cayley,  môme  Recueil,  p.    1-25, 
59-73  et  Quart.  /.,  XX,  p.  2i2-2i3;  iS8^. 
(*)  Am.  /.,  t.  V,  p.  79-137,  VI,  p.  270-286;  i883  et  dans  le  t.  IV,  un  Mémoire  de 

Peirge,  p.  97-229;  1881. 


MfiLANGIiS. 


V.2J 


SUR   LA   RÉALISATION   PHYSIQUE   DU   MOUVEMENT   D'UN  CORPS  PESANT 
DE  RÉVOLUTION  FIXÉ  PAR  UN  POINT  DE  SON  AXE; 

Pau  IM.  G.  KOENIGS, 
Professeur  adjoint  à  la  bacullc  des  Sciences  de  Paris. 

Le  problème  d'un  corps  de  révolution  pesant,  mobile  autour 
d'un  jioint  de  son  axe  est  depuis  longtemps  classique  et  l'on  s'est 
eirorcé  d'en  reproduire  le  plus  exactement  possible  les  circon- 
stances au  mojen  de  divers  appareils. 

Un  des  plus  répandus  consiste  en  un  anneau  fixé  à  l'extrémité 
d'une  tige  OA;  le  tore  AB  a  son  axe  dans  le  prolongement  de  OA 

Vis-  I. 


y 


et  se  trouve  maintenu  par  deux  crapaudines  placées  en  A  et  B  et 
dans  lesquelles  s'engagent  les  extrémités  de  l'axe.  On  imprime 
au  tore  une  rotation  rapide  autour  de  son  axe,  par  rapport  à 
l'anneau  et  c'est  par  le  mouvement  de  ce  sj'stème,  le  point  O  étant 
maintenu  fixe  et  la  tige  OA  tournant  librement  autour  de  O,  que 
l'on  prétend  représenter  et  illustrer  en  une  expérience  le  mouve- 
ment d'un  corps  de  révolution  fixé  par  un  point  de  son  axe. 

En  réalité,  on  a  affaire  à  un  problème  bien  plus  compliqué  et 
dès  lors  l'on  doit  se  proposer  de  chercher  quelles  sont  les  con- 
ditions dans  lesquelles  on  se  rapproche  le  mieux  des  hypothèses 
qui  servent  de  base  aux  calculs.  C'est  ce  problème  que  nous  nous 
proposons  de  résoudre. 


226  PUEMIEUlî   PARTIE. 

Prenons  OB  pour  axe  Oz;  Oy  sera  la  perpendiculaire  à  O^  con- 
tenue dans  le  plan  de  l'anneau  (assimilable  à  cause  de  sa  minceur 
à  une  figure  plane) ^  enfin  Ox  sera  perpendiculaire  au  plan  de 
l'anneau.  Le  trièdre  Oxyz  sera  mobile  par  rapport  à  des  axes 
fixes  Oxi,  Oyi,  0^4  dont  le  dernier  vertical  et  dirigé  vers  le  bas. 
Nous  appelons  9,  (p,  <h  les  angles  d'Euler  qui  fixent  la  position  du 
trièdre  mobile  par  rapport  au  trièdre  fixe,  enfin  <I>  sera  l'angle  d'un 

rayon  tracé  sur  le  tore  avec  l'axe  Ox,  en  sorte  que  <!>'=  -^  re- 
présente la  vitesse  du  tore  autour  de  son  axe. 

Appelons  A  le  moment  d'inertie  du  tore  par  rapport  à  l'un  quel- 
conque des  axes  issus  de  O  perpendiculairement  à  O^,  par  C  le 
moment  d'inertie  autour  de  l'axe  O^  de  révolution,  enfin  appe- 
lons A^,  B',  C  les  moments  d'inertie  de  l'anneau  et  de  la  tige  OA 
par  rapport  aux  axes  Oœ,  Oy,  Oz,  qui  sont  les  axes  principaux 
relatifs  au  point  O. 

La  force  vive  totale  du  tore,  de  la  tige  OA  et  de  l'anneau  sera 

2T  =  A(/?2+  ^2)  +  C(r  +  <i)')2+  A>2+  B'^2-f-  G'/'2, 

oii  l'on  a 

/)  =  tj;'sincpsinO  +  G'coscp, 

g  =  (];'  coscp  sinO —  0'  sin  cp, 
/'  =  y  cosO  -f-  cp'. 

Dans  l'état  actuel  des  choses,  A'  étant  différent  de  B'  et  la  diffé- 
rence A' — B'  étant  très  loin  d'être  négligeable,  le  problème  se 
trouve  particulièrement  compliqué  et  n'est  môme  pas  rigoureuse- 
ment soluble.  Un  moyen  de  s'en  tirer  serait  de  rendre  la  masse 
de  l'anneau  négligeable  vis-à-vis  de  celle  du  tore,  mais  cela  n'est  pas 
réalisable. 

Il  est  un  autre  procédé  qui  rend,  au  contraire,  le  problème 
parfaitement  accessible  et  qui  permet  de  réaliser  rigoureusement 
le  mouvement  qu'il  s'agit  de  représenter. 

Imaginons  qu'on  ait  fixé  dans  le  plan  zOx  un  anneau  pareil  au 
premier,  celui  qui  résulterait  du  premier  par  une  rotation  de  90° 
autour  de  O^.  Dans  la  cliappe  bi-annulaire  ainsi  réalisée  l'ellip- 
soïde d'inertie  est  de  révolution  autour  de  O^.  On  a,  il  est  vrai, 
augmenté  le  poids  de  la  chappc,  mais  je  me  propose  de  prouver 


Mf^:LANGIi;S.  9/;- 7 

que  cette  aiigmcnlalioîi  de  poids  est  profltahlo  cl  (jiic,  graf^c  ;i  cetle 
nouvelle  (lisj)osilion,  /V/./v  (  )  :;  r.s7  <initnê  dUiii  niouvcnienL  syn- 
chrone à  vflui  (T  un  solide  de  ï'évoluLÎonJixé  pai'  un  point  de  son 
(U'c  et  dans  Idjucl on  négligerait  la  masse  de  la  citappe  de  sup- 
port. Le  fall  est,  on  le  voit,  entièrement  analogue  à  celui  (jul  réduit 
la  théorie  du  pendule  comj)osé  à  celle  du  pendule  siniple  synchrone. 
Reprenons,  en  eflet,  l'expression  de  la  force  vive;  l'IijpoLlièsc 
A'=:  B'  la  réduit  à  la  forme 

2T  =  (A  +  A')(/?2+  ^2)  +  G  (r-h  <î>')2-{-  GV2, 

landisquc,  si  /  désigne  la  distance  du  point  O  au  centre  de  gravité  G 

(situé  sur  O:;)  de  l'ensemble  des   corps  mobiles,    on   a  pour  la 

fonction  des  forces 

U  =  P/cosO, 

P  étant  le  poids  total  du  tore,  de  la  chappe  et  de  la  tige  OA. 

En  tenant  compte  des  formules  qui  donnent  /?,  q^  /',  nous  au- 
rons pour  la  force  vive  totale 

2T  =  (  A  +  A')(t];'2  sin2e  +  0'2)+  C(cp'+  -V  cosO  +  <ï>')2-f-  G'(cp'-f-  -y  cosO)^. 
Nous  écrirons  d'abord  l'intégrale  des  forces  vives 

(A  + A')'(4;'2sin20  +  e'2) 

4-  G(cp'+  ^'  cosO  -I-  *')^-i-  ^'(t'+  ^'  cosO)2  =  2P/  cosO  +  Ao, 

et  puis  les  équations  de  Lagrange 

dt\ô^')~'''         dt\â^)~'''         dt\dY/~~''' 
Les  deux  premières  donnent 

(1)  cp'H- (];' cosO -4- *'=  a, 

(2)  cp'-4-6'cOsO  =   P, 

où  a,  ^  désignent  deux  constantes.  En  conséquence, 

est  une  constante,  ce  qui  prouve  que  le  tore  conserve  sa  vitesse  de 
rotation  initiale  dans  la  chappe. 

L'équation  relative  à  'V  donne  alors,  en  tenant  compte  des  équa- 


228  PHEMIÈUE   PAUÏIE. 

lions  (i)  cl  (2) 

(3)  (A  +  A')^'sin20  4-(Ga-t-  G'p)cosO  =  Y  =  const., 

tandis  que  i'équalion  des  forces  vives  devient 

(4  )  (A  +  A')[f  2  sin20  +  0'2]  =  2P/  cosO  +  li, 

OÙ  h  est  une  constante  arbitraire. 

Or,  les  équations  (2),  (3)  et  (4)  correspondent  visiblement  au 
mouvement  du  trièdre  Oxyz  qui  se  produirait  dans  le  cas  d'un 
corps  de  révolution  autour  de  O^  pour  lequel  (A  +  A')  serait  le 
moment  d'inertie  autour  d'un  axe  équalorial  quelconque. 

Ainsi  le  mouvement  de  Oz  et  de  tout  le  trièdre  Oxyz  sera  bien 
synchrone  a  celui  qui  se  produirait  dans  un  cas  théorique  où  la 
masse  de  la  cliappe  serait  négligée  (*). 


SUR  LA  PRÉCESSION  DANS  LE  MOUVEMENT  D'UN  CORPS  PESANT 
DE  RÉVOLUTION  FIXÉ  PAR  UN  POINT  DE  SON  AXE; 

Par  m.  J.  HADAMARD. 

Le  mouvement  d'un  corps  pesant  de  révolution  fixé  par  un 
point  sur  son  axe  dépend,  comme  on  sait,  des  formules  sui- 
vantes : 

Soient  a  le  cosinus  de  l'angle  que  fait  l'axe  du  corps  avec  la 
verticale,  cp  l'angle  du  plan  vertical  qui  contient  l'axe  avec  un  ver- 
tical fixe,  on  a 

(1)  ~  =  v/R(w),         ^{u)=:{\—u''~){\u-\-ix)  —  {n'—nuy-, 


(')  Je  ferai  observer  que  l'emploi  d'une  chappe  formée  de  deux  anneaux  à 
angle  droit  permet  de  réduire  l'épaisseur  de  chacun  de  ces  anneaux,  qui  pourront 
être  chacun  moins  lourd  que  ne  doit  l'être  un  anneau  emploj^é  isolément.  Notre 
procédé  n'a  donc  pas  pour  effet  de  doubler  le  poids  de  la  chappe.  Il  est  certain 
qu'une  très  grande  augmentation  du  poids  entraînerait  la  nécessité,  pour  cer- 
taines expériences,  d'une  grande  vitesse  de  rotation  du  tore.  Mais  on  peut  aisé- 
ment éluder  cet  inconvénient. 


après  quoi,  'j  csl,  doiiiu''  par 

/  X  r f^' —  /'"  , 

(■■••)  <p= 7 -.--«*'"• 

fiCS  nonil)rc.s  X,  [ji,  /?,,  /?/  sont  conslanls  avec  X  >>  o  ;  le  polynôme 
I{  (//)  a  deux  racines  a,  j^  comprises  entre  —  i  cL  -1-  i ,  et  une  troi- 
sième Y,  entre  —  oo  et  —  i . 

Le  paramètre  a  oseille  périodicpiemcnt  entre  a  et  p. 

Quant  à  l'angle  es,  il  varie  toujours  dans  le  même   sens,  si  la 

quantité  —  n'est  pas  comprise  entre  a  et  p;  mais,  dans  le  cas  con- 
traire, il  est  alternativement  croissant  et  décroissant.  H  y  a  dès 
lors  lieu  de  se  demander  si  cet  angle  ne  pourrait  pas  aussi  varier 
périodiquement,  auquel  cas  le  lieu  de  l'axe  du  corps  serait  un  cône 
fermé  ne  comprenant  pas  la  verticale. 

On  sait  qu'il  n'en  est  rien  et  que  la  variation  totale  de  o,  cor- 
respondant à  une  période  d^ oscillation  de  w,  est  différente 
de  o  et  de  même  signe  que  la  variation  élémentaire  de  cet 
angle  au  moment  oit  u  atteint  la  plus  grande  de  ses  deux  va- 
leurs limites. 

Mais,  à  ma  connaissance,  ce  fait  n'a  pu  être  démontré  jusqu'ici 
que  par  une  discussion  assez  approfondie  de  fonctions  elliptiques 
(voir  le  Traité  d'Halphen). 

Le  raisonnement  suivant  conduit,  au  contraire,  très  simplement 
au  même  résultat. 

Soit,  pour  fixer  les  idées,  a  <<  ^  :  la  variation  considérée  est  le 
double  de  l'intégrale 

/*'  /i'  —  nu       dit 

le  radical  étant  pris  avec  le  signe  -f-,  puisque  la  variation  corres- 
pondante de  t  doit  être  positive. 

Or,  je  dis  que  l'on  obtient  la  même  valeur  en  prenant  l'inté- 
grale entre  les  limites  — oo  et  y  (toujours  avec  le  signe  -f-  devant 
le  radical). 

Pour  le  démontrer,  on  intégrera  la  fonction  sous  le  signe  /  le 
long  d'un  double  contour  :   un   contour  extérieur  constitué  par 


23o  PREMIKMH   l»AHTIE. 

une  très  grande  circonférence  et  un  lacet  parlant  fie  —  a:  et  y 
revenant  après  avoir  entouré  le  point  y;  un  contour  Intérieur  en- 
tonrant  les  points  a,  p. 

La  fonction  à  intégrer  est  uniforme  dans  l'aire  ainsi  délimitée 
(le  radical  étant  pris  avec  le  signe  +,  sur  le  contour  ap,  au-des- 
sous de  Taxe  réel,  et  sur  le  contour  —  coy,  au-dessus  du  même 
axe).  L'intégrale  est  donc  donnée  par  la  somme  des  résidus  relatifs 
aux  points  i  et  —  i . 

Or,  si  la  quantité  —  =  A*  est  comprise  entre  a  et  p,  ou  plus  gé- 
néralement si  elle  est  comprise  entre  —  i  et  H-  i ,  ces  deux  résidus 
sont  égaux  et  de  signes  contraires.  Désignant  en  effet  par  £  l'un 
des  nombres  zh  i ,  on  a 

R(£)  =  _(,i'_/i£)2         et         \/R(J)=±i{n''-  nt); 
le  signe  étant  le  même  pour  £  =-|-  i  et  pour  £  = —  i  (car,  dans 


les  conditions  où  nous  nous  sommes  placés,  l'argument  de  ^K(£) 
est£-?  et,  d'autre  part,  n' — n  et  /i' -\- n  sont  de  signes  diffé- 
rents j.  11  en  résulte  pour  le  résidu  correspondant  la  valeur 


n  —  nz 


L'intégrale  le  long  du  double  contour  est  donc  nulle  et  la  varia- 
tion de  cp  peut  s'obtenir  par  l'intégrale 


/, 


n  —  nu  , 

du 


(i-  a2)v/K(w) 

prise  entre  —  co  et  y.  Or  ceci  supprime  toute  difficulté,  car  cette 

/i' 
nouvelle  intégrale,  dans  le  cas  où  —  est  compris  entre  —  i  et  +  i, 

a  tous  ses  éléments  du  même  signe,  celui  de  —  7i'^  ce  qui  fournit 
la  conclusion  demandée. 


HULLF/riN  lUIJLIOiiHAIMlIQUK.  .;.3i 

BULLETIN    JUnLKXiKAlMIlQUE. 


OttI']  (A.)-  —  GrenzhercicJie  iincl  FlnclicnsliXcke  kleinsteii  Fldchen- 
inhaltes  dcr  i^ewôluiUcheii  Sckrauhenjldclie.  inauguraldiss.  Jn-S", 
32  p.  Gottingen. 

PiCART  (J.).  —  Sur  le  mouvement  d'un  corps  de  figure  variable. 
In-8°,  23  )).  Bordeaux,  impr.  Gounouilhou. 

Schilling  (Fr.)-  —  Beitrdge  zur  geomelrischen  Théorie  der  Schwarz'- 
schens-Function.  Inauguraldissert.  In-8",   loo  p.  Gottingen. 

Weber  (II.)-  — Lehrbuch  der  Algehra.  (En  2  volumes).  Tome  I.  Gr. 
in-8",  xv-653  p.  28  figures.  Braunschweig,  Vieweg  und  Sohn.  16  m. 

Hadam.vrd  (J.).  —  Sur  les  mouvements  de  roulement.  In-8'',  25  p. 
Bordeaux,  impr.  Gounouilliou. 

Helmholtz  (H.  V.).  —  Ilandbuch  der  physiologischen  Optik.  2*  édition, 
çf  livraison,  avec  figures.  Gr.  in-8°.  Ilamburg,  Voss.  3  m. 

Anthony  (G.-C).  —  Eléments  of  Mechanical  Drawing.  Use  of  In- 
struments, Geometrical  Problems,  and  Projection.  Illustrated,  Oblong. 
Boston.  6  sh.  6  d. 

Gouilly  (Alex.).  —  Eléments  et  organes  des  machines.  In-S",  4ii  p. 
avec  figures.  Paris,  Gauthier- Villars  et  fils. 

Barbera  (L.).  —  Teoria  délie  equazioni  differenziali  duple.  In-8", 
Bologna,  Generalli.  4  L. 

Demoulin  (A.).  —  Mémoire  sur  l'application  d'une  méthode  vecto- 
rielle à  l'étude  des  divers  systèmes  de  droites.  ln-8°,  118  p.  Bruxelles, 
Castaigne.  3'^'",5o. 

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and  their  application  to  Physics.  In-S",  286  p,  London,  Macmillan. 
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cateurs exponentiels  ou  à  périodes  rationnelles  (Thèse).  In-4°,  53  p. 
avec  fig.  Paris,  Gauthier-Villars  et  fils. 

Le  Roux  (J.).  —  Sur  les  intégrales  des  équations  linéaires  aux  dé- 
rivées partielles  du  second  ordre  à  deux  variables  indépendantes 
(Thèse).  In-4°,  gS  p.  Paris,  Gautliicr-Villars  et  fils. 


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slrucLion  des  courbes  planes;  Compléments  relatifs  aux  coniques.  In-S", 
296  p.  avec  fig.  Paris,  Gautliicr-Villars  et  fils.  8  fr. 

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ptotes de  Simon  Motot.  In-8",  5\  j).  Versailles,  imp.  Cerf  et  C'*^. 

AuTENiiEiMER  (F-).  —  Elcmentarbuck  der  Differential-  u.  Intégral- 
rechnung  in  zahlreichen  Anwendungen  aus  der  Analysis,  Géométrie, 
Mechanik,  etc.,  ftir  hôhere  Schulen  und  den  Selbstiinterricht.  4*^  édi- 
tion. Gr.  in-8°,  \iii-535  p.  avec  157  figures.  Weimar,  Voigt.  9  m. 

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In-8°.  Torino,  Bona.  6  L. 

IIabets  (A.).  —  Cours  de  Topographie.  2^  édit.  ^1-8°,  ■ii(j  p.  avec  fig. 
Liège,  Baudry.  8  fr. 

Handworterbuch  der  Astronomie,  herausgegeb.  von  IV.  Valenliner. 
Mit  Abbildgn  (en  12  livraisons  environ),  i*"'  livraison.  Gr.  in-8",  128  p. 
Breslau,  Trewendt.  3  m.  60  pf. 

Henry  (C).  —  Abrégé  de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques.  In-8°, 
126  p.  avec  fig.  Paris,  Nony  et  C"^. 

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leurs  intégrales.  Etude  des  fonctions  analytiques  sur  une  surface  de 
Riemann.  In-8°.  x-542  p.  avec  fig.  Paris,  Gauthicr-Villars  et  fils.  16  fr. 

Biermann  (0.).  —  Elemente  der  hôheren  Mathematik.  Vorlesungen 
zur  Vorbereitung  des  Studiums  der  Dif/erentialrecJinung,  Algebra 
u.  Functionentheorie.  Gr.  in-8°,  xii-38i  p.  Leipzig,  Teubner.   10  m. 

Marggraf  (B.).  —  Primitive  Gruppen,  welche  eine  transitive  Gruppe 
geringeren  Grades  enthalten.  Progr.  Gr.  in-4°,  3i  p.  Berlin,  Gaertner. 
I  m. 

Schafiieitlein  (P.).  —  Ueber  die  Produckte  der  Lôsungen  homo- 
gener  linearer  Differentialgleichungen.  Gr.  in-4°,  29  p.  Berlin, 
Gaertner.   i  m. 


COMPTAS    KIINDTS    IIT    AN  A  LV  S  T.  S. 


COMI^TKS    IU:M)IJS    KT    WAf.^SKS. 


ir  Hmii.  IIAïïNTZSCIIEL.  Ohorloliror  iin  diM-  III  IUniIscIiiiIc  zii  Merlin.  —  Su  - 
DiK\  ri:iu:H  du:  IIkdlction  i)i:u  i*oTi:NTiVi.Gi.i:i(;iiux(;  aijf  (m.wofinmciii: 
DiFFiîiiKNTiAUiLKiciiuxGKN.  Eiiî  Anlians^  zu  llcinc's  Ilaiulbiicli  (Jcr  KulîoI- 
funclionen.  Berlin,  Goorg  Hoinicr,  1893. 

Il  s'agit  d'une  rôduclion  de  l'rquation  AV  =  o  à  des  cqualioiis 
(IKTérenliclIcs  ordinaires,  indiquée  jiar  IM.  Wangerin  (')  pour  cer- 
tains corps  de  révolution.  L'auteur  généralise  les  résultats  de 
M.  Wangerin,  et  obtient  des  méridiennes  du  seizième  ordre  au  lieu 
du  quatrième.  INIaisson  objet  principal  est  l'élude  de  ces  é(|ualioris 
différentielles  auxquelles  conduit  la  réduction  précitée,  la  façon 
dont  elles  se  raltacbent  à  des  tjpes  d'équations  connues  :  équalion 
de  Lamé,  équation  de  Bessel,  et  d'autres  considérées  ])ar  Heine 
dans  son  Handbuch  der  Kagelfunctionen . 

Toutes  ces  équations  peuvent  par  des  transformations  simples 
se  ramener  à  la  forme 

O  et  'h  étant  des  fonctions  rationnelles  entières  de  degrés  respecti- 
vement s  et  5  —  2. 

L'auteur  cherche  aussi  des  développements  en  série  des  inté- 
grales de  ces  équations  aux  environs  des  points  singuliers  et  dans 
quels  cas  ces  intégrales  se  ramènent  à  des  transcendantes  plus 
simples. 

Une  équation  analogue  à  celle  de  Laplace,  à  savoir  l'équation 

AV  ^^ 

à  laquelle  on  est  conduit  dans  la  théorie  analytique  de  la  chaleur, 
a  été  ramenée  par  Heine,  dans  le  cas  des  corps  de  révolution  du 


(")  Wangerin,  Réduction  der  Potentialgleichung  fiir  gavisse  Rotations- 
korper  au/  eine  gewohnliche  Difjerentlalgleichung.  {Preis.<icliriften  der  fur- 
stlich  JablonoivoskVschen  Gesellschaftder  li'/ssenscha/ten,  nMS;  Leipzig,  1875). 

RulL  des  Sciences  niathéni.,  -x"  série,  t.  XI\.  (Novembre  i8ç)j.)  17 


234  PUEMIËHE   PAUTIH. 

second  déféré,  à  une  éqiialion  difl'érenliellc  qu'il  intègre  par  les 
fonctions  cylindriques. 

Cette  équation  est  de  la  forme,  ou  tout  au  moins  peut  être 
ramenée  à  la  forme  générale  indiquée  plus  haut. 

C'est  cette  équation  que  M.  llaentzschel  étudie  dans  la  dernière 
partie  de  son  travail,  d'après  les  mêmes  principes  qu'il  a  appliqués 
aux  précédentes.  11  répond  ainsi  à  un  desideratum  exprimé  par 
Heine  lui-même  dans  son  llandbucli  cler  Kugelfunctionen. 

E.     CiVHEJX. 


HERMANN  GRASSMAN'S  gesammelte  mathematische  und  physikalische 
Werke,  aiif  Veranlassung  der  iVlathematisch-Physischen  Klasse  der  Kgl. 
Sâchsischen  Gesellschaft  der  VVissenscliaften  und  imtcr  MiUvirkung  der 
Herren  Liiroth,  Study,  Jiistus  Grassmann.  Hermann  Grassmann  der  jun- 
gere,  Scheffers,  herausgegeben  von  Friedrich  Engel.  Erstes  Bandes  erster 
Theil  :  Die  Aiisdelinungslelire  von  i844  n-'td  die  geometrische  Analyse. 
I  vol.  in-8",  xu-435  p.  Leipzig,  Teubncr,  1894. 

Grassmann  appartient  au  petit  groupe  d'hommes  dont  la  pensée 
n'a  été  bien  comprise  qu'après  eux,  et  qui  étaient  destinés  à  une 
gloire  posthume.  11  y  aura  toujours,  sans  doute,  des  hommes  qui 
ne  seront  point  compris  de  leur  vivant,  et  il  convient  de  les  plaindre 
dans  tous  les  cas;  mais  ils  peuvent  se  consoler  en  relisant  l'his- 
toire des  illustres  méconnus,  d'autant  plus  sûrement  qu'en  ren- 
voyant la  réalisation  de  leurs  espérances  à  un  temps  qu'ils  ne  ver- 
ront pas,  ils  sont  certains  de  ne  pas  connaître  de  déception.  C'est 
ainsi  que  l'injustice  qui  a  frappé  quelques  grands  hommes  sert  à 
adoucir  beaucoup  d'amertumes. 

L'injustice  dont  Grassmann  a  été  victime  n'a  d'ailleurs  pas  été 
complète  :  l'importance  de  ses  idées  a  été  comprise  par  quelques- 
uns  de  ses  contemporains  (non  des  moindres)  et  il  a  formé  \\\\ 
petit  groupe  de  disciples  :  il  était  plutôt  de  ceux  que  l'on  connaît, 
mais  que  l'on  ne  lit  guère,  ou  que  l'on  a  toujours  l'intention  de 
lire  plus  tard,  et,  en  fait,  quelques-unes  de  ses  idées,  et  même  de 
ses  expressions,  se  sont  répandues  peu  à  peu,  et  sont  descendues 
jusque  dans  l'enseignement  élémentaire,  sans  que  tous  ceux  qui 
se  les  sont  assimilées  aient  toujours  bien  su  quelle  en  était  la  vé- 


CO.MPTMS    HKNDUS    K T    ANAKVSKS.  vi> 

rilal)i(î  origine.  Il  conviciil  de  dire  ;mssi  (jiic  Grassmarm  n  ('cii- 
vail  pas  |)()tir  la  foule,  si  laiil,  (;sL  ([ue  ce  mol  puisse  s'appliquer  à 
l'cnseinhle  des  malInMiiaheiens  :  Grassmann  ne  voulait  s'adresser 
(pi'aux  inallitMualK.K'iis  (pu  sont  philosophes;  on  en  Irouve  à  eoup 
sur,  luais,  s  ils  soûl  raies,  plus  raies  eiicoiM;  soiil  ceux  (pu  ne  sé- 
parent pas  la  IMiilosophie  d(\s  Malhéniali(pies  et  qui  philosophent 
en  faisant  des  Mathématiques;  tel  était  Grassmann,  et  ce  mélang(î 
du  lanf;ai;e  philosophique  et  de  faits  géométriques  dont  la  valeur 
n'est  d'ailleurs  pas  contestable,  est  fait  pour  dérouter  plus  d'un 
lecteur  de  bonne  volonté  :  c'est  toujours  le  générai  que  Grassmann 
a  en  vue,  et  il  le  dépouille  si  bien  de  tout  attribut  particulier  qu'il 
lui  laisse  à  peine  de  quoi  exister.  Dans  des  Notes  très  intéres- 
santes, les  savants  éditeurs  ont  montré  comment  Grassmann 
avait,  parfois,  dépassé  le  but  et  comment,  si  l'on  voulait  se  tenir 
sur  un  terrain  solide,  il  convenait,  pour  préciser  l'objet  propre  de 
la  Géométrie,  sous  sa  forme  la  plus  abstraite  et  la  plus  générale, 
d'avoir  recours  aux  conceptions  de  M.  Soplius  Lie.  JjCS  vues  de 
Grassmann,  pour  avoir  été  incomplètes,  n'en  restent  pas  moins  sin- 
gulièrement profondes  et  c'est  un  juste  hommage  que  les  éditeurs 
rendent  à  sa  mémoire  en  entreprenant  cette  belle  édition  de  ses 
œuvres  complètes.  C'est  M.  F.  Klein  qui  s'est  fait  le  promoteur 
de  ce  travail  :  on  sait  assez  combien  ce  géomètre,  à  qui  Ton 
doit  tant  de  résultats  définitifs  et  précis,  se  plaît  lui-même  aux 
vues  d'ensemble  et  aux  conceptions  philosophiques;  on  trouvera 
naturel  qu'il  ait  pris  en  main  la  cause  de  Grassmann.  Les  éditeurs 
ont  mis  tous  leurs  soins  à  établir  le  texte,  en  signalant  toutes 
celles  des  divergences,  soit  entre  les  diverses  éditions,  soit  avec 
les  manuscrits,  qui  en  valaient  la  peine;  de  plus,  ils  se  sont 
efforcés  de  le  rendre  plus  lisible  parla  disposition  typographique; 
ce  n'est  pas  un  mince  service  rendu  au  lecteur. 

La  Première  Partie  du  premier  Volume  contient  V Aiis- 
dehnungslehre^  conforme  à  l'édition  de  1844  et  la  Geometrische 
Analyse.  Chacun  sait  que  c'est  dans  le  premier  de  ces  Ouvrages 
que  Grassmann  a  exposé  ses  idées  sur  le  sens  des  opérations  à 
dénomination  arithmétique,  et  qu'il  a  montré  comment  ces  opé- 
rations pouvaient  être  transportées  dans  le  domaine  de  la  Géo- 
métrie de  façon  à  renouveler  cette  science. 

(hiaiil  à  la  (h'onicl rischc  Analyse,  c'est,  an    rond,    coinnie    le 


■iM)  PHHiVHKUI-    PAMTIi:. 

remarquent  les  éditeurs,  une  suite  do  V AuadelinungsleJire, 
puisqu'elle  contient  la  théorie  du  produit  intérieur,  et  diverses 
applications  à  la  Mécanique,  qui  devaient  évidemment  prendre 
place  dans  la  seconde  Partie  de  V A  usdehnun gslehre .  En  fait,  elle 
a  été  écrite  pour  répondre  à  une  question  mise  au  concours  par 
la  J ahlonowskV sche  Gesellschaft  pour  l'année  i845.  Celte  ques- 
tion se  rapportait  à  une  lettre  de  Leibniz  à  Huj'gens,  oii  l'il- 
lustre philosophe  mathématicien  expose  des  vues  très  profondes 
sur  un  symbolisme  destiné  à  figurer  abstraitement  la  position  des 
éléments  géométriques,  et  susceptible,  à  ce  qu'il  croyait,  d'être 
assez  développé  pour  se  substituer  à  la  description  et  à  la  figura- 
tion des  objets  réels  :  du  mémo  coup,  Leibniz  touche  aux  hypo- 
thèses fondamentales  de  la  Géométrie.  Sans  doute,  le  travail  de 
Grassmann  ne  pouvait  répondre  que  d'une  façon  particulière  aux 
questions  si  vastes  que  Leibniz  avait  soulevées  ;  c'était  toutefois  une 
réponse,  et  dont  la  valeur  intrinsèque  était  incontestable.  Mobius 
crut  devoir  résumer  quelques-uns  des  résultats  essentiels  auxquels 
Grassmann  était  parvenu,  dans  un  langage  plus  concret,  et  qui 
put  être  saisi  facilement  par  tous  les  mathématiciens;  sa  Note  a 
été  reproduite  à  la  fin  du  Tome  I  de  ses  Œuvres. 

Cette  édition  des  OEuvres  de  Grassmann  fait  le  plus  grand 
honneur  à  la  piété  de  ceux  qui  l'ont  entreprise  :  elle  rendra  d'in- 
contestables services  à  tous  ceux  qu'inléresse  la  Philosophie  de 
la  Science,  où  Grassmann  a  pénétré  profondément,  et  l'histoire 
du  développement  des  idées  mathématiques,  où  son  influence 
semble  indéniable.  J-   T. 


BACHMANN  (P.).  —  Zahlentheorie.  Versuch  einer  Gesammtdarstellung 
Du:sKR  WissExsGnAFT  IN  mREN  Hâuptheilex.  Zwoiter  Thcil  :  Die  mialy- 
tisclie  Zahlentheorie.  i  vol.  in-8°,  xviii-494  p.  Leipzig;  Teubner,  1894. 

Nous  avons  parlé  récemment  (')  de  la  première  Partie  de  la 
Zahlentheorie  de  M.  Bachmann.  La  seconde  Partie,  que  nous 
annonçons  aujourd'hui,  ne  peut  manquer  d'être  bien  accueillie  : 


(')  Voir  r.ulletin,  t.  XVH,.  p.   iS. 


COMPÏIiS   HRXDUS   IIT   ANALYSES.  ^37 

rintt'rêl  propre  des  sujets  (|ui  y  sont  liailcs,  la  farou  doiil  Ils  sont 
reliés  et  développés  assurent  à  ce  voluine  de  nondji-eiix  lecteurs  : 
sa  |)ul)llcali()ii,  (railleurs,  comble  uik;  lacune.  I^es  recherches  rpril 
résume,  et  doiil  plusieurs  sont  parmi  les  plus  belles  (pi'il  y  ait  en 
INÎathématicpies,  n'avaient  ^uère  été  rassemblées,  etil  semble  bien, 
après  la  lecture  du  livre  de  M.  Bachmann,  cpie  le  t(;mps  était  venu 
de  le  faire. 

L'auteur  s'est  d'ailleurs  limité  :  d'une  part,  il  est  resté  dans  le 
domaine  du  nombre  entier  réel^  d'autre  part,  sauf  sur  un  point 
très  particulier,  il  a  laissé  de  côté  les  applications  de  la  théorie 
des  fonctions  elliptiques  à  la  théorie  des  nombres  :  ces  appli- 
cations, comme  il  le  dit  lui-même,  doivent  trouver  leur  place 
dans  un  ouvrage  spécial;  on  peut  souhaiter  que  M.  Bachmann 
nous  donne  bientôt  ce  nouveau  livre.  Quoi  qu'il  en  soit,  la  matière 
de  celui-ci  est  assez  riche. 

Après  avoir  rappelé  quelques  notions  élémentaires  sur  les  séries 
et  produits  infinis,  l'auteur  établit  quelques-uns  des  résultats 
qui  ont  leur  origine  dans  la  généralisation  de  l'identité  d'Euler 

n  =  <x> 

ou  dans  les  recherches  du  mêmeEuler  sur  la  partition  des  nombres. 
Ces  deux  premiers  Chapitres,  où  l'on  ne  rencontre  guère  que  des 
propositions  faciles  et  d'une  rare  élégance,  sont  bien  faits  pour 
introduire  le  lecteur  dans  un  sujet,  qui  va  s'élever  de  suite,  avec 
les  recherches  célèbres  de  Lejeune-Dirichlet  sur  les  séries  de  la 

forme 

«  =  00 

2d  /TîTp' 


n-l 


sur  l'infinité  de  nombres  premiers  contenus  dans  toute  pro- 
gression arithmétique  dont  le  premier  terme  et  la  raison  sont  des 
nombres  entiers  premiers  entre  eux,  enfin  sur  le  nombre  de 
classes  des  formes  quadratiques  d'un  déterminant  donné  D.  Pour 
transformer  l'expression   de   ce  nombre  de   classes,   où  figure   la 


'238  PUKMIÈKIi:   PAUTIK. 

soiiniKî  (le  lii  scnc 

n  --'  00 

1)\     I 


1 


—  ? 

n  /  n 


il  est  nécessaire  d'avoir  à  sa  disposition  l'expression  des  sommes 
connues  sons  le  nom  de  sommes  de  Gauss.  A  ces  sommes, 
M.  Bachmann  consacre  un  intéressant  Chapitre,  où  il  résume  les 
diverses  méthodes  que  l'on  possède  pour  les  évaluer,  et  où  il 
indique  en  particulier  comment  elles  se  relient  à  la  transformation 
des  fonctions  elliptiques.  Revenant  ensuite  à  la  théorie  des  formes 
quadratiques,  il  reprend  la  question  du  nombre  de  classes,  déve- 
loppe la  notion  de  l'espèce,  et  donne  finalement  l'extension  aux 
formes  quadratiques  du  théorème  sur  l'infinité  de  nombres  pre- 
miers contenus  dans  une  progression  géométrique. 

L'ensemble  des  belles  théories  que  l'on  vient  d'énumérer  con- 
stitue la  première  ])artie  du  livre  de  M.  Bachmann  ;  le  reste  va  être 
consacré  au  développement  de  questions,  dont  quelques-unes, 
comme  la  recherche  de  la  valeur  moyenne  d'une  fonction  numé- 
rique, ont  déjà  été  posées  incidemment,  en  sorte  que  le  lecteur, 
lorsqu'il  pénètre  dans  ce  nouvel  ordre  de  recherches,  le  soupçonne 
déjà  et  sait  qu'il  est  nécessaire  d'en  poursuivre  l'étude.  Il  déve- 
loppe tout  d'abord  les  principales  conséquences  du  lieu  bien 
connu  entre  les  deux  formules 


/,•=. 


relatives  à  deux  fonctions  numériques /(/^),  F(/i),  et  où  [i.(/i) 
désigne  zéro  lorsque  ii  est  divisible  par  le  carré  d'un  nombre 
premier  autre  que  un,  l'unité  lorsque  n  est  égal  à  i,  et,  dans  les 
autres  cas,  l'unité  alFectée  du  signe  -\-  ou  du  signe  —  suivant  que 
les  facteurs  premiers  de  n  sont  en  nombre  pair  ou  impair.  On  trou- 
vera là  de  curieuses  relations,  dues  pour  la  plupart  à  MM.  Lipschitz, 
Cesàro,  G.  Gantor^  signalons  en  outre  l'élude  de  la  fonction  de 
Riemann 

:,.v,=  V_i 


ji  —  \ 


COMPTAS  lUîNDUS   KT  ANALYSES.  73., 

cL  (Ml  paiiicnlloi',  ht  (onuiilo 


y,  /n 


oM,    (^/, /;/    (h'si^ncn  I    dc^s    culicis   j)().mIi1.s    cl    où    ^(.s,  ^/,/y/)   esL   lu 


sominc  (le  la  s(îric  c()iivcr<;(îiil(' 


A-  =  00 


(Icllc  fornuilc,  qui  csL  due  à  M.  llurvvit/,  conLleiU  eonime  cas  par- 
ticulier (<7  =  m  =  i)  une  proposition  bien  connue  de  Riemann  ;  elle 
conduit  à  d'intéressantes  conclusions  relatives  aux  fonctions  qui 
interviennent  dans  la  détermination  du  nombre  de  classes  de 
formes  quadratiques  de  déterminant  donné. 

M.  Bachmann  aborde  ensuite  la  question  du  nombre  de  nombres 
premiers  inférieurs  à  une  limite  donnée  :  il  développe  les  re- 
cherches de  MM.  Mertens  et  Tchebychef,  ainsi  que  celles  de 
Riemann.  11  analyse  aussi  dans  une  Note  placée  à  la  fin  du  volume 
un  intéressant  travail  de  M.  A.  l^illz  sur  le  même  sujet. 

Le  dernier  Chapitre  de  son  livre  est  consacré  aux  valeurs 
moyennes  et  asymptotiques  des  fonctions  numériques  :  on  y  trou- 
vera les  résultats  fondamentaux  que  l'on  doit  à  Dirichlet  et  bon 
nombre  d'autres  propositions  obtenues  en  poursuivant  la  voie 
qu'a  ouverte  cet  illustre  géomètre.  Signalons  en  particulier  la  solu- 
tion, d'après  M.  Lipschitz,  de  ce  problème.  En  désignant  par 
y(^i,^2)  ...j^v)  iiiie  fonction  homogène  entière,  à  coefficients 
entiers  des  variables  .r, ,  ^2,  .  .  . ,  ^v  et  par  c, ,  Co,  .  .  . ,  c^  des  fonc- 
tions homogènes  des  mêmes  variables,  telles  que  l'égalité  et  les 


inégalités 


Ci>0,  C2>0,  ....  C,.  >  O, 


OÙ  m  désigne  un  nombre  entier,  n'admettant  qu'un  nombre 
fini  z>(m)  de  solutions  en  nombres  entiers  jc, ,  JC2,  .  .  . ,  ^v  sans  autre 
commun  diviseur  que  l'unité,  trouver  une  expression  asymplo- 
lique  de  '^{tn).  La  théorie  des  formes  quadratiques  fournit  de 
belles  applications  du  résultat  obtenu  par  M.  Lipschitz. 


7..,o 


PHEiMlEUE   PAUTlIi:. 


Il  convicnl  d'ajouter  quo  le  livre  de  M.  Bachmann,  composé 
avec  un  grand  soin,  de  manière  à  bien  mettre  en  lumière  la  suite 
des  idées,  et  le  lien  entre  des  questions  dont  la  connexité  surprend 
tout  d'abord  le  lecteur,  est  plein  de  renseignements  bibliogra- 
phiques et  historiques,  qui  en  augmentent  encore  la  valeur. 

J.T. 


MELANGES 


SUR  QUELQUES  NOUVEAUX  MÉCANISMES  :  PROJECTEUR,  ELLIPSOGRAPHE, 
ELLIPSOIDOGRAPHE  ET  HYPERBOLOGRAPHE; 

Par  m.  N.   DELAUNAY. 

1.  Thfîorème.  —  Lorsque  deux  points  M  et  N  {fig.  i)  d'un 
losange  articulé  ABGD  situés  à  égales  distances  du  sommet  D 
parcourent  une  droite  fixe  Ox  et  que  le  sommet  B  décrit  une 
courbe  quelconque,  le  sommet  D  décrit  la  projection  orthogo- 
nale rabattue  sur  le  plan  de  la  trajectoire  du  point  B. 


Fi! 


Prolongeons  les  côtés  BA  et  BC  jusqu'à  l'intersection  avec  la 
droite  O^  aux  points.PetQ.  Quatre  points  P,  M,  N,  Q,  qui  sont, 
dans  une  position  particulière  du  losange,  en  h'gne  droite,  sont 


COMPTES   HI'NDUS   ET  ANALYSES. 


241 


constamment  en  ligne  droite.  Donc 


BP  =  liQ  =  const., 
MO  =  ND  =  consl. 


Les  triangles  PBQ  et  MDN  sont  semblables  et  leurs  hauteurs 
SB  et  SD  sont  proportionnelles  aux  côtés.  Donc  on  a 


SB 
SD 


PB 
MD 


COIlSt. 


En  considérant  les  perpendiculaires  SB  et  SD  à  la  droite  Ox 
comme  les  ordonnées  et  la  droite  Ox  comme  l'axe  des  abscisses, 
on  voit  que  les  abscisses  des  points  D  et  B  sont  égales  et  que  le 

SB 
rapport  ^y;  ^^^  ordonnées  est  constant.  Or,  la  même  correspon- 
dance existe  entre  les  coordonnées  d'un  point  B  {^/Ig-  2)  et  celles 
de  sa  projection.  Donc  le  point  D  décrit  la  projection  de  la  tra- 
jectoire du  point  B.  Ce  qu'il  fallait  démontrer. 
L'angle  de  projection  a  est  défini  par  la  formule 

SD       MD 
^"^"=SB=^  PB- 

J'appelle  projecteur  un  mécanisme  qui  se  compose  d'un  lo- 
sange articulé  ABGD,  dont  les   points  M  et  N  équidistants   du 

Fig.  2. 


sommet  D  sont  contraints  de  parcourir  une  droite  fixe,  soit  à 
l'aide  d'une  rainure,  soit  à  l'aide  d'un  mécanisme  de  Hartou  celui 
de  M.  Peaucellier. 


i!\). 


PREINlIÈIUi   PAKTlIi 


2.   Ellipsographe.  —  Je  iioinine  ainsi  un  |)rojecteur,  donl  le 
point  B  déerit  un  cercle  au  moyen  d'une  li^'e  pW  {/îg-  3)  tournant 


Fig.  3. 


^,.-. 

B^ 

—  P    : 

^ 

< 

>• 

X                      ^                    1 

autour  d'un  centre  fixe  p.  Dans  ce  mécanisme,  le  point  D  décrit 
la  projeclion  du  cercle,  c'est-à-dire  une  ellipse.  Le  grand  axe  de 
l'ellipse  est  égal  au  diamètre  du  cercle.  La  longueur  o  du  petit 
axe  est  définie  par  la  formule 


•2B/? 


MD 
PB 


En  variant  les  distances  DM  et  DN,  on  varie  l'excentricité  de 
l'ellipse. 

En  ne  variant  que  la  longueur  de  la  tige  p^^,  on  obtient  une 
série  des  ellipses  semblables. 

3.  Ellipsoïdo graphe.  —  Je  nomme  ainsi  un  mécanisme  (^g.  4) 
qui  se  compose  de  deux  ellipsographes.  Le  support  MN  du  pre- 
mier ellipsographe  peut  tourner  avitour  d'un  axe  vertical  fixe  Od. 
On  voit  facilement  que  le  point  B  reste  sur  la  surface  d'une  sphère. 
Chaque  méridien  de  cette  sphère  S  se  transforme  au  mojen  de 
l'ellipsographe  en  une  ellipse  et  toutes  ces  ellipses  forment  un 
ellipsoïde  de  gyration  E.  Donc  le  point  D  parcourt  cet  ellipsoïde 
de  gyration  E.  Un  second  ellipsographe  transforme  chaque  paral- 
lèle de  l'ellipsoïde  E  en  une  ellipse  et  toutes  ces  ellipses  forment 
un  ellipsoïde  à  trois  axes  H,  parce  que  dans  le  second  ellipso- 
graphe, aucune   constante  ne  varie,  à  Texception   du   ravon    du 


cercle  (Iccril  pai-  le  poiiil  I),  cl,  piir  conscfniciil ,  l(!S  ellipses  liori- 
/.oiilalcs  décrites  par  l(^  poiiil,  I*,  ('laiil,  senihlables  entre  elles  et 
a\aiit  (le  grands  axes  égaux  anx  diamètres  des  parallèles  d(;  l'ellij)- 
soïdc  E,  peuvent  être  considérées  comme  des  sections  parallèles 
d'un  ellipsoïde  à  trois  axes. 


Pour  que  le  second  ellipsographe  puisse  transformer  toutes  les 
parallèles  de  l'ellipsoïde  E,  il  faut  que  le  support  hh  puisse  avoir 
un  mouvement  dans  lequel  tous  ses  points  parcourent  des  droites 
verticales. 

On  peut  le  faire  à  l'aide  de  deux  guides  en  aiguille  ab  et  a' b' ^ 
qui  percent  le  support  hh.  Mais  on  le  ferait  mieux  avec  les  méca- 
nismes de  Hart,  en  suivant  la  méthode  bien  connue  de  M.  Darboux. 
Ainsi  le  point  P  de  l'ellipsoïdographe  parcourt  la  surface  d'un 
ellipsoïde  à  trois  axes. 

Il  se  présente  ici  une  difficulté  dans  la  construction  de  la  char- 
nière D  portant  quatre  tiges  situées  dans  des  plans  dilTérents. 
Pour  surmonter  celte  difficulté,  il  faut  prolonger  les  tiges  AD  el 
(^D,  comme  c'est  indi(|ué  sur  la   fit:'.  .'),  el  construire   un   losange 


•244  PUEMIÈIU:   PARTIE. 

de  ces  prolongations  Dp  et  Dq  et  de  liges  p/{  et  qk.  En  articulant 
à  la  charnière  D,  une  tige  Du  que  nous  faisons  passer  à  travers 
un  manchon  ee  articulé  à  la  charnière  k,  nous  obtenons  un  point  n 
(pii  reste  toujours  sur  la  même  verticale  que  D,  à  une  distance 
constante  du  point  D. 

Fig.  5. 
A  .  C 


Lorsque  le  point  D  parcourt  un  ellipsoïde  de  gyration  E,  le 
point  ;z  parcourt  un  ellipsoïde  identique,  mais  placé  plus  bas,  et 
c'est  ce  dernier  ellipsoïde  qui  sera  transformé  par  l'ellipsographe 
horizontal,  dont  les  tiges  /  et  f  i^fig-  4)  doivent  être  articulées 
à  la  cheville  n. 


A.  Hyperbolograplie.  —  Je  nomme  ainsi  un  mécanisme  com- 
posé d'un  losange  articulé  ABCD  {Jig.  G),  dont  les  deux  som- 
mets A  cl  G  parcourent  une  rainure  rcctilignc  Oy.  Deux  tiges 

CM  =  AM  <  CD 

sont  articulées  entre  elles  au  point  M,  qui  parcourt  une  rainure 

recti ligne  o8. 

Soient  O  l'origine  et  Oy  l'axe  des  ordonnées.  Désignons  par 

{x' y  y')  les    coordonnées  du  point  M  et  par  (^,  y)  celles   du 

point  D.  Soient 

CD  =  m, 

tango  OX  =  A-, 


On  ;i 


ou 


Mi:LAN(ii-:s. 

x'-^=   /i2—  CI*2=   ,i2_(,;j2_^î^^ 

Fis.  0. 


•245 


OU 


L'équalion  de  la  droite  OS  est 

En  portant  ici  la  valeur  de  x'  tirée  de  (1),  on  a 

y' 


ou  enfin 


X' 


nV^—n-^        k^{m^—n-^) 


—  I 


ce  qui  est  l'équation  d'un  hyperbole  ayant  80  pour  l'asymptote. 
Donc  le  point  D  décrit  une  branche  de  l'hyperbole.  Le  point  B 
décrit  l'autre  branche  à  cause  de  la  symétrie. 

Par  cet  appareil,  un  trait  recliligne,  fait  par  le  point  M,  est 
transformé  en  un  mouvement  hyperbolique  de  deux  points  D  et 
B,  qui  viennent  aux  sommets  de  l'hyperbole,  lorsque  le  point  M 
vient  en  O. 


PUIÙMIKUK   PAKTIK. 


RAPPORT   SUR   LES   PROGRÈS   DE   LA  THÉORIE  DES   INVARIANTS 

PROJEGTIFS; 

l'Aiî    M.    Fit.    MKYFK   (di:    Clausthal). 


Traduction  annotée  par  II,  FKIIIi. 


DEUXIÈME   PARTIE. 

(suite.  ) 


b.  —  Opérations  invariantes  non  symboliques. 


Nous  passerons  en  revue  les  principales  opérations  difiéren- 
lielles  effectuées  sur  les  formes  invariantes  dans  le  but  d'en  dé- 
duire de  nouvelles  formes.  Le  cas  particulièrement  important  o\i 
une  pareille  opération  conduit  à  la  valeur  zéro,  sera  traité  plus 
loin  (llj  c,  b,  Ç);  il  en  est  de  même  des  opérations  différentielles 
effectuées  sur  les  réciprocants  et  les  péninvarianls  (ÏI,  G,  ca  et 
II,  B,  a).  Ces  opérations,  par  leur  nature  même,  ou  du  moins  sous 
une  certaine  modification  (^),  possèdent  la  propriété  de  V inva- 
riance, c'est-à-dire  que  le  résultat  est  le  même,  que  l'on  effectue 
d'abord  l'opération  pour  soumettre  ensuite  les  variables  à  une 
substitution  linéaire,  ou  que  l'on  procède  inversement. 

D'après  leur  développement  historique,  ces  procédés  se  répar- 
tissent en  ceux  qui  se  rapportent  soit  aux  variables,  soit  aux  coef- 
ficients de  la  forme,  soit  enfin  aux  coefficients  de  la  substitution; 
ces  trois  espèces  de  grandeur  peuvent  cependant  être  considérées, 
d'une  façon  commune,  comme  coefficients  de  formes  linéaires. 

Il  nous  est  impossible,  dans  les  limites  que  nous  nous  sommes 
imposées,  d'approfondir  la  signification  de  ces  opérations,  ainsi 
que  leurs  relations  mutuelles;  nous  renverrons,   à  cet  effet,  au 


(')  Study,  Methoden,   etc.,   p.    170.   Voir   aussi  LiK-SciiKFFERJi,    Vorlcsiingcn 
liber  cont.  Gruppcn,  Leipzig,   1S93. 


MfiLANGKS.  '4; 

'Vniiii'  (le  SIikIn   cl    ;iii\    \  (nlcsuni^cn  (l.  IL   i  ""  Pailic  )  de  (lor- 


(lai) 


a.    l/opérdtiof}  dAronliold.  —  On  iciinil  en  «général  sous  ce 
iioFii  loiilcs  les  ()|)('r;ili()iis  de  l;i  forme 


I).7-2 


à 


\cs  Pi,  fji  étant  soumis  aux  mêmes  substitutions  et  constituant  pai* 
ce  fait  deux  séries  cogrédientes  de  variables. 

Considérons  d'abord  le  cas  dans  lequel  les  p  et  q  sont  les  va- 
riables ordinaires  (ponctuelles)  de  la  forme  :  c'est  le  cas  que  l'on 
désigne  généralement  sous  le  nom  d'opération  polaire. 

L'opération  polaire  a  pénétré  de  bonne  heure  dans  la  Géométrie 
projective  et  en  est  même  devenue  la  base  (').  Dans  la  théorie  des 
formes,  par  contre,  elle  n'occupe  une  place  importante  que  depuis 
que  l'on  est  parvenu  à  montrer  que  toutes  les  autres  opérations 
différentielles  peuvent  non  seulement  se  ramener  à  l'opération 
polaire,  mais  que  l'on  peut,  de  plus,  les  exprimer  algébriquement 
sous  forme  explicite  en  fonction  de  celle-ci. 

Considérons  en  premier  lieu  les  développements  en  séries  (2) 
qui  ont  pour  but  de  réduire  des  formes  à  plusieurs  séries  cogré- 
dientes  de  variables,  à  d'autres  formes  d'un  nombre  moindre  de 
séries.  Gordan  et  Clebsch  furent  les  premiers  à  examiner  de 
pareilles  réductions  (•^).  Clebsch  ('•)et  Capelli  (^)  ont  traité  le 
problème  général  à  deux  points  de  vue  différents;  mais  c'est  à 
Capelli  {^)  que  revient  le  mérite  d'avoir  placé  l'opération  polaire 
comme  fondement  de  toute  la  théorie  des  formes.  Ce  point  de  vue 
se  fait  déjà  jour  dans  son  Mémoire  de  1882,  dans  lequel  il  se  pro- 
pose la  recherche   du  nombre  de  covariants   indépendants  d'un 


(')   Voir  par  exemple  Thieme,  Math.  Ann.,  XXVIII,  p.  i33-i5i;  1887. 

(^)   Voir  plus  loin  le  paragraphe  II,  C,  6,  0. 

(^)  Gordan,  Maf/i.  Ann.,  V,  p.  9,5-122;  1872.—  Clebsch,  Binare  Formen,%~. 

(*)  Gôttinger  Abh.,  XVII,  p.  1-G2  ;  1872. 

{')  Les  indications  bibliographiques  sont  données  plus  loin,  p.  250, 

(■■■)  Consulter  son  rélt'l>rc  Mémoire  Fonflaniend.  etc..  i8S>, 


•248  PREMIKKR   PAIITIH. 

ordre  cl  d'iin  degré  donnés  et  appartenant  à  nn  système  déformes 
données. 

Plus  tard  (  '  ),  Capelli  prend  comme  point  de  départ  n  séries  de 
V  variables  homogènes  (:r,,  ^2?  •  "j  ^v))  (jKi  5^2,  •••î.Xv),  •••,  pour 
étudier  les  relations  qui    existent  entre    les    N  =  /?2   opérations 

élémentaires  D^^,  T>xy,  ^xz-,  •  •  -,  Dj^r,  I^jj, f^es  N  opérations 

étant  prises  dans  un  ordre  quelconque  D,,  D2,  ...,  D.^,  l'auteur 
montre  que  toute  forme  F  des  D  peut  être  ramenée  à  l'expres- 
sion 

F=  y  GDa.Dai...DÏ>'. 

^^  1        2  N 

Il  examine  ensuite  le  problème  général  qui  consiste  à  détermi- 
ner l'opération  la  plus  générale  F  qui  peut  être  permutée  avec 
toute  autre  opération  de  même  espèce  (en  particuh'er  avec  chaque 
opération  élémentaire);  l'auteur  fait  voir  que  F  doit  être  une 
fonction  symétrique  de  n  séries  de  variables  et  être  exprimable 
au  moyen  des /z  opérations  simples;  celles-ci  sont  linéairement 
indépendantes  et  doivent  admettre  chacune  la  propriété  de  la  per- 
mutabilité. 

11  y  a  lieu  de  rappeler  ici  que  l'opération  polaire  joue  égale- 
ment un  rôle  fondamental  important  dans  la  méthode  symbolique 
de  Gordan  (^  ). 

Nous  arrivons  maintenant  à  Vopération  d'AronJiold,  effectuée 
sur  les  colonnes  des  coefficients  (/>/),  (^z),  (/•/),  •  .  •  d'une  trans- 
formation linéaire  (ponctuelle).  Cette  opération  se  rattache  très 
étroitement  à  l'opération  polaire.  En  effet,  Aronhold  a  établi  cette 
proposition  générale  que  les  coefficients  de  la  transformée  déve- 
loppée suivant  les  nouvelles  variables,  étaient  des  polaires  de  la 
forme  primitive,  11  en  résulte,  comme  Ta  fait  voir  Gram  (-),  que 


(')  Capelli  a  réuni  ses  difTérentes  recherches  sur  ce  sujet,  dans  les  il/a^A.  ^/j/î., 
XXXVII,  p.  1-87;  1891.  Voir  encore  Nap.  Rend.,  XXV,  p.  i34-i44;  1886.  Même 
Recueil,  2»  série,  I,  p.  iio-ti5,  286-242;  1887.  Atti  Ji.  Ace.  Nap.,  2"  série,  I,  17 
pages.  Math.  Ann.,  XXÏX,  p.  83i-888;  1887. 

(')  Voir  ses  Vorlesungen,  II,  §  2,  et  pour  le  domaine  ternaire  les  Math.  Ann., 
XVII,  p.  217-234;  1880.  Consulter  aussi  Pascal,  Napoli  Rend.,  2'  série,  I,  p.  200- 
207;  1887. 

(')  Math.  Ann.,  VII,  p.  280-240;  187'!. 


Mf<:i.ANr,]':s.  .>ff, 

Ton  ()l)li(Mil  le  sjslcnic  dos  n(n  —  i)  (*)  écjiialions  (lifTércnlicllcs 
caractcrisliqucs  d'un  invarliml  .)  d'une  série  de  formes  de  n  varia- 
l)les,  en  écrivant  celui-ci  au  niojen  des  coefficienls  transformés, 
.1  (ItîvenanL  ainsi  .1,,  (;l  en  éf^alant  à  zéro  le  résultat  des  o[)érMtioris 
polaires  l)/n/(/>  ^  c/)-,  elfectuées  sur  J,. 

Pour  les  formes  binaires,  Bruno  (-)  a  donné  un  procédé  per- 
mettant d'obtenir  directement  ce  s^/slème  d'équations  différen- 
tielles. 

L'opération  d'Aronhold  modifiée 


^i>a=^ai' 


où  les  ai  et  les  bi  correspondent  aux  coefficients  de  deux  formes 
fn  et  On  est  également  d'un  usage  fréquent.  On  a  déjà  eu  recours 
à  cette  opération  au  début  de  notre  théorie,  pour  étendre  la  no- 
tion et  la  formation  de  l'invariant  J  d'une  forme  fn  à  plusieurs 
formes/,,,  ^„, 

Ce  procédé  a  été  appliqué  aux  formes  linéaires  par  Clebsch  (3), 
qui  l'a  établi  comme  base  de  sa  méthode  symbolique.  Tant  que  les 
b  sont  indépendants  des  a,  l'opération  D^^J  =:  DJ  peut  être  répé- 
tée sans  difficulté;  on  déduira  D-J  de  DJ,  comme  on  a  obtenu  DJ 
à  l'aide  de  J,  etc. 

IMais  s'il  existe  entre  a  et  b  une  relation  (covarlante)  quel- 
conque, il  faut  avoir  recours  aux  formules  récurrentes  établies 
par  Gordan(*),  ou,  ce  qui  théoriquement  est  préférable,  il  faut 
faire  usage  de  certains  développements  en  série. 

Gordan  se  sert  aussi  de  l'opération  d'Aronhold  pour  la  forma- 
tion des  combinants  (loc.  cit.,  §6);  J  sera  un  combinant  de /et  co, 
dès  que  DJ  est  identiquement  nul,  et  réciproquement.  L'extension 
à  plus  de  deux  formes  ne  présente  aucune  difficulté. 

Mais  s'il  existe  une  relation  entre  les  formes/*, C5, ...,  on  se  trouve, 


(')  Les  n  autres  équations  qui  figurent  dans  le  iMémoire  d'Aronhold  indiquent 
simplement  que  les  invariants  sont  homogènes  et  isobares  par  rapport  aux  coef- 
ficients de  la  forme  primilivo. 

(')  Consulter  sa  Théorie  des  formes  binaires  (1876);  traduction  allemande 
par  Walter  et  Nœther  (1881). 

(')  On    en   trouve   un    exposé  dans  les   Vorlesungen,   Clebsch-Lixdemann,    I 
p.  i83  et  suivantes. 

(*)   Vorlesungen  de  Gordan,  II,  §  5. 

/h(l(.  des  Sciences  matliéni.,  i"  série,  l.  \I\.  (Novcmlnc  189,').)  iS 


i5o  PKIÎMIËUE   PAUTIL:. 

pour  le  moment,  en   présence  d'un  cas  dont  l'élude  est  encore 
incomplète. 

On  ne  s'est  encore  occupé  que  d'un  cas  spécial  dans  les  do- 
maines binaire  et  ternaire.  Ce  cas,  très  important  en  Géométrie, 
est  celui  d'une  forme/  et  de  son  covariant  cp  et  tel  que  l'on  ait 

D/=cp,         Dcp  =  M/, 

M  étant  un  facteur  constant  (*). 

Le  procédé  que  l'on  suit  pour  la  formation  des  éjectants  n'est 
qu'un  cas  particulier  de  l'opération  d'Aronhold;  il  a  pris  une 
place  importante  dans  la  formation  des  systèmes  invariants  (2). 
Gordan  (^)  a  appliqué  cette  méthode  aux  équations  différentielles 
de  l'invariant  J  d'une  forme  binaire  pour  leur  donner  une  inter- 
prétation dans  la  théorie  des  formes;  il  arrive  au  théorème  sui- 
vant : 

Le  {n  —  ly^'me  composé  {Ueberschiebung)  de  la  forme  primi- 
tive avec  le  premier  évectani  de  J  est  identiquement  nul,  tan- 
dis que  le  n^^^^  composé  reproduit  V invariant  {à  un  facteur 
numérique  près). 

Réciproquement,  cette  propriété  permet  d'établir  immédiate- 
ment les  équations  différentielles. 

^.  Le  procédé  de  la  composition  et  V opération  Q.  —  C'est 
sur  la  composition  des  covariants  {UebeiscJiiebungsprocess) 
que  repose  toute  la  partie  pratique  de  la  théorie  des  formes. 

D'une  manière  générale,  les  composés  peuvent  être  définis 
comme  des  formations  invariantes  simultanées  de  deux  ou  plu- 
sieurs formes  d'un  nombre  quelconque  de  séries  de  variables  et 
linéaires  par  rapport  à  chaque  série  de  variables. 

Nous  traiterons  cette  question  très  brièvement,  vu  qu'elle  est 
exposée  avec  beaucoup  de  clarté  dans  le  Traité  de  Gordan. 

Soient  ¥n{oc)  et  <ï>v(w)  deux  formes  se  correspondant  par  dua- 


(«)  Loc.   cit.,   p.   74-    Voir  aussi   Gundelfinger,  Math.  Ann.,   IV,  p.  164-168; 

1871. 
(')  Loc.  cit.,  p.  128.  Consulter  Study,  Methoden,  etc.,  p.  4'  et  49- 
(')  Loc.  cit.,  p.  129  et  suivantes.  Pour  les  formes  ternaires,  voir  le  Traité  de 

Study,  p.  170  et  suivantes. 


.Mf:iw\N(iHS.  iM 

lih'.  On  |)(MjL  ccrire,  simaiil  l;i  iioliilioii  .s>  iiiholKjiKî^ 

lues  k'''"^''  pof  (lires  sont,  vu  iiitrodiiisanl  deux  nouvelles  séries 
de  vari;il)les(j')  el  (r),  (('[.  'V/('.  et  ^"^'t^,  et  le  /r'"'"*  composé  (\gV 
avec  4*  sera  représcnlr  par  l'expression 

(  F,  cï» )/.•  =  a'^ -A- u'-\a a. yc. 

On  serait  arrivé  à  la  même  forme  en  efifectuant  sur 

V^\>=ia[\.ul 

k  transpositions  [Fallungen)^  c'est-à-dire,  d'après  Gordan  (^), 
que  le  k'^"^^  composé  de  deux  formes 

résulte  de  k  transpositions  du  produit  F4>. 

On  procède  d'une  manière  analogue  dans  le  domaine  ternaire 
pour  trois  formes  à  variables  cogrédientes  (^),  (y),  (^)  : 

F„=«^.,        Gp=65',        \\^=c'L. 
L'expression 

(F,  G,  H/^  =  (rt6c)^«2.-^'-^5'.-^c?-^ 

sera  encore  le  A*'^'"«  compose. 

\j  opération  Q  se  lie  très  étroitement  au  procédé  de  la  compo- 
sition. Elle  est  représentée,  pour  le  domaine  ternaire,  par  l'expres- 
sion 

r>3  d^  (^3 

12  = \ h . 

dxx  dyj_  dz-^        dx^  dj^s  àz\        ôx^  dy^  dz^ 

d^  d^  â^ 

dxi  dfz  àzi        dx-i  4x,  dzj,        dx^  dy-i  dzi 

Effectuée  sur  un   produit  a'^lf^cl   (réel   ou   symbolique),   elle 

donne 

npq{abc)a'J,-^  b'I'Ul-^ , 


(')    Vorlesungen,  t.  II,  p.  33.   Voir,  pour  le  domaine  ternaire,  Gordan,  Math. 
Ann.,  XVIÎ,  p.  ^17-233;  1881. 


202  PREMIKHl!:   PARTIE, 

et  après  k  opérations,  on  ol)tient 


n\  p\  q^ 


{n  —  k)\{p  —  k)\{q  —  ky^        ^      -        >       ^ 

On  a  donc  le  thcorcmc  fondamental  suivant  (')  : 

U opération  ù^  effectuée  sur  un  produit  a^b'^cl  est  équiva- 
lente^ à  un  facteur  numérique  près ^  au  procédé  de  la  transpo- 
sition, et  répétée  k  fois^  elle  conduit  à  une  expression  équi- 
valent au  k^f"^^^  composé. 

Au  procédé  de  la  composition  viennent  se  rattacher,  d'après 
Gordan  (-),  des  développements  analogues  à  ceux  que  nous  avons 
signalés  pour  l'opération  polaire. 

Nous  indiquerons  comme  exemples  de  composés  (2),  le  déter- 
minant fonctionnel  (*)  de  m  formes  (à  m  variables  homogènes), 
et  le  hessien  (^),  qui  n'est  que  le  cas  particulier  où  les  m  formes 
correspondent  aux  m  dérivées  partielles  d'une  même  forme. 

Nous  avons  avons  déjà  eu  l'occasion  (^)  de  signaler  les  travaux 
que  Gordan,  Mertens  et  Hilbert  ont  consacrés  à  l'opération  0.  Il 
ressort  de  ces  recherches  qu'une  réitération  de  l'opération  Q  effec- 
tuée sur  une  forme  quelconque,  homogène  et  isobare  par  rapport 
aux  coefficients,  conduit  à  un  invariant  de  la  forme  primitive. 

Le  cas  où  le  composé  est  nul  est  particulièrement  important. 
On  sait,  en  effet,  qu'il  constitue  la  base  de  la  théorie  de  l'apola- 
rité  et  qu'il  se  rattache  également  aux  combinants  [voir  II  D,  b). 

D'autre  part,  ce  cas  prend,  depuis  quelque  temps,  une  place 
importante  dans  la   théorie   des  équations  différentielles.  A  cet 


(')  Voir  clans  le  Vorlesungen  de  Gordan  (t.  11,  p.  22-23)  une  démonstration 
qui  se  prête  à  une  généralisation  immédiate.  ConsulLcr  aussi  Vivanti,  Pal.  Rend., 
IV,  p.  261-268;  1890. 

(2)  Vorlesungen,  II,  §  3.  3Iath.  Ann.,  XVII,  p.  217-234;  1881. 

(')  Quant  à  l'importance  que  prend  la  composition  des  covarianls  dans  la 
Théorie  des  Syzygies,  voir  les  Mémoires  de  Strou,  que  nous  avons  signalés  plus 
haut  [Bulletin,  XI.\,  p.  io5,  notes  (')  et  {*)]. 

(«)  Nous  parlerons  plus  loin  des  relations  entre  déterminants  fonctionnels 
(II,  D,  6). 

(')  Les  formes  dont  le  hessien  est  identiquement  nul  se  trouvent  mentionnées 
à  la  fin  du  Rapport,  II,  D,  d. 

(«)   Voir  le  Bulletin.  XIX^,  p.  94. 


MELANGES.  V.33 

ollct,  nous  renvoyons  le  IccLcnc  nn\  intéressantes  reclicrclies  de 
Waclscli  (•),  (!(!  Ililhcil,  (•-)  et  de.  Vvinn  (^).  Pick  (^•),  et  plus 
hnd  Klein  ('),  ;iv;ii(Mil  (Tailleurs,  déjà  en  i<S8-,  fait  usage  d'un 
procédé  analogue  pour  ramener  l'équation  différentielle  de  Lamé 
à  une  forme  normale. 

V.  Si{hsfi(f/fi()/i  (le  coefficients  différentiels  non  homo- 
gènes. —  Les  travaux  que  nous  venons  de  citer  montrent  qu'il 
est  souvent  très  avantageux  de  ramener  une  équation  différen- 
tielle à  une  forme  (homogène)  normale  au  sens  de  la  théorie  des 
invariants.  Réciproquement,  dans  beaucoup  de  cas,  en  particulier 
s'il  s'agit  de  la  formation  des  équations  différentielles  pour  des 
invariants,  il  J  a  lieu  de  donner  à  la  forme  primitive  et  à  ses  coef- 
ficients différentiels  une  expression  non  homogène. 

Soit 

f—a^x^^i      \  a^x"'-'^ -{-...-{- an 

une  forme  binaire. 
Si  l'on  forme  la  suite 

/o-/,         J'-  ndx'         '^''~'  n{n-i)dF^'  '"'         '^''-'  n\  d^^' 

il  en  résulte,  d'après  Bruno  (^'),  le  théorème  important  qui  suit  : 

Si  dans  la  source  Co  d^an  covariant  d  d^ une  forme  f.,  on 
remplace  les  coefficients  ai  par  les  fi,  la  source  Cq  se  trouvera 
transformée  en  G. 

On  peut  facilement  étendre  ce  procédé  à  un  système  de 
formes. 


(')  Prag.  Math.  Ges.,  p.  78-99;  1892. 

(')  Dissert.  Konigsberg,  i885.  Math.  Ann.,  XXX,  p.  15-29,  1887;  XXVIII,  p. 
381-446. 

(')  Bull.  Soc.  Math,  XVI,  p.  85-ioo;  1888.  Foi>  aussi  Hirsch,  Dissertation; 
Konigsberg,  1892. 

(M  Wien.  Der.,  19  p.;  juillet  1887.  Math.  Ann.,  XXXVIII,  p.  189-143  ;  1891. 
Voir  aussi  Halphen,  Traité  des  fonctions  elliptiques,  II;  1888  et  Bôsciier-Got- 
TiNGER,  Preisarbeit,  Cli.  II;  1891. 

(»)  Gôtt.  Nachr.,  p.   85-76;   mars   1890.  Math.    Ann.,    XXXVIII,    p.    i'|4-i52. 

(*)  C.  B.,  XC,  p.  i2o3-i2o5.  Journ.  fiir  Math.,  XC,  p.  18G-188.  Ann.  J.,  III, 
p.  154-164.  Math.  Ann.,  XVIII,  p.  280-288;  1881. 


754  PUIilMIÈUli:   PAHTIE. 

Cette  propriété  renferme,  comme  l'a  fait  observer  Hilbert  ('), 
la  source  commune  d'une  série  de  métliodcs  isolées  employées 
antérieurement.  Ainsi,  elle  contient  le  procédé  de  Ca^'lej  pour  la 
détermination  des  coefficients  de  G  obtenus  à  l'aide  de  la  source 
Co,  la  méthode  de  Roberts  pour  le  calcul  des  sources,  puis  elle 
donne  aussi  les  équations  difTércntielies  de  Cajley  pour  les  inva- 
riants et  les  covariants. 

11  résulte  de  ce  mode  de  représentation  que  de  toute  relation 
entre  invariants  et  covariants  d'un  système  de  formes,  on  pourra 
déduire  une  équation  différentielle.  Hilbert  en  a  donné  une  série 
d'applications  fort  remarquables  (-);  il  a,  en  particulier,  été  con- 
duit à  faire  une  extension  de  la  notion  de  covariant  à  celle  de  semi- 
co variant  [péninvariant). 

On  retrouve  dans  les  travaux  de  Perrin  (^),  sur  les  systèmes 
associés,  des  recherches  analogues  pour  le  domaine  ternaire  et 
pour  ceux  d'ordre  supérieur. 

0.  Développement  en  série.  —  Particularisons  la  formule  que 
Capelli  a  établie  pour  la  relation  entre  l'opération  Q  et  l'opération 
polaire,  en  prenant  seulement  deux  séries  de  deux  variables,  et 
appliquons  la  à  une  forme  y  (.2; J% y").  On  obtiendra  la  formule 
qui  a  permis  à  Glebsch  et  Gordan  (^)  de  donner  le  développement 
de  la  formey'(^,y)  suivant  les  puissances  de  {xy)  =  ^j  j'o  —  *^2jK«  j 
à  savoir  : 

OÙ  les  opérations  A,  D,  Q.  ont  la  signification  suivante  : 


Qf=~-^     ^^/  à\f 


àf 

ày-2 


ma  \àxi  dyo        dyi  dx-i 
On  voit  immédiatement  qu'en  répétant  l'opération  1,   on  par- 


(')  Dissert.,   Konigsberg,   i885.  Math.  Ann.,  X\X,   p.  iS-ag;    18S7.  Brioschi, 
Math.  Ann.,  XXIX,  p.  3i7-33o;  1880. 

(*)  Math.  Ann.,  XXX;  loc.  cit.,  p.  21  et  suiv. 

{')  Bull.  Soc.  Math.,  XVI,  p.  82-100;  1888. 

{*)  Clebsch.  Binàrc  Formen,  §  7.  Gordan,    Vorlesungen,  II,  p.  23. 


mi'!:langiî:s.  iVj 

\i('ii(li'a  ;"i  (l(*s  formes  coiiLenaiiL  seulcmenl  ^,  et  Xj  et  que  Ton 
pourra  ("erirc  le  développcmcril  de  la  manière  suivante  : 

II.    /^=  \"\^"/-h  0Ci(:ry)  A"-'  D"    '  <>/+ a2(r7)2  A"    2  D"--2f22/  +  .  .  . , 

le  (hMiiier  leriiu^  ('lant  eelui  en  Q'"/*,  puisque  0"*"^^^ est  identique- 
ment nul.  (]e  développement  de  /suivant  les  puissances  de  {^y)y 
dans  lequel  les  coefficients  sont  des  polaires  de  fonctions  en  ^,  est 
uniforme^  en  ce  sens  (ju'll  n'existe  pas  d'autre  développement 
dans  lequel  les  coefOcients  jouissent  de  cette  propriété.  En  intro- 
duisant la  notation  symbolique,  on  pourra  écrire  ce  développe- 
ment soit  à  l'aide  du  procédé  de  la  composition,  soit  à  l'aide  de 
celui  de  la  transposition  ('). 

La  signification  théorique  du  développement  en  série  n'olïre 
aucune  difficulté,  car  il  suffît  de  remarquer  que  la  forme  /des 
deux  séries  de  variables  cogrédientes  peut  ainsi,  quant  au  système 
de  ses  formations  invariantes,  être  entièrement  remplacée  parla 
suite  des  n -^  i  formes  élémentaires  (^covariants  élémentaires^ 
d'après  Gordan),  qui  ne  dépendra  plus  que  d'une  série  de  va- 
riables. 

De  la  même  manière,  il  a  été  obtenu  (2)  des  développements 
pour  des  formes  renfermant  deux  séries  ternaires,  quaternaires,  etc. 
de  variables. 

Dans  les  travaux  de  Gordan  (3),  cette  méthode  de  développe- 
ment en  série  est  un  moyen  très  puissant  pour  le  calcul  symbo- 
lique. Nous  mentionnerons,  par  exemple,  le  procédé  conduisant 
aux  covariants  indépendants  (ou  asyzygétiques)  de  degré  donné 
et  appartenant  à  une  forme  donnée;  la  représentation  des  cova- 
riants à  l'aide  des  racines  de  la  forme  primitive;  la  démonstration 
de  la  loi  de  réciprocité,  due  à  Hermite,  ainsi  que  celle  du  théorème 
fondamental  de  la  méthode  symbolique,  d'après  lequel  tout  cova- 
riant  peut  être  représenté  à  l'aide  d'un  ensemble  de  produits  sym- 
boliques. 

(')  Gordan,   Vorlesungen,  II,  §  7. 

(»)  Voir  Clebsch,  Gôtt.  Abh.,  XVII,  en  particulier  p.  22,  et  Gordan,  Math. 
Afin.,  V,  p.  9,3-122;  1872.  Consulter  aussi  Forsyth,  Quart.  J.,  XXIIl,  p.  io2-i38 
(188S),  et  Mertens,   Wien.  Ber.,  XCVIII,  p.  691-789;  1889. 

(')  Il  en  est  de  même  des  travaux  de  Study  dans  le  domaine  ternaire.  Dans 
les  Mess.,  1"  série,  XIX,  p.  91-96,  1889.  Baker  a  donné  un  exposé  très  original, 
(le  la  méthode  de  Gordan. 


256  PUIiMIÉKE   PAUTIH. 

Capclli  (^)  a  repris  les  résultais  obtenus  j)ar  Clebsch  elGordan 
pour  les  étendre  au  développement  en  série  d'une  forme  contenant 
plusieurs  séries  cogrédientcs  de  n  variables.  On  lui  doit,  sur  ce 
sujet,  plusieurs  Mémoires  très  remarquables,  dont  les  théorèmes 
appartiennent  aussi  bien  à  la  théorie  abstraite  de  l'opération  po- 
laire qu'à  la  théorie  des  formes. 

En  prenant,  dans  le  domaine  ternaire,  le  cas  particulier  où  la 
forme  contient  seulement  les  variables  x  et  leurs  contragrédientes 
z/,  on  se  trouve  ramené  à  la  théorie  des  connexes,  d'après 
Clebsch  (-).  Ces  connexes  f  avaient  déjà,  en  1872,  été  étudiés 
directement  par  Gordan  (^).  Dans  son  Traité  ('•),  Sludj  a  su  en 
donner  un  exposé  très  simple;  il  a  examiné  spécialement  les  con- 
nexes conjugués  f  Q^  g  (selon  la  dénomination  de  Rosanes)  (^), 
et  qui  sont  tels  que  leur  invariant  simultané  est  nul;  il  est,  en 
outre,  parvenu  à  établir  une  interprétation  géométrique  de  ces 
développements  en  série,  en  faisant  d'abord  une  étude  appro- 
fondie des  multiplicités  représentées  par  les  coefficients  de  substi- 
tutions. 

£.  Substitution  de  coefficients  difiérentiels  homogènes.  — 
Si  dans  une  forme  F  (^),  on  remplace  les  variables  x  par  les  dé- 
rivées premières  d'une  forme  G  [u)  à  variables  cogrédientcs,  on 
obtient,  d'après  Sjlvester  (^),  un  invariant  simultané  de  F  et  de  G. 
Et  en  particulier,  si  F  est  un  covariant  et  G  un  contrevariant,  ce 
procédé  fournira  un  nouveau  contrevariant. 

Plus  récemment,  Sylvester(')  a  indiqué  un  autre  principe  per- 
mettant d'obtenir  une  troisième  fonne  invariante  à  l'aide  de  deux 
formes  invariantes  données.  Celui-ci  mérite  d'être  signalé,  vu  la 


(')  Batt.  G.,  XVIII,  p.  17-34;  1880.  Fondamenti;  1882.  Rend.  Pal.,  I,  p.  1-6; 
1886.  Math.  Ann.,  XXXVII,  p.  1-87;  1891.  Rend.  Ace.  L.,  VII,  p.  161-167;  1891 
et.  p.  3-9;  1892.  —  Napoli  Rind.,  2*  série,  VII,  p.  29-38,  i55-i62;  1898;  Batt.  G., 
p.  376-380;  1894. ^ 

(^)  Gott.  Nachr.,  p.  429-449;  1872.  Math.  Ann.,  VI,  p.  2o5-2i5;  1872.  Voir 
Clebsch  et  Gordan,  Math.  Ann.,  I,  p.  359-400;  1869. 

{')  Math.  Ann.,  V,  p.  g5-i22,  en  particulier  §§  4,  5. 

{')   Voir  plus  loin  le  §  II,  D,  b. 

(»)  Methoden,  II,  §  12. 

(")  Voir  Introduction,  Bulletin,  XVIII^,  p.  184. 

(')  J.fiir  Math.,  LXXXV,  p.  89-114;  1878. 


MELANGES.  9.57 

iclalioii  siniplo  fjiii  existe  enlrc*  \c  <^\'ou\)C,  de  sn])sliluLlon  des  va- 
riables a:  et  celui  (lui  eu  rc'snlh;  poiii"  les  eoeffieients  de  la  forme. 
Vai  efret,  ]()i'S(jue  la  lorine  est  représeiilée  à  l'îiide  des  coefficients 
préparcs  {^),  on  voit  facilement  cjue  deux  sabstliutlons  réci- 
proques des  X  entraînent  deux  substitutions  réciproques  des 
coefficients  a.  Cetle  méthode  s'étend  également  aux  sources  des 
formes  F  et  G. 

Sylvester  démontre  la  proposition  successivement  pour  les  do- 
maines binaire,  ternaire,.  .  .  .,  tandis  que  Lipscliitz  (-)  en  donne 
une  démonstration  directe  d'après  laquelle  de  deux  substitutions 
inverses  (transponirte)  d'une  espèce,  il  résulte  deux  substitu- 
tions inverses  de  l'autre  espèce. 

Study  (^)  a  étendu  ce  théorème  aux  connexes  et  il  en  a  déduit 
une  série  de  conséquences  qui  montrent  que  le  principe  de  dua- 
lité forme  le  noyau  de  la  question. 

Ç.  Equations  différentielles.  —  Dans  l'Introduction,  nous 
avons  mentionné  la  part  qu'ont  prise  Aronhold,  Sylvester,  Cayley, 
Brioschi,  Betti,  à  la  formation  des  équations  différentielles  des 
invariants  d'une  ou  de  plusieurs  formes  données.  Les  progrès 
réalisés  pendant  cette  nouvelle  période  se  rattachent  surtout  à  la 
signification  même  de  ces  équations,  à  leurs  relations  mutuelles, 
et  aux  réductions  qui  en  résultent. 

Dans  ce  domaine,  nous  signalons  le  beau  Mémoire  de  For- 
syth (*),  dans  lequel  l'auteur  examine  le  problème  à  un  point  de 
vue  général,  en  partant  de  la  méthode  des  substitutions  infinité- 
simales inaugurée  par  Lie.  Il  parvient  à  donner  les  équations 
différentielles  des  invariants  d'une  forme  qui,  outre  les  va- 
riables X  et  leurs  contragrédientes  w,  contient  encore  les  sous- 
déterminants /?//(,  /?iA/,  ...  du  système. 

Si  l'on  se  place  au  point  de  vue  de  la  théorie  de  Lie,  le  fait  que 
les  n^  équations   différentielles  d'Aronhold   constituent,   d'après 

(')  Ces  coefficients  préparés  se  présentent  d'ailleurs  déjà  chez  Clebsch,  Gott., 
Abh.,  XVII,  p.  i4;  1872. 

(0  Ann.,  /.,  I,  p.  336-346;   1878.  —  Le  Paige,  Math.  Ann.,  XV,  p.  206-210, 

(')  Methoden,  p.  36  et  suivantes.  —  Consulter  aussi  Hurwitz,  Math.  Ann., 
XLV,  p.  38i-4o4;  1894. 

(*)  Lond.  Proc,  XIX,  p.  24-46;  1888.  —  Capelli  se  sert  d'une  méthode  ana- 
logue dans  ses  Fondamenti. 


258  puKMiEnF,  PAirrip:. 

Glebscli,  un  système  com[)Ict,  prend  inimédialemenl  la  significa- 
tion suivante  : 

Tandis  que  les  équations  différentielles  d'un  invariant 
expriment  que  ce  dernier  admet  toutes  les  substitutions  infi- 
nitésimales des  variables  [ou  des  coefficients)^  la  propriété  du 
système  complet  signifie  que  les  substitutions  forment  un 
groupe. 

Study(')  a  poursuivi  cet  ordre  d'idées  en  se  limitant  toutefois 
aux  invariants  projectifs  et  a  fait  voir  quelle  est,  dans  la  théorie 
des  formes,  la  signification  (symbolique  ou  non  symbolique)  de 
certains  groupes  d'équations  différentielles.  Dans  le  domaine  bi- 
naire cette  question  avait  déjà  été  résolue  par  Gordan  (-). 

Nous  abordons  maintenant  le  problème  qui  consiste  à  chercher 
le  nombre  minimum  des  équations  indépendantes  auquel  peut 
être  réduit  le  système  des  n^  équations  diff'érentielles.  Kronecker 
ramène  la  question  à  une  proposition  de  la  théorie  des  substitu- 
tions et  montre  (^)  que  ce  nombre  est  égal  à  deux.  Il  a,  en 
outre  ('),  donné  une  autre  méthode  de  réduction,  en  décompo- 
sant la  substitution  linéaire  générale  en  une  série  de  substitutions 
plus  simples,  équivalentes  à  la  première  (^).  11  parvient  ainsi  à 
in  —  2  systèmes  simples  de  décompositions,  auxquelles  corres- 
pondent 7.11  —  2  équations  différentielles  qui  remplacent  les 
n-  équations  d'Aronhold.  Pour  les  invariants  absolus,  il  faut  y 
joindre  encore  une  équation. 

Pour  terminer  ce  paragraphe,  il  convient  de  faire  remarquer 
que  l'importance  des  équations  différentielles  auxquelles  satisfont 
les  invariants,  abstraction  faite  des  facilités  qu'elles  présentent 
dans  la  pratique  pour  la  formation  de  ces  derniers,  repose  essen- 
tiellement sur  le  fait  que  pendant  longtemps  elles  constituèrent  la 

(')  3Jeehoden...,  II,  §  18. 

(^)   Fof'/- plus  haut  p.  25o,  la  fin  du  §  II,  C.  b,  a. 

(,3)  Berl.  Ber.,  p.  5o4;  1889. 

(*)  Berl.  Ber.,  p.  349-362,  479-5o5,  6o3-6i4;  1889.  —  Les  travaux  que  Deruyts 
a  publiés  sur  celte  question  seront  mentionnés  plus  loin,  II,  D. —  Kronecker  fait 
remarquer  que  ses  équations  ont  été  obtenues  sans  l'intervention  d'une  méthode 
symbolique.  Il  en  est  de  même  du   système  donné  par  b'orsylh. 

(  ')  Pour  les  domaines  ternaires  et  quaternaires,  consulter  aussi  ^^  iiite,  Ann.  J ., 
XIV,  p.  274-282;  1892. 


seule  méthode  jj;6iu'rale  permctlanl,  de  résoudre,  par  voie;  non 
s]'//iho/i(/N(%  la  pliipnrl  des  proMrmcs  de  la  lliéoric  des  formes. 
Bien  (pu;  la  niélliode  des  lonnes  canoin(pi(!S  soil  é^'^aleiucnt  non 
synil)oli(|U(^,  il  faut  eependarit,  pour  l'élahlir,  avoir  recours  aux 
équations  dillérentielles  ('). 

c.  —  Appendice. 

a.  Généralisations.  Transfoî'mations  (Tordre  supérieur.  — 
Pour  terminer  ce  Chapitre,  nous  examinerons  brièvement  deux 
cas  de  g;énéralisation.  L'un  a  pour  objet  les  transformations 
rationnelles  non  linéaires  des  variables,  tandis  que  l'autre  cor- 
respond au  groupe  prolongé  de  celles-ci,  c'est-à-dire  qu'il 
appartient  à  la  théorie  des  invariants  différentiels. 

Les  transformations  rationnelles  d'ordre  supérieur,  étudiées 
au  point  de  vue  de  la  théorie  des  formes,  n'ont  été  traitées  d'une 
façon  complète  que  dans  le  domaine  binaire  (^).  Quant  à  la  trans- 
formation de  Tschirnhausen  et  la  modification  importante  intro- 
duite par  Hermite,  nous  en  avons  déjà  fait  mention  au  début  de 
ce  Rapport  (^). 

C'est  à  Gordan  que  revient  le  mérite  d'avoir  montré  ('*)  que  la 
théorie  des  invariants  binaires,  dans  les  transformations  ration- 
nelles, pouvait  être  ramenée  à  celle  des  invariants  projectifs.  Il 
est  bien  entendu  qu'il  ne  s'agit  ici  que  d'invariants  relatifs,  les 
invariants  absolus  étant  exclus. 

Les  transformations  d'ordre  supérieur  ont  pour  but  d'attribuer 

(')  Examiner  aussi  la  méthode  non  symbolique  adoptée  par  Mertexs,  Wien. 
Ber.,  XCVIII,  p.  691-789;  1889. 

Par  contre,  les  dernières  recherches  de  FIilbert  prennent  de  plus  en  plus  un 
caractère  arithmétique. 

(')  Pour  le  cas  des  systèmes  associés,  voir,  plus  haut,  (p.  98),  IP  partie,  A,  c. 

(')  Bulletin,  XV^IIIj,  p.  190.  —  Ajoutons,  pour  compléter^  que  Brioschi  donna 
immédialement  les  équations  différentielles  auxquelles  doivent  satisfaire  les  coef- 
ficients de  la  transformée;  Atti  Ist.  Lomb.,  I,  p.  281;  i858.  —  Consulter  aussi 
Klein,  Vorlesungen  Uber  das  Jkosaeder,  IP  partie,  Chap.  II,  §§  5,  6;  i884;  ainsi 
que  les  récents  mémoires  de  Brioschi  :  vJ/a^A.  Ann.,  XXIX,  p.  827-330;  1887; 
Annali  di  Mat.  (2),  XVI,  p.  181-189,  329-884;  1888;  Lond.  M.  S.  Proc,  XX, 
p.  i27-i3r ;  1889. 

(*)  Journ.  fiir  Math.,  LXXI,  p.  i64-i94;  1870.  —  On  trouvera  dans  les  Math. 
Ann.  (III,  p.  359-861;  1871)  un  exemple  de  transformation  quadratique  d'une 
forme  biquadratique,   calculé  par  Cayley. 

loir  ausî^i  Cleb-sch,  Gott.  AbJi.,  XV,  p.  o')-99;   1870. 


26o  PHIiMIKUl^:    PARTIIÎ. 

aux  équations  certaines  propriétés  d'invariance  (*).  Dans  certains 
cas  particuliers,  il  est  possible,  d'après  Clebsch  (-),  de  revenir 
directement  aux  transformations  linéaires.  Par  exem[)le,  il  en  est 
ainsi  pour  la  transformation  cubique  d'une  forme  j^j;  Torelli  (^) 
explique  ce  fait  par  la  présence  d'une  identité  entre  trois  formes 
cubiques  quelconques  et  dans  laquelle  les  coefficients  sont  des 
covariants  linéaires. 

Clebsch  (^•)  a  étudié  les  transformations  d'ordre  supérieur 
effectuées  sur  des  formes  binaires  en  les  mettant  en  rapport  avec 
des  transformations  linéaires  d'un  espace  à  plusieurs  dimensions, 
et  il  obtient  ainsi,  pour  les  premières,  une  interprétation  géomé- 
trique fort  simple. 

Dans  le  domaine  à  n  variables  les  transformations  uniformes 
d'ordre  supérieur  ont  été  soumises  à  un  examen  très  approfondi 
par  Maurer  (5).  Ce  dernier  a  surtout  pris  pour  but  la  recherche 
des  équations  différentielles  des  invariants  afin  de  les  mettre  en 
parallèle  avec  le  système  des  n-  équations  d'Aronhold.  D'après 
l'auteur,  les  propriétés  de  ces  formes  spéciales,  qui  reposent  sur 

(')  En  particulier,  on  se  proposera,  d'après  Hermite,  d'obtenir  pour  la  trans- 
formée \xwe^  forme-type,  dans  laquelle  les  coefficients  sont  des  invariants.  Mais 
les  conditions  qui  en  résultent  pour  la  transformation  n'ont  pas  encore  été  étu- 
diées d'une  manière  générale. 

(0  Gott.  Abh.,  XV,  p.  65-99;  1870. 

(^)  Atti.  Ace.  P.  Nap.,  XVIII,  p.  2i5-225;  et  Pal.  Rend.,  II,  p.  1G5-171;  18883 

(0  Gott.  Naehr.,  p.  335-345;   1871;  Math.  Atin.,  IV,  p.  284-3:^5;  1871. 

Clebsch  fait  une  étude  approfondie  de  la  transformation  quadratique  de  l'équa- 
tion du  cinquième  ordre.  Consulter  l'exposé  qu'il  en  donne  dans  C lebsch-Linde- 
maiiîi,  t.  II,  l,  3*  partie,  n°  XI.  —  Voir  aussi  Spottiswoode  :  Rom.  Ace.  L.  (3), 
VII,  p.  218-223  ;  i883;  Lond.  Proc,  XVI,  p.  148-17 1  ;  i8S5;  ainsi  que  Pittarelli  : 
Rom,.  Ace.  L.  Rend.  (4),  I,  p.  327-331,  p.  374-38i;  i885. 

D'une  manière  analogue,  on  introduira  pour  les  équations  des  5®  et  6"  ordres 
des  transformations  cubiques.  Mais  il  serait  à  désirer  que  ces  équations  fussent 
encore  étudiées  au  point  de  vue  des  relations  existant  entre  les  groupes  de  trans- 
formations. 

(^)  Joiirn.  fiir  Math.,  CVII,  p.  89-116;  1890.  —  C'est  une  généralisation  di- 
recte du  Mémoire  de  Maurer  signalé  à  la  fin  de  la  première  Partie  de  ce  Rapport 
(I,  B,  b);  Bulletin,  XVIII,,  p.  Sog  et  3o8. 

II  est  bien  entendu  que  ces  transformations  doivent  contenir  au  moins  un 
paramètre  arbitraire. 

Quant  à  la  théorie  algébrique  et  géométrique  des  transformations  uniformes  de 
deux  variables,  telle  qu'elle  résulte  de  Travaux  de  Riemann,  Cremona,  Clifford, 
Noether,  Rosanes,  Brill,  voir,  par  exemple,  Clebseh-Lindemann,  I,  4*  Partie,  IX; 
NoETHER,  Math.  Ann.,  XXIII,  p.  3ii-358;  1887;  et  Berl.  Ber.^  p.  i-5;  1888. 


IMr':LANGli:S.  vCi 

les  rolalions  (alg('])riqucs)  crilro  coofficienls,  n'oni,  encore  été 
éliidiées,  au  [)()inl,  (le  vue  (i(^  la  iIk'oikî  des  m vaiiaiiLs,  (jik;  dans 
ccrlains  cas  |);»rliciiliers.  C'est  ce  qui  forme  le  point  de  départ  do 
cet  important  Mémoii'C  dans  lequel  JNJaurer  envisage  la  (jiicstion 
d'une  manière  tout  à  fait  générale. 

p.  f/nvr/'ia/ffs  du  groupe  projcctif  prolongé  {^).  [Rêcipro- 
cants  cf.  i/wariants  différentiels.)  —  J.,a  théorie  des  récipro- 
cants  a  été  fondée  par  Sylvester  (^)  en  i885  et,  depuis,  elle  a 
reçu  un  grand  développement  grâce  aux  Travaux  de  ce  dernier, 
auxquels  sont  venus  se  joindre  ceux  de  Hammond,  Mac  Mahon, 
Leudcsdorf,  Elliot,  Forsyth,  Rogers,  Berrj  et  Perrin. 

L'étude  des  invariants  différentiels  (•'),  qui  forme  une  partie 
importante  de  cette  théorie,  avait  déjà,  en  1878  et  en  1880,  élé 
abordée  avec  succès  par  Halphen  (*),  tandis  que,  d'autre  part,  les 
recherches  antérieures  de  Lie  sur  la  même  question  (^)  sont  d'une 
généralité  telle,  qu'elles  renferment,  comme  simples  cas  particu- 
liers, toute  une  série  de  théorèmes  et  de  méthodes  employées  par 
les  auteurs  anglais. 

Toutefois,  il  y  a  lieu  d'ajouter  que  la  Science  aurait  réalisé  des 
progrès  plus  rapides,  si  Halphen  et  les  géomètres  anglais  avaient 
accordé  une  plus  large  ])lace  aux  idées  fondamentales  de  Lie,  qui, 

(')  D'après  les  restrictions  que  nous  avons  dû  nous  imposer,  ce  paragraphe  et 
les  suivants  sont  forcément  traités  d'une  manière  incomplète.  Ainsi,  devant  nous 
limiter  aux  méthodes  qui  se  rattachent  directement  à  la  théorie  ordinaire  des 
invariants,  nous  ne  pouvons  pas  tenir  compte  des  Travaux  de  Lie,  Halphen, 
Appell,  Brioschi,  Vessiot  et  d'autres,  sur  les  invariants  des  équations  difTéren- 
lielles. 

(•')  Mess.,  XV,  p.  74-76,  88-92;  Comptes  rendus,  CI,,  p.  1042-6,  mo-i,  p.  1225-9, 
p.  1460-4.  —  Dans  son  ensemble,  cette  théorie  a  été  exposée  par  Sylvester  dans 
son  Cours  publié  par  Flammond  dans  le  Am.  /.,  t.  VIII,  p. 196-260;  t.  IX,  p.  1-37, 
ii3~i6i,  297-352;  t.  X,  p.  1-16;  1887. 

(')  Les  invariants  différentiels  appartiennent  au  groupe  projectif  général,  et 
les  rëciprocants  peuvent  se  rattacher  à  un  sous-gi-oupc.  —  D'après  la  termino- 
logie de  Sylvester  le  mot  réciprocant  indiquait,  au  début,  un  simple  échange  des 
variables. 

{*)  1878,  Thèse  pour  le  doctorat;  1880^  Éc.  Polyt.,  Méni.  prés.  (2),  XXVIII, 
Soi  p.;  (i88o-i884). 

FoiV  aussi  les  Travaux  antérieurs,  Comptes  rendus,  LWXl^  p.  io53;  1875; 
Journ.  de  Math.  (3),  II,  1876. 

(')  Consulter  par  exemple  les  Math.  Ann.,  XXIV,  p.  337-378;  iS8'|,  Lie- 
Kngel,  t.  I,  Ch.  25,  et  Ln:-ScnEFFERS,  Ch.  2;{, 


262  PRKMIKHK   PARTIK. 

de  son  côlé,ne  parut  pas  altacher  une  grande  importance  à  ces 
théories  spéciales  (*). 

Sjlvester  établit  la  théorie  des  réciprocanls  binaires  en  partant 
d'une  propriété  de  Vexpression  de  SchwarzÇ^)  : 


y^.r^—'^y 


'^y'i 


2 
-  J 


dans  laquelle  r, ,  JK27  .X3  sont  les  dérivées  successives  dey  prises 
par  rapport  à  la  variable  indépendante  x. 

C'est  à  Mac  Mahon  (^)  que  revient  le  mérite  d'avoir  su  établir 
la  multiplicité  des  opérations  diflerentielles  auxquelles  on  peut 
soumettre  ces  réciprocants. 

Perrin  (^)  parvint  alors  sans  difficulté  à  étendre  sa  théorie  des 
résidus  (^)  aux  réciprocants,  tandis  qu'Elliot  fit  l'extension  de  la 
théorie  de  Sjlvester  au  cas  de  n  variables  (^).  On  doit  également 
à  Elliot  le  système  complet  des  équations  différentielles  caracté- 
ristiques pour  le  cas  de  trois  variables,  ainsi  que  l'étude  ('),  dans 
le  domaine  ternaire,  des  réciprocants  du  groupe  linéaire  général. 
De  son  côté,  Forsyth  C^)  a  examiné  le  cas  particulier  où  seulement 
deux  variables  (dépendantes)  sont  soumises  à  une  transformation 
linéaire  générale. 

Hammond  [''^)  a  consacré  une  étude  approfondie  à  certains  ré- 
ciprocants intégrables  et  en  a  donné  des  applications  géomé- 
triques. 


(')  Une  étude  comparative  des  relations  mutuelles  entre  ces  théories  serait 
d'un  grand  intérêt.  Lie  lui-même  compare,  à  plusieurs  reprises,  ses  résultats  à 
ceux  qu'ont  oblenus  d'autres  géomètres,  notamment  Halphen.  Ainsi,  consulter  les 
Math.  Ann.,  t.  XXXII,  p.  212-281  (ou  A'onv.  Archiv,  i883);  t.  XXIV,  p.  5^9; 
t.  XXV^  p.  74;  Leipz.  Ber.,  p.  83-88;  1887;  Am.  J.,  XI,  p.  182-186;  Lie-Engel,  I, 
p.  552-553;  Leipz.  Ber.,  p.  267;  189 1. 

(^)  Voir  plus  haut,  P  Partie,  b.  {BuUetin,\YlU,,  p.  298.)  —  Cette  expression 
se  présente  déjà  dans  les  Travaux  de  Lagrange. 

{')  Lond.  Proc,  XVIII,  p.  61-88;  1887;  XIX,  p.  112-128;  1888.  —  Consulter 
aussi  Elliot,  Lond.  Phil.  Trans.,  CLXXXI,  p.  ig-âi;  1890. 

{*)  C.  B.,  Cil,  p.  351-353;  1886. 

(^)   Voir  plus  haut,  IP  partie,  A,  d.  {Bulletin,  XIX^,  p.  io'|-ioJ.) 

(«)  Lond.  Proc,  XVII,  p.  172-196;  188G;  XVIII,  p.  142-16',  ;  XIX,  p.  6-23,  377-405; 
XX,  p.  i3i-i6o;  Mess. y  XI\,  p.  7-14;  1889. 

(')  Lond.  Proc.,  XX,  p.  i3i-i6o;  1889. 

(»)  Lond.  Phil.   Trans.,  CLXXX,  p.  71-118;  1S89. 

(')  Lond.  Proc.,  XVII,  p.  i28-i38;  1S86. 


AlIiLANGKS.  i(13 

Poiii-  les  six  piciniers  degrés,  Mac-Malion  a  étudié  ('),  à  Tiiidc 
d'une  roiiclioH  L;(''ii('r;il  ric.o,  les  l'ccipnu'.iwls  /}('//jrf.f/r/nts,  (:'(;.sL-ù- 
diic  C(Mi\  (jui  ne  peuvent  être  représentés  en  fonelion  lin('';iire  et 
enlicîre   par  d'autres  réciproeants  de  degré  et  de  poids  moindres. 

()uanl  aux  léc'iprocauts  mâles,  ils  ont  été  l'ohjet  d(3  plusieurs 
eoniinunicahous  de  l^eudesdorf  (-)  ;  en  parlieuliei",  ee  géomètre 
fail  voir  (|u'une  fonction  donnée  de  y^ ,  y2^  y-.]-,  •  . .  est  un  récij)ro- 
canl  mèl(''. 

llogers  (^)  a  (ait  une  extension  remarquable  de  la  notion  de 
réciprocant,  et  il  a  étudié  spécialement  les  invariants  différentiels 
d'une  certaine  transformation  quadratique  qui  se  présente  dans  la 
transformation  par  rayons  vecteurs  réciproques. 

Aux  travaux  de  Rogers  sur  les  réciprocants  homo graphiques 
se  rattache  un  Mémoire  de  Forsyth  (^*)  sur  le  système  complet 
de  ces  derniers.  Ces  réciprocants  jouent  un  rôle  particulière 
meut  intéressant  dans  la  théorie  des  équations  diderentielles 
linéaires  (^). 

V.  Les  invariants  différentiels  dans  la  théorie  des  surfaces. 
Paramètres  différentiels.  —  La  théorie  projective  des  propriétés 
de  la  courbure  des  surfaces  n'a  pas  encore  été  approfondie.  A  part 
un  certain  nombre  d'importantes  remarques  que  l'on  trouve  dans 
le  beau  Traité  de  Darboux  (^),  et  les  théorèmes  obtenus  par 
Mehmke  (^)  à  l'aide  de  la  méthode  de  Grassmann  et  développés 
par  Sylvester  et  ses  disciples  (^),  il  n'y  a  guère  à  signaler  que  le 

(')  Lond.  Proc,  XVII,  p.  iSg-iSi;   1886. 

Pour  ce  qui  concerne  les  réciprocants  simultanés  se  rapportant  à  plusieurs  sé- 
ries de  variables,  voir  les  recherches  de  Bi-:nRY,  Quart.  J.,  XXII,  p.  260-288; 
XXIII,  289-816;  1889.  ~  Quant  aux  réciprocants  simultanés,  voir  erky,  Quart. 
J.,  t.  XXII,  p.  260-288;  t.  XXIII,  p.  289-816;  1889. 

(')  Lond.  Froc,  XVII,  p.  197-219,  829-348;  XVIII,  p.  285-262;  1887. 

Voir  aussi  Ghiffiths,  Ed.  Times,  LI,  p.  187-149;  1889. 

(^)  Lond.  Proc,  XVII,  p.  220-281,  344-354;  XVIII,  p.  i8o-i4i;  XX,  p.  161-179; 
Mess.,  2«  série,  XVIII,  p.  i58-i58;  1889. 

(*)  Mess.,  2«  série,  XVII,  p.   154-192;  1888, 

(«)  Forsyth,  Lond.  Pliil.  Trans.,  p.  877-489;  1888,  et  p.  71-118;  1889. 

(*)  Leçons  sur  la  théorie  générale  des  surfaces,  Paris,  I,  1887;  II,  1889;  III, 
1894;  IV,  1895.   Voir  en  particulier,  t.  I,  L.  I,  §§  23  et  suiv.,  et  L.  II. 

(' )  5c/t/om.  Z.,  XXXVI,  p.  56-6o,  206-218;  1891.  Voir  encore  Bœcklex,  Mittei- 
lungen,  1893,  et  Schlom.  Z.,  p.  186-189;   1892. 

(')  Consulter  Elliot,  Lond.  Proc.,  XVII,  p.  172-196;   188G. 


264  PREMIËKIÎ   PARTIR. 

travail  fondamental  de  Voss  ('  ).  L^auteur  étudie,  an  point  de  vue 
de  leur  invariance  projective,  les  principales  grandeurs  qui  se 
présentent  dans  la  théorie  de  la  courbure;  en  outre,  il  aborde  éga- 
lement l'étude  d'invariants  différentiels  plus  généraux  qui  résultent 
d'une  transformation  quelconque. 

Jja  théorie  des  surfaces  repose  sur  la  transformation  de  cer- 
taines formes  différentielles  binaires,  parmi  lesquelles  nous  citons 
le  carré  de  l'élément  linéaire  de  la  surface, 

A  =  ds'  =  e  dii*-  H-  if  du  dv  +  g  c/p-, 

et  l'expression  B  obtenue  en  divisant  la  précédente  par  le  ra^'on 
de  courbure  o, 

ds*' 
B  =  -^  =  E  da'^  -\-iF  du  dv  H-  G  ^f ^ 

(?,  y,  g^  E,  F,  G  étant,  selon  la  notation  de  Gauss,  les  grandeurs 
fondamentales  de  première  et  de  deuxième  espèces.  Bel- 
trami  (-)  fut  le  premier  qui  examina  les  propriétés  invariantes 
résultant  de  ces  transformations;  on  lui  doit  l'introduction  des 
paramètres  différentiels  (')  qui  jouent  un  rôle  si  important  dans 
la  théorie  générale  des  surfaces  ('•). 


(')  Math.  Ami.,  XXXIX,  p.  179-256;  1891. 

(^)  Le  premier  Mémoire  de  Beltrami  remonte  à  l'année  i865,  Giorn.  di  Mat., 
IL  Consulter  encore  les  Mem.  Ace.  di  Bologna,  2^  série,  VIII;  1869.  Ann.  di 
Mat.,  2«  série,  I,  p.  829;  1867.  Math.  Ann.,  I;  1869.  H.  F. 

(')  Voir,  dans  le  Traité  de  Darboux,  le  Chapiti^e  que  l'auteur  consacre  aux 
paramètres  diflérentiels  au  début  de  son  intéressant  exposé  de  la  déformation  des 
surfaces  (t.  III,  p.  193-217).  H.  F. 

(^)  Malgré  le  grand  intérêt  de  la  question,  nous  devons  nous  borner  à  joindre 
aux  noms  précédents  ceux  de  de  Riemann,  Christoffel,  Weingarten,  Halphen,  Lie, 
Ricci,  Knoblauch,  Frobenius,  Tresse,  etc. 

Consulter  aussi  le  Traité  élémentaire  de  Knoblauch,  Einleitung  in  die  allg. 
Théorie  der  kruminen  Flàchen,  Ch.  III,  Leipzig,  1888  et  ses  Mémoires,  dans  le 
Journ.  fiXr  Math.,  CIII,  p.  25-89,  1888;  t.  CXI,  p.  277-289,  32g-343,  1893;  t.  CXV, 
p.  i85-2oo,  1895. 


ipc^r»' 


COMPTKS   in-:NM)US   i;r   yXNALYSHS.  765 

\ 
COMPTKS   ULNDUS   Wï  ANALYSES. 

P.  IIAAG.  —  Cours  di:  Calcul  difféulxtikl  i:t  intkgum.;  i  vol.  in-H", 
vn-G9'2  p.,  1893.  —  Cours  dk  Mécamqui:  rationnemj:;  i  vol.  iii-H', 
viii-53>.  p.  V'"'  Cil.  Diinod.  Paris,  189^. 

On  trouvera,  dans  ces  deux  Ouvrages,  la  reproduction  déve- 
loppée des  Cours  professés  par  M.  flaag  à  l'Ecole  des  Ponts  et 
Chaussées.  Les  lecteurs  ne  manqueront  pas  d'apprécier  le  talent 
avec  lequel  M.  Haa{^  a  su  exposer  d'une  manière  simple  et  rigou- 
reuse les  théories  les  plus  importantes  de  l'Analyse  et  de  la  Mé- 
canique rationnelle.  11  préfère,  lorsque  cela  est  possible,  l'ex- 
position géométrique;  l'emploi  systématique  des  quantités 
géométriques  rend  cette  exposition  claire,  rigoureuse  et  élé- 
gante. Dans  le  Cours  d'Analyse,  qu'il  a  voulu  très  élémentaire,  il 
a  su  faire  sa  place  à  la  théorie  des  fonctions  et  l'on  y  trouvera 
même  les  propriétés  fondamentales  des  fonctions  elliptiques.  Le 
Cours  de  Mécanique  est  divisé  en  deux  Parties,  dont  la  première 
se  rapporte  à  la  Cinématique,  et  la  seconde,  sous  le  titre  Étude 
des  forces^  comprend  à  la  fois  la  Dynamique  et  la  Statique,  que 
l'auteur  tient  à  ne  pas  séparer.  L'exposition  des  principes  de  1^ 
Dynamique  est  faite  d'une  façon  intéressante  et  philosophique. 

J.   T. 


GINO  LORIA.  —  Le  scienze  ébatte  nell'  antica  grecia.  Libre  II  :  Il  pe- 
rioclo  aiireo  délia  geometria  greca.  236  p.  gr.  in-4°.  JModena,  1895. 

Dans  le  numéro  du  Bulletin  de  janvier  1894,  j'ai  déjà  rendu 
compte  de  la  première  Partie  de  l'important  Ouvrage  historique 
entrepris  par  M.  Gino  Loria,  et  j'ai  signalé  les  qualités  remarqua- 
bles dont  le  savant  professeur  de  Gênes  a  su  donner  une  preuve 
éclatante.  Le  second  Livre,  qui  vient  de  paraître,  mériterait  des 
éloges  encore  plus  grands;  je  me  contenterai  de  regretter  que 
nous  soyons  bien  loin  de  posséder  en  France  une  exposition  aussi 
complète,  aussi  claire  et  aussi  judicieuse  des  travaux  géométriques 

Bull,  des  Sciences  malhém.,  2'  série,  L.  .\I\.  (Décembre  1895.)  19 


^GG  PU  KM IK  M  H   PAirriH. 

d'iuiclide,  (rArcliimède  cl  d'Apollonius,  pour  ne   pas  parler  des 
mathématiciens  secondaires  de  la  même  période. 

Ceux  de  nos  lecteurs  cjui  ont  [)ris  quelque  intérêt  au  débat 
récemment  intervenu  ici  même,  entre  MM.  Zcutlien  et  Cantor, 
pourront  notamment  trouver,  dans  le  Livre  de  M.  J^oria,  un  com- 
promis très  acceptable,  je  crois,  entre  les  deux  thèses  opposées 
sur  le  caractère  des  progrès  réalisés  par  le  géomètre  de  Perge  dans 
la  théorie  des  coniques.  Faisant  un  départ  très  net  entre  les  hypo- 
thèses, d'ailleurs  annoncées  comme  telles,  du  savant  danois  et 
les  résultats  historiques  mis  en  lumière  par  ce  dernier,  M.  Loria 
a  formulé,  sur  les  premières,  des  réserves  fort  sages;  il  a,  au  con- 
traire, adopté  la  plupart  des  seconds.  Son  histoire  de  la  période 
cVor,  comme  il  l'appelle,  est  donc  à  lire,  même  après  la  seconde 
édition  du  t.  I  des  Vorlesungen  de  M.  Cantor;  ce  n'est  pas  là, 
bien  entendu,  une  critique  que  j'adresse  à  ce  dernier  travail  pour 
lequel  on  connaît  mon  admiration;  mais,  en  matière  d'érudition, 
les  nouveaux  venus  peuvent  toujours  prendre  l'avantage. 

Je  n'ai  pas,  au  reste,  l'intention  de  faire  ici  une  analyse  détaillée 
du  Livre  de  M.  Loria;  je  me  contenterai  de  signaler,  comme  par- 
ticulièrement neuf,  l'intéressant  Appendice  consacré  aux  restitu- 
tions et  divinations  des  écrits  perdus  des  Anciens;  je  n'ai  pas  da- 
vantage à  signaler  cette  fois,  comme  pour  le  premier  Livre,  quel- 
ques légères  inadvertances  de  rédaction;  j'en  profiterai  donc 
pour  essayer  de  combattre  une  erreur  accréditée  que  M.  Loria,  je 
crois  bien,  ne  partage  point,  mais  qui  apparaît  dans  deux  des  cita- 
tions mises  en  note  (p.  117): 

«  Après  vingt  siècles  de  travaux  et  de  découvertes,  écrivait 
Libri  dans  son  Histoire  des  Sciences  mathématiques  en  Italie 
(t.  I,  p.  3i),  les  intelligences  les  plus  puissantes  viennent  encore 
échouer  contre  la  synthèse  difficile  du  Traité  des  Spirales  d'Ar- 
chimèdc.  » 

Si  Libri  n'eût  été  qu'un  célèbre  érudit,  s'il  ne  s'était  pas  fait 
remarquer  par  des  travaux  de  mathématique  pure,  une  assertion 
aussi  étrange  ne  mériterait  pas  d'être  relevée;  en  tout  cas,  on  ne 
doit  y  voir  qu'une  preuve  topique  de  la  singulière  légèreté  avec 
laquelle,  trop  souvent,  Libri  a  abusé  de  l'autorité  qu'il  s'était 
acquise  pour  imposer  une  opinion  préjugée,  sans  réelle  étude  de 


COMPTKS   lUiiNDUS   HT   ANALYSES.  267 

la  qucsllon.  Personne  aujoiirtriuii,  [)oiir  ainsi  dire,  ne  lll  Arclii- 
niècle,  cl  Libri  n'avait  cerlainenieni  pas  essayé  de  le  faire;  c'est  la 
seule  conclusion  à  tirer  du  passage  que  je  viens  de  citer. 

En  faisant  abstraction  des  formes  tecliniques  du  langage  mathé- 
matique des  /Vnciens,  le  géomètre  de  Syracuse  déroute  et  rebute 
au  premier  abord  parce  ([ue  sa  tournure  habituelle  de  démonstra- 
tion est  la  réduction  à  l'absurde,  même  en  dehors  de  sa  méthode 
des  quadratures  et  pour  des  questions  qu'il  aurait  pu  sans  peine 
traiter  directement.  11  semble  avoir  eu,  à  cet  égard,  un  pli  d'esprit 
particulier  et  il  faut  certainement  s'y  faire;  mais  ce  point  une  fois 
gagné,  je  ne  crois  pas  qu'on  puisse  accuser  Archimède  d'obscurité, 
même  dans  son  Traité  des  Spirales;  et  j'estime  que  qui  voudra 
sérieusement  le  comparer  à  Apollonius,  lui  accordera  au  moins  la 
supériorité  sous  le  rapport  de  l'ordonnance  de  l'exposition;  le 
fait  est  d'ailleurs  assez  naturel,  puisque  les  livres  des  Coniques 
ne  représentent  pas,  comme  les  écrits  d'Archimède,  un  travail 
complètement  original. 

L'opinion  émise  par  Libri  n'a  pas,  au  reste,  été  inventée  par 
lui;  il  a  simplement  adopté,  en  le  revêtant  d'une  formule  hyper- 
bolique, un  préjugé  mis  en  circulation,  je  crois,  par  Fonlenelle, 
dans  V Histoire  de  l'Académie  des  Sciences  pour  Vannée  1704 
(p.  42  de  l'édition  de  1722),  à  propos  d'un  Mémoire  de  Varignon, 
à  savoir  que  les  géomètres  modernes,  malgré  leurs  efforts, 
n'étaient  pas  parvenus  à  trouver  le  fin  mot  des  démonstrations  du 
Traité  des  Spirales. 

((  Elles  sont  si  longues  et  si  difficiles  à  embrasser  que,  comme 
on  l'a  pu  voir  dans  la  Préface  de  V Analyse  des  infiniment  petits^ 
M.  BouUlau  a  avoué  qu'il  ne  les  avait  jamais  bien  entendues,  et 
que  Viète  les  a  injustement  soupçonnées  de  paralogisme,  parce 
qu'il  n'avait  pu  non  plus  parvenir  à  les  bien  entendre.  » 

Passe  pour  Boulliau,  qui  n'était  pas  certainement  un  géomètre 
di  primo  cartello^  mais  pour  lequel  on  ne  doit  pas  cependant 
exagérer  la  portée  de  l'aveu  ingénu  consigné  dans  la  Préface  de 
son  Traité  De  lineis  spiralibus ;  quant  à  Viète,  je  vais  y  revenir 
tout  à  l'heure;  mais  je  dois  remarquer  qu'aucun  des  grands  ma- 
thématiciens du  xvii^  siècle,  c'est-à-dire  du  temps  où  l'on  étudiait 
réellement  Archimède,   aucun   de  ceux  qui  ont  appliqué  ses  mé- 


9.68  PUiï.MIÈKK   PARTIE. 

thodes  el  en  oui  tiré  de  nouveaux  procédés,  ni  les  Hujgens,  ni 
les  Pascal,  ni  les  Roberval,  ni  les  Fermât,  ne  se  sont  jamais 
plaints  de  l'obscnrité  d'Arcliimède,  et  ce  sont  les  seuls  témoins 
dont  l'autorité  serait  valable. 

Que  le  marquis  de  Tllôpital,  au(juel  renvoie  Fontenelle,  ait  fait 
ressortir  les  longueurs  et  les  embarras  des  démonstrations  d'Ar- 
cliimède en  regard  de  la  brièveté  des  calculs  leibniziens,  rîen 
n'est  plus  justifiable;  mais  il  s'est  gardé  d'accentuer  cette  compa- 
raison comme  l'a  fait  le  Secrétaire  de  l'Académie  (*). 

C'est  à  ce  dernier  donc  qu'incombe  la  responsabilité  de  l'asser- 
tion relative  à  Viète,  qu'il  n'avait  évidemment  pas  lu,  sans  quoi  il 
l'eût  trouvé  sans  doute  encore  plus  difficile  à  comprendre  qu'Ar- 
chimède. 

Le  passage  de  Viète  visé  par  L'Hôpital  se  trouve  au  reste  dans 
le  Supplementum  Geometriœ  (page  240  de  l'édition  elzévir). 
Mais,  pour  en  reconnaître  le  véritable  sens,  il  faut  voir  tout 
d'abord  comment  il  est  amené. 

Dans  l'écrit  en  question,  publié  vers  1692,  Viète  développe 
une  idée  déjà  indiquée  dans  Vlsagoge  de  1091  (n°  25).  Il  de- 
mande qu'on  admette,  dans  la  pratique  de  la  Géométrie,  au  même 
titre  que  les  constructions  avec  la  règle  et  le  compas,  l'insertion 
entre  deux  lignes  [droites  et  circulaires)  données  d'un  segment 
de  longueur  donnée  d'une  droite  passant  par  un  point  donné. 

M.  Loria  (p.  2o4)  rappelle  que  Newton  a  fait  la  même  propo- 
sition, et  il  est  incontestable  qu'au  point  de  vue  graphique  la 
solution  par  simple  tâtonnement  du  problème  en  question  est 
souvent  bien  plus  aisée  et  bien  plus  exacte  que,  par  exemple,  la 
détermination  du  point  d'intersection  de  deux  droites  ou  que  le 
tracé  d'un  cercle  de  grand  rajon.  Avant  Newton,  dans  le  Supple- 
mentum Geometriœ,  Viète  avait  montré  que  l'on  peut  de  la 
sorte  résoudre  graphiquement  toutes  les  équations  du  troisième 
et  du  quatrième  degré. 

Or,  dans  son  préambule,  pour  justifier  son  postulat,  il  s'appuie 
sur  l'exemple  des  Anciens  :  ce  postulat  revient  au  fond  à  l'emploi 


(')  Ainsi  pour  \  ièle,  L'Hôpital  dit  seulement  ;  «  S'ils  (les  Anciens)  n'ont  pas 
été  loin,  s'ils  ont  marché  par  de  longs  circuits,  du  moins,  quoiqu'on  dise  Viette, 
ils  ne  se  sont  point  égarés  ». 


COMPTES    HHNDUS    lî T   ANALYSKS.  .a(h.» 

(le  la  conclioïdc  de  Nic()mc(l(^  ;  il  a  <'l(;  im[)li(;ilemenl  {idinis  pai 
Archiincdc  (*).  Invoquant  ainsi  l'anlorilé  dn  géonirlrc  do  Syra- 
cuse, Vicie  est  conduit  à  faire  remarquer  (jue  ce  (|iril  propose  est 
en  fait  une  construction  |)lus  simple  que  le  tracé  de  la  parabole 
ou  de  la  spirale,  ('paiement  postulés  par  Archimède  pour  la  solu- 
tion de  problèmes  solides  ou  autres.  Vient  alors,  tout  à  fait  inci- 
demment, le  passage  incriminé  par  Kontenelle  comme  contenant 
une  accusation  de  paralogisme  contre  Archimède. 

Je  vais  essayer  d'en  donner  une  traduction  aussi  fidèle  (pie  pos- 
sible. 

(c  Quant  à  cette  autre  proposition  d'Arcliimède,  de  trouver,  en 
menant  une  tangente  à  la  spirale,  une  ligne  droite  de  longueur 
égale  à  la  circonférence  du  cercle,  il  y  a  là  un  point  sur  lequel 
l'accord  n'est  pas  fait  {satis  non  constat).  En  réalité,  Archimède 
construit  une  droite  qui  est  plus  grande  que  le  périmètre  de  tout 
polygone  inscrit  au  cercle  et  plus  petite  que  le  périmètre  de  tout 
polygone  circonscrit.  Mais  s'ensuit-il  qu'elle  soit  égale  à  la  cir- 
conférence? Il  }'  a  un  angle  (l'angle  mixti ligne  de  la  circonférence 
et  du  diamètre,  d'après  Euclide,  Ilf,  i6)  qui  est  plus  petit  que 
tout  angle  obtus  et  plus  grand  que  tout  angle  aigu. 

»  S'ensuit-il  que  cet  angle  soit  droit?  Si  la  conclusion  d'Archi- 
mède  est  vraie,  celle  d'Euclide  est  fausse.  Mais  cette  question 
sera  mieux  disculée  après  l'exposition  de  l'analyse  des  sections 
angulaires.   » 

Évidemment,  en  lisant  aujourd'hui  ce  passage  isolément,  on  peut 
s'y  tromper;  du  temps  de  Fontenelle,  l'étude  de  Viète  était  déjà 
abandonnée  et  l'erreur  également  aisée.  Mais  les  géomètres  aux- 
quels Viète  s'adressait  ne  devaient  guère  s'y  méprendre;  il  n'y  a 
là  de  fait  qu'une  allusion  ironique  à  la  célèbre  dispute  sur  l'angle 
de  contact.  Or  sur  celte  question,  l'opinion  de  Viète  ne  doit  don- 


(')  Le  fait  avait  été  relevé  par  Pappus  comme  une  incorrection.  M.  Loria,  en 
le  discutant  (p.  207),  conclut,  avec  Oppermann  et  Zeuthen,  qu'Archimède  de- 
vait admettre  de  fait  le  même  postulat  que  Viète,  et  qu'il  aurait  même  été  pré- 
cédé par  Hippocratc  de  Chios;  je  ne  regarde  pas  la  démonstration  comme  faite, 
s'il  s'agit  du  point  de  vue  théorique;  au  point  de  vue  \>\\vGn\ex\l  pratique,  il  est 
incontestable,  an  contraire,  que  les  Anciens  ont  dû  de  très  bonne  heure  employer 
le  procédé  dont  il  s'agit. 


270  PHKMIËUH    PAHTIH. 

lier  lieu  à  aucun  doule.  Si  nous  n'avons  plus  le  véritable  original 
de  son  Traité  des  Sections  angulaires,  il  s'est  expliqué  aussi 
clairement  que  possible  dans  le  Liber  octavuSy  publié  un  an  après 
le  S upplementuni. 

Vièle  (p.  386)  est  pour  Pelletier  contre  Clavius;  il  soutient 
expressément  que  l'angle  du  demi-cercle  est  droit,  que  l'angle  de 
contact  est  nul.  Le  reproche  de  paralogisme  est  donc  lancé,  non 
pas  contre  Archimèdcj  non  pas  même  contre  Euclide  (car  Vièle 
soupçonne  une  interpolation),  mais  contre  le  jésuite  romain,  avec 
lequel  le  géomètre  français  a  d'ailleurs  maille  à  partir  pour  une 
toute  autre  question,  celle  du  Calendrier  grégorien. 

Le  même  Liber  octavus  contient  par  surcroît  des  preuves  aussi 
claires  que  possible  que  Viète  a  fait  une  étude  spéciale  du  Traité 
des  Spirales  d'Arcliimède  et  qu'il  professe  la  plus  grande  admira- 
tion pour  cet  Ouvrage  (p.  335);  il  recommande  particulièrement 
l'emploi  pratique  de  la  spirale  dans  les  constructions  et  s'attache 
à  montrer  comment  on  peut,  par  une  opération  graphique  très 
simple,  tracer  une  tangente  avec  une  approximation  qui,  théori- 
quement, peut  être  aussi  grande  que  l'on  veut  (p.  396);  enfin, 
il  développe  précisément  la  démonstration  d'Arcliimède  sur  la 
rectification  de  la  circonférence  au  mojen  du  tracé  de  la  tangente 
et  fait  suivre  cette  démonstration  (p.  391)  d'un  scholie  spécial 
pour  écarter  l'objection  mentionnée  dans  le  Supplément  uni  et 
pour  montrer  que  la  conclusion  est  exacte,  malgré  Euclide  ou  plu- 
tôt malgré  l'opinion  des  Euclidiens  [adversus  Euclidem,  Eucli- 
deorumve  sententium). 

Je  crois  qu'il  est  inutile  d'insister  davantage;  il  est  certain  dé- 
sormais que  l'assertion  de  Fontenelle  sur  Viète  est  précisément  le 
contrepied  de  la  vérité  historique. 

Il  n'en  est  pas  moins  remarquable  que  le  mot  ironique  de  Viète 
est  peut-être  un  des  plus  profonds  qui  aient  été  dits  sur  la  méthode 
apagogique.  Avec  tout  son  appareil  compliqué,  cette  méthode 
n'en  repose  pas  moins  sur  un  postulat  qui,  au  fond,  est  le  même 
que  celui  du  calcul  infinitésimal. 

Qu'on  dise  avec  Archimède  {Sph.  et.  Cyl.,  lemme  o)  que,  si 
deux  quantités  (lignes,  aires  ou  volumes)  sont  inégales,  leur  diffé- 
rence, répétée  un  nombre  de  fois  suffisant,  peut  surpasser  toute 
grandeur  donnée  de  même  espèce;  que  l'on  dise,  comme  L'Hôpi- 


COMPTES   KKNDUS   I-T  ANALYSIiS.  v.71 

l;»l,  par  oxcinplo,  (juc  deux  (|uanllt(''.s  sont  il^oiirciiscmcnl  égales, 
lorsque  leur  (IKlVrcncc  csl  dcmontn'îc  plus  petite  (jue  toute  (juan- 
til('  donnée,  la  j)roposition  est  réellement  identique  de  part  (.'t 
d'autre.  Et,  pour  rétablir  un  aecord  apparent  entre  Archimède  et 
Euclide,  il  ne  suffit  pas,  comme  on  le  fait  encore  parfois,  de  re- 
prendre la  formule  déjà  adoptée  au  wi*^  siècle  par  Cardan  et  Foix- 
Candale,  à  savoir  que  l'angle  mixtiligne  est  hélérof^ène  avec 
l'angle  mixtiligne.  Dire  qu'au  contraire  la  ligne  circulaire  est  lio- 
nwgène  (')  avec  les  périmètres  des  polygones  inscrits  et  circon- 
scrits, c'est,  en  elTet,  au  fond  le  recours  de  Clavius,  mais  cette  for- 
mule suppose  une  définition  de  l'homogénéité  que  l'on  ne  peut 
obtenir  sans  cercle  vicieux. 

Le  postulat  d'Arcliimède,  tel  que  nous  l'avons  rappelé,  exige 
impérieusement  que  les  démonstrations  d'Euclide  (HI,  16)  soient 
complétées  par  les  conclusions  : 

«  Puisque  Tangle  du  demi-cercle  est  plus  grand  que  tout  angle 
aigu,  il  est  rigoureusement  droit. 

»  Puisque  l'angle  de  contact  est  plus  petit  que  tout  angle  aigu, 
il  est  rigoureusement  nul  (comme  angle).   » 

C'est  là  la  thèse  de  Viète,  et  elle  est  digne  de  l'homme  qui,  le 
premier,  a  su  représenter,  par  une  forme  algébrique  illimitée, 
le  rapport  de  la  circonférence  au  diamètre.  Paul  Tannery. 


(')  Viéte  {Isagoge,  n°  28)  explique,  par  l'hétérogénéité  de  la  circonféreace  du 
cercle  et  du  diamètre,  que  leur  rapport  ne  puisse  être  fourni  par  une  équation 
algébrique. 


27'2  PHEMIÈKH   PAirriK. 


MELANGES. 


SUR  LA  DÉTERMINATION   DU  GENRE  D'UNE  CERTAINE  CATÉGORIE 
D'INTÉGRALES  ABÉLIENNES  ET  QUELQUES  APPLICATIONS; 

Par  m.  .1.  DOLBNIA. 

1.  La  délerminalion  du  genre  des  équations  algébriques  bi- 
nômes est  indiquée,  d'une  manière  très  détaillée,  dans  l'Ouvrage 
de  MM.  Appell  et  Goursat  :  Théorie  des  fonctions  algébriques 
et  de  leurs  intégrales^  ^^94  (0-  La  règle  de  la  détermination 
du  genre  est  donnée,  dans  cet  Ouvrage,  après  la  formule  de 
Riemann  concernant  toutes  les  équations  algébriques  dont  les 
points  critiques,  ainsi  que  leur  nature,  sont  connus  d'avance.  Il 
existe  cependant  une  quantité  de  questions  intéressantes  pour  la 
solution  desquelles  des  recherches  spéciales  sont  nécessaires  in- 
dépendamment de  la  théorie  générale  de  Riemann.  Ces  recherches 
sont  indispensables  dans  tous  les  cas  où  il  faut  connaître  non  seule- 
ment le  genre  de  l'intégrale  abélienne,  mais  aussi  où  il  faut  déter- 
miner toutes  les  intégrales  de  première  espèce  dépendant  de  l'é- 
quation algébrique  binôme  donnée.  Prenons  l'intégrale 

■  -■r„.  ^^ 

J    "\l{x  —  a)'^{x—b)'^...{x  —  lj>- 
Remarquons  d'abord  qu'on  peut  toujours  supposer 

OÙ  k  est  un  nombre  entier;  en  outre  supposons  toujours  que 

a,     p,     Y»      •  '  '1     '' 

sont  tous  inférieurs  à  m,  car  autrement  J  ne  sera  pas  une  inté- 
grale de  première  espèce.  Nommons  1  le  genre  de  l'intégrale,  le 

(')  P.  236-248. 


MELANGES.  273 

nomhic  des  inh'i^riili's  iiidcpondanlcs  (l<*  l.i  foiiiir 

(I)  h,= 


-=/ 


n%  m  —  I , 


conservant  une  valeur  finie  sur  louLe  la  surface  de  la  sphère. 

Dans  celle  formule  ¥x  est  une  fonclion  entière  que  nous 
pouvons  disposer  à  volonté.  Nous  lui  donnerons  telle  ou  telle 
forme  dans  le  but  d'obtenir  l'intégrale  partout  finie.  Si,  par 
exemple,  il  se  trouve  que 

a  /<  =  /  1  //i  -f-  a  I ,  [i  n  =  Â  2  /fi  -r-  ^  i ,  7  'i  =  /^  3  "i^  +  Ti  >  •  •  -i 

où 

^1,     1^1,     Yi,     •••, 


sont  tous  moindres  que  m,  nous  avons 

_     r  F.T().r 

'"  —     /  m/  ^^^ 

J    {j-  —  ay^^ix  — ùy'-^{x  —  c/'z.  ..  \/(x  —  (7.)^....(.r  —  ly 

Si  Ton  prend 

Fx  =  xi'{x  ^ay^{x  —  by'2{x  —  cy'^ .  .., 


nous  aurons 


r  xi'  f)x 

J      <l(x  —  a)^^{x  —  b)'^^. 


s;j{x  —  ay■^^{x  —  bp^...{x—  /)>M 

Il  est  clair  que,  donnant  à  p  une  valeur  convenable,  l'intégrale  1,„ 
conserve  une  valeur  finie  pour  toute  la  surface  de  la  sphère. 

4.   Nommons,  comme  toujours  par 

le  plus  grand  nombre  entier  contenu  dans  la  fraction  jr  •  Posons 
encore  dans  la  formule  (1) 

^  —  Pa  ]l  —  fl  . . . ,         }i  —  Ri- 

m         (ji  m         q-i  ni         qi  ' 

—  >  — ,  . . .  ,  Rl  sonl  des  fractions  irréductibles.   vSi    n  =  i    les  in- 
7i     72  7/ 


274  PUEiMIËIUÎ   PARTIE. 

légralcs  indépendariles  de  la  première  espèce  se  dclerminent  par 
la  formule 

xP  dx 


f 


\/{x  —  a)^(.r  —  b)^(x  —  c)y...{x  —  l)>^ 


par  conséquent,   en  nommant  le  nombre  des  intégrales  indépen- 
dantes de  la  première  espèce  par 

nous  avons 

qi  q-i  qi 

=  3A-i-E^-E^-...-E-^. 


N3 

q\  q>  qt 


enfin 


'2 

1     i-\ 

/=1 

?<■ 

qt        qt 

9. 

N.._,^(m-,)A-.-E^"^-'^^^-El:^-lll^-..-E^"^-'^^^- 

qi  qi  qi 

Par  conséquent 

i     l  =  nt  —\ 

(2)  ^-  (m-t){mk--2)       y     y     e^. 

Calculons 


Nous  avons 


qi         qi      qt 
^/  ~     qi      qi' 

(m  —  ^)p^  _  ^ ,  (/n.  —  i)/;,-         /-^-i 

où  /•,,  /  ;.5  •  •  •  1  'w-t  sont  les  plus  petits  résidus  positifs  suivant  le 
module  qi.  Par  conséquent 

m( m  —  i)  Pi  _  ^        n-^ /'i-h.  .  .-h  r,n-i  _ 

•    —  —  o  -t-   f 

■^         qi  qi 


1 


MfaANGMS. 

vu  posiinl 

MOUS  ;uoi)> 

^=  77/  \0>^  —  ^)Pi-  7/1^  m; 

^'^  1  1  Zà  qi 

i  =  \ 

La  lorimile  (.^)  dcLcrinlnc  le  genre  de  l'inLcgrale 


/Ox 
"\/{x  —  a)'^{x  —- 


bf...{x—l)»^ 
3.   Exemple  l.  —  Définir  le  genre  de  Tintégrale 

A=r,       "- (.). 

J    y{x  —  a){x  —  bY{x  —  cY 


Ici  nous  aurons 

1-  ^=  I  ,  , 


„i  =  {]        I  -  Hl  —  l         El  —  l         El  —  l 


par  conséquent 

,   /  5  —  ()  -T-  T  5  —  3  -f-  I  ■)  —  '2  H-  I  \ 

N  =  ,„_j(^^ +  ^ +  — ï )  =  ' 

Exemple  11.  —  Définir  le  genre  de  l'intégrale 

ùx 


v/(  37  —  aY{x  —  b{x  —  c) 
Ici  nous  aurons 


(0- 


,;j  ^  '         /.  ^  ,         /^  =  I ,        El  =,  El  ^l- 


par  conséquent 


N  = ,  _ .  w  i^liti  ^  L^Ltl -^  L=4^  I  = , . 


4  4 

Exemple  lU.  —  Définir  le  genre  de  l'intégrale 

dx 


c  = 


/ 


'V{x  —  ay^{x  —  b)"'-^ 


•270 


C)  Appell  et  Goursat,   Théorie  des  fonctions  algébriques  etc.,  p.  245. 
(  ')  Loc.  cit. 


276  prh.mieiuî:  parti i:. 

Ici  nous  aurons 

m  =  /// ,         /  =  I , 

{m  —  I ) (  ni  —  •!  ) 


j>\         7.  p-i  _  m  —  a 

<lx         m  f/i  m 


N  = 


III 


m  —  I  )  a  —  ni  -\-  \         (  m  —  i  )  (  ///.  —  a  )  —  ///  - 


m  ni 


]- 


I.  La  méthode  indiquée  amène  non  seulement  à  la  détermina- 
tion du  genre  de  l'intégrale,  mais  présente  aussi  le  moyen  pour 
obtenir  toutes  les  intégrales  indépendantes  les  plus  simples  de  la 
première  espèce,  ce  qui  est  indispensable  dans  tous  les  cas  où, 
d'après  la  nature  du  problème,  il  faut  faire  V inversion  de  l'inté- 
grale. Pour  expliquer  la  théorie,  résolvons  quelques  problèmes  qui 
par  eux-mêmes  ont  un  certain  intérêt. 

T.   Trouver  les  conditions  suivant  lesquelles  l'intégrale 

ùx 


h 


v/(  X  —  a){x  —  b  f'{x  —  c  f 

ne  s'exprime  que  par  des  logarithmes.  Le  genre  de  l'intégrale, 
comme  nous  l'avons  trouvé,  est  égal  à  l'unité;  par  conséquent 
l'intégrale  est  elliptique.  Pour  l'exprimer  par  les  fonctions  ellip- 
tiques de  Weierslrass,  il  faut  trouver  l'argument  de  la  première 
espèce.  De  toutes  les  intégrales  du  type 

r  F  j' ô.r 

\i.= 


f 


V[{x  -  a){x  —  by^ix  —  cy^Y' 


il  faut  choisir  l'intégrale  conservant  partout  la  valeur  finie,  c'est- 
à-dire  n'ayant  pas  les  points  critiques  logarithmiques.  Il  est  fa- 
cile de  se  convaincre  que  l'intégrale  cherchée  ne  pourra  être 
trouvée  que  dans  le  cas  unique  A'  =  5.  Nous  avons 


F  X  dx 


J    {.r  -  b)(x  —  c)2v/(.r  -  cyZx  —  by*{x  —  ay 


(x  —  hy(>{x  —  ry'^ 

ou 

.    _     ,  Fx  dx 

'  o  ■ — 

En  prenant 


F  X  ={x  —  ù){x  —  c  ;-, 


M  fU.  ANGES, 
nous  ;mr»)iis  r;iri;iiin('iil  de  l:i  |H('niiri"(;  esp<l'Ce 


277 


''\fy 


^{x  —  c)-"»(.r  —  b)''{x  —  af 
Ayant  rcla  «mi  vue,  présentons  l'intégrale  donnée  sous  la  forme 


r      y(^x—a)Hx—b) 

A  =     I  dx. 

J     \/{x  —  c)'^{x  —  b)'*{x  —  a}^ 


Posons 
alors 


X  —  (l  ^=  — 


y 


=-/ 


y{a  —  b)y-\-\dy 


OU 


A  =  — 


y  y\(^a  —  c) y  ^  \\'\{a  —  b ) y  -^  ,  |v 

yy^ày 


j 


y^a-by^{a-cf  J     '(/(^+a)3(j-+-py. 


a  —  c- 


OU 


a  —  h  ' 


6/23.35 


^>r. 


Déterminons^  pai'  l'équation  différentielle 

(^k\^       2^.3' 


Oz 


(7-+-'^;Hj  +  P)*, 


ainsi  que  par  la  condition  que  y  a   son  infini  pour  z  z=z  o.  Il  est 
facile  de  prouver  par  la  substitution  immédiate  que 


y  =  \iop^z  —  ;3, 


ô  2 


par  conséquent 
donc 


/r -^  i^  =  '2/>:;  y/^-.^S 


'y  '2^3.5  r       pz  dz 


7.0  V^  (a  — 6j2( 


1 20 


'278  PUH.MFÈKH    PAiniK. 

donc 


(jopz 


ou  enfin 

=-  log  I  (/? ^  — />  Co  )(  />  3  —  />  a  c,  )^'  (pz  —  py.  c,,  )^  j 

rr  «I  —  1 


p  =r  «I  —  1 


Si  Zq=  ^—  est  une  partie  commensiirable  d'une  période,  Tinté- 
grale  A  s'exprime  par  des  logarithmes. 


5.   11.  Trouver  les  conditions  où  l'intégrale 

J     y^x  —  a){^x — b){x  —  c)' 

ne  s'exprime  que  par  des  logarithmes.  Le  genre  de  Fintégrale, 
comme  nous  l'avons  trouvé,  est  égala  l'unité;  par  conséquent  l'in- 
tégrale est  elliptique.  Cherchons  l'argument  de  la  première  espèce. 
Il  est  facile  de  se  convaincre  qu'il  n'existe  que  l'intégrale  unique 

_    r  Vxùx 

'~  J    l/[{x-a){x-b){x-cy-\^ 

satisfaisant  à  la  condition  demandée.  En  prenant 

F(^)=  X  —  c, 
nous  aurons 

dx 


1 


/ 


\/{x  —  ay^{x  —  b)^{x  —  cy^ 

Présentons  par  conséquent  B  sous  la  forme 

\/{x  —  a){x  —  b) 
\/{x  —  cf{x  —  ay^{x  —~byi 


'-.Il 


dx. 


C)  Bulletin  des  Sciences  niathén\aliqucs,  iiovonibrc  189.3. 


.MI^:LANGh:S. 

Kn  posant 

1 
7 

m)us  avcMis 

B  — 

r                    sl{a-b)y  +  x 

J 

OU 

^    yy\^a-b)y-^yY\{a-c)y-^-xY 

"=   v/3(«- 

'ïi                 r               /j.  -»-  p 

-b){a-cf     1           ;/,.^.8 

'-*79 


dy. 


Délcrminons  y  par  l'écpiation  diflerenlielle 

ainsi  que  par  la  condilion  quejy  a  son  infini  pour  ^  =  o.  Alors 

y  =  i^p-^z-^, 

2(P-a) 


alors 


ou 


p  z=i/   ip^z ^ pz  , 


f  =  1/ —  I 


Si  ^^0  est  une  partie  commensurable  de  la  période,  Tintégrale 

dx 


B  = 


fi 


\^{x  —  a){x  —  b){x  —  c)'^ 
ne  s'exprime  que  par  des  logarithmes. 

().  ÎIT.   Parmi  les  nombreuses  intégrales  étudiées  par  Euler  se 
trouve  l'intégrale 


s,.8o  PRRMIÈHH   PAUTIF. 


où  X  esl  une  fonction  rationnelle  de  x"  et  \/ a  +  bx'^  (').  L'inté- 
grale la  plus  intéressante  de  ce  t^pe  esl 

dz 


Par  la  substitution 


J    zy 


cette  intégrale  se  réduit  à  la  forme 

Posant  ici 
nous  aurons 

Le  genre  de  cette  intégrale  est  égal  à  zéro  (n°3).  Il  esl  facile  de 
la  réduire  aux  logarithmes.  En  effet 

En  posant 

\/7T7  =  "• 
nous  avons 

/  =  -^ 


U"—  I 

On 


c=  /  —^ 

7.   IV.   Dans  les  exemples  suivants,  avant  de  traiter  le  genre  de 
l'intégrale  il  faut  faire  la  substitution.  Prenons  l'intégrale 

dx 


^  =  /l^ 


,/■•'  —  n  ){x^  —  b ) 
Posons 

.2-3  =  y  ; 

nous  aurons 


(')  Jnstit.  Calculi  inlegr.,  Vol.  quarlum,  p.  i2-i3;  l'ctrepoli,   i84;"»- 


MÉLANCiRS.  7.8i 

Si  Ton  pose 


J'  ==  «  +  T  ' 


m((*i;ralr  sr  icdmi;!  ;i  la  lornie 


dz 


D,=    f  .^ 

Une  autre  intégrale  indépendanle  de  la  première  espèee  sera 


-/ 


dz 


v/^(3-H  ni){z  -^  iif{z-\-pY 


Ainsi  l'intégrale   traitée  est  du  second  genre;  par  copséquent 
elle  ne  peut  être  réduite  aux  elliptiques. 


V.  Examinons  le  genre  de  l'intégrale 


„  .  X  dx 

E  = 


E=    fr,=À 


a){x'* —  b) 
En  posant 

x'  —  t, 


nous  avons 


le  genre  de  l'intégrale  est  égal  à  l'unité;  l'intégrale  s'exprime  par 
des  fonctions  elliptiques. 

Les  exemples  cités  expliquent  suffisamment  l'esprit  de  la  mé- 
thode. 


Butl.  des  Sciences  mathém.,  2'  série,  t.  XÏX.  (Décembre  iSgS.)  20 


9.«:>. 


l>HEMIÈin<:   PAKTIK. 


NOUVELLE  DÉMONSTRATION  DES   THÉORÈMES  SUR  LES  POINTS 
D'INFLEXION  DE  L'HERPOLHODIE; 

Pau  iM.  g.  MANNOUHY. 


L  IIEHPOI.IIODIK    1)1-:    POINSOT    NA    PAS    DE    l'OIMS    D  IM-LEXIOX. 


1.  Dans  la  démonstration  très  élémentaire  que  nous  allons 
donner  du  théorème  nommé  ci-dessus,  nous  em()loierons  quelques 
notions  d'Algèbre  vectorielle.  Ainsi,  nous  représenterons  par  aop, 
ou  simplement  par  a  (toujours  souligné)  un  vecteur  dont  la  lon- 
gueur est  donnée  par  a  (non  souligné)  et  la  direction  par  OP. 

Nous  introduirons  deux  produits  vectoriels.  L'un  de  ces  pro- 
duits, que  nous  désignerons  par  cos7^(a,  P),  n'est  autre  que  le  pro- 
duit interne  de  Grassmann. 

Il   est  égal  au   — 5a[^  du   calcul   des  quaternions,   et  désigne 

le  produit  des  longueurs  dès  vecteurs  avec  le  cosinus  de  leur 
angle.  L.'autre  produit  dont  nous  ferons  usage,  et  qui  sera  désigné 
par  sin7^(a,  [j)  est  lui-même  un  vecleur,  qui  est  égal  au  produit 

des  longueurs  a  et  j3  avec  le  sinus  de  l'angle,  et  qui  est  mené  nor- 
malement au  plan  (a.  [j)  du  coté  d'où  l'on  voit  la  rotation  de  a  vers 
[i  dans  l'angle  (a,  Jj)  dans  un  sens  positif;  il  est  identique  au 
produit  externe  de  Grassmann,  et  à  l'expression  Va[^  des  qua- 
ternions. 

Nous  n'aurons  besoin  d'appliquer  aucune  autre  propriété  de 
ces  expressions  que  leur  propriété  fondamentale,  c'est-à-dire  la 
propriété  distributive  des  produits  algébriques,  exprimée  par  les 
relations 

P(a,-f-a2,P)=P(a,,p)  +  P(a2,g), 

où  P  désigne  un  produit  quelconque  et  où  -{-  est  le  signe  de  l'addi- 
tion vectorielle,  c'est-à-dire  comme  Taddifion  des  forces  dans  le 
parallélogramme  des  forces. 


Mfti.ANCilîS  /H3 

Ces  sim|)I<'s  nolioiis  siiriiscnl  pour  siinplinci*  Inr^^ciiiciil  le  Iriii- 
Icmcnl  (le  l:i  .Mt''(Nini(|ii('  (''IcMiicnhiiic  cl,  il  sv.v;\  il  à  soiiliiiilci'  (|u\;ll('S 
fussciil  iiiiplojcos  plus  «^énéralciiiciiL.  Il  csl,  jiish;  de,  ilwc  (|ii(;  nous 
les  avons  (Miiprimtccs  à  M.  D.-J.  RorLevveg,  rccleiir  de  l'Uni versih* 
(rAnislordain,  (jui  fait  soiivonl  iisaj^o  de  ces  produits  dans  l'ensci- 
i;nenienl  de  la  Mécanicjue. 

i2.  Soient  P,  Q,  U  les  inomenls  principaux  d'iiK^iie  d'un  corps 
libre  fixé  en  O,  rangés  d(;  sorte  que  Ton  ait  l*  >  Q  >>  U  ;  OX,  OY, 
OZ  les  axes  principaux  d'inertie;  OA.=  (o  =/;<,,. -j-  Y()>  ~i~  '03  l'jJxe 

instantané  de  rotation,  et  0B=  to  z=  p^y^.-^  Yo)  +  'o^  l'accélération 
première  de  la  rotation,  c'esl-à-dire  la  vitesse  à  la  fois  relative  et 
absolue  du  point  A. 

Les  équations  du  mouvement  prennent  donc  la  forme 

•        Q  -  H 
P  =  — T> — 7'-' 


^ M  (  */  =  — 7^-  'P 


P 

H 

— 

p 

Q 

P 

— 

0 

K      P'' 


Par  conséquent, 


\   Vp^   =  const.  =  A, 
V  P2^2=  const.  ==  B, 

le  signe  !ÎI  indiquant  la  somme  des  trois  (onctions  obtenues  par 
la  permutation  circulaire  de  P,  Q,  \\,  de  /;,  q,  r  (ou  de  X, 
Y,  Z). 

L'axe  d'impulsion  01  =  iiiP/?(j^,  est  constant  en  longueur  et  en 

direction,  parce  que  la  vitesse  relative  de  son  extrémité  1 

est  égale  et  opposée  à  la  vitesse  d'entraînement  du  même  [)oint 


i84  PREMIÈRE  PARTIE. 

L'invariahililé  du  cos^((o,  OI)  =  SP/?-=  A  inonlre  donc  que 
le  point  A  décrit  une  courbe  plane  normale  à  01,  à  une  distance 

de  l'origine  écale  à  -^  •  C'est  riicrpolliodie  de  Poinsot. 

^  ^  y/H  ^ 

{].  Soit  maintenant  OC  =  o^  l'accélération  seconde  de  la  rota- 
tion, c'est-à-dire  la  vitesse  absolue  du  point  B.  Celle-ci  est  com- 
posée de  sa  vitesse  d'entraînement  sin^((.),  (.))  et  de  sa  vitesse  rela- 


tive au  corps  mobile  ^  (  jt  )     '  don(; 


df  /Or 

w  =  sm7,( w,  w)  +  ^  (^ ■£  ) 

v:^     •  v^  o  —  1^     • 


dt  /o.v 


v-i/        I^-t-Q  —  R            .P  —  Q  +  R 
Zi^r p rcj 


0.» 


4.  Si  l'herpolhodie  avait  un  point  d'inflexion^  oj  aurait  la 
même  direction  que  w,  on,  ce  qui  revient  au  même,  le  volume  du 
parallélipipède  construit  sur  to,  to  et  to  se  réduirait  à  zéro.  L'her- 
polhodie étant  une  courbe  plane,  la  condition  nécessaire  et  suffi- 
sante pour  l'existence  d'un  point  d'inflexion  est  donc 


r^/    •  P  -+-  O  -  R  .p_Q+_Rx       ^       .  -1 


/  o  =  cos7t[w,  sin7î(oj,  w)] 
M      \ 

/         v/     .P-f-Q—  R        .J'  —  Q-^-R  •• 

(  =2dV' — p —  '^  '^ — p ■^'^'^'"^ 

Les  termes  S  —  iqqrr  peuvent  s'écrire 

^IT  I]  -  ^î'(»^  -  ï^)n^  -  Q)  =  ^4Sf  ^^  -  ^^'^-  !•  -^  Q  -i-  R), 

de  sorte  que  la  formule  ('>.)  revient  à  celle-ci  : 
,  w^  r      .     p  _4_  o  —  R 


\  +4^^^~^^'^-^"^^"^^^]- 


MÉLAN(JES.  7.85 

O.  Les  inoincnl^  |»ii  ii(i|);iii\  (rincrlic  soiil  dos  nonihrcs  positifs 
assnjollis  à  l;i  coiMlillon  (iiic  la  soiniix;  (1<!  doux  (rentre  etix  nr, 
nciil  surpasser  le  Iroisirme,  doue  Ions  les  termes  de  /  sont  posi- 
lifs.  De  plus,  ils  ne  piMiveiil  s'aniuder  à   la  fois,  sauf  lorsfjiK;  deux 

des  quantités  />,  (/  et  /•  sont  o,  ee  (jui  entraînerait/^  =  r/  :^  /•  =::=  o, 
de  sorte  que  la  rolation  serait  invarial)le.  Done  riierpoliiodie  de 
Poinsot  n'a  j)as  de  points  d'inflexion. 

().  liemarquc.  —  La  fonction  /  peut  être  simplifiée  beaucoup 
par  l'introduction  des  valeurs  (i)  : 

J  —  ^^  \F    7  j:^.2j>  ^  Q2p 

_      A      y(P  +  Q-R)(P-Q)2 

"  PQR  ^  1^  ^    ^  ' 

la  condition  devient  donc,  après  division  par  un  facteur  constant, 
fini  et  différent  de  zéro  : 

(4)  o^F^y"'-'^-;;H'--'^>W. 


IL 

l'herpoliiodie  en  général. 

7.  On  sait  que  le  problème  est  susceptible  d'extension,  quand 
on  définit  l'herpolhodie  comme  le  lieu  des  points  de  contact  d'une 
surface  de  second  degré,  fixée  par  son  centre,  avec  un  plan  fixe, 
sur  lequel  elle  roule  sans  glisser.  Dans  ce  cas  général,  l'herpolbo- 
die  peut  présenter  des  poinls  d'inflexion  et  nous  démontrerons 
que  la  fonction  F  nous  fournit  le  moyen  de  les  reconnaître  d'une 
manière  rapide  et  de  retrouver  ainsi  les  résultats  connus. 

n  est  facile  à  vérifier  que  les  calculs  du  Cliap.  I  subsistent, 
quand  nous  remplaçons  A  par  l'unité  et  supposons  que  SP/>2=  i 

soit  l'équation  donnée  de  la  surface  et  o  n^  -—  la  distance  de  son 

centre  au  plan  fixe. 


>B6  PKIÙMIÈHE  PAUTIi:. 

Seulement,  les  (jiianlités  P,  Q  et  H  ne.sonl  plus  assiijellies  à 
aucune  condition,  sauf  celle  d'être  réelles  et  non  pas  négatives  à 
la  fois.  Donc  il  faut  cliercher  les  maxima  et  ininima  de  F. 

8.  Prenons  la  dérivée  de  F  par  rapport  au  temps  : 

_4_(_I>  +  Q  +  K)(Q-R)2(P_Q)Q,y2j 
-  pQ^ 2j-(P-QH-R)Qry2 

_^^prjr(V-Q)(Q-R)(n-V) 

PQH  (>.B-A^F). 

Une  valeur  maximum  ou  minimum  de  F  correspond  donc  avec 
y>  =z  o,  ^  =  o  ou  avec  r  =  o. 
On  trouve  : 
Pour  p  =:-  o, 

Pour  g  =i  o^ 

F.=  lil^^>(B-P)rn-B,, 

Pour  r  =:  o, 

9.  Remplaçons  les  équations  2CP/?'---  i  et  SP-/?2z=B  par  les 
suivantes  : 

(5)  ^•2Q(p_Q)_   ,.2R(R  _  p)  ^_  p_B, 

(6)  /•2R(Q  _  H)  -/?2  P(  i>  _  Q^  ^  Q  _  B, 

(7)  y>-2p(R_p)_^2Q(Q_R)^R_R, 

et  examinons  les  trois  types  de  la  surface  de  deuxième  degré  : 

1"  Ellipsoïde  ;  P  >  Q  >  R  >  o. 

et'  B>P  :  L'équation  (5)  prouve  qu'il  n'y  a  pas  de  solution 
réelle. 

0.  P  >>  B  >•  Q  :  Pour  /;  =  o,  r/  ci  /•  deviennent  imaginaires, 
mais  ^  et /•  s'annuleronl  allcrnali\ement.  I^a  fonction  F,  qui  resle 


M  EL  AN  G  lis.  -287 

loiijoiirs  ri'cllc  et  liiiic,  doll  «loue  osciller  cnlrcî  les  valeurs  V.j  cl 
I'',,  <{(ii  soiil  posillvcs  loiilcs  les  deux;  doue  il  n'y  a  [)as  de  points 
irinllexion. 

c.    Q  >  H  >  1^  '•  Ici  /•  reste  didchcMit  de  zéro,  p  el  r/  s'annulent 
alleinalivcmenl.  F  reste  enlre  F^  et  Fo  î  1' i  ^  'c  sij^nc  de 

—  P  +  Q+  l{, 

Fo   <^'St   positif,  donc  il  n'j  a  inflexion  fjue  lorsque  l^^Q-f-R, 

c'est-à-dire  si  a  =  —=j  b  ^^  --=  >  c  =  — =  sont  les  demi-axes  de  la 

/P  v/Q  /K 

surface 

<:/.   Il  ^  B  ^  o  :  pas  de  solution  réelle  ; 

2"  Ilyperboloïde  à  une  nappe  :  P  ^  Q  ^  o  ^  R. 

a.  B  >  P  :  F  oscille  entre  F,  et  F2;  F,  est  négatif,  Fo  a  le  signe 
de 

P-Q  +  R, 

donc   il  y   a  inflexion  si   P — O  +  I^  ^  O1   c'est-à-dire  a  =:-—:, 

b  — r  —^  ,  C  = étant  les  demi-axes  : 

v/Q  v/-  H 

a'-        b^        c- 

b.  P  >>  B  >>  Q  :  F  reste  entre  F,  et  F3,  qui  sont  négatifs  tons 
les  deux;  il  n'y  a  pas  d'inflexion. 

c.  Q  ^  B  >>  o  :  pas  de  solution  réelle  ; 

3"  Ilyperboloïde  à  deux  nappes  .•  P  >  o  >>  Q  >  R. 

a.  B^P  :  F  reste  entre  Fo    et   F3  ;    F2    a   le    signe   opposé 
de    1^  —  Q  +  R,    F3    est    négatif,    donc  il   y   a   inflexion    quand 

P —  O  -h  R  <C  o,  c'est-à-dire  a  =  -— >  b  =  — -^  c  =    .         étant 

^  v/P  y/-  Q  /-  K 

les  demi-axes  : 

b.  l*  >>  B  >>  o  :  pas  de  solution  réelle. 


s>8.S  PRFIMIKUE  PARTIi:. 

iO.  Remarque..  —  Quand  il  se  prcscnlo  un  point  d'inflexion, 
la  formule  (4)  peut  nous  fournir  sa  distance  au  pied  D  de  la  per- 
pendiculaire sur  le  plan  fixe. 

Soit  A  le  rayon  vecteur  d'un  poini  de  Tlierpolliodie  par  rapport 
àD. 

Des  relations 


X«=V/„_'^, 


on  conclut 


/>2B(P  — Q)(R-  V)  ^_BX2QR-  (B  — Q)(B-  R), 
,^2B(Q— R)(P  _Q)=_BX2RP_(B  — R)(B  — P), 
r2B(R— P)(Q  —  R):=— BX2PQ  — (B  —  P)(B  — Q). 

Substituant  en  (4),  il  vient 

^^  ^  p  ^  I Y  (P  +  Q-R)(P-Q) 

B2(P_Qj(Q_K)(R_Pj^  R 

X[X*B2PQR2+X2BR(B  — R)(QB-4-PB  — 2PQ) 

+  (B-P)(B-Q)(B-R)2]. 

Le  coefficient  de  \^  s'annule  et  l'on  obtient,  en  efl'ectuant  les 


calculs 


(8)      /  +        (B-P)(B-Q)(B-R)         .pQ(p,_Q,^ 

^'      .  ^  BPQR(P  — Q)(Q  — R)(R-P)       ^^  ^^ 

=_X2(.B-ZP)-  (B-P)(B-Q)(B-R) 
^  K-^^       -»  ;  BPQR 

Le  rayon  vecteur  du  point  d'inflexion  sera  donc 

(B-P)(B-Q)(B-R)SP 

BPQR(2B  — ZP)  *^   ^' 


(')   Voir   enlre    autres   G. -II.    Halphen,     Traité   des   fonctions    elliptiques, 
T'  partie,  p.  (n  et  suivantes. 

FIN    DK    LA    FM^KMnblK    PARTIK    IH     TOMK    X»\. 


TAliLKS  '^'^ 


DKS 


M\riKKi:s  i:t  noms  d'altkuus. 

ro.Mh:  \l\:    189.").  -    l'lti;,MII':UK  l'AUTIK. 


TAHLK   ALl>llAI}iyrfaUK 

DES  MATIKUES. 


COMPTES  RENDUS  ET  ANALYSES. 

H.\ciiMANN   (P.)-  —   Zahlentheorie.   Versuch    eincr  gesammldarstcllung 

dieser  Wissenschaft  in  ihren  Haiipteilen 236- 340 

Comte  (Auguste).  —  La  Géométrie  analytique 182 

OuRÈGE  (H.).  —  Elemente  der  Théorie  der  Functionen  einer  complexen 

veriinderlichen  Grosse /'^"T^' 

Grassmann    (Hermann).  —    Gesammelte    iiiathematische   ini   physika- 

lischen  Werke 20 '1-206 

Gylden  (Hugo).  —  Traité  analytique  des  orbites  absolues  des  huit  pla- 
nètes principales 58-6^ 

Haag  (P.).  —  Cours  de  Calcul  diirérentiel  et  intégral 265 

Hœntschel  (D'  Emile).  —  Studien   uber  die  Réduction  der  Potentiai- 

gleichung  auf  gewohnliche  DifTerentialgleichungen 2.:!3-23f 

Henry  (Charles). —  Abrégé  de  la  théorie  des  fonctions  elliptiques...  1 20-121 

Jahresbericht  der  deutschen  Matheinatiker  Vereinigung 129-153 

Jordan  (C).  —  Cours  d'Analyse  de  l'École  Polytechnique i85- 189 

Lie  (Sophus).  —  Vorlesungen  iiber  continuerlichen  Gruppen 7-24 

L0RIA  (GiNo).  —  Le  Scienze  esatte  nell'antica  Gracia 265-271 

Lucas  (Ed.).  —  Récréations  mathématiques 57-58 

ALvNNUEiM.  —  Principes  et  développements  de  Géométrie  cinématique..  85-86 

MiLHAUD  (  G.).  —  Leçons  sur  les  origines  de  la  Science  grecque 5-7 

OoAGNE  (M,  d').  —  Le  calcul  simplifié  par  les  procédés  mécaniques  et 

graphiques 33-34 

RiCARDi  (Pietro).  —  Saggio  di  una  bibliographia  Ëuclidea. . .    176-178 

ScHLEsiNGER.  —   Handbuch   der    Théorie  der  lincarcn    Diiïcrcntialglei- 

(!hungi!n 201-20S 

\\  EBER.  —  Lehrbuch  der  Algebra i()i-i76 

Woigt  (  Woldemar).  —  Kompendium  der  ihcorctischcr  Physik 178-18^ 

Bull,  des  Sciences  inaLliém.,  2'  série,  l.  XIX.  (Décembre  1895.)  t 


.24*  PHKMir-UF    PAUTIi:. 

MÉLANGES. 

BoREL  (  É.milk).  —  Hemarquc  sur   l'intégralion   des  équations  linéaires 

aux  dérivées  partielles 122-126 

Bulletin  dibliograpiiique 7 '"7^»  1 1 1-112,  160,  281 -2.32 

Brioschi.  —  Notice  sur  Cauchy 189-200 

Cantor  (Moritz).  —  M.    Zeuthen   et  sa  Géométrie  supérieure  de  l'an- 
tiquité         64-69 

Delaunay  (N.).  —  Sur   quelques  nouveaux    mécanismes  :    projecteur, 

ellipsographe,  ellipsoïdographe  et  liyperbolographc 2/10-245 

Delassus  (  Etienne).  —  Quelques  remarques  sur  les  intégrales  partielles.       37-56 
DoLBNiA  (J.).  —  Sur  la  résolution  algébrique   des  équations  de  degré 

premier 27-32 

DoLBNiA  (J.).  —  Sur  la  détermination  du  genre  dune  certaine  catégorie 
d'intégrales  abéliennes  et  quelques  applications 272-282 

/dx 
^^  76-84 

V/  x'  ^  px^-^  q 

GoURSAT  (Ed.).  —  Sur  le  problème  de  l'inversion  de  Jacobi 24-26 

Hadamard  (J.).  —  Sur  l'expression  du  produit  i  .2.3. . .( /?  —  1)  par  une 

fonction  entière 69-71 

Hadamard  (J.).  —    Sur  la   précession    dans    le   mouvement  d'un   corps 

pesant  de  révolution,  fixé  par  un  point  de  son  axe 228-280 

Jamet  (V.).  —  Sur  l'équation  d'Euler 2o8-2i3 

IiŒNiGs  (G.).  —  Sur  la  réalisation  physique  du   mouvement  d'un  corps 

pesant  de  révolution,  fixé  par  un  point  de  son  axe 225-228 

Le  Roux.  —  Sur  les  intégrales  analytiques  de  l'équation  -—  =  ;.—  ••••     127-128 

Mannoury  (G.).  —  Nouvelle  démonstration  du  théorème  sur  les  points 

d'inflexion  de  l'herpolhodie 282-288 

MÉRAY  (Ch.).  —  Proposition   tout   à    fait  élémentaire  à  substituer  au 

lemme  de  Cauchy  dans  la  théorie  générale  des  fonctions i54-i59 

Meyer  (Fr.).   —   Rapport  sur  les  progrès  de  la  théorie  des  invariants 

j    87-110 

projectifs 218-224 

(  246-264 
Zeuthen  (H. -G.).  —  liéponse  aux  remarques  de  M.   Cantor 188-184 


FIX    I)K    LA    TABr.K    DK    LA    P R K Alli: UK    PAHTIl-:    1)1     TOMI":   XIN,. 


D 


21631        Paris.  -  Iiiipriuierie  GAUTIHER-VILLARS  ET  FILS,  quai  des  Grands-AuKuslins,  55. 


BULLETIN 


DES 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES. 


A  V  I  S. 

Toutes  les  communicalions  doivent  être  adressées  à  M.  Darbouj:,  Membre 
de  rinstitul,  rue  Gay-Lussac,  36,  Paris. 


lUBLlOTIIEOUE    \)K    L'ÉCOLE    DES   HAUTES    ÉTUDES, 

PUBLIÉE  SOUS  LES  AUSPICES  DU  MINISTÈRE  DE  LINSTIIUCTION  PUBLIQUE. 


BULLETIN 


DES 


SCIENCES  MATHÉMATIQUES, 

RÉDIGÉ  PAU  MM.  GASTON  DARBOUX  ET  JULES  TANNERY, 

AVEC    LA   COLLADOriATIO?*    DE 

MM.    en.    ANDllK,    BELTRAMI,    BOUGAIEFF,    BROCARD,    BRUNEL, 

COURSAT,    en.    HENRY,    G.    KŒNIGS,    LAISANT,    LAMPE,    LESPIAULT,    S.    LIE,    MANSION, 

A.    MARRE,   MOLK,   POTOCKI,    RADAU,    RAYET,   RAFFY, 

S.    RIXDI,    SAUVAGE,    SCROUTE,     P.    TANNERY,    ED.    WEYR,    ZEUTHEN,    ETC., 

Sous  la  direction  de  la  Commission  des  Hautes  Études. 

PllBLIC.VriOX  FONDÉE  M  1870  PAR  MM.  G.  DAROOIJX  ET  J.  HOÏEL 
ET  CONTINUÉE  DE   1876  A   1886  PAR  MM.    G.  DARBOUX,  J.   IlOUEL  ET  J.  TANNERY. 


DEUXIEME  SÉRIE. 
TOME  XIX.  —  ANNÉE  1895. 

(tome    XXIX    DE   LA    COLLECTION.) 


SECONDE  PARTIE. 


PARIS, 

GAUTIIIER-VILLARS  ET  FILS,  IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU    BUREAU    DES    LONGITUDES,    DE   l'ÉCOLE    POLYTECHNIQUE, 
Quai  des  Grands-Aiigustins,  55. 

1895 


J 


imillI':tin  ^ 


MES 


SCII^i^CES  MATHÉMATIQUES. 


SECONDE   PARTIE. 


REVUE   DES   PUBLICATIONS  ACADÉMIQUES 
ET  PÉRIODIQUES. 


ANNALES  DK  LA  SociKTK  sciKNTiFioiE  DK  BRUXELLES.  Quatorzième  année, 
1S89-1890.  Paris.  Gauliiier-Villars,  1890  (A,  première  Partie;  B,  seconde 
Partie). 

Mansion  (P.).  —  Généralisalion  de  la  formule  approximative  de 
W.  Snell  el  Ozanain.  (A,  4^)- 

On  a,  avec  une  erreur  toujours  de  même  sens, 

dt  Zt 


L 


Mansion  {P.).  —  Sur  le  ihéorème  fondamental  de  l'Analjse  algé- 
brique. (A,  4^^)- 

Les  démonslralions  de  ce  théorème,  qui  établissent  l'existence  d'une  racine 
et  prouvent  en  même  temps  que  cette  racine  varie  continûment  avec  les  coeffi- 
cients, peuvent  recevoir  une  forme  purement  arithmétique. 

D'Ocagne.  —  Sur  la  théorie  des  coordonnées  parallèles.  (A,  4;- 
5o). 

Soient  P  un  point,  -  un  plan,  OABC  un  tétraèdre  de  référence;  a  Pinter- 
section  de  OA  avec  le  plan  PBC,  b  l'intersection  de  OB  avec  le  plan  PAC, 
c  l'interserlion   de  OC  avec  PAB,  a,  Ji,  y  les   intersections  de  -  avec  OA,  OB, 


G  SECONDE   PAirriE. 

oc.  On  peut  prendre  pour  coordonnées  de  I'  i-l  -  : 


(!•) 

^  Oa 
Au 

Ob 

Or 

(^) 

I    A  a 

"  =—  =r  7=^-' 
A  Oa 

1     Cv 
W —L 

V   Oy 

X,  [X,  V  étant  trois  paramètres  constants.  On  trouve  pour  condition  que  P  soit, 
dans  T, 

iix  -\-vy-^wz-\-\  —  o. 

Si  l'on  fait  X  =  OA,  [Jl  =  —  OB,  v  =  —  OC  et  si  le  plan  ABC  est  à  l'infini, 
a:,  jK,  z  deviennent  les  coordonnées  cartésiennes  du  point  P,  m,  v,  v  les  coor- 
données plûckériennes  du  plan.  Si  )v  =  —  -^— -  j  [j.  =  —  --— ,  v  =  —  -— ; ,  et  si  O 

OA  OB  OC 

s'éloigne  à  l'infini,  x^y,  z  deviennent  les  coordonnées  parallèles  du  point; 
u,  V,  w  les  coordonnées  parallèles  du  plan.  Le  système  corrélatif  du  système 
cartésien  est  donc  le  système  des  coordonnées  parallèles  du  plan;  le  système 
pliickérien  a  pour  corrélatif  celui  des  coordonnées  parallèles  du  point. 

Gilbert  [Pli.).  —  Stir  quelques  formules  d'un  usage  généra)  dans 
la  Physique  mathématique.  (B,  1-28). 

Une  formule  fort  simple,  due  à  Ostrogradsky,  permet  de  transformer  une 
intégrale  étendue  à  tous  les  éléments  d'un  volume  en  une  autre  étendue  aux 
éléments  de  la  surface  qui  enveloppe  ce  volume,  et  réciproquement.  L'emploi 
de  cette  formule  est  très  utile  dans  plusieurs  questions  de  Physique  mathéma- 
tique et  de  Mécanique. 

La  formule  correspondante,  en  coordonnées  curvilignes  orthogonales,  obtenue 
par  M.  Gilbert  a,  par  sa  généralité,  une  portée  plus  grande  et,  le  plus  souvent, 
elle  conduit  à  des  solutions  faciles  et  élégantes.  M.  Gilbert  l'applique,  en  par- 
ticulier, à  la  résolution  en  coordonnées  curvilignes  du  problème  des  tempéra- 
tures variables  dans  un  milieu  isotrope,  à  la  démonstration  du  théorème  de 
Green,  à  la  détermination  des  équations  aux  dérivées  partielles  du  mouvement 
des  fluides  et  à  celle  des  équations  de  l'équilibre  intérieur  et  du  mouvement 
des  milieux  élastiques,  dans  le  même  système  de  coordonnées. 

Plusieurs  formules  importantes,  notamment  deux  formules  employées  par 
Gauss  dans  la  théorie  des  phénomènes  capillaires  pour  réduire  les  intégrales 
sextuples  à  des  intégrales  quadruples,  dérivent  également  de  la  formule  d'Ostro- 
gradsky  généralisée  par  M.  Gilbert. 

lAL  de  Salvert,  dans  le  premier  Chapitre  de  son  Mémoire  sur  la  recherche  la 
plus  générale  d'un  système  orthogonal  triplement  isotherme  {Annales  de  la 
Société  scientifique  de  Bruxelles,  t.  XIII,  2*  Partie;  1889),  a  donné  directe- 
ment, avant  JNI.  Gilbert,  l'équation  du  mouvement  de  la  chaleur  en  coordonnées 
quelconques. 

Gilbert  [Pli,).  —  Sur  Fherpolhodie  de  Poinsot  et  sur  un  appareil 
de  MM.  Darboux  et  Kœnigs.  (A,  4^-43;  B,  25-34)- 

Historique  des  recherches  récentes  sur  l'hcrpolbodic;  démonstration  simple 
du  théorème  de  MM.  Hess  et  de  Sparrc.  sur  la  non-existence  de  points  d'in- 


UKVUH    DES   l'UBLICATIONS.  7 

llcMiiii  cl  (le  rchi'ousscinciiL  dans  ccLlc  courljc;  (Icsciipi  ion  d'iin  appareil  pcr- 
meUaiil  do  dccrirc  cette  courbe  remarqual)lc  et  d'un  aiilic  appareil  apparenté 
aviM'  (-(diii-là. 

Mdiisio/}    (/^).    —    Sur  les   postulais  cl   les   axiomes  (rj^^uclid*;. 
(B,  35-45). 

Après  los  (Irlinilii)iis  du  F. ivre  I  des  Elenienls  cVFucllde,  on  trouve,  dans  la 
plupart  des  manuscrits  et  des  éditions  de  ce  Livre  célèbre,  quinze  propositions 
ranimées  sous  deux  titres  distincts  :  Postulats  et  Notions  communes  ou 
axiomes.  L'auteur  soutiict  ces  propositions  à  un  cxannen  critique  au  point  de 
vue  do  leur  aullienticilé.  \'oici  ses  conclusions  :  i'  Les  meilleurs  manuscrits  des 
E/c/nen/s  contiennent  les  six  postulats  et  les  neuf  axiomes;  2°  Tout  le  monde 
admet  que  les  (rois  premiers  postulats  (les  postulats  de  construction)  sont 
dignes  d'Iiuclide  et  peuvent  lui  être  attribués;  3"  Il  en  est  de  même  des  trois 
autres  (/(.  Tous  les  ani;les  droits  sont  égaux;  5.  Deux  droites  se  rencontrent 
si  la  somme  des  angles  intérieurs  d'un  même  côté  est  moindre  que  deux  droits; 
6.  Deux  droites  ne  peuvent  enfermer  un  espace).  Euclide  a  reconnu  pratique- 
ment la  nécessité  de  recourir  à  ces  postulats  pour  le  postulat  5,  parce  qu'il  ne 
pouvait  le  démontrer;  pour  ^  et  G,  parce  qu'il  devait  éviter  la  Géométrie  sphé- 
rique;  4"  'es  axiomes  i  à  9  forment  un  ensemble  logique  de  propositions  toutes 
étroitement  apparentées  les  unes  aux  autres,  qu'Euclide  n'aura  pas  voulu  sé- 
parer les  unes  des  autres. 

En  résumé,  les  six  postulats  et  les  neuf  axiomes  peuvent  être  attribués  à 
Euclide. 

Mansion  {P.)-  —  Analyse  des  Recherches  du  P.  Saccheri,  S.  J., 
sur  le  postulatum  d'Eucbde.  (A,  43-45,  Sg:^  B,  46-59). 

Historique  des  premières  recherches  sur  la  Géométrie  non  euclidienne  (Lo- 
batchefsky,  Bolyai,  Gauss,  Riemann,  De  Tilly,  Beîtrami).  Possibilité  de  dé- 
duire la  Géométrie  euclidienne  de  la  proposition  relative  au  carré  de  l'hypoté- 
nuse dans  un  triangle  rectangle.  Enfin  analyse  de  l'Ouvrage  intitulé  :  Euclides 
ab  omni  nœvo  vindicatus,  Auctore  H.  Saccherio,  S.-J.  Mediolani,  MDCCXXXIII, 
dont  Beîtrami  a  donné  un  aperçu  dans  la  séance  du  17  mars  1889  de  la  R.  Acca- 
demia  dei  Nuovi  Lincei  (t.  V,  i''''  semestre,  44^-448 )•  Saccheri  a  cru  démon- 
trer le  postulatum  d'Euclide,  mais  au  fond,  ce  qu'il  a  établi  avec  rigueur,  ce 
sont  les  premiers  principes  delà  Géométrie  lobatchefskienne  et  les  premières 
propriétés  de  l'équidistance  d'une  droite,  étudiées  plus  tard  par  Lamarle, 
De  Tilly,  Frischauf. 

De  Sahert.  —  Mémoire  sur  la  recherche  la  plus  générale  d'un 
système  orlhogonal  triplemenl  isotherme  (B,  i  2  1-283). 

Mansion  {P.).  —  Rapport.  (A,  5o-58). 

Suite  du  Mémoire  dont  les  deux  premiers  Chapitres  ont  été  analysés  anté- 
rieurement. L'auteur  établit  d'abord  les  équations  aux  dérivées  partielles  d'un 
système  triplement  orthogonal  quelconque,  dues  à  Lamé.  Dans  l'une  de  ces 
équations  entrent    six    dérivées    partielles.    L'auteur  traite  complètement    les 


SliCONDIi   PAKTIH. 

cas  où  deux  de  ces  dérivées  sont  idciiLiquciiicnt  nulles,  ce  qui  correspond 
à  l'existence  d'une  famille  de  surfaces  dévcloppables  dans  le  systènne  triple- 
ment isotherme  étudié. 

Dans  le  Chapitre  suivant,  IM.  de  Salvert  entame  la  solution  générale  de  la 
question,  en  déterminant,  en  fonction  des  coordonnées  curvilif^nes,  les  trois 
premiers  invariants  différentiels  relatifs  à  ces  coordonnées.  Il  fait  dépendre 
cette  détermination  de  l'intégration  d'une  équation  différentielle  du  cin- 
quième ordre,  savoir  : 


I) 


Du       Du] 


Il  effectue  cette  intégration  et  conduit  la  solution  jusque,  exclusivement,  à  la 
détermination  de  l'expression  des  coordonnées  rectiligncs,  en  fonction  des 
coordonnées  curvilignes. 

L'exposition  de  iM.  de  Salvert  est  parfois  un  peu  longue,  mais,  en  revanche, 
elle  est  très  claire. 

De  Sparre.  —  Sur  Je  pendule  de  Foucault.  (B,  2(S/î-368). 

Les  résultats  de  ce  Mémoire  ont  été  présentés  sous  une  forme  un  peu  diffé- 
rente, le  G  octobre  1890,  à  l'Académie  des  Sciences  de  Paris,  et  ont  fait  l'objet 
d'un   Rapport  de  M.  Hesal,  le  i3  avril  1891  {Comptes  rendus,  CXII,  p.  769). 
M.  Gilbert  a  aussi  analysé  la  seconde  Partie  du  Mémoire  dans  le  tome  XVdes 
Annales  de  la  Société  scientifique,  i"  Partie,  p.  1-2. 

Dans  la  première  Partie,  l'auteur  étudie  le  mouvement  du  pendule  de  Fou- 
cault dans  le  vide.  II  faut  d'abord  observer  qu'il  est  nécessaire  de  tenir  compte, 
dans  V établissement  des  équations  du  pendule  de  Foucault,  des  termes  en  lù^, 
carré  de  la  vitesse  angulaire  de  rotation  de  la  Terre,  bien  que  Ton  puisse  les 
négliger  dans  les  résultats.  Cela  tient  à  ce  que  les  équations  qui  déterminent 
soit  l'angle  d'écart  0  du  pendule,  soit  son  azimut  9,  appartiennent  à  une  caté- 
gorie d'intégrales  singulières.  Il  cherche  ensuite  ces  équations  du  mouvement 
en  tenant  compte  des  termes  en  w*  et  des  causes  perturbatrices  secondaires 
(attraction  de  la  Lune,  variation  de  l'attraction  terrestre,  quand  le  pendule  se 
déplace).  Enfin,  il  intègre  approximativement  ces  équations;  il  prouve  que  l'on 
peut  prendre,  comme  lorsqu'on  ne  tient  pas  compte  de  la  rotation  de  la  Terre, 

2T  étant  la  durée  de  la  dcmi-oscillalion. 

Dans  la  seconde  Partie,  l'auteur  traite  du  mouven)cnt  du  pendule  de  Foucault 
dans  l'air.  Il  s'occupe  d'abord  du  mouvement  du  pendule  ordinaire,  avec  oscilla- 
tions d'amplitude  quelconque,  en  supposant  la  résistance  de  l'air  proportionnelle 
au  carré  de  la  vitesse.  Il  établit  l'équation  du  mouvement,  la  ramène  à  une 
équation  linéaire  du  premier  ordre  qu'il  intègre,  et  obtient  le  temps  en  fonc- 
tion de  l'angle  du  pendule  avec  la  verticale  sous  forme  d'une  intégrale  assez 
compliquée.  Il  en  déduit,  avec  l'approximation  cherchée  :  1°  l'angle  du  pen- 
dule avec  la  verticale,  au  com,niencemcnt  d'une  oscillation  d'ordre  donné; 
2°  la  durée  d'une  oscillation  de  rang  quelconque.  Il  arrive  ainsi  à  la  conséquence 
très  simple  que  la  résistance  de  l'air  diminue  la  durée  de  la  première  oscilla- 


KHVUK  DKS   l'UlU.ICATlONS. 

t  iiii)  siiii|)l('  «le   la  (|ikiii(  ilr 


^'^vVf- 


y  l'tant  un  cocfficicnl  qui  (h'-pcnd  de  la  masse  pendulaire,  0^,  l'écarL  initial. 

M.  de  .S[)arrc  aborde  ensuite  le  pr(ddème  plus  compliqué  du  pendule  de  Kou- 
eaull.  u  II  considère  d'altord  le  moin  niicnl  de  la  piojeclioii  du  pendule  réel 
sur  le  plan  (ielif,  ([u'il  a  ajjpelé  plan  d'oscil/filion,  cX  fait  voir  que  ce  mouve- 
ment est  donné  par  le  [treinier  problème  qu'il  a  résolu.  Il  étudie  ensuite  l'in- 
flueuce  de  la  résislaïue  de  lair  sur  le  plan  d'oscillation  lui-même,  dont  il  faut 
déterminer  la  vitesse  moyenne  autoui-  du  pendule,,  pendant  une  oscillation  de 
rang  donn('.  Plusieurs  causes  compliquent  le  problème  :  telles  sont  la  diminu- 
tion progressive  de  l'amplitude  d'oscillation  à  chaque  va-et-vient  du  pendule, 
l'existence  d'intét;rales  singulières,  dans  lesquelles  une  erreur  de  l'ordre  de  m' 
dans  certains  termes  produit  une  erreur  de  l'ordre  de  oj  dans  le  résultat,  la  pré- 
sence du  tcmi)s  comme  facteur  dans  des  termes  d'abord  petits,  qui  peuvent 
ensuite  croître  considérablement.  Cependant,  l'auteur,  à  force  de  discussions 
patientes  et  en  s'aidant  de  toutes  les  circonstances  favorables,  réussit  à  passer 
à  travers  les  difficultés  et  à  prouver  (juc  la  vitesse  de  rotation  du  plan  d'oscil- 
lation, dans  l'air,  ne  diiïére  de  ce  qu'elle  serait  dans  le  vide,  les  circonstances 
initiales  étant  les  mêmes,  que  par  des  termes  de  l'ordre  de  yw,  c'est-à-dire 
très  petits  »  (Gilbert).  Le  Mémoire  est  terminé  par  quelques  applications  nu- 
mériques. 


MATIIESIS,    lUÎCUEIL   MVTIIÉMATIQLE    A    l'uSAGE    DES    ÉCOLES   Sl'ÉCIAF^ES  ET  DES 

ÉTABLISSEMENTS  d'ixstruction  MOYENNE,  publié  par  P.  Mû/isiofi  et  /.  Neu- 
berg,  Gand,  Hosle;  Paris,  Gatithier-Villars,  1890. 

Tome  X,  1890. 

Lucas  (Ed.).  —  Sur  quelques  questions  de  signe  en  Géométrie 
analytique.  (5-8). 

Distinction  analytique  des  deux  modes  de  croisement  de  deux  droites  dans 
l'espace  (droites  qui  ne  sont  ni  parallèles,  ni  concurrentes)  et  autres  questions 
de  signe  analogues.  Comparez  Duhamel,  Mécanique,  Introduction.  Chap.  II. 

Sej'vais  (CL).  —  Etude  géoniétri([ue  sur  la  cissoïde  et  de  la  stro- 
plioïde  (g-i4)- 

Résumé  original  des  principales  propriétés  de  ces  courbes  célèbres. 

Carra/a  (B.).  —  Extraction  de  la  racine  carrée  par  la  méthode 
des  deux  moyennes.  (i5-i()). 


10  SECONDE  PATITIE. 

Catalan  {E-)-  —  Sur  le  dévcloppcmcnl,  on   fraction   conliniie, 

dcy/N.  (17). 

t 
Si 

N  =  a^^Og=  a^b^— a.^Oj  = .  . .,        9.a^  =  a^-h  b^^,        la^^  a^-\- b^^         ..., 
on  a 

pour  n  =  oc.  Si  a^  est  une  rétlulLc  d'ordre  p  de  la  fraction  continue  égale  ù 

v/N,  «,,  «j,  «3,  . , .  en  sont  les  réduites  d'ordre  2p,  [\p,  Hp,  . . . ,  p  étant  supposé 
multiple  du  nombre  des  quotients  incomplets  de  la  période  de  la  fraction 
continue. 

Cesdro  {E.).  —  Sur  une  question  de  limites.  (25-28). 

Démonstration   de  la  règle  de  l'Hospital  pour  les  fonctions  de  variable 

entière,  et  applications.  Voici   l'énoncé  de  cette  règle   qui    devrait  s'appeler 

plutôt  règle  de  Cesàro  :  «  Si  pour  n  entier  croissant   indéfiniment,  «„  et  6„ 

tendent  vers  zéro,  on  a 

,.     a„       ..     «_  —  a..^. 
um  -r^  =  lim 


*„  ^„  —  ^„^, 

pourvu  que  la  seconde  limite  existe.  » 

Mansion  (P.)-  —  Grelle  ou  Brocard.  ( 28-80 ). 

Crelle  a  trouvé,  en  1816,  la  propriété  fondamentale  des  points  appelés  points 
de  Brocard  par  M.  Neuberg,  à  qui  l'on  doit  aussi  la  dénomination  de  point  de 
Leînoine  pour  le  point  de  rencontre  des  médianes  antiparallélcs.  CrclIe  ayant 
abandonné  la  Géométrie,  tandis  que  ]MM.  Lemoinc  et  Brocard  ont  considéra- 
blement enrichi  la  Géométrie  du  triangle,  il  est  juste  de  maintenir  les 
deux  désignations  :  points  de  Brocard,  point  de  Lemoine. 

Mandart  {H-)-  —  Sur  un  groupe  de  trois  paraboles.  (3o-33). 

Contril)ution  à  la  géométrie  du  triangle.  Chacune  des  paraboles  considérées 
est  l'enveloppe  d'une  droite  rencontrant,  à  des  distances  égales  de  deux  des 
sommets  d'un  triangle,  les  côtés  de  ce  triangle  cjui  passent  par  le  troisième 
sommet. 

Le  Paige  {€.).  —  La  formule  d'Ozanam  est  due  à  Snell  (3/|-36). 

La  formule  approximative 

-,  3  ^ 


2rt 


qui  lie  les  côtés  b,  c,  a  =  \/b'-+-  c^  d'un  triangle  rectangle  à  l'angle  B  opposé 
au  plus  petit  côté,  ou  plutôt  la  construction  correspondante,  est  due  à  W.  SneM 
{Cyclometricus.  1G21).  Klle  lui  est  expressément  allribuéc  par  A.  Girard 
{Table  des  sinus,  i^h.Cy),  cl  aussi  par  Huygens  {De  circuli  magnitudine  inventa. 


UEVUri:    DKS   publications.  i( 

i(i.V|  ),   (|iii    indiivc    (lue    I.i    loiiiuilc    (loriiic    I  uii  j(»ii  is    une    v;il(;iii'    lio|»    ixlilc 
|io(ir  |{. 

De  L()nLich(n)i/)S  [Cl.).  —  Sur  le  Lclracdrc  orllioccnlriquo.  (/Î9- 

Le  Irlraèdre  orl liorcnliiciiic  csl  celui  donl  les  hauteurs  se  coupent  nn  un 
point  appelé  ortlwccntre.  L'auteur  en  rappelle  les  propriélcs  dc'jà  connues  et 
en  éludic  de  nouvelles  par  l'analyse.  Il  clierchc  la  valeur  du  carré  d'une  arête, 
la  plus  courte  distance  de  deux  arêtes  opposées,  l'aire  d'une  face,  le  volume  du 
tétraèilre,  la  sphère  conju;;uéo,  la  sphère  circonscrite,  les  deux  sphères  des 
douze  points,  etc. 

DeKVulf  [E.).  —  Sur  les  coniques  osctilalriccs.  (55-58). 

ICtude  d'une  transformation  où  les  points  correspondants  M,  IM'  sont  sur  une 
droite  passant  par  un  point  fixe  O  et  où,  de  plus,  M  et  IM'  forment  sur  le 
rayon  commun  O.MiM'  des  ponctuelles  projectivcs  dont  les  points  doubles  se 
confondent  en  O. 

Peano  (G.).  —  Les  propositions  du  cinquième  livre  d'EucIide 
réduites  en  formules.  (73-75). 

Lucas  (Ed.).  —  Sur  les  nombres  parfaits.  (74-76). 

Propriétés  diverses,  parmi  lesquelles  nous  distinguons  celle-ci  :  Tout  nombre 
parfait  pair,  autre  que  6  et  /19G,  est  terminé  par  iG,  28,  36,  56  ou  76. 

Casey  (J-)-  —  Complément  de  la  théorie  des  polygones  harmo- 
niques. (96-1 14)- 

Addition  à  la  Géométrie  élémentaire  récente,  publiée  dans  Mathesis,  t.  IX; 
p.  5-70. 

Fiilirmann  {IV.).  —  Sur  un  nouveau  cercle  associé  à  un  triangle. 
(io5-i  1 1). 

Les  bissectrices  d'un  triangle  ABC  rencontrent  le  cercle  circonscrit  en 
trois  points,  dont  les  symétriques  par  rapport  aux  côtés  correspondants  sont 
Aj,  B,,  Cj.  La  circonférence  passant  par  A,,  B^,  C,  a  de  nombreuses  propriétés 
étudiées  par  M.  Fùhrmann, 

Bergmans  (C).  —  Théorèmes  sur  la  parabole,  (i  iG-i  17). 

Lucas  (Ed.).  —  Critérium  pour  la  formule  de  Paoli.  (129-132). 

Catalan  (E.).  —  Remarques  sur  une  Note  de  M.  Lucas.  (197- 
•99)- 


i5t  SIÎCONDIi:  l\\HTIK. 

Cdldliin  (/i".).  —  Sur  l'analyse  indéL(Mnilncc  du   premier  dcigré. 
(:^'.>>o-2'^.:>,,  •x\\-'?.\\\^  2'j^)-'A'j()). 

M.  Catalan  simplifie  cl  complèlc  un  procédé  nouveau  indiqué  i)ar  Lucas, 
pour  trouver  le  nombre  exact  des  soluli(»ns  non  néj^atives  de  l'équation  indé- 
terminée nx  H-  by  =  c. 

Se/'vais  (CL).  —  Sur  la  révcrsibililé  de  la  Iransformalion  linéaire. 

(i3:>.-i/>7). 

Démonstration  simple  plus  complète  que  celle  que  l'auteur  a  donnée  dans 
A/at/icsis,  t.  IX,  p.  267-268,  1889;  t.  VII,  p.  90-91,  1887. 

Cesâro  {/^.).  —  Sur  la  développanle  de  la  ehaîneLLe.  (i38). 

'l'outc  développante  de  chaînette  rencontre,  sous  un  angle  constant,  une 
infinité  de  circonférences  égales  ayant  leurs  centres  sur  une  droite. 

Peano  {G.).  —  Sur  l'inLerversion  des  dérivations  partielles.  (i53- 

i54). 

Démonstration  du  théorème  suivant  :  «  Si /^  .(,r,  j)')  existe  aux  environs  de 
x=zx^,  y=y^  et  est   continue  pour  x  —  x^,  y  —  y^  al  s\  f  {x,  y^)    existe 
aux  environs  de  x  —  x^,  alors /"^f,r„,  y^)  existe  aussi  et  l'on  a 

1^'autcur  part  de 

fly  ( ^0  +  ^h  ro  +  A- )  =  /^'^. (^„,  yo )  +  a, 

relation  qu'il  intègre  par  rapport  à  h,  de  o  à  h;  la  relation  nouvelle  obtenue 
est  intégrée  ensuite  de  o  à  A.  On  divise  par  A%  on  cherche  la  limite  des  résultats 
obtenus  pour  A-  =  o;  ensuite,  on  divise  le  nouveau  résultat  par  h,  et  l'on  fait 
h  =  o.  On  peut  aussi  partir  de  la  double  inégalité 

/n  et  M  étant  des  constantes. 
Denys  (A.).  —  Sur  l'ennéagone  régulier.  (i():>-i  ()4). 

Cesâro  {E.).  —  Sur  l'emploi  des   coordonnées  barjcenlriques. 

Dans  cet  article  remarquable,  IM.  Cesâro  emploie  simultanément  les  coor- 
données cartésiennes  et  les  coordonnées  barycenlriques.  Un  point  M,  mobile 
dans  un  plan,  est  regardé  comme  le  barycentrc  de  trois  masses  variables  appli- 
quées aux  sommets  d'un  triangle  fondamental.  L'auteur  rapporte  la  figure  aux 
axes  de  la  conique  d'inertie  du  triangle  considéré.  L'emploi  simultané  de  ces 
deux  genres  de  coordonnées  lui  permet  de  trouver  d'une  manière  naturelle  un 


HKVUK   DKS   PUHI.ICATIONS.  i3 

j^r.md  iioiiilnf  (le  I  liinrcriics  ;mricii>  on  imuNCiiiix  icl.ilils  ,i  la  (iéomclric  fin 
lri;mj;l('.  Il  Linl  si^iialoi' en  j)arl  iciilifi-,  c.omiiK;  rime  des  (•(ms(':(Hiciir(îs  de  ccllr 
(•ludi'  la  siiivanlr  :  «  I.rs  ('IimiumiIs  i\[\c  l'on  a  piis  l'Iiahiludc  dr.  notnrner  rcmar- 
t/i/(i/>/cs  uc  sdiil  pas  tels  par  (Mix-mrnics,  mais  l)i(Mi  par  les  iclalions  (ju'ils  (tril 
rnirc  eux.  On  peni  a|)pli(|ncr  lonic  profjosilion,  relalivo  aux  liaisons  d'nn 
syslènic  (iuelron(|no  d'élcnicnls,  à  lonl  autre  systrine  dont,  les  éléineuls  pr(';- 
sciitcnt  les  inrnics  liaisons  ».  Les  avantages  de  la  iiK'tliodr  de  M.  Cesàro  pro- 
viennenl  de  la  liheilé  <|U(;  l'on  a  de  d(''()Iacer  l'orif^irie  et  d'orienler  les  axes  avce, 
une  rerlaine  latilndc  dans  le  plan.  Il  faiil  observer  loul(;fois  (juc  relie  libellé 
n'existe  pas  en  CéonK'trie  inlinilt-siinale,  où  l'on  eni[)loic  les  coordonnées 
inlrinsè(|Mes  o  el  s. 

(ic/in  {/^')'  —  Siirfiicc  cl  volume  du  tore,  (iç^o-kjj). 

Del  lie  {A.).  —  A  pt-opos  d'im  proldènic!  sur  le  billard  circulaire. 

(2I7-2I()). 

Solution,  par  les  formes  projcclivcs,  du  problème  suivant  :  Quelle  route  doit 
suivre  une  bille,  sur  un  billard  circulaire,  pour  revenir  au  point  de  départ, 
après  deux  réllexions  successives.  Hibliof;rapliie  de  la  question. 

Mansioii  (P.).  —  Paradoxe,  (2'>►'^-•>t!>>/|)• 

On  peut  inscrire,  dans  un  cylindre  droit  à  base  circulaire,  un  polyèdre  à 
facettes  indélinimenl  décroissantes  dont  l'aire  ait  telle  limite  que  l'on  veut,  ou 
n'ait  pas  de  limite  [D'après  Peano,  Salla  definizione  delV  area  d'una  super- 
ficie (/?.  Accadeniia  dei  Auovi  Lincei,  (4)?  VI,  A,  p.  ^i^\-5~)  et  Schwarz, 
{G.  Mathematische  Abandlungen,  II,  p.  3o8-3io,  369-870)]. 

Laisant  (A.).  —  Sur  la  Iransformalion  par  ravons  vecteurs  réci- 
proques. (:2  24-''i'^)o). 

Propriétés  générales  de  la  transformation  délinie  par  la  relation  symétrique 
F(r,  /•,  )  =  o,  entre  les  rayons  vecteurs  /•  =  OM,  f\=:  OM^  de  deux  points  M, 
iM,,  de  deux  courbes  correspondantes,  O,  M  et  M,  étant  en  ligne  droite.  Cas  où 


I         I 

/•  +  r,  =  2  a, ! 


a  I-        r\        a' 


Lucas  [Ed.).  —  Sur  les  diflérents  systèmes  de  numération.  (24-3- 

Kxlrait  de  la   Théorie  des  tionibres  de  laiiteur. 

Poulain  (A.).  —  Sur  quelques  séries  de  points  remarquables  dans 
le  triangle.  ( 246-20 1). 

Points  dont  les  coordonnées  barycenlri(|ues  sont  [)roportionnelles  aux  mèmc- 
puissances  des  sinus,  ou  cosinus,  ou  tangentes  des  angli'<  du  triangle,  ou  de  leur- 
dilVt'i'cnccs,  cic. 


li  SECONDK   PAirnii. 

Lac  de  Bosredon  (  V.).  —  Délcrmlnalion  des  foyers,  des  direc- 
trices et  des  axes  dans  les  coniques,  d'après  la  conception  de 
Pliickcr.  (265-275). 

Heclierche  des  foyers  en  les  regardant  comme  les  points  d'où  l'on  peut  mener 
il  la  conique  deux  tangentes  ayant  ±:  v^ — i  pour  coefficients  de  direction.  La 
directrice  est  la  polaire  du  foyer;  les  axes,  les  droites  joignant  les  foyers  deux 
à  deux.  L'article  est  élémentaire. 

Notes  mathématiques ^  bibliographie,  questions  résolues,  ques- 
tions proposées,  questions  d'examen,  rectifications  (passim). 
Table  des  matières.  (280-288). 

Supplément. 

Vlgarlé  {E ,).  —  Esquisse  historique  sur  la  marche  du  dévelop- 
pement de  la  Géométrie  du  triangle.  (25  pages). 

Extrait  du  Congrès  de  Paris  de  l'Association  française  pour  l'avancement  des 
Sciences  (1889).  Cette  Notice  très  soignée,  où  l'on  rend  pleine  justice  aux 
géomètres  qui  se  sont  occupés  de  Géométrie  récente  avant  ]\LM.  Lemoine, 
Brocard  et  Neuberg  (Crelle,  Nagel,  Grèbe,  etc.),  est  suivie:  1°  d'une  bibliogra- 
phie contenant  les  travaux  omis  dans  la  Notice  publiée  par  M.  Lemoine  en 
i885;  2°  d'une  liste  des  travaux  publiés  sur  la  Géométrie  récente  depuis  i885. 


Géométrie  élémentaire  récente,  par  J.  Casey,  professeur  à  l'Uni- 
versité catholique  d'Irlande;  traduit  de  l'anglais  par  Fr.  Fa- 
l[sse;  avec  une  préface  deM.  J.  ISeuberg.  Gand,  Hoste;  Paris, 
Gaiithier-Villars  et  fds,  1890.  (80  p.  gr.  in-S""  avec  33  figures 
dans  le  texte). 

Ce  petit  volume  contient  la  traduction  du  Chapitre  supplémentaire  de 
A  Sequel  to  Euclid  de  Casey  (traduction  (|ui  a  été  publiée  dans  Mathesis  en 
1S89)  avec  un  appendice  inédit  (qui  a  paru  dans  Mathesis  aussi  en  1890).  Voici  le 
titre  des  Chapitres  de  cet  opuscule  qui  contient,  sous  une  forme  condensée,  les 
principaux  résultats  de  la  Géométrie  récente  dans  le  plan. 

1.  l^oints  isogonaux,  isotomiques;  antiparallèles,  symédianes.  2,  Deux  figures 
directement  semblables.  3.  Cercles  de  Lemoine,  de  Tuckcr  et  de  Taylor.  4-5.  Trois 
figures  semblables.  Cercle  de  Brocard.  Cercle  des  neuf  points.  6  et  8.  Polygones 
liarnjoniques.  7.  Figures  associées.  L'Ouvrage  contient  d'innombrables  exercices. 
La  préface  signale  les  principaux  promoteurs  de  la  Géométrie  récente,  Neuberg 
excepté. 


MKVlll<:    mis    ITinJCATIONS.  i5 


ACr.V  iMATlIlvMATICA 


Tomo  \IV;  1890-91 


Juvl.  —   Sur  f|uol(jiics    figures    fondamentales  de    la    Géoméirie 
projeclivc. 

I.  Conformcmcnl  ;mx  idées  de  v.  Slaudt  {Géométrie  cler  Lage),  M.  .lucl 
(Miei'clio  do  ([uelle  naliiro  est  l'ensemble  (  cliainc  à  deux  dimensions)  des  fioinls 
(]ui  eorrespondenl  aux  points  réels  d'un  [)lan  par  une  projection  imaginaire. 
I!  trouve  que  les  droites  réelles  de  ces  points  sont  les  bitangcntes  d'une  sur- 
face réglée  réelle  de  troisième  classe. 

Quatre  points  quelconques  d'un  plan  imaginaire  peuvent  être  transformés 
simultanément  en  quatre  points  réels.  Il  faut  pour  cela,  en  général,  deux  pro- 
jections; il  en  faut  trois,  si  l'on  exige  que  les  centres  de  projection  soient  réels. 

On  peut  aussi  considérer  les  projections  de  points  imaginaires  conjugués.  On 
est  ainsi  conduit  à  la  conception  de  chaînes  «  orthogonales  »,  telles  que  cha- 
cune d'elles  donne  par  projection  des  points  imaginaires  conjugués  deux  à 
deux,  quand  l'autre  donne  des  points  réels. 

II.  Aux  projections  d'un  plan  sur  lui-même  s'opposent  les  symmétralités, 
qui  sont,  au  fond,  des  projections  suivies  de  la  transformation  de  chaque  point 
en  son  conjugué. 

M.  JucI  cherche  quels  sont,  dans  une  projection  ou  une  symmétralité,  les 
éléments  réels  qui  se  transforment  en  éléments  réels  et  les  chaînes  qui  se  con- 
servent. 

Une  projection  imaginaire  peut-elle  être  transformée  linéairement  en  une 
réelle?  Cela  ne  se  peut  pas  ou  se  peut  d'une  double  infinité  de  façons  essen- 
tiellement distinctes,  c'est-à-dire  ne  dérivant  pas  l'une  de  l'autre  par  une  pro- 
jection réelle. 

Bascilke  (JV.).  —  Sur  l'intégration  des  équations  différentielles 
du  premier  ordre  où  ne  figure  pas  la  variable  indépendante. 

iJriot  et  Bouquet  ont  déterminé  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour 
que  l'équation  difïérentielle  algébrique 

du\ 


^•)  -^("'^0^' 


ait  son  intégrale  uniforme.  On  peut  arriver  au  même  résultat  par  une  méthode 
fondée,  comme  celle  de  INI.  Hermite,  sur  la  considération  du  genre. 

I.  En  même  temps  que  la  fonction  uniforme  w  vérifiant  l'équation  (i),  intro- 
duisons une  seconde  fonction  uniforme  t^  liée  à  la  première  par  une  relation 
algébrique 

(a)  F(«,  V)  =  o. 

La  fonction  v  sera   aussi  liée  à  sa  dérivée  algébriquement.  Moyennant  une 


i6 


SliCONDK   PAini  K. 


transfonnalion  linéaire,  on  pcnt  toujours  supposer  :  i"  (pie  ré(|uaLion  {?.) 
contient  des  tcrnnes  du  plus  haut  degré  en  v;  2°  (|ue  le  point  infini  sur  l'axe 
des  V  est  quelconque  au  point  de  vue  des  tangentes  menées  par  ce  point  à  la 
courbe  (2);  3"  ((ue  v,  considéré  connme  fonction  de  u,  est  uniforme  sur  la  sur- 
face de  Riernann  correspondante  à  l'équation  (i).  Dès  lors,  l'étude  des  points 
singuliers  montre  que  le  genre  de  la  courbe  (2)  est  plus  petit  que  2.  Le  pro- 
blème   primitif    peut  d'ailleurs  être   considéré    comme   un   cas  particulier  de 

...  ,     .         .       du 

celui-n,  en  prenant  pour  v  la  tonction  -— • 

Cl  ^ 

II.  Réciproquement,  si  l'équation  (2)  est  de  genre  plus  petit  que  2,  elle  peut 
être  vérifiée  par  des  fonctions  uniformes  d'un  même  paramètre,  telles  que 
chacune  d'elles  soit  liée  algébriquement  à  sa  dérivée.  Pour  le  démontrer,  con- 
sidérons une  relation  de  la  forme 


(3) 


p{x) 


où  gix),  /i{x),  p{x)  sont  des  polj-nomes  et  R(^)  un  polynôme  du  qua- 
trième degré  au  plus.  Étant  donnée  sur  le  plan  de  u  une  surface  de  Riemann 
à  ni  feuillets  et  2  m  points  de  ramification,  on  peut  toujours  trouver  une 
fonction  x  de  u  définie  par  une  équation  de  la  forme  (3)  et  uniforme  sur  cette 
surface. 

Dès  lors,  étant  donnée  l'équation  (2)  dont  le  genre  est  supposé  égal  à  i,  la 
surface  de   Riemann   correspondante  jouissant   des   propriétés  demandées,  la 

fonction  x  peut  être  formée  et  v  sera  rationnel  en  x  et  ^\\{x),  d'où  l'on  lire 
la  conclusion  annoncée. 

III.  Les  considérations  précédentes  permettent  d'obtenir  les  conditions  d'uni- 
formité sous  une  forme  difi'érente  de  celle  que  donnent  Briot  et  Rouquet.  L'au- 
teur démontre  directement  l'équivalence  des  deux  résultats,  puis  il  étudie 
spécialement  certaines  équations  à  intégrales  uniformes. 

Aowales/x'i  (S.).  —  Sur  une  propriété  du  s^'slènie  (.l'équalions 
clifTérenlielles  qui  définit  la  rotation  d'un  corps  solide  autour 
d'un  point  fixe. 

L'intégrale  générale  ne  peut  pas  être  donnée  par  des  fondions  uniformes  du 
temps  sans  autres  points  singuliers  que  dos  pô!(  s,  du  moins  si  les  trois  mo- 
ments principaux  d'inertie  sont  distincts. 

Si,  en  effet,  dans  cette  hypothèse,  on  cherche  à  développer  en  séries  les  fonc- 
tions inconnues,  le  pôle  étant  t  —  o,  les  premiers  coefficients  sont  complète- 
ment déterminés  et  le  déterminant  des  équations  qui  donnent  les  coefficients 
suivants  ne  s'annule  pas  pour  cinq  valeurs  de  l'indice;  d'où  résulte  qu'on  ne 
peut  obtenir  par  cette  voie  une  solution  contenant  cinq  constantes  arbitraires. 

Quand  deux  moments  principaux  sont  égaux,  on  ne  trouve  d'intégrale  gé- 
nérale uniforme  que  dans  les  cas  connus  (y  compris,  bien  entendu,  le  cas  nou- 
veau signalé  précédemment  par  INI'"*  Fvowalewski  ). 

CasoiaLi  (/^'.).  —  iMesuie  de  la  courbure  des  surfaces  suivant 
l'idée  commune.  Ses  rapports  avec  les  mesures  de  courbure 
gaussicnne  et  moyenne. 


UEVUF    DKS   PUIU.ICATIONS.  ,7 

Ci'S  (l(Mi\  (Icinirrcs  |)rrsotiliMil  cIimciiik;  l'inconvc'-iiiciil  de  pouvoir  s'iitiimlci- 
s.ins  (|ii("  l;i  surface  cesse  d'èlre  couri)!'  au  point  considéré. 

Il  n'en  csl  pas  de  mt'^ni(>  de  l'expression  C  =  -  (  —  +  rrr;)»  laquelle  ne  peut 

s'aiimiler  que  pour  II  =  11'—  00,  de  sorle  qu'une  siirfiice  pour  hujuejle  C  serait 
nul  en  tous  les  [)oints  serait  nécessairement  un  plan. 

Géoniélri([uenieul,  cette  expression  peut  être  définie  ainsi  :  faisons  tourner 
autour  du  point  consiih'-ré  O  un  fil  OP,  de  longueur  constante  très  petite  <7,et  f|ui 
reste  tendu  sur  la  surface.  Sur  ce  même  fil,  prenons  une  longueur  00  égale  à 
l'angle  (|ue  fait  la  normale  en  P  avec  la  normale  en  O.  La  quantité  C  n'est 
autre  que  la  limite  du  rapport  de  l'aire  décrite  par  OQ  à  l'aire  décrite  par  OP. 

ScJicffers  (G.).  —  Détermination  d'une  classe  de  groupes  de 
transformation  de  contact  dans  l'espace  à  trois  dimensions. 

La  recherche  de  tous  les  groupes  de  transformations  de  contact  dans  l'espace 
à  trois  dimensions  paraissant  assez  compliquée,  IM.  Scheffers  s'est  proposé  de 
déterminer  ceux  de  ces  groupes  qui  conservent  une  famille  d'équations  aux 
dérivées  partielles  (en  excluant  ceux  de  ces  groupes  qui  sont  réductibles, 
c'est-à-dire  peuvent  se  ramener  à  des  groupes  purement  ponctuels).  On  peut 
toujours  supposer  que  cette  famille  soit  composée  de  plans  parallèles  x^  —  const. 
Le  problème  revient  alors  au  problème  plan,  car,  parmi  les  transformations 
infinitésimales  du  groupe,  on  peut  admettre  que  trois  au  plus  (désignées  par  la 

notation  C-/;  i  =  i,  2,  3)  contiennent  un  terme  en  -—--  Les  autres  (appelées 

A./)  forment  un  groupe  plan.  Or,  il  n'existe  que  trois  types  de  pareils  groupes, 
lesquels  ont  respectivement  6,  7  et  10  paramètres.  Aux  deux  premiers  types 
correspondent,  dans  le  problème  actuel,  deux  nouveaux  types  dépourvus  de 
transformations  C^.  et  six  types  comprenant  des  C^.  Enfin,  le  groupe  plan  à 
10  paramètres  donne  quatre  nouveaux  types.  Les  groupes  trouvés  sont  d'ailleurs 
irréductibles  (au  sens  indiqué  plus  haut)  et  véritablement  distincts  les  uns 
des  autres. 

Kirchhoff  (G.).  —  Preuve  de  l'existence  d'un  potentiel  qui  admet 
des  valeurs  données  sur  la  limite  de  l'espace  considéré,  dans  le 
cas  où  cette  limite  n'est  pas  une  surface  partout  convexe. 

Il  s'agit,  au  fond,  de  la  méthode  de  C.  Neumann  pour  la  résolution  du  pro- 
blème de  Dirichlet,  méthode  que  KirchhofT  avait  trouvée  de  son  côté  et  dont 
l'exposition  est  simplifiée  sur  certains  points. 

Sylvester  (/.)•  —  Solution  funiculaire  du  «  problème  de  l'ai- 
guille »  de  Buffon  dans  sa  forme  la  plus  générale. 

Dans  le  problème  de  l'aiguille  tel  qu'il  fut  posé  originairement  par  BufTon, 
on  donne  une  série  de  parallèles  équidistantes  ainsi  qu'une  aiguille  de  lon- 
gueur inférieure  à  la  distance  de  deux  parallèles  consécutives,  et  l'on  cherche 
la  probabilité  pour  que  l'aiguille,  projetée  au  hasard  sur  le  plan  des  parallèles, 
rencontre  une  de  ces  droites.  La  solution  se  généralise  au  cas  où  l'aiguille  est 

Bull,  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  t.  XIX.  (Février  1895.)  R.i 


i8  SECONDE  PAIITIE. 

remplacée  par  une  figure  plane  quelconque  cl  conduit  au  llicorcme  de  Barbier  : 
«  La  probabilité  chercliéc  est  donnée  par  le  quotient  de  la  longueur  d'un  fil 
tendu  autour  de  la  (igure  (autrement  dit  du  périmètre  de  celle-ci,  si  elle  est 
convexe)  par  la  circonférence  inscrite  à  deux  parallèles  consécutives.  » 

Considérons  maintenant  «  +  i  figures  planes  invariablement  liées  les  unes 
aux  autres  (le  cas  de  deux  figures  a  été  étudié  par  Czubcr)  et  prenons  la  pro- 
babilité cherchée  pour  i  quelconque  de  ces  figures,  probabilité  qui  peut  être 
prise  conjonctivement  ou  disjonctivement.  Soient  /;,  la  somme  des  probabilités 
conjonctives,  ts-  la  somme  des  probabilités  disjonctives  pour  toutes  les  com- 
binaisons i  à  i  de  nos  n  -f- 1  figures.  On  a  les  relations 


i  —  \ 

(2)  /^n+,=   2]     ^-^)"''^" 


qui,  dans  chaque  cas  de  figure,  permettent  d'obtenir  des  formules  de  récurrence 
donnant  les  probabilités  cherchées. 

Pour  trois  ligures,  onze  cas  sont  à  distinguer.  Dans  le  problème  relatif  à 
deux  aiguilles,  figurées  par  des  segments  de  droites  formant  un  système  inva- 
riable, les  trois  cas  généraux  sont  :  A.  Les  deux  lignes  se  coupent;  B.  Les  pro- 
longements des  deux  lignes  se  coupent;  C.  L'une  des  lignes  coupe  le  prolon- 
gement de  l'autre. 

Schrœter  (JJ-)-  —  Sur  les  huit  points  d'Intersection  de  trois  sur- 
faces du  second  ordre. 

M.  Schrœter  rapproche  la  proposition  de  Buchheim  :  «  Dans  un  octogone 
inscrit  à  une  cubique  ou  à  une  biquadratique  gauche,  si,  par  chaque  série  de 
trois  sommets  consécutifs,  on  mène  un  plan,  les  intersections  des  plans  opposés 
sont  quatre  génératrices  d'un  même  hyperboloïde  »,  de  la  conclusion  analogue 
obtenue  par  M.  Zeuthen  relativement  à  un  système  de  huit  points  associés  et 
donne  une  démonstration  commune  aux  deux  théorèmes. 

Hurwitz   (A.).    —    Sur  les    séries    de    puissances   entièrement 

convergentes  à  coefficients  rationnels  avec  des  zéros  prescrits  à 

l'avance. 

«  On  peut  remplacer  un  développement  de  Taylor  quelconque  par  un  déve- 
loppement à  coefficients  rationnels  sans  changer  les  zéros  (en  appelant  nombre 
rationnel  le  quotient  de  deux  entiers  réels  ou  imaginaires).  Si  le  développe- 
ment primitif  est  réel,  on  peut  s'arranger  pour  que  le  nouveau  développement 
le  soit  aussi.  » 

Car  le  développement  du  logarithme  de  la  fonction  peut  toujours  être  trans- 
formé en  un  développement  rationnel  par  l'addition  d'une  série  convergente 
dans  tout  le  plan. 

En  particulier,  «  tout  nombre  est  racine  (et  racine  unique)  d'une  équation 
dont  le  premier  membre  est  à  coefficients  rationnels.  » 


REVUR   DRS   PUBLICATIONS.  19 

mihcrt  (/>.)  cl  I/iUivi/z  (//•)•  —  ^"^'  '^^  équations  de  Dioplianle 
(rospècc  nulle. 

Soit 

rô(|u;ili()ii  d'une  courbe  de  genre  o  et  de  degré  n  ù  eoefficicnls  rnlionncls. 
M.  Nolhcr  a  indi(iué,  au  tome  XXIII  des  Math.  Annalen,  une  rnéLliode  qui 
perniel  déformer  par  des  opérations  rationnelles  les  adjointes  de  la  courl)e(i). 

Kn  utilisant  les  premiers  membres  de  trois  de  ces  adjointes  j)our  opérer  une 
transformation  birationnclle,  on  fait  correspondre  à  la  courbe  donnée  une  autre 
d'onlrc  n  —  2.  Continuant  ainsi,  on  arrive  à  une  droite  ou  à  une  conique  sui- 
vant que  n  est  ou  non  impair. 

Dans  le  premier  cas,  il  y  a  toujours  une  infinité  de  solutions  rationnelles 
auxquelles  correspondent  des  solutions  rationnelles  de  l'équation  proposée.  A 
ces  dernières  peuvent  venir  s'ajouter  d'autres  en  nombre  fini,  correspondant  à  des 
points  singuliers. 

Si  l'on  arrive  à  une  conique,  on  peut  écrire  cette  dernière  (à  l'aide  d'opéra- 
tions rationnelles)  sous  la  forme 

a^x\  -t-  a^x\-\-  a^x\  =  0, 

et  l'on  voit  par  des  opérations  arithmétiques  connues  si  cette  équation  admet 
ou  non  des  solutions  rationnelles.  S'il  n'y  en  a  aucune,  l'équation  proposée 
n'admet  tout  au  plus  que  des  solutions  singulières  en  nombre  fini.  Sinon,  on 
est  ramené  au  premier  cas. 

PJiraginén  {E .).  —  Remarques  sur  la  théorie  de  la  représentation 
conforme. 

M.  Phragmén  élucide  plusieurs  points  de  cette  théorie  : 

1°  Une  fonction  u  harmonique  d'un  côté  d'une  droite  et  qui  s'annule  sur 
cette  droite  est  continuable  au  delà.  La  démonstration  de  Harnaek  est  rem- 
placée par  une  autre  plus  rigoureuse  et  très  élémentaire; 

2°  On  peut  appliquer  la  théorie  de  la  représentation  conforme  à  la  démons- 
tration de  l'existence  des  fonctions  fuchsiennes  et  kleinéennes; 

3°  La  démonstration  de  Schliifli  relative  à  la  possibilité  de  la  représentation 
d'un  polygone  sur  un  demi-plan  est  mise  à  l'abri  de  toute  objection. 

Brioschi  (F.).   —  Les  invariants   des   équations   diflérentielles 
linéaires. 

Une  équation  linéaire  d'ordre  n  a  n  —  2  invariants  fondamentaux.  La  partie 
linéaire  de  ces  invariants  se  calcule  aisément.  Le  calcul  de  la  partie  non  linéaire 
se  simplifie  par  comparaison  avec  un  type  spécial  d'équations  dont  les  intégrales 
peuvent  s'exprimer  par  des  formes  binaires  à  coefficients  constants  de  deux  argu- 
ments ^,,  Ej,  solutions  d'une  équation  du  deuxième  ordre.  Une  équation  du 
,^ième  oi'dre  appartient  à  cette  classe  si  tous  ses  invariants  fondamentaux  sont 


20  SECONDK   PARTIE. 

nuls.  Si  les  invariants  de  rang  impair  sont  seuls  nuls,  l'équation  est  identique 
à  son  adjointe. 

M.  Brioschi  étudie  ensuite  le  problème  posé  par  Ilalplien  :  «  Rechercher  si 
les  intégrales  d'une  équation  d'ordre  n  vérifient  une  relation  homogène 
d'ordre  m  »,  pour  les  cas  suivants  :  n  =  Z,  m  =  3;  n  =  [\^  m  =  "2  (cas  traités 
par  Halphen);  «  =  3,  m  =  4;  /i  =  5,  m  =  2. 

Berger  (A.).  —  Recherches  sur  les  nombres  et  les  fonctions  de 
Bernoulli. 

I.  Les  fonctions  de  Bernoulli  cp(^,/w)  (où  z  est  la  variable,  m  un  entier) 
sont  définies  sans  ambiguïté  par  les  conditions 

^" {z,  ni-\-i)  =  ^' {z,  m)        (m^o), 
^{z,  o)  =  o 
cp(o,  m)  =  o  (m  ^o), 

9(1,  i)  =  1 
cp  (i,  m)  =  0  (  m  ^  2  ). 

Quant  aux  nombres  de  Bernoulli  B(m),  ils  sont  donnés  par 

B{ni)  =  9'  (0,  m  -h  i). 

On  déduit  aisément  de  ces  définitions  les  propriétés  des  fonctions  bernoul- 

liennes  relatives  à  la  sommation  des  puissances  semblables  des  nombres  entiers 

e"" —  [ 

consécutifs  et  leur  rôle  dans  le  développement  de  la  fonction suivant  les 

^^  e"  —  I 

puissances  croissantes  de  v.  Le  développement  en  série  trigonométrique  des 

fonctions  bernoulliennes  fournit  d'ailleurs  l'expression  des  nombres  B  comme 

sommes  des  puissances  réciproques  des  nombres  entiers. 

IL  On  peut  former  des  suites  analogues  à  la  suite  des  nombres  et  des  fonctions 
de  Bernoulli,  mais  où  figure  un  entier  A  assujetti  seulement  à  la  condition 
d'être  ce  que  M.  Kronecker  appelle  un  discriminant  fondamental.  On  arrive 
ainsi,  en  particulier,  aux  conclusions  suivantes  : 

L'expression 

:JA  V  (-\  -- 

Â-=i 

où  A  est  positif  et  [ -r  )  représente  le  symbole  de  Legendre  généralisé,  est  ra- 
tionnelle. Il  en  est  de  même  de  l'expression 


et  de  la  suivante  : 


k^"- 


y/- A  y  /A' 


1 


{1-Ki)'"  A^\k 
k  =  l 

pour  X  rationnel,  s  étant  le  signe  de  A. 

Le  Mémoire  se  termine  par  une  bibliographie  de  In  question. 


UKVUK    DKS   PUHMCATIONS.  7i 

l'cln'hych('(J' {P.).  —  Sur  doux  lliôorùmcs  relatifs  aux  probabi- 
lités. 

IM.  'rrhcbychclV  a  détrioiitrc  {.louriidl  de  Liouville,  2"  série,  L.  XII)  tiii 
ihcorèine  (|ui  corilicnl  comme  cas  parliculior  le  llicorèmc  de  [Urnoulli.  Cer- 
tains résultais  i\w\  servent  à  la  démonstration  de  ce  tliéorèmc  conduisent  à  la 
conclusion  suivante  : 

K  Si  les  espérances  mathématiques  des  quantités 

sont  toutes  nulles,  et  si  les  espérances  mathématiques  de  toutes  leurs  puis- 
sances ne  dépassent  pas  une  limite  finie  quelconque,  la  probabilité  que  la 
somme  d'un  nombre  n  de  ces  quantités,  divisée  par  la  racine  carrée  de  la  double 
somme  des  espérances  mathématiques  de  leurs  carrés,  sera  comprise  entre 
deux  limites  quelconques  t  et  t'  se  réduit  à 

sJtz  J  t 
lorsque  le  nombre  n  devient  infini.  » 

Hensel  (A.).  —  Sur  la  représentation  du  déterminant  d'un 
système  composé  de  deux  autres  systèmes. 

«  Etant  donnés  deux  déterminants 

d'ordre  m,  n  respectivement,  en  multipliant  chaque  élément  du  premier  par 
chaque  élément  du  second,  on  forme  un  tableau  carré  de  i^mny  éléments  dont 
le  déterminant  est  égal  à  A"B'".  » 

Démonstration  par  la  résolution  d'équations  linéaires. 

Hacks  (/.).  —  Sur  le  nombre  de  classes  des  formes  quadratiques 
proprement  primitives  qui  appartiennent  à  un  déterminant  né- 
gatif D  = —  g,  où  q  est  un  nombre  premier  de  la  forme  ^ii  -\-?>. 

Ce  nombre  de  classes  peut  se  mettre  sous  plusieurs  formes,  parmi  lesquelles 
[{x)  désignent  le  plus  grand  entier  contenu  dans  x'\ 

7-3 


ou  encore 


où    R  est    la  somme  des   résidus  quadratiques   de  q,  R'  la    somme   des    non- 


22  SECONDE  PARTIE. 

résidus.  Dans  le  cas  où  q  est  de  la  forme  8/1-1-7,  ^^"  "^ 

H  =  <7f/,         U'=ryp, 

où  p  et  p'  sont  respectivement  les  nombres  des  résidus  inférieurs  et  supérieurs 

à  -•  Si  <7  a  la  forme  8/1  + 3,  il  faut  écrire 
2 

2R'— H  =^p,        2R  — R'=  7p'. 

Hacks  («/•).  —  Quelques  applicalions  de  la  fonction  (^). 

On  peut  exprimer  à  l'aide  de  ce  symbole  (lequel  est  pris  avec  le  même  sens 
que  dans  l'article  précédent)  le  nombre  des  entiers  inférieurs  à  ni-\-i  et  qui  ne 
sont  divisibles  par  aucun  carré.  Si  W^{m)  désigne  ce  nombre,  les  propriétés 
du  symbole  {x)  donnent  la  relation 

p  =  l 

et  des  relations  analogues  pour  les  différents  symboles  W^{m). 

Horn  (/.).  —  Essai  sur  l'extension  de  la  théorie  de  Fuchs  des 
équations  différentielles  linéaires  aux  équations  linéaires  aux 
dérivées  partielles. 

Il  s'agit  des  systèmes  complets  de  trois  équations  linéaires  du  second  ordre 
à  deux  variables  indépendantes. 

Quels  sont  les  types  de  pareils  systèmes  ayant  leurs  intégrales  régulières? 

M.  Horn  en  trouve  deux  et  en  tire  les  conclusions  correspondantes  pour  les 
systèmes  d'équations  aux  difTérenticlles  totales. 

Hertz  {H.).  —  Sur  les  équations  fondamentales  de  l'électrodjna- 
mique  pour  les  corps  en  mouvement. 

Ce  Mémoire  sert  de  complément  à  un  précédent  travail  (  Wiedemann's 
Annalen,  p.  877;  1890)  relatif  aux  phénomènes  électromagnétiques  dans  les 
corps  en  repos.  Comme  dans  celui-ci,  on  introduit  les  composantes  L,  M,  N; 
X,  Y,  Z  des  forces  magnétiques  et  électriques,  ainsi  que  les  composantes  J^, 
OÏL,  (Db;  c\",  '^,%',  u,  V,  w  des  polarisations  magnétiques  et  électriques  et  du 
courant  électrique,  liées  aux  premières  par  des  équations  linéaires  dont  les 
coefficients  caractérisent  les  propriétés  du  milieu.  Mais,  cette  fois,  on  est  en 
outre  obligé  de  tenir  compte  de  la  vitesse  du  milieu  au  point  considéré,  vitesse 
dont  les  composantes  sont  a,  p,  y.  On  admet  (hypothèse  d'ailleurs  très  arbi- 
traire) que  cette  vitesse  est  aussi  celle  de  l'éther  au  même  point,  moyennant 
quoi  on  peut  écrire  entre  les  variables  précédemment  définies  des  équations 
difTérentielles  qui,  bien  entendu,  diffèrent  des  équations  précédemment  obtenues 
par  des  termes  contenant  a,  [3,  y  et  leurs  dérivées.  La  forme  de  ces  équations 
ne  suppose  rien  sur  la  fixité  ou  le  mouvement  des  axes  de  coordonnées,  de 
sorte  que  les  phénomènes  électromagnétiques  ne  dépendent  que  du  mouvement 


UFVUE   DKS   PUBLICATIONS.  23 

relatif  (les    milieux   ca    préscDec.   De   plus,   les  diverses  causes  agissantes   ne 
peuvent  donner  de  vitesse  relative  à  rélcclricité  vraie,  c'est-à-dire  à  la  quantité 

f\Tt\Ox        Oy        Oz  ) 

On  déduit  de  ces  formules  les  équations  de  l'induction  dans  les  circuits  fer- 
més. Une  élude  spéciale  est  faite  de  la  variation  [)roduite  au  contact  de 
deux  sul)slanc(>s  dilVérenles.  Puis  vient  le  calcul  des  forces  pondéromotriccs 
qui  résullont  d'un  élal  él<'(tromaf;néli(|U(:  et  électrodynamique  déterminé. 

On  arrive  ainsi  à  des  résultats  didéronts  des  formules  connues,  mais  dont  la 
vérilicalion  cxpérimenlalc  serait  difficile,  car  les  termes  sur  les(|uels  portent 
les  divergences  n'entreraient  en  jeu  que  dans  les  cas  où  les  phénomènes  élec- 
triques produiraient  des  déformations  appréciables. 

Hadamard. 


MATHEMATISGHE  ANNALEN,  publiées  par  F.  Klein,  W.  Dyck  et  A.  Mayer. 

Tome  XXXV;  1890  (i). 

Harnack  (A.).  —   Contribution  à   la    théorie  de   l'intégrale  de 
Cauclij.  (1-18). 

Ce  Mémoire  a  été  publié  en  i885,  dans  les  Berichte  der  k.  Sachs.  Ges.  cl. 
Wiss.  Si  la  fonction  a+  iv  d'une  variable  complexes  a  sur  le  contour  limitant 
une  région  plane  à  connexion  simple  ou  multiple  des  valeurs  fournies  par  l'ex- 
pression U  -H  iV,  l'intégrale  de  Cauchy 


—r-      I dz. 


prise  le  long  du  contour  limite  décrit  dans  le  sens  positif,  fournit  la  valeur  de 
la  fonction  en  tout  point  z  =^  x  -\-  iy  =  pe'"-  intérieur  à  la  région  considérée. 
L'auteur  étudie  les  relations  qui  existent  entre  les  fonctions  U  et  Y.  Il  monlre 
ensuite  comment  on  peut  former  une  fonction  u  satisfaisant  dans  une  région 

donnée  à  la  relation 

ô-  u       ô-  u 

1-  -T — ■  =  0, 

dx'       ôy^ 

et  possédant  sur  le  contour  limite  des  valeurs  données  par  l'expression  U, 
lorsque  U  admet  une  fonction  conjuguée  V  satisfaisant  aux  conditions  déter- 
minées précédemment.  Il  examine,  en  terminant,  le  cas  oi!i  le  contour  limite  est 
convexe,  cas  dans  lequel  la  convergence  des  développements  obtenus  s'établit 
immédiatement. 

Harnack  (A.),  —  Démonstration  de  l'existence  dans  la  théorie 
du  potentiel  sur  le  plan  et  dans  l'espace.  (ig-4o). 


(')  Voir  Bulletin,  tome  précédent. 


24 


SECONDE  PART 


Ce  Mémoire  a  été  publié  en  1886,  clans  les  BericJite  der  k.  Sachs.  Ces.  cl. 
Wiss.  L'aiilcur,  ayant  en  vue  la  démonstralion  de  l'existence  d'une  fonction 
luirnionique  ou  potentielle,  c'est-à-dire  d'une  fonction  satisfaisant  à  l'équation 

^"11  =  0, 

dans  une  région  déterminée  et  ayant,  sur  le  contour  limite  de  cette  région,  des 
valeurs  données,  considère  tout  d'abord  le  problème  dans  le  plan  en  ayant 
soin  de  donner  à  sa  démonstration  une  forme  qui  puisse  être  étendue  au  cas  de 
trois  ou  de  plus  de  trois  variables.  Ce  travail  constitue  un  développement  in- 
téressant des  travaux  de  Cbristoffel  {A/inali  cli  Matetn.,  t.  I^)  et  de  Schwarz 
(/.  de  d'elle,  t.  LXX);  il  a  d'ailleurs  été  publié  par  l'auteur  à  la  suite  du 
travail  sur  l'intégrale  de  Cauchj-,  cité  plus  baut,  où  la  question  se  présentait 
naturellement;  il  se  rattacbe  directement  au  programme  connu  de  Schwarz 
{Prog.  der  eidgen.  polytechn.  Schule,  1869-1870). 

Harnack  (A.).   —   Sur   la  représentation  d'une  fonction  quel- 
conque par  les  fonctions  de  Fourier-Bessel.  (41-62). 

Ce  Mémoire  a  été  publié  en  1887,  dans  les  Berichte  de?'  k.  Sachs.  Ges.  d. 
Wiss.  En  s'appuyant  sur  les  travaux  de  Cauchy,  de  Sturm  et  de  Liouville, 
Hankel,  dans  son  Mémoire  sur  quelques  applications  du  calcul  des  résidus 
de  Cauchy  {J.  de  Crelle,  t.  LXXXIX)  et  dans  son  Traité  des  fonctions  sphé- 
riques  (L  II,  p.  216)  est  arrivé  à  énoncer  le  problème  de  la  représentation  dans 
un  intervalle  fini  d'une  fonction  réelle  quelconque  par  des  séries  infinies  sous 
la  forme  suivante  : 

<(  Une  fonction  f{x)  peut  être  représentée  par  une  série  de  la  forme 


[ 


f{x)  Q{\,x)g{x)  dx 


2;e(X,^)         ^ 

X  /      [Ç){\x)Yg{x)dx 


où  %  prend  toutes  les  valeurs  fournies  parles  racines  d'une  équation  transcen- 
dante cî(X)  3=  o,  toutes  ces  racines  étant  simples  et  réelles,  dans  le  cas  où  les 
cinq  conditions  suivantes  sont  satisfaites,  » 

1°  Pour  toute  valeur  réelle  de  a,  l'intégrale  complexe 


/ 


(^  —  a)nj(x;) 


dz. 


prise  le  long  d'une  circonférence  de  rayon  infini  est  nulle.  Alors,  on  a  le  déve- 
loppement 

e(a,  3;)  _  Y      (■)()>.  3;) 

îD ( a  )      ~  ^  (a  —  À  )  cj'  (  À  )  ' 
h 


c'est-à-dire  que  la  fonction  0(a,  .r)  est  développable  en   une  série  infinie,  au 
nioyen  des  fonctions  0()i,  x). 

■i.°  Cette  série  doit  être  uniforménicnl  convergente. 


UIÎVUK    DES   PUBLICATIONS.  i5 

3"  Il  r.iiil  piiiivoir  (l(''l('i-iniiH'i-  une  l'oiiclioii  ,i,'(x)   Icllc  <|uc 


/     ^■i{'k,x)  (r){iJ.,a:)  ff{x)du; 

«^0 


oL    cf;aIo    à    zrro    lorsque   X   cl   \j.   sont   deux    liicincs    distincles  (1(;  rcfjiiation 
n(X)  =  o  cl  que,  pour  X  =  [x,  celle  inlégrale  est  différente  de  zéro. 
4°  L'intégrale 


/ 


X 

i-){ot.^  x)  g{x)  Cfi{x)  dx 

0 


ne  peut  être  nulle  pour  toutes  les  valeurs  réelles,  quelles  qu'elles  soient,  que 
l'on  altrihue  à  a,  sans  que  la  l'onction  ^{x)  soit  nulle,  du  moins  en  général, 
c'cst-à-tlire  (|ue,  dans  tout  intervalle,  si  petit  qu'il  soit,  il  csL  nécessaire  ({ue  la 
valeur  moyenne  de  ^  soit  zéro.  Si  ^{x)  est  continue,  sa  valeur  est  la  con- 
stante zéro. 

b°  La  série  écrite  comme  développement  de  f{x)  doit  être  uniformément 
convergente. 

Heine  a  appliqué  cette  proposition  au  développement  d'une  fonction  en 
série  de  fonctions  trigonométriques  et  de  fonctions  cylindriques  de  première 
espèce  du  second  et  du  troisième  ordre,  mais  il  n'a  pas  examiné  si  la  cinquième 
condition  était  remplie.  L'auteur  se  propose  ici  de  combler  cette  lacune  en 
suivant  une  marche  analogue  à  celle  employée  par  Liouville  dans  ses  deux 
Mémoires  Sur  le  développement  des  fonctions  ou  parties  de  fonctions  en 
séries  dont  les  divers  ternies  sont  assujettis  à  satisfaire  à  une  même  équa- 
tion différentielle  du  second  ordre,  contenant  un  paramètre  variable  {J.  de 
Liouville,  p.  iG  et  p.  4^8  ). 

Von  Gall.  —  Les  sjzjgants  irréductibles  d'une  forme  binaire  du 
sixième  ordre  qui  relativement  aux  coefficients  sont  de  degré 
supérieur  au  neuvième.  (63-8 1). 

Dans  le  tome  VII  de  VAmerican  Journal  of  Mathematics,  Hammond  a 
donné  les  syzygants  irréductibles  de  la  forme  binaire  «^  qui  contiennent  les 
coefficients  jusqu'au  neuvième  degré.  Stéphanos,  dans  le  tome  XGVI  des  Comptes 
rendus,  montra  comment,  à  l'aide  de  théorèmes  généraux  connus  relatifs  aux 
formes  gauches,  on  peut  former  un  nombre  illimité  de  syzygants  relativement 
simples,  dès  que  l'on  a  exprimé  au  moyen  des  formes  fondamentales  les  pre- 
mières et  les  secondes  transvections  des  formes  paires.  Stéphanos  a  donné  en- 
suite toute  une  série  de  résultats  dont  quelques-uns  étaient  d'ailleurs  connus 
déjà  et  a  montré  comment  on  pouvait  parvenir  à  des  syzygants  fondamentaux 
plus  complexes.  L'auteur,  en  appliquant  et  en  étendant  la  méthode  et  les  pro- 
cédés de  Stéphanos,  en  passant  directement  des  relations  simples  à  celles  d'un 
ordre  plus  élevé  et  en  appliquant  le  procédé  d'AronhoId,  l'opération  ô,  a  réussi 
à  déterminer  dans  le  grand  nombre  de  syzygants  que  l'on  obtient,  ceux  qui 
sont  irréductibles. 

Les  résultats  donnés  par  Sylvester,  dans  le  tome  IV  de  VAmerican  Journal, 
doivent  en  certains  points  être  corrigés.  Le  travail  contient  tous  les  résultats  et 
les  procédés  de  calcul  lorsqu'ils  diffèrent  de  <eux  de  Stéphanos. 


26  SECONDE  PARTIE. 

End  (W .\  —  Recherches  algéhriques  sur  les  surfaces  ayant  une 
courbe  en  commun.  (82-90). 

Ce  Mémoire  est  un  rcsunic  de  la  clisscrLalion  inaugurale  de  l'auteur  (T'm- 
bingue,  1887).  L'auleur  s'est  proposé  d'étendre  les  théorèmes  de  Bézout,  de 
Jacobi  et  de  Clebscli  aux  fonctions  de  trois  variables  ffui  s'annulent  pour  un 
nombre  /inl  de  système  de  valeurs  des  variables  en  même  temps  que  pour  un 
système  infini  de  valeurs,  ou,  en  s'exprimant  géométriquement  au  cas  de  trois 
surfaces  (|ui  ont  une  courbe  en  commun.  La  généralisation  se  fait  facilement 
en  partant  de  certains  résultats  dus  à  INutber  et  relatifs  aux  courbes  gauches 
(^Abh.  cl.  Berl.  Akad.  d.  Wiss.,  1882). 

Stàckel  (Paul).  —  Une  propriété  caractéristique   des   surfaces 
dont  l'élément  linéaire  ds  est  donné  par  la  formule 

(91-104). 

Les  surfaces  qui  admettent  un  élément  linéaire  de  la  forme  indiquée  ont  été 
d'abord  étudiées  par  Liouville  [  Sur  quelques  cas  particuliers  où  les  équations 
du  mouvement  d'un  point  peuvent  s'intégrer  {Journal  de  Liouville,  t.  XI 
et  XII)]  et  ont  fait  depuis,  comme  on  le  sait,  l'objet  de  nombreux  travaux.  On 
sait  que  le  mouvement  d'un  point  sur  une  surface  d'élément  linéaire  donné 
revient,  lorsqu'il  existe  une  fonction  des  forces  n(<7,,  q^),  à  la  détermination 
d'une  solution  complète  d'une  équation  aux  dérivées  partielles  de  Ilamilton. 

L'auteur  se  demande  ici  quelles  sont  les  équations  de  Ilamilton  qui  se  pré- 
sentent ainsi  et  qui  se  prêtent  à  la  séparation  des  variables.  Il  montre  que  les 
surfaces  de  Liouville  ont  la  propriété  caractéristique  que  pour  un  choix  con- 
venable de  la  fonction  des  forces,  l'équation  de  Ilamilton  répondant  à  l'élément 
linéaire  de  ces  surfaces,  se  prête  toujours  à  la  séparation  des  variables,  il  existe 
toujours  des  transformations  de  la  forme 

qui  transforment  cette  équation  en  lui  donnant  la  forme 

qui  répond  précisément  à  une  surface  de  Liouville  dont  l'élément  linéaire  est 

fourni 

ds'=[y.[p^)  +  'k {p, )]  ( dp]  +  dp:  ). 

Kôpcke  (Alfred).  —  Complément  au  Mémoire  intitulé  :  Sur  une 
fonction  continue  à  oscillations  dans  tout  intervalle  et 
admettant  partout  une  dérivée  (MatJi.  Ann.,  t.  XXXIV). 
(104-109). 

Les  résultats  donnés  dans  le  Mémoire  indiqué  étaient  justes,  mais  une  partie 
du  raisonnement  doit  être  modifiée. 


HRVUH  niiS  PUBLICATIONS.  ^7 

Pelerscn  [JiiKns).  —  Sur  \(\  nombre  fini  du  syslème  de  formels 
d'une  loiiMc  rondanieiilale  hinaire.  (i  lo-i  \'.>.). 

IlilltcMia  (IriMoiilrr  dans  le  loiuc.  WMIF,  p.  '.>'.>.3,  des  Matliematische  Annalcn, 
que  le  système  d'invarianls  d'une  forme  fondamctiLale  linéaire  était  fini  et 
Caylcy,  dans  le  tome  \\\IV,  a  simplifié  la  démonsiralion  et  appliqué  ses  rai- 
sonnements au  système  de  covariants.  La  démonstration  de  Cayley  contient  une 
erreur  que  sii^nale  l'auteur  ;  il  montre  comment  on  peut  modifier  la  démonstra- 
tion de  Ililbert  et  rap|)li(Hior  aux  demi-invariants. 

Werner  {flermann).  —  Détermination  des  y^lus  grands  sous- 
groupes  appartenant  au  groupe  projectif  qui  laisse  invariable 
une  équation  du  second  degré  à  n  variables,  (i  i3-i6o). 

Un  faisceau  de  transformations 

Xi  =  f-{x^,...,x,/,a^,...,a^),        {i  =  i,  ...,n), 

relatif  aux  variables  ^,,  ...,  x^  constitue,  d'après  Lie,  un  groupe  fini  continu 
de  transformations,  lorsque  deux  transformations  du  faisceau,  efTectuées  suc- 
cessivement, conduisent  à  une  transformation  appartenant  au  faisceau.  Les 
quantités  a^,  ...,  a^  sont  les  paramétres  du  groupe  et  un  groupe  présentant  r 
paramètres  essentiels  est  appelé  groupe  à  /•  termes. 

Une  transformation  est  infinitésimale  lorsqu'elle  est  de  la  forme 

xi=Xi-{-^^{x^,  ...,xj  ôt,        (i  =  1,  ...,n), 

où  Bt  est  une  quantité  infiniment  petite.  Cette  transformation  appliquée  à  une 
fonction  /  donne 

f{x\,...,x;,)=/{x,,...,xj+(^l,^]ôt, 


et  l'on  pose 


1 


comme  symbole  de  la  transformation  infinitésimale. 
Des  substitutions  infinitésimales  en  nombre  /• 


àf 


""'f^l^'-Â      (='  =  ■'•••''•) 


sont  dites  indépendantes,  quand  il  est  impossible  de  déterminer  r  constantes 
c,,  ...,  c^  en  sorte  que  l'expression 

c,X,/-i-...-+-c,X3/ 

soit  identiquement  nulle. 

Lorsque  les  transformations  d'un  groupe  à  /•  termes  peuvent  être  arrangées 
par  couples  de  transformations  inverses,  le  groupe  contient  la  transformation 
identique  et  /•  transformations  infinitésimales  indépendantes.  Les  transforma- 


28  SECONDE  PARTIE. 

lions  finies  résultent  de  la  répétition  faite  un  nonnbre  infini  de  fois  de  trans- 
formations infinitésimales.  Si  X,/,  ..,,  X^/  sont  des  transformations  infini- 
tésimales indépendantes  d'un  groupe  à  /-termes,  on  a  entre  les  expressions  X/ 

des  relations  de  la  forme 

// 

ôx. 
7=1  '         .y  =  1 


(X,,  XJ  =  X,[X,(/)]  -  XJX..(/)]  =  2!  [X.(^;v)  -  X.(M]  £  =-  2]  ^.-  ^'Z' 


où  les  quantités  c-^,  sont  des  constantes  numériques. 

Inversement,  si  l'on  a  entre  /•  transformations  infinitésimales  X,/,  ...,  X^/ 
les  relations  précédentes,  les  fonctions  X/  engendrent  un  groupe  de  transfor- 
mations à  /•  termes  fini  et  continu. 

Si  deux  groupes  à  /■  termes  X,/,  . . .,  X^/  et  Y,/,  . . .,  Y^/  correspondent  à 
un  même  système  de  constantes  c-.^,,  on  dit  que  les  deux  groupes  sont  égale- 
ment composés  ou  qu'ils  sont  hoioédriques  et  isomorphes. 

Deux  sous-groupes  à  m  termes  d'un  groupe  à  r  termes  sont  congrus  lorsque 
l'on  peut  les  transformer  l'un  dans  l'autre  par  une  transformation  du  groupe 
à  r  termes.  Si  une  équation  <^{x^,  ,..,a7„)  =  o  admet  une  transformation  infi- 
nitésimale 


-f  =  I.^S: 


àf 

«  =  i 


on  a  Xcp  =  o  seulement  lorsque  cp  =  o. 

Lie  a  montré  l'importance  des  sous-groupes  d'ordre  le  plus  élevé  et  a  déter- 
miné ces  sous-groupes  pour  le  groupe  projectif  général  à  n  variables. 

L'auteur  s'occupe  ici  de  la  construction  des  plus  grands  sous-groupes  pour 
le  groupe  projectif  à  n  variables  qui  laisse  invariable  une  équation  du  second 
degré  à  déterminant  différent  de  zéro.  Le  résultat  de  ces  recherches  est  con- 
tenu dans  le  théorème  suivant  : 

«  Le  groupe  projectif  continu  relatif  à  un  espace  du  second  degré  à  détermi- 
nant difierent  de  zéro  détaché  dans  l'espace  à  n  dimensions  ne  possède,  si  /i  =  4 

r  •  .1  1  ,  "  (  "  —  I  ) 
ou  SI  n  >  5,  aucun  sous-groupe  continu  possédant  plus  de h- i  para- 
mètres. Tout  sous-groupe  supérieur  est  caractérisé  par  ce  fait  qu'il  laisse  in- 
variable un  point  déterminé  de  Fj.  Il  n'y  a  que  dans  le  cas  de  }i  =  4  et  de  n  =  7, 
qu'existe  un  second  type  de  sous-groupes  supérieurs  qui  sont  caractérisés  par 
le  fait  que,  pour  eux  existe  un  espace  plan  d'ordre  supérieur  de  F^  qui  reste 
invariable  ». 

Pour  /i  =  3  et  /i  =  7,  il  existe  des  sous-groupes  possédant  un  paramètre  de 
plus  et  ces  sous-groupes  sont  caractérisés  encore  par  le  fait  que  pour  eux  un 
espace  plan  d'ordre  supérieur  de  F^  reste  invariable. 

Schur  [Friedrich).  —  Nouvel  exposé  de  la  théorie  des  groupes 
finis  de  transformations.  (161 -197). 

Exposé  très  simple  et  très  net  de  la  théorie  de  Lie  dans  ses  parties  fonda- 
mentales. Lie  a  reproché  à  l'auteur  d'avoir  parfois  altéré  sa  manière  de  voir; 
nous  croyons  que  l'étude  de  ce  travail  peut  cependant  être  faite  avec  fruit;  les 
théorèmes  s'y  détachent  et  leur  ensemble  conslilue  un  tout  des  plus  homo- 
gènes. 


lUîVUIi:    DKS   PUBLICATIONS.  29 

Pmrkhardt  {Heinricli).  —  Fondcmcnls  d'une  lliéoric  générale 
des  fonctions  liyperelliplirjues  du  premier  ordre  (d'après  les 
leçons  de  F.  i\leiii).  (i()S-'>,()()). 

Dans  les  hérons  faites  ;\  rilnivcrsiLc  de  floLtinj^cn  pendant  le  scnricstrc  d'hiver 
1S87-S8,  V.  Klein  s'était  proposé  d'étendre  aux  ("onclions  liyperelliptiques  du 
premier  ordre  une  série  de  considérations  qui  se  sont  montrées  des  plus  utiles 
dans  la  théorie  des  fonctions  cllipti(|ucs.  C'est  cet  ensemble  de  recherches  que 
i'aulcur  expose,  a|)rès  avoir,  comme  nous  l'indique  INT.  V.  Klein  dans  une  Note, 
mis  en  ordre,  revu  et  disposé  pour  la  publication  les  leçons  de  son  maître. 
Une  introduction  conticn(  tout  d'abord  une  série  de  notions  empruntées  à  la 
théorie  dos  intégrales,  puis  vient  une  classification  des  fonctions  hyperellip- 
tiqucs,  en  tout  point  analogue  à  celle  qui  se  présente  dans  l'étude  des  fonctions 
elliptiques  (division  en  échelons).  L'auteur  passe  ensuite  à  l'application  des 
principes  développés  précédemment  à  des  problèmes  plus  spéciaux,  en  particu- 
lier, à  la  question  de  la  division  et  de  la  transformation.  L'exposé  des  points 
de  vue  généraux,  des  propriétés  fondamentales  et  de  la  méthode  proprement 
dite  a  surtout  été  mis  en  lumière.  Le  développement  des  particularités  est  ré- 
servé pour  des  Mémoires  ultérieurs  qui  trouveront  ainsi  dans  ces  fondements 
une  base  solide. 

Les  fonctions  thêta  n'ont  pas  ici  été  introduites.  La  théorie  des  fonctions 
hyperelliptiques,  pour  être  faite  d'une  façon  complète,  nécessiterait  peut-être 
l'introduction  de  ces  fonctions,  mais  on  rencontre  alors  des  difficultés  sérieuses 
et  si  l'auteur  avait  voulu  les  surmonter  il  aurait  dû  donner  à  son  travail  un 
caractère  tout  différent  de  celui  qu'il  voulait  lui  conserver. 

PringsJieim  [Alfred).  —  Théorie  générale  de  la  divergence  et 
de  la  convergence  des  séries  à  termes  positifs.  (29^-394). 

C'est  à  Cauchy  {Analyse  algébrique,  182 1)  que  l'on  doit  les  premiers  crité- 
riums de  divergence  ou  de  convergence  des  séries  infinies  à  termes  positifs.  Ces 
critériums,  tout  aussi  bien  que  ceux  qui  sont  plus  précis  et  qui  ont  été  plus 
tard  formulés  par  Raabe,  Duhamel,  de  Morgan,  Bertrand,  Bonnet  et  Plucker 
ne  peuvent  être  considérés  que  comme  des  critériums  spéciaux;  ils  reposent 
tous,  en  efl'et,  simplement  sur  la  comparaison  du  /i'^™*  terme  de  la  série  avec 

le  terme  d'une  série  particulière  à'',  n^,  /^(log/i)^, C'est  Kummer  qui  a  le 

premier  établi  des  critériums  de  caractère  général  permettant  de  déterminer 
la  façon  dont  se  comporte  la  série  'La^  à  l'aide  de  certaines  relations  entre  le 
terme  a„  de  la  série  et  une  certaine  fonction  positive  ^{x)  soumise  à  des  con- 
ditions des  plus  restreintes.  Dini  {Annali  deW  Univers.  Tosc,  t.  IX,  1867)  est 
parvenu  à  généraliser  le  principal  critérium  de  Kummer  et  aussi  à  établir 
d'autres  types  de  critériums  généraux,  comprenant  comme  cas  particuliers  les 
critériums  spéciaux  cités  précédemment.  Paul  du  Bois  Reymond  a  retrouvé  les 
principaux  résultats  de  Dini  [Neue  Théorie  der  Convergenz  und  Divergenz 
von  Reihen  mit  positiven  Gleidern  {Journal  de  Crelle,  t.  LXXVI,  p.  Gi,  iS-yS, 
et  Comptes  rendus,  2*  semestre,  p.  941,  1888)]  et  a  essayé  de  donner  une  vé- 
ritable théorie  mathématique  de  l'étude  de  la  convergence  et  de  la  divergence. 
Les  recherches  de  Du  Bois  Reymond  contiennent  quelques  erreurs;  d'autre  part, 
l'auteur  estime  que  ses  travaux  laissent  au  point  de  vue  de  la  méthode  quelque 
chose  à  désirer,  les  résultats  pouvant  être  obtenus  d'une  façon  plus  simple  et 


3o  SliCONDR  PAUTIK. 

plus  logique;  il  csl  arrivé  (rnulrc  part  à  des  llicorcmos  plus  précis  et  plus  nels 
où  les  critériums  de  convergence  cl  de  divergence  se  ra[)prochent  davantage  et 
qu'il  expose  ici  lout  au  long.  Le  Mémoire  contient  une  séri(i  de  renseignements 
bibliographiques  des  plus  utiles  et  une  discussion  serrée  des  difTérenles  propo- 
sitions aux(|u('!l('s  sont  arrivés  les  auteurs  (jui  ont  traité  de  la  convergence  et 
de  la  divergence  des  séries.  Nous  ne  pouvons  analyser  un  tel  travail  :  nous 
devons  y  renvoyer  tous  ceux  qu'intéresse  l'étude  de  la  convergence  et  de  la  di- 
vergence des  séries. 

StaJil,  (  IVlUielm).  —  Sur  une  représentation  nouvelle  dti  résul- 
tant de  deux  formes  du  même  ordre.  (395-4oo). 

Bézout  a  montré  comment  on  peut  représenter  le  résultant  de  deux  formes 
linéaires  d'ordre  ii  par  un  déterminant  à  n*  éléments.  L'auteur  montre  comment 
on  peut  mettre  ce  résultant  sous  la  forme  d'un  déterminant  à  {n  —  i)'  éléments 
seulement.  Il  considère  d'abord  pour  plus  de  simplicité  deux  formes  du  qua- 
trième ordre,  il  montre  quelle  est  la  nature  des  éléments  qui  apparaissent  dans 
le  déterminant  d'ordre  3  auquel  il  arrive  alors;  puis  il  étend  immédiatement 
ses  résultats  au  cas  général. 

Vries  {Jean  de).  —  Sur  une  espèce  de  configurations  régulières. 

(401-422). 

Kantor  a  montré  {Sitzb.  d.  Wiener  Akad...  t.  LXX)  que  p  «y-gones  complets 
dont  les  sommets  sont  situés  sur  q  droites  issues  d'un  point  constituent  une 
configuration  spéciale  possédant  des  propriétés  remarquables.  Jung  {Ann.  di 
Mateni.^  t.  XII^)  a  été  conduit  par  des  considérations  statiques  à  attribuer  aux 
points  et  aux  droites  de  cette  configuration  des  symboles  qui  mettaient  nette- 
ment en  évidence  la  régularité  de  la  configuration  et  permettaient  en  outre  de 
la  décomposer  en  configurations  plus  simples  et  de  môme  nature.  L'auteur 
donne  dans  ce  Mémoire  la  démonstration  de  l'existence  de  ces  configurations  et 
applique  la  notation  de  Jung  à  des  décompositions  nouvelles  analogues  à  celles 
qu'il  a  déjà  rencontrées  dans  les  configurations  polyédrales  {Math.  Ann.^ 
t.  XXXIV,  p.  227). 

Killing  [TVilhelm).  —  Extension  de  la  notion  d'invariant  des 
groupes  des  transformations.  (423-432). 


Étant  donné  un  groupe,  toute  fonction  entre  les  coordonnées  d'un  ou  de  plu- 
sieurs points  d'un  espace  à  11  dimensions  qui  n'est  altérée  par  aucune 
transformation  du  groupe  peut,  d'une  façon  générale,  être  appelée  un  inva- 
riant. Avec  cette  définition,  tout  groupe  possède  des  invariants. 

Signalons,  en  particulier,  l'application  que  fait  l'auteur  de  ses  résultats 
(p.  430)  aux  géométries  Euclidiennes  et  non  Euclidiennes.  Les  conclusions  de 
deTilly,  qui  veut  fonder  la  théorie  de  l'espace  sur  la  notion  de  distance,  ne  ré- 
sultent pas  nécessairement  de  cette  notion  et  les  raisonnements  de  de  Tilly 
contiennent  implicitement  un  appel  à  l'évidence. 

WiltJieiss  [Ed.).   —    Une    opération    d'espèce   particulière    qui 
fournit  des  covariants.  (433-45o). 


IIRVUR   DFS   PURLICATIONS.  3i 

Oiiolcpios  rciuarqiios  sur  les  cciualions  aux  th-rivces  i)arlicllcs  (lui  se  pré- 
scnlcnl  dans  la  lli(W)rio  dos  fonctions  thùla  hypcrclliptiqucs  ont  conduit  l'auteur 
à  considérer  une  ()|)('ra(  ion  pari  ieulièri;  dt'duile  eouuiie  il  suit  de  |V)p(-ration  o 
de  Aronliolil. 

On  appli(iue  le  procédé  de  Aronliold,  relatif  à  uni-  fonction  contenant  les  va- 
riables \\,  c^  à  un  covariaut  où  les  variables  sont  «,,  itj,  puis,  l'opération  une 
fois  elVeclnée,  on  égale  les  deux  couples  de  variables  v,,  v.^  et  u^,  u^. 

L'auteur  représente  par      5      cette  opération,  et  il   montre  qu'il   existe  des 

opérations      6      qui,  appli(|uées  à  une  série  de  covarianls,  fournissent  des  cova- 

t'=:  Il 

riants  de  ménne  nature  et  que,  \n)\\v  obtenir  tous  les  covariants,  il  suffit  d'avoir 
recours  à  un  nombre  restreint  de  formes  et  non  i)as  à  toutes  les  formes  du 
système  complet. 

Le  Mémoire  ne  contient  qu'une  première  Partie  relative  aux  covariants  d'une 
forme  du  sixième  ordre. 

llligcns   {E')'   —   Stir  la    définition    des   nombres   irrationnels. 

Bertini  [E .).  —  Sur  un  théorème  de  Netto.  (4>j6)- 

L'auteur  montre  comment  on  peut  déduire  d'un  théorème  qu'il  a  donné  dans 
le  tome  XXXIV  (p.  44?)  des  Math.  Anii.  un  théorème  dû  à  Netto  {Acta  mat., 
t.  VII,  p.  ici)  relatif  aux  intersections  des  courbes. 

Weber  {H.).  —  Paul  du  Bois-Reymond. 

Paul  du  Bois-Reymond,  né  à  Berlin  le  2  décembre  i83i,  mort  à  Fribourg 
le  7  avril  1889,  est  bien  connu  par  ses  recherches  sur  les  équations  aux  dérivées 
partielles,  sur  la  série  de  Fourier  et  sur  la  théorie  des  fonctions. 

IL  Weber  donne  une  Notice  nécrologique  qui  est  suivie  de  la  liste  des  publi- 
cations de  P.  du  Bois-Beymond.  Celte  liste  contient  quelques  Mémoires  d'His- 
toire naturelle  (du  Bois-Reymond  devait  d'abord  être  médecin)  et  une  série 
de  publications  mathématiques. 

PocJiJiammer  {L.).  —  Sur  une  intégrale  à  double  circuit.  (47O" 

494)- 

L'auteur  considère  l'intégrale  ff{u)  du  prise  le  long  d'une  ligne  qui  tourne 
autour  de  deux  points  de  ramification/?  et  q  et  est  décrite  comme  il  suit  : 

La  courbe  part  d'un  point  c  ordinaire,  tourne  autour  du  point  q  dans  le 
sens  positif,  puis  autour  du  point />>  dans  le  même  sens,  ensuite  et  dans  la  direc- 
tion négative  autour  du  point  q  et  dans  la  même  direction,  autour  du  point/?. 
A  un  tel  chemin  correspond  une  intégrale  à  double  circuit  {mit  doppelteni 
Umlauf).  Les  fonctions  /(u)  considérées  peuvent  être  mises  sous  la  forme 

f{u)  =  {ii-pr'^{u-qy-^'^{u), 

où  'j  est  une  fonction  univoque  de  u  dans  le  voisinage  des  points  p  et  q.  Si 

l'intégrale    /      /(  w  )  c/«,  lorsqu  elle  a  un  sens,  satisfait  à   une  équation  diflé- 


3-2  SECONDE  PARTIE. 

rentielle    liiiéaiic   homogène,  l'inlégralc  considtTc    ici    peut    (Hrc    subslituéc  à 

r'I 
l'intégrale     /       f{u)du  dans  les  cas  où  cette   intégrale  n'a   plus  de  sens,  par 

suite    de   la    façon   dont  se  comporte  la  fonction  f{u)  dans  le   voisinage  des 
points  des  discontinuités  u  =  p  et  u  =  q.  Il   est  alors  possible  de  remédier  à 
certains  défauts  que  présente  presque  toujours  l'emploi   des  intégrales  définies 
pour  la  représentation  de  la  solution  des  équations  difTérentielIes  linéaires. 
L'auteur  examine  aussi  le  cas  d'une  fonction 

une  portion  du  contour  comprenant  le  point  p  et  l'autre  toutes  les  singularités 
de  la  fonction  F(w),  ce  contour  étant  d'ailleurs  encore  décrit  comme  dans  le 
cas  précédent. 

L'auteur  applique  ses  résultats  à  l'équation  différentielle  de  la  série  hyper- 
géométrique  où  les  intégrales  à  double  circuit  permettent  de  donner  une  solu- 
tion générale;  les  intégrales  définies  employées  d'ordinaire  ne  peuvent  être 
appliquées  dans  le  cas  où  il  y  aurait  divergence,  mais  elles  sont  remplacées 
par  des  intégrales  à  double  circuit  ayant  toujours  un  sens  déterminé. 

Pochhaminer  {L.).  —  Sur  la  ihéorie  des  intégrales  eiilériennes. 

(495-526). 

L'emploi  des  intégrales  à  double  circuit  étudiées  dans  le  Mémoire  précédent 
est  ici  appliquée  aux  intégrales  eulériennes.  En  ce  qui  concerne  les  intégrales 
de  première  espèce,  que  l'auteur  représente  par  le  symbole  E(«,  b),  où 

l'auteur  considère  l'intégrale 

(è^{a,b)=   ji—  uY-'{u—i)''-'du, 

où  il  s'agit  d'une  intégrale  à  double  circuit  relativement  aux  deux  points  o  et  i 
et  la  relation  entre  les  deux  fonctions  est  donnée  par  la  formule 

05'''  {a,  b)  — —  \  sin-rt  b\n~bE{a,b). 
Relativement  à  la  fonction  T{a),  l'auteur  est  conduit  à  considérer  l'intégrale 

r(a)  =    /  e''^"-'  du, 

où  l'intégrale  est  prise  le  long  d'une  ligne  partant  de  —  qc  venant  jusque  dans 
le  voisinage  du  point  o,  qui  tourne  autour  du  point  o  et  s'éloigne  à  l'infini 
dans  la  direction  négative  de  l'axe  réel.  La  relation  entre  les  fonctions  F  (a)  et 

r(rt)  est  donnée  par  la  formule 

r  (a)  =  21  sinT:  aT  {a). 

L'auteur  applique  de  nouveau  les  résultais  qu'il  obtient  à  la  série  hyper- 
géométrique. 


in:vur:  diîs  piiiiMCATiONS.  33 

Sc/i('i/iflics  (yi.)-    —   Sui'    mic   classe    spéciale   de  cfonfignralion 
Iracéc  sm*  les  roiiibcs  iioiinalcs  elliplicjucs  du  //""'•■  ordre.  (-^^-7- 

Dans  les  Gotlinger  Nachriclitcn,  l'aulcur  a  montré  l'cxislcncc  sur  les  courbes 
<hi  troisième  ordre  de  configuralions  «i,  formées  de  cycles  de  polygones  alterna- 
livemenl  inscrits  et  circonscrits.  Il  y  a  de  telles  configurations  en  nombre  in- 
lii)i  sur  les  courbes  du  troisième  ordre.  Si  l'on  exprime  les  coordonnées  de  la 
courbe  générale  C,  en  fonctions  elliptiques  d'un  paramètre  u  et  en  sorte  que 
îf  =  o  corresponde  ù  un  point  d'inflexion,  les  points  de  la  configuration  ont, 
en  général,  des  arguments  qui  sont  avec  une  quelconque  des  périodes  j)riini- 
lives  de  la  courbe  dans  un  rapport  rationnel. 

Il  y  avait  encore  à  examiner  ce  qui  se  passe  dans  le  cas  d'exception.  C'est  ce 
que  fait  ici  l'auteur.  De  plus,  il  généralise  ses  conclusions  qui  peuvent  être 
étendues  aux  courbes  normales  elliptiques  du  /i'*™^  ordre,  c'est-à-dire  aux 
courbes  tracées  dans  l'espace  à  /t  —  i  dimensions  et  dont  les  coordonnées  homo- 
gènes x^,  X,,  . . .,  ^„_,  sont  données  par  les  formules 

px^=  \U  <i(u  —  a-), 


avec  les  conditions 


p^„_,=  Nn  a («  —  /?,.), 
Sa  =  Zb,..=  Zn. 


La  détermination  des  arguments  répondant  aux  points  des  configurations  qui 
se  présentent  alors  est  fournie  par  des  équations  linéaires.  En  général,  le  déter- 
minant de  ces  équations  est  difTérent  de  zéro.  S'il  est  égal  à  zéro,  on  est  dans  le 
cas  d'exception.  Alors  encore  existent  des  configurations  que  l'auteur  déter- 
mine. Ces  recherches  sont  en  relation  avec  les  études  de  Kantor  et  de  J.  de  Vries 
sur  les  configurations. 

Scheeffer  [Ludwig).  —  Théorie  des  maxima  d'une  fonction  de 
deux  variables.  (041-576). 

Ce  Mémoire  a  été  publié  en  1886,  dans  les  Berichte  der  k.  Sachs.  G.  de?'  W., 
par  A.  Mayer,  d'après  les  manuscrits  laissés  par  l'auteur.  Les  résultats  inté- 
ressants qu'il  contient  ont  conduit  la  rédaction  des  Matheniatische  Annalen 
à  la  reproduire  ici. 

Krausse  {Martin).  —  Sur  le  développement  des  fonctions 
doublement  périodiques  de  troisième  espèce  en  séries  trigono- 
métriques.  (Quatrième Mémoire.)  (377-587). 

Dans  trois  autres  Mémoires  parus  dans  les  tomes  XXX,  XXXIl  et  XXXIIÏ 
des  Matheniatische  Annalen,  l'auteur  a  montré  que  la  question  du  développe- 
ment en  séries  trigonométriques  des  fonctions  elliptiques  de  troisième  espèce 
se  ramène  à  l'expression  sous  cette  même  forme  des  fonctions 

.^„(/np-h  ma,  m-)  ^^  ■^^{v  —  a) 


^^{v,-.)  ?:.{v  —  b)^.^{oiv,ni-) 

Bull,  des  Sciences  mat/ieni.,  2"  série,  t.  XIX.  (Février  i8(}.').) 


3^  SliCONDlî:   1»AUTIR. 

Hclalivciricnt  à  la  jncniirre  forme  le  proltièinc  a  été  résolu  de  diiïérenle.s 
façons;  l'aiileiir  s'oeciipe  ici  des  fondions  de;  la  seeondc  forme  et  parvient  à  les 
développer,  soiL  indiieclemenl  par  rinlroduelion  de  fondions  dues  à  Appcll, 
soit  directement  et  ii  retrouve  alors  des  résultats  dus  en  [)arlie  à  Appell. 

Korhine  {A.).  —  Sur  les  Cartes  géographiques.  (588-6o4). 

Honnet  {Journal  de  Lioiiville,  t.  XVII,  1852)  a  montré  que,  si  l'on  veut  re- 
présenter une  sphère  sur  le  plan  en  imposant  la  condition  générale  que  le  rap- 
port de  deux  régions  correspondantes  soit  constant  et  la  condition  })articulière 
que  les  méridiens  et  les  parallèles  sur  la  Carte  soient  perpendiculaires  entre 
eux,  on  est  conduit  à  la  considération  d'une  équation  aux  dérivées  partielles 
du  second  ordre. 

L'intégration  de  cette  équation  n'a  pas  été  donnée.  L'auteur  en  reprend  ici 
l'étude  après  l'avoir  mise  sous  la  forme 

/•  t 

1 =0. 


Tome  XXVI,  1890. 

Klein  {F.).  —  Sur  la  théorie  des  fonctions  abéliennes.  (i-83). 

Dans  le  tome  XXXII  des  Mathematische  Annalen,  l'auteur  a  présenté  un 
résumé  de  ses  recherches  sur  les  fonctions  hyperelliptiques  d'un  nombre  quel- 
conque de  variables  ;  il  a  depuis  exposé  dans  ses  leçons  la  théorie  des  fonctions 
abéliennes  et  il  est  parvenu  à  donner,  en  ce  qui  concerne  ces  fonctions  et  en 
partant  de  l'étude  de  la  forme  algébrique  qui  sert  à  les  déterminer,  une  défi- 
nition des  fonctions  thêta  et  un  résumé  de  leurs  propriétés  en  tout  point  ana- 
logue à  ce  qui  a  été  fait  pour  les  fonctions  hyperelliptiques.  Aucune  difficulté 
ne  s'est  présentée  dans  les  questions  où  les  modules  de  la  forme  algébrique 
considérée  étaient  supposés  donnés  ;  mais,  si  l'on  considère  les  modules  comme 
variables,  il  a  été  nécessaire  de  limiter  la  question  au  cas  de  p  =  Z.  De  là  ré- 
sulte la  division  du  présent  Mémoire  en  deux  Parties.  Dans  la  première,  il 
s'agit  des  fonctions  abéliennes  générales;  dans  la  seconde  on  n'examine  que  le 
cas  de  /?  =  3.  Les  principaux  résultats  contenus  dans  ce  Travail  d'ensemble 
ont  été  publiés  déjà  par  l'auteur,  en  particulier  dans  les  Gottinger  Aachri- 
cliten  :  Sur  les  covariants  irrationnels  (Mars  1888)  et  Sur  la  théorie  des 
fonctions  abéliennes,  I  et  II  (Mars  et  Mai  1889),  dans  les  Comptes  rendus  : 
Formes  principales  sur  les  surfaces  de  Biemann  (Janvier  1889);  Des  fonc- 
tions thêta  sur  la  surface  générale  de  Riemann  (Février  1889)  et  dans  une 
Note  des  Proc.  of  the  London  Math.  Soc.  de  Février  1889. 

Nous  ne  pouvons  songer  à  donner  ici  une  idée  de  l'ensemble  des  résultats 
condensés  par  l'auteur  dans  ces  quatre-vingts  pages.  Tous  ceux  qui  ont  quelque 
idée  des  travaux  de  M.  Klein,  tous  ceux  qui  connaissent  la  manière  toute  par- 
ticulière avec  laquelle  il  sait  rendre  simples  et  presque  évidents  les  faits  ma- 
thématiques les  plus  complexes  au  premier  abord  sont  heureux  de  voir  se 
poursuivre  ces  publications  où  l'auteur  se  dépasse  à  chaque  pas  et  sait  toujours 
trouver  du  nouveau. 


Ul'VlIb:    mis   PIIUIJCATIONS.  3) 

P()chfi(un!)irr  {!..).   —  Sur   riWjiialion    (lifîcrcnliclK;   Iiii(';iii<;   du 
second  oi'drt;  à  (M)cfli(;icnls  liii(';iircs.  (S'|-()()). 

L'c(Iiiation  cliircrcnliellc  linéaire  (rivulcr  {Instituliones  Calculi  integralis, 
t.  Il,  î:^  1()3G),  inisr  sous  forme  normale 

d'y       ,  .(Iv 

a  deux  inléi,'rales  Condamentales  (|ui  peuvent  èlre  mises,  en  général,  sons  la 
lorme 

\ /     r;" •■///'■•  (i  —  uY'i   "--^  du 

\\  (a,  p  —  a  )  y^, 

el 

]<.  (  a  —  p  -,-  1 ,  1  —  a  )  J^ 

où  E(a,6)  représente  l'intégrale  enlérienne  de  première  espèce  [dont  le  sym- 
bole est  pris  d'ordinaire  sous  la  forme  B(a,  ô)].  Mais,  pour  que  les  deux  inté- 
grales aient  un  sens,  il  faut  que  les  parties  réelles  de  a  et  de  p  —  a  soient 
comprises  entre  o  et  r.  Spitzer,  dans  ses  Études  sur  les  équations  différen- 
tielles linéaires,  a  déjà  montré  comment  on  pouvait  ramener  le  cas  général  au 
cas  où  les  conditions  énoncées  précédemment  sont  satisfaites;  les  calculs  sont 
longs  et  pénibles. 

L'auteur  applique  à  la  question  précédente  une  méthode  semblable  à  celle 
qu'il  a  proposée  dans  le  tome  précédent  des  Mathematische  Annalen  (p.  47'' 
et  495),  en  particulier  pour  l'équation  diiïcrentielle  du  second  ordre  de  la  série 
hypergéométrique.  Dans  sa  méthode,  les  deux  intégrales  fondamentales  se 
présentent  au  même  titre  et  sont  mises  sous  forme  d'intégrales  définies  prises 
le  long  d'une  courbe  partant  de  —  oo,  entourant  les  points  o  et  ,27  et  revenant 
à  —  X. 

Wolffing  [Ernst),  —  Sur  les  covariants  hessiens  d'une  fonction 
entière  et  rationnelle  de  formes  ternaires.  (100-120). 

Brill  {Math.  Ann.,  t.  XIII,  p.  lyS)  a  montré  que  le  covariant  hessien  d'une 
forme  ternaire  peut  être  obtenu  en  ordonnant  cette  forme  suivant  les  puis- 
sances des  variables  servant  à  établir  l'homogénéité  et  en  exprimant  le  hessien 
à  l'aide  des  transvections  des  formes  binaires  qui  se  présentent  alors  comme 
coefficients.  Cette  méthode  a  été  utile  dans  plusieurs  cas,  par  exemple  dans 
l'étude  des  singularités  des  courbes.  L'auteur  a  été  conduit  à  se  poser  alors  le 
problème  général  suivant  :  «  Si  l'on  se  donne  une  forme  ternaire  composée 
rationnellement  avec  des  formes  ternaires,  par  exemple  un  produit  de  deux  ou 
de  plusieurs  formes,  quelle  est  la  nature  de  la  hessienne  correspondante? 
Cette  hessienne  est  en  tout  cas  un  covariant  simultané  des  formes  données  et 
il  y  a  lieu  alors  de  l'exprimer  en  fonction  des  invariants  et  des  covariants 
contenus  dans  le  système  complet  des  formes  fondamentales.  La  solution  du 
problème  général  peut  être  donnée  même  pour  des  formes  d'ordre  supérieur 
dont  le  système  complet  n'est  pas  connu;  elle  est  contenue  dans  quatre  for- 
mules fondamentales  établies  dans  le  §  l  du  Mémoire.  L'auteur  examine  ensuite 


36  SECONDE  PARTI K. 

quelques  cas  particuliers  cL  complèlc  alors  la  solution  pour  pouvoir  en  faire 
(les  applications  nombreuses  et  importantes  exposées  sous  forme  géométrique. 
Il  retrouve  au  milieu  de  propositions  nouvelles  renoncé  de  propositions  dues 
en  partie  à  Salrnon,  en  partie  à  Clehsch-Lindcmann.  Il  étudie  en  terminant 
certaines  singularités  des  courbes  relativement  auxquelles  la  liessiennc  se  com- 
porte d'une  façon  anormale,  par  exemple  dans  le  cas  où  la  courbe  considérée 
présente  deux  branches  tangentes  entre  elles,  les  courbures  des  deux  branches 
étant  égales  et  de  sens  contraires,  dans  le  cas  où  il  y  a  un  point  d'ondulation, 
ou  trois  branches  tangentes  entre  elles,  ou  encore  deux  points  de  rcbroussc- 
mcnt  ayant  la  même  tangente. 

Eherhard  (  F.).  —  Un  théorème  de  topologie.  (i2i-i33). 

Steiner  s'est  occupé  {Journal  de  Crelle,  t.  I)  de  la  détermination  du 
nombre  des  régions  que  déterminent  dans  le  plan  ou  dans  l'espace  un  nombre 
déterminé  de  lignes  ou  de  circonférences,  de  plans  ou  de  sphères.  La  question 
a  été  reprise  depuis  par  Roberts  dans  les  Proceed.  of  the  London  Math.  Soc, 
t.  XIX.  L'auteur  examine  le  cas  d'un  espace  d'un  nombre  quelconque  de 
dimensions.  Il  retrouve,  en  particulier,  une  proposition  relative  aux  polyèdres 
tracés  dans  l'espace  à  n  dimensions  qui  a  déjà  été  donnée  par  Stringham 
{American  J.  of  Math.,  t.  III  :  Figures  régulières  dans  l'espace  à  n  dimen- 
sions)', par  Biermann  {Berichte  d.  Wiener  Ak.  d.  W.,  t.  XC  :  Sur  les  corps 
réguliers  de  dimensions  supérieures);  par  Hoppe  {Grunert's  Arc,  t.  LXVII) 
et  par  Schlcgel  {Nova  Acta  Leop.  Car.  Acad.  d.  Naturf.,  t.  XLIV).  (Depuis 
encore  cette  proposition  a  été  retrouvée  par  Poincaré).  Le  théorème  qui 
constitue  une  généralisation  du  théorème  d'Euler  est  énoncé  de  la  manière 
suivante  :  «  Dans  un  polyèdre  situé  dans  l'espace  à  p  dimensions  déterminé 
par  des  espaces  linéaires,  le  nombre  des  régions  limites  de  dimension  impaire 
diminué  du  nombre  des  régions  limites  de  dimension  paire  est  égal  à  o  ou 
à  2  suivant  que  p  est  pair  ou  impair».  Il  est  peut  être  préférable  de  donner  à 
la  proposition  une  forme  applicable  au  cas  où  p  est  quelconque  et  où  n'appa- 
raît pas,  suivant  l'expression  de  Listing,  un  2  mystérieux.  En  désignant  par  E^ 
le  nombre  des  régions  limites  de  dimension  /•,  on  a  la  relation 


^^C-i^E,-!, 


pourvu  que  l'on  pose  E   =  i.  Il  n'y  a  plus  alors  à  distinguer  entre  le  cas  de 
p  pair  et  de  p  impair.  » 

IViltheiss   {Ed.).   —  Une   opération   d'espèce   particulière   qui 
fournit  des  covariants.  (i34-i53). 

Seconde  Partie  du  Mémoire  commencé  dans  le  volume  précédent.  L'auteur 
applique   ici   le   procédé   déduit   du   procédé  6  de  Aronhold  et  qu'il  désigne 

par  à  la  formation  des  covariants  simultanés  de  deux  formes  cubiques. 

u  =  V 

Il  avait  été  conduit  à  cette  opération  par  l'étude  des  équations  aux  dérivées 

partielles  qui   se  rencontrent  dans  la   théorie  des  fonctions  thêta  à  deux  va- 


RKVUK   DES   PUBLICATIONS.  3; 

rial)lcs.    II    munlrc    coiiuucnL   le   dévcloppcinciil.  en   série  des   foncUons   llicLa 
paires  ù  deux  variables  se  ramène  h  un  calcul  des  plus  simples. 

Sfroh  (/>'.).  —  R<'m;u'(|nc  sur  le  Mciiiolrc  de  von  (jall  rclaLil"  aux. 
syzji^nnts  ("oiulaniciiLaiix  de  deux  formes  binaires  l)i([uadrali(]ues 
sinuiltanées.  (i54-i5G). 

Ilanuuond  avait  énoncé  la  proposition  que  tout  syzygant  fondamental  irré- 
ductible doit  contenir  une  combinaison  binaire  des  formes  fondamentales.  Dans 
le  tome  \\\IV  (p.  332)  des  Mathemalisclie  Annalen,  von  Gall  avait  donné 
un  exemple  qui  paraissait  en  contradiction  avec  ce  théorème,  mais  il  n'était 
pas  démontré  que  la  méthode  de  von  Gall  fournissait  tous  les  syzygants  et  on 
pouvait  croire  qu'une  autre  méthode  donnerait  relativement  aux  formes  du 
quatrième  ordre  des  syzygants  répondant  à  l'énoncé  de  Ilammond.  L'auteur 
montre  que  cela  est  impossible  :  il  n'existe  aucun  syzygant  fondamental  con- 
tenant le  terme  D-.  Le  théorème  de  Hammond  n'est  donc  pas  général. 

Peano  (G.).  —  Sur  une  courbe  qui  remplit  toute  une  aire  plane. 

(i5--i6()). 

Dans  cette  Note,  l'auteur  détermine  deux  fonctions  a;  et  y,  uniformes  et  con- 
tinues d'une  variable  réelle  t,  qui,  lorsque  t  varie  de  o  à  i,  prennent  tous  les 
couples  de  valeurs  satisfaisant  aux  inégalités  o^o^^i  et  oSyS-i. 

Killing  [Willielm).  —  La  composition  des  groupes  de  transfor- 
mation finis  et  continus.  (Quatrième  Partie.  Fin),  (i 61-189). 

Suite  des  Mémoires  publiés  dans  le  même  journal  (t.  XXXI,  p.  252-290; 
t.  XXXIII,  p.  j-48;  t.  XXXIV,  p.  57-122). 

Mascilke  (^Heinricli).  —  Sur  une  configuration  remarquable  de 
droites  dans  l'espace.  (igo-2i5). 

On  peut  définir  une  droite  de  Tespace  par  six  paramètres  p  entre  lesquels 
existe  une  relation  homogène  du  second  degré  ou  encore,  comme  l'a  fait  Klein 
{Matli.  Ann.,  t.  XXVIII,  p.  20G),  par  des  coordonnées  surabondantes  x^^,  ..., 
x^  en  nombre  égal  à  7  satisfaisant  aux  équations 

2^.=:  o,        SxJ  =  o. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  deux  droites  x' .  x"  se  ren- 
contrent est  donnée  par  l'expression 

T.  '  " 

11X^X^=0. 

On  peut  toujours  ramener  une  équation  linéaire  homogène  entre  les  7  coor- 
données X, 

Va.:c,.=  0, 


à  être  telle  (juc  la  somme  Sa^  soit  nulle;  on  appelle  -aj  l'invariant  du  co 


m- 


38  secOxNdiî:  PAirriK. 

picxc  et  Sa. p.  l'invariant  simultané  de  deux  complexes  dont  les  équations  sont 
supposées  mises  sous  forme  normale. 

Une  droite  définie  par  les  coordonnées  a?,,,  . . .,  x^  fournit,  si  l'on  cfTectue  sur 
ces  coordonnées  une  p(;rmulation  (juelcon<iue,  un  nombre  total  de  droites  égal 
à  7!  On  obtient  une  conliguration  particulière  contenant  un  bien  moins  grand 
nombre  de  droites  en  supposant  que  deux  triplais  de  trois  coordonnées  des 
droites  soient  respectivement  égaux.  Les  valeurs  des  coordonnées  sont  alors 

3,     ).,     >.,     ).,     [X,     IX,     ix, 

où  >v  et  ;x  sont  racines  de  l'équation 

Z'-h  Z  -ir  ■!  =  0 

et  le  nombre  des  droites  se  réduit  alors  à 

3!"l!  =  '^'' 

C'est  la  configuration  constituée  par  l'ensemble  de  ces  droites  qu'étudie  l'au- 
teur :  rencontre  des  droites  entre  elles,  points  de  rencontre,  plans  fondamen- 
taux, combinaisons  de  droites,  de  points  et  de  plans  définis  par  la  configura- 
tion, etc. 

Study  {E.).  —  Stir  les  points  d'intersection  des  courbes  algé- 
briques. (216-229). 

Olivier  a  donné  dans  le  Journal  de  Crelle  (t.  70,  p.  i5G,  et  t.  71,  p.  i)  une 
série  de  théorèmes  sur  les  courbes  algébriques  qui  sont  des  cas  particuliers  de 
la  proposition  générale  suivante  : 

Si,  sur  une  courbe  algébrique  G"  d'ordre  n,  on  considère  quatre  groupes  de 
points  rt,  b,  y,  0  tels  que  a  cl  b  sont  résiduels  relativement  à  y  et  ô,  en  sorte 
que  les  points  des  couples  (a,  y),  (a,  S),  {b,  y),  {b,  8)  constituent  chacun  un 
système  complet  de  points  d'intersection  de  C"  relativement  avec  C,  C'", 
C"'i,  Cl,  les  groupes  de  points  c/,  c,  j3,  a  suivant  lesquels  se  rencontrent  en 
dehors  des  points  déjà  considérés  les  courbes  C^  et  C'"i,  G"'  et  C'i,  G'  et  G'", 
G^  et  G'"i  sont  situés  sur  une  courbe  G"i  dont  l'ordre  est  déterminé  par  les 
relations 

/  +  /,=  /?«  +  /?/,  =  n  -h  /?,. 

Ce  théorème  n'est  pas  nouveau.  Il  est  contenu  dans  les  recherches  de  Brill 
et  Nôther  (Math.  Anii.,  t.  XII,  p.  278).  C'est  ce  que  montre  ici  l'auteur.  Il 
donne  ensuite  des  applications  telles  que  celles  d'Olivier. 

Brill  (A.).  —  Sur  les  courbes  rationnelles  et  les  surfaces  réglées. 

(230-238). 

Ce  Mémoire  a  été  publié  d'abord  dans  les  Sitzb.  der  k.  bayr.  Akad.  d.  W., 
i885.  Si  n—  2  est  divisible  par  3,  à  toute  courbe  gauche  rationnelle  C„  d'ordre  n 

correspond   une  courbe  gauche  déterminée  de  classe  p  —  — —  iIn»   '"'   cor- 


UFVUR    DI'IS   PUULICA  FIONS.  39 

rcspoiul  nniv()(|iioiH(nil,  on  soiLo  <iiic  cliacuii  de  ses  plans  ilDsculuLion  passe  par 
le  point  (lo  C„  (|ui  lui  est  conjugué.  Si  n  —  i  ou  bien  n  est  divisible  par  3,  il  y 
a   un  système  siniplcinont  infini  dans  le  premier  cas,  doublement  infini   dans 

\c  second  de  eourbcs  gauches  de  classe  égale  respectivement  à  —   -  et  à  —  qui 

O  ô 

jouissent  de  la  nième  propriété.  La  courbe  gauche  générale  rationnelle  d'ordre  n 

peut  élre  engendrée  par  l'intersection  de  plans  correspondant  h  trois  courbes 

rationnelles  entre  les(iuelles  existe  une  correspondance  univoque  et  qui  sont 

,       ,  n         ,  .       n  —  '.'.        /?  H-  I         ,  .       /?  —  I         n  —  2 

(le  classe  —  ou  bien  — ,:      et  — - —  ou  bien  — - —  et  — ^ — 

Le  nombre  des  constantes  distinctes  contenues  dans  la  surface  gauche  ra- 
tionnelle d'ordre  n  est  égal  à  (\n  -h  i,  etc. 

Killing  (IVilhelm).  —  Détermination  des  plus  grands  sous- 
grouges  des  groupes  de  transformation  finis.  (289-254). 

Lie  a  remarqué  depuis  longtemps  que  la  détermination  de  tous  les  sous- 
groupes  ne  dépend  que  de  la  composition  du  groupe  et  que,  par  suite,  la  con- 
naissance des  quantités  c,^p  suffit  pour  fournir  les  sous-groupcs.  Il  y  a  donc 
lieu  de  se  proposer  de  déduire  de  la  connaissance  de  ces  quantités  c  les  diffé- 
rents sous-groupes  sans  avoir  recours  à  la  formation  explicite  du  groupe 
correspondant.  L'auteur,  en  partant  de  ces  remarques,  arrive  à  des  propositions 
telles  que  les  suivantes  : 

«  Tout  groupe  à  r  termes  de  rang  un  contient  des  sous-groupes  à  /•  —  i  termes; 
et  même,  si  un  groupe  à  /•  termes  se  décompose  et  que  l'un  des  groupes  de 
décomposition  soit  de  rang  un,  le  groupe  donné  contient  toujours  des  sous- 
groupes  à  /'  —  I  termes. 

»  Si  un  des  plus  grands  sous-groupes  d'un  groupe  donné  contient  une  transfor- 
mation de  caractère  général,  il  contient  aussi  toutes  les  transformations  con- 
tenues dans  les  groupes  et  qui  sont  permutables  avec   cette  transformation.  » 

Ilammoncl  [James).  —  Une  démonstration  simple  de  l'existence 
d'invariants  irréductibles  des  degrés  20  et  3o  pour  la  forme 
binaire  du  septième  ordre.  (  255-26 1). 

L'auteur  considère  la  forme  particulière 

(a,  o,  o,  0,  o,  /,  o,  o){x,  yY; 

il  est  alors  facile  de  calculer  un  invariant  irréductible  du  2o«  ordre,  1^,0=  ^*/"« 
La  même  forme  permet  aussi  de  démontrer  l'existence  d'un  \^^  (von  Gall  a 
montré  qu'il  y  a  deux  invariants  irréductibles  de  degré  20  et  un  de  degré  3o). 
L'auteur  donne  alors  la  fonction  génératrice  des  covariants  de  la  forme  binaire 
du  7*  ordre. 

Stroh  [Emil).  —  Sur  la  représentation  symbolique  des  sjzygants 
fondamentaux  d'une  forme  binaire  du  sixième  ordre  et  sur  une 
extension  de  la  symbolique  de  Glebsch.  (262-3o3). 

Tcrrin    et    Stephanos  (  C    //.,   l.   XCVI).   Hammond   {Amer.  J.   of  Math., 


40  SECONDE   PARTIE. 

t.  VII)  et  von  Gall  {Math.  Atin.,  t.  XXXV)  ont  élabli  l'existence  de  io!\  syzy- 
gants  irréductibles  de  la  forme  binaire  du  6"  ordre.  L'auteur  établit  ici  que  ces 
2o4  syzygants  sont  exprimables  à  l'aide  de  ii  syzygants  élémentaires. 

Dans  la  seconde  Partie  du  Mémoire,  l'auteur  développe  une  extension  de  la 
symbolique  de  Clebscli  qui  permet  de  faire  rentrer  dans  le  domaine  de  la  mé- 
thode symbolique  les  travaux  récents  de  Cayley,  de  Mac-.Mahon,  etc.,  sur  les 
semi-invariants  et  les  perpétuants.  Les  covariants  et  en  particulier  les  semi- 
invariants  peuvent  alors  s'exprimer  sous  forme  de  puissances  simples  de  sym- 
boles fondamentaux. 

Rogel  [Franz).  —  Sur  la  détermination  du  noml)rc  des  nombres 
premiers  inférieurs  à  un  nombre  donné.  (3o4-3i5). 

Remarques  sur  une  formule  donnée  par  l'auteur  dans  les  Arch.  d.  Math, 
und  Phys.  (t.  VII^,  p.  38i;  1889).  Transformations  diverses  de  la  formule. 

Rosancs  (/.).  —  Sur  un  système  d'équations  linéaires  qui  se  pré- 
sente relativement  aux  courbes  planes  du  troisième  ordre.  (3 16- 

3.8). 

Si  l'on  forme  avec  les  symboles  a^\  a^\  a^,  p,  |  p,  |  P3  de  deux  formes  ternaires 
cubiques  indéterminées  (de  deux  courbes)  C3  et  F^  et  avec  les  variables 
11^  I  u^  I  M,  l'expression  P  =  (apa)%  en  écrivant  que  l'on  a  identiquement  P^o, 
on  est  conduit  à  dix  équations  bilinéaires  relativement  aux  coefficients  de  C3 
et  de  Fj.  L'auteur  montre  que  le  système  d'équations  admet  des  solutions 
constituant  au  moins  un  groupe  à  deux  termes.  En  général,  le  groupe  n'est 
pas  d'ordre  supérieur.  L'ensemble  des  triplets  de  points  détachés  sur  une  courbe 
du  troisième  ordre  par  une  droite  variable  constitue  un  groupe  à  huit  termes 
seulement. 

Pour  des  courbes  spéciales  C3  il  se  présente  des  particularités. 

Brill  (A.).  —  Sur  les  correspondances  algébriques.  Deuxième 
Mémoire.  Groupes  spéciaux  de  points  sur  une  courbe  algé- 
brique. (32i-36o). 

D'après  le  théorème  de  Riemann-Roch,  toute  courbe  adjointe  d'ordre  n  —  3, 
qui  détache  sur  une  courbe  d'ordre  n  un  groupe  spécial,  rencontre  cette  courbe 
en  des  points  constituant  un  groupe  spécial  qui  appartient  à  un  faisceau  dont 
la  dimension  est  déterminée  par  le  nombre  des  points  du  premier  groupe  et 
par  la  dimension  de  leur  faisceau.  Brill  et  Nother  {Math.  Anii.,  t.  VII)  ont 
donné  au  théorème  le  nom  de  Riemann  et  de  Roch  pour  rappeler  que  c'est  à 
ces  deux  mathématiciens  que  sont  ducs  les  propositions  fondamentales  qui  ont 
conduit  au  théorème. 

En  ce  qui  concerne  les  groupes  spéciaux  situés  sur  une  courbe  générale  on 
se  contente  de  montrer  d'ordinaire  leur  existence  à  l'aide  de  Ténumération  des 
constantes  que  contiennent  les  équations  d'où  ils  dépendent.  Mais  cela  peut 
fort  bien  conduire  à  des  résultats  faux;  aussi,  l'auteur  s'est  proposé  dans  ce 
Mémoire  de  montrer  comment  on  peut  eflectivement  trouver  le  nombre  des 
solutions  communes  au  système  d'équations  desquelles  dépend  la  question  des 
groupes  spéciaux. 


UKVUI<:    DKS   PUBLICATIONS.  4i 

Lo  probli'iiie  pioposc  peut  cHre  énuticc  coinnic  il  suit  : 

«  Soit  une  courbe  alf^ébrique  f{x,  y)  —  o  du  /i'*"'«  ordre  et  de  genre  p  à 
points  multiples  quelconques  mais  où  les  tangentes  sont  toutefois  distinctes; 
soit,  de  plus,  une  série  linéaire  d'ordre  cci*— i  de  courbes  adjointes  (passant 
a  —  I  fois  par  chaque  point  a  —  uple) 

a,  '■?,  ( ^y  )  H-  «u ?.  ( ^r  )  +  •  •  •  +  «p ?p {xy)-  o. 

On  doit  déterminer  sur  la  courbe  /  un  groupe  Gr  de  R  points  tels  que  les 
courbes  du  faisceau  qui  y  passent  constituent  encore  un  système  de  dimen- 
sion q,  où 

^  >  P  -  I  —  H,         K  -  P. 
Les  équations 

«,?.(-^^^'fc)-+-aa?.(^iri)  +  ---+ap9p(-2^;r)i)=Q         (^-  =  ',2,  ...,R) 

sont  alors  telles  que 

/•  =  ,7  —  (  P  —  I  —  R  ) 

d'entre  elles  sont  une  conséquence  des  autres,  c'est-à-dire  que  les  déterminants 
d'ordre  R^r  +  i  de  la  matrice  formée  avec  les  éléments  cp  doivent  tous  être 
nuls. 

Il  y  a  lieu  de  voir  alors  :  i"  combien  on  peut  encore  prendre  arbitrairement 
des  points  xy,  c'est-à-dire  combien  d'équations  restent  effectivement  indépen- 
dantes, et  ensuite,  2°  de  déterminer  le  nombre  des  systèmes  de  points  que  l'on 
peut  encore  ajouter  à  ce  premier  ensemble  pris  d'une  façon  quelconque,  en 
sorte  que  les  équations  considérées  ne  cessent  pas  d'être  satisfaites. 

Relativement  à  la  première  question,  l'auteur  montre  que,  en  égalant  à  zéro 
les  déterminants  en  question,  on  est  conduit  à  un  nombre  d'équations  indépen- 
dantes égal  à 

/•[P  -(R  — /•-}-i)  +  i]=  /-(^-M). 

Il  semble  donc  que  le  problème  admet  toujours  des  solutions  si  /■( </  -h  1) ^  R, 
mais  cette  conclusion  ne  serait  pas  juste  :  elle  n'est  pas  valable  par  exemple  dans 
le  cas  où 

R  =  3,         <7  =  2,         /•  =  I. 

Le  théorème  de  Riemann-Roch  fournit  une  autre  condition  {Cf.  §  9  du  Mé- 
moire de  Brill  et  Noether)  qui  conduit  à  exclure  de  tels  cas. 

Si  l'on  se  borne  au  cas  des  courbes  adjointes  d'ordre  n  —  3,  on  a  P  =  />  et 
le  théorème  de  Riemann-Roch  donne  alors 

(R-Q)=2(r-^), 
et  l'on  a  lorsque  p  est  pair 

R=    —   -0,  /•=     -    -,,  ^z:.,, 

et   lorsque  p  est  impair, 

R  ^  -i- -' ,  r  ==  ^ 


2 


7  =  1. 
Hull.  des  Sciences  mnthéni.,  2'  série,  t.  XIX.  (>fars  189,5.)  R.4 


i'i 


SECOND  K  PAUTIIî. 


On  est  alors  amené  à  tic  terminer  le  nonihre  des  ^Toupes  G^  de  Q  =  %p  —  2  —  K 
points  qui  correspondent  à  un  point  pris  arbitrairement  et  sont  tels  que  les 
courbes  adjointes  qui  passent  par  ces  points  constituent  un  ensemble  à  /■  di- 
mensions. Si  l'on  prend  d'une  part  /•  points  et  d'autre  part  un  point  (<y  —  i) 
d'une  façon  arbitraire,  à  tout  groupe  (j\x  ,  qui  répond,  comme  groupe  spécial 
ayant  la  propriété  énoncée,  aux  /-  points,  correspond  seulement  un  groupe  G^  qui 
contient  le  point  dont  il  a  été  question,  puisque  les  H  -f- 1  points  déterminent 
une  courbe  d'ordre  n  —  3,    et   inversement.  On   a  donc  à  déterminer   certains 

points  a;,y,,  . . . ,  .Toyo    où   Q  est  égal  à  ^^^ — hi  ou  à -i— 
équations 


pour  lesquels  les 


a,?,(^,r.)-l----+  ap9p(a7.y.)=  o         (/  =  1,  2,  ...,  Q) 

soient  satisfaites,  en  outre  que  chacune  d'elles  soit  une  conséquence  des  Q  — 
autres. 
Il  faut  alors  que,  en  même  temps  que  les  équations 

subsistent,  les  déterminants  d'ordre  Q  de  la  matrice 


9p(Xpy,.) 


soient  tous  nuls.  Le  problème  ainsi  posé  peut  être  traité  et  a  été  traité  par 
l'auteur  d'une  façon  purement  algébrique. 

Brill  (^.)-  —  Sommation  d'une  certaine  série  finie.  (36 1-370). 

Cette  Note  constitue  un  appendice  au  Mémoire  précédent  dans  lequel  l'au- 
teur a  rassemblé  certaines  formules  et  certains  développements  qui  auraient 
alourdi  le  travail  principal.  Il  s'agit  surtout  de  la  somme 


i:<-K"';^")(!)' 


Burkhardt  [Ileitunch).  —  Reclierclies  relatives  aux  fonctions 
modulaires  hjperelliptiques.  Première  Partie.  (371-434)- 

Dans  l'exposé  des  leçons  de  F.  Klein  que  l'auteur  a  publiées  {Math.  Ann., 
t.  XXXV,  p.  198),  l'auteur  a  montré  comment  la  théorie  des  fonctions  hyperel- 
liptiques  du  premier  ordre  pouvait  être  présentée  nettement  et  clairement;  il 
se  propose  dans  une  suite  de  Mémoires  d'établir  la  puissance  de  la  méthode 
en  traitant  une  série  de  problèmes  spéciaux  que  les  méthodes  antérieures  per- 
mettaient à  peine  d'attaquer. 


Meyer  [Franz).  —  Sur  des  propriétés  de  divisibilité  des  fonctions 
entières  de  dérivées  d'ordre  supérieur.  (435-452). 


URVUR  DKS   PUBLICATIONS.  îi 

,]/(']■('/•  [Ff(f/i z).  —  Sur  (les  rcliilions  ;ilj^(';l)riqiic.s  (;nlr(;  l(;.s  coci- 
ficiciils  (lu  (l(''\('l()|)|)cin('nl  (\v  dillV'renliollo.s  d'ordre;  sup(';rioiii'. 

^turni  {llu(lolf).  —    l{,iuinicralioii   dos   coiigrucnccs   de  rayons 
du  second  ordre  à  lignes   focales  ou  lignes  singulières.  (4^7- 

Dans  le  iMcnioirc  (juil  a  public  en  i8G(),  dans  les  Abliandlungen  der  Aka- 
demie  der  Wissenscliaften  zu  Berlin,  Kummer  a  cnumcré  les  congruences  du 
deuxième  ordre  à  lignes  focales  et  sans  lignes  focales.  L'auteur  a  rencontré 
des  congruences  à  lignes  focales  qui  ne  figurent  pas  dans  le  travail  de  Kun^imer 
et  il  a  été  ainsi  conduit  à  faire  une  revision  de  ces  congruences  dont  il  donne 
rapidement  les  conclusions. 

Les  congruences  du  second  ordre  se  divisent  en  trois  espèces  : 

\.  Tous  les  rayons  de  la  congruence  rencontrent  une  seule  et  même  courbe 
gauclie  deux  fois. 

IL  Tous  les  rayons  de  la  congruence  rencontrent  deux  courbes  dilTérentes 
chacune  une  fois. 

IIL  Une  seule  ligne  singulière  est  rencontrée  par  tous  les  rayons  de  la  con- 
gruence et  en  général  une  fois  seulement. 

L'espèce  I  ne  contient  que  la  congruence  formée  par  les  sécantes  doubles  de 
la  courbe  gauche  du  quatrième  ordre  et  de  première  espèce. 

L'espèce  II  offre  deux  cas  :  i°  les  lignes  singulières  sont  deux  coniques  qui 
ont  deux  points  en  commun;  la  congruence  est  de  quatrième  classe;  2"  une  des 
lignes  singulières  est  une  droite,  l'autre  est  une  courbe  d'ordre  11  qui  ren- 
contre Il  —  2  fois  la  droite;  la  congruence  est  de  n'*™'  classe. 

Ces  deux  cas  ont  été  reconnus  et  étudiés  par  Kummer.  Il  n'en  est  plus  de 
même  en  ce  qui  concerne  le  troisième  cas. 

L'auteur  distingue  trois  cas  distincts  qui  contiennent  des  variétés  que  l'on 
peut  distinguer.  Les  trois  cas  principaux  sont  ceux  : 

III,  où  la  ligne  singulière  est  une  droite; 

III,^  où  la  ligne  singulière  n'est  pas  droite  et  où  de  chacun  de  ses  points 
part  un  buisson  de  rayons  appartenant  à  la  congruence; 

III3  où  la  ligne  singulière  n'est  pas  droite  et  où  de  chacun  de  ses  points  part 
un  cône  du  second  degré  appartenant  à  la  congruence. 

Rilbert  [Dcwid).  —  Sur  la  théorie  des  formes  algébriques.  (47'^>- 
534). 

Théorème  1.  —  Étant  donné  un  nombre  quelconque  de  formes  de  n  variables 
X,,  a:,,  ...,  a7„  que  l'on  représente  par  F,,  F^,  ...,  F„,  il  existe  toujours  un 
nombre  ni  tel  que  ton  le  forme  de  la  série  peut  être  représentée  par  la  formule 

F  =  A,F,-+-AJ',-i-...4-A„,F„., 

oii  A,,  Aj,   ...,  A,„  sont  des  formes  convenablement  choisies  des  mêmes   //  va- 
riables. 


44  SKCONDK   PAUTIH. 

Théorème  II.  —  Si  l'on  considère  une  série  illimitée  de  formes  F,,  F,,  F,,  . . .  ù 
coefficients  entiers  et  d'ordres  quelconques  des  n  variables  homogènes  ar,,  a:,,  . . . , 
a:,,,  il  existe  toujours  un  nombre  m  tel  que  toute  forme  de  la  série  peut  être  re- 
présentée par  la  formule 

F  =  A,F,+  A,F,-f-...+  A,„F„.. 

où  A,,  Aj,  ...,  A,„  sont  des  formes  à  coefficients  entiers  des  mêmes  n  variables. 
Théorème  111.  —  Si  un  système  d'équations  est  de  la  forme 

F„X,-|-F,,\,  +  ..   +  F,,,.' X„.i  =  o         (i  r^i,2,  ...,  m), 

la  détermination  des  relations  qui  existent  entre  les  solutions  d'un  tel  système 
conduit  à  un  second  système  d'équations  de  même  forme;  du  second  système 
dérivé  résulte  de  même  un  troisième  système  dérivé  et  ainsi  de  suite.  En  tout 
cas  il  y  a  une  limite  pour  les  opérations  successives,  le  «'*"«  système  d'équa- 
tions dérivées  n'admet  pas  de  solution. 

Théorème  IV.  —  Le  nombre  des  conditions  linéairement  indépendantes 
auxquelles  les  coefficients  d'une  forme  d'ordre  R  doivent  satisfaire  pour  qu'elle 
soit  congruente  à  zéro  relativement  aux  formes  considérées  comme  modules 
(F,,  I'\,   ...,  F^)  est  fourni  par  l'expression 

x(.)=x.^.„('.>-..c:)^...^x.(,7 

^^  Zo'  Zi»  •  •  •  1  Là  ^O"^*-  certains  nombres  entiers  particuliers  au  module 
(F',,  F,,  ...,  F,,, ).  La  fonction  entière  x(^^)  ^^  degré  d  relativement  à  R 
s'appelle  \a  fonction  caractéristique  du  module  (F,,  F^,  ...,  F,,J. 

Théorème  V.  —  Si  l'on  donne  un  système  de  formes  fondamentales  à  un 
nombre  quelconque  de  variables  qui  sont  soumises  toutes  aux  mêmes  transfor- 
mations linéaires,  ou  par  groupes  à  des  transformations  linéaires  différentes,  il 
existe  toujours  un  nombre  fini  d'invariants  entiers  et  rationnels  au  moyen 
desquels  on  peut  exprimer  sous  forme  entière  et  rationnelle  tout  autre  inva- 
riant entier  et  rationnel. 

London  [Franz).  —  Sur  les  figures  polaires  des  courbes   planes 
du  troisième  ordre.  (524-584)« 

L'auteur  s'est  proposé  de  résoudre  le  problème  de  la  représentation  d'une 
forme  cubique  ternaire  au  moyen  d'une  somme  de  cubes  de  formes  linéaires  et 
de  la  représentation  simultanée  de  plusieurs  formes  cubiques  ternaires  au 
moyen  de  sommes  de  cube*.  Il  établit  comment  on  peut  déterminer  les  formes 
linéaires  et  quel  est  le  nombre  de  ces  formes  telles  que  la  forme  cubique  donnée 
puisse  s'exprimer  linéairement  au  moyen  de  leurs  cubes,  et,  dans  les  cas  de 
plusieurs  formes  cubiques  ternaires,  il  donne  le  minimum  de  formes  linéaires 
qu'il  faut  introduire.  La  question  est  d'aspect  purement  algébrique:  le  travail  a 
cependant  un  caractère  géométrique  qu'il  doit  aux  remarques  suivantes.  Soit 
la  forme  cubique 

f{xxx):=  "La-f^iX^x^Xi         ( /,  /.,  /  =  I,  2,  3), 


IU':VUI':    DKS   PUHIMCATIONS.  \5 

oii  les  coeffioients  a  ne  cliangciil  pas  de*  valeur  si  on  penmile  leurs  indices,  el, 
p  formes  linéaires 

si  l'on  peut  déterminer  />  constantes  A- (i  =:  I,  2,  ...,  p)  telles  que 

f{xxx)~-  :ùk.n.{x)\ 

les  p  droites  n-{x)  ~  o  constituent  un  />  —  gonc  parliculier  relatif  à  la 
courbe  C,  représentée  par  l'équation  /  =  o.  Un  tel  p  —  gone  s'appelle  p  —  gone 
polaire  de  la  courbe  C^.  La  question  revient  donc  à  la  détermination  et  à  la 
construction  des  figures  polaires  d'une  ou  de  plusieurs  courbes  du  troisième 
ordre.  Comme  exemple  des  résultats  obtenus  par  l'auteur  citons  les  deux  sui- 
vants : 

AlU  premier  abord  deux  courbes  C,  paraissent  devoir  admettre  un  nombre 
fini  de  pentagones  polaires.  II  n'en  est  rien,  pour  qu'un  tel  pentagone  existe  il 
faut  et  il  suffit  qu'un  certain  invariant  s'annule. 

Deux  Cj  ont  en  commun  00^  hexagones  polaires. 

London  [Franz).  —   Constriiclions  linéaires  du  neuvième  point 
d'intersection  des  deux  courbes  du  troisième  ordre.  (SSS-Sgô). 

Application  des  résultats  obtenus  dans  le  Mémoire  précédent  à  la  solution 
simple  du  problème  énoncé  dans  le  titre.  L'auteur  donne  quatre  constructions 
différentes. 

White  (U.S.).  —  Sur  deux  formes  covariantes  de  la  théorie  des 
fonctions  abéliennes  relatives  aux  courbes  sans  singularités  d'in- 
tersection de  deux  surfaces.  (547-601). 

Soit  une  courbe  gauche  formant  l'intersection  complète  de  deux  surfaces  de 
l'espace  à  trois  dimensions;  en  employant  la  terminologie  de  Klein  on  a  la 
proposition  suivante  :  sur  la  courbe  gauche  considérée  les  coordonnées  homo- 
gènes -S,,  z^,  Zj,  z^  constituent  un  système  complet.  L'auteur  arrive  en  partant 
de  ce  théorème  à  établir  l'existence  de  deux  covariants,  dont  l'un  est  une  géné- 
ralisation d'une  expression  rencontrée  par  Pick  {Math.  Ann.,  t.  XXIX)  et 
l'autre  un  facteur  qui  s'est  présenté  à  Klein  dans  ses  Recherches  sur  la  théorie 
des  fonctions  abéliennes  contenues  dans  le  présent  Volume. 

Schrôder  [Ernst).  —  Une  correction  au  premier  volume  de  mon 
algèbre  de  la  logique.  (601). 

Miss  Ladd  {Studies  in  Logic,  i883)  avait  déjà  donné  un  résultat  que  l'auteur 
avait  donné  comme  nouveau,  p.  671  de  son  Ouvrage. 


r®^ 


46  SECONDE   PAUTIE. 

JOURNAL  DE  L'ÉCOLE  POLYTECHNIQUE  (•). 

LX"  Cahier,  1890. 

Andiade.  —  Sur  le  mouvement  d'un  corps  soumis  à  l'atlraclion 
newtonienne  de  deux  corps  fixes.  (3-57). 

Ce  problème  a  été  pour  la  première  fois  ramené  aux  quadratures  par  Euler, 
puis  repris  par  Lagrange,  par  Legendre  et  par  Jacobi,  qui  y  appliqua  sa  théorie 
des  systèmes  canoniques. 

La  plus  grande  partie  du  travail  de  INL  Andrade  est  consacrée  à  l'inversion 
des  quadratures  auxquelles  Euler  a  ramené  le  problème;  c'est  là  un  nouvel 
exemple  d'inversion  dans  les  fonctions  elliptiques. 

Dans  ce  problème  de  Mécanique  l'auteur  a  rencontré  des  analogies  intéres- 
santes. Lorsqu'un  mobile  décrit  une  section  conique  sous  l'influence  de  l'at- 
traction newtonienne  d'un  centre  fixe,  on  sait  que  le  signe  de  la  constante  de 
l'intégrale  des  forces  vives  suffit  pour  décider  si  la  trajectoire  reste  ou  non 
confinée  dans  une  région  limitée  de  l'espace.  Toutefois  ceci  n'est  exact  que  si 
la  constante  des  aires  n'est  pas  nulle.  S'il  n'en  est  pas  ainsi,  il  peut  arriver  que, 
quel  que  soit  le  signe  de  la  constante  des  forces  vives,  le  mobile  vienne  se 
réunir  au  centre  fixe.  En  sorte  que,  dans  la  combinaison  de  l'intégrale  des 
forces  vives  et  de  celle  des  aires  réside  le  critérium  de  la  limitation  ou  de  la 
non-limitation  de  la  trajectoire. 

Or  AL  Andrade  fait  voir  que  le  même  critérium  subsiste  dans  le  cas  de  deux 
masses  fixes. 

Il  cherche  en  outre  si  cette  propriété  persiste  dans  le  cas  de  71  corps  en  ligne 
droite.  Lorsque  la  constante  h  de  l'intégrale  des  forces  vives  est  négative,  cette 
seule  intégrale  établit  que  la  trajectoire  est  limitée.  Sans  élucider  complète- 
ment le  cas  de  /t  >  0,  l'auteur  démontre,  en  dehors  de  toute  recherche  d'inté- 
gration, le  théorème  suivant  :  , 

«  Si  la  constante  des  forces  vives  est  positive  et  si,  de  plus,  la  constante  des 
aires  n'est  pas  nulle,  on  peut  fixer  une  limite  inférieure  et  permanente  à  l'é- 
tendue des  oscillations  de  la  projection  du  mobile  sur  l'axe  qui  porte  les 
masses  fixes.  » 

M.  Andrade  étudie  encore  le  cas  où  le  mobile  peut  être  considéré  comme  sa- 
tellite de  l'une  des  deux  masses  fixes  M'.  Dans  le  cas  où  la  constante  des  aires 
est  nulle,  on  peut  encore  avoir,  comme  dans  le  cas  général,  un  mouvement  du 
mobile  où  celui-ci  reste  dans  le  voisinage  de  M';  mais,  contrairement  à  ce  qui 
se  passe  pour  les  satellites  du  système  planétaire,  ce  voisinage  peut  s'exagérer 
de  manière  à  produire  des  singularités  assez  inattendues.  C'est  ainsi  qu'on  peut 
trouver  des  dates  de  passage,  suffisamment  éloignées,  aussi  voisines  Tune  de 
l'autre  qu'on  le  désire;  c'est  ainsi  que  le  rayon  vecteur  allant  de  la  masse  M'  à 
son  satellite  peut  ne  pas  toujours  tourner  dans  le  même  sens.  L'existence  d'un 


(')  \ on  Bulletin,  t.  XV,.  p.   101, 


KEVUE   DES   PUBLICATIONS.  47 

isalcllitc,  au    sens  ordinaire  du  mot,  duns  le  cas  oij    la  conslaulc  des  aires  est 
nulle,  doit  donc  ôtre  regardée  comme  exceptionnelle. 

Mannlieim.  —  Sur  le  déplacement  d'une  figure  de  forme  inva- 
riable dont  tous  les  plans  passent  par  des  points  fixes.  (7J-88). 

Le  problème  que  résout  M.  Mannheim  est  de  trouver  directement  les  condi- 
tions de  déplacement  d'une  (igure  de  grandeur  invariable,  conditions  telles  que 
tous  les  plans  de  l'espace,  en  nombre  infini,  liés  à  cette  figure  et  entraînés 
avec  elle,  passent  par  des  points  fixes. 

L'auteur  commence  l'étude  directe  du  déplacement  par  ces  propositions  : 

1°  Si  l'on  suppose  que  tous  les  plans  d'une  figure  mobile  de  grandeur  inva- 
riable passent  par  des  points  fixes,  leurs  enveloppes  sont  des  cônes  de  révolu- 
tion dont  les  axes  sont  parallèles; 

2°  Si  le  déplacement  d'une  telle  figure  est  possible,  on  l'obtient  en  la  liant  à 
un  cylindre  de  révolution  mobile  (C)  qui  roule  sur  un  cylindre  fixe  situé  dans 
son  intérieur,  dont  la  section  droite  a  un  rayon  moitié  du  rayon  de  section 
droite  de  (C),  et  qui  glisse  dans  la  direction  de  son  axe  de  façon  qu'un  plan 
lié  au  cylindre  mobile  passe  par  un  point  fixe. 

Les  déplacements  dont  il  est  question  paraissent  au  premier  abord  impossibles. 
M.  Mannheim  montre  cependant  qu'ils  ne  le  sont  pas  et  parvient  directement 
à  plusieurs  manières  de  déplacer  une  figure  invariable  de  telle  sorte  que  tous  les 
plans  qui  lui  sont  invariablement  liés  passent  par  des  points  fixes.  C'est  à  cet 
objet  que  répond,  entre  autres,  le  théorème  suivant  : 

«  Si  un  trièdre  de  grandeur  invariable  se  déplace  de  façon  que  deux  de  ses 
faces  restent  tangentes  à  des  cônes  de  révolution  dont  les  axes  sont  parallèles 
et  que  la  troisième  face  passe  par  un  point  fixe,  un  plan  quelconque  entraîné 
avec  ce  trièdre  passe  toujours  par  un  point  fixe.  » 

En  terminant,  M.  Mannheim  fait  remarquer  que  si,  inversement,  on  rend 
mobiles  les  données  du  déplacement  par  rapport  à  la  figure  de  grandeur  inva- 
riable devenue  fixe,  tous  les  points  entraînés  décrivent  des  lignes  planes. 

De  là,  par  réciprocité,  découlent  des  solutions  indirectes  de  la  question 
posée  au  début. 

Picard.  —  Sur  la  détermination  des  intégrales  de  certaines  équa- 
tions aux  dérivées  partielles  du  second  ordre  par  leurs  valeurs 
le  long  d'un  contour  fermé.  (89-1  o5). 

Les  équations  dont  s'occupe  AL  Picard  sont  les  équations  linéaires  de  la 
forme 

dx^  dx  Oy  ôy  ôx  ôy 

les  coefficients  dépendant  seulement  de  x  et  y. 
'>\  l'on  envisage  uniquement  la  région  du  plan  où  l'on  a 

B^— AC<o, 


i8 


SECONDE  PARTIE. 


une  intégrale  de  l'équalioii  (E),  conlinue  ainsi  que  ses  dérivées  partielles  des 
deux  premiers  ordres  à  l'intérieur  d'un  contour  fermé,  est  déterminée  par  ses 
valeurs  sur  ce  contour,  pourvu  que  celui-ci  soit  suffisamment  petit.  L'auteur 
approfondit  ce  théorème,  déjà  établi  p;ir  lui  {Journal  de  Mathématiques,  1890), 
dans  l'hypothèse  où  les  coefficients  A,  B,  ...,  V  sont  des  fonctions  analytiques 
de  X  et  y. 

Dans  ce  cas  particulier,  toute  intégrale,  continue  ainsi  que  ses  deux  dérivées 
partielles  des  deux  premiers  ordres  dans  la  région  considérée  du  plan,  est-elle 
aussi  une  fonction  analytique?  M.  Picard  montre  qu'il  en  est  bien  ainsi,  en 
faisant  usage  de  la  méthode  des  approximations  successives.  Ce  résultat  montre 
bien  la  dilVérence  de  nature  des  intégrales  de  l'équation  (E)  suivant  le  signe 
de  B^—  AC.  C'est  ainsi  que  les  intégrales  de  l'équation 


ô^u        d'u 


=  o 


sont  des  fonctions  analytiques,  tandis  qu'il  n'eu  est  pas  nécessairement  de 
même  des  intégrales  de  l'équation 

d-u        d^u  _ 

dx^        ây   ~ 

M.  Picard  examine  ensuite  le  cas  où  il  n'y  a  pas  de  terme  en  u,  c'est-à-dire 
où  F  =  0.  Alors,  dans  la  région  du  plan  où  l'on  a 

B^— AC  <o, 

il  n'y  a  qu'une  intégrale  continue  ainsi  que  ses  dérivées  des  deux  premiers 
ordres  prenant  une  succession  de  valeurs  sur  un  contour  fermé.  Cette  intégrale 
peut  être  rigoureusement  obtenue  par  des  approximations  successives,  grâce  à 
l'emploi  du  procédé  alterné  de  Sch\Yarz. 

La  proposition  énoncée  pour  le  cas  où  F  est  identiquement  nul  subsiste  en- 
core si  F  est  de  signe  contraire  à  A  et  C. 

Laurent.  —  Mémoire  sur  les  fonctions  entières,  (i 07-1 36). 

Le  but  de  ce  Mémoire  est  surtout  de  perfectionner  la  théorie  de  l'élimination. 
En  ce  qui  concerne  les  systèmes  de  deux  équations,  l'auteur  rappelle  une  mé- 
thode simple  qu'il  a  déjà  publiée,  méthode  qui,  convenablement  modifiée, 
donne  celle  de  Cauchy  et  beaucoup  d'autres.  En  ce  qui  touche  aux  systèmes 
de  plus  de  deux  équations,  il  indique  plusieurs  moyens  nouveaux  pour  former 
la  résultante  et  calculer  les  solutions  communes  quel  qu'en  soit  le  nombre.  Pour 
plus  de  trois  équations,  cette  méthode  conduirait  à  des  calculs  très  pénibles; 
mais  M.  Laurent  en  donne  une  autre  qui  peut  être  considérée  comme  la  géné- 
ralisation de  la  méthode  de  Cauchy-Cayley  et  qui  permet,  sinon  de  développer 
la  résultante,  du  moins  de  la  représcnler  symboliquement  par  le  discriminant 
d'une  fonction  du  second  degré  homogène  que  l'on  peut  écrire  sous  forme  de 
déterminant. 

L'auteur  discute  complètement  la  nature  des  solutions  communes,  et  donne 
les  conditions  d'existence  d'une  solution  par  une  méthode  purement  algébrique, 
qui  n'est  pas  fondée  sur  des  considérations  infinitésimales,  c'est-à-dire  qui  ne 
suppose  pas  les  solutions  variables  et  tendant  les  unes  vers  les  autres. 


URVUI^:    DliS   PUBLICATIONS.  49 

Au  cours  de  son  Iravail,  M.  Laureiit  esL  coiiduiL  à  une  formule  d'iuler[)oIa- 
lioa  qui  est  une  généralisation  de  la  formule  de  Layrange,  et  qui  permet  de 
construire  une  fonction  de  plusieurs  variables  prenant  des  valeurs  données  pour 
les  valeurs  des  variables  (pii  amiulcnt  des  polynômes  en  nouibre  égal  à  celui 
des  variables. 

Poincarê.  —  Notice  sur  Halphen.  (i3^-iGi). 

LXP  Cahier,  1891. 

Léauté.  —  Du  mouvement  troublé  des  moteurs,  consécutif  à  une 
perturbation  brusque.  Nouvelle  méthode  graphique  pour  l'é- 
tude complète  de  ce  mouvement.  (i-33). 

Le  mouvement  troublé  d'un  moteur  est  celui  qui  succède  à  une  perturbation 
brusque  de  la  résistance  ou  de  la  puissance.  La  vitesse  alors  se  modifie,  et  si 
la  machine  est  pourvue  d'un  régulateur,  ce  régulateur  entre  en  action  et  un 
nouvel  état  de  régime  se  rétablit.  Mais  ce  résultat  n'est  pas  obtenu  instantané- 
ment et  une  période  d'oscillations  de  la  vitesse  existe  entre  les  deux  états  d'é- 
quilibre. 

L'étude  de  ce  mouvement  troublé  est  fondamentale,  et  il  est  nécessaire,  si 
l'on  veut  avoir  une  sécurité  absolue,  de  savoir  déterminer  tous  les  éléments  de 
la  plus  forte  période  de  trouble  à  laquelle  on  est  exposé,  c'est-à-dire  de  savoir 
calculer  la  durée  qu'elle  aura,  les  oscillations  qui  la  constituent,  les  plus 
grands  écarts  de  vitesse  qu'elle  présentera. 

La  métUode  analytique  conduisant  à  des  formules  compliquées,  AL  Léauté 
préfère  recourir  à  des  tracés  graphiques.  Il  définit  et  étudie  certaines  lignes 
utiles  à  considérer  dans  l'étude  des  perturbations  de  régime. 

L'état  d'une  machine  hydraulique  en  mouvement  à  un  moment  donné  est  dé- 
fini par  trois  quantités  :  1°  la  vitesse  N  (nombre  de  tours  par  minute  que  fait 
l'arbre  principal);  2°  la  résistance  R  qu'il  faut  vaincre;  Z°  l'ouverture  A  de  la 
vanne  d'admission. 

Si  l'on  prend  pour  abscisses  les  ouvertures  de  vanne  et  pour  ordonnées  les 
vitesses  de  régime  correspondantes,  on  obtient,  pour  chaque  valeur  de  la  ré- 
sistance R,  une  suite  de  points  formant  une  ligne.  Ces  lignes,  M.  Léauté  les 
appelle  lignes  de  régime.  Leur  équation  peut  être  déduite  de  la  connaissance 
des  rendements.  Soit  /•  le  rendement,  qui  est  une  fonction  connue  de  la  vitesse  N 
et  de  l'ouverture  de  vanne  A,  et  soit  rn  la  quantité  de  fluide  qui  traverse  le 
moteur  en  une  minute,  quantité  qui  est  également  une  fonction  connue  de  A 
et  de  N.  Les  lignes  de  régime  sont  données  par  l'équation 

où  c  est  une  constante  et  R  le  paramètre  dont  la  valeur  particulière  détermine 
chacune  d'elles. 
On  peut  tracer  aisément,  en  prenant  A  et  N  pour  coordonnées,  les  lignes  le 

long  desquelles  cj  et  —  sont  respectivement  constants.  Les  premières  sont  ap- 


:)o 


SliCONDE  PAUTIE. 


pelées  par  M.  Léaulé  lignes  de  dépense  constante,  les  secondes  lignes  d'effort 
constant.  Dans  une  planche  annexée  à  son  Mémoire,  l'auteur  montre  comment 
on  peut  disposer  l'épure  pour  le  tracé  de  ces  diverses  lignes  de  régime,  de  dé- 
pense constante,  d'eflort  constant,  ainsi  que  des  lignes  de  rendement  qui  re- 
présentent la  manière  dont  varie  le  rendement  /■  en  fonction  de  la  vitesse  N  pour 
diflercntcs  ouvertures  d'admission  A.  Il  discute  l'allure  affectée  par  ces  diverses 
lignes  dans  les  divers  cas  qui  se  présentent  dans  la  pratique,  suivant  la  nature 
du  moteur 

Ces  conceptions  géométriques  vont  servir  à  l'étude  graphique  du  mouvement 
troublé.  Le  régime  de  la  machine  étant  brusquement  altéré,  la  résistance  prend 
une  nouvelle  valeur  cR.  Soit  A^  l'ouverture  qu'il  faudrait  donner  à  la  vanne 
pour  que,  sous  l'influence  de  la  résistance  R,  la  machine  puisse  prendre  et 
conserver  sa  vitesse  moyenne  de  régime  ^Ts,  et  soit  A  la  caractéristique  ciné- 
matique de  la  machine,  c'est-à-dire  le  nombre  de  tours  qu'elle  décrit  en  vertu 
de  la  seule  inertie  si,  pendant  la  marche  uniforme,  on  supprime  brusque- 
ment l'arrivée  du  fluide  moteur  sans  modifier  les  résistances.  Soient  enfin  A 
et  N  l'ouverture  de  la  vanne  et  la  vitesse  à  un  moment  quelconque,  et  R  le  pa- 
ramètre de  la  ligne  de  régime  correspondant  à  l'état  A,  N.  L'état  de  la  machine 
est,  à  ce  moment,  défini  par  la  résistance  cR_  et  la  position  du  point  ayant  pour 
coordonnées  A  et  N.  Quant  au  chemin  total  >v  décrit  par  la  machine,  il  est  lié 
à  la  vitesse  par  l'équation 

R 


(0 


2A        M 

11 


d\. 


La  connaissance  du  mouvement  de  la  machine  exige  que  l'on  puisse  déter- 
miner la  suite  des  valeurs  que  prennent  N,  A  et  )v.  Si  la  machine  est  pourvue 
d'un  appareil  de  régulation  à  action  indirecte,  cet  appareil  déplace  la  vanne 
dans  un  sens  ou  dans  l'autre  dès  que  la  vitesse  sort  de  la  zone  de  régime. 

Les  états  successifs  de  la  machine  pendant  les  périodes  d'action  des  régula- 
teurs sont  déterminés  par  l'équation  générale  (i)  combinée  à  l'équation  rfA  =  o. 

Les  vitesses  relatives  de  fermeture  et  d'ouverture  du  vannage  étant  des  con- 
stantes, l'intégration  des  équations  du  mouvement  dépend  en  définitive  de  la 
seule  fonction 

R_  _ 

A  ~' 

_N_ 


=  T. 


il  est  utile  par  suite  de  tracer  sur  l'épure  les  trajectoires  le  long  desquelles 
cette  fonction  T  conserve  une  même  valeur.  Ce  tracé  s'effectue  immédiatement 
quand  on  connaît  les  lignes  de  régime. 

Ces  trajectoires  étant  supposées  tracées,  l'auteur  examine  alors  comment  on 
peut  déterminer  le  mouvement  de  la  machine  dans  la  zone  de  régime  et  en 
dehors  de  cette  zone. 

Pour  bien  faire  saisir  sa  méthode  graphique,  ISL  Lcauté  l'applique  à  l'un  des 
exemples  les  plus  compliqués  et  les  moins  abordables  à  la  méthode  analytique 
que  l'on  puisse  rencontrer,  celui  d'une  turbine  qui  peut  être  alternativement 
noyée  et  dénoyée,  et  pour  laquelle  la  résistance  varie  du  simple  au  double  et 
inversement. 


KHVUK    DHS    PUBLICATIONS.  ^f 

Aulonne.  —  Sur  la  lliéorie  des  équations  tllflérenlielles  du  pre- 
mier ordre  et  du  premier  degré.  (3 5-1  :>/>>). 

l'oiir  l'analyse  de  ce  IMoiiioirc,  voir  ci-après,  au  cahier  suivanl. 

LXII"  Cahier,  iSq-î. 

Phillips.  —  Disposilion  propre  à  rendre  le  [)endule  isochrone. 
(-35). 

Mémoire  posthume  de  M.  Phillips  retrouvé  dans  les  papiers  qu'il  a  laissés. 

Godefroy.  —  Sur  les  rayons  de  courbure  de  certaines  courbes  et 
surfaces  et  en  particulier  des  courbes  et  surfaces  de  Lamé.  (Sy- 
46). 

Les  problèmes  que  traite  l'auteur  sont  les  suivants  : 

1°  Recherche  du  rayon  de  courbure  des  courbes  ax"^-\-  by'^-h  c  =  o; 
2°  Rayon  de  courbure  des  courbes  de  Lamé  et  de  leurs  développées; 
3"  Rayons  de  courbure  principaux  des  surfaces  de  Lamé; 
4°  Rayons  de  courbure  principaux  des  surfaces  z^  =/{x)-i- ^{y),  /  gI  y 
étant  des  fonctions  continues  quelconques. 

Autonne.  —  Sur  la  théorie  des  équations  différentielles  du  pre- 
mier ordre  et  du  premier  degré.  (47-180). 

Les  équations  différentielles  dont  s'occupe  IM.  Autonne  sont  de  la  forme 

U{\,r,)d\-^^{\,-r,)clr,  =  o, 

où  M  et  N  sont  des  fonctions  rationnelles.  Si  l'on  introduit  des  variables  ho- 
mogènes, x^,  x^,  a7j,  et  qu'on  fasse  usage  de  la  notation  symbolique 

(  X  dx  ) ,  =  37,^  dx^  —  x^  dx^, 
l'équation  devient 

S.P.(jcrfj7).=  0, 

P-  étant  une  forme  ternaire  d'ordre  m  en  x^\  ni  est  la  dimension  de  l'équation 
différentielle. 

M.  Darboux  a  montré  que,  pour  de  telles  équations,  la  connaissance  de  l'in- 
tégrale générale  dépend  de  celles  dun  nombre  suffisant  d'intégrales  particu- 
lières algébriques. 

Abordant  la  question  par  une  autre  voie,  M.  Autonne  cherche  à  mettre  à 
profit  :  1°  les  relations  qui  existent  entre  les  intégrales  et  certaines  courbes 
tracées  sur  des  surfaces  unicursales;  2°  l'existence  dans  l'équation  de  singula- 
rités soit  ordinaires  (points  critiques)^  soit  exceptionnelles  (  points  y;o/yc/7'- 
tiques  et  hypercritiques). 

Le  mode  de  représentation  de  l'équation  par  une  surface  dont  l'auteur  fait 
usage  présente  l'avantage  suivant  :  les  courbes  qui  représentent  les  intégrales 


52 


SECONDE  PARTIE. 


jouissent  d'une  propriéfé  qui  reste  toujours  la  même  quelle  que  soit  l'équation 
diiïérentielle,  à  savoir  que  la  tangente  à  l'une  quelconque  de  ces  courbes  fait 
partie  d'un  complexe  linéaire  toujours  le  môme  (complexe  capital).  M.  Au- 
tonne  appelle  intégrante  toute  courbe  dont  les  tangentes  sont  situées  sur  ce 
complexe. 

Il  démontre  que  toute  équation  du  premier  ordre 


^^(tT,,  /?)=  o, 


cit\ 


où  F  est  un  polynôme  en  \,  -rj,  p,  peut  être  considérée  comme  donnant  les  in- 
tégrantes sur  une  certaine  surface  algébrique  ci',  qui  même  est  unicursale,  et  sa 
figure  dans  F  au  premier  degré.  Réciproquement,  la  détermination  des  inté- 
grantes entraîne  l'intégration  d'une  équation  du  premier  ordre;  celle-ci  est  du 
premier  degré  lorsque  la  surface  §  est  unicursale. 

Les    coordonnées    homogènes   z-{j  =  i,  2,  3,4)    d'un    point    z    de    cT   sont, 
lorsque  5^  est  unicursale,  données  par  les  relations 

pz.=  cp.(a7,,^,,a;,), 

où  p  est  un  facteur  de  proportionnalité  et  cp-  une  forme  ternaire.  La  relation 
infinitésimale  qui  caractérise  les  courbes  intégrantes  est 


(z  dz)  = 


dz.     dz„ 


dz. 


z. 


Les  intégrantes  de  F  se  trouvent  donc  représentées  sur  le  plan  lieu  des 
points  X  de  coordonnées  .r- (  i  =  i,  2,  3  )  par  les  intégrales  de  l'équation  du  pre- 
mier ordre  et  du  premier  degré  (équation  réglementaire) 


{<s  d'-jfi)  — 


{xdx)^     (xdx)^ 

121  .22 


{xdx)^ 

{x  dx)^ 

(  X  dx  )j 

{x  dx)^ 

Tl3 

— 

?3, 

?3, 

9„ 

0 

d?i 

?.. 

?o 

9., 

dX: 

• 

=  0, 


Toute  équation  difTérentielle  du  premier  ordre  et  du  premier  degré  peut  être 
considérée  comme  une  réglementaire.  La  connaissance  des  intégrantes  sur  la 
surface  unicursale  F  entraîne  celle  des  intégrales  de  la  réglementaire.  C'est  là 
le  principe  de  la  méthode  de  M.  Autonne. 

Abandonnant  la  classification  des  équations  d'après  leur  dimension,  l'auteur 
les  classe  d'après  l'ordre  de  la  surface  <^  ou,  ce  qui  l'cvient  au  même,  d'après 
l'ordi-e  des  formes  cp  ,  suivant  qu'elles  sont  linéaires,  quadratiques,  cubiques,  etc. 

Dans  la  première  Partie  de  son  Mémoire,  il  établit  les  fondements  de  sa  mé- 
thode. Si  dans  une  équation  du  premier  ordre 

F[x^,  x^,  x^,  {x  dx)^,  {x  dx)^,  {x  dx)^]  =  o, 

on  remplace  {x  dx)-  par  la  coordonnée  u-  d'une  droite  variable  u,  on  obtient 
un  connexe  L  dont  les  courbes  de  coïncidence  sont  précisément  les  intégrales 
de  l'équation  difTérentielle.  M.  Autonne  donne  des  formules  qui  établissent  une 
correspondance  birationuelle  entre  les  points  d'une  surface  algébrique  J  et  les 


UHVUH    DKS    PUBLICATIONS.  ",1 

('l(^iuoiits  (lu  connexe  !..  II  élaMit  les  relations  qui  lient  l'ordre  de  J  à  l'ordre 
ei  ;\  la  classe  de  I'"  et  il  démontre  (jn'aux  intégrales  du  connexe  corres[)ondent 
l)icn  sur  I''  l(>s  conrhes  intégrantes,  dette  première  Partie  se  termine  par  l'in- 
Irodiiclion  des  é(jualions  difl'ércnt ielles  réglomenlaires  et  l'identification  des 
deux  problèmes  suivants  :  recherche  des  intéf^rantes  sur  les  surfaces  unicur- 
sales,  et  intégration  de  rè(|uation  P  =  I.-P-(ccdx)-=o. 

La  seconde  Partie,  purement  géométricjue,  est  consacrée  au  problème  des 
intégrantes.  Le  principal  artifice  employé  pour  la  solution  est  la  transformation 
des  surfaces,  birationnelle  et  régulière,  c'est-à-dire  changeant  les  intégrantes 
en  d'autres  intégrantes.  L'auteur  indique  les  conditions  générales  de /-e^M/ariVe 
et  construit  toutes  les  substitutions  régulières  linéaires. 

II  fait  alors  la  théorie  géométrique  des  intégrales.  Par  chaque  point  d'une 
surface  algébrique  ne  passe  qu'une  intégrante;  les  points  nodaux  par  lesquels 
il  peut  en  passer  plus  d'une  sont  en  général  en  nombre  fini  sur  la  surface, 
mais  quelquefois  il  peut  exister  toute  une  courbe  nodule,  et  dans  ce  cas  la  re- 
cherche des  intégrantes  est  beaucoup  plus  facile. 

Sur  les  plans,  les  quadriques,  les  cubatiques  gauches,  l'emploi  d'une  substi- 
tution régulière  linéaire  convenable  permet  de  trouver  les  intégrantes  par  des 
procédés  élémentaires.  Pour  le  plan  et  la  quadrique,  on  n'a  besoin  d'effectuer 
que  des  quadratures.  Pour  la  cubatique  gauche,  on  est  ramené  à  une  équation 
de  Riccati,  à  moins  que  la  droite  double  de  la  cubatique  ou  bien  la  directrice 
rectiligne  des  génératrices  ne  soit  rcctiligne,  auquel  cas  on  est  ramené  sim- 
plement aux  quadratures. 

La  seconde  Partie  se  termine  par  une  étude  détaillée  des  intégrantes  sur  une 
cubatique  ayant  une  ligne  nodale.  On  est  alors  ramené,  pour  trouver  ces  in- 
tégrantes, à  intégrer  une  équation  différentielle  P  de  dimension  2  ou  i. 

Dans  la  troisième  Partie,  M.  Autonne  introduit  la  notion  de  points  polycri- 
tiques  et  hypercritiques.  On  sait  que  si  l'équation  différentielle  P  =  o  est  de 
dimension  m,  il  y  a  dans  le  plan  m^-]-m-hi  points  critiques  par  lesquels 
peut  passer  plus  d'une  intégrale.  En  ces  points,  P  =  "L-k-dx.^  s'annule  indé- 
pendamment des  difTérentielles  dx-.  L'auteur  dit  qu'un  point  (x,,  x^,  x  )  est 
polycrilique  d'ordre  a,  si  en  ce  point  P,  rfP,  rf^P,  ...,  c/"-' P  s'annulent 
indépendamment  des  diflerentielles  dx-^  d^x-,  ...,  d''x-.  Si  a  =  i,  le  point  est 
monocritique,  dicritique  si  a  =  2,  etc.  Enfin,  si  en  un  point  dicritique,  les 
courbes  du  réseau  ont  un  point  double,  le  point  dicritique  devient  hyper- 
critique. 

Tous  ces  points  se  trouvent  en  connexion  étroite  avec  les  points  nodaux  de 
la  surface  rT  et  aussi  avec  les  points  fondamentaux  des  formes  ternaires  cp..  Les 
points  fondamentaux  sont  en  général  dicritiques  pour  la  réglementaire. 

Ces  préliminaires  posés,  l'auteur  passe  à  l'étude  des  réglementaires  obtenues 
en  opérant  sur  les  formes  ternaires  9.  d'ordre  i,  2,  3.  Si  cet  ordre  est  /,  la  di- 
mension de  la  réglementaire  est  m  —  2{l  —  1). 

Il  insiste  peu  sur  les  formes  linéaires  (/  =  i)  qui  ne  donnent  rien  d'inté- 
ressant, car  dans  ce  cas  les  intégrales  sont  des  droites  courantes  et  sur  les 
formes  quadratiques  (/  =  2),  cas  qui  a  été  étudié  à  fond  par  M.  Darboux.  Mais 
il  fait  une  longue  étude  du  cas  1  =  3  lorsque  la  surface  unicursale  J  est  cuba- 
tique, ce  qui  entraîne  l'existence  de  six  points  fondamentaux.  La  dimension  de 
la  réglementaire  est  m  =  4-  La  présence  sur  la  surface  ÉF  d'une  ligne  nodale  est 
révélée  soit  par  l'abaissement  de  la  dimension,  soit  par  l'apparition  d'un  point 
Iricritique.  \oici   même   un  théorème  qui   ne  suppose  pas  que  l'équation  diffé- 


5\  SECONOr.   PAUTIli:. 

reiiliclle  est  la  réglcmenlairc  ([iii  provient  des  »]iialie  formes  cubiques  ternaires 
à  six  points  fondamentaux. 

La  dimension  étant  3,  l'existence  de  tiois  points  dicritiques  permet  de  ra- 
mener l'intégration  à  colle  d'une  équation  de  dimension  ■2;  un  quatrième  point 
dicritique  ramène  à  une  éqtiation  de  Riccati  ;  un  cinquième  ramène  aux  qua- 
dratures. Il  faut  toutefois  que  le  quatrième  ou  le  cinquième  dicritique  ne  soit 
pas  sur  les  côtés  du  triangle  formé  par  les  trois  premiers. 

L'auteur  termine  son  INIémoire  par  diverses  applications  des  résultats  géomé- 
triques établis  dans  la  seconde  Partie.  Celte  mélbode  lui  permet  d'intégrer  des 
équations  pour  lesquelles  les  métbodes  d'intégration  dues  à  INL  Darboux  ne 
réussissent  pas,  les  intégrales  particulières  algébriques  n'étant  pas  en  nombre 
suffisant. 

Liouville  (Jî-)-   —    Sur   une  équation   difTérentiellr  du   premier 
ordre.  (181-186). 

L'équation  diflerentielle 

-j-  -h{m^x^-+-  3m^x^-h  3m^x  -h-  mj  y'-h  3  (/?,a7  +  «Jy'=  o 

est  intégrable  s'il  existe  entre  les  constantes  qu'elle  contient  les  relations 

n-  (  m,«, —  3mj/iJ  ^-  2  ni^nl  =  o, 

sauf  dans  deux  cas  exceptionnels. 

L'intégration  se  fait  par  les  fonctions  hyperelliptiques  ou  elliptiques  si  l'é- 
quation numérique 

/«,  —  /i  (  5  //  —  3  )  /?■  =  o 

donne  pour  h  des  valeurs  rationnelles. 

Une  première  exception  se  présente  lorsque  n^  est  nul.  Alors  on  ne  connaît 

pas  le  moyen  d'intégrer  l'équation  diiïérentielle. 

3 
La  seconde  exception  répond  au  cas  où  /<==  -•  L  équation  proposée  se  ramène 

à  l'équation  de  Riccati  : 


dx  _  ?>n^x'- 
d\  ~       -2 


-{-  n^x  —  /;/,-!-  w?,V  +  /. 


^i^tl^SS 


HKVDK    DMS    PUinjCATIONS.  V, 


lin:  QUAUriiiKLY  .lOUKNAL  or  pi  ri«:  axd  appmrd  Mvtiik.matics,  odilod  hy 
N.-M.  Forrers.  A.  Caylcy,  J.-\V.-L.  Glaishcr,  A.-K.  Korsylli  (  '  ). 

Tome  XXIV;   icSgo. 

Baker  [If. -F.).  —  Application  des  formules  de  Wcierstrass  aux 
formes  binaires  bicjuadratiquescl  aux  formes  cubiques  ternaires. 

(.-;io). 

Le  principal  objet  de  ce  travail  est  l'application  des  formes  algébriques,  qui 
se  présentent  dans  la  théorie  de  Weierstrass,  à  la  théorie  chîs  formes  cubiques 
ternaires  et  des  formes  binaires  du  quatrième  ordre.  Les  formes  données  par 
Weierstrass  paraissent  avoir  des  rapports  plus  étroits  avec  la  théorie  des  inva- 
riants que  celles  de  Jacobi. 

Dixoii  (A.-C).  —  Sur  les  cubiques  gauches.  (3i-54). 

Etude  géométrique  intéressante  des  cubiques  gauches.  L'auteur  se  préoccupe 
surtout  des  analogies  avec  la  théorie  des  coniques.  Les  propriétés  métriques 
sont  relatives  surtout  aux  quatre  surfaces  de  révolution  du  second  degré  qui 
passent  par  une  cubique  gauche  donnée,  et  analogues  aux  propriétés  focales 
des  coniques.  Les  propriétés  descriptives  sont  les  analogues  des  propriétés  d'une 
conique  relativement  aux  pôles  et  aux  polaires. 

Tayloî^  (II. -AI.).  —  Sur  le  centre  d'une  courbe  algébrique.  (55- 
63). 

L'auteur  appelle  ainsi  le  point  fixe  qui  est  le  centre  des  moyennes  distances 
des  points  de  contact  de  la  courbe  avec  les  tangentes  parallèles  à  une  direction 
fixe.  Ce  point  jouit  des  propriétés  suivantes  :  i"  toutes  les  courbes  qui  ont  les 
mêmes  asymptotes  ont  le  même  centre;  2"  le  centre  d'une  courbe  est  le  centre 
des  moyennes  distances  des  points  d'intersection  des  asymptotes  prises  deux  à 
deux;  3°  le  centre  est  aussi  le  centre  des  moyennes  distances  des  foyers.  Les 
deux  premières  propriétés  résultent  de  ce  que  les  coordonnées  du  centre  ne 
dépendent  que  des  coefficients  des  termes  de  degré  n  ou  n  —  i;  la  dernière  pro- 
priété s'établit  aisément  au  moyen  de  l'équation  tangentielle. 

Karl  Pearson.  —  Sur  la  flexion  d'une  poutre  pesante,  soumise  à 
une  charge  continue.  (63- 1  10). 

AskwilJi  {E.-IL).   —   Sur  les  groupes  de  substitutions  que  Ton 
peut  former  avec  3,  4,  5,  6  et  7  lettres,  (i  i  1-167). 


(M  Voir  Bulletin,  XVIIT^,  p.  67. 


5G  SECONDE   PAHTIK. 

I. 'auteur  donne  d'abord  un  certain  nombre  de  propositions  générales  sur  la 
théorie  des  groupes,  dont  quelques-unes  se  trouvent  déjà  dans  le  Cours  d'Al- 
gèbre supérieure  de  Scrrct,  dont  les  autres  paraissent  nouvelles.  Dans  la  se- 
conde partie  du  Mémoire,  il  forme  par  une  méthode  uniforme  tous  les  groupes 
de  3,  4>  ^,  6,  7  lettres. 

L'auteur  ne  se  préoccupe  pas  de  former  les  fonctions  qui  admettent  un  groupe 
donné. 

Dixon  (A.-C).  —  Sur  les  fonctions  doublement  périodiques 
provenant  de  la  courbe  œ^  +JK'^  —  3xy=:  i .  (i 6^-233). 

Soit  u  ~    I l'intégrale  de  première  espèce  attachée  à  la  courbe 

x^-\-y^ — "^  xy  -\~i  ~.  0.  Les  coordonnées  x  et  y  sont  des  fonctions  uniformes 
doublement  périodiques  de  w,  ^=snw,  y=cna.  L'auteur  refait  la  théorie 
générale  des  fonctions  doublement  périodiques  en  partant  de  ce  point  de  vue; 
il  est  bien  clair  que  les  formules  ne  peuvent  diflerer  que  par  la  notation  des 
formules  habituelles. 

lliidson  [Edmoiid-CliristopJier).  —  Sur  un  développement  en 
série.  (233-245). 

Il  s'agit  du  développement  de  (n-a;)-*';  l'auleur  applique  une  formule  don- 
nant la  somme  des  produits  t  k  t  des  n  premiers  nombres.  On  arrive  à  la  for- 
mule finale 

où  tous  les  cocfficicnls  sont  commensurables. 

Mac-Mahon  [P. -A.).  —  Un  théorème  dans  le  calcul  des  opéra- 
tions des  équations  linéaires  aux  dérivées  partielles.  (246-25o). 

Théorème  sur  certains  opérateurs  linéaires  et  leurs  combinaisons. 

Jeffery  [Henry-Al.).  —  Sur  l'identité  des  nœuds  d'une  courbe 
nodale  du  quatrième  ordre  avec  ceux  des  courbes  contrevariantes 
du  quatrième  et  du  sixième  degré.  (200-256). 

Soient  U,  S,  T  la  quartiquc  primitive  et  les  deux  contrevariants  du  quatrième 
et  du  sixième  ordre.  Si  la  courbe  U  =  o  a  un  point  double  en  C,  les  deux 
courbes  S  =  o,  T  =  o  ont  le  même  point  double  avec  les  mêmes  tangentes, 
chaque  tangente  en  ce  point  est  une  tangente  d'inflexion  pour  T.  L'auteur 
fait  l'application  de  cette  propriété  générale  aux  quartiques  bicirculaires  et 
aux  quartiques  trinodales. 

Bouth  (^E.-J.).  —  Note  sur  l'intersection  d'une  courbe  avec  une 
ligne  droite.  (25--259). 


In-IVIIK   I)1«S   PUBLICATIONS.  U-j 

S(»inil  .r,,  X ^y  ...,  ./•„  Ii's  al)S(iss(;s  des  points  de  rencontre  d'une  couihe  de 
d(';;rr  //  avec  une  parallèle  y  =  m  ù  l'axe  des  .x.  On  trouve  irnrnédiatemctit  la 
r»'liiliitn  !./•-=  —  f rt^-+- c/,  )'),  c/,  et  «,  (-tant  deux  coefficients  constants;  on  (u 
doduil  par  des  dillerentialions  successives  une  suite  de  reiaticjus 

v^  (fx  yr\  d'x  yry  d^x 

2-7;^==-^<"     2-;/j^="'     2-^<r"°'      "•' 

qui  p(Mivent  s'inlerpr(''ter  iïéornélri([uem(Mit.  Appelons  p  le  rayon  de  courbure 
en  un  des  points  d'intersection,  9  l'angle  de  la  tangente  avec  la  sécante  va- 
riable, 0  l'angle  du  dianiètrc  de  la  parabole  osculatrice  avec  la  tangente;  les 
i'ornuiles  précédentes  peuvent  s'écrire 


\^  V^        I  V^  cote» --h  Cf)tO 

>    COt'J  =—  rt„,  >    — . =  o,  >    '—. =  o. 

^^  ^  psin'o  jLaà        p-sin'cp 


La   seconde    formule,  appliciuée  à  une  cubi(iue,  conduit  à  des  résultats  inté- 
ressants. 

Caylcy.  —  Une  transformation  dans  la  théorie  des  fonctions  cl- 
liptiqties.  (209-262). 

Démonstration  algébrique  de  la  formule 

pu=—^ ^ '.      ^''  ',  ou  11=    1         ^ 

attribuée  à  Weicrstrass  {voir  Halphen,  Fonctions  elliptiques,  t.  II,  p.  Sâg). 

Askwitli  [E.-H.).  —  Sur  les  groupes  de   substitutions   de  huit 
lettres.  ( 263-33 1). 

Tableau  de  tous  ces  groupes.  L'auteur  trouve  167  groupes  de  substitutions 
déplaçant  toutes  les  lettres. 

Jleawood[P.-J.).  —  Théorème  des  cartes  coloriées.  (332-338). 

Remarques  au  sujet  de  ce  théorème,  dont  on  ne  possède,  paraît-il,  aucune  dé- 
monstration :  on  peut  colorier  avec  quatre  couleurs  diirércntes  toutes  les  sub- 
divisions de  la  carte  d'un  pays,  de  manière  que  les  provinces  contiguës  soient 
coloriées  d'une  façon  diU'ércnte. 

Bakei'  (/>.-yi.).  —  Sur  le  centre  d'une  courbe  algébrique,  (338- 
33ç>). 

Remarques  au  sujet  de  l'article  de  M.  Taylor  (p.  55-6o  de  ce  Volume). 

Chrce  [C .).  —  Sur  les  vibrations  longitudinales  d'une  barre  allo- 
Iropicjue,  possédant  un  axe  de  symétrie.  (34o-358). 
Bull,  des  Sciences  niuLlieni.,  i"  série,  t.  \I\.  (Mars  i8(jj.)  R.5 


58 


SECONDE   PARTIE. 


Frank  Morlcy.   —    Sur  la  ciii('inaLifjiic  d'un    triangle  de  forme 
consLanLe  et  de  grandeur  variable.  (.');j9-3()()). 

l'^lant  donne;  un  triangle  qui  reste  scrjihliihlc  ;i  liii-incMiic  tont  en  changeant 
de  giandciir  et  de  position  dans  son  plan,  un  point  est  dit  invaiiahlcrnent  lié 
à  ce  triangle,  s'il  forme  avec  le  triangle  donné  une  figure  qui  reste  semblable 
à  eile-inèrue.  L'auteur  se  propose  d'éludior  les  trajectoires  des  points  liés  à  un 
triangle  et  les  enveloppes  des  courbes  liées  au  même  triangle,  pour  une  loi  de 
déplacement  connue.  On  est  conduit  ainsi  à  dillérentes  généralisations  des 
théorèmes  connus  de  Cinémati(jue  propi'cnjcnt  dite. 

Stleltjcs  {T.-J.).  —  Sur  quehjues  intégrales  définies  et  letir  dé- 
veloppement en  fractions  continues.  (3^0-38^). 

L'auteur  considère  d'abord  l'intégrale 


^  0 


(cosM  +  a  sin;/  )'"  si n" «<?-•''"  du  =/(  m,  n), 


où  m  et  n  sont  des  nombres  entiers  positifs.  Des  formules  connues 

I      cos pu e~-^"  du  =^  >  /      sinpue~^"  du  =  — , 

on   déduit   d'abord   sans  difficulté  que  /{m,  n)  est  une   fonction   rationnelle 

\ 

de  X, /(/»,/0  =  I -2.3.  ..«—•?  où  le  dénominateur  II  a  l'une  des  valeurs  sui- 
vantes 

B  =z{x--h  2'-){x'-h  fi-)...[x'-h{ni  -^  n)-], 

B  —{x--h  i-'){x--hy-). .  .[x'  +  {m  +  ny], 

suivant  que  m  H-  n  est  pair  ou  impair.  Quant  au  numérateur  A,  M.  Stielljes 
montre  qu'on  peut  le  définir  de  la  manière  la  plus  simple  au  moyen  d'une 
fraction  continue.  On  obtient  des  résultats  analogues  pour  l'intégrale 


(  cos  hu  -i-  a  s'in  h  u  )'"  sin  h"  u e"'"  du. 


M.  Stielljes  développe  ensuite  en  fractions  continues  l'intégrale 

s\nh(au)  s\nh  (bu)    _^ 
sin/i(c'w) 

et  d'autres  intégrales  plus  compliquées. 


du, 


SJiarpe  [IL-J.).  —  Note  sur  les  polynômes  de  Legendre.  (383- 
38G). 

Dans  son   traité  des  Fonctions  de   Laplace,  Todhunter  a  donné  la  formule 
approchée 


lUiVUK    DKS   PU  m  J  CATIONS.  59 

|>(Hir  di-'^  Viilriiis  lirs  ^landcs  de  n.  l/;i  iil  riir  (|(;  celle  Nolfî  s'esl,  [ii'()|)os(;  de 
reclierclier  |»uni'  (inelles  viileiirs  de  0  r('(|ii;il  i(»ri  |)i'ee(''d<'iile  donne  mie  V(''ril;d)Ie 
ii|)|>i°o\inialini).  Il  se  sert  |)oiir  celii  de  ['(-(Hiiit  ion  dillÏTcnt  ielli;  ;i  l;i(|n(dle,  s;ilis- 
fiiil  le  |tol\nonie  1*,^,  don!    il  clicrclie    une   solnlion    oidonnd'C    suivant   les    puis- 

San  CCS  de 

Toino  \XV;  iS(ji . 

IlomerslKiDi   Cox.   —   Applicjuioii    de    V Aiisdehnungslehre  de 
Grassiuaiin  aux  propricLcs  des  cercles,  (i-*"!). 

Caylcy.   —  Sur  les  groupes  de   subsliuilions  de  2,  3,  4^  ^j  ^>>  7 
et  8  lettres.  (71-88;  i3()-i55). 

I/illustrc  géomclre  donne,  sous  une  forme  condensée,  le  taMcau  de  tous  ces 
groupes  de  substitutions,  obtenus  par  Serret  et  par  M,  Aslvwitli. 

Workman  (  JV.-P.).  —  Tliéorie  des  singularités  des  surfaces  de 
révolution.  (89-103). 

Quand  on  fait  tourner  une  courbe  plane  autour  d'un  axe  situé  dans  son  plan, 
la  surface  de  révolution  oljtcnue  présente  en  général  des  singularilcs  provenant 
des  singularités  de  la  méridienne,  et  des  points  de  rencontre  de  cette  méridienne 
avec  Taxe.  L'auteur  ramène  toutes  les  singularités  possibles  à  huit  singularités 
élémentaires  tlistinctes,  et  donne  des  exemples  de  cliacune  d'elles. 

Cayley.  —  Sur  le  problème  des  contacts.  (104-127)- 

Le  problème  de  mener  un  cercle  tangent  à  trois  cercles  donnés  se  décompose 
en  réalité  en  quatre  problèmes  admettant  chacun  deux  solutions.  Après  avoir 
rappelé  la  construction  géométrique  donnée  par  Newton  dans  les  Principes, 
qui  revient  à  chercher  rinterseclion  de  deux  hyperboles  ayant  un  foyer  commun, 
M.  Cayley  donne  une  solution  analytique  et  développe  complètement  les  équa- 
tions. 

Mathews  [G.-B.).    —  Sur  la  classification  des  fonctions  sjmé- 
tri(pies.  (i  2^-i36). 

Appelons  ultra-leriiaire  une  fonction  symétriciue  des  racines  d'une  équation 
dont  le  terme  général  a''[d'/y...  ne  contient  que  des  exposants  supérieurs  à  3. 
Toute  fonction  ultra-ternaire  satisfait  à  deux  équations  linéaires  aux  dérivées 
partielles  et,  inversement,  toute  solution  de  ce  système  est  une  fonction  ultra- 
ternaire.  II  existe  un  théorème  analogue  pour  les  fonctions  uUra-septenaires. 

Dr  un  gaie  (  W.-E.).  —  Les  concomitants  des  formes  ternaires. 
(i55-i8i). 

Extension  aux   formes   ternaiies  des  résultats  obtenus   par  M.  llermite  pour 


Go  secondh:  partie. 

les  furriics  binaires  dans  son  Mémoire  Sur  la  Ihéorie  des  foncAions  homogènes 
à  deux  indëlerniinces  {Cambridge  and  Dublin  Malkemalical  Journal, 
vol.  IX). 

Ui/liani   Wallon.  —  Sur  les  vitesses  des  rayons  conjugués  dans 
un  crisLuI  hiaxc  cl  leur  inclinaison,   (i  82-1  85). 

Morley  (/'•)•  —  J^a  Géométrie  covariante  du  triangle.  (186-19- ). 

lîepréscntons  les  trois  sommets  d'un  triangle  par  trois  c|iianlil('-s  imaginaires 
^j,  z.,,  z^,  suivant  la  mélliode  habituelle*  ces  trois  ([nanlités  sont  racines  d'une 
é(|uation  du  troisième  ordre  U  =  az^-h  ^bz'^-\-  Scz  -\-  d  =  o.  Les  racines  d'un 
covariant  quelcoïKjue  de  la  forme  binaire  U  représentent  des  points  ayant  avec 
les  trois  sommets  du  triangle  des  l'clations  qui  se  conservent  j'ur  une  transfor- 
mation circulaire.  Ainsi  les  points-racines  du  covariant  du  second  degré  sont 
deux  points  tels  ([u'une  transformation  par  rayons  vecteurs  récipro({ues,  ayant 
pour  pôle  un  de  ces  points,  remplace  les  trois  sommets  du  triangle  proposé 
par  les  trois  sommets  d'un  triangle  équilatéral.  L'article  de  M.  Morley  se 
rattache  d'une  part  aux  travaux  de  Deltrami  sur  les  formes  cubiques  et  de  Iviein 
sur  l'icosaèdre,  d'autre  part  aux  rechcrclies  récentes  sur  la  géométrie  du 
triangle  de  Casey,  Neuberg,  Brocard,  etc. 

SlLcIljes.  —  ISotc  sur  quelques  fractions  continues.  (198-200). 
Développement  en  fraction  continue  de 

/  a        i  \      /  a        3 


■2        :\J      \  2        Z| 

Perolt    {'L).    —    Les    formules    d'interpolation    de    Gauss   pour 

/i  =zi  ■jj  8  et  9.  (200-202). 

Tableau  dos  racines  des  polynômes  de  Lcgendre  P,,^,  pour  les  valeurs 
n  =  -j,  8,  9;  ces  racines  sont  calculées  avec  16  décimales.  L'auteur  donne  aussi 
les  coeflicients  qui  se  présentent  dans  l'application  de  la  formule  de  Gauss  avec 
le  même  nombre  de  décimales. 

Cayley.  —  Sur  la  transformalion  ortliomorpliique.  (oo3-226). 

On  sait  que  la  transformation  délinic  par  la  relation  .27, -f- /;>',  =  'o{x  -\-  iy) 
fait  correspondre  aux  droites  ^  =  C,  y  =  C  une  famille  de  courbes  orthogo- 
nales et  isothermes  dans  le  plan  (^,,  j^,  ).  Si  l'on  se  donne  une  courbe  S  de  l'un 
de  ces  systèmes  et  la  courbe  S'  infiniment  voisine  du  même  S3'slème,  des  con- 
sidérations géométriques  montrent  cjne  le  sysLèmc  orthogonal  est  complètement 
délerminé.  AL  Cayley  donne  la  solution  analvlicpie  suivante  de  ce  problème. 
Supposons  la  courbe  S  représenlée  par  les  deux  équations  x^^=  p.,  j\^^  q.  p 
et  (j  étant  des  fonctions  réelles  de  la  variable  indépendante  6,  et  la  courbe  voi- 
sine S'  par  les  équations  x^^=  p  -\-  yP,  y,  =  (J  -t-  yQ,  où  y  est  inliniment  petit 


MMVllI-:    |)I':S   IMIIMJCATIONS.  r.r 

cl  on  I' cl  ()  sitiil  ;nis>i  des  fixicl  ions  de  0.  I  ►«'•liTiiiiiiniis  une  fond  ion  0  /(tv) 
ii.ir  r<'-(|iiiil  ion 

(<l  f(>iii|tl.i(;(Mis  dans  p  c\  (/  \,\  v;u-i;d)I('  0  \y,w  f  (<>v)  —  f  { .x -\- iy)  ;  \n  fonriion 
d'nnc  vaiiid)l('  ("onipli-xe  .r, -I- /j'  -'/> -\-  if/  =  'c,{x  -\-  iy  )  n'-pond  à  hi  (|ncslioti. 
I/anhMu-  rcpfoduil  anssi  uni'  solution  diiïri'enlf;  diu;  ci  iMcyc'r  { JiKdi^iirdldissc.r- 
Uition:  iS-()),  puis  il  s"oC(  iipc  du  piohiriiM;  de  la  icpii'ScnlaLion  conforiiK;  d'une 
aiiH'  sinipIcnitMil  connexe  sur   un  eorele,  doni,  il  donne  des  exemples  simples. 

Max  MciiuJL  —  Sur  la  g'cnéralisalion  d'un  ihéorcinc  de  Gauss  oL 
son  applicalior).  (  :^'>.--'2.)()). 

Démonsiralion  d'un  iJK'orème  énoncé  par  Scliering  dans  les  Proceedings  de 
r Académie  de  Berlin  (ui  juin  1S76)  : 

Soit  m  un  nombre  entier  et  n.  un  nombre  entier  impair  premier  avec  in\  en 
remplaçant  chaque  nombre  de  la  suile 

n  ■'  I 
/7J,     2/;?,     o/?i,      ...,     m, 


par  son    plus    petit  résidu  suivant   le   module  /?.,   on    obtient,   dans   un    certain 
ordre,  les  nombres  de  la  suite 

y       .  <•        3  (•  /i  —  I  ,. 


'2 

■2 


ou  c.  =  ±:i;  on  a  la  relation 

C 


■2  ^ 

(  —  j  désignant  le  symbole  de  Lcgendre  généralisé  par  Jacobi. 

Biggin[T.).  —  Stir  les  coordonnées  biangiilaires,  et  une  exten- 
sion de  ce, système  de  coordonnées  à  l'espace  à  trois  dimen- 
sions. (237-208). 

Dyson  (F.-JV.).  —  ]^cs  potentiels  d'ellipsoïdes  de  densité  va- 
riable. (209-288). 

A/athews  [G.-B.).  —  Sur  les  formes  binaires  quadratiques  à  coef- 
ficients complexes.  (289-800). 

L'auteur  étudie  les  relations  qui   existent  entre   le    groupe  de  substitutions 

linéaires^  =      -<>   où  a,  3    y    0   sont  des   nombres  entiers   complexes   tels 

que  ao  —  |îy  =:  r,  et  la  théorie  de  la  rédurlion  des  formes  binaires  quadratiques 
a  coefficients  complexes.  Les  résultats  sont  à  rapprocher  de  ceux  de  M.  Hianehi 
{Mathematische  Anncden,  t.  XWVIII,  p.  .n.))  cl  de  M.  Picard  {Malhcma- 
tischc  Aiinalen,  t.  XXXIX,  p.  i\-?.). 


= 

1  + 

T 

,  + 

r 

;   -+- 

;   + 

•• 

1 

2" 

+ 

I 

3'' 

+ 

I 

5^' 

H-  • 

l 

+  ■ 

I 
1 1 

6-4  SrXOiM)!'    PAHTin:. 

Piaf /s  (C).  —   Sur  coîMairics  classrs  (rinv;iri;uiL.s,  associés  aux 
('(liialioiis  (llf^(;l'('llLi<;II(^s  linéaires.  (.)Oo-.).)5). 

!']lii(lc   <lcs   soiTii-inv.iriiiiiLs,   rchilifs   ;iii   ras  où    l'on    iriiill  iplir    la   fonclion    in- 
coiiiuic  par  une  foncLion  de  x,  cL  aii  cas  où  l'on  (•,lian;,'(;  la  varialde  indcpendanle. 

Henry  (^I/.)  cl  Je Ifci'y.  —  Sur  ccrlaincs  propriétés  arialo<^ues  des 
quadrilatères  et  [)cntaèdres  inscrits  et  circonscrits.  (336-347)- 

Glaislier  (J.-ÏJ^.-L.).  —  Sur  les  sommes  des  inverses  des  puis- 
sances des  nombres  premiers.  (3/î 7-362). 

Soient 

s, 

tt  ë 

tous  les  nombres  entiers  figurant  dans  S„  et  les  nombres  premiers  seulement 
dans  i]„.  On  sait  (|ue  les  sommes  S,^  s'expriment  d'une  façon  simple  au  mo^en 
des  nombres  de  BcrnouIIi.  M.  Glaislier  donne  une  formule  permettant  d'ex- 
primer 2,^  au  nio^'cn  des  sommes  successives  S„,  S^,,,  S^,,,  ..  . 

-„=^1"8S„-  ^logS,,,-  ■3logS3„-  ^10-83,,+  ^logS,,.-...; 

les  seuls  nombres  ^,  3,  5,  6,  7,  ...  que  l'on  rencontre  dans  le  second  membre 
sont  ceux  qui  n'admetlenl  aucun  diviseur  carré,  et  le  signe  de  chaque  terme  est 
H-  ou  — ,  suivant  que  le  nombre  des  fai'tcurs  premiers  est  pair  ou  impair.  Cette 
formule  se  déduit  de  la  formule  élémentaire 

^y»  2  /y»  "î  /y»  i 

I  .  .  »X/  iX/  *A^ 

—  log  (r  —  .2:  )  =  J"  +  —  +    3-  -+-/-+•••  1 
d'où  l'on  tire,  d'après  un  théorème  de  IMobius, 

a:  =—  log(i  —  x)+  -  log(i  — xO^  ô  Iog(i  —  x')-{- 

Il  suffit  d'y  faire  successivement  x  =  — >  %;->  -r->  •••  et  d'ajouter,  pour  obtenir 

le  résultat  de  !\I.  Glaislier.  L'auteur  donne  le  tableau  des  valeurs  de  2,,  avec 
24  décimales,  jusqu'à  n  =80. 

Glaislier  [J  .-W.-L.).  —  Calcul  du  loi^aritlime  li  vperbolicjue  de  7:, 
avec  3i  décimales.  (362-368). 

iM.  Glaislier  se  sert  de  la  formule 

{■?.-)■'"  ■?:'"  3"'  5-"  7^« 


":>(:>//)!     "  2-"  —  i   3-"'— I    j-"'— I    7-"'— I 


UKVUF.   l)i:S   PIIMIJCATIONS.  63 

où  W  osl  le  //'*'"*'  noniUro  de  Hcnioiilli.  Il  piriul  siicressi vomcnl  n  —  5,  n  =  ii, 
cl  trouve  (les  n'-snlhils  cnncfirdiiiils,  (|ui  siiiit  aussi  (l'arrord  avec  uu  résulLat 
oltlfiiii  i>;ii'  i;iil(  T,  (|iii  avail  oilriilé  l<)f,"îr  avec  35  décimales. 

(ildislicr  (,/.-//'.-/>.).  —  Siii-  les  séries 

I  r  I  I  T 

-     -h- h7 1 1 h 

91"        3"        5"        7"        II" 

(3r.9->:>). 

Valeurs  approoliécs  dos  sommes  des  inverses  des  puissances  de  nombres  pre- 
miers, (h'puis  2  jusqu'il  x.  Applications  de  la  fornjule  de  liicmann,  qui  donne 
le  nombre  des  nombres  premiers  inférieurs  à  x,  au  moyen  du  logarithme  in- 
tégral. 

Glaisher  [J.-W.-L.).  —  Sur  les  séries 

I  I  I  I 

3/i        -ju       y/i        ,,// 

(375-383). 

Chaque  terme  de  la  série  a  le  signe  ±,  suivant  que  le  nombre  premier  qui 
figure  au  dénominateur  h^  3,  ou  i(mod4))  I-'Cs  sommes  s'expriment  au  moyen 
des  logarithmes  des  nombres  d'EuIer  et  de  Bernoulli. 

Glaisliei'  [J.-W.-L.).  —  Addition  ati  Mémoire  sur  le  calcul  du 
logarithme  hyperbolique  de  tt.  (384)- 

L'auteur  rappelle  qu'il  avait  déjà  calculé  ce  logarithme  avec  l\?>  décimales 
{Proceedings  of  tlie  London  Matheinatical  Society,  vol.  XIV^). 


Tome  XXVI;  1893. 

Cayley.  —  Note  sur  l'équation  aux  dérivées  partielles 

Rr-+-Ss-+-  T^-r-U(52— r^)— V  =  o. 
(1-5). 

Lorsque  l'un  des  deux  systèmes  de  caractéristiques  admet  deux  combinaisons 
intégrables  u  et   v,  le  premier  membre  de  l'équation  proposée  est  égal,  à  un 

lactcur  près,  au  déterminant  fonctionnel  ., :-;   on  en  déduit  donc  une  in- 

D(a;,y)' 

légrale  première  u=f{v). 

Richmond  i^IIerbert-W.).  —  Les  quartiques  cuspidales.  (5-2C)). 

L'équation  de  toute  quartique  cuspidale  peut  s'écrire,  avec    un   triangle  de 
référence  convenablement  choisi, 

(L)  ^y^+  x^zy  =  {y  +  ax){y  +  b.r) . .  .{y  +  fx), 


64  SECONOn   PAKTIE. 

où  l'on  a 

«  +  ô  +  cH-c/+e-+-/—  o; 

les  six  droilcsy  +  ax  =  o,  y  -f-  hx  =  o,  ...  sont  les  six  tani^cnlcs  menées  à  la 
quartiquc  du  point  de  rebrousscment.  Cette  fornne  de  l'équation  (K)  permet  de 
déterminer  très  aisément  les  tangentes  doubles  et  les  coniques  qui  louchent  la 
quartique  en  quatre  points.  La  discussion  du  nombre  des  tangentes  doubles 
réelles  conduit  l'auteur  à  distinguer  les  quartiques  en  quatre  catégories.  Les 
derniers  paragraphes  sont  consacrés  à  l'étude  directe  de  certaines  jiropriétés  des 
bitangentes,  propriétés  qui  ont  été  établies  déjà  pour  la  quartique  générale.  Cet 
article  constitue  un  excellent  exercice  de  Géométrie  analytitjue  à  deux  dimen- 
sions. 

MatJiews  [G .-B .).  —  Sur  le  développement  des  coordonnées  d'un 
point  d'une  courbe  gauche  suivant  les  puissances  de  l'arc.  (2^- 
3o). 

Il  s'agit  du  problème  classique  où  l'on  se  donne  la  courbure  et  la  torsion  en 
fonction  de  l'arc.  L'auteur  établit  des  formules  de  récurrence  commodes  pour 
le  calcul  des  coefficients  successifs. 

Dyson  (F.-JV.).  —  Note  sur  les  spliériques  harmoniques.  (3o- 

32). 
Soit  U„  un  polynôme  homogène  de  degré  n  en  x,y,  z; 

V  =  U„ —^ ^"^'l^,,-^ TT ^T7 ^V'U,.-... 

2  {-2/1  —  1)  "  2.'|(i/i  —  l)(2/i  —  3) 

est  une  solution  de  l'équation  de  Laplace. 

Glaisher  [J.-ÎV.-L.).  —  Sur  les  séries 

I         I         I  I  I 

P  ~  5^  ^  7^  ^  'i  i^  "~  73^  ~^ 

(33-47). 

Glaisher  {^J .-W .-L.).  —  Sur  les  séries 

I        I        I        I         I 
•2        5        7        II         1 3 

(48-65). 

L'auteur  applique  dans  ces  deux  articles  les  mêmes  procédés  que  dans  un 
précédent  travail  {Quarterly  Journal,  t.  XXV,  p.  375-383). 

Cayley.  —  Sur  les  semi-invariants.  (GG-Gc)). 

Un  semi-invariant  ne  peut  pas  toujours  s'obtenir  par  une  simple  dérivation 
au  movcn  d'une  forme  do,  même  étendue  cl  d'un  dei;ré  inférieur  d'une  unité. 


REVUK   DES   PUBMCATIONS.  G5 

E(hv(ir<l('S  {/).).  —  l\I()iiv(Mii('r)l  sl;il)l(;  (Tiii)  li(|iii(l('  visf|iifMJx, 
(hms  l('(|ii('l  lin  ('lll|)S()ï(l(î  (;.sl,  lorcu'  (\v,  loiinicr  aulour  (1(;  son  axe 
principal.  (7*>-7^^)- 

yis/i^\/'//i  (h.//.)  —  Sur  les  i;r()iip('S  do  suhslilulions  (pic  Ton 
peut  r()!'mcr  avec  neuf  IcUrcs.  ('j()-i:>S). 

IJumiriMlion  de  tous  ces  groupes.   Ou  trouve  IrcuLc-dcux  groupes  IransiLifs. 
Ldchlaii  (/?.)•  —  ^"^*  ^^^  systèmes  coaxal  de  cercles.  (129-144)- 

ForsytJi  ÎA.-R.)  —  Note  sur  une  application  conforme  spéciale. 

(145-148). 

Kludc  de  la  correspondance  entre  les  points  de  deux  plans,  définie   par  la 
relation 


c^y 


Taylor  [H. -M.).  —  Coniques  orthogonales,  (i 48-1 55). 

lîechcrche  des  coniques  qui  coupent  orthogonalcmcnt  une  conique  donnée 
aux  quatre  points  de  rencontre. 

Beniiet  {G.-T.).  — Note  sur  l'article  précédent.  (i55-i57). 

Étude  du  même  problème  à  un  point  de  vue  plus  général,  en  rapportant  les 
deux  coniques  orthogonales  à  leur  triangle  conjugué  coinnnun. 

Edwardes  {D.).  —  Mouvement  produit  dans  un  liquide  visqueux 
par  un  cylindre  animé  d'un  mouvement  de  rotation.  (157-168). 

Cayley.  —  Sur  les  réciproquants  et  les  invariants  difTérentiels. 

(169-194;  289-807). 

Résumé  des  principaux  résultats  dus  à  Halphen  et  à  Sylvester.  iM.  Cayley 
fait  remarquer  que  l'invariant  différentiel  connu  sous  le  nom  de  dérivée  sc/uvar- 
zienne  s'était  déjà  présenté  à  Lagrange  dans  un  Mémoire  sur  la  construction 
des  cartes  géographiques  {OEiivres  complètes,  t.  IV,  p.65i).  La  notion  d'inva- 
riant diirérenticl  se  trouve  expliquée  très  nettement  dans  un  Mémoire  d'Ampère 
{Journal  de  l'École  Polytechnique,  t.  VII,  p.  lôi-igi). 

Cayley.  —  Sur  les  invariants  de  Pfafi'.  (i95-2o5). 

Démonstration  des  propriétés  d'invariance,  dans  les  cas  les  plus  simples,  de 
n  =  2 ,  3 ,  4 . 

lllrlLinoiid  (^llerbert-W.).  —  Une  construclion  pour  le  polygone 
régulier  de  dix-sept  cotés.  (206-207). 


GG  secondf:  pautir. 

Soient  OA,  on  deux  rayons  recLangulaircs  d'un  cercle;  on  prend  sur  OH  un 

point  I  tel  ([ue  01  =  —r-i  puis  sur  0;V  un  point  I']  tel  que  OIE  =  —  --  •     Sur    le 

I  4 

prolongement  de  AO,  on  prend  un  point  V  tel  que  VAV  —  ^5".  Le  cercle  décrit 
sur  AF  comme  diamètre  rencontre  OB  en  un  point  K,  et  le  cercle  décrit  de  E 
comme  centre  avec  EK  pour  rayon  rencontre  OA  en  deux  points  NjCtN,.  Soient 
P,  et  Pj  les  points  qui  se  projettent  en  N^etN^;  les  arcs  AP^  et  AP^  sont  égaux 
respectivement  aux  /,  et  aux  /,  de  la  circonférence. 

Dlxon  (yi.-C).  —  Sur  l'cquaLidn  générale  des  quadriqncs  dou- 
blement tangentes  à  deux  quadriques  données,  (ao'j-^i  i). 

Si  l'on  rapporte  les  deux  quadriques  données  à  leur  tétraèdre  conjugué 
commun,  les  paramètres  dont  dépend  la  quadrique  variable  peuvent  s'exprimer 
au  moyen  de  fonctions  elliptiques. 

Dixon  (A.-C).  —  Extension  d'un  théorème  de  Géométrie  plane. 

('2  1  2-2  1  4). 

Si  l'on  mène  à  une  conique  deux  séries  de  n  tangentes,  les  n{n  —  i)  points 
communs  à  deux  tangentes  d'une  même  série  sont  sur  une  courbe  de  degré 
n  —  r,  et  ces  n{n  —  r)  points,  ainsi  que  les  2n  points  de  contact,  sont  sur  une 
courbe  de  degré  n.  Ce  théorème  se  démontre  aisément  si  l'on  prend  léquation 
de  la  conique  sous  la  forme  j^—  xz  =  o,  et  si  l'on  prend  pour  coordonnées 
d'un  point  les  paramètres  des  deux  lan[]entes  que  l'on  peut  mener  de  ce  point 
à  la  conique. 

Taylor  (^H.-]\L).  —  Qtiadriques  orthogonales.  (214-224)- 

Recherche  des  quadriques  qui  coupent  orthogonaicment  la  quadrique 

ax''  -T-  t>y^-h  c  z--\-  cl  =  o, 

en  tous  les  points  de  la  ligne  d'intersection.  Il  y  a  un  grand  nombre  de  cas 
particuliers  à  considérer. 

Artemas  Martin.  —  Sur  les  puissances  de  nombres  entiers  dont 
la  somme  est  égale  à  une  même  puissance  d'un  certain  nombre. 

(220-227). 

Exemples  d'une  méthode  assez  rapide  pour  obtenir  des  solutions  en  nombres 

entiers  de  l'équation 

rt"+  ^"H-. ..+  e"  —  h". 

Les  nombres  /t,  a,  n  étant  pris  arbitrairement  {h'>a),  on  cherche  le  plus 
grand  nombre  b  tel  que  b"'^h" — a",  puis  le  plus  grand  nombre  c  tel  que 
c"^  h"—  a"—  0'%  etc. 

Taylor  (^J.-Il.).  —  Une  preuve  euclidienne  de  Tcxtenslon,  due  à 
M.  Casej,  du  théorème  de  Plolémée.  (228-231). 


HKVUF   l)I<S   PU  H  M  CATIONS.  67 

I  )';i|irrs  |(>  I  Ii(''()iriii('  de  rioh'-tm'c,  si  un  ((ii;i(liil;il('i'0  osL  inscrit  fl;ms  nno  r.w- 
ronlVrciKM',  le  produil  des  <lia;;<)n;il('S  (^sL  éf^Jil  à  la  somme;  des  prodiiils  di;s 
cùlt'S  ()|)|)()S(''S.  (lonsich'i'ons  ((iiairo  ccM'cIrs  lanf^cnls  au  coiclt*  conside'-r»'  anx 
(|Malr('  sonnncls  du  (luadiilalrrc  ;  si  l'on  r('ni|>lacc,  dans  la  rclaLion  |)i(';c(-dcnle, 
la  distance*  de  deux  sommets  du  (luadiilalcic  par  la  lonj^neiir  de  la  tanf^ente 
commune  anx  deux  cercles  correspondants,  ou  a  l'exlcnsion  de  M.  Casey.  La 
diMMonsl  r.ilion  de  iM.  'J'aylor,  préscnlée  à  la  manière  des  anciens,  ne  falL  ajjpel 
qu'aux  éléments. 

F(nvc('lt  (Miss).  —  Nolc  sur  le  mouvement  des  solides  dans  un 
li(juide.  (i>,3  1-2;)^). 

Pcrcival-F/'Ost.  —  Klcclrincalion  des  eondncteurs.  Emploi  des 
coordonnées  bipolaires  et  d'autres  mélliodes.  (258-2'jo). 

Eriwardes  {D.).  —  Les  tensions  dans  un  solide  élastique  indéfini, 
avec  une  cavité  ellipsoïdale,  dues  à  certains  déplacements  su- 
perficiels. (2-0-2^(8). 

Caydey.  —  Noie  sur  les  fonctions  lacunaires.  (2^9-281). 

Explication  du  sens  précis  que  l'on  doit  aLlacher  à  ce  mot  de  fonction  lacu- 
naire. 

Cayley.  —  Note  sur  la  théorie  de  l'ortliomorpliose.  (282-288). 
L'équation  de  toute  courbe  plane  peut  être  mise  sous  la  forme 

':^{x  -\-  iy)  -{-  'o{x  —  iy)  =  o. 

La  solution  de  ce  problème,  dont  les  rapports  avec  le  problème  de  Dirichlet 
sont  évidents,  est  ramenée  par  M.  Cayley  à  une  certaine  éciuation  aux  diirérences. 

Maddisson  (Isabci).  —  Sur  certains  facteurs  dans  les  discrimi- 
nants des  équations  en  c  et  en/:>,  et  leur  relation  avec  les  points 
fixes  de  la  famille  de  courbes.  (3o--32i). 

S()\i  f{x,  y,  c)  —  o  une  famille  de  courbes  algébriques  dépendant  d'un  para- 
mètre c;  en  égalant  à  zéro  le  discriminant  de  cette  équation  en  c,  on  obtient 
une  équation  qui  peut  s'écrire  sous  forme  abrégée  E]\^C'=  o,  où  E  =  o,  N  =  o, 
C  =  o  représentent  respectivement  l'enveloppe,  le  lieu  des  points  doubles  et  le 
lieu  des  points  de  rebroussement.  Si  l'on  forme  l'éciualion  dillerentielle 

tl>(a:,  7,  p)  =  o 

de  la  famille  de  courbes  considérée,  le  discriminant  de  l'équation  eny?peut  de 
même  s'écrire  ECT-,  T  =  o  étant  l'équation  du  tac-locas,  c'est-à-dire  du  lieu 
des  points  par  lesquels  passent  deux  courbes  distinctes  de  la  famille,  tangentes 
I  une  à   l'autre,  i^orsque  les  courbes  passent  par  des  points    (ixes,  les  discrimi- 


68  SECONOR   PARTIR. 

nanis  peuvent,  eontenir  des  f;ictciir'S  liiK-aires  représcmfant  rli^s  firoilcs  joignant 
ces  points  fixes.  INIiss  Maddisson  montre  par  des  exemples  comment,  dans  cer- 
tains cas,  ces  lif^ties  dioites  doivent  être  considérées  comme  faisant  partie  de 
l'enveloppe,  et,  dans  d'autres  cas,  du  tac-locus. 

Carey  [F. -S.).  —  Notes  sur  la  division  du  cercle.  (320-3^i). 

La  plus   grande  partie  de  ce   travail   est  consacrée  à  l'étude  des  périodes  des 
racines  de  I  équation  — ^  o,  p  étant  un  nombre  premier. 

X  —  I 

Cole   (F.-N.).   —  Liste  des  groupes   de  substitutioDs   de   neuf 
lettres.  (372-388). 


ACTA  MATHEMATICA. 

Tome  XV;  1891  (i). 

Mittag-Lejjler  {G .).  —  Sur  la  représentation  analytique  des  in- 
tégrales et  des  invariants  d'une  éc[uatlon  différentielle  linéaire 
et  homogène.  (i-33). 

Une  équation  difTérentieile  linéaire  et  homogène  à  coefficients  uniformes 
étant  donnée,  quelle  substitution  subiront  ses  intégrales  lorsque  la  variable 
décrira  un  contour  fermé,  situé  à  l'intérieur  d'une  couronne  circulaire  déter- 
minée, laquelle  est  sup|)osée  ne  comprendre  aucun  des  points  singuliers  (quel- 
conques d'ailleurs)  de  l'équation? 

Pour  résoudre  ce  problème,  on  cherche  une  transformation  dans  laquelle  la 
valeur  initiale  soit  représentée  par  o,  la  même  valeur  retrouvée  après  descrip- 
tion du  contour  fermé  correspondant  à  une  autre  valeur  t^  de  la  nouvelle  va- 
riable, située  dans  le  domaine  de  convergence  des  séries  qui  représentent  les 
intégrales.  Désignons  alors  par 

Yk        (A-  =  o,  I,  2,  ...,  «  —  i) 

(où  ti  est  l'ordre  de  l'équation)  l'intégrale  dans  le  développement  de  laquelle 
(suivant  les  puissances  de  la  variable)  un  seul  des  n  premiers  coefficients  est 
différent  de  zéro,  le  A'^'"",  ce  coefficient  étant  égal  à  A!  et  soit  y'/^  l'intégrale 
qui  jouit  des  mêmes  propriétés  pour  la  valeur  finale:  on  aura  évidemment 

où  Cj;.-  est  la  valeur  delà  dérivée  i'^'"^  ^^  Yu  lorsque  la  variable  prend  cette  va- 
leur finale.  Les  équations  (i)  définissent  la  substitution  cherchée  S,  sauf  à  tenir 
compte,  ce  qui  est  facile,  du  changement  de  variable  qui  a  été  opéré. 


(•)  Voir  Bulletin,  t.  XIX^,  p.  i5. 


IU<:VUI<    DI'IS    PUBLICATIONS.  fiç) 

r/crnicre    transformai  ion     (coiiipiriianl,    comme    (;;is    parlinilicr    ccîIIc    de 
M.  l'oiiicarc).  —  x^  Olaiit  la  valeur  iiiiliale  de  la  variable  donnée,  on  fera 


t  = 


(I) 


TU 

—  I 


7W 

X  x-î/' 

—  1    +1 

X., 


h  étant   choisi  siifnsamment  petit,    les   séries   intégrales  seront  convergentes 
pour  ^  <i,  et  la  valeur  x^  retrouvée  correspondra  à  la  valeur 


t  =  t.= 


//  —  r 


Bien  enlcndu,  les  invariants  de  la  substitution  S,  c'est-à-dire  les  coefficients 
de  l'équation  en  s  correspondante,  sont  indépendants  de  x^.  Comme  on  peut  dé- 
velopper les  quantités  qui  y  figurent  suivant  les  puissances  de  x^,  les  ex- 
pressions des  invariants  qu'on  en  déduit  se  réduiront  à  leurs  premiers  termes. 

Seconde  transformation  (méthode  de  M.  Hamburger).  —  Posaat 

la  valeur  finale  correspondra  à  x  —  2/7:. 

Mais,  dans  celte  méthode  de  M.  Hamburger,  la  valeur  2^7:  peut  ne  pas  être 

comprise  dans  le  cercle  de  convergence  des  séries  intégrales.  M.  iMittag-Lefdcr 

tourne  la   difficulté  en   divisant  le  cercle  de  rayon   |  x^l  en  /  parties  égales  et 

calculant  successivement  les  l  substitutions  (i)  correspondant  aux  passages  de 

"2  i ~  .  \  i~ 

la  valeur  t  :=  o  à  la  valeur  t  =  — —  ;  de  celle-ci  à  x  :=  —j-  -,  et  ainsi  de  suite. 

La  composition  de  ces  substitutions  fournit  évidemment  le  résultat  cherché. 

Le  Mémoire  se  termine  par  l'étude,  faite  d'après  les  mêmes  principes,  du  cas 
où  plusieurs  points  singuliers  sont  en  ligne  droite. 

Cassel  (G.).  —  Sur  un  problème  de  représentation  conforme. 

(33-45). 

Considérons  un  domaine  U  limité  d'une  part  par  des  segments  de  l'axe  réel, 
d'autre  part  par  des  cercles,  en  nombre  infini,  ayant  leurs  centres  sur  cet  axe, 
sans  points  communs  et  ne  s'éloignant  pas  indéfiniment.  On  peut  trouver  une 
représentation  conforme  d'un  pareil  domaine  sur  un  demi-plan. 

A  cet  effet,  soit  \,^{u)  la  substitution  linéaire  résultant  de  deux  inversions 

successives,  l'une  par  rapport  au  |x'«°'^  cercle,  l'autre  par  rapport  à  Taxe  réel. 

En  combinant  de  toutes  les  façons  possibles  les  substitutions  A.^^  on  obtient  un 

groupe.  Les  différents  domaines  transformés  de  U  par  les  substitutions  de  ce 

groupe  n'ont  aucune  partie    commune.  On    en    déduit  que  les  diamètres  des 

cercles  transformés  des    cercles    donnés   par  les  mêmes  substitutions  forment 

une  série  absolument  convergente.  Il    eu    est    par   suite   de  même  du  produit 

u  —  a       .  ,  ...  /     I .  •  •  , 
T-j  OU  u  est  la    variable,  a  cl  0   désignant  successivement  les   trans- 
it —  t< 


ri 


70  SIîCONDIi;    PAUTI  K. 

formés,  par  les  difr/Tonlrs  sni)sLitiilions  fin  groupe,  des  points  (rinlerseelion 
d'un  cercle  (lomu;  ap[);irl.cnaiit  à  la  S('iie  avec  Taxe  f(''el.  F.e  carré  de  ce  produit 
réalise  la  rcpréseuLalion  conforme  clit;r(li('e.  Il  rcslc  inall('r('  par  les  suhslilu- 
lions  du  j;r()U[)e  cL  présente  plusieurs  autres  [iropriétés  analyticjues  intéressantes. 

Kowalewski  (J/'"^  S.).  —  Sur  un  lliéorcmc  de  M.  Bnins.  (45-53). 
Ce  théorème  est  le  suivant  : 

«  Une  surface  fermée  S  étant  donnée,  il  existe  une  fonction  u  satisfaisant  à 
l'équation 

s'annulant  ainsi  que  ses  dérivées  premières  en  tout  point  de  S  et  développahle 
en  série  de  Tuyior  autour  d'un  point  régulier  quelconcjue  de  cette  surface.  » 

Pour  le  démontrer,  considérons  les  points  de  l'espace  comme  définis  par  leur 
distance  normale  s  à  la  surface  et  les  coordonnées  curvilignes  u^  v  du  pied  de 
cette  normale.  La  surface  donnée  correspond  à  5  =  o. 

D'ailleurs  réquatiou  (i),  écrite  dans  ce  nouveau  système  de  coordonnées,  est 
de  la  forme 

Q. h  *I>  =  0 

Os' 

(oii  *ï>  ne  contient  plus  — -\  et  a  d'ailleurs  ses  coefficients  développables  au- 

\  Os'  ) 

tour  de  chaque  point  de  S.  D'après  le  théorème  fondamental  de  M"'^  Kowa- 
Icwski,  il  existe  donc  une  intégrale  U  développahle  dans  les  mêmes  conditions 
et  s'annulant  pour  5  ^  o,  si  û  n'est  ni  nul  ni  infini.  Or  on  trouve 

E,  F,  G  étant  les  coefficients  de  Gauss,  ^^i^-,  les  rayons  de  courbure  principaux. 

KocJi  (II.  von).  —  Sur  une  applicalion  des  délerniinants  infinis 
à  la  lliéorie  des  équations  difFérentielles  linéaires.  (53-G5). 

L'emploi  des  déternunants  infinis  permet  d'étendre  la  théorie  de  M.  Fuchs 
au  cas  où  les  intégrales  ne  sont  pas  régulières. 

Il  faut  alors  considérer  une  intégrale  de  la  forme  y  =   >   ^-^  jc?+'',  où  )v  est  un 

À 
entier  variant  de  — ce  à  +  x.  En  écrivant  (|ue  cette  expression  satisfait  à   l'é- 
quation linéaire  donnée,  dont  l'ordre  est  n,  on  a  les  équations  en  nombre  infini 

(0         ffrn-^ 2^  'i',u'A?)ffK=(^         (/«  =  0,  ±1,  ±2,  ...,=iix;  )v  7f  m). 
X 

Les  t|^,„^  ont  pour  dénominateur  9(0  -h  m),  où  cp  est  un  certain  polynôme  de 
degré  n. 

Le  déterminant  inlini  des  é(iualioiis  (1)  est  convergent  pour  toutes  les  valeurs 


lU'VUK    l)i:S   I'IJ|{|J  CATIONS.  71 

(le  0  (|iii  ne  soiil   iMciiH's  (r.mciiiH;  des  ('•(lualions 

( .'  )  cp (  p  -I-  m)~  o         { fn  ~  o,  zt  i ,  -±  2,  . . . ,  ±  ce). 

Il  (li-nnil  une  certaine  fonrlioti  il  de  p,  fonction  périodique  et  ne  présentant 
([lie  des  discontinuités  p()laii'<'S  correspondant  aux  racines  des  é(|nalions  (2), 
l.i(|uclle  est  par  cons(''(|Ucnt  de  forme  tiif<onornétri(jue. 

Kn  siipposaiiL  (|tu' r('(|ual ion  c5(p)=  o  ail  toutes  ses  racines  inégales  et  mèrnc; 
incon^rucules  (ne  dillV-i-aut  pas  par  des  nombres  entiers);  que  les  résidus  cor- 
rospondanls  de  ii  (  p  )  soient  tous  dillerenls  de  o;  en(in,  que  cette  fonction  £i(p) 
ail  //  /éros  iii("oni;ruciils,  on  obtient  le  développement  en  série  de  toutes  les 
solutions,  chacun  des  zéros  de  ii(p)  correspondant  à  une  intégrale  de  la  forme 
tlonnée  ci-dessus. 

Gyldèn  (//  ).  —  Nouvelles  recherches  sur  les  séries  employées 
dans  les  théories  des  [)lanrtes.  (65-H)()). 

M.  Gyldèn  a  étudié  dans  un  précédent  IMémoire  une  équation  diiïérentielle  du 
second  ordre  qui  se  présente  fréquemment  en  iMécani({ue  céleste.  Cette  équa- 
tion devient  linéaire  par  la  suppression  d'un  terme  du  troisième  degré  en  la 
fonction  inconnue.  iMais  cette  suppression  n'est  pas  toujours  légitime,  même 
comme  première  approximation. 

L'équation  peut  être  prise  sous  la  forme 

(0  ^  +(^-?.)p-?3p^--2]T<-cos[(,-a,)c^-B,] 

i 

OÙ  les  quantités  ,3.,  a-,  ...  sont  très  petites  de  l'ordre  des  forces  perturbatrices. 
Eu  négligeant  le  terme  en  p%  on  serait  conduit  à  écrire  l'intégrale 

(2)         p  =  xcos[([  — c)t'  — r]-4-y ^^ -cos[(i— cr.)t^  — B.], 

■^"    jjj  —  2  (jj-  +  Ci 
i 

(en  désignant  par  ç  une  constante  convenablement  choisie  et  par  x,  F  des  con- 
stantes arbitraires).  Or,  si  une  ou  plusieurs  des  quantités  [i^ — 20-.+ a^  de- 
viennent très  petites  d'un  ordre  supérieur  aux  quantités  primitives,  l'expression 
de  p  se  piésente  sous  forme  infinie,  ce  qui  uiontre  que  la  suppression  opérée 
n'était  pas  justifiée. 

1.  Pour  tenir  compte  du  terme  en  p%  réduisant,  pour  simplifier,  le  second 
membre  de  l'équation  (i)  à  un  seul  terme,  on  posera 

P  =  Po+I^^ 

avec 

p^=  XCOS/+  '/..cosf, 

/.  =  (i-7)P-B, 

R  étant  la  nouvelle  fonction  inconnue.  La  fonction  p„  dépendra  des  indéter- 
minées x,,çet  l'on  cherchera  à  calculer  ces  paramètres  de  manière  que  l'équa- 
tion en  U  ne  contienne  pas  de  terme  en  eosy  ni  en  cos/",.   On  trouve  pour  /., 


7?.  SECOND  l<    PARTIE. 

une  éi|uati()n  du  Irnisiènic  âc^ré  qui  pcrrnclira  de  l'exprimer  en  fonction  des 
P,  y,  G-,  ....  Les  formules  ainsi  ohleniics  monlrenL  en  |)arLiciilier  ([iic  pour 
Jj, —  2JH-a^— o,  le  piiiamèLre  y.,  |)r(ii(l  iiih;  valeur  hicii  (h'-lerminéc,  au  lieu 
que  si  l'on  n'envisaj^eail  pas  le  lerine  en  xj,  on  verrait  intervenir  un  teinic 
non  périodi(|ue,  d'où  résulterait  rinstahilité  du  système. 

Pour  obtenir  le  développement  de  p,  l'auteur  se  sert  du  principe  suivant  : 
Soit  F  :=  ()  une  équation  dillérenticlle  déterminant  la  fonction  inconnue  .27.  En 
posant  a?  =  jK  +  ô,  on  est  lihrc  de  décomposer  arbilrairenient  Je  preiuier 
membre  de  Péquation  liansformcic  en  deux  parties  qu'on  égaiera  séparément  à 
zéro.  On  pourra  alors,  en  simplifiant  le  plus  possible  la  première  équation,  en 
tirer  jKs  après  quoi  l'on  cherchera  à  obtenir  z  par  la  seconde  équation,  et  c'est 
une  nouvelle  décomposition  de  l'équation  primitive  en  deux  parties  qui  fournira 
la  seconde  approximation. 

On  obtient  ainsi  un  développement  en  série  que  l'on  simplifie  par  un  change- 
ment convenable  de  variable  et  de  fonction,  où  la  nouvelle  variable  u  passe 
par  les  valeurs  o,  2-^,41^,  ...  en  même  temps  (jue  l'ancienne. 

2.  Les  équations  qui  figurent  dans  la  partie  précédente  peuvent  s'intégrer  à 
Paille  des  fonctions  cllipti([ues.  On  est  conduit  en  effet  à  mettre  l'inconnue 
sous  la  forme  G  cos/,  +  II  sin/,  et  à  introduire  la  quantité  G^+IP=t,-.  Or 
on  trouve  qu'une  variable  x;,  liée  linéairement  a  Tj^  peut  être  considérée,  en  pre- 
mière approximation,  comme  dépendant  elliptiquement  du  temps.  Si  ensuite 
on  veut  apporter  à  cette  valeur  de  z  la  correction  nécessaire,  on  est  conduit  à 
une  équation  linéaire  qui  s'intègre  encore  par  les  fonctions  elliptiques,  en  par- 
tant de  la  remarque  suivante  :  Soit 

(3)  \=f{x,a,b) 

l'intégrale  supposée  connue  de  l'équation 

<4)  g  =.,>.), 


on  aura 


èO^'^v. 


et  si,  dans  le  facteur  9' (Y),  on  remplace  ^'  par  son   expression  connue  (3), 

l'équation    (5)    deviendra  une   équation    linéaire  en  — •  Or  Péquation  qui   se 

Ou 

présente  dans  la  question  actuelle  est  précisément  de  cette  dernière  forme  (5), 
et  on  a  ainsi  une  intégrale.  L'autre  intégrale  en  résulte  d'après  les  méthodes 
ordinaires. 

Les  solutions  asymptotiques,  c'est-à-dire  celles  où  certains  arguments  tendent 
vers  des  limites  déterminées,  au  lieu  de  varier  périodiquement,  se  distinguent 
par  ce  fait  que  les  fonctions  ellipliciues  sont  remplacées  par  des  exponentielles. 
Mais  ces  exponentielles  peuvent  ne  figurer  qu'en  apparence  et  être  introduites 
par  la  méthode  d'intégration,  laquelle,  dans  ce  cas,  ne  doit  plus  être  appliquée 
sous  cette  forme.  On  constate  en  efiet  que  les  approximations  cessent  de  con- 
verger. 

3.  Les  fonctions  elliptiques  peuvent  aussi  être  introduites  à  Paidc  d'un  argu- 


HEVUK   DKS  PUBLICATIONS.  j!} 

iiit'iil  H  dont   la  dirivi'c  osl    liée  à  z.  Vnv  la  fclalion  sinH    -  /siri'f  on  snljsLiliif; 
un  nouNcI  ai'i^iinicnL  -^  (|ui  csl.  une  ("onclion  clliitliiiuc  de  v. 

\.  l\t'|)r(Mianl  rr(|nati()u  donnée  cL  y  remplaçant,  p  par  p.^n-  W,  on  peut  délcr- 
niiner  p^,  par  ré(|nation  (i)  privi'ede  scconrl  ineird)re 

Celle-ci  est  manifeslcinent  une  éffuaLion  elliptique.  Si  alors  on  passe  à  la 
seconde  équation,  l'équation  en  H,  on  peut,  en  première  approximation,  consi- 
dérer son  second  membre  comme  connu,  moyennant  quoi  on  a  à  intégrer  une 
équation  de  Lamé.  De  la  forme  des  expressions  obtenues  on  déduit  la  conver- 
gence des  séries  qui  ont  ces  expressions  pour  termes  et  qui  entrent  dans  l'in- 
tégrale de  l'équation  complète.  Si  dans  la  série  des  approximations  successives, 
on  trouve  des  termes  non  trigonométriques,  on  les  détruira  comme  il  est  in- 
diqué dans  le  Mémoire  précédent,  Die  intermédiare  Dahn  des  Mondes  {Acla 
Mathematica,  t.  VII). 

Catalan  (^.)-  —  Stir  la  courlnire  des  surfaces.  (i(ji-ic)3). 

La  définition  de  la  courbure  proposée  par  M.  Casorati  {Acta  Mathematica, 
t.  XIV')  présente  cet  inconvénient  de  conduire  à  la  môme  expression  pour  une 
surface  à  courbures  opposées  que  pour  une  surface  à  courbures  de  même  sens. 
RI.  Catalan  en  propose  une  autre,  fondée  sur  la  considération  de  l'aire  de  la 
portion  de  surface  interceptée  par  un  plan  parallèle  au  plan  tangent. 

Peterseii  (/•)•  —  Théorie  des  graphes  réguhers.  (ig3-22o). 

La  théorie  des  invariants  conduit  {voir  Hilbert,  Math.  Ann.,  t.  XXXIII)  à 
considérer  les  produits  de  la  forme 

qui  sont  du  même  degré  par  rapport  à  chacune  des  variables  x^.  A  tout  pareil 
produit  on  peut  faire  correspondre  un  tracé  ou  graphe  dans  lequel  les  x  sont 
représentés  par  autant  de  points,  les  facteurs  binômes  du  produit  (i)  par  des 
lignes  joignant  ces  points  et  comptées  avec  un  degré  de  multiplicité  égal  à 
l'exposant  correspondant.  Ce  graphe  devra  par  conséquent  être  régulier,  c'est- 
à-dire  qu'en  chaque  point  aboutiront  le  même  nombre  de  lignes.  Le  nombre 
des  points  est  dit  Vordre  du  graphe  (en  théorie  des  invariants  c'est  l'ordre  de 
la  forme  donnée);  le  nombre  constant  des  lignes  aboutissant  en  chaque  point 
en  est  le  degré  [correspondant  au  degré  de  l'invariant  (i)]. 

Le  produit  (i)  sera  décomposable  en  facteurs  de  même  forme  si  le  graphe 
peut  être  considéré  comme  résultant  de  la  superposition  de  deux  graphes 
partiels  (également  nommés /ac^e?^/'^)  de  même  ordre,  mais  de  degré  moindre. 
Le  problème  important  est  la  recherche  des  graphes  primitifs,  c'est-à-dire  non 
décomposables  en  facteurs. 

1.  Tout  graphe  de  degré  pair  est  décomposable  en  facteurs  du  second 
degré. 

On    démontre    d'abord  la  proposition  pour  le  degré  4,  en  remarquant  que  le 
Dull.  des  Sciences  mathém.,  2*  série,  t.  XiX.  (Avril  189.').)  H, G 


74  SECONDE   PARTIE. 

fçraplio  peut  cire  décril  d'un  seul  trait  continu  et  pi'cnant  l'ensemble  des  lignes 
de  rang  pair,  puis  l'ensemble  des  lif^nes  de  ran^'  impair.  Puis  on  passe  au  cas 
général  par  les  deux  propositions  :  i"  En  remplaçant  les  lignes  ab^  cd  d'un 
graphe  par  les  deux  ac,  bd,  le  nouveau  graphe  est  décomposable  en  facteur  du 
second  degré  si  l'ancien  l'est;  :>"  tous  les  graphes  du  même  ordre  et  du  même 
degré  se  déduisent  les  uns  des  autres  par  l'opération  précédente. 

1.  Au  contraire  il  existe  des  graphes  primitifs  de  degré  impair  aussi  élevé 
qu'on  veut  si  l'ordre  est  pris  suffisamment  grand.  Mais  si  l'ordre  (qui  est  né- 
cessairement pair)  est  limité  et  donné,  par  exemple,  égal  à  2/?,  le  degré  d'un 

,  ...»  ,  ,   .  >   2  /i  ^     • 

graphe  primitij   ne  peut  être  supérieur  a  -^ — \-\.  Ceci  se  voit  en  prenant 

dans  le  graphe  un  nombre  a,  aussi  grand  que  possible,  de  lignes  n'ayant  aucune 

extrémité  commune.  On  reconnaît  alors  :  i"  que  ad  ^;  2°  que  si  y.  =  n —  a, 

le  graphe  consiste  en  un  facteur  de  degré  2X  -+- 1  au  plus  et  en  facteurs  du  se- 
cond degré  :  d'où  le  résultat  en  question. 

Il  est  probable  que  les  graphes  primitifs  de  degré  impair  doivent  tous  ren- 
fermer àQ%  feuilles,  c'est-à-dire  des  parties  ne  communiquant  avec  le  reste  que 
par  une  seule  ligne.  La  proposition  est  démontrée  seulement  pour  les  graphes 
de  degré  3,  à  l'aide  des  chaînes,  c'est-à-dire  de  chemins  prolongés  aussi  long- 
temps qu'on  n'est  pas  arrêté  par  le  manque  de  lignes  disponibles.  Ces  chaînes 
sont  en  nombre  égal  à  la  moitié  de  l'ordre.  Elles  ne  peuvent  être  toutes  com- 
posées d'un  nombre  pair  de  lignes  si  le  graphe  est  primitif.  Les  mêmes  consi- 
dérations permettent  de  construire  directement  tous  les  graphes  primitifs  du 
troisième  degré. 

Range  {C).  —  Sur  le  calcul  numérique  de  l'argument  des  fonc- 
tions cycliques,  hyperboliques  et  elliptiques.  (221-248). 

(i)  f{u)=a,,-ha^u-haji^-{-... 

étant  une  fonction  quelconque  développable  en  série,  si  l'on  sait  calculer// -| 

en  fonction  de  f{u),  ou  pourra,  en  répétant  ce  calcul,  trouver  la  valeur  de  u 
qui  correspond  à  une  valeur  donnée  de/.  Si,  par  exemple,  «,  est  supposé  dif- 
férent de  o,  u  sera  manifestement  la  limite  de  —    /(  r;;  )  ~  '^'o  h  puisque  l'on  a 


(2)  2"[^/(^,)-rï„j  =  r/,//-i-./,-^ 


-I-. 


C'est  au  fond  la  méthode  d'Archimède  pour  le  calcul  de  -::. 

M.  Runge  modifie  ce  calcul  de  manière  à  obtenir  une  approximation  bien 
plus  rapide.  Il  suffit,  pour  cela,  de  combiner  linéairement  les  équations  ob- 
tenues en  remplaçant  successivement  n  par  o,  i,  2,  . . .,  /i  dans  la  formule  (2), 
de  manière  à  faire  disparaître  les  termes  en  i/\  ....  u''+\  Les  multiplicateurs 
sont  les  coefficients  du  polynôme 

(x  —  2^)  {x — 2')  .r  —  2"+' 

r('^)=  — — : — 'zr-  ■••  — — zT-> 


rkvuiî:  ors  publications.  75 

cl  l'on  voit    que   rcrrcnr  rommisc  n'est  |)Iiis   (le   l'ordre  'If^    -  >  mnis  âc  l'ordre 
(le  — j r->  cl  cela  dans  l'Iiypollièse  la  plus  défavorable,  celle  où  la  convergence 

de  la  série  (i)  est  très  Icnlc.  Hicn  entendu,  si  certains  coefficients  a  sont  nuls, 
on  n'a  |)as  besoin  d'annuler  les  termes  correspondants  de  la  combinaison 
linéaire,  ot  on  peut  en  profiler  i)()ur  annuler  des  termes  plus  éloi^^nés  encore  et 
serrer  davantage  l'approximation,  en  changeant  l'expression  du  [)olynôme  9  (a;). 
C'est  ce  qui  arrive,  en  particulier,  pour  les  fonctions  paires  ou  impaires. 
I/auteur  applique  cette  méthode  au  calcul  : 

1°  D'un   arc   sinus.  En   particulier,   la  longueur   approchée   d'un    arc   Alî  du 
premier  quadrant  et  dont   le  sinus  est  représenté   par   la    longueur   AG    est 

AH  H-  r(AD  — AC).  Pour  le  calcul  de  tt,  Archimède,  par  le  moyen  du  poly- 
gone (le  96  C()tés,  n'était  arrivé  qu'à  la  quatrième  décimale.  La  méthode  actuelle 
pcrniet,  sans  employer  les  polygones  suivants,  d'arriver  à  la  seizième; 

2°  D'une  fonction  hyperbolique  inverse; 

3°  D'une  intégrale  elliptique  de  première  espèce.  On  a  une  difficulté  à  vaincre, 

qui  est  le  calcul  d'une  limite  supérieure  du  coefficient  de dans  l'erreur 

^  ^  ntn  +■  1) 

2        2 

commise. 

iM.  Runge  donne  une  table  des  coefficients  de  ^{x)  pour  les  premières 
valeurs  de  n.  En  général,  le  calcul  de  o{x)  dépend  de  l'expression 

ce  qui  permet  de  donner  une  formule  générale  pour  les  coefficients  demandés. 

KnoblaucJi  (/.)•  —  ^^^^  ^^  signification  géométrique  des  équations 
fondamentales  de  la  théorie  des  surfaces.  (249-208). 

Les  relations  différentielles  du  troisième  ordre  relatives  à  une  surface  et 
indépendantes  des  coordonnées  peuvent  s'écrire  à  l'aide  des  quantités  suivantes  : 
1°  les  rayons  de  courbure  principaux  p,,  p^,  ou,  ce  qui  revient  au  même,  les 
courbures  principales  /',,  r./,  2°  les  courbures  principales  de  la  première  nappe 
de  la  développée,  introduites  par  leur  somme  H,  et  leur  produit  K  ;  3°  les 
mêmes  quantités  relatives  à  la  seconde  nappe;  4°  les  courbures  géodésiques  g^, 
gj  des  lignes  de  courbure.  Les  deux  dernières  formules  de  M.  Godazzi  s'écri- 
vent ainsi 

r]gA^\g.-iK(r^-r^)]  +  1<^A>\~  rj^{ri-h  gi)  -  0, 
'igd^\g.-^yA'\-  f\)]  ^i^2i'\-  f\yi''l-^  gl)  =  o, 

et  permettent  de  cliasscr  II,,  H^  des  expressions  obtenues. 

Pour  les  équations  du  quatrième  ordre,  il  faut  introduire  les  dérivées  ^  r 
(où  i,k  =  i,2)  de  la  courbure  géodésique  g^  par  rapport  à  l'arc  de  ligne  de 
courbure  d'indice  k. 

Par  exemple,  l'équation  qui  caractérise  les  surfaces  à  représentation  sphérique 
isotherme  est 


7G  SECONDIî:    PAUTIIi. 

et  celle  des  surfaces  à  lignes  de  courbure  planes  dans  un  système  : 

Stenbei^g  {E .-A.).  —  Sur  la  forme  générale  des  intégrales  uni- 
formes des  équations  dinerentielles  linéaires  à  coefficients 
doublement  périodiques.  (259-279). 

Les  intégrales,  supposées  uniformes,  d'une  équation  linéaire  à  coefficients 
doublement  périodiques  se  partagent,  comme  on  sait,  en  groupes  tels  que  la 
substitution  S  résultant  de  l'addition  d'une  période  à  la  variable  indépendante 
ne  déplace  que  les  intégrales  d'un  même  groupe.  On  obtient  sous  une  forme 
assez  simple  l'expression  générale  de  ces  intégrales  en  procédant  par  induction. 

Pour  simplifier,  nous  pouvons  supposer  que  l'équation  donnée  P„,  d'ordre  n, 
ne  renferme  qu'un  seul  groupe  d'intégrales  puisque  toute  équation  se  décom- 
pose en  facteurs  jouissant  de  cette  propriété.  L'équation  P„  admettant  néces- 
sairement une  intégrale  doublement  périodique  de  seconde  espèce  y,,  si  l'on 
substitue  à  la  fonction  y  une  autre  inconnue  u  donnée  par  la  relation 


.Ja 


(i)  y=y,Judx, 

la  fonction  u  satisfera  à  une  équation  P„_,  de  la  même  classe,  mais  d'ordre 
moindre.  Si  nous  supposons  que  les  formes  générales  cherchées  aient  été 
trouvées  pour  les  équations  d'ordre  n — i,  la  formule  (i)  fera  connaître  ces 
mêmes  formes  pour  les  intégrales  cherchées. 

Il  est  à  remarquer  que  les  fonctions  u  ne  sont  pas  absolument  quelconques 
parmi  celles  qui  sont  susceptibles  de  vérifier  une  équation  P„_,.  Elles  doivent 
être  telles  que  les  intégrales  (1)  soient  uniformes. 

En  procédant  ainsi,  on  arrive  aux  conclusions  suivantes  : 

Les  intégrales  d'un  niême  groupe  ont  la  forme 


ou 


y.n  =   9  (  ^-^  )  [  -^m,,  -+-    ^.n,,  9.  (  «Z-  )  +  •  •  •  +  -^„,,,„-,  '■?,„-.  (  ^  )  "^  r  ,n  (  ^  )]  ^ 


1°  9(^)  est  doublement  périodique  de  seconde  espèce; 

2°  o^{x),  ...,  9„j(^)  sont  doublement  périodiques  de  première  espèce; 

3°  Les  quantités  \^  ,^  sont  des  polynômes  entiers  du{[i.  —  v)"'""^  degré  par 

q'  (  X  X    ) 

rapport  aux  variables  x  et  <^  ■=  — '--■  De  plus,   il  existe  m  {m  — i) 

constantes  a.^  ^  et  b,^  .^  telles  que  les  m  {m  —  i)  équations  du  système 

ô 


soient  des  identités. 


UKVUli:  DIÎS   PUBLICATIONS.  77 

Applicnlion  est  faite  à  ré(|ii.ili(>n  du  Iroisiùinc  ordre. 

Sur  une  Iransccndanlc  rcmarcjuahlc  Irouvdc  par  M.  FrcdJiolrn. 
Extrait  d'une  lettre  de  M.  Mitta^-Lcfflcr  à  M.  Poincaré.  ('>79- 
i>.8i). 

\a\  loncLioli  de  x 

V  a''x''\ 
v  =  o 

dévcloppablc  dans  le  cercle  de  rayon  i,  est  finie  cl  continue  ainsi  que  toutes 
ses  dérivées  sur  ce  cercle.  Néanmoins  elle  admet  ce  cercle  comme  ligne  sin 
gulière  et  ne  peut  être  prolongée  analytiquemcnt  au  delà. 

Appell  {P')'  —  Sur  des  équations  difTérentielles  linéaires  trans- 
formables en  elles-mêmes  par  un  changement  de  fonction  et  de 
variable.  (281 -3 16). 

M.  Appell  prend  comme  point  de  départ  les  travaux  de  M.  Kœnigs,  relatifs 
aux  équations  fonctionnelles  du  type  /[9(c)]  =  4'[/(-^)]>  ^^  ?(-2)  est  une 
fonction  donnée  holomorphe  autour  d'un  certain  point  a;  qui  vérifie  l'équation 
cp(x)  =  ^  et  l'inégalité  \o'{x)\  <i.  La  plus  importante  de  ces  équations  est 

(0  /[?(-)]  =a/(^), 

laquelle  n'admet  de  solution  holomorphe  ou  méromorphc  que  si  a  est  égal  à 
une  puissance  entière  de  o{x),  auquel  cas  la  solution  est  une  puissance  d'une 
certaine  fonction  holomorphe  B(z),  nulle  au  point  x. 
M.  Appell  commence  par  étudier  l'équation  plus  générale 

(2)  /[?(^)]  =  ;^/(^)-^(^), 

oîi  6  et  CI  sont  deux  fonctions  holomorphes  autour  du  points,  la  première  vé- 
rifiant la  condition  |<^(:r)|  <i.  La  solution  est  manifestement  fournie  parla 
série  convergente 

ao 

(3)  f^{z)  =  ^<^{z)^{z^)...^{zjT3{z,,), 

n  =  0 

où  5,=  9 (s),   ...,  z,^=  '^(^„_,). 
Cette  solution  est  unique  si  l'on  n'a  pas 

(^)  ■Hx)  =  ['^'ix)]". 

Cela  posé,  soif 

(•T  )  —, —    —  U/(z)   =  n 


78  SECONDE   PAUTIH. 

une  équation  linéaire  du  second  ordre  privée  de  second  terme.  Cette  équation 

reprendra  la  même  forme  lorsqu'on  remplacera  z  par  9(2)  et  u  par  m y/'-f  ( *  ) , 
si  l'on  a 

(6)  /[9(^).l  =  ^./(^)+      •     4,^>.    '    ' 

Or,  cette  équation,  en  y  considérant  9  comme  donné  et  /  comme  inconnu, 
est  de  la  forme  (2)  et  l'on  peut  en  former  la  solution  f^{z).  L'é(juation  (5) 
correspondante  admettra  deux  solutions  holomorphcs  que  le  cliangCFuciit  de  va- 
riable considéré   conservera  à  un   facteur  constant  près,  d'où  l'on  déduit  aisé- 

ment  que  ces  solutions  seront  de  la  forme '■ — —  • 

sjn'iz) 

En   reportant  dans   l'équation    (5),  on   voit  :    1°  que  n   a   les  valeurs   o,   i; 

2°  que  fAz)  =  —=-- -r-;-?  ce  qui  se  vérifie  directement. 

4  13  "  2    n 

Mais  la  fonction /j  (^)  n'est  pas  la  seule  qui  satisfasse  à  l'équation  fonction- 
nelle, car  la  condition  (4)  est  vérifiée  avec  n  =  2.  L'équation  (G)  admet,  par 
suite,  la  solution  générale 


/(.,=/,(.) -H  a  [|i^J 


(a,  constante  arbitraire).  L'équation  linéaire  correspondant  à   cette  nouvelle 
valeur  de  f(z)  admet  la  solution  ^       ,  où  /•  est  une  quelconque  des  ra- 

cines  de  l'équation  fondamentale  /■(/•  —  i)  =  a. 

Ces  résultats  peuvent  s'énoncer  ainsi  :  L'équation  (5)  est  susceptible  d^être 
transformée,  par'  un  changement  de  variable  et  de  fonction,  en  une  équation 
à  coefficients  constants.  Ceci  pouvait  se  prévoir  a  priori  en  remarquant  que 
notre  équation  peut  se  former  quand  l'on  donne  la  seule  fonction  B(;r),  à 
chaque  valeur  de  laquelle  correspondent  (comme  l'a  montré  M.  Kœnigs)  une 
infinité  de  fonctions  ^{z).  Notre  équation  (5)  admet  donc,  non  pas  une,  mais 
un  nombre  infini  de  transformations  en  elle-même;  et  c'est  à  cela  que  tient, 
au  fond,  son  équivalence  avec  une  équation  à  coefficients  constants. 

Cette  conclusion  s'étend  aux  équations  du  troisième  ordre  :  toute  équation 
du  troisième  ordre  qui  jouit  de  la  propriété  indiquée  devient,  par  la  transfor- 
mation 

"  =  W^V      '"'=>  =  "'' 

une   équation  à  coefficients  constants.  L'hypothèse  '^{z)  =  —^ ^conduit    à 

l'intégration  de  l'équation 

dUi        ,  r      1  il' 

d^-^'[—z-r^'\"  =  "' 

déjà  traitée  par  Halphen. 

Pour  arriver  au  même  but  relativement  aux  équations  d'ordre  supérieur,  il 
suffit  d'appliquer  la  théorie  des  invariants  différentiels  d'Halphen.  Chaque  in- 
variant devra,  par  le  changement  de  ;;  en  cp  (z),  se  retrouver  multiplié  par  une 


uevuiî:  niiS  puhmcations.  79 

|>uiss;inrr  de  'f'(c.)-  H    '"'I   «loue   et;;!!  à    iiik;  piiissaiico  <l<;  .r  marquée;   j);u'   son 

poids.  On  voit  alors  (|uc  la  Corme:  can()ni<|uc  d'HalpIicn  csl  h  cocfficicnls  con- 
staiils. 

La  mrlhodc  précédente  peut  s'appli(|uci'  à  certaines  catcf,'orics  d'équations 
non  linéaires. 

Mcllin   {IJj')'    —    l\)ur   la   ihcoric  des   cqualions  (lifn'rcnlicllcs 
linéaires  du  premier  ordre.  (3i^-38/î)- 

Ce  Mémoire  est  le  complément  de  deux  travaux  précédents  du  même  auteur, 
l'un  intitulé  Zur  Théorie  cler  Gainniafunction  (même  recueil,  t.  V'III),  où 
la  fonction 

(.)  F(.)^a,'''^-V-''"~'r-         («>") 

1    (^  —  ^.)...I   {Z  —  Z„) 

est  décomposée  en  une  fonction  entière  et  une  somme  de  fractions  simples  qui 
satisfont  chacune  à  une  é(|uation  fonctionnelle  déterminée,  généralisant  ainsi  le 
résultat  connu  relatif  à  la  fonction  T;  l'autre,  Ueber  einen  Zusammenliang 
zwischen gewissen  linearen  Dijfferential  und  Differenzengleichungen  (même 
Recueil,  t.  IX),  où  est  montrée  l'importance  que  présente  la  fonction  F  pour 
l'étude  des  équations  différentielles  de  la  forme 

et  dont  l'équation  hypergéométrique  n'est  qu'un  cas  particulier. 

1.  Lorsque,  la  partie  réelle  de  z  restant  finie,  la  partie  imaginaire  croît  indé- 
finiment dans  un  sens  ou  dans  l'autre,  la  fonction  (i)  est  comparable  au  pro- 
duit d'une  puissance  de  z  par  une  puissance  de  T{z).  Ce  résultat  subsiste 
lorsque  la  fonction  F(^)  est  multipliée  par  un  produit  de  facteurs  trigonomé- 
triques  de  la  forme  sinir  {^z  —  c). 

D'ailleurs,  il  est  clair  que  le  produit  ainsi  obtenu  satisfait  à  l'équation  fonc- 
tionnelle 

(3)  F(^  +  .)  =  r(c)F(c), 

où  r(s)  est  la  fraction  rationnelle 

(z-z,)...{z-z,„) 


(4) 


(-«         Z^)  .  .  .{z         Z,i) 


1.  Inversement,  toute  solution  de  l'équation  fonctionnelle  (3)  est  égale  au 
produit  de  ¥  {z)  par  une  fonction  périodique. 

Imposons  en  outre  à  notre  solution  la  condition  de  se  comporter  régulière- 
ment dans  une  certaine  bande  verticale  et  de  ne  pas  croître  indéfiniment 
(lorsque  z  s'éloigne  indéfiniment  dans  cette  bande)  plus  vite  qu'une  puissance 
de  ^.  Il  y  a  impossibilité  à  cela  si  ni  <  /<,  et  aussi,  lorsque  m  =  /?,  à  moins 
que  a  ne  soit  réel  et  positif,  auquel  cas  la  solution  est  F(.s). 


8o  SliCONDE    PARTIR. 

Dans  le  cas  de  tu  >  //,  la  solulion  générale  est  donnée  par 

Lsin-(^  -^  6-,  )  sinz(-  — c  )  J 


(5)  {  r  /v  A, 

X 

I   sifi  — ï^   -     r;    >  siii  — fr:  —  <. 


,       ,               ,           ...                     ,        ni—  n 
ou  p  esl  le  plus  grand  nombre  impair  contenu  dans  -l-i. 

3.  Envisageons  maintenant  l'équation  non  homogène 

(6)  Fiz-hi)  =  viz)F{z)-S{z), 

où  s(^)  est  une  autre  fonction  rationnelle  de  même  dénominateur  que  r{z), 
avec  un   numérateur  de  degré  moindre.  11  suffit  évidemment  d'en  trouver  une 
solution  particulière,  si  l'on  sait  intégrer  l'équation  (4). 
Or,  cette  solution  est  fournie  par  l'une  ou  l'autre  des  séries 

s(.)  -^  '^'-^^'^ 


jLév{z)v{z-i-i)...v{z  -h..v  ) 

V  =0 


',(-)  =  —  s(^  — i)  —  ^  s(^  — V  —  i)  r(^  —  i)  r(;  —  2)...r(:;  —  v), 


V;=l 


dont  la  première  est  convergente  si    lim  r(c)>i,  la  seconde  si  lim  r(2)<i. 

;•  =  00  Z  zz:  as 

Les  deux  séries  convergent  si    lim   r(;3)  =i,  avec 

V.  =  Z^-{-Zç,...-\-Z,i  Z^  —  Z^.  .  .         *'ni^  —  '' 

moyennant,  du  moins,  l'hypothèse,  vérifiée  dans  les  applications,  que  s{z)  soit 
au  plus  de  degré  m  —  2. 

Reste  le  cas  de  lim  r(^)  =  i,  x<— i.  Mais  dans  le  cas  plus  général  lim  v{z)  ^  i, 

^  zi:  00  G  =z  00 

X  <  o,  il  existe  une  solution  de  la  forme   \    S(^,  a),  où 

a 


a  représentant  successivement  toutes  les  racines  du  numérateur  de  r(^);  le 
nombre  [x  étant  l'ordre  de  multiplicité  de  la  racine  a,  les  A  des  constantes 
convenablement  choisies  et  les  g  des  polynômes  entiers  en  z.  Le  cas  de 
lim  r(^)  =:  I   se  distingue  du   cas  de   lim  r(^)>i  par  le  fait  que  l'on  peut 

z  =  co  G  :=  00 

trouver  une  solution  de  ce  type  pour  l'équation  homogène  correspondant  à 
s{z)  =  o,  ce  qui  est  impossible  si    lim  r  (^)  >  i. 

Z:=.  00 

Les  solutions  ainsi  trouvées  satisfont  d'ailleurs  à  des  conditions  de  régularité 
analogues  à  celles  que  nous  avons  indiquées  plus  haut. 

4.  Soit    maintenant   l'équation  différent  ici  le  (2)   où   <7,„  est   essentiellement 


UKVUE  \)\IS   PUBLICATIONS.  8i 

supposé  /().  Si  />„,  (>sl  cj^mIoiiumiL  (liiïcTCDt  de  o,  le  clKin^M-inciiL  de  a:  ou  —  rern- 

placc  l'iMiualion  pai-  une  antre  de  mèinc  forme.  Les  points  singuliers  sonl  o, --o 

et  a  =  —-•>  quanliléque  Ton  peut  supposer  réelle  el  positive,  nrioycnnanL  rnul- 

liplicati(»n  de  la  variable  indépcndanlc  par  une  constante  convenable.  Les  in- 
tégrales sont  régulières  autour  de  chaque  point  singulier.  On  forme  facilement 
les  é(|uations  fondamentales  déterminantes  rj— p)=o  au  pointe  et  r,  (p— i)  =  o 
au  point  ce.  (^uant  à  celle  du  point  a,  elle  est  simplement 

(  7  )  p  (  p  —  I  ) . .  .  (  p  —  //?  -I-  •>)  (  P  +  --^  +  0  =  0» 


avec 


','  -j> 


o...  a... 


,  :;,„  étant  les   racines  de  r^C^;)  et  ^', ,  . . . ,  z'„i  celles  de  r,  (s). 


Cela  posé,  l'intégrale 
(8)  /      yx-clx, 

où  X  est  réel,  satisfait,  en  vertu  de  réquation  difTcrentielle  donnée,  à  la  relation 


(9) 


-,  (  ^  )    /      yx-^  dx  =  \\{z)    /      yx--'  dx  —  x'-'  s„ (  ^,  .r  ) , 


où  Sg  est  un  polynôme  entier  en  z,  x,  y  et  les  dérivées  de  y  jusqu'à  l'ordre 
m  —  I. 

Prenons  pour  y  la  solution  r,  qui,  au  point  a,  correspond  à  la  dernière  ra- 
cine —  y.  —  I  de  l'équation  (7),  en  supposant  que  %  ait  sa  partie  réelle  néga- 
tive [condition  nécessaire  pour  que  l'intégrale  (8)  soit  finie]  et  soit  différent 
des  nombres  —  t,  —  2,  . . . ,  —  m  -\-i  (pour  que  la  racine  —  /.  — i  de  l'équation 
déterminante  soit  simple).  La  quantité  s^{z,a)  est  nulle,  quel  que  soit  z. 

Ceci  se  voit  directement  si  la  partie  réelle  de  x  est  au  plus  égale  à  —  m. 
Dans  le  cas  contraire,  on  reconnaît  que,  si  l'on  développe  l'expression  s^{z,x) 
suivant  les  puissances  croissantes  de  a  —  x,  l'exposant  du  terme  le  moins  élevé 
ne  peut  être  zéro,  à  cause  des  hypothèses  faites  sur  ;r.  La  quantité  s^{z,a), 
étant  forcément  finie  à  cause  de  l'équation  (9),  est  donc  nulle.  L'intégrale  (8), 
pour  X  =  a,  considérée  comme  fonction  de  z,  satisfait,  par  suite,  à  une  équa- 
tion fonctionnelle  du  type  étudié  au  n°  2,  et  l'on  peut  lui  appliquer  les  conclu- 
sions établies  en  cet  endroit,  de  sorte  que 


T.^-'  dx  =Ca^  T{z-z,)...Y{z-z    ) 
V\z-z\)...V{z-z',n) 


Supposons,  au  contraire,  b„^  =  o.  L'équation  n'admet  plus  que  deux  points  sin- 
guliers, .27  =  o  et  X  =  x;  mais  ce  dernier  est  singularité  essentielle.  On  peut 
néanmoins  former  le  polynôme  r,  (-G),dont  le  degré /i  est  alors  moindre  que  m. 

r„  (  5  ) 
<l»(c)  étant  l'expression  (5)  formée  à  l'aide  de  la  fonction  rationnelle  ■"         » 

1",  V  -  ) 


82  SECONDE   PAUTIE. 

l'intégrale 

(M.)  ^{x)  =  jx  '^^{z)dz, 

prise  le  long  d'une  droite  verticale  indéfinie,  a  un  sens  si  cette  droite  est  suffi- 
samment éloignée  dans  le  sens  positif,  et  ne  dépend  pas  de  la  position  de  cette 
verticale,  ^(.a;)  est  une  solution  de  L'équation  (2)  et  n'est  d'ailleurs  pas  iden- 
tiquement nulle  [du  moins,  tant  que  *1»(^)  ne  l'est  pas  elle-même],  ainsi  qu'on 

/"»  ce 

s'en  assure  en  développant  9(^)  en  série.  D'ailleurs,  l'intégrale    /      ':^(x)x'-~'^dx 

est  elle-même  une  expression  4>(^). 
Inversement,  toute   solution   de   l'équation    (2)   satisfaisant  à    la  condition 

lim  x^ y  =  o,  quel  que  soit  k,  est  telle  que  l'intégrale     /      yx'-'-'  dx  soit  une 

expression  <I>(5).  On  en  conclut  que  les  p  solutions  indépendantes  de  l'équa- 
tion fournies  par  la  méthode  précédente  sont  les  seules  qui  satisfassent  à  ladite 
condition. 


THE  MESSENGER  OF  MATHEMATICS,  edited  by  J.-W.-L.  Glaisher.  Lon- 

don  and  Cambridge,  Macmillan  and  G"  (•)• 

Tome  XX;  1890-1891. 

Mannheiîïi.  —  Sur  les  normales  aux  coniques.  (1-2). 

M.  Mannheim  remarque  que  toute  conique  et  sa  polaire  réciproque  par  rap- 
port à  une  circonférence  de  centre  0  ont  les  mômes  normales  issues  de  O.  De 
ce  théorème,  qui  est  presque  évident,  l'auteur  déduit  un  certain  nombre  de 
conséquences  intéressantes.  Par  exemple,  Laguerre  avait  établi  qu'il  y  a  seule- 
ment quatre  coniques  normales  à  quatre  droites  concourantes  Oa,  Oè,  Oc,  Oc?, 
quand  on  se  donne  le  point  m  où  la  conique  est  normale  à  l'une  de  ces  droites. 
M.  Mannheim  complète  la  proposition  en  montrant  que  deux  de  ces  courbes 
sont  homothétiques,  par  rapport  à  O,  à  deux  courbes  polaires  réciproques  par 
rapport  à  une  circonférence  de  centre  0,  et  les  deux  autres  sont  inversement 
homothétiques  à  celles-ci  par  rapport  à  0. 

Ilammond  (/.).  —  Euclide  et  la  loi  associative.  (3-4). 

Euclide  a-t-il  considéré  la  loi  associative  pour  la  multiplication  de  trois 
nombres  a,  b,  c  comme  un  théorème  susceptible  d'être  démontré?  M.  Hammond 
regarde  les  propositions  17,  18  et  19  du  7*  livre  des  Éléments  comme  une  vé- 
ritable démonstration  de  cette  loi. 

Gi'eenhill  [A.-G .).  —  Sur  les  lignes  de  Sumner  dans  les  Cartes 
de  Mercator  et  les  Cartes  stéréograpliiques.  (/j-si). 

C)  Voir  Bulletin,  XVIII,,  p.  53. 


lUîVUIÎ   ORS   PUIU.ICATIONS.  83 

On  appelle  ainsi  les  lif^ncs  de  la  Carie  qui  sonl  les  lieux  des  points  [)Our 
liS(iucls  le  Soleil  est,  à  un  certain  instant,  à  la  môme  hauteur,  c'est-ù-dirc  les 
i niaises  des  cordes  de  la  sphère  terrestre.  M.  Grcenhill  étudie  la  forme  de  ces 
courbes  sur  la  Carte  de  Mcrcator. 

Karl  Pearson.  —  Sur  les  expériences  de  Wolilcr  sur  les  forces 
alternées.  (>.  i-^^). 

Altaii  Cuiiiûnglunn.  —  Sur  la  recherche  des  fadeurs.  (37-4-^). 

La  recherche  directe  des  diviseurs  d'un  non^ibre  entier  est  une  opération  très 
longue,  dès  que  ce  nombre  est  un  peu  grand.  On  a  cherché  à  abréger  l'opéra- 
tion par  l'usage  des  Tables  de  carrés,  dont  l'emploi  est  basé  sur  l'identité 

N  =  \Y  =  (  A  +  B)  (  A  —  li  )  =  A'^—  \\\ 

où  X  =  Ah-D,  y  =  a  —  B.  L'auteur  montre  comment  on  peut  encore  diminuer 
les  essais,  en  cherchant  a  priori,  d'après  le  nombre  des  chiffres  de  N,  les 
nombres  de  chiffres  possibles  pour  A^  et  B*. 

MannJieim.  —  Sur  une  parabole  liée  à  une  conique  par  certaines 
propriétés  remarquables.  (4 5-48). 

Étude  des  propriétés  de  la  parabole  qui  est  l'enveloppe  des  droites  menées 
par  chacun  des  points  M  d'une  droite  fixe  D  perpendiculairement  à  la  polaire 
du  point  M  par  rapport  à  une  conique. 

Diirnside  (fV-)-  —  Sur   les   surfaces  dont  toutes  les  lignes  de 
courbure  sont  planes.  (49-54)- 

Exposition  d'une  méthode  facile  pour  retrouver  l'équation  de  ces  surfaces, 
basée  sur  la  représentation  sphérique  et  l'emploi  des  variables  symétriques  do 
Bonnet. 

Segar  [HugJi  W.).  —  Quelques  inégalités.  (54-09). 

Généralisation  des  résultats  contenus  dans  le  Tome  XIX  du  Journal. 

Cayley.   —  Note    sur   Féquation  modulaire   de  Schlaffl  pour  la 
transformation  du  troisième  ordre.  (59-60). 

M.  Cayley  montre  comment  on  peut  déduire  l'équation  de  Schlaffl  de  l'équa- 
tion modulaire  ordinaire. 

Burnside    (Jl-)-    —    Sur  l'équation    différentielle    des    sphéro- 
coniques  confocales.  (Go-63). 

Considérons  l'intersection  d'une  sphère  de  rayon  un  avec  des  quadriques  homo- 

n  fi 

focales  conccnlri(iues  à  la  sphère;  si  Ton  pose  a  =  lang  -  e'r,  î^  —  tang  -  e-'r,  0 


84  SECONDE  PARTIE. 

et  cp  désignant  la  colaliludc  et  la  longitude,  l'équation  différentielle  des  courbes 
précédentes  est  précisément  l'équation  d'Kuler 

(i-a'^)(i-A-a'^')         (,_;i'^(,_A-[i'^)  ^    '         '        '    ^ 

Cayicy.  —  Note  sur  les  racines  neuvièmes  de  l'unité.  (63). 
Soient  «,  b,  c  les  trois  racines  de  l'équation  x^ —  ■ix  h-  i  =  o;  on  a 
a^b-\-b-c-\-c^a  =  6,        ab- -\- bc^ -\- ca"- —  — a,         {a  —  b){b  —  c){c  —  a)  =  —  9. 

Toute  fonction  rationnelle  de  «,  b,  c  qui  est  invariable  par  la  permutation  cir- 
culaire {abc)  a  donc  une  valeur  rationnelle. 

Burnslde  (  W.).  —  Sur  une   propriété  des  courbes  planes  iso- 
thermes. (64-68). 

Soit  u  une  fonction  finie  et  continue  à  l'intérieur  d'une  aire  A,  limitée  par 
un  contour  C.  Si  cette  fonction  u  vérifie  l'équation  de  Laplace  ^u  =  o,  on  sait 
qu'elle  est  complètement  déterminée  à  l'intérieur  de  C,  quand  on  se  donne  la 
succession  des  valeurs  qu'elle  prend  le  long  de  C.  M.  Burnside  établit  une  re- 
lation entre  le  nombre  des  maximums  et  des  minimums  de  u  le  long  de  C  et 
le  nombre  des  points  doubles  des  courbes  u  =  const. 

Cayley.  —  Sur  les  deux  invariants  d'une  forme  doublement  qua- 
dratique (68-69). 

La  fonction 

z'^{ax'^-\-  2hxy-\-  g' y^)  +  •?.  z  w  {li' x'' +  2  b xy -^  f y-)  -\- iv- {g x- -\-  if'xy-hcy'^)^ 

considérée  successivement  comme  fonction  de  {x,  y)  et  de  {z^w)  possède 
deux  discriminants  U,  V.  Ces  formes  du  quatrième  ordre  U  et  V  ont  les  mêmes 
invariants  du  second  et  du  troisième  ordre;  ]M.  Cayley  donne  le  développement 
de  ces  deux  invariants. 

Mathews  (G.-B.).  —  Les  déterminants  irréguliers.  (^0-74)- 

Démonstration  de  théorèmes  énoncés  par  Gauss  (art.  306  des  Disquisitiones 
arithmeticœ). 

Cayley.  —  Sur  un  cas  particulier  de  l'équation  différentielle  du 
troisième  ordre  de  Rummer.  ("5-79). 

Étude  d'une  solution  particulière  rationnelle  de  l'équation  de  Kummer. 

Dixoii  (A.-C).  —  Sur  la  somme  des  cubes  des  coefficients  dans 
un  certain  développement  par  la  formule  du  binôme.  (79-80). 

Il  s'agit  de  la  somme  des  cubes  des  coefficients  dans  le  développement  de 
(1  —  x)'",  chacun  des  coefficients  étant  pris  avec  son  signe.  Cette  somme  est  re- 


URVUIÎ   ORS   PUBLICATIONS.  85 

l>i("'sciil(H'  |»;ir  riiil('f;r;il('  doiiMe 


4 


^  ^  /  /        sin^"0  siii^"9  sin^"(0 -i- -f  )  <:/0  (/'f  ; 


ou  trouve  ainsi  (ju  ollo  csl  égale  a  ( — 0"  "7 — tg"  ' 

Uoyd  1' (in lier  (ll.-W.).  —  Sur  la  règle  de  clc'rivalion  d'Arbogasl. 

(8i-8ia). 

Uoyd  Tanner  (//.-//'.).  —  Sur  Thisloire  de  la  règle  d'Arbogasl. 
(83- 10.). 

Ces  deux  arlicles  sont  cnlièrcmcnt  une  exposition  de  la  règle  d'Arbogast,  et 
une  reproduction  des  passages  des  principaux  auteurs  relatifs  à  cette  règle. 

JoJinston  [J.-P.).  —  Sur  les  congruences  de  droites.  (io2-io3). 

Démonstration  du  théorème  fondamental,  que  toute  congruencc  de  droites 
est  formée  des  tangentes  doubles  d'une  certaine  surface. 

Mac-Mahon  {P. -A.).   —   Théorie  des   parlilions   parfaites   des 
nombres  et  compositions  des  nombres  composés.  (io3-i  19). 

L'auteur  appelle  partition  parfaite  d'un  nombre  entier  toute  partition  qui 
contient  une  partition  et  une  seule  de  tout  nombre  inférieur.  Un  nombre  com- 
posé {niultipartite)  est  l'assemblage  de  plusieurs  nombres  distincts,  représentant 
des  quantités  différentes;  on  le  représente  par  un  symbole  tel  que  (aj^y).  II 
existe  entre  le  nombre  des  partitions  parfaites  et  le  nombre  des  compositions 
d'un  nombre  composé  des  relations  curieuses;  nous  citerons  la  suivante  :  «  Le 
nombre  a^b^c'^... —  i  possède  autant  de  partitions  parfaites  que  le  nombre 
(a|jy.  ..)  possède  de  compositions.  » 

Cayley.    —   Correction  à  la  Note   sur  l'équation  modulaire  de 
Sclilâffl  pour  la  transformation  du  troisième  ordre.  (120). 

Glaisher    (J.-ll .-L.).    —    Théorème    relatif   aux    sommes   des 
puissances  paires  des  nombres  entiers.  (120-128). 

Si  l'on  pose  S„=:  i"+  -i" -h  0"  +  . . .+  i",  on  a 

|==A,S,„_,+  A,S,„_,  +  ...-r-A,„_,S,  +  A,„(S„+i), 

Aj,  A^,  . . .,  A^„  étant  des  coefficients  numériques,  qui  s'expriment  assez  simple- 
niciil  au  moyen  des  nombres  de  Bcrnoulli. 

Glaislicr  (J.-ll  .-L.).    —    llelations   récurrentes  renfermant  les 
sommes  des  j)uissances  des  diviseurs,  (i  29-1 35;  i  j--i8i). 


86 


SECONDE   PARTIE. 


Énoncé  de  relations  curieuses  entre  les  sommes  des  puissances  successives  des 
diviseurs  d'un  même  nombre /?.  La  démonstration  a  été  communiquée  par  l'au- 
teur à  la  Société  Mathématique  de  Londres. 

Cayley.  — Note  sur  l'involutant  de  deux  matrices  binaires.  (i36- 

.37). 

Etant  données  deux  matrices  M  =  7 —^  M  =  ;— ^ — ~  et  leurs  produits 


\c,d\ 


\c',d'\ 


MM' 


on  appelle  involutant  l'un  ou  l'autre  des  déterminants 


1:= 


i  a  a'  X 

G  0  h'  B 

0  c  c'  G 

1  cl  cl'  D 


I.  = 


I  a'  Cl  A, 

o  //  h  B, 

0  c'  c  C, 

1  cl'  cl  D, 


M.  Cayley  montre  directement  que  ces  deux  déterminants  ont  la  même  valeur. 

Cayley.  —  Sur  une  identité  algébrique  relative  aux  six  coor- 
données d'une  droite.  (i38-i4o). 

Soient  {a,b,c^f,  g,  h)  et  (a',  b' ,  c',  /',  g\h')  les  coordonnées  de  deux 
droites  qui  se  coupent  et  (A,  B,  C,  F,  G,  H)  les  coordonnées  d'une  troisième 
droite  qui  rencontre  les  deux  premières;  cette  nouvelle  droite  doit  être  située 
dans  le  plan  des  deux  premières,  ou  passer  par  leur  point  commun.  A  cette  re- 
marque se  rattache  une  identité  intéressante  entre  les  dix-huit  coordonnées  des 
trois  lignes  droites. 

Segar  (fl.-JV.).  —  Un   théorème  sur  les  déterminants.   (i4'- 

142). 

Soit/(0  uiï  polynôme  entier  de  degré  n;  on  a 


t  t  t' 

'^  TU)    ^  7U)     ^  7Vf) 


Y)' 


fin 
1 


D^ 


t 

t 


—     D^ 

fin       fin 


t' 

TTn 

t' 

Un 


n:  n  —  \:  n 


!  /î  —  9  ! 


2! 


[finr- 


le  déterminant  renfermant  n  lignes  et  ?i  colonnes. 

Segar  (fI.-JJ\).  —  Sur  la  sommation  de  certaines  séries.  (142- 
i44). 


RHVUIÎ   DKS  PUBLICATIONS.  87 

•       f  •         Il  '  •  ' 

Somiimlion    de   scncs  toiles   (iiic 1 1 1-...,   //,,   11  ,  u.  ,    .    . 

ii^n^  "Jt^  ll^tl^  ' 

ihinl  les  teiiiies  d'iine  série  n'CuircnLc,  où    la   rclalioii  rondainciiLale  csl,  de  la 

lonne  ;/„    ,  —  a  it,,  ^-  f/„  , ,  -  o. 

/>u/-/fsi(/('  (//.).  —  Sur  un  cas  du  mouvement  d'un  lluidc.  (i/î4- 

■  45). 

Burnside  (H.).    —  Note  sur   le    théorème  d'addition   pour  les 
fonctions  hyperboliques.  (i4;")-i  4^^)- 

Démonstration  géométrique,  analogue  à  la  démonstration  clcmentairc  de  la 
Trigonométrie  ordinaire. 

Burnside  (  Jl  .).  —  Correction  à  la  Note  précédente.  (i48). 

L'auteur  avait  dit,  dans  un  article  précédent,  que  les  lignes  de  courbure  de 
la  surface 

z{z  —  a){z  —  0)  -h  {z  —  0)x'-{-{z  —a)y^=  o 

étaient  des  ellipses;  il  fait  remarquer  ici  que  ce  sont  des  cercles. 

Cayley.  —   Sur  la  notion  de  courbe  plane  d'un  ordre  donné. 

(i48-i5o). 

Cayley.  —  Sur  répitrochoïde.  (i5o-i58). 

Lorsqu'une  courbe  plane  C  roule  sans  glisser  sur  une  droite,  soit  Q  le  point 
de  contact  à  un  instant  donné,  et  A  le  centre  de  courbure  de  C  relatif  au 
point  Q;  tout  point  du  cercle  décrit  sur  QA  comme  diamètre  a  sa  trajectoire 
qui  présente  un  point  d'inflexion.  M.  Cayley  applique  cette  remarque  au  cas  où 
la  roulette  C  est  une  conique;  il  démontre,  en  particulier,  que»  lorsqu'une 
hyperbole  roule  sans  glisser  sur  une  droite,  la  courbe  décrite  par  le  sommet  de 
cette  hyperbole  présente  des  points  d'inflexion. 

Ilammoiid  (/.).  —  Quelques  formules  d'Arithmétique.  (i58-i63; 
182-190). 

Formules  relatives  aux  nombres  et  à  la  somme  des  diviseurs  d'un  nombre 
entier. 

Burnside  (  W.).  —  Sur  une  propriété  des  substitutions  linéaires. 
(iG3-i66). 

Toute  transformation  résultant  de  deux  transformations  par  rayons  vecteurs 

réciproques  peut  être  définie  par  une  substitution  linéaire  cfl'ectuée  sur  une  va- 

•   1  I  I  ,       az  -^  b    , 

nahlc  complexe  z  =  -•  Inversement,  lorsque  a,  b,  c,  d  sont  réels  et  vé- 

c  ^-  +  cl 

rifienl   la   relation  ad  —  bc  ~  \,  la   transformation   précédente   peut  cire   rem- 


88  SECONDE  PARTIE. 

placée,  d'une  infinité  de  manières,  par  deux  inversions  successives,  par  rapport 
à  deux  cercles  ayant  leurs  centres  sur  l'axe  réel. 

Drlll  (/.).  —  Sur  l'application  de  la  métliode  des  polaires  réci- 
proques aux  théorèmes  de  Statique,  (i 66-1 71). 

L'auteur  applique  la  méthode  de  représentation  des  quantités  imaginaires 
qu'il  a  donnée  antérieurement  {Messenger,  septembre  1887),  à  la  transforma- 
tion des  théorèmes  de  Statique.  Ce  procédé  revient  au  fond  à  une  transforma- 
tion par  polaires  réciproques,  relativement  à  un  cercle  de  rayon  un. 

GlaisJier  (J.-ÎV.-J.).  —  Note  sur  la  somme  des  puissances  des 
nombres  pairs  et  impairs.  (172-176). 

De  la  formule 

COt^  = 2^57*—   -.-,  2'X' —    — ;  9JX^  —  .  .  ., 

X        i\  Z|  !  6  ! 

on  déduit  que  le  coefficient  de  x-""  dans  le  produit  sin/,\r  cota?  est 

^-  ')'  [(or-hi)!  ^  '^  T!    (■>/•-!)!  •■'-'"  (2,-)  !  ^'J- 

D'ailleurs,  on  trouve  directement  que  ce  coefficient  est  égal  à  {—^Y-, r,> 

(  2  /■  )  ! 

multiplié  par 

2[22'--r-  4='-H-...-|-  (A-—  2)='-]  +  A-'^»-, 

OU  par 

2[i=''+ 3='-  +  ...+ (A-— 2)^'-] +  Â-=S 

suivant  que  k  est  pair  ou  impair.  En  égalant  ces  deux  valeurs  du  coefficient, 
on  trouve  une  expression  de  la  somme 

l2r_j_  32r_^     ,.+  ^-2r  q^,  2^'' +  4^'' +  .  .  .  ^-  A-^»- ; 

on  remarquera  que  l'expression  est  la  même  dans  les  deux  cas,  de  A-  pair  et 
de  k  impair.  Il  n'en  est  plus  de  même,  si  l'on  considère  des  sommes  de  puissances 
impaires. 

GlaisJier   (J.-JF.-L.).  —  Sur  les  fonctions  elliptiques  de  r,  K. 

(191-192). 

Tome  XXI;  1 891 -1892. 

Sylvester.  —  Sur  les  séries  arithmétiques.  (1-19;  87-120;  i9'^). 

Cet  important  travail,  qu'il  serait  difficile  d'analyser,  part  de  propriétés  tout 
à  fait  élémentaires  pour  arriver  à  la  difficile  question  de  la  détermination  des 
nombres  premiers  inférieurs  à  une  limite  donnée.  On  y  retrouve  à  chaque  pas 
l'esprit  si  profondément  original  de  l'illustre  géomètre. 


IIHVUR   DES   PUHMCATIONH,  89 

Jkousc  />(///  [  Il  .-//.).  —  IJik;  Iiv|)()|1»("'S(;  rclalivo   à   l;i   naliuc  de 
rélluT  cl  il  la  «^raviu''.  (y.()-'>4)- 

/iurnsidc  (H  .).  —  Sui'  la  forme  des  ("oiii'hes  fcrnK'fs  de  la  lioi- 
s i c ni c  (•  I a ssc .  (  :>.  ')-•>.()  ) . 

II  résulle  delà  discussion  (^irune  courbe  fermée  de  troisième  rhisse  esl.  formée 
d'une  courbe  à  trois  rebroussements,  analogue  à  une  liypocycloïde,  ou  d'une 
pareille  courbe,  entourée  d'une  ovale. 

liiirnside  (IV.).  —  Notes  d'Aloèbre.  {'a()-'2H). 

La  première  Note  est  relative  au  jacohicn  de  (\cii\  formes  ((uadrati(|ues  u  el  v 
d'une  variable  .r;  on  a 

fA'  àuY       »  .^  ^ 

u-, ^  -^  )  =  kW'^  B  iiv  -h  C  v^, 

ôx  Ox } 

A,  H,  C  étant  des  constantes.  Dans  la  seconde  Note,  l'auteur  résout  d'une  façon 
simple  le  système  d'équations 

rt..r,  +  rt.x.H-. .  .4- «„x.,        a,x,-^. .  .-\-  a„x„  ax,-^-...-\-a„,x„ 


x^  x^  x„ 

Richmond  {H.-  II.)  —  Note  sur  la  somme  de  (onctions  de  quan- 
tités qui  sont  en  progression  arithmétique.  (29-34)- 

Extension  des  théorèmes  de  M.  Glaisher  sur  les  sommes  des  puissances  des 
nombres  entiers.  L'auteur  considère  les  sommes 

<t>(o)  +*(2)  H- *(4) +...+  *!>  (n), 

où  *!>  est  une  fonction  entière  de  /?,  et  des  sommes  analogues. 

Rouse  Bail  (W.-IV.).    —    Les  nombres  de  IMersenne.    (34-4o; 
121). 

Résumé  des  résultats  obtenus  jusqu'à  présent. 

Pujisawa  (/?.)•  —  Note  sur  une  formule  relative  aux  spliériques 

h  a  r  m  o  n  i  (  j  u  es .  (  4  o-4  i  )  • 

Démonstration  simple  de  la  formule 

/        /        PJiSinO^Ot/'^  =r  — î , 

T 

OÙ  P,^  représente  le  coefficient  de  a"  dans  le  développement  de 


y  I  —  2  OL  cos6  -f-  a' 

Aiiderson .   —  Note  sur  récjuilibre   d'une  surface  fermée,   sous 
Faction  de  forces  normales.   (42-43). 
Hall,  des  Sciences  nialkém.,  2'  série,  t.  \IX.  (Avril  i8(),').)  R.- 


90  SECONDE  PARTIE. 

Etanl  donnt'^c  une  surfycc  fermée,  si  l'en  désigne  j);(r  m  nn  élémenl  d'aire  de 
cette  surface,  et  par  p,,  p,  les  rayons  de  courbure  principaux,  on  connaît  trois 
systènnes  de  forces  normales,  sous  l'action  desquelles  la  surface  est  en  équilibre  : 

1*    F  =  [jLw;    2°  F  =  [jLoW 1 )  < Bertrand);   3°  F=  - —  (Joubert).  L'auteur 

\P.        PJ  P.p2 

de  cette   Note  montre  comment  ces  trois  expressions  de  F  peuvent  se  déduire 

par  un  procédé  uniforme  de  la  première.  Le  même  procédé  appliqué  à  la  der- 
nière expression  ne  donne  pas  de  théorème  nouveau. 

liogers  (L.-J.).  —  Note  sur  les  fonctions  propres  à  représenter 
une  su])stitulion  d'un  nombre  premier  de  lettres.  (44"47)- 

L'auteur  prouve  par  des  exemples  que  les  conditions  trouvées  par  AL  Ilermite 
ne  sont  pas  toujours  indépendantes. 

Glaisher  (J.-W.-L.).  —  Expression  de  la  somme  des  cubes  des 
diviseurs  d'un  nombre  au  moyen  des  partitions  des  nombres 
inférieurs.  (47-48). 

Glaisher  (J.-W.-L.).  —  Relations  récurrentes  entre  les  sommes 
des  puissances  des  diviseurs  d'un  nombre.  (49-64)- 

Suite  du  Mémoire  du  Volume  précédent. 

GlaisJier  (/.-  W.-L.).  —  Expressions  des  fonctions  symétriques 
de  ï,  G,  E,  au  moyen  de  q.  (65-69). 

Anderson  (A.).  —  Sur  les  centres  de  pression.  (69-^6). 

Méthode  élémentaire  pour  déterminer  le  centre  de  pression  d'un  triangle, 
d'un  quadrilatère,  d'un    polygone  régulier,  d'un   cercle,  d'un   demi-cercle,  etc. 

Richmond  [H.-W.).  —  La  somme  des  cubes  des  coefficients  de 

(■-a^r"- (77-78)- 

Démonstration  delà  formule  de  M.  Dixon  {Messenger,  t.  XX,  p.  79). 

Campbell  [J.-E.).  —  Note  sur  la  transformation  simultanée  de 
deux  formes  quadratiques.  (^8-83). 

Étude  algébrique  de  la  réduction  simultanée  de  deux  formes  quadratiques 
à  n  variables  à  des  sommes  de  carrés.  Discussion  de  l'équation  en  À,  et  inter- 
prétation géométrique  dans  le  cas  de  trois  et  de  quatre  variables. 

Biirnside  (  W.).  —  Deux  Notes  sur  la  fonction  pu  de  Weierstrass. 

(84-87). 

La  première  Note  est  relative  à  la  formule  d'addition.  Dans  la  seconde  Note, 
l'auteur   donne  une   démonstration    nouvelle   d'une  formule    due  à   Klein,  qui 


KHVUI':    OKS   PUIHJCATIONS.  91 

iltMiiu'  Il  xprossiiMi  (le  0//.  (|u;iiiil  mi   (losc 

"'  dz 


/    ■  r 


où  .V  csl   m\(^  fonction  (Mitirrc  de  z  du   (iti.ilricMK"  (lrf;r(''. 

(ihdshci'  {'/.-  Il  .-L.).  —  Note  sur  une  ronimlc  de  rcciirrtîiicc  pour 
'y{ff).  (i •.>.■>.- 1 .Ho). 

Cnylcy.  ---  Noie  sui"  iinc  idciiliu''.  (i.)  i -f  .^)9.). 

SoiL  i2  -  (x,,  ;)',  )'^(.r^,  )'^  )"  (-2^.11  y ,Y'  {^i-  jvj"  .  •  •  vinc  forme  liomogrno,  et  d<" 
degré  A,  H,  C,  I),  ...  par  iap[)orL  à  plusieurs  couples  de  variables  sépai'émenl 
( -^i^ ."»',),  ( .r^,  j\  ), Soit  }7  —  r/.r,  dy^  —  dy^  dx^  ;  on  a 

(  A  23  +  H Ti  +  cTô  )  i2  —  o, 
quand  on  remplace  les  variables  (.r,,j»'J,  (a;^,  yj,  (.r,,  j'J  par  {x,y). 
Cayley.  —  Sur  In  non-existence  d'un  groupe  spécial  de  points. 

Il  n'existe  pas  de  groupe  de  ^e/)^  points,  tels  que  toute  cubique  passant  par 
ces  sept  points  passe  aussi  par  un  hniiième  point  fixe. 

Cayley.  —  Sur  la  formule  de  Waringpour  la  somme  des  m''''"^^ 
puissances  des  racines  d'une  équation.  (i33-i3'j). 

M.  Cayley  établit  un  rapprochement  curieux  entre  la  formule  de  NA'aring  et 
la  formule  de  Lagrange,  donnant  le  développement  d'une  racine  de  l'équation 
X  =  u  -\-  f{x). 

Brill(J.).  —  Une  propriété  de  l'équation  de  la  chaleur.  (137-139). 
S\  /{x^  y,  z,  t)  est  une  solution  de  l'équation 

âV  /d'Y        â'\        à'V\ 

()t  \0x'         f)z'         ôy\i 

l'expression 

-^     \   ^  t         t  t  J 

est  aussi  une  soIutif)n. 

Lloyd  Taiincr  (H.-U.).  —  Sur  les  racines  carrés  de  l'unité  pour 
un  module  premier.  ( 1 39-1 44)- 

Détermination  des  fonctions  A+BxH-Cx'+...+D.rP-%  qui  sont  — ±1  (mod/?) 
pour  les  valeurs  i,  2,  ...,  p  —  1  de  x.  L'auteur  donne  le  Tableau  de  ces  fonc- 
tions pour  les   valeurs  p  =  3,  5,  7. 


92  SliCONDK    PAUTIK. 

Se<:*'ar  [II.-]].).  —  Sur  la  sominalion  de  certaines   séries.  (i4^^- 

'4:). 

Sommation  des  séries 


V 

Il      II  II  Z-^     1i      11  7/ 


u  ,  u  .,,  ....  u  ^.,,   ...  étant  les  termes  d  une  série  récurientc.  où   la  relation 

r  '  T'y'  1  '  '  r  1  f *  ' 

fondamentale  est  u^ —  ^",.+, -i- <^■'/,.^.a  ==  o. 

Segar  (//.-]}.).  —  wSiir  tïn  Lli<'^orèine  relalif  aux  délerminanls, 
(lu  à  Jacobi.  (i/|H-i5"). 

Propositions  diverses  relatives  aux  déterminants  dont  les  éléments  sont  des 
fonctions  symétricjues  entières  de  /•  lettres. 

Campbell  [J.-Ii.).  —  Sur  le  nombre  maximum  de  points  arbi- 
traires que  l'on  peut  prendre  pour  points  doubles  d'une  courbe, 
ou  d'une  surface,  de  degré  quelconque.  (i58-iG/î). 

Discussion  de  cas  singuliers.  Par  exemple,  il  n'existe  pas  de  courbe  du  qua- 
trième ordre  avec  cinq  points  doubles.  Cependant,  si  l'on  se  donne  cinq  points 
arbitrairement,  on  peut  former  léquation  d'une  courbe  du  quatrième  degré 
admettant  ces  cinq  points  comme  points  doubles;  le  premier  membre  est  le 
carré  du  premier  membre  de  l'éciuation  qui  représente  la  conique  passant  par 
ces  cinq  points. 

Burnside  (  ]V .).  —  Sur  l'application  du  théorème  d'A.bel  aux  in- 
tégrales eliiptiqnes  de  première  espèce.  (164-170). 

M.  Burnside  prend  pour  courbe  fixe  la  courbe 

ax'-v-  o.bx  +  c 


>-=: 


Kx'^-\-  1  ^x  4-  C 


et  pour  courbe  variable  l'hyperbole  y{ni'x-\-n')  —  mx-\-n.  L'application  du 
théorème  d'Abel  à  l'intégrale  de  première  espèce  conduit  facilement  à  des  re- 
lations connues  entre  les  fonctions  elliptiques  de  quatre  arguments  i/,,  u^.,  w^,  w^, 
tels  que  «,  +  u.^-V-  u ^-r-  u^      o. 

Burnside  {]V.).  —  Sur  la  transforma  lion  linéaire  de  la  diOéren- 
tielle  elliptique.  (170-176). 

Étude  des  substitutions  linéaires  qui  changent  en  ellcs-mème  une  didVren- 
tielle  elliptique  de  première  espèce,  ou  qui  la  ramènent  à  Tune  des  formes  de 
Legendre,  de  ^^eierstrass  ou  de  Ricmann. 

Segar  [IL-  [F.).  —  Sur  le  déterminant  multinomial.  (177-188). 
Quand  on  ordonne  suivant   les  puissances  croissantes  de  x  un  produit  tel  que 


UEVUF.  nrs  purmcations. 


y^ 


{(i  -h  n  .r  \-  ff.  -f'  -h . . .)" ,  !<'  ('Hcriiciciil  \,.  de  x^,  se  pit'sculc  sous  foinif  «ruii 
(l(''tcrr)iiiiiinl  à  /•  coloiuirs,  (|ti('  l'aiilciir  propose  (l'apprlci'  niullinomial ;  il  <;ii 
l'ail  (livcisrs  applications  ù  des  (Icvcloppcriiciils  coniuis. 

AUdii  (Umnin i^luini .  —  Siii'  le  cercle;  des  pieds  des  pCM-peiidleii- 
laires    et    Taxe   oil  IioiumiI  r;il    (riiii    ([iiadi'i  hilère   eojnplcîl.    (i88- 

IvNLcnsioii  an   (|iia(lrilaL("'ic  coinplcl  de  (iMcl(|n(s-unL'S  des  propriétés  du  cercle 
des  nenlpoinls  irun  triangle. 

Si'Si'ar  [U.-W.).  —  Noie  sur  quelques  remarquables  séries   de 
nombres.  (i()i). 

Les  deux  séries  en  question  ?/,,  n^,  ...,  ?/„  et  v^,  v.^,  ...,  t'„  sont  formées  rcs- 
pcclivcment  des  plus  petits  noiiibi"es  entiers  rjui  vérifient  les  inégalités 

^        -'^        ^  •  •  •  j 

"i        "3        ". 

^1        <^.,         ^, 

-  <     '   <  -  < . . . , 

^2        ^,         ^. 

avec  les  conditions  ;/,  —  i,  u^=  2  et  <^,  =  1,  c^^  ==  3.  On  a  les  expressions  géné- 
rales de  u..  et  de  ç.. 


II..  = 


v'..  = 


y  .)  +  I  (  ^  -h  v>  \  V  3  —  1   /  T  —  \  •■' 


^ 


V/.5 


3  +  V  5 


•^  V'  ••)      ^ 


(Mn 


qui  permettent  de  vérifier  les  relations  récurrentes 


SITZUNGSBEIUCUTE  dku   Ko.mglich  iMua'ssiS(:iM:.N  Akvdilmik  dku  Wisskn- 

SCIIAFTKN    Zi;    BliULIN. 

2^  semestre  1890  (  '  ). 

kronccker  i^L.).  —  Sur  les  systèmes  orthogonaux  (suite).  (Goi- 
607). 

Dans  le   t.   3Î  du   Journal  de  Crelte,  .M.  Caviev  a  établi  la  formule  célèbre 


(')  Voir  Bulletin,  WII^,  p.  99. 


94  SECONDIÎ   PARTIR. 

qui  permet  d'exprimer  rationnellement  les  cléments  des  systèmes  orthogonaux 

d'ordre  n  en  fonction  de  variables   indépendantes.   INI.   Kronecker  se 

2  *^ 

propose   de   rechercher  si  l'on  peut  déduire  de  ce  théorème,  qui  concerne  les 

sysLcmes  orthogonaux  en  général,  une  représentation  des  systèmes  orthogonaux 

symétriques.  A  cet   ellet   il  reprend  les  recherches  générales  de  M.   Gayley; 

mais,  au  lieu  d'étudier  les  propriétés  d'un  système  de /i^  quantités  déterminées 

c-^  (f,  A"  =:  1 ,  2,  ...,/«)  vérifiant  les  équations  caractéristiques  de  l'orthogonalité 


I 


i  =  1 


C.,:C, 


{g,  h  =  1,  2,  ...,n), 


il  étudie,  plus  généralement,  les  propriétés  d'un  système  de  «^quantités  indé- 

■    ■                     .       .       .           ,            ,          ,           ,    ,      n.    .         ,      Ai(n  + 1) 
term.inees,  (v.^,  envisage  suivant  le  système  de  modules  M  dont  les  

éléments  sont 


V.-I 


g,  h^i,  -2, 
g<h 


,  n 


)■ 


Ce  point  de  vue  auquel  M.  Kronecker  et  aussi  M.  I\etto  se  sont  placés  à  di- 
verses reprises  dans  leurs  publications  les  plus  récentes  offre  de  grands  avan- 
tages et  permet  de  compléter  facilement  les  belles  recherches  de  M.  Cayley. 

Désignons  par    {w'u^)   le  système  réciproque  du   système  (tv-;. );  soit  u  une 
indéterminée;  posons 

(/,  A-  =  I,  2,  ...,  n); 


w, 


MO, 


désignons  par  {u'ij^)  le  système  réciproque  du  système  (w,;. )  et  par  U  le  déter- 
minant I  U;f.  I  (t,  A"  =  I,  2,  . . . ,  /i)  ;  posons  ensuite 

Il  =zn  liz=.  n 

=P,k  =  ^   «,7. "a/.  —  «  (  ",A  +  «A.)'  9a  =  ^   "/u  "aa  —  "  (  ",A  +  "a-,- ) 

ll  =  \  h  =  l 

^a=  8.A-"("/A+"/ci)- 


On  a  alors  pour  ^  =  i,  2, 
quables 

\  i,  k 

/,  A- 


,  n  et  pour  h  =  i,  2,  ....  n,  les  relations  remar- 


i,fc 

'^S^' 

=^^«'aa»'1>'-?,a» 
/,  A 

?,;. 

=  y]'n;.«'i/?.A 

(î,   A-  =  1,   2,  ...,   /?), 

dont  on  voit  bien   l'importance  en  observant  qu'elles  sont  identiques  au  théo- 
rème suivant  : 


«  Les  substitutions 

A  =  n 


^    ^^A-^A=    T]    «A.-^:^ 


(i 


I,  2, 


■n) 


A-i 


A-l 


HKVl]|<:    DKS   PUBLICATIONS.  95 

Ir.in^rormcul  les  foiincs  (IuikIimI  i(|ii(s  cl   hilinraircs 
rospcclivoiiK'iil  eu 

^  ^a  y,  Xu       y^  "^^k  r.  yu »       ^^  ?. J r .•  -  "  •^.  H  r ^  -  " ^^  ) • 

/,  A-  f,  Â'  i.  A- 

Los  subsliliilions  iiidicuiées  montrciiL  (jue  les  variables  x  cl  x  sont  lices  pour 
//  =  1,  2,  ...,  /?-,  par  les  relations 

^/.=  ^  if'ikiWi^k^         ^h=  ^  Uki^'hi^k^  (^  /«:  =  I,  2,  .. .,  /i), 

I.  A  t,  A- 

(loni    on    déduit,   en    s'appuyaiit    sur   ce   que  les   deux    formes   2.  9ik^i^k   ^^ 

',  A- 

y,  9ik^i^k  ^'tant  toutes  deux  transformées  dans  la  même  forme    7    "î^aJK.yu 
j.  A-  t,  k 

sont  nécessairement  égales, 

/,  A".  /•,  s  i,  Ar,  /•,  \ 

{i,    Â-,    /•,    .9  =  I,   2,    ...,   //). 

Les  identités  (i)  et  (2)  jointes  aux  suivantes 

;  —  «  i  —  «  iz^  n  i^n 

(  3  )  ^  w,,.  w'ik  =  V  (v;, ,•  tv,^  =  o,,j ,  V  jf^,,  u'ii,  =  2]  «A/  «^1  =  ^Uk 

{h,  k  =  1,  2,  ...,  n), 

qui  expriment  la  réciprocité  des  systèmes  ((V,j)  et  (w^/^.  ),  (w,^^)  et  (m}/;^.),  con- 
tiennent toutes  les  propriétés  des  systèmes  orthogonaux.  Les  deux  premières 
identités  (i)  suffisent  pour  simplifier  et  compléter  les  résultats  de  M.  Cayley. 
En  effet,  les  équations 

9,k  =  2]  "'-''  "'^''  ""  ^«t  i^'  =  y]  '^7.  "kh  —  "  (  ^^A  H-  «A ,  )  =  ^        {i,  k  =  i,  2,  ...,  n 

h=l  h-A 

montrent  f(ue  le  système  des  /i^  quantités 

—     «»>     —  --^./i  (i,  A-  =  1,  2,  ...,/0 

est  un  système  orthogonal,  et  comme  on  a  supposé  qu'il  existait  un  sys- 
tème (m')  réciproque  à  (u),  c'est-à-dire  que  le  déterminant  U  était  dijférent 
de  zéro,  on  voit  sans  peine  que  les  équations 

{ \  )  •l.^  =  .^^_  -=  0 .^  —  u  (  h\,^  +  «'/.,  )  =  o  (  i",  A-  =  1 ,  2,    . . . ,  /O , 


9fi 


SECONDE  PARTIE, 


caractérisent  elles  aussi  i'orllioL'onalilt''   du  syslriiic  des  n^  quantités — -■  [En 

u 

efTet,  les  deux  premières  équations  (i)  montrent  que  le  sVstrme  d'équations  (4) 

est  entièrement  étjuivalent  au  système  d'équations 


h:=n 


h  =  n 


'/*=  y^  «^.7.'^/.— 2,;"'=  V  ",,.Wi,,-?«(w.^.  +  M^,)=o         {i,k=j,2,  ...,n) 


//-i 


/,  =  \ 


Or  ces  équations  (4)  ne  sont  vérifiées  que  si  après  avoir  choisi  arbitrairement 

— ^ variables  arbitraires   t-^    {i<Ck;  i,  A"  =  i,  2,  ...,  n),  on    donne  aux 

variables  u'  les  valeurs 

uuii  —  -  j  uuik  =  t;,.,         uiî/à  =  —  ^ik         (  i  <  A" ;  f,  /r  =  r ,  2,  3,  . . . ,  n  ). 


Si  donc  on  forme,  à  l'aide  du  système  (w.^)  réciproque  à  ce  système  (w//,), 
le  système  des  n^  nombres 


(i,  A'  =  I,  2,    ...,  /?.), 


on  obtient  le  système  orthogonal  le  plus  général  possible,  pour  lequel  U  n'est 
pas  nul. 

De  même  on  obtient  tous  les  systèmes  orthogonaux  (c-^)  d'un  domaine  de 
rationalité  déterminé  pour  lescjuels  le  déterminant  |  c-j^H- S^j(.|  {i,  /{=  i,  "2,  ...,/0 
est  différent  de  zéro,  et  on  n'obtient  que  de  tels  systèmes,  si  l'on  choisit,  dans 
le  domaine  de  rationalité,  des  systèmes  {t-^)  pour  lesquels 


^••-^ 


^^  = 


(i<  A;  «,  A-  =  I,  2,  ...,  n), 


puis,  que  l'on  forme  le  système  réciproque  (///,)  et  enfin  que  l'on  pose 

c,f,  =  t'ik—  5,;.         (  i,  A-  =  1 ,  2,  . . . ,  /?  ). 

Mais  parmi  les  systèmes  orthogonaux  (c-^)  à  déterminant  [c-^.-f-  o-j  |  différent 

de  zéro,  il  n'y  en  a  aucun,  sauf  le  système  unité,  qui  soit  symétrique;  car 

si  (c.;,)  est  symétrique,  (c-j.+  ô.^.)  l'est  aussi,  donc  aussi  son  réciproque  {t-^); 

on  a  donc 

I 
t^ii—  -'  "ik—  -ki 


t-,  ~  t..  =  o: 


donc  t'i/^=  2  0^n,  donc  c -^  =  S.j,. 

Ainsi  les  systèmes  symétriques  orthogonaux  représentés  par  M.  Lipscliitz 
ne  sont  pas  compris  parmi  les  systèmes  ortliogonaux  considérés  par 
M.  Cayley. 

Kronecker  [L.).  —   Sur  les  systèmes  orlhogonaiix  (suite).  (691- 
Soient  r,j  ( /,  A  =  i,  2,  .  . .,  «)  des  indéterminées;  V^z^lt'.^l  leur  déterminant 


HHVUE   DliS   PUBLICATIONS.  97 

\["'\  \["'\  ••■  1'"^  iiiiiKMiis,  (l'ordre  {n  —  /n),  ()l)lciuis  en  preiuiiil  la  dérivée 
de  V  par  rapport  à //i  des  indélertninécs  v^,',  Al.  Kroiiccker  tnonlre  (juc  l'on  peut 
loiijoiirs  rnt'ltre  ces  mineurs  sous  la  foririe 


y(/)  _Mv;/)N' 


{wfy 


(  rnodd  v-,,  v-^,  v-^ H-  v^- ) ,         ( A  --.  1 ,  2,  .'5,  . . . ), 


,      /j  (//  H- 1)  .   ,  /  i,  k 

les (|iiantiles  t»--,  v-^.+  v^j- 


•  Si    y  est  une  indéler- 


où,  lors(juc    n  —  /  esl   |)air.  les   W'/)  sont   des  grandeurs  entières  du  domaine 
loruié  par  les  éléments  K\t.,  tandis  (|ue,  pour  n  —  /  imj)air,  on  a  WyJ  =z  o. 

Soit  (  M[/"')  le  système  de  ituxlules  dont  les  éléments  sont  W  ("-*),  \V("'"^  ...  et 

:  I  ,  2 ,  . . . ,  n' 
i  <  A- 

minée,  si  o,^  désigne  comme  toujours  le  nombre  i  ou  le  nombre  o  suivant  «lue 
i  —  k  ou  que  i  <  A",  enfin  si  V(t^)  représente  le  déterminant 

k,ii+  ^S.^1  (i,  A-  -  I,  2,   ...,  n), 

on  peut  AémonlYCY  i\\\Q  suivant  le  système  de  modules  (  M'j,"~"''')  le  développe- 
ment, par  rapport  aux  puissances  croissantes  de  v,  du  déterminant  ^ {v) 

,    ■   ,       1  1  ■  ()\{v) 

commence  par  v"-^'>'-,  tandis  que  celui  de  chacun  des  mineurs  —y- — -  commence 

par  p"-=;^-'  ou  par  une  puissance  supérieure  de  v. 

La  forme  bilinéaire 

V      ^\  ô\  {v)     ,     , 


àv,,,^ 


V(tO 


<)v.- 


-Xiyk 


i,k 


est  la   réciproque  de  la    formule   bilinéaire  /  =   /^  (  —  + '^<i  ) -^i  T'a  !  nous  la 

/,  A- 
désignerons  parrec(/).  Dès  lors  il  résulte  du  théorème  précédent  que  l'on  a, 
suivant  le  système  de  modules  (  iM[,"~'^'''',  v^  la  congruence 


(5) 


[(  ^^''/«' )^  H- (  \\i'"M' +  •  •  •  ]  rec 


V 


5a)-^,ri 


Ov, 


Xi  y  le 


\  (  f.  A"  =  1 ,  2 ,  . . . ,  /<  ) ,         {m  :=  n  —  2  [JL  ) . 

Ceci  posé,  remplaçons  les  indéterminées  v-^.  par  des  grandeurs  entières  d'un 
domaine  de  rationalité  et  prenons  dans  ce  domaine  un  système  de  modules 
(N',  N",  ..  )  qui  soit  contenu  dans  chacun  des  éléments  du  système  de  mo- 
dules (MI,'"'),  et  suivant  lequel  la  somme 

(\v'/«')^+  {W'',"'^y-h... 

ne  soit  pas  congrue  à  zéro.  La  congruence  (5)  subsiste  alors  suivant  le  système 
de  modules  {v,  N',  N",  ...)  et  l'on  reconnaît  que  la  forme  bilinéaire  du  second 
membre  de  cette  congruence  est  une  forme  bilinéaire  symétrique. 

Si  nous  remplaçons  les  indéterminées  v,^  par  des  (juanlités  réelles  déterminées 
T.j,  pour  lesquelles  on  ait 


SA 


{i,    A    r.^1.    2. 


A), 


OB 


SECONDR    PARTIE. 


cL  pour  lesquelles,  en  outre,  le  développement,  suivant  les  puissances  croissantes 
de  V,  du  déterminant  |t-^+  t"  ô,J  (i,  k  =  i,  -?,  ...,  n),  commence  eirectivcmcnt 
par  V"',  on  voit  immédiatement  que  tous  les  éléments  du  système  de  modules 
(M[,'"')  sont  nuls.  IJonc,  d'après  le  théorème  général  démontré  plus  haut,  le 
développement  de  chacun  des  mineurs  du  premier  ordre  du  déterminant 
\'^,k~^  ^  ^ik\  ('i  k='^}  2,  ...,  n),  commence  par  p'"-'  ou  par  une  puissance  su- 
périeure de  p. 

Prenons  enfin  pour  les  éléments  du  système  de  modules  (  N',  N",  . . .  )  les  quan- 
tités 


\Y(m-2)^        YV(m_4)^ 


(i,  /c  =  I,  2,  . . .,  n,  i<k), 


elles-mêmes,  qui  toutes  s'annulent  pour  v-^=  x-^  {i,  A  =  i,  2,  .  ..,  n),  et  faisons 
enfin  tendre  ç  vers  zéro.  Alors  la  congruence  (5)  prise  suivant  le  système  de 
modules  (f,  N',  N",  ...)  se  réduit  à  l'égalité 


lim  rec 


(^) 


'm 


<^ii<  ^i  rk 


(\V/«))^  +  (W('«))^-+-. 


tI[ 


dW[ 


ni-i 


ÔV: 


àVn. 


■Wiy'ic 


{i,  k  =  i,  2,  . . .,  n),        {m  =  n  —  2  [x ) , 


où,  dans  le  second  membre,  on  suppose  les  n-  indéterminées  v,,.  remplacées 
par  les  n^  nombres  réels  x.^..  Ce  second  membre  étant  une  fonction  bilinéaire 
symétrique,  on  voit  que  la  réciproque  de  la  forme  bilinéaire 

l  ^  "^ik^in  +^  ^kXk         ( î,  A-  =  1 ,  2,  . .  . ,  ;0, 
/.  /.•  /■• 

c'est-à-dire  du  faisceau  formé  par  une  forme  bilinéaire  alternée  à  coefficients 

réels  et  la  forme  symétrique  /^^^yi,  tend,  lorsque  ç^  tend  vers  zéro,  vers 

k 
une  forme  symétrique  bilinéaire  à  coefficients  réels  et  finis. 
On  peut  généraliser  ce  théorème  et  démontrer  que,  si 

/  =  2]^'t^'^^'        f'^^^iuri^k        (i,A-=  1,2,  ...,«) 


i,k 


i,k 


sont  deux  formes  bilinéaires  conjuguées  à  coefficients  réels  et  telles  que 
le  déterminant  de  la  forme  symétrique  f  +  f  soit  différent  de  zéro,  la 
réciproque  de  la  forme  bilinéaire 

tend,  lorsque  w  tend  vers  -i,  vers  une  forme  symétrique  à  coefficients 
réels  et  finis. 

Ces  théorèmes  n'ont  un  sens  que  si  les  déterminants  des  formes  alternées 
bilinéaires 

y^^^.k^.yi'    ^(/— /')       (/./>■  =  1, 2,  ..., /?) 

i,k 


REVUE   DES   PUIUJCATIONS.  99 

voiii  iiul>.  Si  <u'.s  (It'lcrminanls  n'claiciil  pas  nuls,  tous  les  cocfficiciils  des  lé- 
l'iproiitics  tlos  formes  hiliiiéaires 

I,  k  k 

s'annuleraient  en  ellet,  lorsque  k>  tend  vers  zéro  et  w  vers  —  r. 

Nous  avons  vu  dans  une  Noie  précédente  que  les  systèmes  symétriques 
orthogonaux  ne  sont  pas  compris  parmi  les  systèmes  orthogonaux  représentés 
par  M.  Cayley.  Il  est  d'autant  plus  intéressant  de  se  rendre  compte  que,  en 
suivant  le  mode  de  représentation  des  systèmes  orthogonaux  de  M.  Cayley,  on 
peut  cependant  tendre  vers  des  systèmes  orthogonaux  symétriques.  Voici 
comment  : 

Dans  le  mode  de  représentation  de  M.  Cayley,  le  système  formé  par  les 
éléments 

'-Gik^\^iu  (i,  k  ^-.1,2,  ...,n) 

est  le  réciprocjue  d'un  S3^stème  d'éléments 
qui  vérifient  les  relations 

donc  aussi  le  réciproque  d'un  système  d'éléments 

^+5.^.        {i,  k  =  1,2,  ...,n) 

qui  vérifient  les  relations 

'^u  =  ^y  '^ih  +  '^ki  ='<J  (  i,  A-  =  1 ,  2,  .  .  . ,  71  ). 

Or  les  éléments  d'un  système  réciproque  à  un  système  considéré  pouvant  être 
envisagés  comme  les  dérivées  logaritlimiqiies  du  déterminant  du  système  con- 
sidéré, prises  par  rapport  aux  éléments  de  ce  déterminant,  ne  restent  certai- 
nement pas  tous  finis  lorsque  ce  déterminant  devient  nul.  Lorsqu'on  tend  vers 


moins 


des  systèmes  (-c-^H — o-A  à  déterminant  nul,  il  faut   donc  qu'une  au 

des  n^  grandeurs  —  croisse  au  delà  de  toute  limite. 

Ceci  posé,  convenons  de  passer  à  la  limite  des  systèmes  (  —  -f-  ù-A  qui  vé- 
rifient les  relations 

T--  =   O,  T-^.  =  T^. .  —  O  (  i,    />■  =  t ,  2.   .  .  .  ,  n  ), 

en  donnant  aux  n'  grandeurs  t-j,  des  valeurs  (inics  pf)ur  lesquelles  le  détermi- 
nant I  -z^f.  I  soit  nul,  et  en  faisant  diminuer  t^  jusqu'à  zéro.  Alors,  d'après  l'avant- 
dernier  théorème  démontré  dans  la  Note  actuelle,  le  système  réciproque  tendra 

vers  un  système  symétrique  i  -  c^H —  o,^  J  à  élénients  finis,  à  déterminant  nul. 

et  le  système  des  n-  éléments  c,^  obtenu  par  ce  procédé  sera  à  la  fois  orthogonal 
ef  symétrique. 


100  SKCONDE   PAUTIH. 

Kronecker  (^L.).  —  Sur  les  systèmes  orl,lio<^onaii\  (siiile).  (87')- 
885). 

Soient  z^^  [i,  A  =i,i,  . . . ,  n  )    un   sysLènic  de  «'  varial)lcs  réelles  et  ^,,^  des 

I  I  11  ■/.         ,       /'(  /i  +  0    ,  .  ,  ,.  . 

valeurs  de  ees  variables  vendu  ni  les    -^ ■-  e(iualions  de  condition 

2 


C.. C/.,  =  5.;,        [g,  h  =  i.2,  ...,n;  g<h). 


i—l 

Dans  la  variété  d'ordre  /i'  des  systèmes  (z-^),  les  systèmes  (Ç-^^)  forment  alors 

. ,   ,  j,      ,      n(n  —  i)        .  ,  , 

une  variété  d  ordre  qui  représente  les  systèmes  orthogonaux  consti- 
tués par  n^  éléments  réels. 
Cette  variété   d'ordre '■ se  compose  de   deux  parties  séparées   pour 

l'une  desquelles  le  déterminant  des  systèmes  orthogonaux  est  égal  à  +  i,  tandis 
que  pour  l'autre  ce  déterminant  est  égal  à  —  i.  Nous  représenterons  la  première 
par  (Cî/c),  la  seconde  par  (CZt)-  ^^^  deux  parties  séparées  se  correspondent 
d'ailleurs  univoquement  puisque  par  la  substitution  C7a- = — ^t/i  {k  =  i,  "2,  ...,  n) 
on  obtient  tous  les  systèmes  {Kj/^)  à  l'aide  des  systèmes  (î^|^. )• 

Il   est  facile  de  s'assurer  que,  pour  chaque  système  {^u),  le   déterminant 

I  ^Ji--^  '^ih  1  ih  k  =  },  2,  ...,  n)  est  nul;  il  en  résulte  que  la  variété  d'ordre  

que  Ton  a  désignée  par  (Ç^/^.)j  ^^  comprend  que  des  systèmes  orthogonaux  ne 
pouvant  être  représentés  par  les  formules  de  AI.  Cayley. 

Il  y  a,  au  contraire,  des  systèmes  (s//,)  pour  lesquels  le  déterminant 
I  CÎa+  ^ik  I  (^7  k  =  i,  2,  . . .,  n)  n'est  pas  nul,  et  les  systèmes  (î^//^.)  pour  lesquels 

ce  déterminant  est  nul  forment  une  variété  d'ordre  inférieur  à  — ^ -•  Les 

2 

systèmes  (Ç^/^.)  peuvent  donc,  en  général,  être  représentés  par  les  formules  de 

M.  Cayley.  En  effectuant  cette  représentation,  M.  Kronecker  démontre  que  la 

variété  d'ordre que  l'on  a  désignée  par  (C/},. )  est  irréductible;  il  en 

est  donc  de  même  de  la  variété  {tji^)  qui   lui  correspond  univoquemenl. 

Désignons  par  x.^.  (i£ï<A:<«),— —  variables  réelles  indépendantes,  et 

posons  X,,  =  x.^^  =  . ,  .= 'c^^^=  0;  x^.=:  — x,^..  Si  l'on  fait  correspondre  les  deux 
variétés  (  î;^}.  )  et  (  x.^^  )  lorsque  les  systèmes  (  Ç^v^.-f-  û,j  )  et  (  -  x.^^.  +  -  o.^  )  sont  réci- 
proques, ces  deux  variétés  (s^/^.)  et  (x-^),  dont  la  seconde  est  plane,  se  corres- 
pondent univoquement  d'après  une  Note  précédente.  Il  en  résulte  que  l'irréduc- 
tibilité de  la  variété  (C//^)  est  une  conséquence  de  l'irréductibilité  de  la  variété 
plane  (x-J. 

Au  point  zéi'O  de  la  variété  plane  (x-^)  correspond  le  point  unité  Ae  la  va- 
riété (^/"^. ).  Aux  points  de  la  variété  {'^'l/^)  pour  lesquels  le  déterminant 
1  ^//,  +  0,1  I  est  nul,  ne  correspondent  pas  de  points  de  la   variété  plane  ("^/it) 


RF.VUH   DE':^   PUHLICATIONS.  loi 

situer  il  ilisi.iiicc  liiiic  du   [loiril   zcfo  de  celle  v;iri(''l('-  |)l;iiie.  Si   \\n\  pose 


"a—  ?'^ik 


{i,  k  —  i,-A,  ...,  n;  p>  ()), 


et  si  l'on  (lésii^ne  p;n-  variété  s plii'iùjue  Vd  variélé  formé  par  les  systèmes  (t^^) 
pour  lesquels  p  a  la  inèiiu;  valeiii-,  on  peut  énoucer  de  la  manière  suivante  le 
dernier  résultat  obtenu  dans  la  Note  précédente  sur  les  systèmes  orlhof^onaux  : 

Pour//  impair,  la  variété  (!^^/.)  <jiii  corresj)()nd  à  la  vari(';té  sphéri(jiie  d'ordre 

n  (  n  —  \) 

tend,  lorsque  p  croît  indéliniment,  vers  la  variété  (î^//,.)  formée  par  les  systèmes 
symétriques  orthogonaux  (Ç//^).  Pour  n  pair,  ce  mèm(;  fait  n'a  lieu  que  pour 

la  variété  (  C//,  )  <li''  correspond  à  la  variété  d'ordre  — —  2, 

qui  est  caractérisée  par  la  condition  que  le  déterminant  |  x-^.  j  (/,  k=  i,  2,  ...,  n) 
soit  égal  à  zéro. 

I.a  variété  des  systèmes  symétriques  orthogonaux  étant,  comme  nous  l'avons 
vu  dans  une  Communication  précédente,  d'ordre  inférieur  à  celui  des  variétés 
correspondantes  i'^;,,),  on  retrouve  plus  d'une  fois  les  mêmes  systèmes  symé- 
triques orthogonaux  (C/a)  en  parcourant  une  lois  seulement  la  variété  limite 
correspondante  (t-j.  ). 

Envisageons  maintenant  le  système  de  modules  IM  dont  les  éléments  sont  les 

n{n  +  \) 
quantités 


^  «V^^/u        (5>  h  =^1,2,  ...,n;  g<h). 


i—\ 


r.  -  ,  /i  (  //   -h  I  )         . , 

Ce  système  est  de  rang  — ;    il    ne  contient  aucun  système  premier  de 

modules  de  rang  inférieur.  Suivant  le  système  de  modules  M,  le  système  des  n^ 
indéterminées  tv-^.  {i,U  —  i,  2,  ...,  n)  est  un  système  orthogonal.  Si  M'  est 
le  système  de  modules  dont  les  éléments  sont 


1 

i  =  l 


w-w. 


{g,  h  =  1,2,  ...,n;  gS/i), 


les  deux  systèmes  AI  et  M'  sont  entièrement  équivalents,  c'est-à-dire  que  chaque 
élément  du  système  M  est  congru  à  zéro  modulis  M',  et  que  chaque  élément  du 
système  IM'  est  congru  à  zéro  modulis  M.  Le  système  M,  et  par  suite  aussi  le 
système  M',  ne  contient  pas   d'autre  système  premier   de    modules  de   rang 


T03t  SECONDE   PAKTIE, 

n(n-\-i) 

ijue  les  deux  systc^mes 


(7) 


(s; 


où  W  désigne  le  déterminant  |  iv-,.  \  du  système  des  n'  indéterminées  (v-j.  Kn  com- 
posant les  deux  systèmes  (7)  et  (S),  on  oi)tient  un  système  de  modules  qui  est 
contenu  dans  le  système 


Ces  diverses  propriétés  des  systèmes  M  donnent  une  vue  plus  complète  de  la 
question  qui  nous  occupe  que  nous  ne  l'obtiendrions  en  étudiant  directement 
les  systèmes  (C,a)  vérifiant  les  équations  caractéristiques  de  l'orthogonalité  des 
systèmes 

i  —  n 

1  =  1 

cette  dernière  étude  est  d'ailleurs  contenue  dans  l'étude  générale  des  systèmes  .M. 
Plus  généralement  encore,   on   peut  démontrer   que   les  deux  systèmes  qui 
comprennent  les  systèmes  précédents  IM  et  INI', 


{g,  h  =!,■?. /?), 


où  les  quantités  u  et  v  sont  2/1^  indéterminées  quelconques,  sont   eux   aussi 
équivalents. 

iM.  Kronecker  établit  ici  deux  équivalences  qui  sont  l'extension  des  formules 
de  M.  Cayley  permettant  de  représenter  les  systèmes  orthogonaux,  à  des 
systèmes  qui  ne  sont  orthogonaux  que  suivant  un  système  de  modules  donnés. 
En  désignant  par  U  et  V  les  deux  déterminants  des  rr  indéterminées  m-j.  et 
des  n^  indéterminées  v-^,  par  (U,^)  le  système  adjoint  au  système  (  m ■;),  et  enfin 
par  (V-,.)  le  système  adjoint  au  système  (^,n),  de  sorte  que  l'on  a 


lUiVUI-    I)i:S  PUBLICATIONS.  loi 

les  ticiix  t''([iii\  iilfiicf's  dont  nous  j);irloiis  sont   les  snivarilos  : 

{[))      (    ]^  ",^'^/.-".i-«u'    ^a-VU,,  joo(o,;.-t.,^.-c^,,,    v-,-\V,^,    UV-i), 

Kt  voici  coiniiuMil  l'or»  moiitic  <]ii'clles  donnent  effcctivemenL  la  généralisation 
à  des  systèmes  orthogonaux  suivant  un  nnodulc  donné,  du  mode  de  représen- 
tation de  iM.  Caylcy  pour  les  systèmes  orthogonaux.  Soient  :  a-^  {i,  A  =i,  a  ...,  n) 
dos  grandeurs  entières  d'un  domaine  naturel  de  rationalité  telles  que  le  système 

(«a— 2,i)        {i,  /<•  =  !,  2,  ...,  n), 

soit  orthogonal,  moditlis  (  [j.',  [jl",  ...);  les  éléments  du  système  de  modules 
(  ijl',  [x",  ...)  font,  par  hypothèse,  partie  du  domaine  naturel  de  rationalité  con- 
sidéré. Les  congruences  caractéristiques  pour  qu'il  en  soit  ainsi  sont 

h  =  n 

^  «.;.«u.  —  «.A  —  «A.  =  o      (  '"odd  [J-S  lJ-">  •  •  •  )         (  /,  A-  =  1 ,  2,  . . . ,  n  ) , 
ou,  si  l'on  veut 

li=zn 

2]  ^/..«M  —  «a  —  «A.  =^  o      (  modd  ;x',  ;x",  . . .  )         (  i,  /v  =  i ,  2,  . . . ,  n  ). 
Ii  =  \ 

Si  le  déterminant  A  =  |rt-n|  du  système  {a^i)  est  en  outre,  modulis  (  ;j.',  a",  ...), 
un  diviseur  de  l'unité,  c'est-à-dire  s'il  existe  une  grandeur  entière  B  du  domaine 
naturel  de  rationalité  considéré  tel  que  l'on  ait  AB  e£3  i  (moddjx',  [x",  .  ,.),  on 
déduit  de  l'équivalence  (9),  en  y  posant 

^,A=  ^'^ik        (^/''  =  11  2,  ...,  n), 
la  congruence 

(  1 1  )  8 .^.  —  BA  ■^.  —  BAj^.,-  ^  o     (  modd  ix',  a",  . . .  ) , 

dans  laquelle  (A,j)  est  le  système  adjoint  au  système  («,;.).  Si,  d'autre  part, 
les  éléments  6,^.  d'un  système  (è-^. )  appartiennent  au  domaine  naturel  de  ra- 
tionalité considéré,  et  vérifient  les  congruences 

^,A  —  ^-A  —  ^Ai  ^  o     (  ï"f>tltl  p.',  -x",  . . .  )         (  i,  A-  =  1 ,  2,  . . . ,  /O, 

et,  s'il  existe  une  quantité  A  de  ce  domaine  naturel  de  rationalité  telle  que 
l'on  ait 

AB=i     (modd  (x',  [x",  . . .), 

on  déduit  de  l'équivalence  (10),  en  y  posant 

«.A=  I-'Va         (/,  A  =  I,  2,  ...,  n), 


io4  SECONDE   PARTIE. 

la  congruence 

(.2)  2]  '^Tî,,,An,,-AI{,,-ABt,=.o     (ino(I(l;x',ix",  ...), 

dans  laquelle  (H,;)  esL  le  syslème  adjoint  an  systènrie  [b-f.). 

On  obtient  donc  tous  les  systèmes  orthogonaux,  suivant  le  système  quel- 
conque de  modules  considérés  (|x',]x",  ...) 

(«,fc—  2a)  (^  ^"  =  1,2,  ...,  /?,), 

pour  lesquels  le  déterminant  |«,j^.  '  est  un  diviseur  de  l'unité,  modulis  ix',  ]x' ,  ,.., 
en  envisageant  successiven)eut  tous  les  systèmes  {b-j^)  dont  les  éléments  véri- 
fient les  congruences 

5,A—  ^a—  ^,==  o     (  f'ioddjj.',  [x",  .  .  .), 

et  dont  le  déterminant  B  est  un  diviseur  de  l'unité,  modulis  jjl',  [x",  ...,  auquel 
correspond  donc  un  nombre  A,  tel  que  l'on  ait 

AB  E^  I     (  modd  p.',  ]x" ,  . . .); 

puis  en  formant  les  systèmes  (  B,;.  )  adjoints  à  ces  systèmes  {b-^);  et,  en  posant 

enfin 

«.,=  AB.;.. 

En  eiïet,  la  congruence  (12)  montre  que  les  systèmes  ainsi  formés  sont  ortho- 
gonaux, modulis  [x',  [x",  ...,  et  la  congruence  (11),  montre  qu'il  n'existe  pas 
d'autres  systèmes  orthogonaux,  modulis  [x',  [x",  ...,  que  les  systèmes  ainsi 
formés. 

Kronecker  {L.).  —  Sur  les  systèmes  orlliogonaiix  (fin).  (io63- 
1080). 

Les  recherches  générales  contenues  dans  les  Communications  précédentes  de 
IVI.  Kronecker  sur  les  systèmes  orthogonaux,  nous  amènent  à  reconnaître  la 
nécessité  d'une  généralisation  du  mode  de  représentation  de  ces  systèmes 
donné  par  M.  Cayley.  Si,  en  eflet,  nous  appliquons  le  dernier  résultat  obtenu 
par  M.  FCronecker,  au  cas  particulier  où  le  système  de  modules  ([x',  [x",  ...)  se 
réduit  à  un  nombre  entier  [x.  nous  voyons  qu'il  est  possible,  ou  non,  de 
trouver  par  la  méthode  de  M.  Cayley  les  systèmes  d'entiers  {w■^.)  tels  que  l'on  ait 


Z^^'^gi^ui-^su     (iiiodtx)         (o', /i  =,,  2,  ...,/0, 

suivant  que  le  déterminant  hv-^-i-  ô-^.]  est  ou  n'est  pas  premier  relatif  à  ix. 

Ainsi,  le  nombre  de  systèmes  orthogonaux  modulo  [x,  qui  ne  peuvent  pas 
être  représentés  par  la  méthode  de  INI.  Cayley  est  à  ceux  qui  peuvent  être  re- 
présentés par  cette  niéthodc  dans  un  rapport  fini. 

En  étudiant  la  composition  des  systèmes  orthogonaux,  on  voit  d'ailleurs  direc- 
tement qu'il  n'y  a  pas  lieu  de  distinguer  le  cas  où  le  déterminant  hv-^-|-ô^|  est 


RRVUK    DIÎS    iniHMCATlONS.  lo") 

nul  (In  f;is  on  il  ne  !'»>>(  |);is.  l'nnrlr  liiirc  voii,  oliscrvons  rl";ij»()r(!  (|iic,  si  l'on 
tlt'si^^nc  |i.ir  l^^'^'l/^^  l't'It'nK  ii  I  du  s\s|ini('  it-ciproc]  ne  au  syslrnic  (//,i)  «jui  cor- 
rrs|tiiiiil   .1   rcicnicnl   itf^,  si    l'on  pose  donc 


du... 


»'c<' "a  =  — :r7.— ^-         {s;,  h,  i,  />    ~  i,^,  .. .,  n ), 


tous  les  syslèmcs  orthogonaux  (Ç//?)  poui-  lesquels  le  cléLerniinanl  [ -^l^' +  ^.i  1 
est  diiïérenl  de  zéro  peuvent  ùtre  mis  sous  la  fornie 

(i3)  —  5a  +  2  rec ( T .^  H- S, J         ( /,  A- =  i,  2,  . . . ,  «), 

tandis  que  les  systèmes  orthogonaux  pour  lesquels  ce  déterminant  est  nul  ne 
peuvent  pas  être  mis  sous  cette  forme.  Ceci  posé,  soit  (<7/^-')  un  système  ortho- 
gonal particulier  choisi  parmi  les  systèmes  (î^/Jn');  l'ensemble  des  systèmes  or- 
thogonaux à  déterminant  positif  peut  être  représenté  i)ar  la  formule  de 
composition  (C/t')('^<l-0'  ^^■'  ^'  '^"  compose  seulement  avec  (<j'^"^.')  ceux  des 
systèmes  {^^^J)  qui  peuvent  être  mis  sous  la  forme  (i3),  on  peut  fort  bien  ob- 
tenir des  systèmes  composés  ne  pouvant  pas  être  mis  sous  cette  forme  (i3); 
tout  dépend  du  choix  du  système  particulier  («y/^)-  Dès  lors,  on  voit  bien  nette- 
ment qu'il  n'est  pas  naturel  de  séparer  essentiellement  les  recherches  concer- 
nant les  systèmes  orthogonaux  à  déterminant  positif,  pour  lesquels  le  déter- 
minant U/X^+ô^jtl  6St  nul,  de  celles  concernant  les  systèmes  orthogonaux  à 
déterminant  positif  pour  lesquels  le  déterminant  |Cl^'+  S .^  |  n'est  pas  nul. 

Il  faut  donc  généraliser  le  mode  de  représentation  des  systèmes  orthogonaux 
de  M.  Cayley.  Les  remarques  que  nous  venons  de  faire  au  sujet  de  la  compo- 
sition des  systèmes  vont  nous  servir  de  guide  dans  cette  généralisation. 

Composons  les  deux  systèmes 

[—  5,t  -f-  2  rec  (—  T .;.  -^  5,^.  )] ,        (  c-^  ) , 

où  (c-^.)  est    un   système  orthogonal  quelconque  à  déterminant  -f-i;  nous  ob- 
tiendrons un  système  orthogonal  (F^)  à  déterminant  -+- 1,  dépendant  de  — '^ 

variables  x-^^.  Comme  il  résulte  d'une  Communication  précédente  de  IM.  Kro- 
necker  sur  les  systèmes  orthogonaux,  qu'il  ne  peut  y  avoir  de  variété  d'ordre 

; de  quantités  F^,,.  pour  lesquelles  on  ait  à  la  fois 


^  ^si  ^lu  =  5„;„         1  F,.,.  1=1,         I  F,^.  -h  6,  J  =  o ,  {g-,h,i,k  =1,2,  ...,n), 

1  =  1 

on  voit  que,  tant  (jue  les quantités  t^.  (/<X)  restent   variables,  le 

déterminant  |F.^h-  ô .^  |  est  nécessairement  différent  de  zéro.  On  peut  donc,  en 
envisageant  les  'z^^{i<:^k)  comme  des  variables,  appliquer  au  système  orthogonal 
(F^^.)  le  mode  de  représentation  de  M.  Cayley,  et  l'on  a  ainsi 

r'a  =  —  5^.  -H  2  rec  ( /.;.  H-  6,^  )         (  /,  A  =  r ,  2,  . . . ,  «  ) : 
Bull,  des  Sciences  niatkéin.,  2"  série,  t.  \l\.  (  \\ril  iSç).).)  H. 8 


io6  shcondiî:  pautik. 

les  qiianlilés/^  sont  des  f<)n(M.ions  rationnelles  des /i' quantilcs  !<',;  cl  véri/ieul 
les  équations 

fik-^fu=  O  (t,  A-  =:  I,  2,    ...,/7). 

Mais  les  quantités  F.^.  sont  clies-ménries  des  fonctions  rationnelles  des  quan- 

n  (  n  —  I  )         .   ,  , 
tites  c.^  et  des  — — ■ variables  x^^^  {i  <  A  )  puisque  l'on  a 

(•-1)        l-S,,4-2rec(-x,,+  5,J](c,,)  =  (F,,)        {i,k  =  i,2,  ...,n). 

Donc  les  f^^  sont  fonctions  rationnelles  des  c-^  et  t^^. 
En  observant  que,  pour  i,  k  =  i,  2, . . .,  n,  le  système 

—  5  .^.  +  2  rec  (  T,.^.  -4-  5  .^  ) 

est  le  réciproque  du  systènne 

—  o.^-h2rec(-T.j+3;.J, 

on  déduit  immédiatement  des  équations  (i4) 

.  .,     \  (Ca)  =  [-5a+2rec(T.,+  o,,)](F,,) 

(  =  [-  2a+  2  rec  (t.,4-  0,,)]  [-  6 .,+  2  rec  (/,,+  0,  J] 

Ainsi   tout  système  orthogonal   (c,j)  à   déterminant  +1  peut  être  envisagé 

comme  le  composé  d'un  système  [— 5^.^  +  2 rec ( t^-^ -t- 8 .^  )]  formé  à  l'aide  des 

n{n  —  I  )         .   ,  ,       .     , , 

variables  indéterminées  T.^(f<  A)  et  d'un  système 

[-o.^H-2  rcc(/,.^+o,J] 

formé  à  l'aide  de  fonctions  rationnelles  f-f.  des  mêmes  variables  indéter- 
minées T-^et  des  éléments  du  système  (c,j)  lui-même.  On  a  d'ailleurs  T^-i-T^.  =  o, 
fik~^/ki—^-  I'  résulte  de  ces  équations  (lô  )  que,  tandis  que  les  f-^  appartiennent 
au  domaine  de  rationalité  (c-j.x^),  les  c-^.  appartiennent  au  domaine  de  ra- 
tionalité (/,fc,T.^.)  ii,k  =  i,  ■2,...,n). 

En  adjoignant  les variables  x.^  (î  <  A  )  aux  quantités  données, 

on  peut  donc  représenter  sans  exception  tous  les  systèmes  orthogonaux.  Ce 
fait  est  une  confirmation  nouvelle  des  théories  fondamentales  exposées  par 
M.  Kronecker  dans  sa  célèbre  Festschrift. 

Ceci  posé,  observons  que  les  équations  (i5)  ont  encore  lieu  lorsqu'on  rem- 
place les  indéterminées  x.^.  par  des  quantités  déterminées  quelconques,  telles 
toutefois  que  les  dénominateurs  qui  paraissent  dans  les  équations  précédentes 
ne  soient  pas  nuls.  Il  faut  et  il  suffit  pour  cela  que  l'on  choisisse  ces  quantités 
déterminées  de  manière  que  les  deux  déterminants 

ha+2.^I,         |F,;.4-6,J  (i,  A- =  ,,0,...,,,) 

ne  soient  pas  nuls,  ce  qui  est  toujours  possible  pour  un  syslcmc  quelconque  (c,^) 
donné. 

On  voit  ainsi  que  l'on  obtient  tous  les  systèmes  orthogonaux,  à  déterminant 
-i-i,  faisant  partie  d'un  domaine  de  rationalité  donné,  et  ces  systèmes  seulement, 


RKVllK    ni:s    PUBLICATIONS.  107 

III  1  ((mi»ii>;)iil  (le  loulcs  les  iiiiiiiirics  possililcs  deux  à  (leii.i:  les  i}sL('.ines 
[—  6.^  H-  i  rcc  (  a.^  -I-  c,^  )  |         (/,/.=  1 ,  :i, ...,  /j), 

où  les  qiiaïUilôs  a-^^  sont  des  graiulcurs  (jiiciconqucs  du  doinyinc  de  ralionalilc"; 
donné,  lollcs  que  tx■^.  +  a^.—  o. 

Ce  mode  de  généralion  des  systèmes  orllio^'ouaux  est  également  applicable 
aux  syslèinos  orthogonaux  suivant  un  module  ou  suivant  un  système  de  mo- 
dules donné.  11  nous  fournit  la  généralisation  cherclice  du  mode  de  représenta- 
tion des  systèmes  orthogonaux  de  M.  Cayley.  On  retombe  sur  les  systèmes  or- 
thogonaux de  M.  Cayley,  en  jncnant  tous  les  a.j  de  l'un  des  deux  systèmes  que 
l'on  compose 

[—  o,^  +  •■> rec ( t.-^  +  S,. J]         {i,  k  =  i, -i, . . .,  n), 

chaque  fois  égaux  à  zéro.  Mais  alors,  comme  nous  l'avons  vu,  la  généralité  du 
mode  de  représentation  des  systèmes  orthogonaux  se  perd;  les  systèmes  ortho- 
gonaux symétriques,  par  exemple,  ne  peuvent  plus  être  représentés. 

M.  Kronecker  fait  suivre  ces  considérations  générales  de  l'exposé  d'une  mé- 
thode qui  diffère  essentiellement  de  celle  de  M.  Cayley  et  qui,  pour  des  éléments 
réels,  permet  de  représenter,  sans  exception,  les  systèmes  orthogonaux  à  l'aide 

,    n(n  —  0  .  /^  -11  1  •  1  '     . •  , , • .   • 

de  — ^^ paramclres.  Cette  méthode  repose  sur  des  considérations  deja  in- 
diquées dans  les  Monatsberichte  de  l'Académie  de  Berlin,  en  1873. 

Il  établit  ensuite  («  — 1)  équations  aux  dérivées  partielles  qui  caractérisent 
complètement  les  invariants  des  transformations  orthogonales,  à  déterminant 
-l-i,  d'un  système  quelconque  donné  de  N  formes  de  dimensions  v^,  v.^,  ...,  Vu, 


Désignons  par 


7i(  c''V  \ 


un  quelconque  de  ces  invariants.  On  peut  écrire  ces  {n  —  \)  équations  aux  dé- 
rivées partielles 


{p,  -M)C),^^i^...,^,,._i,...,^,. 


=  X^^''--^'^^r- 


1 /;,•+!, ..■,/'„ 


^^plW...,pn 

d^(  C''7'  ) 


où  /•  prend  successivement  les  valeurs  /•=  2,  3,  . . .,  n.  Les  sommations  indiquées 
sont  à  effectuer  par  rapport  aux  indices  q,  p^,  p,,  ••i  Pu-  ^°  dans  les  deux 
membres  par  rapport  k  q,  de  q  =  i,  2,  .  . .  jusqu'à  q  =:N;  2°  dans  le  premier 
membre  de  la  /•'*"*  équation  (/•  =  2,3,  ...,  n),  de  manière  que,  pour  chaque 
valeur  de  q,  p^  prenne  toutes  les  valeurs  entières  positives  et  que  /?,,  . . .,  /?r_,» 
/^r+t»  ••■,/''„  Prennent  toutes  les  valeurs  entières  positives  y  compris  7.éro,  telles 
que 

/?,-f- /;,  +  ...  +  /?„=  v^\ 


io8  SliCONDIi:   rAUTIH. 

3°  dans  les  seconds  membres  des  mûmes  {n  —  i)  cqualions,  de  manit-ie  que  p\ 
prenne  toutes  les  valeurs  entières  positives  et  que  p^,  p^,  ...,  /?„  prennent 
toutes  les  valeurs  entières  positives  y  compris  zéro,  telles  cjue 

/?,  +  />, +  ...-!-/?„=  v,^. 

On  observera  que  le  second  membre  de  la  /•'*"•  équation  (/•  =  2,  3,  . . .,  n)  se 
déduit  du  premier  membre  en  y  permutant  les  indices  i  et  /•. 

Pour  caractériser  les  invariants  des  transformations  linéaires  ^e'/îem/e*,  à  dé- 
terminant +  1,  il  suffit  d'ajouter  à  ces  (/?  —  i)  équations  aux  dérivées  partielles 
la  condition  que  dans  chacune  de  ces  {n  —  i)  équations  les  deux  membres 
aient  une  valeur  égale  à  zéro. 

Dans  le  cas  particulier  où  N  =  i,  on  retombe  sur  les  théorèmes  déjà  dé- 
montrés par  M.  Lipschilz  et  qui  ont  servi  de  point  de  départ  aux  recherches 
plus  générales  de  M.  Kroncckcr.  Ainsi  les  invariants  2  des  transformations  or- 
thogonales de  la  forme  quadratique 

sont  entièrement  caractérisés  par  les  {n  —  i)  équations  aux  dérivées  partielles 

h^=  n 

\r^  f         à3  âH  \  (  â^  du  \ 

11"'' 5::;.  - "•■'■  5^)  =  ""U^  -  S^) 

A— 1 

{r  =  2,3,  ...,,7). 

Il  est  un  autre  cas  particulier  qui  est  très  intéressant;  c'est  celui  où  les 
formes  du  système  considéré  sont  linéaires  et  où  N  =  n.  Soient  alors 

^  i^ik^k  (i  =  i,2,  ...,n) 

ces  n  formes.  Les  {n  —  1)  équations  aux  dérivées  partielles  qui  caraclérisenl  les 
invariants  2  des  transformations  orthogonales  de  ce  système  de  formes  sont 

k  ~  n  k  =  n 

\-i  d3  \^  d^  ,  o  x 

2- ""  à»;:;  =  1  "'■  5ir:     c- =  ,,.,,...,,>). 

k=l  k-l 

Ces  invariants  3  forment  une  variété  d  ordre  n^ -:  et  ils  peuvent 

2 

.     ,          r        ■        ,      n(n-{-i)  .  ... 

être  exprimes  en  fonction  des invarianls  particuliers 

/i  =  n 

^  ",;.  «/>;.         (  ?,  A-  =  1 ,  5 n;  i^/.). 

_  «  (  /?  H-  I  )     .  .  .  ,  .  -       ,  .  ,  r 

Ces  invariants  particuliers  sont   aussi   des  invariants  des  translor- 

2 

mations  orthogonales  à  déterminant  — i.  Il  existe  toutefois  des  invariants  (jui 
ne  sont  invariants  que  pour  les  transformations  orthogonales  à  déterminant  -4-1. 
par  exemple  le  déterminant  |f/-J  (/,  A  =  1,  2,  .  . .,  n)  du  système  de  fonctions. 


REVUE   DES  PUBLICATIONS.  109 

A /■oncc/iCr  (/..).  —  Sur  la  llicoric  des  fondions  cilipliqucs.  (ioy.5- 

Dans  une  C.f^mmunicalioii  prcccdcnlc  ('  ),  Kroneckcr  a  démonlrc  que  la  série 
à  double  entrée 


scr 


('o^  +  '^o"'>  at;  +  T(V,  V,iV)  =  ^ 


(7-1    m  }v  -h  {t  -h  n)w 

in ,  Il 


où  les  notalions  sont  celles  des  formules  (5i)  à  (Oo)  de  cette  Communication, 
peut  être  représentée  à  l'aide  de  la  fonction  impaire  2r,  de  Jacobi  par  l'ex- 
pression 


/(g„+cr)t^4-(T„H-T)(V    w\ 


2  To  //  71  / 

■  ■    ~ x^' 

qu'il  désigne  par  fonction  Atropos  des  quatre  quantités  z^v-^t^w,  <sv-\-'zw,  v,  w, 
La  série  à  double  entrée,  plus  générale  que  la  précédente 

Y^  (^(y  ^  rn)v  —  {-z  -\-  n)iv   e'("+")'^»~-('^+"'^''''l^"' —  e'('^+")'o-(»+'«)f!'I^'^' 
^^  {:j  -\-  ni)v  -i-  {t  -^  n)w  2  (  ci  +  /?i  )  (  x  +  /O 

//; ,  Il 

où  (c7Ô,x^),  (!Jo,0  sont  deux  systèmes  (cr^^jxj,  peut  être  représentée  par  la 
somme 

2ZVT^i  I       ser  ( (7 ç»  H-  X ly ,  ^0 ç^  +  x'^jv,  i^,  w )  c/t^, 

7<i  X() 
ser  (  a  ç»  +  X  (V,  a,,  i^  H-  x^  w,  v^,  w  )  t/x^ 

de  deux  intégrales  de  la  série  qui  représente  la  fonction  Atropos;  dans  l'une 

de  ces  intégrales  c'est  g-^,  dans  l'autre  c'est  x^,  qui  est  la  variable  d'intégration. 

Cette  même  série  à  double  entrée  peut  d'ailleurs  aussi  être  mise  sous  la 

forme 

.  Y^    ,  ,     . ,       (  a'  H-  m  )  p  H-  (  x'  +  /i  )  H-" 

III,  Il 

où  e  — -f- 1  ou  — I,  suivant  les  conventions  faites  sur  la  variable  w.,  de  sorte 
que  l'on  peut  envisager  cette  dernière  série  comme  une  généralisation  de  la 
fonction  Atropos  et,  par  suite,  de  la  fonction  2r^  de  Jacobi. 

La  démontration  de  cette  belle  proposition  repose  sur  la  convergence  des 
séries  ser^  et  ser,  envisagées  dans  une  Communication  précédente,  et  sur  la 
convergence  de  la  série 

^y*    y,    [ç;(c7';—  a;)]'+?  c(nT-mz)2T.i 


I  +  P  [(  <  +  '^i  )  ^  +  {<  +  n)wy-^i 

p  ^  2  m.  Il 


(')  Bulletin,  t.  XVII,,  p.  55,  formule  (Go),  iScjS. 
Bull,  des  Sciences  mathéni.,  9."  série,  l.  XL\.  (Mai  i8(j5.)  H. y 


,,,,  SECONDIi   l'AUTlK. 

(lui  résiille  clle-mùmc  de  la  convergence  de  la  série 

p  =:  00 

2-1    jL^  [(cr„+»Ov'-+-('c„-h«)tv]'-?' 

0^2  m ,  Il 

qui    a    été    élablie    par    Eisenslcin   dans    le  Tome   35    du    Journal   de    Crclle 
(p.   iGG). 

Kroiiecker  (/>.)•    —   Sur  la    composition    d'un    syslèmc   de    //- 
quantités  avec  lui-même.  (1081-1088). 

Soient  ^JV  (  t,  A"  =  i,  2,  •  • -,  «)  /«'  variables  indéterminées  et  ^i{/,  les  /i» 
éléments  du  ^système  obtenu  en  composant  r  fois  avec  lui-même  le  système 
des  ;i=  variables  indéterminées  z\]l,  de  sorte  que  l'on  ait,  pour  ^  =  1,2,...,/- 
et  pour  chacun  des  n»  systèmes  d'indices  {i,  k) 

h=n 

h  =  i 

En  désignant  par  z^'',  le  nombre  S,,,  où  5.  ,  =  i,  8,^,=.o  pourr^Â-,  on  a,  plus 
généralement,  pour  chacun  des  n^  systèmes  d'indices  (/,  A)  et  en  désignant 
par  l  et  par  m  l'un  quelconque  des  nombres  o,  i,  2,  ... 

h  =z  m 

Jl+in)  __    V    -<''    '>'",' 
-i,k       —  ^  "iJi-hJr 

h  =  \ 

Si  rec(«  ,)  représente  l'élément  qui  correspond  à  l'élément  «,,,.  dans  le 
système  réciproque  du  système  formé  par  les  n^  éléments  «•  „  on  a,  en  donnant 
à  chacun  des  indices  h  et  A-  une  quelconque  des  valeurs  1,  2,  ...,  /?, 

y  a     rcc  (  a,- ,.  )  =  S,  ^; 
/  =  i 

on  a  aussi,  en  désignant  par  adj(«,,)  Télément  adjoint  à  l'élément  a,,  dans  le 
système  formé  par  les  iV-  éléments  «,,,  et  par  |«,J  le  déterminant  de  ces  n^ 

éléments,  .  .      ,        1         /        \ 

adj(a._t)  =  I«,-,t|rcc(rt,^i). 

Dans  son  beau  Mémoire  sur  les  diverses  séries  de  Sturm  inséré  dans  les 
Monatsbevichte  de  l'Académie  de  Berlin  pour  février  i863,  Kronecker  a 
montré  que  pour  chacun  des  n'  systèmes  d'indices  {i,  k  =  i,  2,  ...,n),\  elc- 

pouvait  être  représenté  par  la  série  entière  en  z-\ 

/•=  00 

V'  -('"^  r  — '!'■" 


UKVUli    Dits    PUBLICATIONS 


1 1 1 


(litnl  les  rocflicicnls  sont  précisément  les  élémetils  des  syslèines  résiillaiit  de  \n 
«OUI position,  rt'pélée  i,  >,...,/•,...  fois,  du  système  (-sj;*/),  {i,  /\  =  t ,  9.,  . . .,  /i), 
avec  lni-inémc. 

Cela  revient  h  dire  (juc  la  série 


r  —  Q   Lj, /i  .1 


dont  les  cocflicienls    7   zYJ.x'i y'i  sont  des  formes  bilinéàires  des  deux  systèmes 

de  n  variables  x\,  x'.,  . . . ,  x\^  et  y\i  y\,  •  •  •■,  j'^i  est  la  forme  réciproque  de  la 
forme  bilinéaire 

k  :=n  i  =  n  fi  =  n 

-  y]  ^^Xk  -  ^  2]  '''■'^•'  ^'^''' 

A—l  i=l A=l 

De  ce  théorème  on  peut  déduire  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour 
que,  en  composant  un  certain  nombre  de  fois  avec  lui-même  un  système  (^/^/^) 
dont  les  n^  éléments  ^[^l  {i,  k  =  1,  2,  ...,  ?i)  font  partie  d'un  domaine  naturel 
de  rationalité  et  dont  le  déterminant  n'est  pas  nul,  on  obtienne  à  nouveau  le 
système  d'où  l'on  est  parti. 

Il  faut  et  il  suffit  que  la  forme  réciproque  de  la  forme  bilinéaire 


(i,  k  =  1,  2,  ...,  n) 


soit  le  quotient  d'une  fonction  entière  de  z  par  un  binôme  de  la  former' — r, 
où  V  est  un  entier  quelconque. 
A  l'aide  de  cette  proposition  on  peut  former  tous  les  systèmes 

(î;;.;;),     {i,  A- =  1,2, ...,  n), 

qui,  combinés  v  fois  avec  eux-mêmes,  donnent  le  système-unité 

(S,A.),         {i,  A=r,  2,  ...,;0. 

On  s'appuie,  à  cet  effet,  sur  une  propriété  des  formes  bilinéàires  de  laquelle  il 
résulic  que  z''—  i  n'ayant  pas  de  racine  double,  tous  les  éléments  Ç[).'  peuvent 
être  mis  sous  la  forme 

/i=n 

où  les  deux  systèmes  (c,  ,J,  (c'ij^)  sont  des  systèmes  réciproques.  Le  nombre  de 
fois  V  qu'il  faut  combiner  un  système  {^[j^)  avec  lui-même  pour  obtenir  le 
système-unité  (0^  ^)  est  le  plus  petit  entier  i>  tel  que  l'on  ait  à  la  fois 


Z'. 


Z 1  r=    , , 


K  - 1 , 


,(.;»  SECONDE  PARTIE. 

Z  ,  Z^,  ...,  Z,^  élanL  les  n  (luanLités  qui  paraisscnl  dans  les  W  relations 

li  =  n 

correspondant  aux  n""  éléments  du  système  {^\]l)  considéré. 

Kroncckcr  établit  plus  généralement  la  condition  nécessaire  et  suffisante 
pour  qu'en  composant  avec  lui-même,  un  certain  nombre  de  fois,  un  système 
(î;^.*^)  dont  le  déterminant  n'est  pas  congru  à  zéro  suivant  un  système  premier 
de  modules  donnés,  on  obtienne  un  système  congru,  suivant  ce  système  pre- 
mier de  modules,  au  système  d'oîi  l'on  est  parti. 

Pour  qu'il  en  soit  ainsi,  il  faut  et  il  suffit  que  l'on  puisse  déterminer  un 
entierv  tel  que  le  produit  du  binôme  z''—i  par  la  forme  réciproque  de  la  forme 
bilinéaire 

z^x,y,-Y,  ^\]>iy^         ( /,  A-  =  I,  2,  . . . ,  n) 

A-=:0  /,  A- 

soit  une  fonction  de  z  congrue  à  une  fonction  entière  de  z,  suivant  le  système 
premier  de  modules  donnés. 
Envisageons,  par  exemple,  le  système 

(C,,+  ,,fc)  (/t,  A  =  O,  I,   ...,   /7?  -i), 

formé  par  les  m=  coefficients  entiers  c,,^,  j.  de  la  partie  indépendante  de  z  dans 
la  forme  bilinéaire 

A-  =  »î  —  1  kz=m  —  l  fc  =  m  —  1 

-        ^         ^A^'a-        ^         ^A-,rA  —  ^m-,       ^         C,„^iJ'j, 
k  =  Q  Azrzl  A=0 

dont  le  déterminant  est 

de  sorte  que,  pour  r  <  m,  on  ait 

c^  ^  =  0^  n.  (A- =  0,  I,  . . .,  /?î  —  i). 

En  désignant  par  v  le  plus  petit  entier  pour  lequel  5^—1  est  divisible  par  V{z), 
il  résulte  du  théorème  démontré,  que  le  système  de  nombres  entiers 

(Ca-+,,a)  i^h  A=o,  I,  ...,  m-.) 

composé  V  fois  avec  lui-même  engendre  le  système-unité 
(S.j),  (/,  A-  =  i,  2,  ...,  ;;0- 

Kronecker  désigne  ce  système  d'entiers  (r,,^,^)  sous  le  nom  de  système-unitc 
impropre,  appartenant  à  l'exposant  v. 

Kronecker  {L.).  —  Hcchiclion  algébrique  des  faisceaux  de  formes 
l)ilinéaires.  (i 225-1  p.Sy). 


I 


REVUIî  DKS   PUnLICATIONS.  ii3 

Soioiil  iIiMix  lonclions  liiliiu-iiircs 

t^(.r,,  .r,,  ...,  .r,;    j,,  y,.  ...,  y,} 

(les  deux  syslcincs  do  variables  x,,  ...,  x,;  y,,  y,,  ...,  y,.  Envisageons  le 
faisceau  de  formes  bilinéaires 

U'^  H-  V']i, 

où  n  et  V  sont  deux  indéterminées. 

Si  T  est  le  plus  grand  nombre  entier  tel  que  l'un  au  moins  des  déterminants 
d'ordre  t  formés  par  les  coefficients  de  la  forme  uif  -h  v^  soit  différent  de  zéro, 
on  aura,  entre  les  /'  dérivées  partielles  de  la  fonction  w^  -h  V'\i,  prises  par  rap- 
port aux  variables  x^,  x.^,  . . .,  x^,  r—x  relations  linéaires  indépendantes  dont 
les  coefficients  sont  des  fonctions  homogènes  entières  des  indéterminées  m,  V, 
et  de  même  entre  les  s  dérivées  partielles  de  cette  fonction  wl^  +  v^^,  prises 
par  rapport  aux  variables  jk,,  y^,  . . .,  y^.  on  aura  s  —  i  relations  linéaires  indé- 
pendantes dont  les  coefficients  sont  aussi  des  fonctions  homogènes  entières  des 
indéterminées  u,  v. 

Si  l'on  choisit  ces  relations  linéaires  indépendantes  de  manière  que  les  di- 
mensions de  chacune  d'entre  elles  par  rapport  aux  indéterminées  u,  v^  soient 
aussi  petites  que  possible,  les  nombres  m,,  m^,  ...,  />î^_-,  /m,,  ni^,  ...,  rn^_^  qui 
mesurent  ces  dimensions  ne  changent  pas  lorsque  l'on  effectue  une  transforma- 
tion linéaire  quelconque  simultanée  des  deux  formes  9  et  «l^  ;  ce  sont  donc  des 
invariants  du  système  de  formes  bilinéaires  [9,  <]>]. 

Soient  —r,  -^  :   •••   les  valeurs  du  rapport  —  pour  lesquelles  tous  les  déter- 

minants  d'ordre  x  formés  à  l'aide  des  coefficients  de  la  forme  uo  +  v^  s'an- 
nulent; ce  sont  aussi  des  invariants  du  système  de  formes  bilinéaires  [9,  4']- 

Enfin,  pour  [x  =  i,  2,  . . .,  x,  désignons  par  /[i  le  nombre  qui  indique  combien 
de  fois  le  facteur  w(^(') —  t^a(')  est  contenu  dans  tous  les  déterminants  d'ordre  [x; 

ces  nombres  l\j,    sont  également  des  invariants  du  système  de  formes  bilinéaires 
En  posant,  pour  k  =  i,  2,  . .  . ,  /•  —  x  ;  ).  =  i ,  2,  . . . ,  s  —  x;  1-1  =  1,  2,   . . .,  x, 

o  m^  +  I  =:   fl^.^^, 

on  a  donc  une  suite  d'invariants  du  système  de  formes  bilinéaires  [9,  4^],  c'est- 
à-dire  de  nombres  qui  ne  changent  pas  lorsqu'on  transforme  simultanément 
les  deux  formes  9  et  4*  de  ce  système  par  une  substitution  linéaire  quelconque; 
ces  invariants  sont 

n\,n'l,...;     n',,  tu,  .••;     ...;     n'^,  f)'!^, 

Kronecker  démontre  que  ces  invariants  forment  le  système  complet  des  in- 
variants du  système  de   formes  bilinéaires  [9,  4-].  A  cet  efi'et,  il   s'appuie   sur 


ii4  SECONDE   rAHTIE. 

les  propriétés  de  la  forme  réduite  à  laquelle  on  j)euL  ramener  LouL  système  de 
formes  bilinéaires. 

M.  Wcierstrass  avait  déjà  montré  (')  qu'un  faisceau  de  formes  bilinéaires 

^  («a,A+  v^ik)^^yk        ih  /'"  =  I,  2,  ...,  /•), 
/,  A- 

dont  le  déterminant  est  différent  de  zéro,  peut  cire  ramené  par  une  transfor- 
mation linéaire,  à  la  forme 

2]  [(u  + wC')v)<i>'j;^'+vVj;^*]     ([j,  v  =  j,  2, ...), 

où  U  et  V  sont  des  indéterminées  et  oîj  *I>|j^\  U*|]^*  sont  les  formes  bilinéaires 
déterminées  des  nouvelles  variables  X,  Y,  savoir 

<'  =  2]^^i^x:l^-'       [^  =  o,-i,2,  ...,e;i>-.;     A-f-X  =  e;^>-.L 

A-.X 
4  jjL    —  ^   -V,-,(JL  ïX^f;,'  L  '^   —  0,  I,  2,   .  .  .  ,  Cp,   —  2  ,      A  +  A  —  C,;,   —  2  J, 

tl>!];^'  =  o^        pour        e*M  '  =  I . 
Kronecker  étend  ce  théorème  au  cas  où  le  déterminant  du  faisceau 

est  nul  ;  il  suffit  alors  de  remplacer  par  zéro,  dans  les  formules  de  M.  Weierstrass, 
pour  chaque  indice  v  déterminé,  tous  les  X  et  tous  les  Y  dont  le  premier  indice  est 

ÊM*  —  I,  ainsi  que  la  quantité  (vM  correspondante. 

Soit  t  un  paramètre  quelconque  satisfaisant  à  l'unique  condition  que,  si  l'on 
envisage  tous  ceux  des  déterminants  mineurs  différents  de  zéro  que  Ton  peut 
former  à  l'aide  du  système  dont  les  éléments  sont 

d'{uo  -\-  v^)  .  .  ,  . 

à:c,  ôy,  «  =  .,^,.. ■,'•■-    A-  =  .,.,. ....): 

ils  soient  encore  différents  de  zéro  pour  tu+  v  =  o.  Substituons  aux  deux 
systèmes  de  variables  x,  y  deux  nouveaux  systèmes  de  variables  X,  Y  liés 
linéairement  aux  premiers.  Les  deux  formes  bilinéaires  cp  et  <^  se  transformeront 
en  deux  formes 


y  [i^^^-i>S:'+^i-;i:i      (^,v=,,2,...), 


(J.,  V 


^\-u:')<^:^-\-^i:]        (!x,v  =  i,  2....), 


[X,V 


(')  Monalsberichle,  mai  i868;  mars  187.^1. 


UEVUIi   DHS   PUIiLICATIONS.  ii5 


m7=Vxï:|,v-'       [Ah->.  =  .;I'-2;   /•  =  .,,.,..., ei;--.!. 


A-,  X 


(le  sorte  (|iie  le  sysLèmc  [9,  <î>)  est  transformé  en  un  système  réduit  [«I>,  M*]  rjiio 
l'on  [)iMil  envisager  comme  composé  de  systèmes  élémentaires  de  formes 

En  distinguant  les  systèmes  élémentaires  de  formes  où  le  nombre  des  va- 
riables de  chacun  des  deux  systèmes  X  et  Y  est  le  même  de  ceux  où  il  n'est 
pas  le  même  et,  dans  ce  dernier  cas,  en  distinguant  à  nouveau  les  systèmes  élé- 
mentaires de  formes  où  le  nombre  des  variables  du  système  X  est  supérieur 
d'une  unité  à  celui  du  nombre  des  variables  du  système  Y,  des  systèmes  élé- 
mentaires de  formes  où  le  nombre  des  variables  du  système  X  est  inférieur  d'une 
unité  à  celui  du  nombre  des  variables  du  système  Y,  Kroneckcr  prouve  que 
le  système  réduit  [4>,  W]  est  entièrement  caractérisé  par  le  nombre  de  variables 
qui  paraissent  dans  chacun  des  systèmes  élémentaires  de  formes,  par  la  valeur 
de  t  que  l'on  a  choisie  arbitrairement,  avec  la  restriction  dont  il  a  été  parlé 

plus  haut,  et  par  les  valeurs  des  rapports  —5  — ;;?  •••• 

Revenant  ensuite  aux  systèmes  quelconques  de  formes  bilinéaires  [9,  4^], 
Kronecker  montre  que  deux  systèmes  de  formes  [9,  ^^'Ji  [?'?  ^']  qui  ont  les 
mêmes  invariants 


u     u 


kO         „o  „()  .      ..0         „o  ,,0  . 


I  II  '  "  .  in 

iiy,  iiiy  ...;     n.^,  ii-i,  . .  .\     ...;     n^,  n-,  ..., 

se  transforment  en  une  seule  et  même  forme  réduite  [*I>,  W],  pourvu  que  l'on 
prenne  pour  t  la  même  valeur  dans  les  deux  réductions.  Le  théorème  annoncé 
est  ainsi  démontré  :  ces  invariants  forment  le  système  complet  des  invariants 
du  système  de  formes  bilinéaires  [9,  4^]. 

La  méthode  suivie  par  Kronecker  lui  permet  de  démontrer  facilement  plu- 
sieurs théorèmes  concernant  les  invariants  des  formes  bilinéaires.  Ainsi  l'on 
voit  immédiatement  que  le  nombre  n  des  invariants  d'un  système  quelconque 
de  formes  bilinéaires  [cp,  4*]  est  égal  au  nombre  total  r -\- s  des  variables  x 

et  y.  La  différence  entre  le  nombre  des  invariants  /i"  et  des  invariants  n°  est 
égale  à  la  différence  entre  le  nombre  /•  des  variables  x  et  le  nombre  s  des  va- 
riables jk-  Si  l'on  range  les  invariants  t^  suivant  les  valeurs  croissantes  de  [j., 
aucun  de  ces  invariants  n''est  plus  grand  que  la  moyenne  arithmétique  des  deux 
invariants  entre  lesquels  il  est  situé. 

L'étude  des  invariants  d'un  faisceau  bilinéaire  uz>  -+-  vCj>  est  comprise  dans 
celle  qui  précède.  Il  suffit  de  remarquer  que  deux  systèmes  de  formes  bili- 
néaires [9,  ^],  [azi  -\-  b^,  cz>  -h  d<\i],  où  a,  b,  c,  d  sont  des  nombres  quel- 
conques dont  le  déterminant  est  différent  de  zéro,  correspondent  à  un  seul 
élément  du   faisceau    bilinéaire,   pour  s'assurer  que  les  invariants  cararléris- 


uO  SECONDE  PARTIE. 

liqucs    du   fiiisrcau    bilincairc    uz^-i-if^  sont,    d'une  part,   les  invariants  n  du 
système  de  formes  bilinéaires  [z>,  (]^]  et,  d'autre  part,  les  expressions 

(  u'  v'"  -  a'"  v'  )  (  u"  v^'')  —  ni-')  v')  \^  -h    h  •-   )' 

Dans  le  cas  particulier  où  le  nombre  des  rapports  —  >  -^j  •••  est  plus  petit  que 

quatre,  il  n'y  a  pas  de  nombres  fî^');  les  seuls  invariants  du  système  de  formes 
bilinéaires  sont  alors  les  nombres  n. 

Dans  le  cas  général,  les  invariants  Q.  et /i  déterminent  entièrement  les  formes 
binaires 

{\]  —  \Y'v.\''^ViÇ  JJ  (U-VaC'))V"  (}Xr=l,    2,    ...). 

(V=:4,5,  ...) 

(/>  =   I,    2,    ...)■ 

Kionecker  {L.).  —  Réduction  algébrique  des  faisceaux  de  formes 
quadratiques.  (iS-yO-i  388). 

Dans   les  Monatsberichte   de    mai   i868,   Kronecker   a  démontré    que   tout 
faisceau  de  formes  quadratiques  de  n  variables 

u-o{x^,  x^,  ...,  x„)-h  (^<^(^„  ce,,  ...,  xj, 

dont  le  déterminant  est  nul,  peut  être  transformé  par  des  substitutions  linéaires 
en  un  faisceau  de  la  forme 


(') 


{iik;     i,  A-  =1,  2,  ...), 


où  Xg,  X,,  . . .  sont  des  fonctions  linéaires  et  homogènes,  indépendantes  les  unes 
des  autres,  des  variables  x^,  x.,,  ...,  ^,^,  dont  les  coefficients  font  partie  du 
même  domaine  de  rationalité  que  les  coefficients  de  la  forme  quadratique,  et 
où  les  coefficients  a^  ^.,  p-  ^  font  aussi  partie  du  même  domaine  de  rationalité.  Le 
déterminant  de  tout  faisceau  de  la  forme  (i)  est  d'ailleurs  égal  à  zéro. 

Kronecker   complète   maintenant    ce    théorème,    eu    démontrant    qu'à    tout 
faisceau  de  formes  quadratiques  dont  le  déterminant  est  nul, 

V  (  ua.^  H-  vb^i^  )  jc, x^        (  î,  A-  =  1 ,  2,  . . . .  /?  ), 

i,k 

on  peut  faire  correspondre  un  ou  plusieurs  faisceaux  (F)  de  la  forme 

/'  =  M^ 
V   {u\\V,  + v\^;P)\j,^yx^        (7  =  1.2.  ...,L), 

c'est-à-dire  de  la   forme  même  du   premier  terme  du  faisceau  (i).  tels  que  si 


IIRVUK   DES   PUBLICATIONS.  117 

IDn  M)iislr.iil    Icui'  soinnic  du  raiscciiii  coiisidiTt',  on  oliliciiiic  iiit  faiscoiiii 

à  (UiiM'iniMaiit 

I  f(  A^_,,  -)-  i^  n,,_,.  I         {g,  h  ^i,  ■?.,...,  M) 

«.lilVcronl  de  /cro. 

Les  coefficients  des  fondions  linéaires  homogènes  X  des  //  variables  x,, 
x^,  ...,  .r„  et  les  coefficients  A  ,,,  R„  ,,  font  partie  du  même  domaine  de  ra- 
tionalité que  les  éléments  a,n,  b^^.  Les  nombres  L  et  M,,  M,^,  ...,  Ml  sont  en- 
tièrement déterminés  dans  chaque  cas  particulier. 

On  déduit  facilement  de  ce  théorème  plusieurs  conséquences  importantes  con- 
cernant les  faisceaux  de  formes  quadratiques  de  n  variables. 

Les  dérivées  partielles  prises  par  rapport  à  x^,  x^,  ...,  x„  de  la  fonction 

V  {ua-^-\-  vb,^)x,x^         {i,  k  =  i,  2,  . .  .,  n), 
i,  /.- 

sont  liées  par  L  relations  indépendantes,  où  L  est  précisément  le  nombre  de 
formes  (F)  du  type  considéré  qu'il  faut  soustraire  de  la  forme  donnée 

/,  A- 

pour  obtenir  une  forme  à  déterminant  différent  de  zéro.  Les  coefficients  de 
ces  L  relations  linéaires  indépendantes  contiennent  les  indéterminées  a  et  t^; 
les  dimensions  de  ces  coefficients  sont  respectivement  les  nombres  M,,  IM^,  .... 
Ml  qui  indiquent  de  combien  de  termes  est  formée  chacune  des  L  forojcs  bili- 
néaires  précédentes  (F). 

Si  /•  est  le  l'ang  du  système  de  coefficients  ua-,.+  vb-^  (i,  k  =  i,  2,  ...,  n), 
les  nombres  /■,  L,  M,  M,,  ...,  Ml  sont  liés  par  la  relation 

/•  -f-L  =  M  +  M,  +  .. .+  Ml. 

J.  M. 


NOUVELLES  ANNALES    de   Matiié.matiques,  rédigées  par  MiM.  Cii.  Buisse 
et  E.  Bouché  (^).  —  3' série. 

Tome  XII,  1893. 

Saint-Germain  (A.  de).  —  [R7^]  (-)  Extrait  d'une  lettre  à 
M.  Rouché  :  Note  sur  le  problème  de  Mécanique  donné  à  l'a- 
grégation en  1892.  (5- 19). 


(')  Voir  Bulletin,  XVII,  p.  204. 

{')  Les  indications  entre  crochets  sont  celles  de  Vlnclcx  du  Répertoire  biblio- 
graphique  des  Sciences  mathématiques. 


ii8  SliCONDE   PAllTIE. 

Mouvement  d'un  point  qui  se  meut  sur  une  suifiice  polie  sous  l'aelion  d'une 
force  tangente  à  cette  surface  et  dérivant  d'un  potentiel.  Propriétés  géomé- 
triques. 

Correspondance.  —  [LMO/y]  M.  Servais:  ConstrucLion  d'une  pa- 
rabole, connaissant  un  point,  le  diamètre  passant  par  ce  point 
et  le  centre  de  courbure  correspondant,  (nj-'io). 

Lemoine  {I^-)-  —  [Ivl^]  Une  règle  d'analogies  dans  le  triangle 
et  la  spécification  de  certaines  analogies  à  une  transformation 
dite  transfoi-mation  continue.  (2o-3()). 

Cette  transformation  résulte  de  la  substitution  de  —  A,  -  —  1>,  tî  —  C  à  A, 
B,  C  dans  une  formule  F  (A,  B,  C)  =  o  entre  les  éléments  d'un  triangle.  C'est 
ce  que  l'auteur  appelle  la  transformation  continue  en  A.  L'article  contient  une 
étude  approfondie  de  ces  transformations,  et  de  nombreux  exemples.  Ces 
transformations  peuvent  donner  des  formules  nouvelles  ou  des  éléments  nou- 
veaux, ou  bien  reproduire  les  résultats  déjà  acquis;  c'est  ce  que  montre  une 
discussion  très  complète.  En  terminant,  l'auteur  fait  ressortir  que  la  trans- 
formation continue  peut  aussi  s'appliquer  au  tétraèdre. 

A-GRÉCiATlON    DES     SciENCES    MATHÉMATIQUES    (Co.XCOUKS    DE     iSyS). 

—  Enoncés  des  compositions.  (36-37). 

Hainhert  {G.).  —  [M' 3c]  Sur  l'orientation  des  systèmes  de 
droites.  (37-6/1,  i23-i36). 

Laguerre  et  M.  Humbert  lui-même  ont  déjà  fait  connaître  des  propositions 
relatives  aux  directions  des  systèmes  de  droites  dans  un  plan,  dont  on  déduit 
de  nombreuses  conséquences.  Dans  ce  Mémoire,  M.  Humbert  se  propose  de  dé- 
montrer un  principe  très  général  auquel  peuvent  se  rattacher  toutes  ces  pro- 
priétés; l'énoncé  de  ce  principe  ne  saurait  être  reproduit  dans  cette  analyse, 
sous  peine  de  le  rendre  obscur  en  essayant  de  le  condenser.  Nous  nous  bornons 
à  indiquer  les  divisions  principales  de  l'étude  de  M.  Humbert.  I.  Théorèmes 
fondamentaux.  —  II.  Orientation  de  certains  systèmes  de  tangentes. —  III.  Ap- 
plication à  l'hypocycloïde  à  trois  rebroussements.  —  IV.  Lieu  des  foyers  d'un 
faisceau  tangenticl  de  courbes  planes.  —  V.  Lieu  dos  foyers  d'un  faisceau  tan- 
gentiel  de  coniques.  —  VI.  Propriétés  des  foyers  des  courbes  appartenant  à  un 
faisceau  tangcntiel.  —  VIL  Extension  à  l'espace. 

CarvaUo  (^.).  —  [R  ir/]  Théorèmes  de  Mécanique.  (65-72). 

Applications  fort  intéressantes  de  la  géométrie  des  vecteurs,  et  de  la  méthode 
de  Grassmann.  Toutes  les  propositions  dont  il  s'agit  peuvent  être  représentées 
symboliquement  par  la  règle  de  multiplication  des  polynômes  algébriques,  bien 
qu'elles  semblent,  a  priori,  de  nature  très  différente, 

Dc^vulf  {General  E.).  ~  [V  \i)h]   Noie  de  Géométrie.  (72-74V 


lŒVUIi:   DKS   PUIUJCATIONS.  nO 

Cfinslrucl  ion  (ruiic  |);ir;ili(»l(',  loiidcc  sur  un  llirorcinc  (jui  u  des  coiisc(|iicii(:cs 
cl  (les  appliciilioiis  nuriihiciiscs. 

Gcranl.  —  |  ^sï  ^  ^H    '^"'    ''^  Géoni('tri(3  non  euclidienne,  (jl-'^l)- 

l/;ml(Mir  |)rciul  pour  base  de  son  éLude  l'Ii^pollièsc  (jnedans  tous  les  triangles 
la  somme  des  anj^les  csL  inférieure  à  deux  angles  droits.  Il  arrive  ainsi  à 
établir  un  ensemble  de  formules  dans  lesquelles  les  fonctions  liyperbc)li(jiics 
jouent  un  rôle  important. 

Godcfroy  (/?•)•  —  |M'8/]  Gonslriiclion  des  centres  de  courbure 
de  certaines  courbes.  ((STi-cScS). 

Généralisation  d'une  construction  connue  du  centre  de  courbure  des  co- 
niques. 

Ainigues  {I^-)-  —  [l)3Z>a]   Le  reste  de  la  série  de  Taylor.  (88- 

Démonstration  d'une  proposition  de  M.  Darboux,  relative  à  une  fonction  de 
variable  imaginaire,  déduite  de  l'intégrale  curviligne  qui  exprime  le  reste,  dans 
la  métbode  de  Caucliy, 

Weill{M.).  —  [M' 8e]  Propriétés  d'une  classe  de  courbes.  (93- 
95). 

Sur  les  tangentes  à  la  courbe  y"  =  xf  aux  points  où  elle  est  coupée  par  une 
droite. 

Concours  d'admission  a  l'École  Centrale  en  1892  (Deuxième 
session).  —  Enoncés  des  compositions  (96-99). 

Genty  i^E .).  —  [L-iZ>]  Solution^  par  Ja  Géométrie  vectorielle, 
du  problème  de  Mathématiques  spéciales  donné  au  Concours 
d'agrégation  des  Sciences  mathématiques  en  1892.  (99-106). 

Problème  relatif  à  l'ellipsoïde,  et  auquel  les  méthodes  de  la  Géométrie  vec- 
torielle s'appliquent  de  la  façon  la  plus  heureuse. 

Godefroy  {R.)-  —  [L'  !<:/]  Théorèmes  sur  les  coniques  (applica- 
tions de  la  méthode  des  polaires  réciproques).  (io()-i  16). 

Iltudc  de  la  transformation  d'une  conique  par  polaires  réciproques,  en  pre- 
nant un  cercle  pour  conique  auxiliaire.  Les  résultats  obtenus  conduisent  à  d"é- 
légants  théorèmes  sur  les  sections  coniques. 

W'oroiitzoff.  —  [A3/>]   Sur  les  fonctions  symétriques.  (1  \i')-\\>'i). 

Nombreuses  formules  concernant  les  fonctions  symétriques  des  racines  de 
deux  équations. 


l'iO 


SECONDE   PAUTlIi. 


Godefroy  (fi.).  —    [L'ilrt]   Dcmonslralion    dini    tlicorèmc    de 
Sleincr  et  d'un  ihcorcmc  de  Newton.  (i3--i  ^i). 

Ces  deux  ihéorèmcs  sont  les  suivants  :  «  i"  Le  point  de  concours  des  hau- 
teurs de  tout  triaiij,'le  circonscrit  à  la  parabole  est  sur  la  directrice;  2"  Le 
centre  de  toute  conique  inscrite  à  un  quadrilatère  est  sur  la  droite  (jui  joint 
les  milieux  des  diagonales. 

yimigues  {E.).    —  [D3/>]   Application   du    calcul    des   résidus. 

(142-148). 

L'auteur  s'est  proposé  d'étendre  aux  variables  imaginaires  une  formule 
donnée  par  M.  Weierstrass  pour  les  variables  réelles,  et  de  montrer  qu'au 
moyen  de  cette  généralisation  on  peut  trouver  les  coordonnées  de  certains 
centres  de  gravité  par  le  calcul  des  résidus. 

Correspondance.  —  M.  Soudée;  M.  Marchand  :  Sur  un  article  de 
M.   Lemoine,   relatif  à  la  simplicité  des  constructions.  (i48- 

I  5i). 

Bertrand  (-/.)•  —  [^^]   ^^i  sujet  d'un  livre  récent  sur  Auguste 
Comte.  (164-179). 

Ce  très  intéressant  article  est  extrait  du  Journal  des  savants.  L'ouvrage 
dont  il  s'agit  a  pour  titre  :  Auguste  Comte,  fondateur  du  positivisme;  sa 
vie,  sa  doctrine,  par  le  R.  P.  Gruber,  S.  J.  (traduit  de  l'allemand).  M.  Ber- 
trand s'est  proposé,  dit-il,  de  signaler  quelques  appréciations  contestables, 
acceptées  par  l'auteur.  On  comprendra  que  par  sa  nature  même  cet  article  se 
refuse  à  une  analyse  sommaire. 

Fouclié  (Maurice).   —   [Al<7]  Sur  l'introduction   des  nombres 
négatifs.  (164-179). 

Dans  le  programme  d'Agrégation  pour  1898,  figure  pour  la  première  fois  une 
leçon  intitulée  :  Première  leçon  d'Algèbre;  Introduction  des  nombres  néga- 
tifs. C'est  ce  qui  a  déterminé  M.  Fouché  à  publier  la  leçon  par  laquelle,  à 
Sainte-Barbe,  il  ouvre  depuis  plusieurs  année  son  Cours  d'Algèbre.  Il  adopte  la 
méthode  qui  consiste  à  considérer  d'emblée  les  nombres  négatifs  comme  géné- 
ralisation de  l'idée  de  quantité,  sans  rien  emprunter  à  la  Géométrie  ni  aux 
vérités  d'ordre  expérimental.  Cette  manière  de  voir,  nous  le  savons,  est  très 
en  faveur  aujourd'hui,  mais  nous  serions  bien  étonné  s'il  ne  se  produisait  pas 
un  jour  une  réaction  à  ce  sujet,  principalement  en  ce  qui  concerne  le  point 
de  vue  pédagogique.  Ne  pouvant  examiner  ici  une  question  sur  laquelle  on 
discutera  longtemps  encore,  nous  nous  bornerons  à  constater  l'ordre  et  l'en- 
chaînement de  l'exposition  présentée  par  M.  Fouché.  Ceux-là  même  qui  ne 
sont  pas  d'accord  avec  lui  sur  le  point  de  départ  liront  avec  grand  intérêt 
cette  remarquable  leçon,  et  trouveront  à  y  gagner. 


UHVUE   DHS  PUBLICATIONS.  ivi 

(  i(Hîni.si'(»M)\>(:r..  —  fL'lOA]  iM .  l^.-iN.  lîarlsicn  :  Sur  la  coii- 
>lrmli()ii  (111110  païaholc.  (  i -()- i  (So  ). 

/u'Kcille  {J •)'  —  I  M'î^.A'J  Siii"  Mil  mode  de  i^cricralion  des  coiirhos 
anallai;mali(|iios.  (i  So-i  S.>,). 

Griirialisalion  (\\\n  n'sullat  de  M.  Moulard  sur  les  courbes  anallagmaliqnes 
consiilcrccs  comme  enveloppes  de  cercles. 

Réveille  {J.).  — [Pie]  Des  figures  homolhctiqiics  qui  ont  une 
droite  homologue  commune  et  dont  une  courlic  passe  par  un 
point  fixe.  (i(S3-i85). 

DéLermination  d'une  courbe  sur  laquelle  se  trouvent  les  points  homologues 
du  point  fixe.  Indication  d'applications. 

Mangeot  {S.).  —  [M- la,  ^^&']  ^^^  ^^^  plans  tangents  à  cer- 
taines surfaces  algébriques.  (i85-i88). 

L'équation  de  la  surface  étant  mise  sous  la  forme  a  +  7'  =  o,  M.  Mangeot 
ramène  la  détermination  du  plan  tangent  en  un  point  M  à  celle  des  plans  po- 
laires de  ce  point  par  rapport  aux  deux  surfaces  a,  a'. 

N.-I.  LoBATCHEFFSKY.  —  [^9]  Articlc  SUT  la  célcbration  du  cen- 
tenaire de  sa  naissance.  (188-191). 

Michel  (Z^-)-  —  [L^IS^]  Transformation  omaloïdale  des  qua- 
driques.  (192-224)- 

L'auteur  rappelle  la  définition  des  surfaces  omaloides,  étudiées  notamment 
par  MM.  Sylvester,  Cremona  et  Picart  (ce  dernier  les  a  aussi  appelées  i^/iic?^/-- 
sales)  et  qui  jouissent  de  la  propriété  de  pouvoir  être  représentées  point  par 
point  sur  un  plan.  M.  de  Longchamps  a  montré  que  les  quadriques  à  centre 
sont  des  surfaces  omaloïdes.  C'est  de  ces  surfaces  que  s'occupe  INL  Michel  dans 
le  présent  Mémoire,  qui  se  divise  en  trois  Parties  :  Transformation  de  l'ellip- 
soïde, transformation  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe;  transformation  de  l'iiy- 
perboloïde  à  deux  nappes. 

Lé^>y  [Lucien).  —  [Al«]  Quelques  observations  sur  une  Pre- 
mière leçon  d' Algèbre.  (220-228). 

Discussion  de  quelques  points  d'un  article  de  M.  Fouché,  publié  précédem- 
ment (voiV  plus  haut). 

Carvallo  {E.).  —  [R7/>]  Sur  les  forces  centrales.  (228-2.31). 

Application  très  simple  de  la  méthode  vectorielle  à  la  détermination  rie  la 
vitesse  et  de  l'accélération. 


iTjL  SECONDK   PAUTIli. 

Concours    i)'An\rrss[Oj\    a    l'J^^cole    Polytechnique  eiv    189.3.   — 
Enoncés  des  compositions.  (23i-333). 

Bossiit  {Louis).  —  [Tî2a]  J:^lu(Jc  de  SluLicjiic   physique.    Calcul 
des  actions  mutuelles  des  solides  en  contact.  (aSp-aoG). 

Ce  Mémoire  semble  contenir  des  vues  nouvelles  concernant  la  théorie  de 
l'élasticité  et  la  Mécanique  des  solides  naturels.  Nous  donnons  ici  les  titres  de 
quelques-unes  des  subdivisions  les  plus  importantes  :  Hypothèses;  étude  d'un 
faisceau  de  barres  élastiques  dans  un  même  plan;  transmission  des  pressions 
dans  les  solides  isotropes;  décomposition  d'une  force  suivant  les  barres  d'une 
gerbe;  pression  sur  les  surfaces  d'appui;  vues  nouvelles  à  propos  du  solide 
invariable. 

Balitrand.  —  [K6^]  Sur  un  système  de  coordonnées   tangen- 
tielles.  (256-:>t86). 

L'auteur  s'est  proposé  d'établir  un  ensemble  de  formules  permettant  d'étu- 
dier directement  sur  l'équation  tangcntielle  les  propriétés  d'une  courbe.  Il 
commence  par  considérer  les  coordonnées  tangenticlles  polaires  d'une  droite, 
en  montrant  comment  on  passe  aux  coordonnées  ordinaires,  et  réciproque- 
ment. Les  formules  fondamentales  sont  ensuite  établies  dans  les  deux  systèmes; 
puis  il  en  fait  application  aux  courbes  algébriques,  et  retrouve  ainsi  un  cer- 
tain nombre  de  théorèmes  importants  connus,  et  quelques  autres  propositions 
qui  semblent  nouvelles.  On  remarquera  particulièrement  la  notion  des  courbes 
anallaginatiques  tangentielles.  Enfin,  l'article  se  termine  par  l'étude  de 
quelques    courbes   célèbres,    représentées    au   moyen    des    équations    simples 

Cl  .  ,  >  .  , 

p  —  a'^,p=^-')  p  =  ae'î,  /?'"  =  «'"  si n m '^  dans  son  système  tangentiel  po- 
laire; et  par  quelques  applications  aux  développées  et  à  rh3'pocycloïde  à  trois 
rcbroussemcnts. 

Agrégation  des  Sciences  mathématiques  (Concours  de  iSgS).  — 
Enoncés  des  compositions.  (286-289). 

Concours  d'admission  a  l'Ecole  Normale  supérieure  en  1893.  — 
Enoncés  des  compositions.  (290-291). 

Saint-Germain  [A.  de).  —  [Oort]  Sur  une  formule  générale  de 
la  mesure  des  volumes.  (291-293). 

Etude  fort  intéressante  concernant  la  formule  dite  des  trois  niveaux. 

Bioche  {Cit.).  —  [M'oa]  Sur  les  cubiques  à  point  de  rebrousse- 
ment.  (29,4-296). 

Généralisation  d'une  propriété  indiquée  par  Clcbsch  dans  ses  Leçons  de  Géo- 
métrie, et  qui  donne  le  point  de  rcbroussement  comme  limite  dos  points  de 
contact  de  tangentes  successives. 


HE  VUE   DES   ITHMCATIONS.  i/{ 

Iu\cillc  (./.).  -  |l*Ir|  I  )<'s  lii;iii"('S  scml)l;il)lcm('nl  \  ;iii;il)los 
iiN.inl  iiM  ccnlrc  pcnniincnl  de  sim  ili(  iidc,  cl  donl  une  coiiilx; 
|);iss('  |);ii'  MM  poiiil   (i\(,'.  (  :^C)--i)()()  ). 

I^es  considrral ions  prcsenLées  par  INI.  n(''\(Mll('  prriiiollcnL  (\c  r(''Soii(lrc  irrirnô- 
(lialcinciiL  un  assez,  i^raiid  nombre  de  qucsLions,  panrïi  lescjuelles  nous  repro- 
duisons la  suivanle,  à  Lilre  d'exemple  :  L'onvelopj)C  de  l'asympLoLc  d'une  cis- 
soïde  (jui  est  langcnLe  à  un  cercle  fixe  passant  par  son  point  de  rcbroussenient 
(Si   une  parabole. 

Jablonski  {/'J.).  —  [A3r/a]  Dcmonstralion  du  thcorcmc  de  d'A- 
Icinbcrl.  (3o  i-^of). 

Celte  nouvelle  dcnionslration  s'appuie  sur  un  lemme  que  l'auteur  démontre 
en  s'appuyant  sur  un  théorème  de  Liouville  relatif  aux  fonctions  holomorplies. 
Il  déclare  lui-même  qu'il  serait  désirable  qu'on  pût  établir  ce  lemme  d'une  ma- 
nière plus  élémentaire. 

Laurent  (//•)•  —  [B3(:/]  Démonstration  d'une  formule  cjui 
donne,  sous  forme  explicite,  la  résultante  de  plusieurs  équa- 
tions algébriques.  (3o5-3io). 

La  recherche  de  la  résultante,  dit  l'auteur,  a  jusqu'ici  été  subordonnée  à  la 
théorie  des  fonctions  symétriques.  Dans  son  article,  il  fait  au  contraire  dépendre 
la  théorie  des  fonctions  symétriques  de  celle  de  l'élimination.  Mais,  n)ème  dans 
l'ancienne  théorie,  on  n'était  pas  parvenu  à  mettre  la  résultante  sous  forme 
explicite,  ce  à  quoi  il  parvient;  résultat  fort  important  au  point  de  vue  théo- 
rique, mais  non  pas  dans  la  pratique,  comme  il  le  reconnaît  lui-même 
d'avance. 

Laurent  (//.).  —  [A3c]  Pieconnaître  si  un  polynôme  à  plusieurs 
variables  peut  être  décomposé  en  facteurs  entiers.  (3i5-32i). 

Le  titre  indique  le  but  que  s'est  proposé  l'auteur,  et  qu'il  atteint  par  un 
calcul  d'une  extrême  condensation,  ne  se  prêtant  pas  à  une  analyse. 

Concours  d'admission  a  l'Ecole  centrale  en  iSgS  (Première  ses- 
sion). —  Enoncés  des  compositions.  (32  1-325). 

Saint-Germain  {A.  de).  —  [RScy]  Solution  du  problème  de 
Mécanique  proposé  au  Concours  d'agrégation  de  1893.  (320- 
33o). 

Mouvement  d'une  plaque  pesante  assujettie  à  des  conditions  déterminées. 

Parisien  (E.-A\).  —  [L'18c]  Ecole  navale  (Concours  de  1890)^ 
Solution  de  la  question  de  Géométrie  anal^'tique.  (330-330). 

Sui   un  système  de  parai>oles  circonscrites  à  un  triani;le. 


I2/Î  SECOND  lî   PART  Mi. 

D'Ocagne  {Maurice).  — [P1^]  Sur  une  classe  de  Lransforma- 
tion  dans  le  triangle  et  noLammcnl  sur  cerlaine  Iransformalion 
quadratique  birationnelle.  (33^-352). 

Cet  arliclc  se  ratlachc  à  une  précédente  étude  de  l'auleur  sur  les  cooi'don- 
nées  générales,  publiée  dans  le  mênrie  recueil  {voir  XI3,  p.  72).  Il  se  divise  de 
la  manière  suivante  :  I.  Généralités.  —  IL  l'étude  d'une  transformation  quadra- 
tique birationnelle  particulière.  En  terminant,  M.  d'Ocagne  inrlique  une  con- 
struction nouvelle,  et  très  intéressante  au  point  de  vue  pratique,  d'une  ellipse 
dont  on  donne  deux  diamètres  conjugués. 

Concours  d'admission  a  l'Ecole  centrale  en  1893  (Deuxième  ses- 
sion). —  Enoncés  des  compositions.  (352-355). 

Laurent  [If.).  — [B3f/]  Sur  l'élimination.  (355-359). 

Complément  d'un  précédent  article  publié  dans  le  même  volume,  p.  3o5-3i5 
{voir  plus  baut);  réponse  à  quelques  oi)jections  au  devant  desquelles  va  l'au- 
teur, et  correction  d'une  faute  d'impression. 

Sondât  {P')'  —  [K6a]  sur  un  système  de  coordonnées  triangu- 
laires. (36o-38-,  5o3-5i9). 

Développement  d'un  système  de  coordonnées  indiqué  par  Chasles  dans  sa 
Géométrie  supérieure  (3*  Section,  Chap.  XXIII,  XXIV).  Nous  donnons  les 
principales  divisions  du  Mémoire,  qui  sont  les  suivantes  :  Coordonnées  du 
point;  coordonnées  de  la  droite;  équations  de  la  droite;  équations  du  point; 
équations  du  cercle  circonscrit  au  triangle  de  référence;  équation  de  la  co- 
nique; cercle  des  neuf  points;  conique  inscrite  dans  le  triangle  de  référence; 
cas  de  la  parabole;  conique  circonscrite;  construction  de  coniques  par  points 
et  tangentes.  L'article  se  termine  par  un  certain  nombre  de  théorèmes  et  de 
problèmes,  élégamment  traités  par  l'emploi  des  coordonnées  dont  il  s'agit. 

Cazaniian  {André).  ■ —  [M'  5ca]  Sur  un  lieu  géométrique  et  ses 
applications.  (38--4o3). 

L'auteur  s'est  proposé  de  rattacher  les  uns  aux  autres  un  certain  nombre  de 
problèmes,  qui  paraissent  au  premier  abord  bien  différents,  et  où  l'on  trouve 
comme  lieu  une  strophoïde  droite  ou  oblique.  Il  part  de  la  proposition  géné- 
rale suivante  :  A,  B,  C  étant  trois  points  fixes  dans  un  plan,  le  lieu  des  points 
INI  tels  que  la  bissectrice  (intérieure  ou  extérieure)  en  I\I  du  triangle  AMB 
passe  par  O  est  une  strophoïde  ayant  en  O  son  point  double.  De  là  un  grand 
nombre  d'applications  immédiates  et  d'intéressantes  applications,  notamment 
aux  coniques  homofocales. 

J.  S.  —  [L'  18c]  Concours  d'admission  à  l'Ecole  centrale  en  1892 
(deuxième  session);  solution  du  problème  de  Géométrie  analy- 
tique. (4o3-/|07). 

Famille  de  coniques  satisfaisant  à  ccrlainos  conditions  données. 


UMVIII-:    l)l':S   PLIJLICA  l  IONS.  17,5 

Dclcns  (/'•)•  —  I  ^''"^^'l  '**^"'"  ""*'  ,i;<'n<''i";ilisnl  loii  (riiii  I  li/or-riiH' 
(lo  Newton.  (  ioj-ii  i). 

(le  llu'-oirinr  conrcM'iic,  Ir  cciitivî  dos  m()y<'nrirs  <lisl;mrcs  des  iiilcrserLions 
diiiie  droiU'  avec  iiiie  eoiiilx'  alj;(''ltri(Hie.  M.  Delcns  réicrid  au  cas  où  l'on  rcin- 
plaee  la  droite  par  une  li^Mie  d'ordic  siipt'-iieur-. 

liioche  [Cil.).  —  [()  i^/j  Sur  Irs  .suifacos  réglées  (jui  [)a.s.scnl  par 
une  courbe.   (  \  i  ■>.-'î  i  ()). 

Généralisation  de  diverses  |)r()priélés  des  dévcloppahles  (\n\.  passent  |)ar  une 
courbe.  Cette  ([ueslion  a  fait  l'objet  d'une  coniMiiinieation  à  l'Acadériiie  des 
Sciences  {Comptes  rendus,  t.  C\,  p.  5i5)  et  de  plusieurs  Notes  présentées  à 
la  Société  mathématique  de  h'rance. 

Jamel  {V-)-  —  [llo/a]  Sur  une  série  fonctionnelle.  (419-4^1). 

Formation  d'une  fonction  (lui  est  une  intégrale  de  l'équation  — —   =  F(x)y, 

F(x)  étant  une  fonction  finie  et  continue  dans  une  certaine  région.  L'auteur 
cite  le  Mémoire  de  M.  Picard  sur  les  équations  aux  dérivées  partielles  {Jour- 
nal de  Mathématiques  pures  et  appliquées,  4'  série,  t.  VI)  comme  l'ayant 
conduit  à  cette  étude. 

Mangeot  (S.).  —  [B8rt]  Sur  le  discriininant  des  formes  cubiques 
ternaires.  (4'^i-4'^4)- 

L'auteur  arrive  à  la  formation  du  discriminant  par  la  considération  des  cu- 
biques à  point  double. 

Genly.  —  [L' 17a]  Solution  géométrique  de  la  composition  de 
Mathématiques  donnée  au  Concours  d'admission  à  l'Ecole  Po- 
lytechnique en  1892. (425-426). 

Sur  une  hyperbole  équilatère  et  un  cercle  ;  solution  très  simple,  fondée  sur 
une  propriété  des  droites  qui  coupent  harmoniquemcnt  deux  coniques. 

(vOiuiKSPOivDAiN'CE.  —  MM.  Aiidibcrt,  Farjon  :  Rectification  d'une 
solution  du  problème  donné  à  l'Ecole  Normale  supérieure  en 
1892.  —  M.  Réveille  :  Au  sujet  de  la  solution  de  la  question 
io3i,  par  M.  Barisien.  (426-428). 

Maillard  {S.).  —  [L'  10^]  Note  sur  la  parabole.  (428-43o). 

Construction  d'une  parabole,  connaissant  un  point  \,  le  diamètre  AX  et  le 
centre  de  courbure  O  en  A. 

Ihililrand.  —  [M'oca.^]  Sur  la  strophoïde  et  la  cissoïde.  (i3o- 
45  i). 
lUiU.  des  Sciences  mathc/n.,   '.*  série,  t.  \1\.  (Mai  l'^f)).)  H.  10 


1-26  SECOiNDE   PARTIE. 

J^aiticle  débule  par  une  élude  très  complèlo,  à  la  fois  analytique  et  géomé- 
trique, de  la  strophoïde,  dont  l'auteur  donne  de  nombreuses  propriétés.  En 
suivant  une  marche  analogue,  il  en  fait  de  même  pour  la  cissoïde;  à  noter 
cette  proposition  par  laquelle  il  termine  :  il  n'existe  pas  de  quadrilatère  com- 
plet véritable  inscrit  dans  la  cissoïde. 

BalUrancL  —  [L'G<7]  Conslruclion   du  cercle  oscillateur  en  im 
point  d'une  lijperbole.  (/j^i-4^^^)- 

Par  des  considérations  analytiques,  INI.  Balitrand  arrive  à  une  construction 
géométrique  assez  simple,  et  étend  sa  méthode  au  cas  de  la  parabole. 

Carvallo  [E .).  —  [R4a]  Nouveau  théorème  de  Mécanique.  (454- 
456). 

L'auteur  appelle  image  d'une  force  sur  un  plan  le  point  où  elle  perce  ce 
plan,  ce  point  ayant  une  masse  égale  à  la  projection  de  la  force  sur  la  normale 
au  plan;  et  image  d'un  système  de  forces  sur  un  plan,  le  centre  de  gravité 
des  images  des  forces  du  système.  Son  théorème  est  le  suivant  :  «  Pour  que 
deux  systèmes  de  forces  soient  équivalents,  il  faut  et  il  suffit  que,  sur  tout 
plan,  ils  aient  même  image  ». 

Audibert.  —  [L'  18(i^[ïi]  Concours  d'admission  à  l'Ecole  Centrale 
en  1893  (Première  session);  solution  de  la  question  de  Géo- 
métrie analytique.  (4Ô6-459). 

Sur  un  faisceau  d'hyperboles  équilatères. 

Concours  général  de  1891  (suite  et  fin).  —  Enoncés  des  compo- 
sitions. (409-461). 

Concours  pour  les  bourses  de  licence  en  1891 .  —  Enoncé.  (46 1)- 

Concours  pour  les  bourses  de  licence  Ex\  1892.  —  Enoncé.  (461- 

Concours  pour  les  bourses  de  licence  en  [89.3.  —  Enoncé,  (462- 

463). 

Concours  d'admission  a  l'Ecole  spécivle  militaire  en  1893.  — 
Enoncés  des  compositions.  (463-464). 

Audibert.  —  [M-^oA]  Concours  d'admission  à  l'Ecole  Normale 
supérieure  en  1893;  solution.  (464-468), 

Questions  diverse?  relatives  à  une  courbe   gaurhe. 


UHVUl!:   DES    PUBLICATIONS.  177 

D'Ocdi^iu'  [.]/((///•/<'<').  —  [  \  J  />,  \',\\  Prublèmc  dAl^rljrc  rclalil" 
à  la  Noinoi;ia|)ln('.  {/\(^\)-iy^'))- 

Considérai  ions  ali;(''l>ii(incs  roliili\cs  à  la  niétkodc  des  points  isoj)lètlics, 
«ItHelcjppéc  |)ar  l'anicnr  dans  sa  Noinograpliic.  Il  s'est  ici  i>roposé  d'examiner 
surloni  ("«Mlains  cas  simples. 

Coivcouus  1)  ADMISSION  A  l'Mcolk  navalk  KiN  1 89 1 .  —  Enonccs  des 
composl lions.  (47^>-479)- 

CoiNcouRS  d'admission  A  l'Ecole  navalk  kjv  i8().;..  —  Eiioncés  des 
compositions.  (479-482). 

Concours  d'admission  a  l'Ecole  navale  en  1890.  —  Enoncés  des 
compositions.  (482-484)- 

Ader  {II-)-  —  [N-la]  Sur  les  congrnences  de  droites  et  la  cour- 
bure des  surfaces.  (484-489). 

Démonstration  directe  d'une  propriété  des  congrnences  de  droites.  Examen 
des  cas  où  toutes  les  droites  sont  normales  à  une  surface. 

Concours  général  de  1892.  —  Enoncés  des  compositions.  (49^- 

497)- 

Concours  d'admission  a  l'Ecole  spéciale  militaire  en  189'^.  — 
Enoncés  des  compositions.  (497-499)- 

Agrégation  des  Sciences  mathématiques  (Concours  de  1894).  — 
Programme  des  questions  d'Analyse  et  de  Mécanique  d'oii  sera 
tiré  le  sujet  d'une  des  compositions  écrites;  sujets  de  leçons. 
(499-5o3). 

Audibert.  —  [L'  18^/^]  Concours  d'admission  à  l'Ecole  centrale 
en  1893  (Deuxième  session);  solution  de  la  question  de  Géo- 
métrie analytique.  (520-522). 

Questions  relatives  à  un  système  de  coniques. 

Exercices. 

Questions  proposées:    16i9  à  1654.  (i*-2*). 

Lez.  —  Solution  de  la  fjueshon  138o.  {•.>*-\*). 

Questions  de  njaxiimim  'ui  niiiiiniuin  n^lalivc  «'i  l'ellipse. 


1-28  SKCONDI^:   PAKTIH. 

Soudée.  —   Solution  <lc  la  (jticsLion   J0'2().  (  '|*-(]*j. 
Tliéorùrnc  rchilif  à  une  srric. 

Genty  (^fL .).  —  Solulion  de  la  (jikîsIiom  391'.  (G*-()*). 

l'roprit'lû  du  tcLraèdrc,  cl  de  phins  parallèles  aux  faces,  menés  par  un  puiiil 
donne'. 

Geilty  {E-).  —  Solution  de  la  question  482.  (9*-if>*j- 

Propriclc  de  trois  points  rernaniuahles  du  tétraèdre. 

Juel.  —  Solution  de  la  (juestion  793.  (io*-i  i*). 

Recherche  dans  un  i)lan  de  deux  systèmes  de  neuf  points  conjugués. 

Genly  {E-)-  —  Solution  de  la  question  9iG.  (i  i*-i4*). 

Sur  deux  surfaces  transformées  l'une  de  l'autre  par  rapport  à  un  pôle. 

Genty  {E.).  —  Solution  de  la  question  1478.  (i5*-i7*). 

Lieu  relatif  à  une  quadricjue  et  à  trois  de  ses  plans  diamétraux  conjugués. 

Juel.  —  Solution  de  la  question  Ji8i.  (i7*-i8*). 
Sur  la  théorie  des  cycles  et  des  divisions  iiomograpliiques. 

BavLslen  (E.-N.).  —  Solution  de  la  question  153 i.  (i8*-25*). 

Lieu  des  foyers  des  coniques  doublement  tangentes  à  deux  cercles. 

Barisieii  {E.-N.).  —  Solution  de  la  question  loil.  {i^^-'a-j*). 

Lieu  des  points  tels  que  les  quatre   normales  menées  à  une  ellipse   fornient 
un  faisceau  liarmonique. 

^1***.  —  Solution  de  la  question  loi7.  (2-*-29*). 

Propriété  d'une  ellipse  et  de  deux  diamètres  conjugués. 

Genty  (E.).  —  Solution  de  la  cjuestion  1586.  (2(j*-3o*). 
Propriétés  de  la  trajectoire  oblique  des  génératrices  d'un  cône. 

Cesà/'o  (E.)  —  Solution  de  la  question  16!2G.  (3o*-32*). 
Théorème  relatif  à  une  série  {voi/-  plus  haut). 

Lemaire  {J-).  —  Solution  de  la  question  1G37.  (33*-34*)- 
Propriétés  d'une  droite  rencontrant  un  limaçon  de  Pascal. 


HliVUK   DlîS  PUBLICATIONS.  129 

Lcnniirc  (./.).  —  Solulioii  de  hi  (nicslion   lGf{8.  (34*-3;')*). 
Stir  un  cercle  et  un  faisceau  de  cardioïdes. 

Lcindirc  {•/•)-  —  Solution  de  la  (jiKîslion  IG^îO.  (SiV-o^*). 
Sur  une  cardioïde  cl  un  cercle. 

Lcmairc  (./.).  —  Soliilion  de  la  question  IGiO.  (36*-4o*). 

Lieu  des  foyers  des  coni([ues  (jui  touclienL  deux  droites  fixes,  cliucune  en  un 
point  fixe. 

Sondât  {II-)'  —  Solution  de  la  question  1642.  (4^^*)- 
Sur  une  conique  inscrite  à  un  triangle. 

Sondât  (/^.).  —  Solution  de  la  question  1G46.  (4o*-42*). 
Sur  trois  triangles  homologiques  par  rapport  à  un  axe. 

Michel  (P-)-  —  Solution  de  la  question  lGo3.  (43*). 
Propriété  du  cercle  osculateur  en  un  point  d'une  parabole. 

A***.  —  Solution  de  la  question  1649.  (43*). 
Lieux  géométriques,  dans  l'espace,  relatifs  à  l'ellipse. 

Questions  proposées  :  1655  à  16o7.  (52*-j3*). 

Brocard  (H-)-  —  Solution  de  la  question  1569.  (53*). 
Note  complémentaire  concernant  la  Kreuzcurve. 

Brocard  (//•)•  —  Solution  de  la  question  9o4.  (54*-55*). 
Lieu  relatif  à  une  parabole  et  une  circonférence. 

Barisieii  {E.-N.).  —  Solution  de  la  question  1419.  (55*-58*). 

Questions  relatives  à  un  triangle  et  aux  parallèles  aux  côtés,  menées  par  un 
point  P. 

Borlelti  {François).  —  Solution  des  questions  1411,  1431.  (5cS*- 

59*)- 


Limite  de  -     ( |  +  (  |  H- . . .     pou 

/î  I  \/i  -h  1/        \/î  -h  2/  I  ' 


r  w  —  00. 


Barisien   (E.-N.).  —  Solution  de  la  question  1517.  (6o*-()2*). 

Propriété  d'une  parabole  et  d'une  autre  conique. 
Huit,  des  Sciences  niatliéni.,  2"=  série,  t.  Xl\.  (Juin  i8f|,).)  R.n 


i3o  SECONDE   PARTI  E. 

/iarisien    {ll.-N.).  —  Soliilioii  de  I;i  (jucslion   152o.  (62*-G3*). 
Propriété  d'une  ellipse  et  de  deux  diamètres  eoiiju^'ués. 

A.  L. 


SOCIETA    REALE    DI   NVPOLI.    HeNDICONTO    DELL'    AcCADEMIA    DELLE    ScIENZE    FI- 

siciiE  E  matematiche;  Napoli,  in-4°. 

Année  I,  1862. 

Trudi  {N.).  —  Stir  l'enveloppe  des  cordes  de  grandetir  conslanle 
dans  les  courbes  du  2''  ordre.  (7-1  i). 

Battagiini  (G.).  —  Sur  quelques  propriélés  des  lignes  du  2^  de- 
gré. (24-32). 

Relations  entre  une  conique  et  un  triangle. 

Fergola  {E .).  —   Sur  la  résolulion  par  séries   des  équations  à 
trois  termes  de  degré  quelconque.  (39-54). 

Battaglini  {G.).  —  Sur  les  surfaces  du  2"^  degré.  (79-88). 
Relation  entre  une  quadrique  et  un  tétraèdre. 

Battaglini  [G.).  —  Note  sur  les  déterminanls.  (101-112). 

La  somme  des   mineurs  d'un  ordre  donné  peut  être  exprimée  par  un  autre 
déterminant  de  même  ordre. 

Trudi  (N.).  —  Sur  une  transformation  des  formes  quadratiques. 

(ii3-ii8). 

Réduction  à  la  forme  canonique. 

7)e  Gasnaris  [yi .).  —  llègle  pour  la   résolution  du  problème  de 
Kepler.  (i3i-i34). 

Trudi  (N.).  —  Sur  quelques  formules  de  développement.  (i35- 

i43). 

Développement  en  série  des  fonctions  rationnelles  fractionnaires. 

Trudi  (N.).  —  Sur  le  procédé  du  plus  grand  diviseur  commun 
entre  deux  fonctions  entières  d'une  variable.  (i53-i6o). 


ui':vi]i':  Di'is  lUJUiJCA  i  IONS.  \\i 

/idtld^lini  {^(i .).  —  JNolc  sin"  (|ii(l(|ii('S  (jiicsl  ions  de  (  m'omk'-Iik;. 
(i(iS-i7<S). 

I.icii  (les  rciilics  des  coiiiiiucs  circoiiscriLcs  ou  inscrites  à  tin  (iiiadrilalcrc. 

/>(flt(/i;/i/ii  ((î .).  —  INolc  cic  Géométrie.  (189-196). 

I.icu    (ios  rciilros    dos  coiiiijucs  circonscrilcs  à   un   triangle  et  dont    les  lon- 
i;ucurs  dos  axes  satisfont  à  une  certaine  condition. 

Ti-U(Ii  [N.).  —  Etude  sur  une  élimination  singulière,  avec  aj)pli- 
calion  à  la  reclierche  de  la  relation  entre  les  éléments  de  deux 
coniques,  l'une  inscrite,  l'autre  circonscrite  à  un  polygone,  et 
aux  théorèmes  correspondants  de  Poncelet.  (198-212). 

De  Gasparis  {A,).  —  Sur  la  détermination  des  orbites  plané- 
taires. (215-219). 

Batlaglini  (^G.).  —  Sur  les  formes  géométriques.  (220-23o). 
Relations  métriques  dans  les  formes  fondamentales  de  première  espèce. 


Année  II,  i863. 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  une  nouvelle  équation  à  employer  dans 
la  première  approximation  du  calcul  de  l'orbite  d'une  planète. 

(36-44). 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  un  jugement  de  M.  le  professeur  Bel- 
lavitis.  (45-47). 

L'auteur  soutient  ici  sa  règle  pour  résoudre  le  problème  de  Kepler. 

Ihitlagliiii  (G.).  —  Sur  une  question  de  maxima  et  de  minima. 
(56-63). 

Quadriques  par  huit  points  et  dont   le  produit   des    carrés   des    axes  est   un 
maximum  ou  un  minimum. 

Capocci  (E.).  —  Observations  originelles  de  Mars  près  de  Top- 
position  d'octobre  1862.  (64-65). 

Baltaglini  [G.).  —  Sur  la  dépendance  équianharmonique.  (88- 
97  )• 

C'est  la  projectivité. 


i3';t  SHCONDIi  PAiniiî:. 

Ihiltagtini  [G.).  —  Sur  la  dépendance  dn   i'""  ordre,  (i  9.'^-i  p.C)). 

C'esl  encore  la  projeclivité,  envisagée  comme  correspondance^  dans  lafpielle 
à  tout  point  de  l'une  des  formes  correspond  un  élément  et  un  seul  de  l'autre, 
et  qui  ne  diiïère  naturellement  de  la  dépendance  équianharmonique.  Ici  l'au- 
teur examine  plus  particulièrement  le  cas  des  formes  superposées. 

BattagUni  (G.).    —   Sur  les   séries   de  courbes    d'indice   quel- 
conque. (i49-i;^3). 

BattagUni  (G.).  —  Sur  les  involutions  des  divers  ordres.  (i58- 
i6i). 

Triidi  (iV.).  —  Sur  le  critère  des  équimulliples  employé  par  les 
anciens  géomètres  dans  la  théorie  des  proportions.  (235-239). 

BattagUni  (^G.).  —  Sur  la  dépendance  duplo-harmonique.  (240- 
249)- 
C'est  une  transformation  quadratique  birationnelle. 

Fergola  {E .).  —  Sur  certaines  propriétés  des  solutions  entières 
et  positives  de  l'équation 

ai  -1-  2  ao  + . .  .  -f-  na,j  =  11. 
(262-268). 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  une  équation  qui  a  lieu  dans  la  théorie 
du  mouvement  parabolique  des  comètes.  (293-299). 

De  Gasparis  (A.).  —   Observations  de  la   5^  comète  de   i863. 
(3oo-3oi). 

Fergola  {E.).  —  Éléments  de  l'orbite  de  la  5^^  comète  de  i863. 
(3o2-3o3). 

Année  III,  1864. 

BattagUni  (G.)-   —   Sur  les   divisions  homographiques  imagi- 
naires. (3^-47)- 

La  méthode  employée  par  l'auteur  est  celle  de  déduire  de  certaines  propriétés 
sur  la  droite  ponctuelle  autant  de  propriétés  sur  le  plan,  par  la  subslilulion 
de  [A  -f-  l'v  au  paramétre  du  point. 

B/ioschi  (E.).  —  Sur  une  nouvelle  formule  dans  le  Calcul  inté- 
gral. (63-68). 


lUîvUF.  nns  puinjcAïioNS.  i33 

liiilla^lini  {(t.).  —  Sur  les  roiiufs  Mnaircs  du  i''"cL  du  a'^  degré. 
(7(il85). 

Battaiilini  {Cl .). —  vSur  les  f()^m<^s  hiiiaiics  du  'V'  degré.  (109- 
118).' 

Trudi  (yV.).  —  Sur  un  déterminant  plus  général  que  celui  f(ue 
Ton  appelle  détenuindnt  des  racines  d'une  équation,  et  sur 
les  fonctions  symétriques  complètes  de  ces  racines.  (i2i-i34). 

Trudi  (-^ .).  —  Sur  le  déterminant  des  constantes  arbitraires  qui 
complètent  les  intégrales  des  équations  linéaires,  autant  dilTé- 
rentielles  qu'aux  dillérences  finies.  (i47-i54  et  note  :  175-177). 

Battaglini  (G.)  —  Sur  les  formes  binaires  cubiques.  (i63-i74)- 

Système  de  deux  de  ces  formes. 
Battaglini  (G.).  —  Sur  les  formes  binaires  du  4'"  degré.  (201- 

2l3). 

Fergola  {E .).  —  Observations  de  la  planète  Psychés  et  de  la 
comète  découverte  le  5  juillet  par  M.  Tempel  à  Marseille.  (218- 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  la  détermination  des  orbites  des  étoiles 
doubles.  (210-228). 

Battaglini  (G.).    —    Sur   les    formes    binaires   biquadratiques. 

(234-241). 

Covariants  associés  à  une  forme  biquadra tique. 

De  Gasparis  (A.).  —  Observations  de  la  3*^^  comète  de  1864  et  de 
la  planète  Isis.  (242-248). 

De  Gasparis  [A .).  —  Sur  la  détermination  des  orbites  des  étoiles 
doubles  par  quatre  observations.  (247-262). 

Fergola^E .).  —  Sur  une  proposition  élémentaire  de  Calcul  inté- 
gral. (256-259). 

Il  est   impossible  de  satisfaire   à  une  nièuie  équation  différentielle  d'ordre  n 
par  deux  intéi;rales  dislinrlcs. 


i34  SECONDE  PAHTIE. 

BatLagllnl  {G.).  —  Sur  les   formes    binaires  biqiiadraLi([ues  en 
involullon.  {^'.>X)?)-'à'J 'à) . 

Batlagliiii  [G .).  —   Sur  les  formes  Ijiualres  mixtes  du  3'' et  du 
4*^  degré.  {9.'è'À-9.ç)'.i) . 

Année  IV,  i865. 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  la  /j''  et  le  5''  eomète  de  iHO/j.  (23-24). 

BalLagUni  (G-).  —  Sur  les  formes  géométriques  de  deuxième 
espèce.  (44-^7)- 

Relations  métriques. 

De  Gasparis  (A.).  —  Observations  de  la  plancie  Alassalia.  (78). 

De  Gasparis  (A.).  —   Rotation  d'un   système  variable  de   trois 
masses  qui  vérifient  la  loi   des  aires.   (107- 118,  i5i-i62,  176- 

180    et  223-225). 

Fergola  {E-)-  —  Détermination  des  erreurs  constantes  de  l'équa- 
torial  de  Merz  à  l'observatoire  royal  de  Naples.  (i  19-124)- 

De  Gasparis  (A.).  —  Observations  d'une  nouvelle  planète.  (i48- 
i5o). 

De  Gasparis  {A.).  —  Notices  et  obscrvalions  de  la  nouvelle  pla- 
nète Béatrix.  (196-197). 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  une  fonction  qui  présente  le  cas  d'un 
minimum  dans  le  problème  des  trois  corps.  (297-301). 

C'est  la  fonction 

d   dt  . 

dt  d'-p         ''         * 

y  et  g  sont  des  constantes,  c  est  la  constante  des  aires,  9  l'angle  que  forme  au 
temps  t  l'interseclion  du  plan  des  masses  et  du  plan  invariable  du  système 
avec  une  droite  fixe  située  dans  ce  dernier  plan. 

Fergola{E .).  —  Observations  et  éléments  de  l'orbite  de  la  pla- 
nète Clios.  (3i5-3i()). 

De  Gasparis  (^i.).  —  Sur  la  détermination  de  l'orbite  des  deux 
nouvelles  planètes  Clios  et  Béatrix.  (326-336). 


IUîVUIî:   DHS  publications.  i3G 

liai  1(1  Lilini  {(i •)'  —  Sui'  l(^s  loiincs  hiiiiiircs  (l(;s  (jiialrc;  prcniKM's 
(lc;;rés,  apparlciiiiiil,  à  uik;  Ioiiikî  Icniaiiu;  (jiiadralicjuc.  (.>5i- 
:i5;). 

l/inilcur  rnvisage  le  rapport  (I(;s  doiix   variables  d'une  binaire,  comme  para- 
nu'lri"  (lo  rèléincnt  d'une  forme  ternaire  (juadraUque. 

De  Gasparis  {A,).  —  Autres  rcclicrclics  sur  la  rolation  d'un  sys- 
Lcmc  de  trois  masses  qui  vérifient  la  loi  des  aires.  (3(3i-.>G8). 

Battaglini^G.).  —  Sur  une  courbe  de  la  3'"  classe  et  du  /\^^  oy(\vq,. 
(399-407). 

Courbe  dont  rhypoeycloïde  tricuspidale  est  un  cas  particulier. 

Fergola  (/>.)•  —  Recherche  des  éléments  les  plus  probables  de 
l'orbite  de  Clios.  [/\\/\-/\'io). 

Année  V,  1866. 
De  Gasparis  (A.).  —  Observations  de  la  comète  de  Tenipel.  (18). 

Battaglini  (G.).  —  Sur  les  formes  binaires  des  quatre  premiers 
degrés,  appartenant  à  une  forme  ternaire  quadratique.  Note  11^". 

(35-4.)- 

Ricbiiii  [R.).  —  Sur  certaines  formules  relatives  à  des  détermi- 
nants. (109-1  I  5). 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  la  rotation  d'un  système  de  trois 
masses  qui  vérifient  la  loi  des  aires.  Continuation  des  Notes 
précédentes.  ([  16-121). 

Battaglini  (G.).  —  Sur  les  formes  binaires  des  quatre  premiers 
ordres  appartenant  à  une  forme  ternaire  quadratique.  NotelH^'. 

(141-149). 

De  Gasparis  [A.).  —  Mouvement  d'un  système  de  points  maté- 
riels situés  dans  un  plan,  autour  du  centre  gravité,  (i  53- 159). 

IhUiaglini  (G.).  —  Sur  les  systèmes  de  droites  du  r"^  ordre. 
(,94-:..o8). 


i36  SECONDE  I^AHTIE. 

JJatLa^lini^G .).  —  Observation  sur  une  foimiilc  rclalivc  à  Tclcc- 
Iromctrc  bifilaire.  (:^65-26'J). 

Palmieri  {L.).  —  Sur  la  récurrence  des  étoiles  filantes,  en 
août  18GG.  {'.iÇ)'6-'2^/\) . 

Battaglini  (G.).  —  Sur  les  moments  géométriques  du  i""  degré. 

(341-352). 

Etablissement  de  la  théorie  des  moments  sans  aucune  considération  de  force. 

De  Gasparis  (A.).  —  Essai  de  quelques  formules  pour  le  calcul 
de  l'orbite  de  la  planète  Syhia.  (4o3-4o7  et  433-43^). 

Trudi  {.IV.).  —  Sur  un  théorème  pour  le  développement  en  série 
des  fonctions  rationnelles  fractionnaires.  (446-454)- 

Année  VI,  1867. 

De  Gasparis  (^1.).  —  Eléments  elliptiques  de  l'orbite  de  la  pla- 
nète Syhia.  (43-5 1). 

De  Gasparis  (A.).  —  Seconde  détermination  de  l'orbite  de  la 
planète  Sylvia.  (73-83). 

Palmieri  (L.).  —  Sur  l'éclipsé  annulaire  du  G  mars  de  cette 
année.  (85). 

Battaglini  (G.).  —  Sur  les  formes  ternaires  quadratiques.  (io3- 
106  et  3G5-3G7). 

De  Gasparis  (A.).  —  Orbites  de  Syhia  et  de  la  première  co- 
mète de  18G7,  observations  de  la  deuxième  comète  de  18G7. 
(i32-i3G). 

Battaglini  (G.).  —  Sur  la  Géométrie  imaginaire  de  Lobat- 
chewskj.  (157-187). 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  le  calcul  de  la  valeur  de  la  fonction 
2:i^-(.76-.83). 


ui<:vun:  df.s  publications.  137 

Année  VII,  i8()8. 

De  Gasparis  [A .)  —  Sui-  (\cn\  llicor(''mcs  relatifs  aux  déLcrini- 
nauts  à  irois  indices,  cl  sur  une  autre  manière  de  former  les 
élrnuMils  (Tiin  (h'IcrMninanl  à  m  indices.  (ii(S-i2i). 

Les  iiuliccs  des  tenues  peuveni  èlrc  fonm-s  pjir  les  séries  des  indices  des 
termes  d'une  forme  {x^x.^. . .  x,^)'". 

Année  VIII,  18G9. 

Dattagluii  [G.).  —  Sur  la  composition  des  forces.  ['ài-?)'à). 

Baitagllni  {G.).  —  Sur  la  théorie  des  moments.  (87-94). 

Battaglini  {G.).  —  Sur  les  séries  de  systèmes  de  forces  (i3o- 
i38). 

Dans  ces  trois  Mémoires,  l'auteur  traite  ces  questions  relatives  à  l'équilibre 
des  systèmes  invariables,  au  point  de  vue  de  la  Géométrie  de  Pliicker. 

Année  IX,  (870.  • 

De  Gaspains  {A.).  —  Sur  la  planète  Dice.  (34-42)' 

Battaglini  [G .).  —  Sur  le  mouvement  géométrique  infinitésimal 
d'un  système  rigide.  (89-100). 

Battaglini  [G.).  —  Sur  le  mouvement  géométrique  fini  d'un  sys- 
tème rigide.  (i42-i5o). 

En  suivant  toujours  la  Géométrie  de  Pliicker  l'auteur  étudie,  dans  ces  deux 
Mémoires,  la  Cinématique  des  systèmes  invariables.  Il  donne  aussi  l'expression 
des  variations  infinitésimales  et  des  variations  finies  des  coordonnées  homo- 
gènes d'un  point. 

Année  X,  1871. 

Nohile  (A.).  —  Relation  abrégée  des  observations  faites  pendant 
l'éclipsé  totale  de  Soleil  du  22  décembre  1870.  (3i-33). 

Batlagllni  (G.).  —  Sur  la  théorie  des  moments  d'inertie.  (02- 

60.): 


i38 


SliCONDIi    PAiniH 


BalLaglini  (^G .).  —  Sur  le  mouvcmenl  d'un  sjsLùmc  de  forme  in- 
variable. (io4-i  1  3  ). 

L'auteur  étudie  dans  ces  deux  Mémoires  la  Dynamique  des  systèmes  inva- 
riables par  la  même  méthode  appliquée  dans  les  Mémoires  précédents,  à  la 
Statique  et  à  la  Cinématique,  c'est-à-dire  suivant  les  vues  de  Pluckcr. 

De  Gasparis  {A .).  —  Orbite  du  planctoïdc  107  Camilla.  (62-G3). 

Fergola  {E.).  —  Sur  certaines  oscilbitions  diurnes  des  instru- 
ments astronomiques  et  sur  une  cause  probable  de  leur  appa- 
rence. (iGG-i^G). 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  le  calcul  des  orbites  des  étoiles 
doubles.  (23i-233). 

Année  XI,  1872. 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  quelques  pliénomènes  spectraux  vus 
pendant  l'éclipsé  du  22  décembre  1870,  et  observés  de  nouveau 
dans  l'éclipsé  du  (2  décembre  18^1.  (18-20). 

•  Année  XII,  1873. 

Fergola  {E.).  —  Sur  quelques  valeurs  de  la  latitude  de  Rome. 
(58). 

De  Gasparis  (A.)  et  Nohile  (A.).  —  Comète  de  Tempel.  Obser- 
vations. (94-95). 

Année  XIII,  1874. 

De  Gasparis  (A.)  —  Observations  de  la  comète  de  Winncckc 
faites  à  l'observatoire  ro^yal  de  Naplcs.  (48). 

De  Gasparis  (A.).  —  Observations  spectroscopiques  sur  la  co- 
mète de  Coggia.  (101-102). 


Année  XIV,  1875. 

Sahatore-Dino  (A^).   —   Quelques  applications  analytiques  de 
la  méthode  des  caractéristiques.  (9.5-102). 


UIi:VUK    l)i:S    PUUMCATIONS.  liy 

'I  riiilcmciil  iiiial  vl  iiiiic  de   la  iiK'lliodc  de;  (lliasles. 

SdUiilorr-Piiio  (^V. ).   —    Kcclificalion   au    Mémoire   pr(;cc(k;nt. 
(■■..,0). 

D^O^îdio  {I^')'  —  Sur  quelques  lieux  et  enveloppes  du  i'"'  el  du 
:i*^"  degré  en  Géoméirie  projeclive.  (i()3-ii4)- 

I.icu\  cL  enveloppes  où  entre  la  considéraLion  de  distances  (ou  d'angles). 
L'auteur  les  traite  en  employant  la  définition  projeclive  de  distance  (ou  d'an- 
gle). 

SaLvalore-Dlno  (A^. )•  —  Sur  les  coniques   circonscrites  et  sur 
les  coniques  conjuguées  à  un  triangle.  (i3/|-i4')- 

Enveloppe  d'un  système  de  coniques  semblables  et  ayant  l'une  ou  l'autre  des 
propriétés  mentionnées  dans  le  titre. 

Nobilc  (A.).  —  Essai  d'une  nouvelle  méthode  pour  l'observation 
des  distances  des  étoiles  multiples.  (171-207). 

Année  XV,  187G. 

Nobile  {A.).  —  Sur  les  deux  étoiles  multiples  i  268  i^  et  a- Cou- 
ronne. (2 1-3  i). 

Battaglini  (G.).   —  Sur  Taffînité    circulaire    non    euclidienne. 

(219-224). 

L'affinité  circulaire  n'est  autre  chose  que  la  Kreisverwandschaft  de  Mobius, 
et,  par  conséquent,  ne  diiïére  pas  de  la  transformation  par  rayons  vecteurs  ré- 
ciproques. La  propriété  qui  est  envisagée  ici  comme  caractéristique  est  celle 
qu'aux  cercles  de  l'un  des  plans  correspondent  des  cercles  dans  l'autre.  L'au- 
teur établit  les  formules  pour  le  cas  oîi  l'absolu  est  une  conique  quelconque 
et  donne  la  construction  des  points  correspondants. 

Année  XVI,  1877. 

De  Gasparis  (A.).  —  Autre  solution  numérique  du   problème 
dit  de  Kepler.  ( 1 7-2 1  ) . 

Nobile  {A.).  —  Observations  du  svstème  7^8  S  (Trapèze  d'Orion). 

(75-88). 

Ainaiizio  (D.).   —  Sur  le  développement  en  série   des  racines 
d'une  équation  algébrique   quelconque.    (i22-i38  et    ifS-iStS). 


i4o 


SECONDE    PAUTIE 


Noblle  {yl')'  —  Observations  et  réflexions  sur  les  systèmes  sui- 
vants d'étoiles  multiples  :  binaires  126.')^,  C.)4^\  ^)'\  Lion; 
triples  1998S,  2278S,  2323S,  2637!',  2'jo3!t].  (207-22()). 

Année  XVII,  1878. 

Janni  (V.).  —  Sur  une  formule  de  Waring.  (27-31). 

Démonstration  de  la  formule  qui  donne  l'expression  de   la  somme  des  puis- 
sances semblables  des  racines. 

Bonolis  {A.).  —  Détermination  graphique  des  moments  d'in- 
flexion sur  les  appuis  placés  à  différents  niveaux  d'une  poutre 
continue  composée.  (92-[o5). 

Mollame  (K. )  —  Sur  les  coordonnées  de  la  plus  courte  distance 
entre  deux  droites,  par  rapporta  trois  axes  oblicpies.  (  106-1  10). 

Janni  (  K-).  —  Sur  la  résolution  des  équations  numériques.  (i38- 

i40- 


ReNDICONTI    DEL   CiRCOLO    MATEMATICO    DI    P.VLERMO,   Jn-S". 

T.  III;  1889. 

Bei'tini  {E-)-  —  Sur  les  courbes  fondamentales  des  systèmes  li- 
néaires de  courbes  planes  algébriques.  (5-2  i). 

Soit  S  un  système  linéaire  x*'-  de  courbes  de  genre  p  et  d'ordre  /?,  dans 
lecinel  les  points  fondamentaux  soient  tout  à  fait  indépendants,  et  soient  r-  les 
multiples  de  ces  points.  On  trouve  aisément 

^r}—  «^  H-  I  —  />  —  a, 
i:  /• .  =  3  /i  —  I  H-  /?  —  a. 

Une  courbe  est  appe]ée  fondamentale  lorsqu'elle  n'est  pas  rencontrée  en  des 
points  variables  par  les  courbes  du  S3^stème.  L'auteur  démontre  plusieurs  pro- 
priétés de  ces  courbes,  en  particulier  le  théorème  suivant  : 

«  Tout  gi'oupe  de  î  O  1)  courbes  fondamentales  est  coordonné  à  un  groupe 
de  i  points  fondamentaux.  Chaque  courbe  du  groupe  a  en  tous  les  points  du 
groupe  coordonné  une  même  multiplicité  5,  exception  faite  pour  un  de  ces 
points  où  sa  multiplicité  est  s -h  i  ou  s  —  i.  En  tous  les  points  d'un  groupe 
non  coordonné  la  courbe  a  une  même  multiplicité  ît;  ces  nombres  s  et  s  sont 
les  mêmes  pour  toutes  les  courbes  du  groupe.  » 


KKVUK    l)r:S    PUBLICATIONS.  i  ,i 

De  ce  I  lit'orriMC.  railleur  ((('diiil    le  llK-orrriic  de  ÎNI.  Crcrnoiiii  : 

n  Si  liii  S}  sLriiic  li()mal()ï{li(|iie  a  a,  poiiUs  ('ondaiiictilaii  x  simples,  y.^  doiihlcs,  ,.., 
Cl  si  ses  courbes  foiidamcnlales  sont  [i,  droites,  [i^  coiii(|ucs,  ...,  les  nombres  a 
sont  (''{;anx  aux  nombres  [3  (pouvant  aussi  cUe  pris  dans  un  oïdie  dinV-ient).  » 

Cicrbaldi  {F.).  —  Un  ihéorcmc  sur  la  licssienne  d'une  forme  bi- 
naire. ('^/>, -:>J)). 

Si  lous  les  |)oinls  d'une  forme  sont  réels  et  distinets,  sa  liessicnne  a  tous  ses 
points  imaginaires  et  ne  prend  (|nc  des  valeurs  néf,'atives;  si,  tous  les  points 
de  la  forme  étant  encore  réels,  il  y  en  a  de  multiples,  tout  point  /— "l'i*  de  la 
forme  est  2(;-  — i)-"p'"  pour  la  hessienne,  qui  n'a  pas  d'autres  points  réels  et 
ne  prend  que  des  valeurs  négatives.  Si  la  hessienne  a  tous  ses  points  imagi- 
naires et  si  elle  est  toujours  positive,  la  forme  a  aussi  tous  ses  points  imagi- 
naires. 

Castelnuovo  (G.).  —  Une  application  de  la  Géométrie  énuméra- 
tive  aux  courbes  algébriques.  (!^7-37). 

Le  nombre  des  espaces  S^  (de  /•  dimensions)  rencontrant  en  r -\- 2  points 
une  courbe  Cp  de  genre  p  et  d'ordre  n  appartenant  à  un  espace  S^^^^.,)  est 

/ 

n  —  /•  —  I  \  f  n  —  /■  —  3  \        /  p\  /  Il  —  ;•  —  5 ' 


r  -\-  2      j  \         r         )       \2/\      /"  —  2 

La  méthode  suivie  par  l'auteur  pour  établir  ce  théorème  et  les  autres  de 
cette  Note  est  fondée  sur  la  considération  successive  des  dégénérations  d'une 
courbe  C^"*"^  en  une  C^  et  en  une  droite  qui  la  rencontre  en  un,  deux,  ... 
points. 

Voici  un  des  autres  théorèmes  : 

«  Le  nombre  des  espaces  S,_,  ayantes  contacts  simples  avec  une  C;'  de  S^  est 

Par  une  méthode  semblable,  l'auteur  démontre  aussi  que  : 
Le  nombre  des  espaces  S,_,  renfermant  s  rayons  d'une  surface  réglée  r^  de 
S,  est 

' n  —  5  +  i\  (n  —  5  —  i\    ,    { p\  [ Il  —  8  —  3' 

s         I      ^  \     s  —  2 


>m'r- 


-P\       .        .       /    '    V   .   /V        ._A 


La  Note  se  termine  par  la  recherche  du  nombre  des  groupes  communs  à 
deux  involutions  rationnelles  sur  une  courbe  de  genre  p. 

Vivanli  (G.).  —  Sur  les  fonctions  analytiques.  (38-4 1). 

L'auteur  indique  un  moyen  par  lequel  on  pourrait  étudier  une  fonction  ana- 
lytique quelconque  (pouvant  aussi  avoir  un  nombre  infini  de  valeurs)  à  laide 
de  surfaces  de  lîiemann  ayant  un  nombre  fini  de  feuillets  et  de  points  de  di- 
ra ma  lion. 


l^'l 


SECONDE   PARTIE. 


Foiiret  (G.).  —  Sur  (|iicl(|uc.s  propriélcs  involiillvcs  des  courbes 
algébriques.  (4^-48)  [en  français]. 

Élant  données,  dans  un  plan,  deux  droites  cl  deux  courbes  algébriques  de 
degrés  quelconques,  le  produit  des  distances  des  points  d'intersection  des  deux 
courbes  à  l'une  des  droites  reste  dans  un  rapport  constant  avec  le  produit  des 
distances  des  mêmes  [)oints  à  l'autre,  lorsque  les  deux  courbes  varient  sans 
cesser  de  couper  ces  deux  droites  aux  mêmes  points. 

Après  avoir  démontré  ce  théorème,  l'auteur  en  déduit,  en  spécialisant  les 
deux  courbes  ou  la  position  des  droites  (et,  dans  un  seul  cas,  en  appliquant  la 
transformation  par  rayons  vecteurs  réciproques),  sept  autres  théorèmes  dus  à 
didcrents  auteurs. 

Casorati  (J-)-  —   Sur  les   asymptotes  des  courbes  planes  algé- 
briques. (49-52). 

Manière  de  déduire  les  équations  des  asymptotes  de  celles  des  tangentes  au 
fini,  pour  des  points  de  contact  simples  ou  multiples. 

Âfaisa/io  (G-).  —  La  hessienne  de  la  sextique  binaire  et  le  discri- 
minant de  la  forme  du  huitième  ordre.  (SS-og). 

Calcul  des  invariants  de  la  hessienne  en  fonction  des  invariants  de  la  sextique. 
Calcul  du  discriminant  de  la  forme  du  huitième  ordre,  lîelations  entre  les  in- 
variants de  la  hessienne. 

Gerbaldi  {F.).  —  Sur  la  hessienne   du  produit  de  deux  formes 
ternaires.  (60-66). 


Étant 
les  deux  formes  et 

l'auteur  démontre  la  formule 


p■^{p-^y{\^\}'\}"y\]r''^'^^\^^' 

-\-{n-i){p-  i)  /i' A,/f  H-  -  w=  nHp-2)  ^\\,fj,, 
donnée  par  Salmon  sans  démonstration.  Dans  cette  foi-nuilc  il  est 

(\^-{aa'bya'J!-'aT-'K-\  ^={abb'ya'.i'-U,r-b[r-', 

où  a,  [j,  A,  n  sont  <lé(iiiis  par 

F„  =.  ul\%"'-'-  =.{aa'uya:r'-  a'J."-\ 

i\,-  idni"-''  =  {bb'uyb!lrib[:'--. 


HliVUE   DIÎS  PUBLICATIONS.  i\:i 

/>('///(//i/(  (h.).  —  Noies  pliysic'o-malhcmaliqiics.  (^7-79). 

L'oxpressioii  rotnplèu;  du   polenlici  d'un  corps  rnagn(';li(|uc  sur  soi-même  csl 


■f^ds^-^f^as, 


où  la  seconde  inlcgralion  est  élenduc  h  l'espace  occupé  par  le  corps,  V  est  la 
fonction  potenlielle  du  corps  et 

,         I  /  a^         [i^         y^ 

a,  p,  Y  étant  les  conriposantcs  du  moment  magnétique  pour  l'unilé  de  volume 
et  z^.,  X  ,  X,  les  coeflicienls  d'induction  suivant  les  axes  correspondant  au 
point  {x,  y,  z).  L'auteur  résout  une  difficulté  relative  au  signe  de  P,  qui  est  in- 
certain pour  les  corps  diamagnétiques,  la  forme  quadratique  ^  étant  alors  né- 
gative. Par  la  considération  de  la  force  que  Maxwell  appelle  induction  ma- 
gnétique et  dont  les  composantes  sont 

X  =  4':ra — ,  Y  =  41^3 — >  Z  =  l^T.r —- > 

âx  '         c'y  âz 

il  arrive  à  la  conclusion  que  dans  les  corps  diamagne'tiques  P  est  toujours 
négatif.  Après  en  avoir  déduit  que  l'équilibre  d'induction  diamagnétique  serait 
instable,  il  observe  que  ces  résultats  peu  vraisemblables  rendent  plus  probable 
l'hypothèse  de  l'araday  d'une  polarisation  de  tout  l'espace  avec  un  coefficient 
positif,  hypothèse  qui  réduit  l'induclion  diamagnétique  à  une  simple  apparence. 
Ensuite  il  ajoute  deux  observations  relatives  à  la  théorie  de  l'élasticité.  La 
première  se  rapporte  au  potentiel  unitaire  d'élasticité  pour  les  milieux  à  iso- 
tropie  incomplète,  ayant  en  tout  point  un  axe  distinct  de  direction  donnée, 
tandis  que  toute  direction  normale  à  celle-ci  appartient  à  un  autre  axe  in- 
distinct ou  indiiïérent.  Soient  a,  ô,  c,  /,  g,  Ji  les  six  composantes  de  déforma- 
tion, c'est-à-dire 

du  ,        <)v  àw 

a—--,  b—-—,  c  =  _—, 

ôx  a  y  ôz 

ôiv        ()v  du        ôw  ,        dv        du 

■^        ôy        ôz  °        âz        âx  ôx       Oy 

L'auteur,  en  employant  les  propriétés  invariantives  des  expressions 

a  -\-  b  -{-  c, 

bc  —  f'  -h  ca  —  g^  -^'  ab  —  /t% 

abc  H-  "ifgh  —  af- —  bg^—  c/t% 

et  en  supposant  (|ue  l'axe  distinct  soit  parallèle  à  l'axe  z^  trouve  l'expression 
suivante  du  potentiel  unitaire 

n  =  -  \{a+  by-^-\^{a  +  b)c  -\-  -Cc'-\~D{k'—  ab)-hE{/'-^  g'), 
A,  B,  C,  I),  E  étant  des    constantes.   Si    l'on    in(!i(|ue   par   \^,  X  ,    ...    les  six 


i44  SECONDE   PARTIE. 

composantes  de  pression,  on  a  aussi 

II=:^A'(X,+  Y^)^-l-B'(X,+  YJ+ic'Z5+D'(X}-X,Y^)  +  E'(Y5.+  Z5,), 

où 

AC-B'  n  2A.-D 

D'=  ^,  E'=  ^,  K  =  2(7\G  — B^)- CD. 

L'autre  observation  se  rapporte  à  la  suffisance  des  équations 
d\f         I  fô'b        ô-c' 


ôy  Oz        A  \  <)z-        ôy 


\>   ^^ 

g 

''      ôz 

ôx 

ô'a 

ôy  ôz 

ô'-b 

ôz  ôx 

ô'c 

_  i/ô'-c        ô'a\         ô'-h 
~  2  \  ÔX'        ÔZ"  /       ôxôy 

\nr-a       ô'b\ 
2\ôy'        ôx'j 

ô  fôg        ôh       ôf\ 
ôx  \ôx        ôz         ôx j^ 

ô    /ôh        ôf        ôg\ 
ôy  \ôz        ôx       ôy / 

ôz  \  ôx       ôy        ôz  j  ' 

ôx  ôy 

entre  les  six  composantes  d'une  déformation  possible.   Ici  cette  suffisance  est 
établie  par  l'intégration  directe. 

Albeggiani  [M.-L.).  —  Sur  les  lignes  géodésiqiies  tracées  sur 
certaines  surfaces.  (80-1  19). 

L'auteur  commence  par  l'exposition  d'une  méthode  due  à  M.  Darboux  et  qui 
se  résume  dans  le  théorème  suivant  : 

«  Prenons  l'équation  aux  dérivées  partielles  du  premier  ordre 


fô^)V 

r)B 

r)f) 

^r)B^ 

\' 

^{ 

\Tv)  ~ 

21 

? 

ou 

ôv 

H- 

^( 

V  au , 

) 

EG  —  i^^^ 

Toute  solution  de  cette  équation,  posée  égale  à  une  constante,  détermine  une 
famille  de  courbes  parallèles.  Si  l'on  a  une  solution  contenant  une  constante 
arbitraire  a,  l'équation  de  la  ligne  géodésiquc  la  plus  générale  est 

et  l'arc  compris  entre  deux  points  de  celte  géodésiquc  est  égal  à   la  difTérence 
des  valeurs  de  0  en  ces  deux  points. 

L'auteur  applique  cette  méthode  aux  surfaces  qui  admettent  un  glissement 
infiniment  petit  sur  elles-mêmes,  de  manière  qu'une  géodésiquc  vienne  coïn- 
cider avec  une  géodésiquc  infiniment  voisine. 

Lebon  [E .).  —  Solution  du  problriue  de  Malfaiti  (i'>.o-i3o,  1  pi.), 
[en  français]. 


UKVUK    DKS    PUliMCATIONS.  M'î 

Manulicini  {A.).  —  Kliidc  d'un  (lépl.iccnicnl  [)arLicuIior  (rnnc 
li^iirc  de  forme  Invariable  par  des  [)roeé(lés  élémcnlaircs  et  pu- 
rement géométri(jucs.  (i3i-i/|/|)  [en  français]. 

Le  ras  étiidu'^  par  l'auteur  est  celui  d'une  droite  dont  quatre  points  restent 
sur  quatre  plans  donnes  (un  point  (|uelconque  de  cette  droite  décrit  wnc  (dlipse). 
Il  y  ajoute  l'étude  du  déplacement  d'une  figure  dont  les  points  décrivent  des 
ellipses. 

Bcrzolari  {L.).  —  Un  nouveati  théorème  sur  les  involutions 
planes.  (i45-i59). 

Le  théorème  se  rapporte  aux  involutions  planes  ayant  un  point  fondamental 
r-uple,  par  lequel  la  courbe  correspondante  passe  avec  ;•  —  3  branches. 

Schoute  (P. -H.).  —  Sur  un  théorème  relatif  à  la  hessiennc  d'une 
forme  binaire.  (160-164)  [en  français]. 

Autre  démonstration  du  théorème  donné  par  M.  Gerbaldi  dans  ce  même 
Tome  III;  voir  ci-dessus. 

Visalli  (P-)-  —  La  transformation  quadratique  (2,  2).  (165-170). 
ZeutJien  (H. -G.).  —  Extrait  d'une  lettre  adressée  à  M.  Guceia. 

(,7,-78). 

Sur  le  genre  d'une  courbe  composée. 

Castelnuovo  (G.).  —   Sur  certains  groupes  associés  de  points. 

(Ï79-I92)- 

Deux  groupes,  dont  chacun  est  formé  par  2/1  éléments  d'une  forme  fonda- 
mentale d'espèce  n  —  i  sont  appelés  associés  lorsqu'il  y  a  dans  un  espace  S„_, 
deux  7i-gones  tels  que  le  premier  groupe  soit  projcctif  au  groupe  des  2/^ 
sommets,  et  le  second  soit  projectif  au  groupe  des  2  n  faces.  Deux  éléments  dont 
l'un  correspond  à  un  sommet  et  l'autre  à  la  face  opposée  sont  appelés  homo- 
logues. 

Beltraini[E .).  —  Sur  la  fonction  potentielle  delà  circonférence. 
(193-209). 

Cette  fonction  (la  fonction  potentielle  newtonienne)  est 

1  rai 

et  la  fonction  appelée  directe  par  Lamé  est 

v=  '-  r  di, 

Bull,  des  Sciences  mathérn.,  2'  série,  t.  \L\.  (Juin  iSgS.)  R.12 


i40  SECONDE   PARTIE. 

où 

r^  —  x"-^  z'^  -h  a'  -1-  ?.  a  x  cos  ^, 

a  étant   le  rayon  de  la  circonférence,  et  |   l'angle  (|iie  le  rayon  passant  par  le 
point  variable   sur  la   circonférence  fait  avec  l'axe  des  x  négatives.   Le  point 
soumis  à  l'action  de  la  circonférence  est  supposé  dans  le  plan  xz. 
L'auteur  remarque  que  l'on  a 

cl 

71 

cm 


7.       p 

"^c/o      VP'sin^e -1- p'^cos^e 

u 

v=—    I      (i0i/p*sin-6  •-+- p'- cos-6, 


étant  26  =  ^  et  p,  p'  la  moindre  et  la  plus  grande  distance  du  point  à  la  circon- 
férence. La  première  de  ces  deux  relations  montre  que  l'on  a 


R  étant  la   moyenne  arithmético-géométrique  de  p,  p'.  De  cette  même  relation 
on  déduit,  à  cause  de  l'homogénéité, 

du         ,  du 

M  +  p f-  p    --7=0. 

op  dp 

Les  deux   composantes    F  ,   F,^'  de    la  force  newtonienne  suivant   p  et  p'  sont 
donc  liées  par  la  relation 

pFç-f-p'Fç'=o. 
Ayant  posé 

A-'  =  -^ ,  A-=  =.  I  —  k'\ 

P 

et  K,  E  étant  les  intégrales  elliptiques  connues,  on  a 

■?.  K                    2  p'  E 
Il  —  — r  '  ^  =  — 

Tip  7C 

et 

'^w  2       ,  , ,  ,^       ,,^ 

l)p  TZ  k'  pp 

du  2 

-r-/-  =  — ; — r  (  E  —  K  ), 

expressions  que  l'auteur  applique  à  l'étude  de  la  force  dans  le  voisinage  de  la 
circonférence,  en  faisant  remarquer  des  particularités  que  présente  la  distribu- 
tion étudiée,  et  par  lesquelles  elle  se  distingue  remarquablement  des  distribu- 
tions superficielles.  Ensuite  il  démontre  que  les  fonctions  u  et  v  satisfont  aux 


KlilVUK   DRS   PUBLICATIONS.  M? 

(■•((ualions  iuix  dérivées  parlicllcs 

â  [     ,ôu\        ù  (     ,ôu\ 

v^y^'  -ôoj-^  ô^'V^'  wr 

()  /   I    dv\_    à_/  j     dv\ 
à9\W  àp)~  Op'\pp'  Jp'/' 

dont  la  prcmicrc  peut  cire  rédiiiLc  à  l'équalion  de  BorcliardL  pour  l'inverse  de 
la  moyenne  arilhmélico-géomélrique;  et  il  établit  directement  cette  première 
équation,  en  montrant  ([u'clle  est  une  transformée  de  l'équation  de  Laplace 
\=o. 

La  fonction  potentielle  d'une  couche    magnétique   circulaire  dont  a  est  le 
rayon,  et  dont  le  moment  est  constant  et  =  i,  est 


U   =-'i7C     f 


"  au       , 
âz 


La  fonction  V  associée  à  la  U,  c'est-à-dire  telle  que  l'on  ait 

dW  dU  dV  du 

T-  =.3;-;-'  -r-  =~~  ^  T'^ 

dx  ùz  dz  dx 

est 

r''  Al, 

a  da\ 


r"  du 


l'auteur  effectue  sur  cette  expression  de  V  une  réduction  par  laquelle  il  arrive 
à  la  forme  connue 

V  =  p'[2E  +(A-^— 9)K]. 

Puis  il  reprend  l'équation 

È.  (  JL  ^\-  A.  Il-  È^\ 

et  montre  que  l'équation  aux  dérivées  partielles 

est  satisfaite  autant  par  w  —  u  que  par  iv^v.  Elle  est  satisfaite  aussi  par  l'in- 
verse de  la  moyenne  aritlimético-géométrique  des  deux  quantités  p'—  p  et  p'-f-  p. 
Enfin  l'auteur  montre  que  le  théorème  de  Green,  dans  le  cas  des  fonctions 
potentielles  symétriques  autour  d'un  axe,  prend  la  forme 


,       I     rf    du  do\       - 

o(x„,z^)=  -   I     C3  -r u  -^\x  as. 

V'.'^o'    0-»       2J    y  du  du) 


Guccia  (G.-D.).  —  Liste  des  travaux  mathématiques  de  Georges- 
Henri  Halphen  (210-222)  [en  français]. 

V'ivniili  (G.).  —  Observations  sur  les  points  singuliers  essentiels. 
(223-229). 


iî8  SECONUIi   PAKTIE. 

L'auteur  considère  une  fonclion  uniforme  f(z)  ayant  les  propriélcs  sui- 
vantes : 

a.  Elle  a  une  singularité  essentielle  à  l'origine; 

b.  Dans  le  voisinage  de  l'origine  elle  n'a  pas  de  pôle  ni  de  point  singulier  à 
droite  de  l'axe  imaginaire; 

c.  Elle  est  réelle  pour  les  valeurs  réelles  positives  de  c,  et  tend  vers  zéro 
quand  z  tend   vers  l'origine  suivant  la  partie  positive  de  l'axe  réel. 

Cela  posé,  il  démontre  quc/(-G)  tend  vers  zéro  quand  z  tend  vers  l'origine 
suivant  un  rayon  quelconque  situé  à  droite  de  l'axe  imaginaire.  Puis  il  dé- 
montre aussi  que  la  valeur  limite  ne  dépend  pas  seulement  de  la  direction, 
mais  aussi  de  la  courbure  de  la  ligne  que  la  variable  suit  en  se  rendant  au  point 
singulier,  et  applique  ces  considérations  à  la  fonction 

A- 

Guccia  (G.-B.).  —  Stir  un  récent  travail  au  sujet  de  la  réduction 
des  systèmes  linéaires  de  courbes  algébriques  planes.  (233-235). 
[Cette  Note  fait  partie  des  Extraits  des  Procès-Verbaux^. 

A  l'occasion  d'une  remarque  de  M.  Jung  {Annali  di  Matematica,  série  II", 
t.  XVI,  p.  3i3),  M.  Guccia  démontre  que  les  systèmes  de  courbes  des  genres 
/>  =  o  et  />  =  I  donnés  par  lui-même  comme  étant  d'ordre  minimum  sont  irré- 
ductibles non  seulement  par  une  transformation  quadratique,  mais  même  par 
une  transformation  quelconque. 

Del  Pezzo  (P-)-  —   Sur  les  systèmes  de  cotirbes  et  de  surfaces. 

(236-240). 

L'auteur,  en  s'appuyant  sur  des  notions  élémentaires  de  la  théorie  des  singu- 
larités, démontre  les  propositions  suivantes  : 

1.  Une  surface  F"  douée  de  singularités  quelconques  appartient  toujours  à  des 
systèmes  linéaires  de  surfaces  F'"(m^/?,)  ayant  mômes  singularités. 

2.  Les  surfaces  d'un  ordre  déterminé  m,  ayant  les  mêmes  singularités  de  F", 
forment  un  système  linéaire. 

3.  Si  m  est  suffisamment  grand  ces  singularités  n'ont  pas  de  relations  entre 
elles,  et  il  n'y  a  pas  de  groupes  de  points,  tels  que  les  surfaces  du  système 
passant  par  l'un  des  points  du  groupe  doivent  passer  par  les  autres. 

Guccia  (G.-B.).  —  Stir  les  singularités  composées  des  courbes 
algébriques  planes.  (241-209). 

Ce  travail  se  rattache  à  ceux  que  l'auteur  a  publiés  dans  les  Comptes  rendus, 
t.  CVII,  et  dans  les  Rendiconti  delta  lî.  Accademia  dei  Lincei  (1889). 
Soient 

les  équations   irréductibles  de  s  courbes  algébriques,    contenant  linéairement 
des  paramètres  arbitraires.  On  suppose  qu'à  un  point  quelconque  P  du  plan  la 


KEVUR    DES   PUIiMCATIONS.  i.Jo 

courbe  9,  ail  mic  siiii^iilariU;  quelconque,  h'w.u  (l(';Lcrinincc,  [  t.],  cL  <jiic  dans  le 
voisina};e  du  point  I*  il  y  ait  drs  relations  quelconques  de  contact  entre  les 
branches  de  deux  courbes  9.,  9^,  ayant  respcctivcn'ient  les  singularités  [^,1, 
[  j^  ].  On  appelle  si/if^ularile  composée  [d,  -1-  a^  h-.  . .+  a,  J  celle  que  la  courbe 


y  '^•/'■pi 


''  9!/'  .  .  .  9^/'=  o 

a  au  point  V  (les  «,  sont  des  constantes  arbitraires,  et  les  9'/'  sont  h  polynômes 
9.  choisis  arbitrairement,  et  linéairement  iii(lcj)endants). 

Après  avoir  rappelé  quelques  proportions  démontrées  par  lui-même  en 
d'autres  travaux,  l'auteur  démontre  trois  théorèmes  concernant  les  systèmes 
linéaires  dont  nous  citerons  le  suivant  : 

«  Étant  donnés  s  systèmes  linéaires 

[/J-o,         [/J=o,         ...,         [/J=o 

des  ordres  n^,  n.^,  ...,  n^  respectivement  et  déterminés  par  leurs  bases  si  pour 
le  système  [/,]  on  a 

(D,-  étant  le  nombre  des  intersections  mobiles  de  deux  courbes  du  système), 
la  courbe  irréductible 

où  ;x  est  une  constante  arbitraire  ci-fî,/'/  sont  deux  courbes  quelconques  du 
système  [/,],  appartient  à  un  système  linéaire  d'ordre  /i, +  /?,-}-...  H- «,  con- 
tenant 

/,  /■  i 

paramètres  variables.  D-  est  le  nombre  des  intersections  mobiles  d'une  courbe 
de  [/,]  avec  une  courbe  de  [/^j  et  p-  le  genre  de  la  courbe  /■. 

Il  déduit  de  ces  théorèmes  quelques  propriétés  relatives  aux  singularités 
données  en  un  point  du  plan.  Par  exemple  il  démontre  le  théorème  suivant  : 

«  Etant  données  s  singularités  algébriques  [uj,  [dj,  ...,  [<j,]  en  un  point, 
le  nombre  de  conditions  linéaires  auquel  équivaut,  pour  une  courbe  algébrique, 
la  condition  d'avoir  en  ce  point  la  singularité  composée  bien  déterminée 
[ a,  -1-  T^  -t- . .  .-^  aj  est  égal  à  la  somme  des  intersections  des  singularités  com- 
posantes [cr-]  prises  deux  à  deux,  et  de  chacune  avec  elle-même,  moins  la  somme 
des  abaissements  du  genre  dus  aux  mêmes  singularités.  » 

L'auteur  appelle  intersection  de  deux  singularités  [aj  et  [t,]  que  deux 
courbes  sont  supposées  avoir  respectivement  au  point  P  le  nombre  des  inter- 
sections de  ces  deux  courbes  absorbées  par  le  point  P. 

Volterra  {V.).  —  Sur  l'intégralion  d'un  système  d'équalions  dif- 
férentielles aux  dérivées  partielles  qui  se  présente  dans  la  théorie 
des  fondions  conjug^uées.  (o.ôo-?.^^). 


i5o  SECONDE    PARTIE. 

Le  système  est  le  suivant 


l'auteur  en  donne  l'intégration  avec  des  conditions  données  aux  limites,  en  sup- 
posant que  le  champ  soit  un  espace  sphérique.  Ce  problème,  comme  l'auteur 
le  montre,  se  rattache  à  la  théorie  des  fonctions  d'hypcrespaces  et  en  particulier 
à  la  théorie  des  fonctions  conjuguées,  car  il  est  équivalent  au  problème  de  dé- 
terminer deux  fonctions  conjuguées  F  et  <1»  dans  un  espace  sphérique,  étant 
donnée  au  contour  (dont  v  soit  la  normale  intérieure)  la  dérivée 

dV 


ou  bien  la 

dF 


COMPTES  RENDUS  hebdomadairfîs  des  séances  de  l'Académie  des  Sciences. 

Tome  CXVI,  1893  (1). 

Jablonski.  —  Sur  une  méthode  nouvelle  d'approximation,  (ig-21). 
Cette  méthode  repose  sur  le  théorème  suivant  : 

Si  une  fonction  f{z)  admet  un  zéro  ou   un  pôle  a  de  module  moindre  que 

tous  les  autres,  et  reste  holomorphe  à  l'intérieur  d'un  cercle  ayant  pour  centre 

f  (z) 
l'origine  et  pour  ra}  on  le  module  de  a,  la  dérivée  logarithmique  est  dé- 

veloppable  en  série  convergente  SA^^"  à  l'intérieur  de  ce  cercle,  et  l'on  a  tou- 
jours 

lim  -— ^  =  a, 

lorsque  n  croît  indéfiniment,  quel  que  soit  l'ordre  du  zéro  ou  du  pôle  a,  pourvu 
qu'il  soit  fini. 

On  conçoit,  dès  lors,  comment  par  une  substitution  ^  =  x;, +^',  en  choisissant 
convenablement  z^,  on  peut  placer  l'origine  dans  le  plan  plus  près  d'un  pôle  ou 
d'un  zéro  de/(^)  que  de  tout  antre  et  les  calculer  ainsi  successivement  avec 
une  approximation  indéfinie. 


(')  Voir  Bulletin,  XVIII,,  p.  i3i. 


UKVUM    DKS    l'IIHIJCA  I  IONS.  l'u 

l/aulnir  inili(iiu'  (|iicl(iii(s  iippl  ical  ions  :  «laliord  le  cali  ul  appioclK-  des  la- 
cincs  iTclIcs  ou  imaj;inair('s  d'iiiH^  ('•(|ualion  alf:;(':I)ri<|ii(!  ou  IransccndanLc,  puis 
le  calcul  approclu'  de  nonibrcs  (|ui  sonl  rafiincs  d'('(|ualions  à  cocfficiciil.s 
ioiuincusural)i('S. 

/\f//i/('V(''.  —  Sur  les  iiioiivcmenls  des  syslcmes  doni  les  Irajec- 
l()li(^s  adinellenl  uih!  Iransfornialion  inlinilésimale.  (•.ii-2'A). 

l'étant  donnes  les  deux  systèmes  d'cqualions  de  Lagrangc 
,    ^       d     ùT        ùT        „,,  .  dq-  >         ,  •  ,  ^ 

<''  r</;s^-5^.=Q-<'/"  ■■••'"'      rf<,=*-     (.  =  .,2,  ...,*), 

on  V  et  T'  sont  des  formes  quadratiques  des  q'  indépendantes  de  t,  ces  deux 
systèmes  sont  correspondants  si  les  relations  entre  les  q-  définies  par  (i)  et  (  2  ) 
coïncident;  ils  sont  homologues  si  Ton  peut  passer  de  (i)  à  (2)  en  changeant 
q-  en  9j(<7,,  ■  •  •■>  qk)  ^^  en  faisant  t  =  i,. 

Ces  définitions  permettent  à  AI.  Painlevé  d'exprimer  la  condition  nécessaii-e 
et  suffisante  pour  que  les  trajectoires  de  (i)  puissent  être  transformées  en 
elles-mêmes  par  un  changement  convenable  des  variables  q^  :  c'est  qu'il  existe 
un  système  (2)  à  la  fois  homologue  et  correspondant  de  (1). 

Les  seules  transformations  conformes  ^.=  cp^  des  trajectoires  sont  celles  qui 

changent  T  en  CT  et  C5,  en  ao-  ou  bien  T  en  (aU  H-  S)T  et  U  en  — -•  Ces 

transformations  sont  aussi  les  seules  qui  transforment  un  faisceau  quelconque 
Il  =  h^  de  trajectoires  en  un  faisceau  analogue  h  =■  h'^  {h  et  h'  sont  les  con- 
stantes des  forces  vives). 

Si  les  trajectoires  de  (i)  admettent  un  groupe  continu  de  transformations 
q.  =  o-ù  R  paramèti"es,  ce  groupe  renferme  un  sous-groupe  de  transformations 
conformes  à  r  paramètres  :  à  la  recherche  de  ces  dernières  s'appliquent  immé- 
diatement les  méthodes  de  M.  Lie.  L'étude  des  autres  transformations  n'amène 
qu'à  des  équations  difîérentielles  linéaires.  Cette  étude  conduit  M.  Painlevé  à 
une  classification  des  équations  (i)  et  à  la  réduction  des  difficultés  que  soulèv.e 
leur  intégration. 

Les  indications  données  par  l'auteur  permettent  de  former  très  aisément  les 
systèmes  (i)  à  deux  paramètres  dont  les  trajectoires  admettent  une  transfor- 
mation continue. 

Quand  on  connaît  a  priori  des  équations  (1)  dont  les  trajectoires  admettent 
une  transformation  infinitésimale  non  conforme,  on  est  certain  que  le  sys- 
tème (1)  admet  une  infinité  de  correspondants. 

Kluyver.  —  Sur  la  réduction  des  intégrales  elliptiques.  (48-52). 

Avant  l'introduction  de  la  fonction  p  de  Weierstrass,  la  réduclion  de  l'in- 
légralc 

9(57) 


f 


dx, 


132  SIÎCONDH    rAKTIH. 

où  9  est  une  fonclion  ralionncllc  rt    /  un  polyntHiie  du  (jualrit  inc  degré  en  x^ 
exigeait  la  résolution  préalal)lc  de  réfjuation  f{x)  =  o. 

Mais  les  formules  d'inversion  données  dans  le  Traite  des  fonctions  ellip- 
tiques d'ilalpiien  (t.  I,  p.  ii8)  expriment  les  racines  de  /  au  moyen  des  fonc- 
tions elliptiques.  M.  Kluyver  indique,  pour  obtenir  ces  formules,  une  méthode 
plus  simple  que  celle  d'Halphen  et  fondée  sur  la  substitution  due  à  M.  lier- 
mite  {Journal  de  C relie,  t.  LU,  p.  i). 

Ccihen.  —  Sur  la  somme  des  logarithmes  des  nombres  premiers 
qui  ne  dépassent  pas  x.  (SS-qo). 

Démonstration  de  cette  proposition  énoncée,  mais  non  démontrée,  par 
Halphen  : 

«  La  somme  des  logarithmes  des  nombres  premiers  qui  ne  dépassent  pas  x  est 
asymptotique  à  x.  » 

M.  Cahen  s'appuie  sur  le  résultat  énoncé  par  Riemann  relativement  à  la  dé- 
composition de  la  fonction  î^(5)  en  facteurs  primaires,  résultat  rigoureusement 
établi  par  AL  Hadamard. 

Painlevé.  —  Sur  les  équations  différentielles  d'ordre  supérieur 
dont  l'intégrale  n'admet  qu'un  nombre  fini  de  déterminations. 

(88-9.). 

L'auteur  complète  et  précise  les  résultats  qu'il  avait  obtenus  antérieurement. 
Soit 

une  équation  du  second  ordre,  la  surface  F  étant  algébrique  et  du  genre  p 
en  jK,  y -,  y" .  Si  l'intégrale  ne  prend  que  n  valeurs  autour  des  points  critiques 
mobiles,  cette  intégrale  est  une  fonction  à  n  déterminations,  algébrique  ou 
transcendante,  des  valeurs  y^,,  y\  de  y,  y'  pour  x  =  x^.  M.  Painlevé  étudie 
exclusivement  le  cas  où  y  est  une  fonction  algébrique  des  constantes  y^^  y'^. 
L'intégrale  peut  alors  s'écrire 

y"-{-R„_,{cc,':^,y,x)y'^-'-h...+  l\{^,  ?,T,^)  =  0, 

les  l{-  sont  des  fonctions  rationnelles  de  trois  constantes   x,  [j,  y  liées  par  une 
relation  algébrique 

9(2t,  ?,  y)  =  o. 

Soit  cî  le  genre  de  la  surface  9  =  o,  et  soit  P  un  des  p  polynômes  adjoints  à 
F  =  0.  M.  Painlevé  démontre  (lue  l'équation  au   dernier  multiplicateur  de  (i) 

p 
doit  admettre  73  solutions,  linéairement  distinctes,  de   la  forme— r--  Il   avait 

F  , 

déjà  établi  une  proposition  analogue  pour  les  équations  du  premier  ordre. 

P 

Réciproquement,  quand  il    existe   rj   multiplicateurs    (7>i)    tels   que  -7- j 

—7-5  •••)  deux  cas  peuvent  se  présenter  : 

Fy„  '  ' 


llKVUli:   DES   PUMLICATIONS.  i03 

p 

I"  Si  les  it»l('i;ral('s  pi-iîrnicrcs  ■—  —  h  ne  se  roiiloiidcriL  pas  toutes  ciilrc  elles, 

rc(iuali()n  du  sectuid  ordro  s'iiiLèj,'rc  al^él)n'(|U(!inonl  ; 

■.!"  Si  ces  intégrales  se  réduisent  h  une  seule,  l'intéf^ration  se  ramène  à  ecll(; 
(Tune  équation  linéairtî  d'ordre  r/  et  à  d(;s  quadratures.  On  peut  même  pousser 
la  réduction  plus  loin. 

I'>n  définitive,  I\I.   Tainlevé  parvient  aux  résultats  que  voici  : 
On  elierelic   à  reconnaili'c    si   l'intégrale  de    (i)  est    une   fonction   algébrique 
des  constantes  telle  (|ue   la  relation   9  =  0  soit  du   genre  n>i.  On   reconnaît 
s'il  est  ainsi  algél)ii<iuement,  et  alors  l'intégrale  s'obtiiînt  elle-même  algébri- 
quement, ou  bien  ré(|uation  s'intègre  par  deux  quadratures. 

Dans  tous  les  cas,  on  sait  reconnaître  si  l'intégrale  de  (1)  ne  prend  qu'un 
nombre  donné  n  de  valeurs  autour  des  points  crili(iues  mobiles;  l'équation  se 
ramène  alors,  dans  l'iiypotlièsc  la  plus  défavorable,  aux  équations  linéaires. 

Kocli  (//.  von).  —   Sur  les   équations   différentielles  linéaires  à 
coeificients  rationnels.  (qi-qS). 

L'auteur  fait  connaître  deux  théorèmes  dont  l'objet  est  de  répondre  dans  une 
certaine  mesure  à  ces  deux  questions  : 

1°  Quelles  sont  les  conditions  pour  qu'une  équation  linéaire  et  homogène  à 
coefficients  rationnels  admette  des  intégrales  uniformes  dans  le  voisinage  d'un 
point  singulier  donné? 

2°  Quelles  sont  les  conditions  pour  qu'elle  admette  des  intégrales  régulières 
dans  le  voisinage  d'un  point  singulier  donné? 

Painlevé.  —  Sur  les  équations  différentielles  d'ordre  supérieur 
dont  l'intégrale  n'admet  qu'un  nombre  donné  de  déterminations. 

(173-175). 

Etant  donnée  une  équation  du  second  ordre 

(0  f(.37,  y,  y',  y  )  =  0, 

algébrique  en  y,  y',  y",  M.  Painlevé  se  propose  de  reconnaître  si  l'intégrale 
générale  j(  a;)  de  cette  équation  ne  prend  qu'un  nombre  donné  n  de  valeurs 
autour  des  points  critiques  (en  admettant  que  cette  intégrale  dépende  algébri- 
quement des  constantes  jKo>  Jo  )•  I^  montre  que  ce  problème  peut  toujours  être 
résolu  par  les  calculs  purement  algébriques. 

Mais  quelles  opérations  exige  alors  la  détermination  de  cette  intégrale?  Pour 
le  voir,  on  commencera  par  ramener  l'équation  (i)  à  une  équation  dont  les 
points  critiques  sont  fixes,  en  substituant  à  y  une  fonction  rationnelle  de  y,jK', 
y",  soit  v{^,y  y\y"^.  Soit  S  la  surface  définie  par  la  nouvelle  équation 

entre  /•,  /■',  /•"  quand  x  est  constant.  Voici  les  cas  qui   peuvent  se  présenter   : 

i°La  surface  S  n'admet  qu'un  nombre  fini  de  transformations  biralionnclles 
en  ollc-mème.  L'équation  s  intègre  algébriquement; 


lOî  SECOND  H   PARTI  H. 

2°  S  admet  un  faisceau  continu  de  telles  transformations,  mais  le  genre  a 
de  S  est  plus  grand  que  i.  L'équation  s'intègre  par  une  quadrature; 

3°  Les  coordonnées  de  S  sont  des  fonctions  uniformes  à  (jualre  périodes  de 
deux  paramètres  (c7  =  i).  V équation  s'intègre  par  quadratures  (Picard); 

4°  Les  coordonnées  de  S  s'expriment  rationnellement  en  fonction  de  a,  v^li  ()v), 
[x,  yR'([x),  R  et  IV  désignant  deux  polynômes  du  quatrième  degré  en  a  et 
jx(cj  =  i).  V équation  s'intègre  à  Vaide  de  deux  quadratures  ; 

5°  Les  coordonnées  de  S  s'expriment  en  fonction  uniforme  de  a,  v/K()v)  et 
(i(njiiio).  L'équation  se  ramène  par  une  quadrature  à  une  équation  de  liiccati; 

6°  La  surface  est  unicursaie.  Une  transformation  algébri(jiie  ramène  (i')  à 
une  équation  linéaire  homogène  du  troisième  ordre. 

Ces  conclusions  s'étendent  à  une  équation  différentielle  d'ordre  quelconque  : 
on  sait  reconnaître  si  l'intégrale  ne  prend  qu'un  nombre  connu  n  de  valeurs 
autour  des  points  critiques  mobiles  ( et  dépend  algébriquement  des  constantes)  : 
Péquation  s'intègre  alors  algébriquement,  ou  par  quadratures,  ou  se  ramène 
aux  équations  linéaires  du  troisième  ordre. 

Cels.  —  Stirles  équations  différentielles  linéaires  ordinaires.  (176- 

.78). 

M.  Cels  détermine  les  éléments  d'une  équation  linéaire 
d"z  d"-'z  dz 

«„  —, -k-  «,  -; -r- .  .  .  4-  «,.     ,  -; 'v  ff,.  C  =  0, 

"  dx"  '  dx"-'  "-'  dx 

qui  ne  varient  pas  quand  on  passe  de  cette  équation  à  son  adjointe  de  Lagrange. 

Les  expressions 

da^ 

dx  ' 

j .  -2         dx^  dx 

n(n  —  i)(/i  — o)  d^a„        (n  —  \)(n  —  2)  d-a,       ,  .  da, 

1.2.3  dx'  1.2  dx'  dx 

changent  alors  de  signe  sans  changer  de  valeur. 

Ces  invariants  égalés  à  zéro  donnent  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes 
pour  qu'une  équation  soit  équivalente  à  son  adjointe  de  Lagrange. 

L'auteur  indique  ensuite  les  invariants  relatifs  à  Vadjointc  de  la  première 
ligne.  Ce  sont 

da,,  (n  —i)(n  —  2)  da^ 

^'^-^^^-^«■'    -. ^''-'^7Û 

Ces  expressions  ne  changent  pas  quand  on  passe  d'une  équation  d'ordre  pair  à 
son  adjointe  dé  la  première  ligne,  et  changent  seulement  de  signe  quand  l'équa- 
tion est  d'ordre  impair. 

Koc/i  (fJ.  'von).   —    Sur  les   .systèmes  d'équalions  (liffé)cnliel!es 
linéaires  du  piemier  ordre.  (ïyO-i^')- 


UHVUK    l)l-:S   PUliMCA  I  IONS.  lO'i 

\'a\  \  lie  (Iti  iitlifi'  les  sysl  t'iiu's  <r(''(|ii;it  ions  liii(';iiiis  du  pictii  itf  otdic  à  cocfli- 
ciciils  aii;ilvli(nu;s,  r;iiiloiir  cIutcIic  un  ciilcrinui  <lc  convergence  des  diUeiini- 
iianls  iniiiiis. 

Soil     A,(i('./'  ~  —  X,  .,.,-l-x)    une     doulde    infiiiih'    de    (|uanlil('s    données. 

Supposons  (|ue  le  [)i<)(lnil 

II  =  II,  A,, 

soit  ahsoluinenl  convergent,  et  formons  une  inlinité  de  produits  nouveaux 
en  permutant  dans  II  les  premiers  (ou  seconds)  indices  des  facteurs  A-- de 
toutes  les  manières  possibles;  formons  enfin  av(;c  tous  ces  produits  une  série 
infinie,  en  prenant  chacun  d'eux  avec  le  sij^ne  +  ou  le  sif^ne  — ,  suivant  qu'il 
se  déduit  du  produit  initial  par  un  nombre  pair  ou  impair  de  transpf>sitions. 
Si  cette  série  i:(±n.A--)  a  une  valeur  finie  A  indépendante  de  l'ordre  des 
termes,  on  dira  que  le  déterininant  des  éléments  A.^  est  convergent  et  a  pour 
valeur  A. 

Pour  que  le  déterminant  des  A.,^  converge,  il  suffit  que  les  séries 

SjA.—  i!,     S..,1A,.A.,|,     i:,^,^,,,|A,,A^.,A,J 

soient  convergentes.  Cette  proposition  de  M.  von  Kocli  est  la  généralisation 
d'un  théorème  de  M.  Poincaré. 

En  prenant  cette  proposition  pour  point  de  départ,  on  peut  obtenir  la  repré- 
sentation analytique  des  intégrales  et  des  invariants  d'un  système  d'équations 
linéaires. 

Beltrami.  —  Sur  la  théorie  des  fonctions  sphériques.  (i8i-i83). 

De  Salvert.  —  Stir  tine  expression  explicite  de  l'intégrale  algé- 
brique d'un  système  hyperelliptiqiie.  (2/î3-246). 

Cette  question  d'analyse  est  abordée  incidemment  dans  les  Vorlesungen  icber 
Dynamik  de  Jacobi,  mais  elle  n'est  pas  résolue  complètement.  M.  de  Salvert 
en  donne  la  solution  complète  pour  le  cas  d'un  polynôme  de  degré  impair 
2/i  +  T  auquel  se   ramène,   par  un    procédé  bien   connu,  le  cas  du  degré  pair 

2/1  +  2. 

Demoulin.  —  Sur  une  généralisation  des  courbes  de  M.  Bertrand. 

(246-249). 

Une  courbe  F  étant  donnée,  M.  Demoulin  appelle  sécante  de  paramètres  a, 
p,  Y  toute  droite  s'appuyant  sur  la  courbe  en  un  certain  point  et  faisant,  avec 
la  tangente,  la  normale  principale  et  la  binormale  des  angles  de  cosinus  pro- 
portionnels à  a,  ^,  y, 

A  l'aide  de  cette  définition,  il  généralise  de  la  manière  suivante  les  courbes 
de  M.  Bertrand  : 

a,  p,  y  étant  trois  constantes,  trouver  une  courbe  F  dont  les  sécantes  de  pa- 
ramètres a,  p,  y  soient  en  même  temps  les  sécantes  de  mêmes  paramètres  dune 
autre  courbe  F'. 

Si  l'on  appelle  /•  et  p  la  courbure  et  la  torsion  au  point  0  de  la  courbe  F. 
et  /  la  distance  du  point  O  au  point  correspondant  0'  de  la  courbe  F',  le  pro- 
blènie  que  se  pose  M.  Demoulin  est  d'exprimer  /•.  /),  I  m  fonction  de  l'arc  .9  de 


r:iG  SECONDK   PARTIE. 

la  courbe  F.  Ce  problème,  il  le  rcsoiiL  dans  le  cas  où  les  sécanlcs  sont:  i°  dans 
le  plan  normal;  ■i"  dans  le  plan  reclifianl;  3°  dans  le  plan  osculaleur. 

Bliitel.  —  Sur  les  surfaces  qui  admettent  un  système  de  lignes 
de  courbure  sphériques  et  qui  ont  même  représentation  sphé- 
rique  pour  leurs  lignes  de  courbure.  (249-250). 

Si  l'on  suppose  connue  l'une  de  ces  surfaces  (S,),  toutes  les  surfaces  corres- 
pondantes (S)  peuvent  s'en  déduire  au  moyen  de  la  propriété  suivante  : 

Les  dcvclopf)ablcs  normales  à  (S)  et  (S,)  le  long  de  deux  lignes  de  cour- 
bure sphériques  correspondantes  (C)  et  (CJ  sont  homolhétiqucs. 

Si  l'on  appelle  O  et  O,  les  centres  des  sphères  qui  renferment  (C)  et  (C,), 
le  centre  d'homothétie  lest  placé  sur  la  droite  00,  et  le  rapport  d'homothétie 

est  égal  à  —,-  Les  deux  courbes  décrites  par  les  centres  des  sphères  ont  leurs 

tangentes  parallèles  aux  points  O  et  O,,  et  la  droite  00,  engendre  une  déve- 
loppable  dont  l'arète'îie  rebroussement  est  le  lieu  du  point  L 

Cette  propriété  est  susceptible  de  nombreuses  applications.  M.  Blutel  indique 
la  suivante  : 

Si  une  surface  (S,)  admet  un  système  de  lignes  de  courbure  sphériques  dont 
une  est  algébrique,  toutes  sont  algébriques. 

Il  en  est  de  même  pour  les  lignes  de  courbure  sphériques  de  toutes  les  sur- 
faces (S)  qui  ont  avec  (S,)  même  représentation  sphérique  de  leurs  lignes  de 
courbure. 

Picard.  —  Sur  un  nombre  invariant  dans  la  théorie  des  surfaces 
algébriques.  (286-287). 

Différents  nombres  entiers  jouissant  d'un  caractère  d'invariance  pour  les 
surfaces  d'une  même  classe  (c'est-à-dire  transformables  les  unes  dans  les  autres 
par  une  substitution  birationnclle)  ont  été  introduits  dans  la  théorie  des  sur- 
faces algébriques  par  M.  Picard  et  par  M.  Nôther. 

INL  Picard  signale  un  nouvel  invariant  auquel  il  parvient  par  les  considéra- 
tions suivantes  : 

Prenant  une  surface  algébrique 

f{x,  y,  z)  =  0, 

il  considère  deux  fonctions  rationnelles  F  et  4>  de  x,  y,  z  et  forme  les  deux 
équations 

¥{x,  y,  z)=^  u,        'l^ix,  y,  z)=v. 

Si  l'on  veut  pouvoir  choisir  les  fonctions  F  et  ^l»  de  manière  que,  pour  un 
système  particulier  de  u  et  v,  les  ix  points  de  la  surface  /  déterminés  par  ces 
deux  équations  soient  arbitrairement  donnés  sur  /,  le  nombre  \x.  aura  un  cer- 
tain minimum  p  H-  i . 

Le  nombre  0  est  l'invariant  annoncé. 

La  condition  0  =  0  exprime  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'une 
surface  suil  uniformément  unicursalc. 


KHVUI-:   DILS   PUin.ICATIONS.  i57 

De  Sahcrt.  —  Sur  iino  forme  explicite  des  formules  d'addilicjn 
dos  foiiclious  liyperelli|)li(|ucs  les  plus  f^énérales.  (3o4-)07). 

Stofiff.   —   Sur   les   lois  (\c  réciprocité  et  les   sous-groupes    du 
groupe  ;irillimélicpi(;.  (3()(S). 

I"  On  pcuL  (léliiiir  un  sous-groupc  1{  du  groupe  arithmétique  de  la  manière 
suivante  : 

Tour  ({u'unc  substilulinn  à  coefficients  entiers  réels,  du  déterminant  i,  ap- 
partienne au  groupe  H,  il  faut  et  il  suffit  que 

p  =  o        (modg), 

et  qu'en  prenant  au  hasard  un  système  de  deux  nombres  complexes 

3{a  -i-  bp).        c  -+-  dp, 
p5=i,        a  — 2E=:6  — inHC^o?  — I         (mod3), 
on  ait 

r  3a(a  +  6p)+i3(c4-e/p)  If  3(a  +  6)p  1  _ 
L3y(rt  +  ^p)+S(c  +  t/p)J'~L     c  -h  dp     J 

2°  On  peut  définir  ainsi  qu'il  suit  un  sous-groupe  r"  du  groupe  arithmétique  : 
Pour  qu'une  substitution  s  appartienne  au  groupe  F",  il  faut  et  il  suffit  que 

a  —  i^ô  =  i=jâ  =  y         (  mod  /j  ) , 

et  de  plus,  qu'en  choisissant  arbitrairement  un  système  de  deux  entiers  com- 
plexes 

2(a  +  6i),        c -{- di, 
tels  que 

a=i,        b^^i,        c  =  0,        d^i        (mod4), 
on  ait 

[2a(a  +  60+     '^{c-\-di),  ^^{a  +  bi)  +  c>{c  -\-  di)'\  =  [2{a  -\-  bi),  c -{- di], 
[2y  (a  -i-  di)  H-  2a  (a  +  bi),    2a(c  H-  di)  +  ^  (a  +  bi)]  =  [2  (a  +  bi),  c  -(-  di]. 

Ces  sous-groupes  sont  à  congruences. 

Painlevé.  —  Sur  les  singularités  essentielles  des  équations  diffé- 
rentielles d'ordre  supérieur.  (302-365). 

L'auteur  fait  une  importante  distinction  entre  les  points  singuliers  non  algé- 
briques x^  d'une  fonction  analytique  y{x)  ;  ces  points  sont  transcendants  ou 
essentiels  suivant  que  y  tend  ou  non  vers  une  valeur  déterminée  quand  x  tend 
vers  x^  par  un  chemin  quelconque,  mais  sans  tourner  autour  d'un  point  cri- 
tique de  y. 

L'intégrale  d'une  équation  du  second  ordre 

(i)  V{x,  y,  y\  y")-o, 

algébrique  en  x,  y,  y',  y",  admet  en  général  des  points  transcendants  mobiles. 


i58  SECONDE   PAUTIE. 

mais  elle  n'admet  pas  en  général  de  ]>oinls  essentiels  mobiles.  G'esl  là  un 
résultat  inattendu  (jui  résulte  tlu  tliéoi-éine  suivant  : 

Soit  'è{x,y,y')  —  o  la  condition  pour  qu'une  valeur  de  y"  devienne  in- 
finie ou  pour  que  deux  valeurs  dey"  se  permutent.  Si  l'intégrale  de  (i)  a  des 
points  essentiels  mobiles  : 

1°  Le  polynôme  S  contient  un  facteur  de  la  forme  S,  (a:,  y)  où  y  figure; 

2"  L'équation  (i),  où  l'on  regarde  x  comme  la  fonction,  admet,  quel  que 
soit  x^^,  l'intégrale  x  =  x^; 

3°  Si  le  point  arbitraire  ^,,  est  un  point  essentiel  dcy{x),  en  tout  pointer 
voisin  de  x^,  on  a  l'une  au  uioins  des  inégalités 


1S,(^,  r)l<s> 


<£, 


£  est  aussi  petit  qu'on  veut. 


INIais  ces  conditions  sont  loin  d'être  suffisantes  pour  qu'il  y  ait  des  points 
essentiels  mobiles.  Pour  qu'il  en  existe,  il  faut  encore  d'autres  conditions  en 
vertu  desquelles,  comme  dit  M.  Painlevé,  les  conditions  2°  et  3°  sont  vérifiées 
intrinsèquement  et  non  pas  seulement  en  apparence. 

Les  équations  (i)  se  trouvent  ainsi  réparties  en  deux  classes:  une  classe  gé- 
nérale et  une  classe  singulière. 

Si  l'équation  est  de  la  classe  générale,  l'intégrale  y{x)  di  ses  points  algé- 
briques fixes;  bien  plus,  elle  dépend  algébriquement  des  constantes  y^,  y'^.  On 
sait  reconnaître  si  elle  ne  prend  qu'un  nombre  donné  de  valeurs  autour  des 
points  critiques  mobiles  :  elle  s'intègre  alors  algébriquement  ou  par  quadrature, 
ou  se  ramène  à  une  équation  linéaire  du  troisième  ordre. 

Si  l'équation  (i)  est  de  la  classe  singulière,  l'intégrale  n'admet  pas  nécessaire- 
ment de  points  essentiels,  mais  c'est  toujours  une  fonction  transcendante  des 
constantes  y^,  y'^. 

Ces  conclusions  s'étendent  aux  équations  d^ordre  quelconque  :  une  telle  équa- 
tion n'admet  pas  en  général  de  points  essentiels  mobiles. 

Mais  des  complications  nouvelles  surgissent  dès  le  troisième  ordre.  Par 
exemple,  tandis  que,  pour  une  équation  du  second  ordre,  une  intégrale  qui  est 
uniforme  ou  qui  a  n  valeurs  n'a  jamais  de  ligne  singulière,  l'intégrale  d'une 
équation  du  troisième  ordre  peut  être  uniforme  et  présenter  des  lignes  singu- 
lières mobiles,  dans  le  voisinage  desquelles  elle  est  nécessairement  indéter- 
minée. ' 

Picard.  —   Remarque  sur  la  communication  précédente  (365). 

Kocli  (//.  von).  —   Sur  les  intégrales  uniformes  des  équations 
linéaires.  (365-368). 

Étant  donnée  une  équation  linéaire  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions 
uniformes  de  x,  quelles  sont  les  conditions  pour  qu'elle  admette  des  intégrales 
uniformes  dans  tout  le  plan?  C'est  là  un  problème  qui,  jusqu'ici,  même  dans 
l'hypothèse  de  coefficients  rationnels,  n'a  été  traité  que  dans  des  cas  particuliers. 
Grâce  à  la  théorie  des  déterminants  infinis,  dit  M.  Helgc  von  Koch,  on  peut  le 
résoudre  dans  toute  sa  irénéralité. 


lll{Vl]l<:    DliS    IMJHLICA  riONS.  i5.) 

ICii  rlVcl.  I'iiil('^'r;il<'   uiiiroriiif  sera   iK-ccssiiircinciit  de  Li  lorrric 


r.{x) 


2:  '^4-<^)■ 


(/,,  «j,  . . .,  a  (lésigiianL  les  poiiiLs  sinj^iilicrs,  cL  les  G  des  foncLions  ciiliéres.  lui 
substituant  cette  expression  dans  le  premier  membre  de  l'équation  diiïérentielle, 
on  obtient,  pour  la  détermination  des  coefficients  inconnus,  un  système,  géné- 
ralement inlini,  d'éciuations  linéaires  et  homogènes.  On  peut  s'arranger  de  façon 
([lie  le  déterminant  A  de  ce  système  soit  convergent.  Dès  lors  l'existence  de 
l'intégrale  9  s'exprime  par  la  seule  condition  A  =  o. 

Pour  qu'il  y  ait  un  nombre  donné  ^«.n)  d'intégrales  uniformes  dans  tout  le 
plan,  il  faut  et  il  suffit  que  A  et  tous  ses  mineurs  d'ordre  1,  ?.,  ...,  [i —  i 
soient  nuls,  ce  qui  s'exprime  par  un  nombre  fini  de  relations  entre  les  para- 
mètres. L'auteur  enseigne  à  former  ces  relations  dans  le  cas  où  les  coefficients 
de  l'équation  sont  rationnels,  et  ensuite  à  reconnaître  si  les  a,  qui  sont  les 
seuls  points  singuliers  possibles  des  9,  sont  des  pôles  ou  des  points  essentiels. 
La  représentation  analytique  des  intégrales  s'obtient  alors  immédiatement. 

La  méthode  indi(iuée  dans  cette  Communication  s'applique  d'ailleurs  à  des 
problèmes  plus  généraux. 

Amigues.  —  Généi*allsaLion  de  la  série  de  Lagrange.  (SGS-Syo). 

Riquier.  —  Sur  le  problème  général  de  l'intégration.  (426-427). 

P^ltant  donné  un  système  différentiel  dont  les  seconds  membres  sont  nuls  et 
les  premiers  holotropes  dans  quelque  système  de  cercles,  on  peut,  en  général,  le 
remplacer  par  un  second  système  admettant  les  mêmes  intégrales,  et  formé  de 
deux  groupes  d'équations  G,,  G^  qui  jouissent  des  deux  propriétés  suivantes  : 

1"  L'une  des  fonctions  inconnues,  a,  du  S3fstème  ne  se  trouve  plus  compliquée 
dans  le  groupe  G^; 

2°  En  substituant  aux  fonctions  restantes  des  intégrales  quelconques  du 
groupe  G,,  on  transforme  le  groupe  G,,  soit  en  une  formule  unique  exprimant 
directement  la  fonction  u  à  l'aide  des  variables  ^,  y,  ...,  soit  en  un  système 
harmonique  complètement  intégrable  à  la  seule  fonction  inconnue  u. 

En  raisonnant  de  la  même  manière  avec  le  système  Ç^  et  continuant  ainsi 
jusqu'à  épuisement  des  fonctions  inconnues,  on  pourra  donc  ramener  l'intégra- 
tion du  système  proposé  à  celle  de  systèmes  harmoniques  complètement  inté- 
grables,  d'ordres  égaux  ou  supérieurs  à  i,  et  n'impliquant  chacun  qu'une  seule 
fonction  inconnue. 

Vessiot.    —    Sur  certaines  équations  dilFérenti elles   du  premier 
ordre.  (427-429). 

Lorsque  l'intégrale  générale  d'une  équation  différentielle  du  premier  ordre 

-^  =  F(x,0 


iGo  SECONDE   PAUTIE. 

s'exprime  par  une  formule  connue 

X  "=  J  \X  ^^  .  .  . ,  .27„,   t,  tt), 

où  x^,  ...,  a;,,  sont  n  intégrales  particulières  quelconques  et  a  une  constante, 
l'intégration  de  cette  équation  se  ramène  à  celle  d'une  équation  de  Riccati  ou 
à  deux  quadratures. 

Amigiies.  —  Remarque  à  propos  d'une  précédcnLc  Noie  sur  une 
généralisation  de  la  série  deLagrangc.  (429). 

Picard.  —  Sur  une  équation  aux  dérivées  partielles.  (454-456). 

M.  Picard  a  montre  comment  les  problèmes  classiques  relatifs  aux  fonctions 
harmoniques  peuvent  être  également  résolus  pour  les  intégrales  de  l'équation 


(0 


ôx- 


d'u 
ôy 


-  =  A-e", 


non  seulement  lorsque  le  point  {x^  y)  est  supposé  se  mouvoir  sur  un  plan 
simple,  mais  encore  lorsqu'il  se  déplace  sur  une  surface  de  Ilicmann.  Il  s'était 
toutefois  borné  au  cas  d'une  surface  ouverte;  il  montre  aujourd'hui  comment 
on  peut  lever  les  difficultés  qui  subsistaient  pour  une  surface  fermée. 

Le  problème  à  résoudre  est  le  suivant  :  «  Démontrer  l'existence  d'une  solu- 
tion de  l'équation  (i),  fonction  bien  déterminée  de  x  et  jk  et,  en  général,  con- 
tinue, sauf  aux  points  O,,  O^,  . . . ,  0„  et  au  point  à  l'infini.  »  On  suppose  que, 
dans  le  voisinage  de  O,,  l'intégrale  puisse  se  mettre  sous  la  forme 


l^.log/- 


(/  =  I,  2,  . . .,  «), 


p.  étant  une  constante,  /v  la  distance  du  point  {x.,y)  au  point  O-,  et  la  fonc- 
tion V-  étant  continue  en  O,.  Môme  hypothèse  par  le  point  à  l'infini,  où  la 
fonction  doit  prendre  la  forme 

—  a  logr  +  V. 
On  suppose,  en  outre, 

p,->-2,       a>2,       an- p,-^;â.^-^...-^!â,^<  0. 
La  démonstration  repose  sur  un  emploi  convenable  du  procédé  alterne. 

Stœckel.  —  Sur  une  classe  de  problèmes  de  Dynamique.  (4^5- 

487). 

Soient  ^,,  q ^,  ....  7,,  les  variables  indépendantes  dont  dépend  la  position  d'un 
système  mobile  dont  les  points  ne  sont  soumis  qu'aux  forces  résultant  des 
liaisons;  soient  7', ,  7I,  ...,q'^  leurs  dérivées  par  rapport  au  temps,  et  2T  la 
force  vive  définie  par  la  formule 


(A-,  X  =  1,  2, 


n). 


KI'VLIK    l)I<:s   l'UHLlCA  1  IONS.  lOi 

L';iiil(Mir  suppose  (|n('  l:i  foniic  (]n;i(!r;il  i(|iir  de  did'i  rrnl  icilcs 

K.  >, 
•  dit  ri'diicl  il)|i>  :'i   lit  loriiir 

fi 

V    '•'    /  • 


'■Pi.a'K.a  O^  =  ',   ^,    ...,  /O 


OÙ  <t>  ost   l(>  (l('loiritiii;iiil 

u 

A -1 

de  n-  fonclioiis  -^j  \{f]i,)  <l(.iil  cliiicinic  ne  clt'pend  (|iio  de  l'ai-gunionl  mis  en  évi- 
dence. 

Dans  ces  conditions,  les  équations  difTércnLiclIes  du  mouvement  admettent, 
outre  l'intégrale  des  forces  vives,  n—\  autres  intégrales  homogènes  et  du 
second  degré  par  rapport  aux  vitesses,  savoir 

n 

OÙ  a,,  a^,  ...,  a,,  sont  des  constantes  arbitraires. 

L'intégration  de  ces  équations  se  ramène  alors  aux  quadratures.  Liouville 
avait  déjà  démontré  un  cas  particulier  de  ce  théorème. 

GulcIiarcL    —   Sur  les  surfaces  dont  les  plans  principaux  sont 
équidistants  d'un  point  fixe.  (48^-489). 

M.  Guichard  établit  des  formules  qui  relient  à  la  théorie  des  surfaces  à  cour- 
bure constante  celle  des  surfaces  S  dont  les  plans  principaux  sont  à  égale 
distance  d'un  point  fixe. 

De  ces  formules  résulte  une  transformation  des  surfaces  S. 

On   abaisse   de  O   la   perpendiculaire  OP   sur  une  normale  N  à  S.  On  prend 

surOP  un  point  P'  tel  que  OP' =  ".  On  fait  tourner  P'  de  90"  autour  de  la 

droite  N'  parallèle  à  N  menée  par  O,  ce  qui  amène  P'  en  P,.  Par  P  on  mène  la 
parallèle  N,  à  N;  les  droites  N,  sont  normales  à  des  surfaces  2  ayant  la  même 
propriété  que  S. 

On  peut  encore  transformer  les  surfaces  S  en  surfaces  de  même  nature  au 
moyen  d'une  inversion  par  rapport  au  pôle  O. 

Ces  deux  transformations  appliquées  aux  surfaces  S  reviennent  à  la  transfor- 
mation des  surfaces  à  courbure  constante  qui  est  due  à  1\I.  Bianchi. 

Calieii.  —  Sur  un  théorème  de  M.  Stieltjes.  (490). 

Le    nombre    des    nombres  premiers    compris   entre  x  et   {i-\-h)x,  quelque 
petite  que  soit  la  constante  /i,  va  en  croissant  indéfiniment  avec  x. 
Bull,  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  t.  XI\,  (Juillet  1895.)  R.i3 


i62  SECONDI<    PAUTIK. 

M.  Cahen  rnoiilre  que  ce  théorème,  énoncé  seulement  par  M.  Slieltjes,  se  dé- 
duit très  facilement  de  ce  théorème  d'Halphen  : 

«  La  somme  des  logarithmes  des  nombres  premiers  qui  ne  dépassent  pas  x 
est  asymptotique  à  x.  » 

Vascliy.  —   Intégration  des  systèmes  d'équations  différentielles 
linéaires  à  coefficients  constants.  (491-493). 

L'auteur  indique    pour  l'intégration  de   ces  systèmes  une  règle  simple,  ana- 
logue à  la  règle  classique  de  résolution  des  équations  du  premier  degré. 

Weingarten,  —  Sur  une  équation   aux  différences  partielles  du 
second  ordre.  (493-490). 

L'équation  aux  dérivées  partielles  dont  s'occupe  M.  Weingarten  est 

dp'        ^'        ^  '  ôp  dq        ^'    Oq'  ' 

p  et  p'  désignant  les  rayons   de  courbure  principaux  d'une  surface,  p  el  q  les 
quantités 

^  =  -  (x^H- j'H- 5^),        p  —  xc -h yc'-{- zc", 


où  X,  y,  z  sont  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  point  de  la  surface,  c,  c',  c" 
les  coordonnées  de  sa  représentation  sphérique. 

Cette  équation  se  rencontre  dans  la  théorie  des  surfaces  applicables. 

En  cherchant  les  formes  particulières  de  la  fonction  9  de  /?  et  q^  pour  les- 
quelles l'intégration  soit  possible  par  la  méthode  des  caractéristiques,  l'auteur 
est  parvenu  aux  deux  propositions  que  voici  : 

1°  Si  l'un  des  deux  systèmes  de  caractéristiques  admet  deux  combinaisons 
intégrables,  l'autre  les  admet  également; 

2°  Pour  que  ce  cas  se  présente,  il  faut  et  il  suffit  que  l'expression  différen- 
tielle 

soit  réductible  à  la  forme 

[(a-f-  ?/•')  dv"^-^  r'  ds'], 

a  et  p  désignant  des  constantes  arbitraires.  (On  connaît  d'ailleurs  toutes  les 
surfaces  qui  admettent  cet  élément  linéaire.) 

Painlevé.  —   Sur  les   transcendantes  définies  par  les  équations 
différentielles  du  second  ordre.  (566-569). 

M.  Painlevé  rappelle  la  distinction  en  deux  classes  qu'il  a  faite  précédemment 
des  équations  du  second  ordre 

(1)  F(x,  >',  r'.  r")=  o. 


HKVUlt   ni'S  PUBLICATIONS.  iGÎ 

une  (\i\sse  générale  el  une  classe  singulière;  cette  dernirie  esl  formée  de  toutes 
les  équations  qui  vérifient  intrinsèquement  deux  certaines  conditions  né- 
cessaires, l'une  pour  (\uc  y{.x),  l'autre  pour  que  y'{x)  puissent  être  indéter- 
minées en  un  point  x  mobile. 

/Vcluellemcnt,  l'auteur  approfondit  le  cas  particulier  où  l'intégrale  y  (a;)  ne 
prend  que  n  valeui's  autour  des  points  criti(jues  niohiles.  Les  (;onditions  qui 
doivent  être  réalisées  intrinsèquement  pour  que  ré(|iiation  soit  de  la  classe 
singulière,  sont  alors  les  suivantes  : 

1°  Des  valeurs  de  y"  sont  infinies  ou  se  permutent,  quel  que  soit  y',  pour 
des  valeurs  x,  y  satisfaisant  à  une  relation  S^{x,  y)=  o  où  figure  y  ; 

2°  L'équation  (i),  où  x  est  regardée  comme  la  fonction,  admet,  quel  que 
soit  x^,  l'intégrale  x  —  x^. 

Cela  posé,  si  l'équaiion  (i)  est  de  la  classe  générale,  l'intégrale  y{x)  dépend 
algébriquement  des  constantes  j>^„,  y'^.  Si  l'équation  (i)  est  de  la  classe  singu- 
lière, y  est  une  fonction  transcendante  de  y^,  y\.  Mais  y  peut  être  fonction 
transcendante  d'une  seule  ou  des  deux  constantes  d'intégration.  Dans  le  premier 
cas,  l'équation  (  i)  se  ramène  à  une  équation  du  premier  ordre  algébrique  en  y,  y' 
et  dont  les  coefficients  sont  des  fonctions  de  x  qui  dépendent  d'une  équation  de 
Riccati.  Pour  que  l'intégrale  soit  une  transcendante  nouvelle,  il  faut  donc  qu'elle 
renferme  les  deux  constantes  d'une  façon  transcendante;  cette  condition  n'est 
d'ailleurs  pas  suffisante. 

M.  Painlevé  insiste,  en  terminant,  sur  les  équations  du  second  ordre  à  points 
critiques  fixes.  Quand  l'équation  est  de  classe  singulière,  les  conditions  suffi- 
santes pour  que  les  points  critiques  soient  fixes  sont,  en  général,  des  conditions 
transcendantes  propres  à  chaque  équation. 

Kœnigs.  —  Un  théorème  de  Géométrie  infinitésimale.  (Sb'g). 

Si  x^y,  z;  x' ,  y\  x;' sont  les  coordonnées  de  deux  points  correspondants  de 
deux  surfaces  applicables  l'une  sur  l'autre,  et  a,  v  les  paramètres  des  lignes  du 
réseau  conjugué  commun  aux  deux  surfaces,  les  six  fonctions  a?,  jk, -s  ;  x\  y\  z' 
vérifient  une  même  équation  aux  dérivées  partielles  de  Laplace 

a  — — h  r>  —  =0. 


Ou  ôv  Ou  Ov 

L'expression 

^'  +  y'  +  2=  —  x'^  —  y''  —  z'^ 

est  une  septième  solution  de  cette  équation. 

Denioulin.  —  Sur  la  correspondance  par  orlhogonalilé  des  élé-- 
ments.  (682-683). 

Deux  surfaces  S  et  S,  se  correspondent  par  orthogonalité  des  éléments 
lorsqu'on  peut  établir  entre  les  points  M  de  la  surface  S  et  les  points  M,  de  la 
surface  S,  une  relation  telle  qu'à  un  élément  MM'  de  S  il  corresponde  sur  S 
un  élément  M, M',  perpendiculaire  à  MM'. 

M.  Darboux  a  fait  ressortir  l'importance  de  celte  correspondance,  imaginée 
par  M.  Moutard,  en   montrant  que   le  problème  de  la   déformation   infinimeint. 


lOî 


SIU'.ONDK  PAU  II  K. 


pt-lilc  (l'une  suiface    S    reviriil  à  la  (lélt-imiiialiori  df  toiiles  Ips  surfaces  S,  qui 
correspondent  à  S  par  ortlioi;onalilé  des  éléinenls. 

M.  Demoulin  fait  connaître  une  nouvelle  nu-lMode  pour  traiter  ce  dernier  pro- 
blème. 

Padé.  —  Sur  la  possibilih'  de  (léfhiir  uik;  foncllon  par  une  série 
entière  divergente.  (686-687). 

Quand  on  sait  obtenir  toutes  les  fractions  rationnelles  approchées  d'une  fonc- 
tion, ces  fractions  forment,  comme  on  sait,  une  suite  à  double  entrée;  de  celte 
suite  on  peut  extraire,  par  l'application  d'une  même  loi,  une  infinité  de  suites 
à  simple  entrée  telles  que  toutes  les  fractions  d'une  même  suite  soient  les  ré- 
duites successives  d'une  fraction  continue  simple;  l'une  de  ces  fractions  con- 
tinues simples,  celle  d'Euler,  a  pour  réduite  les  polynômes  successifs  du  déve- 
loppement en  série  de  la  fonction. 

Or,  de  ces  fractions  continues  simples,  les  unes  peuvent  être  divergentes,  les 
autres  convergentes;  en  particulier,  la  série  peut  être  convergente  ou  divergente. 

Le  premier  exemple  de  cette  proposition  générale -avait  été  donné  par  La- 
guerre,  le  second  par  Halphen. 

Vallier.  —  Sur  Ja  représentation  approchée  des  fonctions  exf)éri- 
mentales  enlre  des  limites  données,  (y  I'à--  i/^). 

Pour  représenter  avec  l'écart  minimum  une  fonction  'ç  entre  les  limites  o 
et  I,  il  convient  de  déterminer  les  paramètres  de  l'expression  analytique  y  qui 
doit  lui  être  substituée  par  une  série  d'équations 


r,=  0' 


?.-r.=  ^>. 


rn  —  rn=  O) 


où  a:,,  x.^,  ...,  a7„  sont  les  racines  du  polynôme  /(.r)  de  degré  n  qui  s'annule 
pour  J7  =  o  et  qui  s'écarte  le  moins  de  zéro  dans  l'intervalle  de  o  à  i;  ces  ra- 
cines sont  données  par  la  formule  générale 


cos  —  -t-  cos  (2/1"  H-  I  )  — 
n  J.n 


X  — 


(A  -  o,  I,  ■?.,  ...,/?  —  i). 


I  -h  cos 


211 


On  devra  déterminer,  suivant  les  cas,  par  le  calcul  ou  par  l'expérience,  les 
valeurs  de  9  correspondant  à  ces  racines. 

Il  peut  arriver  que  la  valeur  initiale  soit  connue  avec  une  approximation 
très  supérieure  à  celle  que  comportent  les  autres  déterminations.  L'auteur 
montre  comment  on  peut  donner  à  cette  valeur  initiale  un  poids  supérieur  en 
astreignant /(o;)  à  admettre  .r  =  0  comme  racine  double. 

Carlan.  —  Sur  la  structure  des  i^roupes  simples  finis  et  continus. 

(784-786). 

AL  Lie  a  donné  une  détermination  complète  de  tous  les  groupes  simples 
fl'ordre  /•.  dont  les  plus  grands  sous-groupes  sont  d'ordre  /'  —  i,  /'—  2  ou  /•  —  3. 
II    a   do  plus  indiqué  quatre  grandes  classes  de  groupes  simples  :   le  groupe 


urvup:  diîs  publications.  iGr> 

piiticclif  i;fii('T,iI  ;i  n  vari;il)lcs,  le  ^roiipn  d'un  coiiiidcxc  linc-airc  ù  2  n  H- i  va- 
riables, cl  ciiliii  le  groupe  niojcrlif  (rime  surface  (lu  secoïKJ  ordre  à  2/i  cX->.n-\-i 
variables. 

M.  Killinj;  a  moulrt-  depuis  ([lie.  à  pari  ces /y^/Yt^/r  grandes  classes  de  groupes 
>iinples,  il  n'y  a  (jiie  ciiKj  groupes  simples  (jui  onl  i-espeeLivemenL  i/|,  5?.,  7S, 
i33,  j'iH  parainc;Lrcs. 

Malheurcuscmenl,  dit  M.  Carlan,  les  consid(3ialions  ciiii  ronduisetiL  M.  Killiiig 
à  ces  résultais  inauquenl  die  rigueur.  y\yaiiL  repris  (;es  rcelierclies,  M.  Cailaii 
esl  parvenu  à  établir  solidement  les  résultats  de  M.  Killing.  Il  a  dv,  plus  d»'-- 
lerniiné  contplètement  la  structure  des  cinq  groupes  cités  plus  haut.  Il  a  trouvé 
en  particulier  pour  le  groupe  à  quatorze  paraitièlres  deux  représentants  dans 
un  espace  à  cinq  dimensions. 

Le  premier  esl  le  plus  grand  groupe  continu  de  transformations  de  conlacl 
de  l'espace  ordinaire  qui  laisse  invariant  le  système  des  deux  é(iuations  aux 
dérivées  partielles  du  deuxième  ordre 

4 
/•  =  ^  t\         s  ^  V. 

Le  second  est  le  plus  grand  groupe  continu  de  l'espace  à  cinq  dimensions 
qui  laisse  invariant  le  système  des  équations  de  Pfall" 

dx.,  —  x^  dx^  —  o,        dx ^  —  X ,  dx^  —  0,        dx.^  —  x ^  dx.,  =  0. 
Engel.  —  Sur   un  groupe  simple  à  cpialorze  paramètres.  (786- 

788). 

En  déterminant  la  structure  du  groupe  simple  à  quatorze  paramètres,  M.  Killing 
n'avait  montré  aucun  groupe  ayant  cette  structure.  INI.  Kngcl  rappelle  qu'il  a 
comblé  cette  lacune  il  y  a  plusieurs  années. 

Il  a  montré  que,  dans  l'espace  à  cinq  dimensions,  il  y  a  deux  groupes  de 
transformations  partielles  à  quatorze  paramètres  qui  ont  la  structure  en  ques- 
tion. L'un  de  ces  groupes,  le  groupe  G,,,  laisse  invariante  une  équation  de 
PfafT;  il  peut  être  choisi  de  manière  à  constituer  un  groupe  irréductible  de 
transformations  de  contact  de  l'espace  ordinaire.  L'autre,  le  groupe  G',^,  laisse 
invariants  deux  systèmes  d'équations  de  PfafV. 

Par  une  transformation  de  contact  qui  rappelle  la  transformation  célèbre  de 
M.  Lie,  le  groupe  G,,  devient  semblable  au  groupe  GJ^. 

Quant  au  groupe  G',4,  il  peut  être  transformé  en  un  sous-groupe  du  groupe 
des  transformations  conformes  de  l'espace  à  cinq  dimensions. 

J/unvitz.  —  Démonslralion  de  la   Li\anscenclance  du   nombre  e. 

(788-789). 

Celte  démonstration  présente  un  caractère  de  simplicité  remar(|uablo. 
Si  l'on  pose 

f{x)=  — J7/'-'  (1  —  x)y{?.  —  x)i'.  ..(/>  —  x)r 

(  /^  —  •  ) 
et 

r(x)=/(^>)H-/'(,r)-;-/"(x)-i-...-f-/-">(^-), 


le  tliéoromc  des  accroisseinenls  finis  appliqué  à  la  fonclion  e  •'  F(x)  entre  les 
limites  o  et  x  montre  ([ue  la  (liiïéreiice  F  (x)  —  e"^  F(o)  est  infiniment  petite 
quand  p  est  infiniment  grand. 

De  là  il  résulte  (|uc,  si  c  était  racine  d'une  é(|uati()n  à  coefficients  entiers, 

Cj,-HC,e  -H  (l,e'-t-. ..-+-  G,.e"—  0, 
on  aurait,  l()r>(|ue  p  dépasse  une  certaine  limite, 

(M«'(o)+  C,  F(i)  +  ...-hC,.F(/0="i 

égalité  contradictoire,  car  tous  les  termes  du  premier  membre  sont  divisibles 
par  /?,  excepté  le  premier. 

JUquier.  —  Sur  la  rédticLion  d  un  syslènie  difrérenliel  quel- 
conque à  une  forme  linéaire  et  complèlenienl  inlégrable  du 
premier  oi'dre.  (8G6-867). 

On  peut  ramener,  dit  l'auteur,  un  système  harmonique  et  complètement  in- 
légrable, d'ordre  supérieur  à  i,  à  un  système  harmonique  et  complètement  in- 
légrable du  premier  ordre. 

D'ailleurs  tout  système  liarmoniquc  et  complètement  inlégrable  du  premier 
ordre  est  réductible  à  un  système  de  même  nature,  possédant,  en  outre,  la 
forme  linéaire  par  rapport  aux  dérivées  des  fonctions  inconnues. 

De  cette  proposition  et  d'un  théorème  précédemment  démontré  par  M.  Riquier, 
il  résulte  que  l'intégration  des  systèmes  difTérentiels  quelconques  se  ramène  à 
celle  de  systèmes  linéaires  et  complètement  intégrables  du  premier  ordre. 

Gyldén.  —  Sur  un  cas  général  où  le  problème  de  la  rotation  d'un 
corps  solide  admet  des  Intégrales  uniformes.  (942-940). 

L'auteur  intègre,  dan?  un  cas  très  étendu,  les  (:{[ualions  simultanées 

K^P       ,n       T>^  sine?  /()U    ,  ()U\  d\} 

A-^^-+(C-R)^/-=^^(^-f-cosO---j-cos.-^., 

B^+(C-A);.,-=^-^(^(%cosO^)+sin.^,^, 


\)pq  = 

dt 

=  7 

sin 

r 

^  p  cos  9 

dt 

-  q 

cos 

? 

—  p  sin  0 

dt 

=  r 

-!-  { 

os 

dt 

intégrées  dans  un  cas  particulier  par  >J.  Tisserand,  qui  les  a   introduites  dans 
la  théorie  de  la  précession  des  équinoxes. 

En  supposant  que  \  est  égal  à  B  et  (]ue  la  loiiction  des  forces  l'  est  une  série 
rnlière  en    cosO.  M.  (lylilcn    n'iissil   à   exprimer  cosO  par  une  série  périodique 


KlîlVnK    DES   PUBLICATIONS.  167 

par  r.ip|)(>rl  au  Icinps.  I)at»s  le  cas  où  U  est  un  polynôme  en  cosO,  ce  cosinus 
peut  s'exprimer  en  l'onrlion  elliptique  ou   liypeielliptif|uc  du  temps, 

I/auleur  se  propose  «le  clicrcher  à  quel  problème  de  Mécanique  correspond 
une  telle  expression  de  la  fonction  des  forces. 

l'cssiot.  —  Sur  une  classe  d'rqiialions  dinercnliellcs.  (909-961). 

M.  Vessiot  s'occupe  des  écjuations  du  second  ordre 

(i)  x"-  F{x,  x\  t), 

dont  rinté^rale  jîénéraie  s'exprime  en  fonction  d'intégrales  particulières  x,, 
x^,  ...,  x„  par  une  formule  connue  ou  inconnue,  mais  dont  la  forme  ne  dé- 
pende pas  de  ces  intégrales  i)articulières 

(2)  x=/(a7,,  ^;,  ...  .r,.,  <!«,  6). 

On  en  déduit  pour  x',  en  tenant  compte  de  (i),  une  formule  analogue 
(  3  )  x'=  g{x^,  x\,  ...,  x„,  x'Ja,  b). 

En  se  bornant  au  cas  où  t  ne  figure  explicitement  dans  aucune  des  formules 
(2)  et  (3),  M.  Vessiot  montre  que  toute  équation  de  la  classe  considérée  se 
ramène  à  une  équation  linéaire  sans  second  membre  ou  avec  second  membre, 
ou  à  une  é((uation  de  la  forme 

x"  +  3 xx'  -\-  x^-h  Z\{x' -^-  x^)-\-  3  |xx  +  V  =  0, 

c'est-à-dire  ayant  pour  intégrales  les  dérivées  logarithmiques  des  intégrales 
d'une  équation  linéaire  homogène  du  troisième  ordre,  ou  s'abaisse  au  premier 
ordre,  par  une  transformation 

X  =  9(.r,  x'). 
Carton.  —  Sur  la  structure  des  gi^oupes  finis  et  continus.  (962- 

964). 

L'auteur  s'occupe  dans  cette  Note  de  la  structure  des  groupes  en  général. 
M.  Lie  a  partagé  les  groupes  en  deux  grandes  classes  :  les  groupes  intégrables 
et  les  groupes  non  intégrables.  M.  Killing  a  introduit  une  autre  classification 
des  groupes,  fondée  sur  le  rang  des  groupes,  c'est-à-dire  sur  le  nombre  des 
coefficients  indépendants  de  l'équation  caractéristique  de  ce  groupe. 

Étudiant  d'abord  le  cas  où  le  groupe  est /?a/-/ai^  (c'est-à-dire  esta  lui-même 
son  propre  dérivé)  et  où  toutes  les  racines  de  son  équation  caractéristique  sont 
simples,  M.  Killing  est  arrivé  à  trois  sortes  de  groupes  :  i"*  les  groupes  simples; 
2°  les  groupes  semi-simples,  formés  de  sous-groupes  invariants  simples  échan- 
geables entre  eux;  3°  des  groupes  formés  d'un  sous-groupe  simple  ou  semi- 
simple  et  d'un  sous-groupe  invariant  à  transformations  toutes  échangeables 
entre  elles. 

Par  des  considérations  qui  manquent  de  rigueur,  il  est  parvenu  à  ce  résultat 
général,  juste  néanmoins  :  Tout  groupe  non  intégrable  est  formé  d'un  sous- 
groupe  simple  ou  semi-simple  et  d'un  sous-groupe  invariant  intégrable. 


i68 


SECONDE  PARTIE. 


M.  CaiLan  a  repris  la  dérnonslration  de  ce  tliéorciiie  de  M.  Killing.  Il  en 
énonce  deux  autres  qui  lui  sont  cfiuivaients  : 

1°  Tout  groupe  qui  n'admet  pas  de  sous-groupe  invariant  intégrahie  esl 
simple  ou  semi-simple; 

2°  Si  l'on  considère  le  plus  grand  sous-groupe  invariant  iDti'grable  g  d'un 
groupe  G,  il  existe  un  sous-groupe  g'  qui  avec  g  complète  G. 

L'auteur  a  déduit  la  première  de  ces  propositions  de  cette  propriété  remar- 
quable du  coefiicient  de  w''-^  dans  l'équation  caractéristique  : 

Pour  qu'un  groupe  soit  intégrable,  il  faut  et  il  suffit  que  toutes  les  transfor- 
mations de  son  groupe  dérivé  annulent  ce  coefficient  de  t)'"'. 

La  considération  de  ce  même  coefficient  donne  immédiatement,  sans  résolu- 
lion  d'aucune  équation,  le  plus  grand  sous-groupe  invariant  intégrable  du 
groupe  donné. 

M.  Caitan  indique  en  terminant  un  résultat  qu'il  a  obtenu  relativement  à  la 
forme  comparée  des  équations  caractéristiques  d'un  grou[)e  G  et  de  son  groupe 
dérivé  G'. 

Guldberg.   —    Sur   les   équations   difrérentlelles    ordinaires   qui 
possèdent  un  système  fondamental  d'intégrales.  (964-965). 


Étant  donné  le  système  d'équations  différentielles  ordinaires 
dx. 


dt 


-   =   l\(^  -27,,    ...,    ^J, 


clx^ 
dt 


^\X  t,   -27,, 


•^-'Jt 


l'auteur  étudie  les  différents  cas  où   l'on  peut  exprimer  le  système  général  de 
solutions  X,,  ...,  ^„  par  ces  systèmes  particuliers  de  solutions 


(0 


.(-) 


X 


:•). 


X 


('") 


.('") 


et  n  constantes  arbitraires  a  par  des  formules  connues  ou  inconnues 

x^  =  f,{x['\  ...,x['J;  ...;  x['"\  ...,  x;l"^  ;  «„  ....  aj         (  t  =  i,  2,  . . . ,  //), 

qui  subsistent  lorsqu'on  y   remplace   les   solutions  (i)  par  nin  autres  solutions 
particulières  quelconques. 

C'est  la  généralisation  d'une  question  (jue  s'est  proposée  antérieurement 
M.  Vessiot. 

Kœnigs.  — Sur  la  réduction  du  [)roblèrne  des  tautoclirones  à  l'in- 
tégration d'une  équation  aux  dérivées  partielles  du  premier 
ordre  et  du  second  degré.  (965-968). 

AL  Kœnigs  rencontre  cette  équation  en  cherchant  les  surfaces  S  sur  lesquelles 
une  famille  donnée  de  surfaces  U(a7,  j',  z)  découpent  une  famille  de  courbes 
parallèles.  L'équation  différentielle  de  ces  surfaces  S  est 


(0 


d\\\ 

âz  ) 


]]  désignant   une  fonction  arbitraire  de  L. 


UKVUK    DMS   PUBLICATIONS. 


I  G() 


M.  |,i<'  ,i\;iil  <l<jà  si;;n;il('  les  ('•(|ii;ili()iis  do  la  foitiic  (i)  romnio  |)<)SS(;(lanl ,  à 
rc\(lii>i<»ii  lit;  loiilc  aiilrc,  la  piopricU-  (l'adiiicllrc  des  caracLcrislifjiics  f,'(;od('-- 
si(|tics. 

M.  KaMii;;s  rnoiilrr  (|ii'(ll»'s  l'ournissont,  la  SDJiiliuii  fjcnéraic  du  prohièrnc  des 
taiilochrones. 

Kn  elFel,  d'après  la  ihéorie  i^éiirrale  duc  à  Mongc,  loiile  inLé{,M-uie  de  l'é(iiia- 
tioii 


(2) 


dx'  H-  dy'  -\-  dz^  —    -r—  c/x  -H  --    dy  H-  -,--  dz]  =  o 
\ôx  ôy  oz        ' 


s'obtiendra  ou  pixMiaiil  sni-  nue  surface  inlégiale  de  (i)  la  courbe  enveloppe  K 
des  caracléristicjues.  Or  ces  courbes  K  sont  des  courbes  tantoclirones  pour  la 
force  dérivant  du  polenliel 

V  =  a-[ill% 

où  a,  |j  sont  deux  constantes  (|uelconqucs  dont  la  dernière  est  positive. 

Héciproqucment,  le  problème  des  lautochrones   pour  la  fonction  de  forces  V 
se  ramènera  à  l'ècjnation  (  •.>  )  où  Ton  fera 


„V^ 


V 


Dans  le  cas  où  la  fonction  II  ne  dépend  pas  de  z,  ré(|nation  (i)  n'est  autre 
que  celle  dont  la  mélliode  de  Jacobi  ferait  dépendie  le  pi-oblème  des  géodé- 
siques  sur  la  surface 

z  —  i\l(x,  y). 

On  voit  que,  si  l'on  connaît  les  géod(';siques  d'une  surface,  on  i)eut  en  déduire 
des  solutions,  avec  une  constante  arbitraire,  d'un  problème  de  tantoclirones. 

Picard.  —  Sur  l'e^qualion  A^^  =;  Ây^".  (ioi5-ioi-). 

M.  Picard  revient  sur  un  théorème  fondamental   relatif  à  l'éciualion 


d^  Il        à-  u 
dx'        ôy 


-=ke-        (A>o), 


qu'il  a  d(''jà  annoncé,   et  <[u'il   généralise  et  com[)lète  actuellement  de  la  façon 
suivante  : 

«  Il  existe  une  intégrale  de  cette  équation,  continue  sur  les  ni  feuillets  d'une 
surface  donnée  de  Kiemann,  sauf  en  certains  points  donnés  O,,  O,,  ...,  0„  de 
celte  surface,  et  aux  m  points  à  l'indni  sur  chacun  des  feuillets.  Dans  le  voi- 
sinage du  point  O,,  on  suppcjse  ((ue  l'on  ait 

U=   ?,l()g /■.-+-  V-  {iz=i,2,    ...,    Il), 

[i,  étant  une  constante,  /\  désignant  la  distance  d'un  point  {x,  y)  au  point  O- 
et  la  fonction  v^  étant  continue  en  O^. 

Pour  le  point  à  l'infini  sur  le  feuillet  de  rang  A,  on  imagine  que  l'on  fasse 
une  inversion  qui  le  ramène  à  distance  finie;  on  suppose  alors  que  l'on  ait  sur 


lyo  SECONDE  PARTIE. 

le   feuilkl  considéré,  tiaiis  le  voisinage  du  [)f)inl  liansforiné, 
u  =  aj,  log /•;  -I-  V\.         (  A-  r-  1 ,  2,  . . . ,  m  ), 

a^  désignant  une  ronstantc  cl  V^  étant  continue. 

Les  constantes  a  et  Ji  sont  données;  on  suppose  seulement  véiifiées  les  iné- 
galités 

p.>— 2,         a^>2, 

a,H-  a^-+-.  ..4-  a,„  4-  {i.H-  ?,,  +  ..  •+  P,.<  o. 

Gyldén.  —  Sur  un  cas  général  oii  le  problème  de  la  rotation  cl\in 
corps  solide  admet  des  intégrales  s'exprimant  au  moyen  de 
fonctions  uniformes.  (io28-io3i). 

GrAce  aux  résultats  obtenus  dans  sa  précédente  Communication,  M.  Gyldén 
parvient  à  résoudre  le  problème  du  mouvement  d'un  solide  de  révolution  ho- 
mogène suspendu  par  un  point  de  son  axe  et  attiré  par  un  point  extérieur  en 
raison  inverse  du  carré  de  la  distance. 

Si  p  désigne  la  densité,  l  la  constante  de  Tatlraction,  a,  e^,  e,,  ...,  e.,  les 
coefficients  du  développement  de  la  distance /•  d'un  point  de  la  surface  du  corps 
au  point  de  suspension 

/•  =  a  (  e^  -h  e,  cos  /  +  e^  cos'  '/+•••+  ^v  cos"' y  ) 

avec  la  condition 

IeJ-i-|eJ+...+  |e,J<i, 

on  a  pour  expression  de  la  fonction  des  forces 

J"+0 


P         ^   (  /J  -I-  3  )  (  2  /l  H-  1  )  \  p  /    ' 


X„  étant  un    polynôme  de  Legendre,  et  les  e|""* '^  des  fonctions  des  constantes 

Adam.  —  Sur  les  surfaces  isothermiques    à   lignes  de  courbure 
planes  dans  un  système  ou  dans  les  deux  systèmes.  (io36-io39). 

M.  Darboux  a  le  premier  résolu  le  problème  de  trouver  les  surfaces  isother- 
miques à  lignes  de  courbure  j)lanes  dans  un  système. 

En  général,  les  pians  des  lignes  de  courbure  de  ce  système  enveloppent  un 
cône. 

I'>n  s'attarliaiit  au  cas  particulier  oi'i  ce  cône  dégénère  en  un  cylindre, 
M.  Adam  est  parvenu  à  dégager  les  équations  des  surfaces  isothermiques  à  lignes 
de  courbure  [)lanes  dans  les  deux  systèmes,  et  celles  des  surfaces  à  courbure 
moyenne  constante  et  à  lignes  de  courbure  planes  dans  un  système. 

Les  seules  surfaces  isothermiques  à  lignes  de  courbure  planes  dans  les  deux 
systèmes  pour  lesquelles  les  plans  des  lignes  de  courbure  de  l'un  des  systèmes 
passent  par  une  droite  fixe  sont  les  cyclides  de  Dupin. 

Les  seules  surfaces  isothermiques  à  lignes  de  courbure  planes  dans  un  système 
pour  lesquelles  les  plans  de  ces  lignes  de  courbure  passent  par  une  droite  fixe 


Ul'VlJH   DHS  PUBIJCATIONS.  171 

font  les  surfaces  nui  ont  pour  C(|ualious 

sîn-?.aiv 


X  —  ai cosX 
Y  =  ai  sinX 

Z  =:« 


C06  .laiv  ■—  cos'i  au 
sin  laiv 


cos  1  aiv  —  cos  i  au 
sin  "y.  au 


cos  i  aiv  —  cos  V!  au 

ou  A  représente  une  fonction  queIeoiu|uc  de  v. 

Kn  ce  qui  concerne  les  surfaces  à  couibure  nnoyenne  conslanle,  l'auteur 
montre  que  les  plans  des  ligues  de  courbure  planes  enveloppent  nécessairement 
un  cylindre. 

Il  n'existe  pas  de  surfaces  à  courbure  moyenne  constante  difTérente  de  zéro 
dont  les  lignes  de  courbure  soient  planes  dans  les  deux  systèmes. 

Gordon.  —  Sur  la  transcendance  du  nombre  e  (io4o-io4i)- 

L'auteur  présente  une  démonstration  de  la  transcendance  du  nombre  e  dans 
laquelle  il  se  sert  uniquement  du  développement  en  série  qui  représente  ce 
nombre.  M.  Gordan  est  en  possession  d'une  démonstration  analogue  de  la 
transcendance  du  nombre  tt. 

Dradi.  —  Sur  une  application  de  la  tliéoric  des  groupes  de  Lie. 

(io4 1-1044  )• 

Soit  un  système  d'équations  dillérentielles  ou  d'équations  aux  dérivées  par- 
tielles définissant  p  fonctions  2,,  5,,,  ...,  2  de  n  variables  a:,,  x^,  ...,  x,^.  On 
suppose  que  la  solution  générale  de  ce  système  s'exprime  d'une  manière  déter- 
minée, toujours  la  même,  à  l'aide  d'un  nombre  fini  r  de  solutions  particulières 
quelconques  el  d'un  nombre  fini  k  de  constantes  arbitraires  c,,  ...,  c^  ou  de 
fonctions  arbitraires  9,,  cp,,  ...,  cpj.  d'arguments  déterminés. 

Si  l'on  veut  édifier  une  théorie  complète  de  la  détermination  du  système 
(3,,  ^^,  ...,  ^J,  il  est  nécessaire  de  substituer  à  la  recherche  de  la  solution 
générale  la  recherche,  éciuivalente  au  point  de  vue  de  la  difficulté,  des  r  solu- 
tions particulières 

(^,)  •••  1  -,,),)     •  •  •  ^     (  ^,)  •  •  •  '  2,J,-- 

Ce  second  problème  dé[)end  toujours  de  l'étude  d'un  groupe  qu'on  obtient  de 
la  manière  suivante  : 

On  écrit  les  égalités  qui  donnent  la  solution  générale  (z,,  ...,  z^,)  en  fonc- 
tion des  solutions  particulières,  et  l'on  y  remplace  successivement  :  au  premier 
membre  (c,,  ...,  z ^)  par  /•  nouveaux  systèmes  de  variables 

(z,, ...,  zj ,    (z.,  ...•  Z,),., 


an  second  membre  les  constantes  ou  les  fonctions  arbitraires  par  /•  nouveaux 
svstémes  de  constantes  ou  de  fonctions 


•>,'  --M  rJ-     •••'     (r, ?i).- 


\ji  SECONDK  PARTIE. 

Les  pr  égalilés  ainsi  obLenues  définissenl.  eiili('  Ils  pr  vuiiables  z  et  les  va- 
riables Z  lin  groupe  de  transformations,  qui  est  le  groupe  cherclié. 

Les  invariants  de  ce  groupe  fondanicntal  sont  des  fonctions  d'un  nombre 
limité  d'entre  eux,  et  qui  sont,  dans  le  cas  général,  les  seules  fonctions  que 
l'on  connaisse  sans  intégration  ou  résolution  d'équations.  Tout  abaissement  de 
la  difficulté  (lu  problème  se  traduit  par  la  connaissance  d'un  invariant  caracté- 
risti(jne  d'un  sous-groupe  du  groupe  fondamental,  et  ic'cij)roffuenient. 

L'auteur  indicpic  (|uel(|ues  exemples  où  les  considéiations  qui  précèdent 
trouvent  leur  appliration.  Un  des  plus  importants  est  celui  des  équations 
linéaires  aux  déi-ivées  partielles  du  premier  ordre  et  des  systèmes  complets  de 
telles  é(|uati()ns. 

Autnnne.  —  Sur  la  limitation  du  degré  pour  les  intégrales  algé- 
briques de  r(''Cjiialion  difïerentielle  dt;  premier  oi'dre.  (io45). 

L'auteur  établit  le  théorème  suivant,  énoncé  dans  la  terminologie  qui  lui  est 
liabituelle  : 

«  Le  degré /«  de  l'intégrante  algébrique  iiréductible  G,  située  sur  une  surface 
algébrique  V  de  degré  N,  est  limité  dès  qu'on  limite  le  degré  a  de  multiplicité 
sur  G  d'un  point  singulier  quelconque  de  F.   » 

Siniart.    —    Sur  un    théorème    relatif   à    la    transformation    des 
courbes  algébriques,  (lo/îy-iooo). 

I\L  N(")thcr  a  démontré  qu'on  peut  toujours,  par  une  transformation  Cremona, 
transformer  une  courbe  algébrique  quelconcjue  en  une  autre  n'ayant  que  des 
points  multiples  à  tangentes  distinctes.  Halphen  a  cherché  à  établir  qu'on  peut 
ramener  tous  les  points  multiples  à  être  des  points  doubles;  mais  sa  démon- 
stration est  peu  rigoureuse.  M.  Siniart  établit  ce  théorème  d'une  manière  qui 
le  met  à  l'abri  de  toute  objection. 

Goursat.  —  Sur  une  classe  de  problèmes  de  Dynamique.  (io5o- 
io5i). 

Soient  ^,,  ...,  q^^  les  variables  indépendantes  (|ui  déterminent  la  position 
d'un  système;  </',  ^i,  ...,  q\^  leurs  dérivées  par  rapport  au  temps;  <^  un  déter- 
minant de /i^  éléments  cp^.,  dans  lequel  tous  les  éléments  cp^.,,  ...,  cpn,,  de  la  A-^""' 
ligne  sont  fonctions  de  la  seule  variable  qj..  Kn  supposant  ce  déterminant  dé- 
veloppé suivant  les  éléments  de  la  première  colonne,  on  a 

Posant 

où  '1^-  est  une  fonction  de  q^  seulement,  M.  (joursal  envisage  un  problème  de 
Dynamicjue  où  la  force  vive  .^.T  et  la  fonction  des  lorces  li  ont  respccli\cuient 
pour  expressions 

\^ll  'il  '/II/ 

Alors  rc(iuatiitn  aux  déiivées  partielles  à  laquelle  conduit  la  méthode  de  Ja- 


in<:vi]i":  mis  pu  nu  cation  s.  i;:^ 

rnlii   .itliiicl    riiil('';;r;il('  <(mi|tIrU' 

V  =  -  a.  <  -1-  y^   I  V'n  «7?..  +•  •  •  +  «„  ?m  -*-  '1,  )  ^7.. 
/     i  ' 

a,  a  ,  ....  a,,  di-si j;n;iiiL  des  consLariLcs  aihiUaiiTs.  On  en  (h'duil  sans  difficulté 
les  écjualions  (In   uiouvernent. 

f.e  problème   résolu    [)ar  M.  Coursât    est    une    généralisation   de   la   question 
traitée  récemment  par  M.  Sliuckel  ;  ce  dernier  supposait  II  —  O. 

J'essiot.  —  Sur  une  classe  de  systèmes  d'éqiialions  différeDlielIes 
oi'diiiaires.  (i  i  i  :>-i  i  i  /( )• 

L'auteur  donne  la  forme  générale  des  systèmes   d'équations  diiïérentiellcs  à 
systèmes  fondamentaux  d'intégrales.  Voici  conimcnl  il  y  est  conduit  : 

L'intégrale  générale  d'un  tel  système  est  définie  par  les  équations  d'un  groupe 

(i)  a7,-/.(c,,  ...,  c,.:  a,,  ...,  rt,.)         (i  ^3  I,  2,  ...,  n). 

Les  écjualions  fondamentales  de  la  théorie  des  groupes  donnent  en  cd'et 


dx 
da 


-  =  2]  '^i'^^^^'  •••'  ^'"^^M^-^"  •••'  •^»)' 


d'où,  en  posant 

(2) 


7=1 


V^  da. 


/i^l 


on  conclut,  pour  les  équations  du  système  considéré 


(3) 


dx 
~dt 


.'•-  V6.(c)i,^.(^ ,-r,.), 


les  /■  transformations  infinitésimales 


\/=2^(-2^..---^,.)^     (y  =  ï'  2, 


/=i 


r), 


définissant  un  groupe  G  à  /•  paramètres.  De  plus,  dans  le  cas  présent,  G  est 
p  fois  transitif. 

On  peut  montrer  alors  que  les  a  s'expriment  en  fonction  de  /?/?  intégrales  de 
p  solutions  particulières  quelconques.  La  recherche  des  systèmes  d'équations  à 
systèmes  fondamentaux  est  donc  identique  à  la  détermination  d'une  classe  de 
groupes  de  transformation. 

Dans  le  cas  où  le  groupe  G  est  quelconriue.  le  système  (.î)  est  équivalent  à 
l'équation  uni([uc,  étudiée  par  S.  Lie, 


(1) 


^If 


:;Mv/)x,/  =  - 


y  =  i 


174 


SKCONDE  PAirrii:. 


M.  Vessiol  explique  comment  le  problème  de  linti-gralion  des  équations  telles 
que  (4  )  est  relié  à  la  structure  du  groupe  O. 

Schejffers.  —    Sur   la  généralisation    des    fonctions   analytiques. 
(1114-1  I  17). 

M.  Scheffcrs  rlierche  à  2;cnéraliser  la  théorie  des  fonctions  en  partant  d'un 
système  de  nombres  complexes.  Il  arrive  ainsi  à  une  classe  de  groupes  infinis, 
tous  contenus  d'ailleurs  dans  ceux  qu'a  trouvés  M.  Picard,  qui  s'est  déjà  posé 
la  même  question. 

L'auteur  prend  comme  point  de  départ  un  système  général  fie  nombres  com- 
plexes, composé  au  moyen  de  a  unités  irréductibles  e^,  ...,  e„,  en  sorte  que 
tout  nombre  x  du  système  ait  la  forme 


x,e,-\-  xe,  +  . 


x.e ■ 


.37,,  x^,  ....  .57,,  étant  des  nombres  complexes  ordinaires. 

Il  admet  seulement,  d'abord,  pour  la  multiplication,  la  loi  distributive 

{a '\- b){c  +  d)  — ac -\- bc -\' ad  +  bel, 

sans  supposer  ni  la  loi  commutative  ni  la  loi  associative. 

Il  suppose  ensuite  que  le  système  contient  le  module  s,  c'est-à-dire  un 
nombre  e  =  £,e,  -i-. . .-+-  E„e„  tel  que  l'on  q'\1  xz  =^  tx  —  x. 

Gela  posé,  si/,,  ...,/„  représentent  n  fonctions  continues  de  a:,,  ...,  x,,,  il 

cherche  si  la  fonction  /  "  /,  c,H--  •  •  +  fn^n  ^'e  x  ^  x^(\-\-. .  .-^  ^n^n  ^^^  analy- 

df 
tique,  c'est-à-dire  a  une  dérivée  -j-  indépendante  de  f/x,,  ...,  c/.r„,  et  il  arrive 

à  cette  condition  : 

«  Dans  un  système  distributif  avec  un  module,  il  n'existe  de  fonctions  ana- 
lytiques et  d'intégrales  analytiques  que  dans  le  cas  où  le  système  est  aussi 
commutatif  et  associatif.  Dans  un  tel  système,  il  y  a  une  infinité  de  fonctions 
analytiques.  » 

Ëllloi.  —   Sur  les  cas  d'intégrabilité  du  mouvement  d'un  point 
dans  un  plan,  (i  )  17-1  t  20). 

Lorsqu'un  mobile  est  sollicité  par  des  forces  résultant  d'un  potentiel,  la 
condition  pour  que  le  problème  admette  une  inlt'grale  quadratique  du  se- 
cond degré  se  traduit  par  une  équation  aux  dérivées  partielles  du  second 
ordre  que  doit  vérifier  la  fonction  des  forces.  Cette  équation,  rencontrée  par 
M.  Bertrand,  admet  pour  intégrale  générale  les  expressions  trouvées  par  Liou- 
ville  {Journal  de  Mathématiques,  i"  série,  t.  \I).  C'est  là  un  résultat  que 
M.  Elliot  établit  aisément  au  moyen  de  l'expression  générale  des  éléments 
linéaires  susceptibles  d'être  ramenés  à  la  forme  harmonique. 

Ifermite.  —  Notice  sur  les  travaux  de  AI.  Rummer.  (i  i63-i  164). 

Guichard.  —  Sur  des  propriétés  géométriques  qui  ne  dépendent 
que  de  la  représentation  sphérlqne.  (  12.38- 1240). 


uh:vi)i':  i)i<:s  ruuM  cation  s.  175 

Soil  un  rôsomi  conjnj^iK'  d'uni'  siiifiice  (g)  qui  a  la  niéiiie  représenlalion 
s|)lu'ri(iuc  (|Mt'  les  (l«''veloi)|)al)lcs  d'une  ('(juj^ruciico  {('>):  la  langeiilc  //,  aux 
ttiurijes  if  =  ronsl.  de  celle  siirfarc  esl  paiallèli-  à  la  norrnah;  N,  à  l'une  des 
sui'l'aees  focales.  I.a  conpiMienee  (/?,)  a  donc  rnètrie  refuésenlal  ion  spli('Ti([ue 
i|ue  le  réseau  conjugué  (N,). 

De  la  eon^ruenee  {(})  on  (h'dnit,  par  l'applicalion  r(''[)étée  d<'  la  rtn-lliode  de 
Laplace,  une  série  de  réseaux  conjugués  cl  (h;  congruences.  De  rnènic,  du  réseau 
conjugué  (i^)  on  (l('duil  une  seconde  série  de  congruences  et  de  réseaux  con- 
jugués. i-.a  représenlalion  spli(''ri(|ue  d'un  élément  d'une  série  d(';terrnino  celle 
(le  tous  les  autres  éléments.  A  chaque  réseau  d'une  série  correspond  une  con- 
gruence  de  î'autre  et  les  éléments  correspondants  ont  même  représentation 
sphérique. 

De  là  se  conclut  l'idenlilé  des  deux  problèmes  suivants  : 

i»  Trouver  un  réseau  conjugué  de  lignes  de  courbure  qui,  après  p  transfor- 
mations de  Laplace,  se  transforme  en  un  réseau  analogue; 

'2°  Trouver  une  congruence  de  normales  qui,  après  p  transformations  de  La- 
pîace,  se  transforme  en  une  congruence  de  normales. 

Dans  le  cas  dep  -—  i,  on  voit  qu'il  y  a  éijui valence  entre  ces  deux  questions  : 

i"  Trouver  une  congruence  dont  les  développables  touchent  les  surfaces  fo- 
cales suivant  leurs  lignes  de  courbure; 

2°  Trouver  une  surface  qui  admet  un  réseau  conjugué  formé  de  géodésiques. 

Caronnet.  —  Sur  les  surfaces  à  lignes  de  cotirbure  planes  dans 
les  deux  systèmes  et  isothermes,  (i  240-1  242). 

A  propos  de  la  Note  récente  de  M.  P.  Adam  {Comptes  rendus,  8  mai  iSgS), 
M.  Caronnet  rappelle  qu'il  a  communiqué,  il  y  a  plus  d'un  an,  à  M.  Darboux 
la  solution  complète  du  problème  des  surfaces  isothermiques  à  lignes  de  cour- 
bure planes  dans  les  deux  systèmes,  et  dresse  le  tableau  des  résultats  auxquels 
il  est  parvenu. 

Scheffet's.   ■ —  Théorèmes  relatifs  aux  fonctions  analytiques  à  n 
dimensions.  (1242-1244)- 

En  élargissant  la  notion  de  transformation  conforme,  M.  SchefTers  arrive  à 
une  généralisation  des  fonctions  analytiques  identique  à  celle  qu'il  a  exposée 
dans  une  Note  précédente. 

Soit  donnée,  dans  l'espace  à /i  dimensions,  une  transformation  quelconque 

(')  •37-=/(^,,  •••,  ^J         (/  =  I,  2,  ...,  «). 

Les  éléments  infinitésimaux  de  l'espace  autour  du  point  {x^,  ...,  a?„)  seront 
transformés  en  éléments  infinitésimaux  de  l'espace  autour  du  point  {x\j  . . .,  x\^) 
par  la  transformation  projective 

(2)  ^^'^'^^'^^^^-        (i  ^',  2,  ...,  /j). 

k      "  ^' 

Kn  regardant  dans  la  transformation  (2),  .2',.  ...,  x^^  comme  des  paramétres, 


176 


SIÎCONDK   TAIITIE. 


on  peut  lr;iiler  le  c;is  où  toulcs  ces  transi'onnatioiis  {:>.),  (ItîiluiLo.s  de  la  iiièriie 
transforma  lion  (i),  forment  un  groupe  ff  simplement  transitif  de  transforma- 
tions ccliangeahics.  Inversement,  si  ce  j;ronpe  g  est  donné,  on  peut  montrer 
({uc  Ton  obtient  toutes  les  transformations  (i)  en  formant  les  fonctions  ana- 
lytiques/,e, +..  .H- /„e,,  (lu  système  (le  nombres  comph-xes  à  f(  unilt'-s  c,,  ..., 
e„,  (jui  est  d(-lini  par  le  groupe  g-. 

La  repr(!sentation  conforme  est  un  cas  trc's  parlicuiiei'  des  transfonnalions  (ij. 
En   dt^veloppanl  celte  théorie,  iM.  SchefTcrs  est  conduit  au   ii-sullat  suivant  : 
Dans  un  espace  à  n  dimensions,  chacjue  groujje  de  transformations,  pour  les- 
(juelles  les  élénients  indnitésimaux  de  l'espace  sont  soumis  à  des  transforma- 
tions  d'un    groupe  donné  simplement   transitif  g  de    transformations  échan- 
geables,   peut   être    réduit,    par    rintroduction    de    nouvelles    variables,    à     un 

,                       ,       a  z  -i-  h  ■  i-         >  I  , 

sous-gi'oupe  du  groupe  z  =  -■,  si  I  on  considère  c  ,  z,  a,  h,  c,  a   comme 

des  nombres  complexes  dans  le  système  à  n  unités  <?,,  . . .,  e,,  ({ui  est  défini  par 
le  groupe  g. 

VascJiy.  —  Sur  une  propriété  générale  des  champs  adineltanl  un 
potentiel.  [\i^/\-\'à/\'j). 

Qu'on  imagine  en  chaque  point  de  l'espace  un  vecteur  /  dont  les  composantes 
suivant  trois  axes  rectangulaires  dérivent  d'un  potentiel  uniforme  V.  On  sup- 
pose le  vecteur  /  fini  et  continu  dans  un  champ  \\  limité  par  une  surface 
fermée,  sauf  sur  certaines  surfaces  de  discontinuité  où  sa  composante  normale 
varie  brusquement  d'une  face  à  l'autre. 

Un  tel  champ  jouit  de  la  propriété  suivante  : 

Il  est  toujours  possible  de  trouver  une  distribution  de  masses  /;i,,  ni.^,  ..., 
telle  que  la  fonction 


\'  = 


r. 


soit  identique  à  V  dans  le  champ  E;  /•,,  /•,,  ...,  désignant  les  distances  respec- 
tives des  masses  /«,,  ;??,,  ...  au  point  (.r,,  J',, -,  )• 

Andrade.  —  Sur  l'application  répélée  du  théorème  de  Bernoulii. 

(11181-1284). 

Quand  on  envisage  deux  séries  parallèles  d'événements 

ft„     b^,     ...,     6„     ...;        B,,     B^,     ...,    B.,     ..., 
en  nombre  indéfini,  et  dont  les  probabilités  respectives  sont 


Q., 


Q. 


,    Q,^ 


il  peut  arriver  qu'on  ait,  pour  i  =  cc, 

lim(/-=  limQ,=  o, 

et  que  le  rapport  -f^  tende  vers  une  valeur  finie  et  déterminée. 

On  suppose  qu'on  soumette  l'apparition  de  deux   événements  correspondants 


revup:  des  publications.  177 

^,>  '^1  ■''  !^,»  t'prcuvcs  successives  et  que  rentier  \i.-  soit  pris  assez  f^rarul  j)our 
que  les  produits  [Jl,*/,,  [J--Q,  croissent  indéfiniment  avec  L 

Dans  [JL.  premières  épreuves,  l'événement  0-  arrive  m-  fois;  fians  ces  (jl^  épreuves, 
révénemcnt  H-  arrive  M,  fois. 

Kn  appliquant  h  ces  deux  séries  de  répétitions  d'épreuves  la  méthode  em- 
ployée dans  la  démonstration  du  théorème  de  lîernoulli,  IM.  Andrade  trouve 


m. 
M. 


d-'-'-(sV-f1    H  s) 


I  —  ! 


avec  une  probabilité  moindre  que 
Si  donc  le  produit 

n[-(^)] 

est  convergent,  on  voit  que  la  succession  d€s  valeurs  -~  ,        "^  >  •••  forme  une 

suite  d'approximations  en   nombres  rationnels  de  la   quantité  lim^j  et  cela 
avec  une  probabilité  qui  tend  vers  la  certitude  quand  h  augmente  indéfiniment. 

Stœckel.  —  Stir  les  problèmes  de  Dvnami(|iie  qui  se  réduisent  à 
des  qtiadratures.  (i  284-1  286). 

Dans  le  problème  récemment  posé  par  M.  Goursat,  les  équations  du  mouve- 
ment peuvent  être  ramenées  au  système  plus  général 


n 


'>J^  =  t-,     (x  =  ,,.,  ...,,0, 


qui  donne  lieu  à  un  problème  d'inversion  entre  les  variables  réelles  q^,  q^^  . .    , 

qn  et  ^,,  ^,  ...,  C 
M.  Stseckel  suppose  : 

1°  Que  les  fonctions  '^,,  v}/^,  ...,  4^,,  peuvent  être  mises  sous  la  torm 
•Ia  =  (  7a  -  «A  )Uh—  Qk)  lu  ( 7a  ) ' 

où  les  constantes  a^  et  b^  sont  réelles,  et  où  les  fonctions  /j^  sont  finies  et  po- 
sitives; 

•2°  Que  les  fonctions  '-?/, (7^)  conservent  leur  signe  et  que  le  déterminant  des 

quantités  ^''^-   _      est  fini  et  différent  de  zéro. 

Alors  les  variables  7,,  q^,  . . .,  q^  sont  des  fonctions  uniformes  de  ^,,  t^,  . . . ,  t,^, 
(jui  ont  exactement  n  systèmes  de  périodes  réelles 

2«^ix,>     2Wj^^,     ...,     2C0j^„        (|j.-M,  2,  ...,  n), 
/{ail.  des  Sciences  matliém.,  2»  série,  t.  XIX.  (Août  i8(j5.)  R.i'i 


SECONDE  PARTIE. 


données  par  la  formule 


INI.  Staeckel  fait  l'application  de  ce  résultat  au  problème  de  M.  Goursat.  Il 
détermine  notamment  la  condition  sous  laquelle  le  mouvement  peut  être  pé- 
riodique. 

Boussinesq.  —  Théorie  de  récoulement  sur  les  déversoirs  sans 
contraction  latérale  en  tenant  compte  des  variations  qu'éprouve, 
suivant  le  niveau  d'aval,  la  contraction  inférieure  de  la  nappe 
déversante,  (i 32^-i3i^3). 

Cayley.  —  Sur  la  (onction  modulaire  yw.  (i339-i343). 

L'auteur  donne  de  la  fonction  modulaire  diverses  expressions  dont  chacune 
met  en  évidence  une  propriété  de  cette  fonction. 

Humbert.  —  Sur  une  classe  de  surfaces  à  génératrices  rationnelles. 

(i35o-i352). 

Si  l'on  peut  tracer  sur  une  surface  algébrique  une  série  simplement  infinie 
de  courbes  unicursales  du  même  ordre  N,  se  coupant  deux  à  deux  en  un  point 
mobile,  la  surface  est  représenlable  point  par  point  sur  le  plan.  Elle  admet 
une  série  linéaire  doublement  infinie  de  courbes  unicursales  d'ordre  N  se  cou- 
pant deux  à  deux  en  un  point  et  dont  fait  partie  la  série  primitive;  ces  courbes 
ont  pour  images  les  droites  du  plan,  et  les  sections  planes  de  la  surface  ont 
pour  images  des  courbes  quelconques  d'ordre  iN. 

L'ordre  de  la  surface  est  donc  inférieur  à  N'.  Pour  le  cas  de  N  =  2,  on  a  le 
théorème  suivant  : 

«  Toute  surface  sur  laquelle  on  peut  tracer  une  série  simplement  infinie  de 
coniques,  de  telle  sorte  qu'il  passe  plus  d'une  conique  de  la  série  par  chaque 
point  de  la  surface,  est  une  surface  de  Steiner  ou  une  dégénérescence  de  cette 
surface.  » 

Du  théorème  général  on  déduit  que  toute  surface  engendrée  par  une  série  de 
courbes  unicursales  de  même  ordre,  se  coupant  deux  à  deux  en  k  points  mo- 
biles, est  rationnelle. 

Scheffers.  —  Sur  quelques  surfaces  avec  plusieurs  modes  de  gé- 
nération. (i352-i354). 

Un  des  problèmes  les  plus  intéressants  de  la  théorie  des  surfaces  consiste  à 
trouver  toutes  les  surfaces  qui  peuvent  être  engendrées  par  le  mouvement  de 
translation  d'une  courbe  c  et  aussi  par  le  mouvement  de  translation  d'une  autre 
courbe  c'. 

Ce  problème,  résolu  par  Sophus  Lie,  a  une  connexion  très  étroite  avec  une 
question  de  la  théorie  des  systèmes  de  nombres  complexes  que  M.  Scheiïers 
énonce  ainsi   : 


f 


KHVUK    DIîS   IMJHIJCATIONS.  179 

M  Klaiit  (Itiiiiit'-  iiti  systrtiu'  de  noinhres  ronijilexes  (e,,  ...,  e„),  trouver  7n 
conrhcs  r,,  ...,  c„,  y,,  ...,  y„  diiiis  l'csparc  à  n  diincnsions  du  système  avec  la 
proprirto  suivante  :  si  l'on  piend  //  points  (jnclr.on(|ucs  rcspecliveincnt  sur  les 
//  courbes  r,,  ...,c„,  c'est-à-dire  //  nomi)res  a,,  ...,(7,„,  il  y  a  toujours  /?  points 

2 ,  a,,  sur  les  n  courbes  y,,  ...,  y,,,  tels  (pie  b;  |>roduit   a,  a„  .  .  .  a„  soit   éf;al 

au  produit  (l^<^.,  ■  •  ■  (f„- 

L'auteur  fait  reniarciucr  (jue  le  problème  est  imm(';dialement  résolu  pour  tout 
système  commutatif.  En  effet,  puis(iu'()n  peut  réduire  tout  groui)e  simplement 
transitif  de  transformations  échangeables  à  un  groupe  de  translations  (  Lie),  on 
est  ramené  au  problème  des  surfaces  de  translation  étendu  à  l'ijyperespace. 

M.  SchelTers  montre  ensuite  comment  le  même  problème  peut  être  rc'-solu 
pour  les  systèmes  non  commutatifs. 

\  ascliy.    —    Propriété   générale    d\in   chaiin)    quelconque    n'ad- 
meltanl  pas  de  potentiel.  (1  .^)55- 135-), 

Que  l'on    imagine  une  niasse  vectorielle  placée  en   un   point  />/   de  rèlément 

lie  volume  doi,  et  développant  en  un  point  queIcori(|ue  M  situé  à  une  distance /•, 

dans  une  direction  m  INI  faisant  avec  le  vecteur  [x  du)  un  angle  6.  une  force  de 

,          ...   y-  doi  si  n  0      ...    ,  ,•      ,    • 

grandeur  égale  a ?  dirigée  perpendiculairement  au  pian  de  ce  vecteur 

et  de  la  droite  m  M  (loi  électromagnétique  de  Laplace). 

On  peut  alors  énoncer  la  propriété  suivante  d'un  champ  fini  quclconijue, 
constant  ou  variable  avec  le  temps. 

r.a  répartition  de  la  force  (ou  du  vecteur)  /  aux  divers  j^oints  du  champ,  à 
une  époque  t,  est  identique  à  la  répartition  de  la  résultante  de  deux  forces 
/,,  /,  définies  ainsi  :  la  force  f^  serait  développée  par  un  système  de  masses 
agissant  à  distance  suivant  la  loi  de  la  gravitation  universelle;  f^  par  un 
système  de  /nasses  vectorielles  agissant  suivant  la  loi  de  Laplace.  La  densité  p 
des  premières  masses  et  les  composantes  \i^.,  a.,  [x.  de  la  densité  [i  des  masses 
vectorielles  sont   données  par  les  formules 

à\        ')Y        OZ 
OX        ()y        ()-■ 


ô\ 

(ÏL 

07.        ù\ 

d\ 

<)\ 

ôz 

dy' 

-♦^^^d^-;j7' 

ày 

Ox 

où  \,  V,  Z  désignent  les  composantes  de/. 

Si  l'on  fait  l'application  de  ce  théorème  au  mouvement  d'un  corps  élasti(|ue. 

on  voit  (jue   la  force  d'inertie,  dont  les  composantes  sont  - — ,  ■ — ,  ^   "-,  est 

di-     di-      dv 

identique  à  celle  que  créeraient  un  système  de  masses  ordinaires  et  un  système 

de  masses  vectorielles  dont  les  densités  seraient  données  par  les  formules 

•'^-  --ôtA-ôTr-^  ôy  ^  Tz)'      -'^î'^""  dt\rz~ôy' 

(jiiyou.  —    Sur  les  termes  d'ordre  supérieur  de  la  déviation  du 
compas.  (iv35--i36r). 


i8o  SECONDIi:   PAHTIH. 

Boussinesq.  —  Vérificalions  expérimentales  de  la  théorie  des  dé- 
versoirs  sans   contraction   latérale,   à  nappe  libre  en  dessous. 

(i4i5-i4i8). 

Boussinesq.  —  Sur  une  simplification  qu'on  introduit  dans  cer- 
taines formules  de  résistance  vive  des  solides  en  y  faisant  figurer 
la  plus  grande  dilatation  linéaire  A  que  com|)orle  leur  matière, 
à  In  place  de  la  force  élasti([ue  correspondante  Ko-  {\  /\\^-^^i^)' 

Wœlscli.  —  Sur  les  surfaces  à  élément  linéaire  de  Liouville  et 
les  surfaces  à  courbure  constante.  (i435-i437). 

Les  lignes  géodésiques    des    surfaces   dont  l'élément  linéaire  a   la   forme   de 
Liouville  sont  données  par  la  formule 


r    du     _   r 

J    v/U  —  a       J 


dv 

—  b. 


V/U  —  a       J    sl'W  - 

Les  tangentes  de  la  famille  de  géodésiques  obtenue  en  supposant  a  constant 
forment  une  congruence  de  norjnales.  Un  des  points  focaux  d'une  droite  de 
cette  congruence  est  son  point  de  contact  m  avec  la  surface;  le  second  point 
focal  ni'  a  pour  lieu,  quand  on  fait  varier  a,  une  courbe  c,„  qui  est  une  stro- 
phoïde  générale.  Si  la  surface  est  applicable  sur  une  surface  de  révolution,  la 
courbe  c,„  se  réduit  à  un  cercle  passant  par  m. 

On  peut  se  poser  une  question  analogue  pour  une  surface  quelconque.  A 
tout  groupement  de  géodésiques  correspondra  dans  chaque  plan  tangent  une 
courbe  c,„.  Existe-t-il  des  surfaces  pour  lesquelles  on  puisse  grouper  les  géo- 
désiques de  telle  manière  que  les  courbes  correspondant  à  ce  groupement  aient 
une  propriété  donnée,  par  exemple  qu'elle-;  soient  transformables  les  unes  dans 
les  autres  par  des  transformations  données? 

En  supposant  que  la  figure  contenant  le  point  m  et  la  courbe  c,„  soit  la  même 
pour  tous  les  points  de  la  surface,  on  trouve  que  les  surfaces  à  courbure  con- 
stante répondent  seules  à  la  question.  Les  courbes  correspondantes  c„,  dépendent 
de  deux  paramètres.  Si  l'on  trace  dans  le  plan  tangent  le  cercle  de  centre  jn  et 

de  rayon  ai ^  étant  la  courbure  totale),   toute  courbe  c,„  est  l'inverse  par 

rapport  à  ce  cercle  d'une  conique  ayant  avec  lui  un  contact  du  troisième  ordre. 

Appell.  —  Sur  l'emploi  des  équations  de  Lagrange  dans  la  théorie 
du  choc  et  des  percussions.  {^\f\6Z-\ly^-). 

On  peut  toujours  choisir  les  variables  </,,  q ^,  ...,  q^  de  telle  façon  ({ue  les 
liaisons  nouvelles,  brusquement  introduites,  soient  exprimées  par  les  équations 

7,.+,  =  0'         Çn+2  =0»         ■■y        ^Jk=o  {n  <k). 

Alors  les  équations  qui  font  connaître  la  variation  des  vitesses  sont 


in-VUli:    DKS    PUHLICA  riONS.  iHr 

l'^llo  ■>()mI  liiK'.iiiTs  <!   lii»m(),';("'ncs  par  rapport  aux  A  (liiïci'ciucs 

(y'.  ),-(7'.  )„>      •••.     (7!i),-(7Â)„- 

Dans  CCS  (''(|iial ions  (i),  y,»  Vj,  •••.  7^  sonL  les  valeurs  (jui  correspondent  à 
linslanl  de  la  percussion,  de  sorte  ((lu;  y,,,.,,  Vn^;,,  •••,  <7a  sont  nuls.  Mais  les 
dérivées  <)'  ,  <i'  ,  ....  r/'  ne  sont  uécessaireni(;nt  nulles  ni  avant  ni  après  la 
percussion,  l'allés  seraient  nulles  aj)rés,  dans  le  cas  particulier  oii  les  liaisons 
introduites  seraient  permanentes.  Alors  les  n  «'(luations  (i)  d(;terinincraienl 
complètement  l'élat  du  système  après  le  choc. 

Iladaniard.  —  Sur  le  module  maximum  (jiie  puisse  atteindre  un 
dél(M"miiiant.  (  i  ooo-i  5oi). 

Sachant  que,  dans  un  déterminant  d'ordre  n,  les  cléments  restent  en  valeur 
absolue  inférieurs  à  l'unité,  quelle  est  la  plus  grande  valeur  que  puisse  prendre 
ce  déterminant? 

n 

M.  Iladamard  montre  que  le  véritable  maximum  est /i'^,  quantité  moindre  que 
la  limite  supérieure  évidente  1.2.../1. 

n 

Ce  maximum  n'^  est  atteint  lorsque  tous  les  éléments  ont  pour  module  i  et 
sont  proportionnels  aux  quantités  conjuguées  des  mineurs  correspondants  (dé- 
terminants inversement  orthogonaux  de  Sylvester). 

Pour  toute  valeur  de  n,  il  existe  au  moins  un  pareil  déterminant,  savoir  le 
déterminant  de    N'andermonde    formé    avec    les    racines    de   l'équation  binôme 

X"  =  I. 

Pour  n  —  3,  tout  déterminant  maximum  se  ramène  à  celui-là.  Mais  il  n'en 
est  pas  de  même  pcnir  les  valeurs  suivantes  de  n,  et  M.  Hadaniard  montre  que 
la  (juestion  comporte  plus  d'arbitraire  que  ne  l'a  indiqué  Sylvester. 


SITZUNGSBEUIGHTE  der  Akademii-;  ueii  Wissenschaften  zu  Berlin. 

i"""  semestre  1891, 

Kronecker  (L.).  —  Réduction  algébrique  des  faisceaux  de  formes 
quadratiques  (suite).  (9-17). 

Soient 

i,/c  t,k 

(i,  A  =  I,  2.   ....  n), 

deux  formes  quadratiques  quelconques  d'ordre  n.  Désignons  par  iv  une  variable 
et  par  t  un  nombre  entier  fixé  arbitrairement  de  manière  que  le  rang  du  sys- 


i82  SECONDE   PARTIE. 

téme  de  nombres 

^i,k—  ^^,*         (i,  Â-  =  I,  2,  ...,  /O 
ne  soit  pas  plus  pelil  que  le  rang  du  système  de  quantités 

"«<,fc+  ^^,,1         ih  A-  ==  I,  2,  ...,  n), 

où  a  et  ç^  sont  deux  quantités  indéterminées.  Envisageons  les  polynômes  en  w 
représentés  par  le  déterminant 

\  wa-^^  —  {wt  -hi)b.^^\  {i,  k  =  1,2,  ...,n), 

et  par  tous  les  mineurs  de  ce  déterminant;  soient 

(^(0),      w<-'\       W(^),       .  .  . 

les  zéros  de  tous  ces  polynômes. 
Désignons,  d'autre  part,  par 


;(«) 


(J)(v)  tb(v)  (J,(V| 

1   '  2  '  3  ' 


\i;(v)         uj-fv)         -H''-') 
1    '  2  '  3  ' 


(V  =  0,  1,2,   ...,  a) 


les  formes  quadratiques  particulièrement  simples  que  l'on  obtient  en  donnant 
à  l'indice  \x.  les  valeurs  i,  2,  ...  dans  les  expressions 

ix=^i,2,  ...;     vi=o,  I,  2,  .  ..  ;    k-hl  —  n^^—i;     o^Â:</i[,";     y--(n''^'  —  i) 


([x=i,2,  ...;     V  =:  o,  I,  2,  . . .  ;     A' +  X  = /ij^"' —  2  ;     o^A"  <  nj;^''— i)  ; 

les  nombres  entiers  nl^^  sont  connus  dès  que  l'on  a  fixé  les  coefficients  a-^,  b-^ 
des  deux  formes  quadratiques  envisagées,  et  le  nombre  entier  ^  ;  les  entiers  «'*'' 
sont  nécessairement  impairs  ;  le  symbole  S^  ^  représente  zéro  ou  l'unité  suivant 
que  l'on  a  v  >  0  ou  v  =  0;  enfin  les  quantités 


^0,(<.>      ^^l.ix)      ^2,iJi.> 


(  V  =  o ,  1 ,  2 ,  .  .  . ,  a  ;   ;jL  =  I  ,•->,...  ) 


sont  des  fonctions  linéaires  et  homogènes  de   jc,,  x^,  ...,  x„   dont  les   coeffi- 
cients sont  des  fonctions  rationnelles  connues  des  quantités 

«,,i»  ^i,k  (i,  A-  =  1,  2,  ...,  /?) 

et  des  quantités  w^°),  iv^'),  ...,  (v^^*\ 

Kronecker  nomme  faisceau  de  formes  réduit   tout  faisceau  de  formes  du 
type 


v^  [(u+VivC'))<+vT;:"], 


où  U  et  V  sont  des  variables  et  où  la  somme  double  est  étendue  à  un  nombre 


UHVUH    DKS   PU  nu  CATION  S.  i83 

(UMcrmiiui  de  valeurs  i,  '.>,  ...  de  rindicc  [j.  et  aux  valeurs  o,  i,  2,  ...,  a  <ju 
bien  i,  q,  ...,  ade  l'iiuliec  v,  suivant  (jue  le  déterminant  du  tâisccau  de  formes 
quadrali(iucs 

\    («c/.  ^  +  p^;,  Jx.j;^         (f,  A:  -  I,  2,  . . ., /t), 

a  l'aide  duquel   on    a   formé   les  fonctions  <l>|j^''  et  U"|^''  est  nul  ou  n'est  pas  nul. 
Ceei  posé,  le  théorème  établi  par  Kronecker  est  le  suivant: 

«  Tout  faisceau  de  formes  quadratiques 

V  (  ua-^  -+-  vb-,^  )XiX^        {i,k  -  \,7,  . .  .,  n) 

peut  être  transformé  par  des  substitutions  linéaires  en  un  faisceau  de  forme 
réduite.  » 

C'est  en  s'appuyant  sur  ses  précédentes  Communications  à  l'Académie  et  sur 
un  théorème  démontré  par  Wcierstrass  dans  les  Monatsberichte  de  1868  que 
Kronecker  établit  ce  théorème. 

Kronecker  {L.).  — Réduction  algébrique  des  faisceaux  de  formes 
quadratiques  (fin).  (33-44)- 

Dans  les  Monaisberichte  de  mai  1868,  Kronecker  a  montré  comment  chaque 
faisceau  de  formes  quadratiques,  dont  le  déterminant  est  nul,  peut  être  trans- 
formé par  des  substitutions  linéaires  en  un  faisceau  de  la  forme 

li-\  i,k 

{i<k;  i,  k  —  I,  2,  ...), 

où  les  notations  sont  celles  dont  nous  avons  fait  usage  dans  le  compte  rendu 
d'une  Communication  précédente  de  Kronecker  (').  Il  complète  cette  Commu- 
nication en  étudiant  à  nouveau  les  substitutions  linéaires  qui  permettent  de 
transformer  un  faisceau  quelconque  du  type  (a)  en  un  faisceau  du  type  réduit. 
On  a  ainsi  un  second  procédé  permettant  de  transformer  un  faisceau  qua- 
dratique quelconque  à  coefficients  connus  a- ;.,  b-^  (i,k=  1,2,  ...,n),  en  un 
faisceau  du  type  réduit;  ce  second  procédé  est  plus  rapide  que  celui  qui  a 
été  exposé  dans  les  Communications  précédentes,  mais  son  caractère  est  moins 
arithmétique.  Aussi  est-ce  le  procédé  de  réduction  des  Communications  pré- 
cédentes et  non  le  dernier  procédé  de  réduction  de  la  Communication  actuelle 
qui  devait  servir  de  point  de  départ  à  une  réduction  arithmétique  des  faisceaux 
de  formes  quadratiques  que  Kronecker  se  proposait  d'étudier. 

Définition  du  rang  d\in  couple  de  formes  quadratiques.  —  Si   p   est  le 


(')  Voir  Bulletin,  p.  116;  1895. 


i84  SHCONDE   PARTIE. 

rang  du  syslèiiie  de  quantités 

^'^i,k  +  ^^,,1         {i,  k  =  1,2,  .. .,  n), 

où  u  et  V  sont  des  variables  et  a-  ^^  b-,^  {i,  k  =  1,2,  . . .,  n)  \cs  coefficients  de 
deux  formes  quadratiques,  d'ordre  n,  données 

^  «,,fc^.^/<i     ^  ^,*^.-^A         {i,k=i,2,...,n), 

i,k  i,k 

on  sait  qu'il  y  a  /i  —  p  relations  linéaires  et  homogènes,  linéairement  indépen- 
dantes, entre  les  n  dérivées  partielles  du  faisceau  de  formes  quadratiques 

V  (aa,.^H-  vb-^^)x^x^        {i,  k  =  i,  2,  . . .,  n). 
i,k 

Si   n—r  de  ces  n  —  p  relations  linéaires  et  homogènes  sont  de  dimension 
nulle  en  u  et  v,  Kronecker  dit  que  le  couple  de  formes  quadratiques  d'ordre  n 


\^^i,k^.^ki     ^^.,k^.^k\ 
L/,/f  i,k  J 


est  de  rarn^  r 


Théorème.  —  Lorsqu'un  couple  de  deux  formes  quadratiques  d'ordre  quel- 
conque est  de  rang  /',  on  peut,  par  des  substitutions  linéaires,  transformer  cha- 
cune des  deux  formes  quadratiques  en  une  forme  quadratique  d'ordre  r. 

Après  avoir  démontré  ce  théorème  fondamental,  Kronecker  montre  comment 
on  peut  établir  le  système  des  invariants  d'un  couple  de  formes  quadratiques 
quelconques  données.  A  cet  effet  il  envisage  les  r—p  des  n—  p  relations  li- 
néaires et  homogènes  indépendantes  entre  les  n  dérivées  partielles  du  faisceau 
de  formes  quadratiques 

V  (  wa,.  ^  -h  vb.,^  )x-x^        (i,  k  =  1,2,  ...,  n), 

i,k 

qui  ne  sont  pas  de  dimension  nulle  en  u  et  v.  Soient 


-.(Njïi-0,     -(N;Ï2-0,     •••,     -(N^«'-i) 


les  dimensions  en  u  et  i>  de  ces  /'  —  p  relations;  on  peut  toujours  supposer  que 
l'on  ait 

Le  système 

„.        iviO)  ivlO)  iv(0) 

OÙ  (V  désigne  une  indéterminée,    est  alors    un  invariant  du  couple  de  formes 
({uadratiques  d'ordre  n  envisagé 


\.i,k  i.k 


UKVUK   DKS   PUIJLICA  riONS.  i85 

Suit   (MisiiiU-  /  im    ii'miliii'   ciilicr  (Hiclc.otxiiic   Ici  que  le  rari^  du  syslùrnc  de 

(juaiit  ilcs 

iva.  n— (^u' -I- i)^,  ;,        (',  A—  1, '.<,..., /i), 

on  i\'  désigne  toujours  une  indéterminée,  soit  égal  à  p  rorrunc  celui  des  (juan- 

tilés 

un-  .  -h  vb,  ^         {i,  k  —  i,  :i,  . ..,  n). 

Envisageons  le  déterminant 

i  <^<^,,n  —  (  ^'^'  -+-  '  )  '^,,1  K        {iy  k  =  1,2,  . ..,  n) 
et  tous  ses  mineurs  d'ordres  plus  petits  ou  égaux  à  p.  Soit  pour  A  =  i,  2,  .  .  .,  p 


(V) 

le  plus  grand  commun  diviseur  de  tous  les  mineurs  d'ordre  h.    Posons  enfin 
pour  V  —  1,2,  . . .,  a 

NI,-''  =  V:^  -  X^-", 


Les  systèmes 


K'= 

\  — 

. . . , 

WC) 

N'.n, 

Ni^', 

,  n;" 

W(^) 

N(2), 

N(2), 

... 

,     Ni/' 

\\(^) 

•  *   •   •  î 

•   •   •   '  ? 

.  .  . 

,  K' 

sont  alors  également  des  invariants  du  couple  de  formes  quadratiques  d'ordre  n 
considéré 


/,  A-  /,  A-  J 


Pour  le  démontrer,  il  suffit  de  montrer  que  ces  nombres  restent  les  mêmes 
lorsqu'on  transforme  par  des  substitutions  linéaires  quelconques  le  faisceau  de 
formes  quadratiques 

y    ( «a ■  ^. -+-  vb;  t ) x.-r^         {i,  k  —  i,  2,  . . .,  n). 


La  démonslration  est  facile.  Il  est  moins  aisé  de  montrer  qu'il  n'y  a  pas 
d'autres  invariants  du  couple  de  formes  quadratiques  envisagé  que  ceux  que 
nous  venons  d'énumérer.  Pour  le  faire  voir,  Kronecker  montre  que  ces  nombres 
dcterniinent  le  faisceau  de  type  réduit  dans  lequel  on  peut,  comme  on  l'a  vu 
plus  haut,  transformer  le  faisceau 

7    (««,.1+  vb,,^)x-x^         {i,  k  -  1,2,  ..  .,  n). 


i86  SECONDE   PARTIE. 

A    cet    effet,    il    fait  ol)server  d'une  part  que  le   faisceau    de   type  réduit  est 
manifestement  déterminé  par  les  nombres 


et 


(fX  ^    I,   2,    .  .  .  ;       ^  —  1,7,    .   ..), 


définis  dans  les  Communications  précédentes,  et  il  démontre  d'autre  part  que 
l'on  a,  pour  chaque  indice  ix  et  pour  chaque  indice  v, 

Il   n'y  a  donc  pas   d'autres  invariants  que  ceux   qui   précèdent  et  que  l'on    a 
appris  à  former  dans  chaque  cas  particulier. 

Les  invariants  ^^^  jouissent  donc  des  deux  propriétés  que  voici  : 

I.   La  somme  de  tous  les  invariants  N^,''  d'un  couple  de  formes  quadratiques 
est  égale  au  rang  de  ce  couple. 

IL  Dans  le  Tableau  précédent  des  invariants  d'un  couple  de  formes  quadra- 
tiques, les  invariants  N'^^  de  chaque  ligne  horizontale,  y  compris  la  ligne 

^^p-f-  1>      ^^p  4-2'       •  •  •  y      ^^ r     > 

sont  rangés  par  ordre  de  grandeur  croissante. 
Envisageons  maintenant  le  faisceau  de  formes  quadratiques  d'ordre  n 


/=!' 


UU: 


vb-  ^.) x-x^         ( i,  A-  =  1 ,  2 ,  .  . . ,  n )  ; 


soient  p  le  rang  du  système  des  coefficients  «a,-  ^  —  vb-  y.  et  r  le  rang  du  couple 
de  formes  quadratiques 


2]  V^'-^ft'     ^^.i^.-^J 

.  i,  A-  i,  k  J 


,  k  i,  k 

On  sait  que  les  dérivées  partielles 

dx,  '     dx^ 


{i,k  =  i,  ...,n). 


AL 
àx„ 


sont  liées  par  n  —  p  relations  linéaires  et  homogènes  indépendantes  dont  /'  —  p 
sont  de  dimension  plus  grande  que  zéro  en  u  et  v.  Soient 

ces  /•  —  p  relations;   les  indices   de  sommation  sont  étenrlus  de  /i  :=  o,  i,  2,  . . ., 
à  h  =  ni^  et  de  A"  =  0,  1 ,  2,  . . .  à  k  =  n. 

Les  variables  X  du  faisceau  réduit  de  /  sont  des  fonctions  linéaires  et  homo- 
gènes des  variables  x,,  x^,  ....  .r„  du  faisceau  f.  Kroneckcr  démontre  que  les 
coefficients  de 


UKVLIK    l)l':S   lUJIilJCATIONS.  \Hy 

de  CCS  fonctions  liuthiircs  et  hoinogtîiics  sont  minu-diatcMncnl  doniu-s  par  les 
cœflicients 

Ct!k*  (/i  :-^  0,  I,  3,  .  .  .,  ;/?|J      A   --  (),  I,  2,  .  . .,  «;      p.     -  I,  2,  ...,/•— p), 

(les  /•  —  p  relations  linéaires  prrcédcntcs. 

Ce  théorème  est  fondainenlal.  Il  permet  de  se  rendre  comi)tc,  a  priori,  de 
la  possibilité  d'effectuer,  d'une  façon  générale,  la  transformation  de  tous  les 
faisceaux  de  formes  quadratiques  à  déterminants  nuls,  en  faisceaux  réduits, 
transformation  qui  est  l'objet  principal  des  Communications  actuelles  de  Kro- 
necker. 

Kronecker  démontre  aussi  que  les  fonctions  linéaires 

^  ^i,kc'h!k'^i  (f,  A  =  1,2,  ...,  ^0, 

i.k 

<|ue  l'on  obtient  en  donnant  à  l'indice  /t  les  valeurs  h—  1,2,  ...,  ni^  pour 
{jL  =  i;  h  —  1,2,  . . .,  m^  pour  jx  =  2  ;  . . .;  fi  =  1,2,  . .  . ,  m^_  pour  [i  zz^  r  —  p, 
sont  des  rovarianis  du  faisceau  quadratique 

y.  (  ^f^i,k  +  ^'^i  k)^^^k  {i,  k  =  i,  2,  . .  . ,  n). 

Ces  covariants  sont  au  nombre  de 

Kôtter  (F'.).  —  Sur  le   mouvement  d'un   solide  rif^idc  dans   un 
fluide.  (35-44). 

KirchhofT  a  établi  (')  les  équations  différentielles  du  mouvement  d'un  solide 
rigide  dans  un  fluide  incompressible  indéfini,  en  repos  à  l'infini.  Dans  le  cas  oii 
aucune  force  extérieure  n'agit  sur  le  solide,  ces  équations  sont,  comme  on  sait, 

^  /àT\  _      ^_,.  ^ 
dt  \<Ju  J  dw  dv  ' 


dt\âvj  au  d(v' 

d  /âT\  ÔT  àT 


dt\fhv)      ^  dv        ^  au' 
d  /âT\  àT  ÔT  f)T  ÔT 


dt  \  dp  j  dw  ôv  or  ôq 

dt\dq)  ~       du  ôw  dp  dr  ' 

d  (dT\  dT  dT  dT  dT 

}ft[d7')  =  ''  d^  -  "  dTc  -^ ^d^  -  "^di/ 
où  w,  V,  w  désignent  les  composantes,  suivant  les  axes  fixes  dans  le  corps,  de 


(')  Journal  de  Crelle,  t.  71,  p.  207, 


i88  SliCONDIi    l'AUTIi:. 

la  vitesse  (le  r<)ii;;inc  de  ces  axes;  /^  7,  /•  les  coinposanles  siiivaiil  ces  riièincs 
axes  (le  la  vitesse  angulaire  de  rotation  du  solide,  et  T  la  force  vive  du  solide  : 
c'est  une  fonction  hornog(;ne  du  second  degrc*  en  w,  v,  iv,  />,  </,  r. 

KircliliolT  a  aussi  montié  (jue  les  expressions,  en  fonction  du  temps  t,  des 
coordonnées  de  l'orij^ine  des  axes  fixes  dans  le  corps,  et  celles  (l(!s  neuf  cosinus 
des  angles  (juc  font  les  axes  fixes  dans  le  corps  avec  les  axes  fixes  dans  l'espace, 
sont  données  par  des  quadratures  dès  (jue  l'on  a  intégré  les  six  équations  diffé- 
renliclles  précérlentes  ([ui  ne  contiennent  que  «,  v,  <v, /;,  q ,  r,  de  sorte  que  l'on 
peut  dire  que  l'étude  du  mouvement  du  solide  rigide  dans  le  fluide  incompres- 
sible indéfini  se  ramène  à  l'intégration  de  ces  six  équations  différentielles  si- 
multanées. 

On  peut  se  représenter  l'état  actuel  du  mouvement  comme  provenant  d'une 

percussion   applicjuée  à   l'origine   des  axes   fixes  dans   le  corps   et  ayant  pour 

àT    ÔT    ÔT     .   .         , 
composantes  suivant  ces  axes   -r— »  -^— >  -^— '  lointe  a   un   cour)le  de  percussions 

du    âv     dw    -^  '  ' 

dont  l'axe  a   pour  composantes,  toujours  suivant  les  axes  fixes  dans  le  corps, 

ÔT     dT     ÔT     ^  .  ,  .  ~        ,      ...  .   . 

-T-y  T"  '  ~r~  •   Celte  impulsion  et  ce  couple  d  impulsion  se  réduisent  a  une  im- 

op    aq    or  ^  ri 

pulsion  et  à  un  couple  dont  l'axe  a  même  ligne  d'action  que  cette  impulsion; 

cette    ligne  d'action    est    l'axe    central    du    système  des  impulsions  à  l'instant 

actuel.  Cet  axe  central,   l'intensité  I  de  l'impulsion   et  la  grandeur  I,  de  l'axe 

du  couple  réduits  sur  cet  axe  central,  restent  les  mêmes  quel  (lue  soit  l'instant 

considéré  ('  ),  et  l'on  a 


\du) 

/dT' 

dT 
du 

dT 

dT  dT 
dv    dq 

dT\       (dT\      . 


dw   dr  '    ' 


On  a  aussi,  en  appliquant  le  théorème  des  forces  vives, 

2T  =  L, 

où  L  est  une  constante. 

Ces  trois  relations  entre  w,  f,  tv,  />,  q,  r  sont  trois  des  six  intégrales  des 
équations  difTérentielles  du  mouvement.  Il  s'agit  d'en  trouver  trois  autres.  Or 
Clebsch  a  démontré  (-)  qu'il  suffit  de  trouver  une  seule  quatrième  intégrale 
ne  contenant  pas  t  explicitement  pour  que  l'on  puisse  déterminer  le  multipli- 
cateur d'une  équation  différentielle,  qui,  intégrée,  dcnne  une  cinquième  intégrale 
ne  contenant  pas  non  plus  t  explicitement,  et  qu'ensuite  t  est  donnée  par  une 
quadrature.  Tout  revient  donc  finalement  à  trouver  une  quatrième  intégrale, 
indépendante  de  i,  des  six  équations  difTérentielles  de  KirchhofTque  nous  avons 
rappelées  en  commençant. 

En  se  bornant  au  cas  particulier  où  la  fonction  homogène  du  second  degré  T 
est  de  la  forme 

:>T  =  \^ir--h  .\v'+  \,w'+  ^\P'+  I^.7'+  ^,'", 


(')  Sitzungsberichte  der  Berliner  Akademie,  i8St!,  p.  1095. 
(')  Mathematische  Annalen,  t.  III,  p.  288. 


i 


KI<VUK    DFS   rUUMCATlONS.  189 

A  ,  A  ,  A,,  M,,  Hj,  H,  t'taiit  (l(;s  constantes  lires  pai'  la  rcîlalion 


.\.        A,/         -VA.        A,/         -VA,        A.. 

011    a    facilement    pour    la    quatrième    inté<^rale    cherchée,    comme   l'a  montré 
Clebsch, 


A.^  A ,\Oii/        A ,  A ,  \ c^p  /        A ,  A j  \ 6/tv / 

\nXâp)     ^JK\àq)     \,iiXdr)  -    " 

où  L,  est  une  constante.  La  détermination  de  la  cinquième  intégrale  se  ramène 
ensuite  à  une  (juadrature. 

M.  Henri  Wcbei"  (')  a  donné  la  solution  analytique  complète  du  problème 
dans  le  cas  plus  particulier  encore  où  I,  =  o.  En  prenant  l'un  des  axes  fixes 
dans  l'espace  suivant  la  ligne  d'action  de  la  percussion  unique  à  laquelle  se 
réduit  ici  le  système  des  percussions  considérées,  il  a  obtenu  les  expressions 
de  tous  les  paramètres  qui  déterminent  la  position  du  solide  dans  l'espace, 
sous  la  forme  de  quotients  de  fonctions  thêta  de  deux  variables  dont  les 
arguments  sont  linéaires  en  t.  La  fonction  thêta  du  dénominateur  des  ex- 
pressions qui  représentent  les  trois  composantes  de  la  rotation  instantanée 
suivant  les  axes  tixes  dans  le  corps,  les  trois  composantes  de  cette  rotation 
suivant  les  axes  fixes  dans  l'espace  et  les  tieuf  cosinus  des  angles  que  font  ces 
deux  systèmes  d'axes  est  la  même. 

M.  Kotter  reprend  le  même  problème  lorsque  la  constante  I,  n'est  pas  nulle 
et  donne,  dans  ce  cas  particulier  de  Clebsch,  plus  général  que  celui  de  Weber, 
les  expressions  en  fonction  de  t  de 

^'       ^       ^       (/r       ÔT       dT 
du       âv        div       dp       dq       ôr 

ainsi  que  celles  des  coordonnées  de  l'origine  des  axes  fixes  dans  le  corps,  des 
composantes  de  la  vitesse  de  ce  point,  des  composantes  suivant  les  axes  fixes 
dans  le  corps  et  suivant  les  axes  fixes  dans  l'espace  de  la  rotation  instantanée, 
et  des  neuf  cosinus  des  angles  de  ces  deux  systèmes  d'axes. 

Ces  expressions  sont  encore  formées  à  l'aide  de  fonctions  thêta  de  deux  va- 
riables dont  les  paramètres  dépendent  linéairement  de  t,  mais  leur  forme  est 
plus  compliquée  que  celle  des  quotients  de  AL  ^^'eber. 

Il  parvient  à  ce  résultat  de  deux  manières  différentes.  La  première  est  ana- 
logue à  la  marche  qu'il  a  suivie  dans  son  Mémoire  ('),  sur  l'application  des 
fonctions  abéliennes  à  l'étude  de  certains  cas  d'équilibre  des  fils  flexibles  et 
inextensibles;  on  est  amené,  à  la  suite  de  calculs  assez  longs,  aux  intégrales 
abéliennes  [)articulières  de  rang  3  qu'a  étudiées  Sophie  Kowalevski;  les  (juan- 
tités 

ÔT       ÔT       ÔT        (Jï       ÔT       ÔT 
ou        ôv        ôw       ôp        ôq        ()r 


(')  Mcitkeniatisclie  Annalen,  t.  XIV,  [>.  173. 
(')  Journal  de  Crelle,  t.  103,  p.  l\\-~i\- 


i.jo  SHCONDM    PAUTIK. 

peuvcul  ùlrc  rcpri-sciiti-cs  à  l'aide  de  foiicLions  llirla  de  lroi>  art^iiincnts,  dfWil 
l'un  est  constant  tandis  (jne  les  deux  antres  sont  fonclions  iiiiéaiies  de  t  :  on 
observe  enfin  que  ces  fonctions  thêta  j)cuvent  ètic  clles-nièrnes  expiirnces  par 
des  fonctions  tliêta  de  l'uniciue  argument  constant  el  par  des  fonctions  thêta 
des  deux  arguments  fonctions  linéaires  de  t. 
L'existence  de  quatre  systèmes 

de  fonctions  linéaires  des  trois  couples  de  quantités 

âT        ()T  <)T        ()T  àT        ()T 

dp  '      Ou  '  ôq        ()v  '  ()r        <hv  ' 

dont  les  éléments  u-^  sont  liés  par  les  relations 

.  .   (/r  rH^  <n    (TV   <rv   <rv  ,    . 

permet  de  faire,  sur  les  quantités  -— '  -r"  '  t- '  -^  '  -r- '  -r- '  "'ï<'  sul)stilutioii 
^  d/i     fit'     (^tv     dyo     uq     Or 

linéaire  telle  que  les  simplifications  qui  se  sont  présentées  à  M.  Weber  dans 
le  cas  particulier  où  I,  =  o,  se  présentent  également  dans  le  cas  général  où  I, 
n'est  pas  nul.  M.  Kotter  parvient  ainsi  par  une  seconde  méthode  moins  com- 
pliquée que  la  première  aux  mêmes  résultats. 

M.  Kotter  ne  développe  pas  les  calculs  et  se  contente  de  donner  les  expres- 
sions finales  très  élégantes  aux(|uelles  il  est  parvenu, 

Sckottky  {F.).  —  Sur  la  résoltilioii  analytique  du  problème  rie 
la  rotation  d'un  solide  rigide  dans  l'espace  à  quatre  dimensions. 

(l>.  2^^-23  2). 

Au  lieu  d'étudier  le  mouvement  d'un  solide  rigide  dans  l'espace,  on  peut 
étudier  le  mouvement  d'un  trièdre  trirectangle  fixe  dans  l'espace  OXYZ  par 
rapport  au  trièdre  Cxyz  formé  par  les  trois  axes  principaux  d'inertie  du  so- 
lide rigide  relatifs  au  centre  de  masses  C  de  ce  solide.  Si  l'on  suppose  qu'au- 
cune force  extérieure  n'agit  sur  le  solide  et  que  le  centre  de  masses  C  a  une 
vitesse  initiale  nulle;  si  Ton  désigne  par  x^,  x^_,  x^  les  coordonnées,  à  un  in- 
stant quelconcjue  t,  du  point  O  par  rapport  au  trièdre  Cxyz,  et  par 

les  composantes  à  l'instant  t  de  la  vitesse  angulaire  instantanée  mesurées 
suivant  les  axes  Cx,  CjKi  C^;  si  enfin  A,,  A^.  A,  représentent  les  moments 
d'inertie  du  solide  rigide  par  rapport  aux  plans  principaux  des  Cyz,  Czx, 
Cxy,  les  équations   (liiïèrcnticllcs  du    mouvcnicnl   du   trièdre  OWY.   fixe  dans 


UKVUH    l)l':S   lUJUM  CATIONS.  191 

l'i'spacr  par  r;i|>p<»rl  .111   liicdie  Cj'yz  fixe  dans  le  corps  sont 

(A,+  A3)%-'-(A,-A,J/>„/?3., 

^^'■^^^'^%"'  ^(■^3-A,)/>3,/^., 
clx 

C'est    sous    celle    forme  qu'il   est  commode  de  généraliseï'    le  problème,  dans 
l'espace  à  n  dimensions. 

Prenons  pour  postulatum  du  mouvement  d'un  système  de  k  points  maté- 
riels dans  l'espace  à  n  dimensions  l'équation  suivante  qui  est  une  généralisa- 
tion évidente  de  celle  de  d'Alembert 

/  — 1 

d'x\V 


H^-«']-'M  =  "' 


équation  dans  laquelle  x[^\  ^3",  •••>  ^/2"  sont,  pour  chaque  indice  1=1,  1,  ...,  A, 
les  n  coordonnées,  par  rapport  au  syslème  d'axes  OXjX^...X„,  fixe  dans  l'es- 
pace, du  point  matériel  de  masse  /?i(')  auquel  est  appliquée  la  force  active  ré- 
sultante dont  les  composantes  sont  X'/',  X!,",  ...,X//'  suivant  les  axes  OX,, 
OXj,  ...,  0X„,  tandis  que  oj;/',  o:c^",  ...,  ^x^  sont  les  composantes  suivant 
ces  mêmes  axes  d'un  déplacement  virtuel  quelconque  du  point  x[''\  x\^\  ..., 
x\[^ ^  compatible  avec  les  liiiisons  du  système  des  k  points  matériels. 

Appelons  système  rigide  de  A'  points  matériels  un  système  tel  que  l'on  ait 
pour  chaque  indice  /i  =  i,  2,  . . . ,  A"  et  i  =  i ,  2,  . . . ,  k  les  équations  de  liaison 

[x'/')  — .r</)]^-f-  \x'/'^  —  x^/^ y -{-...-{-  [x[i'^  —  x^^>y=  const. 

Envisageons,  dans  le  cas  où  il  n'y  a  pas  de  forces  extérieures,  le  mouvement 
du  système  d'axes  0\,X,  ...X„  fixes  dans  l'espace  à  n  dimensions,  par  rap- 
port au  syslème  de  n  plans  principaux  passant  par  le  centre  de  masses  C  du 
système  de  n  plans  principaux  passant  par  le  centre  de  masse  G  du  solide  ri- 
gide à  n  dimensions  et  définis  dans  ce  corps  rigide  par  les  équations  de  con- 
dil  ioi) 

mi^)x^,l  ^ x'/  '  -+-  m('^) x\f  ^  x,-2 '-}-...  H-  /;i(^) x'/f  x'/'  =  0 
{h^i;     h  ~  i,  ■?.,...,  k;    /  =  i ,  2 ,  . . . ,  A-  ) , 

où  x*/',  x'-^',   ....  x^^     sont  les  coordonnées  du  point  de   masse  m'''   par  rap- 


i<j>.  SECONDE  PARTIE. 

port  à  CCS  n  plans  principaux.  Posons  aussi 

A„  =  m'»  [.ri'  ']^  +  mS'>  [x'J^ '] ^  + . . .  +  m"n  [4^']^ 
{et  =^  1,2,  ...,  n); 

désignons  enfin  par  x^,  x^,  ...,  x^  les  coordonnées  de  l'origine  O  du  système 
OX,Xj...X„  fixe  dans  l'espace,  par  rapport  aux  n  plans  principaux  et  par 

P„.^  =  —P?a^  Paa=   ^  (  a,    fi   =    1 ,   2  ,   .  .  .  ,  7?  ) 

les  quantités  qui  déterminent  la  vitesse  angulaire  instantanée  de  rotation  du 
solide  rigide  à  n  dimensions  autour  de  son  centre  de  masses  C. 
Les  équations  diflerentielles  du  mouvement  sont  alors 

(a,  Ji  ^  I,  2,  ...,  n). 

^  ^  n(n  -^-  i)   ,         .  , . „ ,         ...  .  , 

Pour  n  —  6,  ces  équations  dilierentielles  sont  identiques  aux  six 

équations  que  nous  avons  écrites  plus  haut. 

Pour  n  >  4.  il  semble  extrêmement  difficile  d'exprimer  les  quantités  x^, 
Pa'i  (a,  P  =  I,  2,  .  .  . ,  /z  )  en  fonction  de  t. 

Pour  n  =  4>  on  rencontre  des  difficultés  analytiques,  en  partie  de  même  na- 
ture que  celles  que  M.  Kôtter  a  surmontées  dans  son  élude  du  mouvement 
d'un  solide  rigide  quelconque  dans  un  fluide  indéfini  incompressible,  en  repos 
à  l'infini,  dans  le  cas  où  il  n'y  a  pas  de  forces  extérieures.  Mais  on  peut  aussi 
étudier  les  équations  différentielles  précédentes  en  leur  faisant  subir  avec 
M.  Schottky  les  transformations  suivantes  : 

Posons,  pour  a  =  i,  2,  . . .,  «  et  pour  1^  =  1,  2,  .  .  .,  n, 

{\^-hA,^)p^^,^  =  g^y, 

si  l'on  désigne  par  A',  l,  m  les  fonctions  symétriques  de  A,,  A^,  A^,  .\^, 

A,+  A„+A„+.\. 


A,A,A,-+-A,.V\.+  \,A3A, 


P 


l'  I 


ou 

P  =  (A.4-AJ(A,+  AJ(A.+  AJ(A,4-AJ(A,-f-AJ(A,+  AJ, 

et  si  l'on  pose 

A"  dt  =  du,         l  dt  =  dv,         m  dt  —  (hv, 

les  dix  équations  différentielles  du  mouvement   se  déduisent  en  permutant  les 
indices  1,  2,  3,  /j  dans  les  deux  premières  de  ces  équations  (jue  l'on  peut  mettre 


uKVUi':  i)i<:s  publications.  kji 

sous    l.l    rollMC 


/   dx^  --       I  A -,  A";  (lu  H-  (  A:,  H-  A^  dv  -i-  (Uv  |  7,,^, 
(  j  )        !  -H  [  A  \  A;  ^//<  H-  (  A  ;  H-  AJ  )  c/(^  4-  c/(v  |  q,^x^ 

\  +  [  A:  A*-  du  +  (  A";  +  A^  )  6^f  4-  dw  1 7,,^,. 


Ces  équations  difTércnLicllcs  oiïrcnt  ceci  de  remarquable,  que  si  l'on  envi- 
sage u,  V,  w  comme  des  variables  indépendantes,  elles  représentent  un  sys- 
tème d'équations  aux  diflercnlielles  totales.  On  peut  chercher  à  définir  les  dix 
paramètres  q^o,  x^{ix,  jâ  =  i,  2,  3,  4)  en  fonction  de  ces  variables  indépen- 
dantes de  manière  que  ces  équations  soient  vérifiées. 

Les  dix  équations  diiïérentieiles  précédentes  se  partagent  en  six  équations 
du  type  (i)  et  quatre  équations  du  type  (2). 

Les  six  équations  du  type  (i),  où  la  variable  w  ne  figure  pas,  admettent  les 
cinq  intégrales 


a,  —  a,        a,  —  a,        a,  —  a 


7-:.      ,      7:.     ^._^i^^c., 


a 

^^ 

q\ 

3 

a 

«3 

a 

î 

^^. 

7; 

«3— a,        a^— a^       a^— a. 
«3  —  a^        «3  —  a^        ttj  —  a^ 


a.— a.        a, —  a„        a. —  «, 


=    C3, 


dont  quatre  sont  indépendantes.  Les  six  paramètres  q^  g  sont  donc  liés  par 
quatre  relations  algébriques;  ces  quatre  relations  définissent  une  variété  algé- 
brique à  deux  dimensions;  w  et  c^  sont  des  fonctions  intégrales  de  cette  variété 
algébrique,  dont  les  difTérentielles  totales  sont  définies  par  les  six  équations  du 
type  (i). 

Si,  dans  les  quatre  équations  différentielles  du  type  (2),  on  envisage  d'abord 
M  et  p  comme  des  constantes,  les  q^o  seront  aussi  des  constantes  et  w  sera  la 
seule  variable  indépendante.  Ces  quatre  équations  (2)  seront  alors  linéaires  à 
coefficients  constants;  leurs  intégrales  sont 

(a  =  I,  2,  3,  4), 
où  /.-,  /.',  A",  A'"  sont  les  quatre  racines  de  l'équation 

X*- (7h  +  7:3  + 'Z^  + 'ZL  +  ^!4  +  ^73  J  >^^+ (7.3'7u-l- 73.7..+ '7,.'73J' 

Ces  racines  sont  réelles  et  deux  à  deux  égales  et  de  signes  contraires.  Elles 
sont,  comme  l'a  démontré  M.  Frahm  ('),  indépendantes  des  valeurs  parti- 
culières données  à  uetv)  elles  ne  dépendent  donc  ni  de  u,  ni  de  v,  ni  de  w. 

Les  rapports  de  |,,  ç^,  ^3,  \^  sont  déterminés  par  les  quatre  équations  linéaires 

(')  Mathematische  Annalen,  t.  MIL 
ISull.  des  Sciences  mathém.,  2"  série,  t.  XL\.  (Août  1895.)  ï\.iS 


194  SECONDE   PARTIE. 

cl  homogènes 

les  systèmes  d'équations  linéaires  et  homogènes  qui  déterminent  les  rapports 
des.aulres  coefficients  ^;,  W,  V.,  l\  ;  ^'1,  ^i,  E3,  ^'I  ;  l'",  17,  II',  17  se  déduisent  des 
équations  précédentes  en  y  changeant  k  en  /.',  A",  A'";  la  détermination  com- 
plète des  intégrales  particulières  correspondant  aux  quatre  racines  k,  k',  k'\ 
k'"  n'exige  plus  que  des  quadratures;  si,  dans  ces  intégrales  particulières,  on 
sépare  la  partie  réelle  et  la  partie  imaginaire,  les  composantes  correspondent 
à  quatre  directions  orthogonales,  de  sorte  que  le  passage  du  mouvement  apparent 
au  mouvement  réel  est  facile.  Il  faut  encore  poser  finalement 

II.  —  kt,        V  =  It,        iv  ~  mt. 

Kronecker  (L.).  —  La  relation  de  Legendre.  (323-332). 

Soient  v,  (v  deux  quantités  imaginaires  quelconques  dont  le  rapport  n'est  pas 
réel:  s  =  h- i  ou  s  —  —  i  suivant  que  la  partie  réelle  du  rapport  — .  est  positive 


ou  négative; 


(V) 


>eH-       '•  -I  (v  =±i,  ±3,  ±5,    ...); 


K  et  E  les  intégrales  complètes  de  première  et  de  deuxième  espèce  de  Legendre, 
correspondant  à  un  module  quelconque  k;  K' et  E'  les  intégrales  complètes  de 
première  et  de  deuxième  espèce  correspondant  au  module  complémentaire  A"'. 
Kronecker  établit  la  relation 

(I)  ,,(K'F.-.KF/-  KK')^  '-^        ^       "^  -  i^'  4 ^ 

V     j  '^    \  iV 

en  s'appuyant  sur  la  représentation  des  intégrales  complètes  de  première  et  de 
seconde  espèce  à  l'aide  de  la  fonction  2r,  qu'il  déduit  aisément  de  quelques  re- 
lations fondamentales  empruntées  aux  Fundamenta. 

Legendre  a  démontré  que  le  premier  membre  de  cette  relation  est  égal  à  67:  ; 
son  second  membre  est  donc  aussi  égal  à  6t;  il  en  résulte  aisément,  si  l'on 
tient  compte  de  la  formule  de  transformation 

que  l'expression 
(II) 


r  /  \       < 


KliVUK   DHS   PUBLICATIONS.  i<)l 

où  a  et  T  sonl  deux  varial)lcs  réelles  (hkîIcoikiucs,  iic  cliaiij;c  |)as  l<ns(iu'<)ii  y 
lomplaco  a,  x,  (;,  (v  rcspccLivcinciiL  par  aa  +  pT,  a'a4-[i'T,  [i'v;  — a'tv,  — jiit'H-an', 
pourvu  que  les  nombres  entiers  a,  [i,  a',  [i'  soient  clioisis  parmi  ceux  ([ui  vé- 
riliiMil  la  relation  a[i'—  a' [iJ  —  i.  Mais  alors  l'expression 

I  H;"'(  (),  e(v) 

ne  change  pas  non  plus  lorsqu'on  y  remplace  a,  x,  iv  par  a^ -i-  mT,   a'aH-  [i'x, 

a(V  —  p 
—  a'tv  -h  p'' 

Inversement,  si   Ton  écrit  que   l'expression    (111)   est  éj^'ale  à   celle  que  l'on 

ouv  —  ^i 

obtient  en  y  remplaçant  g,  x,  (v  par  aa  -j-  [io-,  a' a  H-  [i'x,  ^ *--,  i  on  obtient 

—  et  (V  +  jj 

la  formule  générale  de  transformation  linéaire  de  la  fonction  '-— - — ^ ->  d'où 

*'  Sf  (o,  2tV) 

l'on  déduit  comme  cas  particulier,  en  posant  a  =  o,  [i  =  —  i,  a'  =  i,  p'  =  o,  que 
le  second  membre  de  la  relation  (I)  est  égal  à  (J-n:,  et  par  suite  la  relation  de 
Legendre 

K'E  +  KE—  KK'=  -. 

On  peut  d'ailleurs  montrer  que  l'expression  (III)  ne  change  pas  quand  on  y 

remplace  a,  x,  (v  par  aa  +  px,  a  a -f-  p  x, ; —n'>  en  observant  que  1  ex- 

^  ^  '  '         —  a  (V  +  [i  * 

pression  (III)  augmentée  de  l'unité  est  égale  à  l'ensemble  des  termes  de  di- 
mensions o,  I,  2,  dans  le  développement,  suivant  les  puissances  croissantes 
de  a  et  de  x,  de  l'expression 

£M  lim h  Atr(£  w,  w„,  i,  ecv)    , 

?/„  =  0L       ^.  I 

où  l'on  a  posé  pour  abréger 

Il  —  zv  -^  xw, 

et  où  le  symbole  Atr(£a,  u^,  v,zw)  représente  la  fonction  Atropos  de  Kro- 
neckcr 


2x//n7i:  i  2r'  1  0, 


Atr(cw,  u^,  V,  cw)  =  -  e      "^ 


^/ 

■  // 

£(y^ 

V       / 

''A, 

£(V 

n- 

•^ 

- —  J 

V 

^  / 

/    \ 

t^ 

t^ 

dont  l'invariance,  pour  les  substitutions  linéaires  considérées,  a  été  démontrée 
de  diverses  manières  dans  des  Communications  précédentes  sur  les  fonctions 
elliptiques. 

D'autre  part  ('),  l'ensemble  des  termes  de  dimensions  o,  i,  2,  dans  le  déve- 
loppement, suivant  les  puissances  croissantes  de  u  et  x,  de  l'expression 


a  lim h  Au(2«,  «, ,  1,  £vv)  L 

^/«^oL       ",  I 


< ')  Sitziinghciiclttc.  mar-  1890. 


196  SECONDE  PARTIE. 

est  égal  à  l'ensemble  des  termes  de  dimensions  o,  1,2,  dans  le  développement, 
suivant  les  puissances  croissanles  de  a  et  de  t,  de  l'expression 

NzrooM^oo  ^^  m  -t-  mv 

tu,  n 
OÙ 

m'  =  ±  I,  ±:  2,  .  . .,  zfc  IM,         /?i  =  xrn'  -+-  |j/î', 

«'  =  ±:  I,  rt  2,  . . .,  d=  N,  /i  =  a'm'+  [i'/i', 

a,  p,  a',  p'  étant  des  entiers   arbitrairement  fixés  parmi  ceux  qui  vérifient  la 
condition  ajj' —  a'P  =  i. 
Donc  la  relation  de  Legendre 

K'E+ KE'-KK'=  - 


est  entièrement  équivalente  avec  le  fait  de  Vinvariance,  suivant  le  système  de 
modules  (a%  a-x,  (7t%  t'),  de    l'expression   (IV)   lorsqu'on  y  remplace  c-,  t,  w 

par  aa  +  [ix,   a'a  +  p'x,  ■ ; *^j  où   a,    a',    j3,    P'  sont  des  entiers  quel- 

—  a  tv  +  jj 

conques  vérifiant  l'équation  de  condition  aji' —  a'p  =  i. 

Cette  invariance,  modulis  (  a^,  a^x,  ax%  x'),  peut  d'ailleurs  être  établie  directe- 
ment. 

Kronecker  (L.).  —  La  relation  de  Legendre  (suite).  (343-358). 

Dans  les  Fundamenta,  Jacobi  a  déduit  de  la  relation  de  Legendre,  la  for- 
mule de  transformation  linéaire  de  la  fonction  impaire  2r  dans  le  cas  particulier 
où  a  =  o,  p  =  —  I,  a'=  I,  p'=:  o.  Dans  aucun  de  ses  cours,  il  n'a  suivi  la  marche 
inverse  :  c'est  Schellbach  qui  a,  le  premier,  déduit  la  relation  de  Legendre  de 
la  formule  de  transformation  linéaire  de  la  fonction  impaire  '^,{v\  x). 

Kronecker  montre  que  si  l'on  suppose  seulement  que  l'expression 

K'E+KE'— KK' 

est  indépendante  de  A',  on  peut  en  déduire  la  formule  de  transformation  linéaire 


^(u           iv\              .       /      ZKvi     — Tzi  ^  f  a     z\v\ 
£;    _, =-si    4/ e"'^       5ï    -,   —    , 

\  (V  W  J  \  V  \^  V    J 

et  qu'inversement  on  déduit  de  cette  formule  la  relation 

K'E  +  KE  —  KK'=  -• 

2 

Puis,  après  avoir  présenté  sous  une  forme  un  peu  différente  de  celle  de  Jacobi  ceux 
des  développements  de  l'article  56  des  Fundamenta  dont  il  compte  faire  usage 
plus  loin,  il  passe  à  un  autre  objet  et  étudie  le  lien  qui  rattache  la  relation  de 
Legendre  aux  recherches  fondamentales  d'Eisenstein  contenues  dans  le  Tome  35 
du  Journal  de  Crelle. 


hkvuiï;  dks  publications. 

I''ispns|(Mn  ;i  monli-r  (\ur  la  (lillércncc  des  doux  expressions 


197 


liii)     liiii      ^      l<»^ 
[III,  n] 


(a  —  a ,  )  t^  -H  (  T  —  "^c,  )  *^' 
(  j  H-  m)  ^  H-C"^  H-  '0  <v. 


lim     lim      > 
N  =  .0  M  -  00  -^i^ 


r       (    (  J   —   C^n  )    ^  +  (  T   —   T  J  tV 

{(S  -i-  m)  V  -h{T  -h  n)w 


[III,  II) 


(— IMlm^M,     —  N:i/ilN) 


ne  change  pas  lorsqu'on  y  rennplace  les  quantités  réelles  quelconques  a^,  x^,  t, 
X  et  les  (juantités  imaginaires  v,  w,  respectivement  par 

aj  +  px  -h  Y,  a'  (7  +  [î'  X  +  y'j 

p'(^  —  a'»',         —^v-hoLW, 

quels  que  soient  les  entiers  y,  y'  et  quels  que  soient  les  entiers  a,  3,  a',  P'  liés 
par  la  relation  aji' —  a'[i  =  i. 

Kronecker  reprend   cette  démonstration  et  la  présente  sous  une  forme  plus 
simple.  Soient,  pour  abréger, 


en  désignant  par 


logEn(M„,  II,  V,  w) 
la  différence  des  deux  limites  précédentes,  il  fait  voir  que  l'on  a 


Sr(^ 


logEn(M„,  u,  v,w)=  log  — 


a'  if 

U„ —  Il  \  V 


^/i^ 


i  /  u„ 


'"(^  ^-("y 


.n'i 


V  /  -î 


Les  deux  derniers  termes  du    second  membre  de  cette  égalité,  changés  de 
signe,  sont  précisément  les  deux  premiers  termes   du   développement  suivant 


les  puissances  croissantes  de de  la  fonction  log  — ; — —^  de  sorte  que  l'on 

peut  dire  que  la  fonction  logEn{u^,,  u,  v^  w)  est  représentée  par   l'ensemble 

.                     ,       , ,     ,                        .          ,           •                     .                1     w, —  n       . 
des  termes  du   développement  suivant  les  puissances  croissantes  de  — qui 

.  ,          •  • .             •               ,     "0  —  <' 
rommcnce  a  la  troisième  puissance  de 


Le  symbole  En,  formé  par  la  première  et  la  dernière  lettre  du  nom  d'Eisenstein, 
a  été  choisi  par  Kronecker  pour  mettre  en  évidence  que  c'est  ce  géomètre  qui 
H  le  premier  étudié  les  invariants  analytiques  de  la  substitution  linéaire  géné- 
rale précédente. 

En  cherchant  un  invariant  analytique  de  celle  nicine  substitution  linéaire 


198  SECONDE   PAKTIE. 

dans  le  cas  plus  restreint  où  les  entiers  y  et  y'  sont  tous  deux  nuls,  Kronccker 
est  amené  à  envisascr  la  fonction 


(V) 


où  l'on  a  pose,  pour  abréger, 


Il       Z  (V 


z  =  -  {ul  —  U-)  liiii     lirii      > 


m,  n 


(m  =±1,  ±2,   ...,  ±:M;     «  =d=i,  ±2,   ...,  ±N). 
Cette  fonction  (V),  dont  le  logarithme  peut  être  représenté  par  l'expression 


lo 


(  U        £  IV  \  6  P^  ^  ,  /         £  H'  \    ' 


ne  change  effectivement  pas  lorsqu'on  y  remplace 

^0'       '^o>       <^>       "^J       ^.       <V 

par 

aa^+ px^,     a'c7g+p'x^,     aa  +  [iT,     a'cr  +  |i'T,     pV  — a'(r,     —  [iy  +  aa', 

quels  que  soient  les  entiers  a,  p,  a',  ji'  liés  par  la  relation  a|i' —  a'[2  =  i. 

II  est  enfin  très  intéressant  d'observer  que  cette  niènrie  fonction  {\)  peut 
aussi  être  représentée  par  le  quotient  de  deux  invariants  dans  un  sens  plus 
restreint  encore.  Si  l'on  désigne  par 

\  U  V 

la  fonction  définie  par  l'égalité 

/„      .<ps  r  („,-»)  (3,. -»,.n 

En(-^,   '^- — )  =  lim  L  wEn  («g,  w,  ç^,  (v)e  ^"-^         J, 

on  voit,  en  effet,  que  cette  fonction  En(  —  >  —  j  ne  change  pas,  lorsque,  sans 

changer  a^,  x^^  a,  x,  on  remplace  v,  w  par  P'w  —  a'tv,  —  (Bf -haiv,  quels  que 
soient  les  entiers  a,  jâ,  a',  [j'  vérifiant  la  condition  a[j' — a'p  =  1;  et  l'on  voit, 
d'autre  part,  que  l'expression  (V)  peut  être  représentée  par  le  quotient 

Dans  sa  dissertation  inaugurale,  M.  Hurwitz  a  déjà  montré  comment  on  peut 
déduire  aisément  la  relation  de  Legendre  des  développements  analytiques 
donnés  par  Eisenstcin.  Kronccker  parvient  au  même  résultat  en  suivant  une 
voie  différente  et  montre  commcnl,  eu  se  plarant  au  point  de  vue  d'Eiscnstcin. 


IIMVUI<:    I)i:S   PUBLICATIONS.  199 

(111  podl  mettre  en  (^{(lenee  ré(niivalcnc(;  (!(•  la  formule  de  transformation 
lim'-airede  la  fonetioii  impaire;  H?  pour  o(  —  0,  j3  =r  —  i,a'— r,  [i' —  o  ;ivee  la  re- 
I, Il  ion  (le  Lcgcndre,  équivalcnec  qui  a  dijà  été  éLaldi(;  j)lus  liaul  en  se  plaeani 
à  un  point  de  vu(*  diderenl. 

Il  obtient  enfin,  comme    consé(juenee  de    relations  établies  dans  le  eourant 
des  recherches  précédentes,  les  deux  éf^alités 


lim     lim     \ 

y  :=.  ce    M   —  CD    ^^ 


m,  n 


{2  m  —  /i  H-  ni  y 3 y        •>. y/iï 


lim 


lim    V 


Nz^ooM^oo-^   {ni -h  ni)' 
1)1,  Il 

(— iNl/i^N,  —  M:^m^M). 

Gc.vhardt  (A--./.).  —  Jlcchcrches  de  Leibniz  sur  les  déterminants. 
(40--423). 

I^eibni/,  n'a  rien  publié  sur  les  déterminants;  mais,  dans  une  lettre  adressée 
à  Tschirnhaus  et  datée  de  la  fin  du  mois  de  mai  1678,  on  trouve  un  passage 
(|ui  se  rapporte  peut-être  à  ses  nombreux  travaux  sur  cette  partie  de  l'iVIgèbre. 
Cette  lettre,  écrite  en  réponse  à  une  prétendue  résolution  algébrique  des  équa- 
tions de  degré  quelconque  que  Tschirnhaus  lui  avait  envoyée  de  Rome  six  se- 
maines auparavant,  nous  donne  de  précieux  renseignements  sur  l'ensemble  des 
recherches  algébriques  que  Leibniz  avait  entreprises  pendant  son  séjour  à  Paris. 

Il  existe  plusieurs  brouillons  de  cette  lettre;  M.  Gerhardt  en  reproduit  un, 
encore  inédit,  en  le  complétant  à  l'aide  d'un  second  brouillon. 

M.  Gerhardt  publie  ensuite  trois  Notes  de  Leibniz  concernant  les  déterminants. 
Il  reproduit  aussi,  pour  servir  de  terme  de  comparaison,  une  lettre  de  Leibniz 
au  marquis  de  l'Hospital,  datée  de  Hanovre,  le  28  avril  1698.  Dans  cette  lettre, 
Leibniz  insiste  beaucoup  sur  l'avantage  qu'oiïre  en  Algèbre  la  notation  des 
systèmes  d'indices  par  lesquels  il  propose  de  désigner  les  coefficients  des 
systèmes  d'équations  au  lieu  d'employer  des  lettres  a,  b,  c,  ...  comme  on  le 
faisait  jusqu'alors. 

Kronccker  (L.).  —  La  relation  de  Legendre  (suite).  (447-4G5). 
La  série  à  double  entrée  Scr{u^,  u,  v,  w) 


lim     lim     >    — 


-i-  m  )  t^  -1-  (  X  -h  /i  )  u' 


m,  n 


OÙ  la  somme  est  étendue  à   tous  les  indices  ni  et  n  tels  que,  a,  p,  a',  [î'  dési- 
gnant des  entiers  quelconques  liés  par  la  relation  a,3' — a' [3  =  1,  on  ait 

I  -xni  -\-  '-^n  I  ^  M,         I  a' m  ^-  [î'/?  |  S  N, 
et  où  l'on  a  posé  pour  abréger 


200  SECONDE  PARTIE. 

comprend  comme  cas  parliculiei^  la  série  à  double  entrée  d'Eisenstein 

lim     lim     7     > 

>n,  n 

qui  représente  la  dérivée  logarithmique  de  la  fonction  impaire  9j^. 

C'est  en  étudiant  d'une  façon  générale  la  série  iier{Ug,  u,  v,  w)  qu'il  avait 
déjà  envisagée  dans  des  Communications  précédentes  sur  les  fonctions  ellip- 
tiques, que  Kronecker  se  proposait  de  mettre  en  pleine  lumière  la  nature  et 
l'importance  de  la  série  à  double  entrée  d'Eisenstein;  la  mort  ne  lui  a  pas 
permis  de  publier  tous  les  résultats  auxquels  il  était  sans  doute  déjà  parvenu. 
Dans  sa  Communication  actuelle  il  n'envisage  que  ceux  de  ces  résultats  qui  se 
rapportent  à  la  relation  de  Legendre. 

Lorsque  la  différence  de  deux  fonctions 

de  n  variables  ^,,  z^,  ,..,  z,^  ne  change  pas  quand  on  y  remplace  le  système 
des  n  variables  par  l'un  quelconque  des  systèmes 

V-^'iJ'^s?  •  '  •■>  '^/i  /y      \  '^11  --^ii   •  •  •  1  ^  Il  )>       •  •  •  ■> 

Kronecker  dit  que  les  deux  fonctions  c)'(5,,  z.,,  . ..,  z^)  et  (j*(^,,  z.^,  . . .,  s„)  sont 
isott'opes  pour  la  classe  formée  par  les  systèmes  équivalents 

Soient  a^,  x^,,  a,  t  des  variables  réelles  quelconques,  v,  w  des  variables  ima- 
ginaires dont  le  rapport  ne  soit  pas  réel;  envisageons  la  classe  formée  par  les 
systèmes  équivalents  que  l'on  obtient  en  remplaçant  dans  le  système 

a,  p,  a',  ^'  successivement  par  tous  les  nombres  entiers  qui  vérifient  la  rela- 
tion a^' —  a'p  =  I.  Les  deux  fonctions 


et 


o,   — 


sont  isotropes  pour  cette  classe  de  systèmes  équivalents.  Or  on  peut  trouver 
immédiatement  la  quantité  dont  varie  la  première  de  ces  deux  fonctions  iso- 
tropes quand  on  passe  d'un  système  (a^,  t^,,  or,  t,  v,  <v  )  à  un  quelconque  des 
systèmes  équivalents  de  la  classe  considérée;  on  a,  en  effet, 


(jiV  — a'w)  (aa<,4- IîtJ  u^v  v{'^'v  —  x'w)' 

la  quantité  dont  varie  la  seconde  fonction  isotrope  I ^ 1  quand 

on  passe  d'un  système  (  t^,  t,,  cr,  t,  v,  w     à  un  quelconque  des  systèmes  équi- 


UliVUli   DES  PUBLICATIONS.  jioi 

valcnts  iii;  la   classe  considci'cc  est  donc  aussi  ccralc  a -7-; ; — -;  on  a 

v{^  V  —  a'w) 

donc,  en  particulier,  pour  a  ==  o,  p  =  —  i,  a'=i,  [i'=o,  la  relation  équivalenle 

à  celle  (le  Legendre, 


Ue  l'isotropie  des  deux  fonctions 


et     — 


,  -(».  v) 


•^  ("'  V 

pour  la  classe  de  systèmes  envisagés,  on  déduit  aussi  que  la  fonction 

V  V  V    J  ^(a  +  T  -  JTETTt 

est  un  invariant  de  cette  classe,  tout  comme  la  fonction  moins  simple 

Ln    G  H-  T— ,  , 

V  V       V  j 

définie  dans  une  Communication  précédente.  Il  est  d'ailleurs  facile  de  voir  que 
la  formule  qui  exprime  cette  invariance  n'est  autre  que  la  formule  de  transfor- 
mation linéaire  de  la  fonction  Sr  pour  a  =  o,  ^  ■=  —  i ,  a'  =  i ,  [i'  =  o.  On  a  donc 
une  nouvelle  démonstration  de  l'équivalence  de  la  formule  de  transformation 
linéaire  de  la  fonction  impaire  H?  dans  ce  cas  particulier  et  de  la  relation  de 
Legendre. 

Voici  encore  une  autre  démonstration  de  la  relation  de  Legendre.  Envisageons 
la  classe  des  systèmes  équivalents  que  l'on  obtient  en  remplaçant,  dans  le  système 

(aj  H- |3-,  a'j  4- [i'x,  ^V  —  a'tv,  —  ,3t^  +  atv), 

a,  p,  a',  P'  par  tous  les  nombres  entiers  vérifiant  la  relation  ocjâ'—  a'p  =  i;  g-,  t 
sont  des  variables  réelles  quelconques,  v,  w  des  variables  imaginaires  dont  le 
rapport  n'est  pas  réel.  Les  deux  quantités 

2e~i  T 


et 

lim     lim 


I     "    V'  'v  j  /-M<m<M 


^  —  =o-i\-:o^{mv-^mv)-  3i^-   .,/      tw\  \— N^/i^N 


m,  n 


■  K-  '-^) 


ou  e  est  le  signe  de  la  partie  imaginaire  de  —.,  sont  isotropes  pour  cette  classe 
de  systèmes  équivalents. 
Bull,  des  Sciences  matliém.,  2"  série,  t.  XI\.  (Septembre  1895.)  \\.i(\ 


202  SECONDE    1>AUTIE. 

Pour  le  démontrer,  Kronecker  envisage  la  fonction 

atr(ei/,  u'„,  u,,  v,  ew), 

définie  par  la  série  à  double  entrée 

\ogdiir{eu,u'u„v,ew)=\iîn     lim     >    e^"'  '»^)^'^' log -^ ^ — -^^- — - 

/«,  n 

(-Mlm^M,     —  Ni«^N), 
où 

a'o  et  t'j  étant,  comme  a^,  t„,  a,  x  des  variables  réelles  quelconques.  Cette  fonc- 
tion, qui  vérifie  l'équation  difTérentiellc 

c>logatr(eM,  Mo,  i^o' ^>  ^"')        c      /         '  x 
5 J^/       — =  Ser(w,  M„,  V,  a'), 

est  un  invariant  de  la  classe  de  systèmes  équivalents  que  l'on  obtient  en  rem- 
plaçant dans  le  système 

az  +  [ix  -h  Y,        aT^,H-  [ix,„        ^^'„-h  [i^;,  ''^' v  —  a'«% 

a'a  +  ;î'x  +  Y',     a'c:„+ ;^'x,,,     a'T;H-,3'x;,     —  [^(^-r-atv, 

y  et  y'  par  tous  les  entiers  et  a,  [3,  a',  p'  par  tous  les  entiers  en  vérifiant  la 
relation  a[â'— a'^  =  i.  L'ensemble  des  termes  de  même  dimension  dans  le  dé- 
veloppement de  cette  fonction  suivant  les  puissances  croissantes  de  a,  x,  o-^,, 
Xj,,  a'o,  x^  est  donc  aussi  un  invariant  de  la  même  classe  de  systèmes  équivalents. 
Or  l'ensemble  des  termes  de  ce  développement  dont  la  dimension  est  égale  à  2, 
est 


donc  les  deux  quantités 


2  ax-Tt  l  1  \         V  / 


(->  (  p  a  +  it'  X  )         3  c-    ^  ,  /       s  (V 
^  (  o,  


] 


S' 

2  ET'Tt  l  T 


^  (»•  — 

sont  isotropes. 

De  cette  isotropie  on  déduit  d'ailleurs  immédiatement  la  relation  de  I-cgendre. 

En   modifiant  la   démonstration  précédente,  on  montre  que,  quand  M  et  N 
tendent  vers  l'infini,  tandis  que  a  et  x  tendent  vers  zéro,  la  somme  double 

V«  cos(/ïcr-/nx)2Tr  .      m  <  «,  <  m      _m<„< 


^        (  mv  -f-  nw  y 


(— MSmSM,     —  NS/ilN) 


tend  vers  des  limites  différentes  suivant  l'ordre  dans  lequel  on  prend  les  limites. 


UliVUlî   DliS   rUBLlCAllONS.  loi 

\insi  l'on  a 


73-  I  0 


\"i  cosf/ja  —  /«x)2Ti;              i          \        \>   I       2ZTzi  ,.             x 
/    — / — =—^7—; — 7 \" ''"' ' 

V 


T_o  '"."  -^  r^'  (,  /  '^=0 


■in  cos  (  «  a  — /;?  X  ) '-i  Tc  _ 
uni      mil     hm      > ; — —  — — T. — 7  -. 


lim    lim 

X  =  0  771,  71 


De  ce  fait  analytique  on  dcduiL  aussi  la  relation  de  Lcgcndrc. 

Une  autre  dénnonstration  de  cette  même  relation  repose  sur  une  représenta- 
tion particulière  du  carré  du  produit 

Sr'(o,  (v.)S7'(o,  wj, 

où  (V,  et  —  (Vj  désignent  les  deux  racines  de  l'équation  du  second  degré 

a^-hb^w  -i'-  c^(v-=  o, 

dont  les  coefficients  sont  des  quantités  réelles  vérifiant  la  relation 

Kronecker  a  montré  {Sitzungsberichte,  i883)  que  l'on  a 
( iw,  +  iw,y[ 2r' ( o,  tv, )  S' ( o,  w.^ ) ]' 

où  la  série  à  double  entrée  qui  figure  dans  le  second  membre  est  étendue  à 
tous  les  entiers  positifs  et  négatifs  m,  w,  or  cette  série  à  double  entrée  ne  change 
pas  de  valeur  quand  on  y  remplace  le  trinôme  a^  m-  -\- b^  mn  +  c^ n'^  par  le  trinôme 

(  a,^  a^  H- 6g  aa' +  Co  a'^  ) /7i= 

quels  que  soient  les  entiers  a,  [3,  a',  p'  vérifiant  la  relation  a^'—  a'[3  =  i;  l'ex- 
pression 

est  donc  un  invariant  pour  toute  la  classe  des  systèmes  que  l'on  obtient  en 
remplaçant  (w,,  —  w^)  par  les  deux  racines  de  l'une  quelconque  des  équations 

,    a' H-  S'w             /a' H-  W  w\ 
a.  +  b,. ^- h  c„    ^ —     =  o. 


Cette  expression  a  donc,  en  particulier,  la  même  valeur  lorsque  dans  la  der- 
nière équation  on  suppose  a=i3'=o,  a'  =  i,  p'  =  — i  que  lorsqu'on  y  fait 
2  =  P'=  1,  a'  =  p  =  0,  on  en  conclut  la  relation 


(ùv) 


|_^1^^]^=., 

r':-^)] 


>o4  SECONDE  PARTIE. 

d'où 


&"'(0,(V)  .      '^     \C[ (V,  _        . 

Sr'(o,  tv)        iv 


("■  -  ^) 


relation  équivalenlc  à  celle  de  Legendre,  comme  on  l'a  déjà  démontré. 

Kroneckcr  modifie  enfin  la    démonstration   précédente  en   remarquant  que 
l'on  a 

V  (_  I  )("»-')(«-•)  («^m=  H-  (^,mn  +  Cu«=)'e-'^(''o"'-+''o'»"+'--o"-) 
9 


V  (_  i)('«-0("-0(ûr^/n^H_  bjjin  -+-  c^iV)  e--i"o'»'+''o'»"+'=o"») 


où,  au  numérateur  comme  au  dénominateur,  les  sommes  doubles  sont  étendues 
à   toutes   les   valeurs  entières   positives  et  négatives  des  indices  m,  n.  Pour 

b—  o,  on  a  donc,  en  désignant  par  (v  la  valeur  commune  —  des  deux  racines 

1  c 

\\\  —  (Vj  du  tnnome  rt„4-  b^iv  +  c„(v% 


fM'  ^— —  3  ^ 


rn--i    J 


d'où  l'on  déduit,  pour  des  valeurs  réelles  de  w,  la  formule  de  transformation 
linéaire  de  la  fonction  Sr  qui  est  équivalente  à  la  relation  de  Legendre.  On 
étend  ensuite,  sans  difficulté,  la  même  formule  à  des  valeurs  quelconques  de  iw. 

J.  M. 


COMPTES  RENDUS  iikudomadaihes  des  séances  de  l'Académie  des  Sciences, 

TomeCXVII,  1898  ('). 

Boussinesq.  —  Sur  les  déformations  successives  à  la  tête  d'une 
onde  aérienne  isolée,  durant  la  propagation  de  cette  onde  le 
long  d'un  tuyau  de  conduite  sans  eau  de  longueur  indéfinie. 

(12-18). 

M.  Boussinesq  étudie  le  ralentissement,  les  déformations  et  l'extinction  des 
(')  Voir  liuUclin.  \I\^,  p.  i3o. 


HHVUK    DKS   PUBLICATIONS.  2o5 

«>mlcs  arricnncs  dans  les  liiyaux,  par  l'cdct  du  froftcnicnl  cL  de  la  pcnnéahiliU; 
caloriCniue  de  la  paroi. 

Il  obtient,  pour  expression  asymptoticfue  de  la  compression  y,  Téquation 


dt   ~  dx 


^^V^f  ^'(^-«^-<-?"X^' 


où  a  est  la  vitesse  du  son  dans  l'air  libre,  \x  un  coefficient  habiluellennent  voi- 
sin de  o,oo58,  a  l'aire  et  y  le  périmètre  du  tuyau,  enfin  (^{x  —  at)  une  ex- 
pression de  Y  approcliée  et  censée  connue. 

Il  examine  en  particulier  le  cas  d'une  intumescence  isolée  où,  en  allant  du 
front  de  l'onde  {x  =  ce)  vers  sa  queue  (a;  =  — co),  la  condensation  y  croit  de 
zéro  jusqu'à  une  valeur  maxima  h  (sommet)  qu'elle  atteint  au  niveau  de  la 
section  X,  pour  décroître  ensuite  jusqu'à  zéro.  Il  donne  des  formules  qui  per- 
mettent de  calculer  :  i"  la  vitesse  de  propagation  w  =  -j-  du  sommet  h  vers 

les  X  positifs;  2"  le  rapport  m  = —  r  -7^7  >  coefficient  actuel  d'extinction  de  ce 

h  a\ 

même  sommet  ou   maximum  h;   3"   le  coefficient  d'extinction  ni'  — -^ 

az  dt 

de  l'énergie  totale  de  l'onde  ^  =    1      Y^  dx. 

«y —  00 

Si  l'on  attribue  à  la  fonction  9  la  forme  très  simple  et  très  naturelle 

(i)  o(x  —  at)  =  Il  ; —  =/isin*2T,, 

^  '  •  ^  '  c'-\-  {x  —  aty 

où  la  variable  auxiliaire  r\  croit  de  zéro  à  -  de  la  tête  à  la  queue  de  l'onde, 

2 

ces  formules  se  présentent  sous  la  forme 

(2)  ^JZ^    =   ll^*/^    >^, 

a  16  v    2  a  a 


(3)  m=   I   ^/ , 


2ac  <s 


(4)  m'=  m  v/2  ; 

d'où  l'on  déduit  que  la  longueur  sensible  de  l'onde,  mesurée  par  le  paramétre  c, 
croît,  à  l'époque  considérée,  comme  l'exponentielle  e^'^-'^'^'"^'^^. 

Cet  allongement  se  fait  surtout  à  la  queue  {x  =  —  oc).  Au  contraire,  le  mou- 
vement de  la  tète  garde  à  toute  époque  l'expression  (3),  où  h  et  c  sont  sup- 
posés lentement  variables.  Il  suffit  donc  d'évaluer  le  coefficient  d'extinction  rri' 
de  l'énergie 


 


dx  =  Y  c/t' 
4 


de  ce  mouvement  de  la  tète  pour  avoir  une  équation  qui,  avec  (3),  détermine 
de  proche  en  proche  les  déformations. 


2oG  SECONDE   l>ARTIE. 

M.  Boussincsq  trouve,  pour  calculer  m",  la  relation 

m"  3        64     rV,    .   ;  l  .    \  \    \   , 

—  = 1 1      \.5  sin   T,  cos  T,  —  sin  Y\  cos    ry  (/f,  =  I, 


7878. 


Comme  le  rapport —  surpasse  — >  lenergic  décroît  plus  vite  dans  la  tête 
TYi  m  °  ^ 

que  dans  l'onde  entière  :  la   tète   s'allonge  sans  cesse,  mais  beaucoup  moins 

que  la  queue. 

Si  l'on  désigne  par  /?„  et  c^  les  valeurs  initiales  des  paramètres  h  et  c,  on 

aura 

( -r  )        =i  +  o,io6i     '   ^         '- at, 
V'W  4v/2«c„  ^ 

—  —  i-\-  0,1061  — - —  -  at, 

32 


v/i 


rt  —  w  =  -^TT^ —   -  I  v/2«Cq+  0,1061  —^ —  -  at  j 


On  voit  que  la  vitesse  de  propagation  to  décroît  sans  cesse,  comme  l'avait 
indiqué  Regnault. 

Poincaré.  —  Sur  les  transformations  birationnelles  des  courbes 
algébriques.  (i8-23). 

Nôther  et  Halphen  ont  démontré  qu'on  peut  toujours,  par  une  transforma- 
tion birationnelle,  transformer  une  courbe  algébrique  plane  dont  tous  les  points 
multiples  sont  à  tangentes  séparées. 

On  peut  aller  plus  loin  et  montrer,  comme  le  fait  M.  Poincaré  : 

1°  Qu'on  peut  toujours  transformer  une  courbe  quelconque  en  une  courbe 
gauche  dénuée  de  toute  singularité; 

1°  Qu'on  peut  toujours  la  transformer  en  une  courbe  plane  n'ayant  d'autres 
singularités  que  des  points  doubles  ordinaires. 

Boussinescj .  —  Introduction  naturelle  de  termes  proportionnels 
aux.  déplacements  de  l'étlier,  ou  termes  de  Briot,  dans  les 
équations  de  mouvement  des  ondes  lumineuses.  (80-86). 

Miltag-Lejijler.  —  Sur  une  équation  différentielle  du  second 
ordre.  (92-93). 

INI.  Mittag-Leffler  fait  remarquer  que,  au  lieu  de  définir  la  fonction  p(w)  de 
Weierstrass  par  l'équation  connue 

on  pcul  aussi  bien  la  (léfiiiir  |>ar  rOciualiou  du  second  ordre 

■—^  =  6  i  = o-,. 

f/x'  ■  2  *  = 


KKVUF.   DES   PUBLICATIONS.  9.07 

Il  S(^   pose  rnsuilc  cclto  qiicslion  :    Trouver   toutes   les  (;(iu;ilions  du  second 

d'y 
trdrc,  ne  eontcuaiit  pas  x  explieitiMueiil,  qui  soient  du  premier  degré  en  -y^» 

d'y 
•ationnelles  et  entières  en  y  et  ~  >  et  dont  Tintéf,'rale  f,'énéralc  n'ait  d'autres 


dx 
sin};ularités  cjutî  dos  pôles  de  multiplicité  ■>.. 

Toutes  ces  é(|uations  peuvent  être  ramenées  par  une  substitution  linéaire  à 
la  forme 

d'y       r  3  ,         .  ,  dy 

dx'  ■>.  dx 


dont  l'intéprale  j^énéralc,  avec  les  deux  constantes  arbitraires  x.,  et  H,  est 

nrillouin.  —  Vibrations  propres  d'un  milicti  indcfinimcnl  étendu 
extérieurement  à  un  corps  solide.  (94-9O). 

Si  l'on  déforme  la  surface  d'un  corps  plongé  dans  un  milieu  indéfini,  puis 
qu'on  itiimobilise  la  surface,  le  milieu,  abandonné  à  lui-même,  restera  en  mou- 
vement pendant  quelque  temps  au  voisinage  du  corps,  car  en  général  la  pres- 
sion n'aura  pas  été  réduite  à  sa  valeur  d'équilibre  en  même  temps  que  la  sur- 
face était  immobilisée,  puis  ce  mouvement  se  propagera  au  loin  et  tout  s'éteindra 
lentement  autour  du  corps.  L'existence  de  ces  vibrations  propres  résulte  de 
l'absence  de  mouvement  se  propageant  vers  le  corps  et  des  conditions  à  la  sur- 
face. 

M.  Brillouin  cherche  les  petits  mouvements  propres  d'une  atmosphère  ga- 
zeuse enclavant  une  sphère  solide.  Le  potentiel  des  vitesses  d'une  onde  pé- 
riodique émise  par  cette  sphère  est 


où  S„  est  une  fonction  sphérique  homogène  de  degré  n  en  x\  y,  z  et  e  la  base 
des  logarithmes  népériens. 

L'auteur  applique  cette  formule  :  1°  au  cas  où  la  pression  à  la  surface  est 
invariable;  2°  au  cas  où  la  surface  est  immobile.  11  obtient  ainsi  les  équations 
qui  définiraient  le  son  émis  par  un  corps  sphérique  en  mouvement  lent  dans 
l'air. 

La  propriété  générale,  mise  en  évidence  par  M.  Brillouin,  montre  que  la 
forme  d'un  boulet  définit  la  hauteur  des  sons  qu'il  produit,  que  celle  d'un  na- 
vire définit  les  périodes  des  ondes  auxquelles  il  donne  naissance,  etc. 

Boussinesq .  —  Expression  de  la  résistance  opposée  par  chaque 
molécule  pondérable  au  mouvement  vibratoire  de  l'éthcr  am- 
biant. (i38-i44). 

Poincarc.  —  Sur  la  généralisation  (l'un  théorème  d'Euler  relalii 
aux  polyèdres.  {\\\-\\\^). 


•2o8  SECONDIi  l'AUTIE. 

Qu'on  imagine  un  polyèdre  silué  dans  l'espace  h  n -h  i  dimensions.  Soient: 
a^  le  nombre  de  ses  éléments  à  une  dimension  (sommets);  a,  le  nombre  des 
éléments  à  deux  dimensions  (arêtes),  etc;  a„  celui  des  éléments  à  n  dimensions. 
(Tous  les  éléments  sont  supposés  simplement  connexes.)  M.  Poincaré  trouve 

a„— a, +  a,— a3-i-...±a„  =  const. 

II  est  remarquable  que  la  constante  dépend  de  l'ordre  de  connexion  du  po- 
lyèdre si  n  est  pair,  et  est  toujours  nulle  si  n  est  impair. 

Boussinesq.  —  Considérations  diverses  sur  la  théorie  des  ondes 
lumineuses.  (igS). 

Painlevé.  —  Sur  les  équations  du  second  ordre  dont  l'intégrale 
générale  est  uniforme.  (2ii-'2i4). 

L'auteur  donne  la  solution  complète  de  la  question  suivante  : 
Étant  donnée  une  équation  du  second  ordre 

(0  y'=R(r',r), 

où  R  est  rationnel  en  y' ,  algébrique  en  y  et  indépendant  de  x,  reconnaître  si 
l'intégrale  générale  de  cette  équation  est  uniforme.  ^ 

La  méthode  qu'il  indique  permet  d'ailleurs  de  former  toutes  les  équations  (i) 
jouissant  de  cette  propriété  et  de  déterminer  la  nature  de  leur  intégrale  :  cette 
intégrale  est  une  combinaison  de  fonctions  rationnelles,  exponentielles  et  dou- 
blement périodiques  ou  dépend  d'une  équation  de  Riccati  à  coefficients  pério- 
diques. 

Il  y  a  donc  une  profonde  différence  entre  le  second  et  le  troisième  ordre, 
puisque  les  équations  du  troisième  ordre  de  la  forme 

3 

yy"=  -y"''+  y"'  ^^iy)^ 

où  A(jk)  est  une  fonction  algébrique,  peuvent  admcllre  comme  intégrale  une 
fonction  fuchsienne.  Une  des  raisons  de  cette  différence  est  que  l'intégrale 
d'une  équation  du  second  ordre  ne  peut  présenter  de  coupure. 

M.  Painlevé  regarde  comme  indubitable  que  l'intégrale  d'une  équation  algé- 
brique quelconque 

^{y",y',y)  =  o, 

quand  elle  est  uniforme,  est  réductible  aux  transcendantes  qu'introduisent 
les  équations  du  premier  ordre.  Il  n'en  est  pas  ainsi  quand  x  figure  explicite- 
ment dans  l'équation. 

Guldberg.  —   Sur  certains   systèmes  d'équations  différentielles 
ordinaires.  (210-216). 

M.  Guldberg  a  déjà  présenté  quelques  remarques  sur  les  systèmes  simul- 
tanés qui  possèdent  un  système  simultané  d'intégrales  premières. 


UIÎVUK   I)HS    PUBLICATIONS.  209 

\cliiclloniPu(,  il  «'liidi»;  le  cas  «>ii  un  systcmc  simullanc  possède  un  système 
fondamental  d'inLcgialos  premières. 

nOca^^ne.  —  Sur  une  mclliodc  nomograplilcjuc  apj)lical)Ic;  à  des 
('(jiiallons   ])ouvant   conlcnir  jus(|u'à  dix  varia])lcs.  (:2i  ()-:>•  19). 

IVOcagne.  —  Complément  à  la  mélliodc  nomograpliique  rcccni- 
nicnt  dccrllo  en  vue  de  l'inlroduclion  d'une  variable   de   })lus. 

(277-278). 

Jlalfczos.  —  Sur  les  équations  du  mouvement  d'un  corps  solide 
se  mouvant  dans  un  liquide  indéfini.  (387). 

Clcbsch  a  intègre  les  équations  du  mouvement  d'un  corps  solide  dans  un  li- 
quide en  supposant  nulles  les  forces  accélératrices. 

Reprenant  ces  équations,  complétées  par  l'adjonction  des  composantes  X,  Y, 
Z  des  forces  extérieures  et  des  composantes  M^,  M^,  M^  de  leurs  moments, 
IM.  Maltézos  indique  les  conditions  auxquelles  doivent  satisfaire  X,  Y,  Z,  M^, 
M .,  M.,  pour  que  les  équations  soient  intégrables  par  la  méthode  de  Clebsch. 

Ilumbert  (G.).  —   Sur  une  propriété  d'une   classe  de  surfaces 
algébriques.  (36i-363). 

Sur  une  surface  n'ayant  pas  d'intégrales  de  difTérentielles  totales  de  première 
espèce,  une  série  quelconque,  simplement  infinie,  de  courbes  algébriques  se 
coupant  deux  à  deux  en  un  ou  plusieurs  points  mobiles,  est  comprise  dans  une 
série  linéaire  de  courbes  du  même  ordre.  (Les  courbes  d'une  série  linéaire  sont 
des  courbes  découpées  sur  la  surface  fixe  par  les  surfaces  d'un  même  système 
linéaire,  chaque  surface  ne  découpant  qu'une  courbe  et  inversement.) 

Les  applications  de  ce  principe  sont  nombreuses;  en  voici  deux  : 

Toute  surface  engendrée  par  des  courbes  unicursales,  sans  point  singulier 
mobile  et  se  coupant  deux  à  deux  en  un  nombre  quelconque  de  points,  est  re- 
présentable point  par  point  sur  le  plan. 

Les  surfaces  susceptibles  d'être  engendrées  par  des  cubiques  planes  de  genre  i, 
se  coupant  deux  à  deux  en  un  ou  plusieurs  points,  sont  :  1°  les  surfaces 
d'ordre  3  ;  2"  les  surfaces  réglées  d'ordre  4  et  de  genre  i;  3°  une  surface  d'ordre  3 
(avec  ses  variétés)  dont  les  coordonnées  ponctuelles  homogènes,  exprimées  en 
fonctions  de  deux  paramètres  u  et  v,  sont  des  combinaisons  linéaires  et  homo- 
gènes des  six  quantités 

1,    pupv,    p'up'^-,    pu-{-pv,    p'u-\-p'v,    pup'  v-^  pvp'u. 
Besal.  —  Sur   la   denture   de    l'engTcnage  hyperboloïdal.   (391- 

398). 

]NL  Rcsal  fait  la  théorie  mathématique  de  ce  mécanisme  dont  l'objet  est  de 
transformer  l'une  dans  l'autre  deux  rotations  non  comprises  dans  un  même 
plan. 


210  SECONDE   PARTIE. 

Serret  (P-)-  —  Des  cercles  ou  des  sphères  d'une  enveloppe  plane 
ou  solide  de  classe  quelconque.  (400-402). 

Serret  (P.).  —  Des  cercles  ou  des  sphères  dérivés  d'une  enve- 
loppe de  classe  quelconque.  (435-438). 

Picard.  —  Sur  une  classe  de  transcendantes  nouvelles.  (47^- 

476). 

Etant  donnée  une  substitution  Crcmona 

y  =  R,  (x,  Y,  . . .,  t), 


^'  =  R,n(^»  y^  '■■,  O, 


relative  à  m  lettres  x,  y,  ...,  ^,  il  existe  une  infinité  de  systèmes  de  m  fonc- 
tions/(5),  9(5),    ...,  ^(z)  uniformes  dans  tout  le  plan,  n'ayant  que  discon- 
tinuités polaires,  et  jouissant  des  propriétés  suivantes  : 
Elles  admettent  une  période  w',  et  l'on  a,  par  le  changement  de  z  en  z  -\-  (j), 

/(^  +  o))  ^  H,  [/(..),  -^{z),   ...,  'l(c)], 
9(2  +  0/)  =  IV[/(c),  o{z),   ...,  ^{z)], 


4;(2  +  (0)  =  K,J/(c),    Çiz),     ...,    ^{Z)], 

0)  et  w'  étant  deux  constantes  données  dont  le  rapport  est  imaginaire. 

M.  Picard  traite  d'abord  le  problème  en  prenant  pour  les  R  des  fonctions  ra- 
tionnelles quelconques.  On  démontre  seulement  dans  ce  cas  l'existence  de  fonc- 
tions uniformes  dans  une  moitié  du  plan. 

L'auteur  résout  la  question  par  la  méthode  des  approximations  successives. 
Il  prend  pour  première  approximation  des  fonctions  doublement  périodiques 
de   seconde  espèce  f^iz),  o^{z),  . . .,  ^^{z),  et   démontre  que   les   fonctions 


^„(2  +  oO  =  ii.,„/„(c)-t-H„,[/„_.(c),  ...,  4',.-.(^)] 

tendent  quand  n  augmente  vers  des  limites  f{z),  . . .,  4'(-)  qui  sont  précisé- 
ment les  fonctions  dont  il  s'agit  de  prouver  l'existence. 

Léçy  (L.).  —  Théorème  sur  les  systèmes  triplement  orthogonaux. 

(477-480). 

M.  Darboux  a  signalé  des  systèmes  qui  jouissent  de  la  propriété  suivante  : 
Si  l'on  forme  le  tableau  carré  des  neuf  cosinus  directeurs  des  normales  aux 


UHVUI-:   DF.S    PUIiLlCATIONS.  211 

trois  surfaces  orthogonales  en  un  même  point 

X,     V,     z, 

x„   v„   z„ 

X„     Y„     Z^, 

ce  tableau  est  symétrique  par  rapport  à  la  diagonale  principale. 

Ces  systènnes  sont  :  i"  celui  qui  se  compose  des  trois  familles  de  splières  tan- 
gentes h  l'origine  respectivement  aux  trois  plans  coordonnes;  2°  ceux  qui  cor- 
respondent au  système  précédent  par  plans  tangents  parallèles  suivant  la  mé- 
thode de  M.  Combescure  ou  suivant  celle  de  M.  Darboux. 

M.  L.  Lcvy  démontre  qu'il  n'y  a  pas  d'autres  systèmes  orthogonaux  jouis- 
sant de  la  même  propriété. 

Serret  (P-).  —  Des  cercles  ou  des  sphères  dérivés  d'une  enve- 
loppe, plane  ou  solide,  de  classe  quelconque.  (480-482). 

Rcsal.  —  Sur  la  stabilité  de  l'équilibre  de  l'axe  de  la  toupie  gj- 
roscopique  (499-5o2). 

Picard.  —  Sur  l'équation  aux  dérivées  partielles  qui  se  présente 
dans  la  théorie  de  la  vibration  des  membranes.  (5o2-5o7). 

Étant  donnée  l'équation  aux  dérivées  partielles 

(i)  lu  -+-  ku  =  0, 

il  n'existe  pas,  si  la  constante  A"  est  prise  arbitrairement,  d'intégrale  continue 
à  l'intérieur  d'un  contour  fermé  C  et  s'annulant  sur  ce  contour.  Il  existe  seu- 
lement certaines  valeurs  positives  en  nombre  infini  A",,  k^,  ...  pour  lesquelles 
il  en  est  ainsi;  à  ces  valeurs  correspondent  les  divers  sons  que  peut  rendre  la 
membrane  dont  les  vibrations  dépendent  de  l'équation  (i).  Ces  résultats  n'ont 
jamais  été  démontrés  rigoureusement,  sauf  en  ce  qui  concerne  la  première  va- 
leur k^.  M.  Schwartz  a,  en  effet,  établi  l'existence  de  la  solution  singulière  cor- 
respondante (son  fondamental  de  la  membrane). 

Reprenant  ce  problème,  M.  I*icard  envisage  l'intégrale  de  (i)  qui  devient 
égale  à  l'unité  sur  C;  on  peut  la  regarder  comme  une  fonction  de  k,  lequel 
peut  être  complexe  aussi  bien  que  réel.  Cette  fonction  est  une  fonction  uni- 
forme dans  le  plan  de  la  variable  complexe  k,  et  ses  points  singuliers  sont  A,, 

A-j, L'auteur  cherche  quelle  est  la  nature  de  ce  premier  point  singulier  A:,  ; 

il  trouve  que  c'est  un  pôle  simple  de  l'intégrale  considérée  v,  laquelle  peut  être 
développée  en  une  série  ordonnée  suivant  les  puissances  de  A', 

V  =  l -r-  i>  J{  -+-  V^  A-  -T-  .  .  .  -f-  V„  A"  H-  ...  . 

M.  Picard  établit  ensuite  l'existence  de  la  seconde  valeur  singulière  A,,  en 
iiionlr.iiit  (|uo  A    est  le  rayon  de  convergence  de  la  série 

iv  —  (r„ -h  A«',  -+-...-<-  A"  a'„  -h .  . . , 


212  SECONDE   PARTIE. 

dont  les  coefficienls  w^,  tv,,  . . .  sont  détermines  par  les  équations 

Aw„  —  Â-,U  =  o, 

A(V,  ■+-    w„    —  o, 


A(V,.4- w„_,  =  o, 

U  étant  la  valeur  limite  de  v^k^  pour  n  —  ce,  et  w^  se  réduisant  à  i  sur  le 
contour  C,  tandis  que  les  autres  w  s'y  réduisent  à  zéro. 

Délassas.  —  Sur  une  extension  aux  équations  d'ordre  quelconque 
d'une  méthode  de  Riemann  relative  aux  équations  du  second 
ordre.  (5io-5i3). 

Les  équations  d'ordre  n  qu'étudie  l'auteur  sont  de  la  forme 


F(^):=    >A,,.-f-f.  =0,         -"'''••-y.    7^.7-",     A„=r, 
^     '^  ôx' dy^  A— o,  I,   ...,  </,  pq-^-o,        i"i        ' 

qui  comprend  comme  cas  particulier  l'équation 

d'z  àz       ,  àz 

-h  a  ^ ï-o—-   H- c  =  o, 


dx  ôy  àx  ôy 

intégrée  par  Riemann. 

On  suppose  que  les  A-^.  ont  des  dérivées  partielles  jusqu'à  l'ordre  n  —  i  ana- 
logues à  celles  de  z  qui  entrent  dans  F(^)  et  qui  soient  continues  dans  une 
certaine  région  du  plan. 

Si  A  et  B  désignent  les  points  où  les  parallèles  aux  axes  menées  par  un  point 
quelconque  P  rencontrent  le  contour  C,  la  valeur  de  z  au  point  P  se  trouve, 
comme  le  montre  M.  Delassus,  exprimée  au  moyen  des  valeurs  de  z  et  de  ses 
dérivées  jusqu'à  l'ordre  n —  i  le  long  de  AB.  C'est  la  généralisation  du  résultat 
fondamental  de  la  méthode  de  Riemann. 

Lelieiwre.  —  Sur  certaines  familles  de  cubiques  gauches.  (53y- 

539). 

M.  Lelieuvre  étudie  Vensemble  GT  d'une  cubique  gauche  G  et  de  la  dévelop- 
pable  r  de  troisième  classe  enveloppée  par  les  plans  osculateurs  de  G. 

Il  recherche  les  familles  de  pareils  ensembles,  dépendant  d'un  paramètre  w, 
qui  possèdent  la  propriété  d'être  divisés  homographiquement  par  leurs  con- 
jugués; cela  veut  dire  que,  si  l'on  exprime  les  coordonnées  d'un  point  de  G  et 
de  son  plan  osculateur  rationnellement  avec  un  paramètre  t,  l'équation  diffé- 
rentielle entre  t  et  u,  qui  détermine  les  lignes  conjuguées  des  cubiques  G  ou 
les  développables  conjuguées  des  développables  r,  est  réductible  à  une  équa- 
tion de  Riccati. 

Soit 

A  dt  -h  A'  du  =  o 

l'équation  différentielle  des  conjuguées,  transformée  de  façon  que  A  soit  un 
polynôme  entier  en  t  du  sixième  degré,  et  A'  un  autre  du  huitième.  Il  faut  et 
il  suffit  que  A  divise  A'.  Or,  une  méthode  indiquée  antérieurement  par  M.  Le- 


"  UHVUP:  DlîS  PUBLICATIONS.  '2\', 

liouvrc*  nionlrc  (iiic,  pour  ([iic  A  et  A'  aicnL  une  racine  conimuric  t  —  ^,,,  il  faut 
cl  il  suffit,  ou  ((uc  le  poinL  /  -^  t„  de  la  cubique  G  engendre,  (juand  u  (et,  par 
suite,  tj  varie,  une  enveloppe  de  ces  cubicfucs,  ou  que  le  plan  tangent  t  =  t^ 
h  V  engendre  une  enveloppe  des  développables  T.  L'auteur  peut  alors  cher- 
cher quelles  pareilles  enveloppes  peut  et  doit  posséder  l'enveloppe  GT  pour  que 
la  condition  demandée  soit  remplie,  et  ensuite  tenter  la  détermination  de  [)a- 
reils  ensembles. 

Seiliger.  —  Sur  un  théorème  nouveau  de  Mécanique.  ( 578-5^9). 

Soit  un  système  (A)  de  points  matériels  auxquels  sont  appliqués  dans  un 
instant  quelconque  deux  systèmes  (P)  et  (P')  de  forces  instantanées;  soient 
(Q)  et  (Q')  les  deux  mouvements  instantanés  correspondants  de  (A).  On  a  ce 
théorème  : 

«  Si  les  liaisons  du  système  (A)  sont  indépendantes  du  temps,  le  travail  des 
forces  (P)  par  rapport  au  mouvement  (Q')  est  égal  au  travail  des  forces  (P') 
par  rapport  au  mouvement  (Q).  » 

Et  ce  corollaire  :  Si,  dans  le  même  cas,  le  premier  travail  est  égal  à  zéro,  le 
second  travail  sera  aussi  égal  à  zéro;  corollaire  qui  contient,  comme  cas  très 
particulier,  le  théorème  de  Bail,  relatif  à  un  corps  solide. 

Resal.  —  Sur  le  joint  Goubet  et  son  application  à  l'hélice  des 
navires.  (099-602). 

Picard.  —  Sur  une  classe  d'équations  différentielles  dont  l'inté- 
grale générale  est  uniforme.  (6o3-6o4). 

Les  équations  dont  s'occupe  M.  Picard  sont  des  cas  particuliers  de  celles 
qu'a  envisagées  M.  S.  Lie 

Idx 
-jz  =Z,(;;)^,.(a7,,  a?,,,  ...,^J+..-H-Z,(;')  t,(^.,a7,,  ...,37,.) 
{i—  I,  2,  ...,  n), 

où  les  \  sont  supposés  tels  que  les  transformations  infinitésimales 


^(/)=I]^.-5J.  (7  =  1,2,...,/') 


i  =  \ 


engendrent  un  groupe  à  /■  paramètres.  L'intégrale  générale  de  (i)  peut  alors, 
comme  l'a  montré  M.  Lie,  s'obtenir  à  l'aide  de  solutions  particulières  arbitraires, 
en  nombre  convenable  /n, 

x\,     x\,     ...,     x\         (A-  =  1,2,  ...,m), 
au  moyen  de  formules  de  la  forme 

^.=  'f.C^',    ••.,  <,    •••,   X\\    ...,  ^,7,   «,,  rt^,    ...,  «J       {i-  T,2,   ...,«), 

qui  dépendent  de  //  constantes  arbitraires  a. 


2i4  SECONDIi   PAUTIE. 

M.  Picard  considère  le  cas  où  les  9  sonl  des  fonctions  ralionnclies  de  x. 
Dans  ce  cas,  les  points  critiques  de  l'intégrale  sont  fixes,  et  l'on  peut  décider 
si  l'intégrale  générale  est  uniforme. 

S'il  en  est  ainsi,  les  fonctions  Z(^)  sont  doublement  périodiques  et  les  équa- 
tions (i)  s'intégreront  à  l'aide  des  transcendantes  nouvelles  récennmcnt  intro- 
duites par  M.  Picard,  et  définies  de  la  manière  suivante  : 

Partant  d'une  substitution  birationnclle  arbitraire 

x'  =  R,  {x,y,  . . .,  t), 
y  =  R,  {x,y,  ...,  O- 


t'  =  R,„(^,r,  •••,0, 

il  existe  une  infinité  de  systèmes  de  m  fonctions 

uniformes  dans  tout  le  plan,  admettant  la  période  w'  et  telles  que  Ion  ait,  par 
le  changement  de  ^  en  2  -H  w, 

/(^-+-co)  =  \\[/{z),  9(2),   ...,  'H-)]^ 


cp(^  +  o.)  =  R„.[/(s),  9(^),  •.M<^(^)]- 


Painlevé.  —  Sur  les  équations  du  second  ordre  à  points  critiques 
fixes  et  sur  la  correspondance  univoque  entre  deux  surfaces. 
(611-614). 

Lorsqu'une  équation  différentielle  du  second  ordre 

a  ses  points  critiques  fixes,  son  intégrale  y{x)  définit,  pour  x  et  x^  constants, 
une  correspondance  biuniforme  entre  les  deux  surfaces 

F (7",  y',  r,  x)  =  o,        F{yl,  y'„  y„  xj  =  o. 

Lorsque,  de  plus,  cette  correspondance  est  birationnclle,  les  intégrales  doubles 
et  les  différentielles  totales  de  première  espèce,  attachées  à  F,  se  conservent 
dans  la  transformation,  et  c'est  ce  qui  rend  l'intégration  possible. 

M.  Painlevé  s'occupe  actuellement  du  cas  où  la  correspondance  en  question 
n'est  pas  birationnclle,  mais  où  l'intégrale  y  =f{x,  a,  ^)  dépend  algébrique- 
ment de  l'une  a  des  deux  constantes  d'intégration  a,  p.  En  éliminant  a  entre 

y  =/(a7,  a,  [â)  et  jk' =  -T^  )   on  obtient  une  équation  qui  peut   être  ramenée 

algébriquement  à  l'une  des  deux  formes 

y'=  /p--f-  mv  -t-  /?, 


lUiVUli   DliS   PUiiLICATlONS.  'ai5 

I,  m,  n  rlunl  des  fonctions  algébriques  de  x  et  d'une  variable  n  fonction  de  ic, 
qui  vérifie  soit  une  équation  de  Hiccati 

II'  z=  Lii"-^  Mu  -h  [\, 
soit  une  équation 


u'  =  N  ^(i  —  M')(i  —xu'), 

où  L,  M,  N  dépendent  algébriquement  de  x. 

M.  Painlevé  enseigne  à  reconnaître  si  l'intégrale  d'une  équation  donnée  est 
bien  de  cette  nature.  Ka  méthode  qu'il  indique  s'applique  à  toutes  les  équations, 
sauf  à  celles  pour  lesquelles  le  nombre  des  difTérentielles  totalos  de  première 
espèce,  attachées  à  F,  est  égal  à  zéro. 

L'auteur  insiste  sur  la  nature  des  surfaces  F  auxquelles  sont  applicables  les 
considérations  qui  précèdent.  Ces  surfaces  possèdent  au  moins  une  famille  de 
génératrices  unicursalcs  ou  de  genre  i.  Les  coordonnées  d'un  de  leurs  points 
s'expriment  en  fonctions  uniformes  de  deux  paramètres.  Enfin,  elles  admettent 
un  faisceau  continu  de  transformations  biuniformes  qui  dépend  d'au  moins  une 
fonction  arbitraire.  Ce  faisceau  conserve  à  la  fois  les  intégrales  doubles  et  les 
différentielles  totales  de  première  espèce.  Il  n'existe  pas  d'autres  faisceaux  de 
transformations  biuniformes  pour  lesquelles  une  relation  algébrique  (et  une 
seule)  ait  lieu  entre  les  points  correspondants. 

Guldberg.  —  Sur  certaines  équations  différentielles  ordinaires. 
(6i4-6'i6). 

La  détermination  des  systèmes  d'équations  différentielles  qui  possèdent  un 
système  fondamental  d'intégrales  premières  se  ramène,  comme  l'a  montré  ré- 
cemment l'auteur,  à  celle  des  groupes  continus  p  fois  transitifs.  On  peut  uti- 
liser les  recherches  de  M.  Lie  pour  former  un  tableau  complet  de  ces  équations 
dans  les  cas  de  i,  2,  3  variables.  M.  Guldberg  présente  actuellement  quelques 
remarques  sur  l'intégration  de  ces  systèmes,  en  se  bornant,  pour  fixer  les  idées, 
au  cas  de  n  =  i. 

Lelieuvre.  —  Sur  certaines  familles  de  cubiques  gauches.  (616- 
618). 

M.  Lelieuvre  a  indiqué  précédemment  une  classification  des  ensembles  Gr 
dépendant  d'un  paramètre  u  et  formée  d'une  cubique  gauche  G  et  de  la  dévelop- 
pable  r  dont  elle  est  l'arête,  qui  sont  divisés  homographiquement  par  leurs 
conjugués. 

Il  indique  une  méthode  propre  à  déterminer  ces  ensembles. 

Kœnigs.  —  Sur  les  équations  aux  fonctions   mêlées  et  un  pro- 
blème de  lignes  géodésiques.  (683-685). 

Soient  X,  X^,  X;,^,  .. .  des  fonctions  inconnues  de  x\  V,  Y^,  Y^^,  ...  de  y;  Z, 
Z  ,  Z  ,,  (Ir  z\  T,  T„,  T„^,  ...    de  t,  les  variables  x,  y\  z,   t  étant   liées    par 


2iG  SECONDE  PARTIE. 

deux  équations  linéaires  ù  coefficients  constants  réels 

ax  -h  Oy  -i-  cz  -\-  dt  -\-  e  =  o, 
ax'  -h  ù'y  -+-  c'  z  -h  cl'  t  -\-  e'  =  o, 

où  aucun  des  déterminants  tels  que  ab' —  ba'  n'est  nul. 

Soit/=  o  une  équation  dont  le  premier  membre  est  un  polynôme  composé 
avec  les  fonctions  X,  X^,  ...;  Y,  Y^,  ...;  Z,  Z'„,  ...;  T,  T^  et  leurs  dérivées 
jusqu'à  un  certain  ordre. 

Si  l'on  groupe  ensemble  les  termes  semblables  formés  de  fonctions  de  la  va- 
riable X  seulement,  on  peut  mettre/  sous  la  forme 

S   (vAS^cX?,-   =    O, 

OÙ  les  cX!"^.  sont  composés  de  fonctions  de  x  seulement,  et  les  JL,  sont  des  coef- 
ficients composés  avec  les  autres  fonctions  Y,  . . .,  Z,  T,  .... 
Cela  posé,  voici  le  théorème  énoncé  par  M.  Kœnigs  : 

«  Sauf  pour  certains  cas  où  l'équation  /  =  o  se  décompose  en  plusieurs  autres, 

oX*- 

les  quotients  -^  et  les  quotients  analogues  relatifs  aux  variables  y,  z,  t  sont 

des  fonctions  de  leurs  arguments  uniformes  dans  tout  le  plan  et  dénuées  de 
point  essentiel  à  distance  finie.  » 

Ce  théorème  sert  à  résoudre  l'équation  dont  dépend  le  problème  des  éléments 
linéaires  qui  admettent  pour  leurs  géodésiques  plusieurs  intégrales  quadra- 
tiques. 

Painlevé.  —  Sur  les  équations  différentielles  du  second  ordre  à 
points  critiques  fixes.  (686-688). 

Il  existe  des  équations  du  second  ordre 

F(y,  r',  y,  X)  =  o, 

à  points  critiques  fixes,  dont  les  intégrales  sont  telles  que  les  deux  constantes 
arbitraires  y  figurent  d'une  manière  transcendante  de  quelque  façon  qu'on  les 
choisisse. 

Le  théorème  suivant  met  hors  de  doute  l'existence  de  pareilles  équations 
qui  n'est  nullement  certaine  a  priori. 

Soit  9 (y,  x)  une  fonction  de  y  qui,  pour  x  constant,  n'admet  pas  de  points 
transcendants  et  dont  les  déterminations  s'obtiennent  par  une  combinaison 
d'un  nombre  fini   de  lacets.  Si  la  valeur  cp„,  obtenue  en  parcourant  n  lacets, 

reste  inférieur  à  un  nombre  fixe  A  (si  grand  que  soit  /i), 


est  telle  que 
l'équation 


5^='^'^'^> 


a  ses  points  transcendants  fixes.  (Il  suit  de  là  qu'on  sait  reconnaître  si  ses 
points  critiques  sont  fixes.) 


KKVIJK    [)E>^   l'IBI.lCAl  IONS.  v.i 

l'elk'  t'>t.  par  f\('iii|ili'.  r('(|iial  loii 


y  =- 


■■^  Ja(.y){^-xy^)s/\\{y,x) 


<»ii  peut  cIkm-cIut  les  ('•(|iiali()iis  du  second  ordre  à  points  ci'ili(iucs  fixes, 
«lonl  «IhHiue  intt'gralc  vcride  celle  relalion.  On  Iroiivc  qu'elles  se  ramènent  à 
la  l'oruic 

=  A(x)  v/(>-r")('--^j')- 

L'intégrale  de  <'etle  dernière  équation  est  fonction  transcendante  des  deux 
constantes  de  quelque  manière  qu'on  les  choisisse.  Bien  plus,  cette  équation 
ne  se  laisse  ramener  d'aucune  manière  à  une  combinaison  d'équations  du  pre- 
mier ordre.  C'est  le  premier  exemple  d'équation  à  points  critiques  fixes  ainsi 
irréductible. 

En  examinant  le  cas  où  l'équation  ne  serait  pas,  comme  la  précédente,  ré- 
solue par  rapport  à  y,  M.  Painlevé  est  conduit  à  d'importantes  conclusions, 
entre  autres  à  celle-ci. 

Soit  P  dy' -\- Çl  dy  une  dilTérentielle  totale  de  première  espèce  de  F;  si  les 
points  essentiels  de  y{,x)  sont  fixes  (en  même  temps  que  les  points  critiques), 
la  fonction  u  =  Py" -+■  Qy'  a  ses  pôles  fixes.  En  particulier,  quand  x  ne  figure 
pas  dans  F",  u{x)  est  liolomorphe. 

Pellet.  —  Sur  les  équalions  et   les  fonctions  implicites.  (719- 
722). 

Si  la  fonction  F  (y)  holomorphe  dans  un  cercle  de  rayon  R  s'annule  pour 
n  valeurs  de  y  intérieures  au  cercle  de  rayon  r,  et  n'admet  aucune  racine  dans 
la  couronne  comprise  entre  les  cercles  de  rayons  j\  et  i\{t\<i  i\<i  H),  on  a 
(Weierstrass),  pour  les  valeurs  dey  dont  le  module  est  inférieur  à  i\, 

F(y)  =  C/(>')c<-(v); 

C  est  une  constante,  f{y)  un  polynôme  entier  de  degré  n  en  y,  dont  le  pre- 
mier coefficient  est  l'unité;  G  (y)  une  fonction  holomorphe  de  y  dans  le  cercle 
de  rayon  i\,  s'annulant  avec  y. 

M.  Pellet  montre  comment  cette  fonction  G  (y)  peut  être  obtenue  directe- 
ment, par  un  calcul  algébrique,  lorsque,  la  fonction  F(y)  étant 

«a  +«,  r  +  «.  r '  +  •••  +  «,-  r"  +  •••  ' 

l'équation 

où  a.  désigne  le  module  de  a-,  a  une  racine  positive. 

niiilcl.  —  Sur  les  surfaces  admettant  des  cubiques  o-auclies  pour 
lij;nps  asymploliqiies.  (-22). 
Bull,  des  Sciences  niitliéin.,  a' série,  l.  \l\    (S'.'pLe  n'j.v-»  iSjk)  il    i 


2i8  SIiCONDH    PAKTlIi. 

Étudiant  les  surfaces  S,  dont  les  lignes  asymptotiques  d'un  système  sont  des 
cubiques  gauches,  M.  Blute!  arrive  aux  résultats  suivants  : 

1°  Les  cubiques  asynnptoliques  ont  quatre  courbes  enveloppes;  le  plan  oscu- 
lateur  d'une  cubique  est  le  même  que  celui  de  son  enveloppe  en  chacun  des 
points  de  contact; 

2°  Les  lignes  asynnptoliques  du  second  système  partagent  homographique- 
ment  les  cubiques  du  premier.  Parmi  ces  surfaces,  il  en  existe  dont  les  lignes 
asymptotiques  des  deux  systèmes  sont  des  cubiques  gauches,  de  sorte  que  les 
asymptotiques  d'un  système  quelconque  partagent  homographiquement  les 
asymptotiques  de  l'autre; 

3°  Si  l'on  suppose  la  surface  S  rapportée  à  ses  deux  systèmes  de  lignes 
asymptotiques,  les  valeurs  générales  des  quatre  coordonnées  homogènes  d'un 
point  de  cette  surface  dépendent  de  six  fonctions  arbitraires;  la  recherche  de 
ces  valeurs  n'exigent  que  des  résolutions  d'équations  du  i""  degré  et  des  qua- 
dratures. 

La  première  propriété  s'étend  aux  surfaces  ayant  un  système  de  lignes 
asymptotiques  composé  de  courbes  unicursales  d'ordre  supérieur  à  3,  à  condi- 
tion toutefois  que  ces  courbes  ne  présentent  ni  rebroussement  ni  inflexion. 

Guyou.  —  Sur  le  clapotis.  (^22-^24)- 

A  la  théorie  approchée  de  M.  Boussinesq,  M.  Guyou  substitue  une  théorie 
rigoureuse  du  clapotis. 

Soient  X,  Y  les  coordonnées  d'une  molécule  liquide  au  repos;  x^  y  celles  de 
la  molécule  en  mouvement  à  un  instant  donné;  R^  le  rayon  arbitraire  de  la 
trochoïde  superficielle;  R  celui  qui  correspond  à  la  profondeur  Y;  z  la  dis- 
tance des  centres  de  la  trochoïde  de  profondeur  Y  à  celle  de  la  trochoïde  su- 
perficielle; L  la  longueur  des  ondes. 

Les  équations  du  mouvement  sont 

2  —  \ 
^  =  X  +  sin  R  — ^  > 

y  =  Y  -f-  R  cos — -—  5 

"^  F.  I. 

R  =  R„e    "i" 

Elles  satisfont  à  la  relation  diiïérentielle 

dx  dy        àx  dy  _ 

Cette  condition  étant  vérifiée  quel  que  soit  R^,  on  peut  supposer  ce  para- 
mètre variant  avec  le  temps  suivant  une  loi  arbitraire;  il  reste  à  choisir  cette 
loi  telle  que  la  condition  de  la  surface  libre  soit  vérifiée,  c'est-à-dire  que  l'on 
ait  pour  Y  =  o  et  R  =  R^ 

dx  d-x       I  f^' y\  ày 


KKVUI-:   l)l>    PUin.lCATIONS.  'i\ij 

1-11  posaiil  Ky       dco^'^,  on  ohlieiil,  piir  uik.'  iiilr^ralion  l'a*  ilc, 

Lo  proMi'inc  se  résoul  donc  par  les  fonelions  cllipliiiues. 

Caroiuu't.  —   Sur  les  surfaces  dont  les  lignes  de  courbure  d'un 
système  sont  planes  et  égales.  (842-844)- 

Quelles  soiiL  les  eourbes  (C)  (Hii,  par  des  déplacemenls  convenal)lcs,  sont 
susceptibles  de  consliluer  l'une  des  familles  de  lignes  de  courbure  des  surfaces 
(ju 'elles  engendrent? 

.M.  Caronnct  résout  ce  problème  général  dans  divers  cas  étendus.  En  dehors 
des  surfaces  de  Monge,  engendrées  par  une  ligne  plane  dont  le  plan  roule  sans 
glisser  sur  une  développable  quelconque,  l'auteur  signale  les  cas  suivants  : 

1°  I.a  courbe  (C)  est  une  trajectoire  (T)  sous  un  angle  constant  de  cercles 
dont  les  centres  décrivent  une  droite  (D); 

2°  La  courbe  (C)  est  une  développante  de  cercle,  dont  le  plan  se  déplace  en 
restant  parallèle  à  un  plan  fixe.  Les  surfaces  correspondantes  sont  des  mou- 
lures dont  le  noyau  est  un  cylindre  de  révolution; 

3°  Les  courbes  (C)  sont  définies  comme  il  suit  :  les  distances  de  tout  point 
INI  de  (C)  à  une  droite  (  D  )  et  au  point  correspondant  de  sa  podaire  par  rap- 
port à  un  point  (O),  non  situé  sur(l)),  sont  dans  un  rapport  constant.  La  dé- 
termination des  surfaces  correspondantes  dépend  de  l'intégration  d'une  équa- 
tion  de  Riccati. 

Iladamai'cL  —   Sur  les   caractères  de    convergence    des    séries. 

(844-845). 

Il  est  impossible  de  former  une  suite  infinie  de  fonctions  9  (n)  de  plus  en 
plus  lentement  croissantes,  de  manière  qu'une  série  2m„  soit  nécessairement 
divergente  si  le  produit  ?^„9„(«)  augmente  indéfiniment  avec  /^,  quel  que  soit 
/?,  et  nécessairement  convergente  si,  à  partir  d'une  certaine  valeur  de  /?,  ce 
produit  reste  fini. 

De  même,  il  est  impossible  «le  trouver  une  suite  infinie  de  fonctions  o,{n) 
telles  que  la  série  2w^  soit  nécessairement  convergente  si  le  produit  ^^„cp(/^) 
(end  vers  o  pour  n  =  oc,  quel  que  soit  p,  et  nécessairement  divergente  si,  à 
partir  d'une  certaine  valeur  dc/>,  ce  produit  reste  supérieur  à  un  nombre  indé- 
pendant de  n. 

Knfin,  étant  donnée  une  suite  infinie  de  fonctions  '^^{n),  '^^{n  ),  ...,  9  (  /i  ),  ..., 
toutes  infinies  avec  n,  on  peut  toujours  former  une  série  convergente  -w„, 
telle  que  les  séries  Sw„  ;;,(«)  soient  toutes  divergentes,  et  aussi  une  série  di- 

vergenle  li^„,  telle  que  toutes  les  séries     >   soient  convergentes. 

I\)incar('.  —    Sur   la   propagation    de  Télectricité.  (  ioa--io.)2). 

Les  variation'-  du  poirrilicl  dans  un   fil  ([ui  transmet  une  vibiation  électrique 


no  SECONDIi   PARTIIî: 

sont  roprt'sorilrcs  par  l'cqiialioii 


(0 


ôt' 


où  A,  B,  C  sont  des  constantes.  Coite  équation,  dite  des  télégraphistes,  peut, 
si  l'on  choisit  convenablement  les  unités,  être  réduite  à  la  forme 


(2) 


i>\_  ^  Ù\_ 

~0F  '^  '  ôt 


l'unité  de  vitesse  est  alors  la  vitesse  de  la  lumière.  Si   l'on  pose  V  =  Ue~',  et 

qu'on  se  donne  les  conditions   initiales,  à  savoir  que,  pour  <  =  o,  U  et  ——  se 

réduisent   à  des   fonctions  données  f{x)   et  f^{x),  on  peut  mettre  ces    deux 
fonctions  sous  la  forme  d'intégrales  de  Fourier 

t./  —   00 

^-4-00 

/,(X)  =     /  ()^(q)e'1-c/q, 

'-     00 

et  alors  la  solution  est  donnée  par  la  formule 


U 


e'V 


cost  \lq^  —1  +  8, 


sin^  y/^'  —  I 


dq. 


Discutant  cette  solution  dans  le  cas  où  /(^)  et/,  (jt)  n'ont  de  valeurs  sen- 
sibles qu'entre  x  =  a  et  x  ^=  b,  M.  Poincaré  parvient  aux  conclusions  sui- 
vantes : 

La  tête  de  la  perturbation  se  propage  avec  une  certaine  vitesse,  de  telle 
sorte  que,  en  avant  de  cette  tête,  la  perturbation  est  nulle,  contrairement  à  ce 
qui  se  passe  pour  la  conduction  calorifique  et  conformément  aux  lois  de  pro- 
pagation de  la  lumière  et  du  son.  Mais  il  y  a,  avec  ce  dernier  cas,  une  diffé- 
rence importante,  car  la  perturbation  laisse  derrière  elle  un  résidu,  U  ne 
s'annulant  pas  pour  b  -\-  ty'  x  y-  a  —  t. 

Si  «  —  6  est  très  petit,  c'est-à-dire  si  la  perturbation  est  de  très  courte  durée, 
on  a  sensiblement 

U  =  -/(x  — i)     pour     n-\-t'>xy-b-{-t^ 


U 


f{x-\-t)     pour     a-\-t':>x'>b  —  t. 


U  =  o  dans  tous  les  autres  cas. 

Le  résidu  est  donc  négligeable  par  rapport  à  la  perturbation  principale,  mais 
il  n'en  est  plus  de  même  si  la  perturbation  est  de  longue  durée  et  si  a  —  b  est 
fini. 

Goclefroy.  —  Sur  les  riivons  de  courl)iire  successifs  de  certaines 
courl)es.  (1062). 


RRVUr    nnS   PUBLICATIONS.  7.7.1 

Si  l'expression  du  r;iyon  (l(;  conrbiirc  csl  connue  sous  la  fornne  d'une  fono 
lion  \\  —  I''(IJ,  V)  (It's  (list.iiiccs  d'un  point  fixe  à  la  laiif^cnle  cl.  à  la  normale, 
on  a  ce  théorrnie  : 

«  Les  rayons  de  courhurc;  suecessiCs  de  la  courbe  s'expi'iruf'nl,  en  foncLion  de 
l'  cl  de  V.  Uq  rayon  de  courbure  (juciconquc  est  rcpréscnlé  par  la  did'érentielle 
lolalc  de  l'expression  du  précédent,  dans  laquelle  on  remplace  respectivenricnt 
</U,  (/\  par  V  et  F(U,  V)  —  L'.  » 

l.'.iulenr  lail  diverses  applications  de  ce  théorème,  notamment  à  la  parabole 
pour  laquelle  on  aperçoit  une  loi  de  formation  régulière  des  polynômes  repré- 
sentant les  rayons  de  courbure  successifs. 


VliUSLAGEN  EN  MEDEDEELINGEN  der  Komnklijke  Akvdkmie  v.\n  Weten- 
scHAPPEN  te  Amsterdam  (3^  série).  I11-8  (^). 

Tome  VU;  189-». 

(irinwis  [C .-II .-C .).  —  Sur  dctix  formes  d'énergie  dans  Je  mou- 
vement de  roulement.  (47-63). 

!h  \  ries  («/•)•  —  Stir  un  groupe  de  configurations  planes  régu- 
lières et  quelques  configurations  planes  connexes  de  points  et 
de  courbes.  (75-96). 

La  figure  plane  formée  de  3  couples  de  points  situés  sur  3  droites  con- 
courantes détermine  4  couples  de  triangles  perspectifs  qui  mènent  à  12 
points  nouveaux,  les  points  d'intersection  des  côtés  homologues,  et  16 
droites  nouvelles,  les  12  côtés  des  triangles  et  les  4  axes  d'homologie;  ces 
éléments  nouveaux  constituent  une  cf(i2,,  16,) A.  De  la  même  manière, 
Il  —  I  couples  de  points  sur  n — 1  droites  concourantes  donnent  lieu  à  une 
cf [«(n  —  i)j„_^,    ln{n  —  \)(n  —  ^)3],   désignée  par    le  signe  a„.   Elle   possède 

8(  ,  I   points  diagonaux    triples   et  n   points   diagonaux   de  Tordre  ii — i;    ces 

derniers  sont  les  centres  de  71  cercles  dont  le  rapport  des  rayons,  les  centres  de 
similitude  et  les  axes  de  similitude  entrent  dans  la  configuration.  Détermina- 
tion de  !7„  par  des  constellations.  Toute  c,,  contient  (2/1  —  5)[      |  quadrilatères 

complets;  chaque  point  de  a,,  entre  dans  (2^  —  5)(/i  — 2)  de  ces  quadrilatères, 
chaque  droite  de  a„  fait  partie  de  2/?  —  5  d'entre  eux;  les  a^  ^  comprises  dans 
une  !r„  comme  figures  résiduelles  de  2  points.  Si  d'une  a„  on  enlève  les 
éléments    de  p  cfî,,,    n'ayant    prises   deux    à    deux    aucun    nombre    commun 


(  ')   \oir  nullcdn,  \l\\,  p.    179. 


222  SECONDE   PARTIE. 

dans  leur  notation,  il   reste   unecf  U/iM^M  ,4/iM^\     •  Les  points  <le  7,. 

forment    avec    les   çul)i(|iies    à    2   brandies   déterminées    par   les   g^    comprises 

dans  a,,  une  cf    n{n      1)    ^^     .^    ,  (  '," 

'     2    j 

On  trouve  une  traduction  française  de  ce  Mémoire  dans  les  Archives  I\'écrl., 
t.  X\V,  p.  33-56. 


■:)„]•  • 


Klayvcr    [J.-C).    —    Nombres     caracLérlsllqiies    des    courbes 
gauches  algébriques.  (i2i-i(34). 

Application  de  la  Géoméirie  énumérative  de  AI.  II.  Schubert  aux  courbes 
gauches  K'"  d'ordre  m  quelconque.  Explication  de  la  notation  de  Schubert. 
Détermination  du  nondjre  X  des  tangentes  de  la  courbe  qui  la  rencontrent  en 
un  autre  point,  du  nombre  x  des  points  d'intersection  de  3  tangentes  non 
consécutives  et  des  nombres  corrélatifs,  en  fonction  de  l'ordre  m  et  du  genre  D 
de  la  courbe,  supposée  de  ne  pas  posséder  des  particularités  d'un  ordre  supé- 
rieur. Les  résultats  de  cette  Partie  introductrice  du  travail  s'accordent  avec 
les  résultats  connus  de  M.  Cremona  (1870). 

La  surface  des  cordes  triples  de  H'".  Ordre  ;x  de  la  surface  et  degré  0  de 
multiplicité  de  R"'  sur  elle.  Cette  surface  ¥>'■  contient  deux  espèces  de  généra- 
trices particulières,  les  arêtes  qui  rencontrent  les  génératrices  infiniment  voi- 
sines et  les  génératrices  qui  passent  par  4  points  de  R„,.  Dans  la  recherche 
du  nombre  de  ces  dernières  génératrices  quadruples  de  la  surface  Fi^,  l'auteur 
retrouve,  d'une  manière  caractéristique,  le  nombre  des  droites  situées  sur  une 
surface  cubique. 

Ensuite,  la  détermination  de  l'ordre  m'  de  la  courbe  double  de  F:^  exige  la 
connaissance  du  genre  de  Ei^.  Ce  nombre  résulte  d'une  relation  entre  les  genres 
de  deux  espaces  en  relation  géométrique,  trouvée  par  M.  Zeuthen.  D'abord,  le 
genre  de  Fi*  fait  connaître  le  nombre  des  points  doubles  d'une  section  plane 
qui  à  son  tour  mène  au  degré  m'  de  la  courbe  double.  Cette  courbe  possède 
4  groupes  dillerents  de  points  remarquables.  Si  l'on  exclut  le  cas  m  =  5,  R"" 
ne  contient  pas  de  point  double  ordinaire,  toujours  des  points  triples  et  des 
points  quadruples.  Avant  de  déduire  le  nombre  de  ces  points  triples  qui,  d'après 
une  vérification  simple,  monte  à  740  quand  R"'  est  l'intersection  totale  de 
deux  surfaces  cubiques,  l'auteur  est  obligé  de  rechercher  la  classe  de  trois  sur- 
faces développablcs  circonscrites  à  El*.  Surtout  la  déduction  de  la  classe  de  la 
dévcloppable  doublement  circonscrite  à  F:*  le  long  de  R'"'  fait  ressortir  l'uti- 
lité de  la  méthode  de  Schubert. 

Enfin,  l'auteur  contrôle  ses  résultats  par  l'étude  indépendante  des  quatre 
courbes  gauches  R"  non  situées  sur  une  quadrique. 

De  Vries  {J .)-  —  Nouvelles  propriétés  de  la  configuration  harmo- 
nique (24..,,  18,).  (177-191). 

La  configuration  harmonique  (24,,  18J  est  inscrite  dans  une  courbe  quar- 
tique.  Cette  courbe  comprend  encore  les  iG  points  d'intersection  des  couples 
de  droites  associées.  Les  points  et  les  droites  des  deux  j^  qui  déterminent  la 
configuration    harmoni(|uc   formonl    avec    leurs  points   et  droites  complémen- 


UKVLII':    1)1-:  s   PU  n  M  CATION  s.  9.'^'5 

tniros  une  ronfii^nralion  /jo,,  inscrite  dans  une  qnaiMique.  La  f\o^  appartenant  à 
la  conlijiuralion  liarinoniqiic  peut,  de  liuiL  manières  did'érenles,  être  composée 
de  deux  configurations  Cio^,  20,)  de  construction  difTérente;  elle  contient  encor(; 
seize  conlii^urations  (•-('i,,  »?-J-  l-*'^  points  delà  configuration  \i)^  donnent  lieu  à 
3t)  coni(|ues,  dont  chacune  contient  !\  points  de  la  configuration  harmonique  et 
/|  points  complémentaires.  Il  y  a  800  cubiques  passant  chacune  par  12  points 
(!('  la  configuration  /|0^.  Les  4^  points  accessoires  d'une  a^  forment  12  qua- 
druples linéaires;  ils  font  partie  d'une  configuration  combinatoirc  (56^,28^). 
Les  16  droites  de  a,  forment  iG  sextuples  tangentes  à  une  conique:  les48  points 
accessoires  se  rangent  en  16  sextuples  coniques;  elles  font  partie  d'une  confi- 
guration combinatoirc  (8^3,36,).  Les  72  points  de  la  configuration  harmonique 
forment  6  groupes  de  points  conconiques. 

On  trouve  une  traduction  française  de  ce  travail  dans  les  Arch.  NéerL, 
t.  X\V,  p.  57-69,  sous  le  titre  :  Sur  une  configuration  plane  de  24  points  et 
de  18  droites. 

BaeJir  {G  .-F  .-W.) .  —  Sur  les  j)oinls  d'inflexion  de  l'herpolhodie 
de  Poinsot.  (3'28-36o). 

Après  que  'SX.  de  Sparre  eut  démontré,  en  se  basant  sur  la  théorie  des  inté- 
grales elliptiques,  que  Therpolliodie  ne  présente  ni  points  d'inflexion,  ni  points 
de  rebroussement,  plusieurs  auteurs  ont  repris  la  question  géométriquement. 
Dans  le  présent  Mémoire,  M.  Baehr  tâche  de  prouver  le  théorème  sans  sortir  du 
domaine  de  la  Géométrie  analytique. 

Ce  Mémoire  est  inséré,  en  même  temps,  dans  les  Annales  de  Delft,  t.  VI, 
p.  27-50. 

De  Vries  {J.)-  —   l^olvgones  cycli({ues  sur  des  cubiques  planes. 

(430-46.). 

Dans  ce  Mémoire,  l'auteur  considère  trois  espèces  de  polygones  inscrits  à  une 
cubique  donnée.  Les  polygones  de  première  espèce  sont  à  la  fois  inscrits  et  cir- 
conscrits. Dans  les  polygones  de  seconde  espèce  le  point  tangentiel  du  sonjmet  A, 
se  trouve  sur  la  droite  A-^^A^-^j.  Dans  les  polygones  de  troisième  espèce  le 
point  tangentiel  d'un  sommet  se  trouve  sur  le  côté  opposé. 

L'auteur  se  sert  de  la  relation  Hw  =  0  (mod.  to,  w')  entre  les  Zn  points  d'in- 
tersection de  la  cubique  donnée  et  d'une  courbe  quelconque  d'ordre  n. 

Traduction  française  du  Mémoire  Arch.  Nëerl.,  t.  XXV,  p.  i-32. 


Tome  VIII;   1891. 

Klayver   {J.-C).    —   Sur    des    systèmes  de  rayons  déduits    de 
4  droites  données  dans  l'espace.  (41-71). 

Dans  les  Math.  Ann.  {l.  XIII,  p.  ifiS)  M.  A.  Voss  a  démontré  l'existence 
d'une  relation  identique  entre  les  coordonnées  de  droites  de  4  tangentes  d'une 
cubique  gauche  R%  de  manière  que  le  problème  de  construire  une  IV  qui 
louche  1  droites  données  est  impossible  ou  indéterminé. 


9.2i  Sr:COM)F.   PARTIE. 

L'auteur  donne  d'abord  une  nouvelle  déflueiion  de  la  relation  de  M.  Voss.  Il 
démontre  que  f\  droites  données  i,  ?.,  3,  4  touehent  une  infinité  de  cul)iques 
gaurhes,  si  les  4  hyperboloïdes  (2,3,4),  (-^jAj  0>  (  4>  '>  2),  (1,2,  3)  admettent 
une  tangente  commune  z.  A  cette  fin  les  racines  carrées  des  quantités  (i,^), 
(2,2),  (3,2),  (4,  2),  où  {p,  r/)  -  p,r/^^-  p^r/^-h  p,q^-h  p,q,-^-  p,q,-h  p,q,,  doivent 
satisfaire  à  4  équations  linéaires  liorTiogénes  déterminées.  L'élimination  des  4  ra- 
cines donne  la  relation  F  =  o  de  M.  Voss  en  forme  de  déterminant.  Sous  la  con- 
dition r  =  o  les  4  racines  en  question  sont  proportionnelles  aux  mineurs 
premiers  de  ce  déterminant.  Dans  ce  cas,  on  a  donc  identiquement 

(XZ)  {2Z)  (32)  _  (42) 


v/(i2)(.3)(,^0        s/(2i)(23)(24)        v/(3')(32)(34)        v/(4i)(4'^)(43") 

dans  le  cas  général  F  =z^  o  ces  équations  déterminent  un  lieu  de  droites  z.  Eu 
égard  au  signe  double  des  racines,  ce  lieu  se  compose  de  12  complexes  linéaires, 
qui  se  pénètrent  trois  à  trois  suivant  16  congruences  de  premier  ordre  et  de 
[)remière  classe  et  six  à  six  suivant  12  hyperboloïdes.  Cette  figure  à  trois  di- 
mensions montre  une  analogie  frappante  avec  celle  des  12  plans  bissecteurs  des 
angles  dièdres  sur  les  arêtes  d'un  tétraèdre,  leurs  16  droites  d'intersection  trois 
à  trois  et  leurs  12  points  d'intersection  six  à  six,  les  sommets  et  les  centres 
des  sphères  qui  touchent  les  4  faces.  Parmi  les  12  hyperboloïdes  les  surfaces 
(234),  (3'|i),  (4i2),  (i23)  correspondent  aux  4  sommets;  les  8  autres  se  di- 
visent en  2  groupes  de  caractère  différent,  les  surfaces  réglées  H,,  H^,  H,,  H^ 
qui  correspondent  aux  centres  des  sphères  ex-inscrites  et  les  surfaces  réglées 
U  ,  Hg,  H.,  Hj  qui  correspondent  aux  centres  des  autres  sphères  tangentes. 

Après  l'étude  détaillée  des  2  groupes  de  4  hyperboloïdes  qui  font  trouver 
3  systèmes  focaux  et  i  groupe  de  surfaces  F%  l'auteur  revient  au  cas  T  =  o.  Il 
prouve  que  le  rapport  anharmonique  des  4  points  de  contact  a  la  même  valeur  X 
pour  l'infinité  des  courbes  tangentes  R^  et  que  l'on  a  V—  a'V,  où  V  et  V  sont 
les  rapports  anharmoniques  des  points  d'intersection  de  i,  2,  3,  4  avec  les  2  sé- 
cantes communes,  situées  sur  les  12  hyperboloïdes. 

Traduction  française  Arch.  NéerL,  t.  XXV,  p.  70-100. 

Carclinaal  («/•)•  —  GoDstriiction  des  surfaces  qiiarliques  à  co- 
nique double  à  l'aide  de  faisceaux  projeclifs  de  sui^faces  qua- 
di-aliques.  (88-146). 

L'auteur  a  mis  en  rapport  Tune  avec  l'autre  deux  générations  différentes  de 
la  surface  quartique  à  conique  double.  La  première,  indiquée  dans  le  titre  du 
Mémoire,  a  été  énoncée  par  M.  C.  Segre  {Math.  Ann.,  t.  XXIV,  p.  3i3);  la 
seconde,  énoncée  par  M.  Th.  Reye,  se  base  sur  la  correspondance  quadratique 
entre  deux  espaces  de  trois  dimensions.  M.  Segre  remarque  qu'il  est  étrange 
qu'on  n'ait  pas  encore  pensé  à  déduire  de  la  première  génération  une  théorie 
synthétique  complète  de  ces  surfaces.  Dans  le  présent  Mémoire,  l'auteur  comble 
cette  lacune  et  il  y  réussit  à  l'aide  du  rapport  entre  la  génération  de  Segre  et 
celle  de  Reye.  Dans  la  correspondance  entre  les  deux  espaces  S  et  S'  aux 
points,  aux  droites,  aux  plans  et  aux  quadriques  F^  de  2  correspondent  suc- 
cessivement des  couples  de  points,  des  coniques,  des  quadriques  F'^  passant  par 
une  conique  déterminée  d-  et  des  surfaces  quartiques  à  conique  double  d^  de  S'. 
Ainsi    à   la   généralion    d'une   qiiadrique   0=    en    1    à    l'aide   de   deux    faisceaux 


nKVllF    DKS    PliRI-ICATIONS.  7,9.5 

projrrtifs  do  phnis  rnrrospund  m  X'  la  îrt'iKT.'ilion  d'une  siirfarn  quart iqno  O* 
;i  coiiKiiic  (I<>til)lo;  de  s(>rl«>  ([iic  la  siiifar<î  ()'  (ui'iiif  rimaf;»;  de  la  surface  ()'  r;t. 
(|ii(>  les  I  \  |»cs  divofs  de  surfaces  ()^  font  conuaitrf  les  lv|)cs  de  surfaces  (>'.  Daus 
celle  classilicaliou,  l'aiileur  (ixe  l'alletil  ion  sur  trois  cii'constauccs  dinV;rciil,es,  le 
caiMclère  de  l'iuiatic  O',  le  caracicre  de  la  (juadricpie  K'  (|ui  est  le  lieu  des 
c»'»nes  du  syslènic  I  ri  |ilcinciit  inlini  de  (|uadri(|ues  de  1' cori-espoiidanl  aux  plans 
de   i:   cl    à    la    po>itiou   des  quadricpics   (.)'   et   K'   l'une   par   ra|)poil  à    l'autre. 

De  Iiocr[h\).  —  Applicalion  de  la  niéllioclo  de  Darhoux  à  l'équa- 
lloii  didV'rcnlielle  5  =/(/•,  /).  ('A'U-:4(S()). 

Kxposé  de  la  luc-lliodc.  Lith'ralurc.  Cas  particuliers  capables  de  transforma- 
tions simples  (|ui  mènent  à  des  solutions  évidentes.  Hechcrciies  directes  par 
rapport  au  cas  général  à  l'aide  du  critérium  de  Jacobi,  etc. 

l'iaduction  française  Arcli.  NéevL,  t.  XWII,  p.  353-4 12. 

Lorenlz  (fl.-^i.).  —  La  lliéorie  de  Maxwell  stir  le  moiiveineriL  de 
rélecLricilé.  (^^S-.ii-). 

Alifj'i'e/'  [J.-C).  —  Sur  les  Langenles  d'indexioii  de  la  biquadra- 
lique  gauche.  (346-38o). 

Les  16  points  d'inflexion  d'une  biquadratiquc  gaucbe  \\\  se  trouvent  quatre 
à  quatre  dans  les  faces  du  tétraèdre  autopolaire  des  surfaces  quadratiques 
passant  par  la  courbe;  les  tangentes  d'inflexion  passent  toujours  par  les  sommets 
opposés  à  ces  faces.  Ainsi  l'on  ne  trouve  4  tangentes  d'inflexion  qui  ne  se 
rencontrent  pas  qu'en  prenant  un  des  16  points  de  chacune  des  quatre  faces, 
ce  qui  est  possible  de  256  manières  dilïérentes.  Si  l'on  représente  les  coor- 
données a:,,  x^,  x.^,  x^  des  points  de  R^  prises  par  rapport  au  tétraèdre  auto- 
polaire à  l'aide  des  fonctions  p(m)  de  \A'eierstrass  par  les  formules 

X,  x„  X,  X 


p"{u}        p'{u)        p{u)  I 

ces  256  combinaisons  se  rangent  en  quatre  groupes  de  64  combinaisons  carac- 
léiisées  par  les  relations 

U^-h  U^-h  U^-+-  U.—  0,      U^-\-U=l(^-î-U.,      u^-\-  u^=  u.^-i-  u,      u^-h  u^— u^-h  u.. 

La  première  relation  fait  connaître  4  points  complanaires;  ce  cas  symétrique 
est  étudié  en  détail.  Dans  ce  cas  les  coordonnées  de  droites  des  4  tangentes 
d'inncxion  i,  2,  3,  4  satisfont  à  la  relation  identique 

(23)(,4)  +  (3r)(24)-f-(.2)(34)  =  o, 

de  manière  que  le  problème  de  la  construction  d'une  R^  tangente  à  4  droites 
données  est  impossible  ou  indéterminé.  Ensuite  l'auteur  s'occupe  de  la  notion 
d'invariant  absolu  des  R*.  Enfin,  le  cas  asymétrique  it ,-^  it^=  u^-\-u. 
est   caractérisé    par    la   relation    {—  a -h  b -h  c)*  =  G'^a'Oc    où    a  =  (23)Ci4). 

6=:(3,)(2l),   c  =  (.2)^31). 


t226  SECONDE   PARTIE. 

Korteweg  {D.-J.).  —  Sur  les  poinls  de  plissement.  (385-386). 

Transformalion  d'un  point  de  plissement  et  de  ses  courbes  spinodale  et 
connodale  adjointes  à  travers  un   point  conique  de  la  surface. 

Van  cler  JVaals  [J.-D.).  —  La  valeur  de  la  pression  pour  des 
phases  coexisLanles  de  mélanges,  notamment  de  solutions  sa- 
lines. (409-459). 

Traduction  française  Arcli.  Néerl.,  I.  XXVI,  p.  91-125. 

Tome  IX;  1899.. 

Bierens  de  llaari  {D.).  —  Matériaux  pour  l  histoire  des  Mathé- 
matiques dans  les  Pays-Bas.  (4-47)- 

]N°  37.  Essai  d'une  bibliographie  de   l'histoire   des  Sciences  mathématiques  et 
physiques  (^66  numéros).  Table  des  biographies  y  comprises. 

Van  den  Berg  (^F.-J.).  —  Sur  la  résolution  approehée  des  équa- 
tions d'après  Newton.  (53-6^). 

Exposé  analytique  et  géométrique  de  la  méthode.  Amélioration  de  la  mé- 
thode à  ('aide  d'une  formule  où  entrent  trois  points  voisins  du  point  d'inter- 
section cherchée  de  la  courbe  y  —  f{x)  avec  l'axe  des  abscisses. 

Van  den  Berg  [F.-J.).  —  Sur  des  coniques  qui  ont  un  contact 
du  quatrième  ordre  avec  nne  courbe  plane.  (85-io3). 

Les  coordonnées  du  centre  C(a,[3)  de  la  conique  qui  a  au  point  A  (.r,  y)  un 
contact  du  quatrième  ordre  avec  la  courbe  y  —f{x)  sont 

j/- — Sqs  J/' — ôgs 

où  /?,  q,  r,  s  ont  la  signification  ordinaire.  La  droite  AC  est  tangente  en  C  au 
lieu  de  C  (courbe  de  déviation).  L'équation  de  ce  lieu  s'obtient  par  l'élimina- 
tion de  X  entre  les  deux  relations  données.  Exemple  :  la  courbe  de  déviation 
d'une  spirale  logarithmique  est  encore  une  spirale  logarithmique;  le  problème 
réciproque  :  «  trouver  la  famille  des  courbes  y=f{x)  qui  possèdent  une 
courbe  de  déviation  donnée.  » 

Enfin,  l'auteur  considère  la  série  des  coniques  osculatrices  pour  lesquelles 
les  lieux  des  foyers  sont  enveloppés  par  les  droites  qui  joignent  les  foyers  de 
la  conique  au  point  correspondant  de  la  courbe  donnée. 

Van  den  Berg  (F. -J.).  —  Sur  le  calcul  de  systèmes  centres  de 
Icnlillcs.  (1  '25-130). 


RRVUK   nF<S   PUBMCATIONS.  j.y) 

Cri/n\'is  (^\-//.-C).  —  L'cncrgic  kiiicliqjio  du  inouvcmfnt  con- 
li-al.  ('.il  I -■.>.:>.")). 

DcToinposilion  i\c  la  vitesse  du  jmoii\  rtiicnl  des  rornèles  cl  des  plarirles  en 
deux  composantes  |terpendienlaiies  l'iitie  à  l'antre,  l'une  descpudles  esl  diri;;(;o 
vers  le  centre  d'altraclion.  Kludc  des  énergies  Ivinéliqucs  dépendanl  de  ces 
roniposanlcs,  etc. 

Sclioutc  {l*.-ll .).  —  Un  prohlènic  (Je  la  GconicliLa  silus.  (226- 
280). 

Il  s'agit  du  problème  de  M.   Lcmoine  sur  la  bande  de  timbres-poste. 

Sirks  (J.-L.).  —  De  rinflucnce  de  la  difTraction  par  un  réseau  à 
mailles  reclangulaires,  placé  devant  l'objectif  d'une  lunette,  sur 
la  clarté  de  l'image  principale  d'une  étoile.  (.307-328,  i  [)!.). 

Speckman  (fl.-A.-lF.).  —  La  méthode  de  M.  Darboux  pour 
l'intégration  des  équations  aux  dérivées  partielles,  non  linéaires^ 
du  second  ordre.  (44>-497)- 

Ce  travail  se  compose  de  deux  parties  distinctes.  Comme  on  sait,  la  métliode 
nouvelle  d'intégration  exige  la  recherche  d'intégrales  communes  de  deux  équa- 
tions simultanées,  l'une  desquelles  est  du  second  ordre  en  p.  Tandis  que  la  se- 
conde Partie  du  présent  Mémoire  s'occupe  du  cas  particulier  où  cette  équation 
caractéristique  a  des  racines  égales,  la  première  Partie  est  consacrée  à  l'étude  des 
équations  simultanées.  Dans  cette  première  Partie,  l'auteur  fait  connaître  les 
deux  méthodes  de  Darboux,  le  rapport  intime  entre  eux  et  les  méthodes  plus 
spéciales  de  MM.  I  alk,  Picart,  Hamburger,  Winckler,  Kônig,  Sersawy.  Dans 
la  seconde  Partie,  il  démontre  que  les  équations  auxiliaires  admettent  le 
nombre  maximum  cinq  d'intégrales  communes  dans  le  cas  où  les  racines  de 
l'équation  caractéristique  sont  égales.  Il  fait  connaître  les  cinq  intégrales 
communes  et  applique  la  théorie  aux  cinq  cas  particuliers 

/{r,s,t)  =  o,         f{x,r,s,t)=:o,         /{  y,  r,  s,  t)  =  0, 
f{z,  r,s,  t)  =  0,        f{q,r,s,t)  =  o. 

Ensuite,  il  s'occupe  d'une  classe  d'équations  du  second  ordre  et  du  second 
degré,  faisant  partie  des  équations  de  Poisson.  L'étude  des  équations  aux  dé- 
rivées partielles  non  linéaires  du  second  ordre  lui  fait  trouver  le  théorème  que 
l'intégration  de  ces  équations  et  de  l'équation  d'Ampère  dépend  du  même  sys- 
tème d'équations  de  condition,  soit  qu'on  parte  du  système  de  Monge,  soit  qu'on 
se  serve  du  système  de  Darboux.  Enfin,  par  des  opérations  inverses,  l'auteur 
déduit  de  nouvelles  relations  difTérentielles. 

Traduction  française  Arch.  Néerl.,  t.  XW'II,  p.  3o3-354. 


17.8  SECOXDR    PARTIR. 


VERSLAG  DER  ZITTINGEN  van  de  Wis-en  Natuurkundige  Afdekling  dkr 
KoNiNKLiJKiî  Akademie  VAN  Wetenschappen  Ic  Amstcrclom.  In-4°(*). 

Tome  I;  juin  i8()2-inai  1893. 

Lorentz  (II.-Â .).  —  Sur  la  réflexion  de  la  lumière  par  les  corps 
en  mouvemenl.  (:28-3i). 

SchoLite  (P.-I/.).  —  Sur  une  relation  générale  dans  la  théorie  des 
courbes  planes.  (53-58  et  62-6-). 

Si  —  +  ^-  =  1    représente    l'ellipse  E   et    que  f{x,  y)    forme    l'expressii^ii 

homogène  des  termes  du  /i'^'""  ordre  de  l'équation  d'une  courlje  C"  par  rapport 

aux    mêmes    axes,    les    anomalies    excentriques    d^    des    points    d'intersection 

Sj,(A-  =  1,2,  ...,  2/i)  de  E  et  de  C"  ont  une  somme  A  déterminée  par  la  rela- 

..  /(  «)  '^)        ^  •      ,■  ..  .     ,  I 

lion  C'A  =  -~ ^.  Cas  parliculiers.  Rapport  entre  ces  résultats  et  ceux  de 

f{a,  —  ib) 

Laguerre. 

Lorentz  [II. -A.).  —  Le  mouvement  i-elatif  de  la  Terre  et  de 
l'éther.  (74-79)- 

Lorentz  [IL-A.).  —  La  théorie  de  Slokes  sui'  Taberration.  (97- 

io4). 

SchoLite  [P.-H.).  —  Recherche  de  la  position  des  2-  droites 
d'une  surface  cubique  les  unes  par  rapport  aux  autres  à  l'aide 
de  la  représentation  sur  un  plan.  (i43-i44)- 

Indication  de  la  correspondance  (i,  i)  entre  les  points  situés  dans  des  direc- 
tions dillerentes  autour  d'un  point  principal  du  plan  à  distances  infiniment  pe- 
tites et  les  points  de  la  droite  homologue  de  la  surface  cubique. 

Lorentz  [H. -A.).  —  L'influence  du  mouvement  de  la  Terre  sur 
la  propagation  de  la  lumière  dans  les  corps  biréfringents.  (i49- 

i54). 

Fan  der  Waals  [J.-D.).  —  Théorie  thermodvnamique  de  la  ca- 
pillarité, (i  58- 160). 


C)   ("c  Recueil  \a  remplacer  dorénavanl  les   ]'ctslagcn  en  Mcdcdcclini^cn. 


KKVIJK    DKS    IMIUMCA'IIONS.  'jljaj 

Sc/io/s  (  (  '  Il  .-M .).  —  La  loi  <l<'s  crrciii-s  crobsciN  alioii.  (^\()^-:>.u'a). 

I,'. m  leur  s'orcii  ne  dr  l;i  pfoI);il)ilil('  —=.dx\  i -i rrr  "i T  ir  "1 r-p-t----) 

M/iTT        V  '^!  'l!  -^î  / 

(|u'iiii(' ('ii-(Mir  se  trouve  eiiliv;  les  liiniles  .r  et  :r-|-c/j7,  où -^^^  rf'[)rcsenle  un  poly- 

iioinc  (roitlrc  //  cil  ,.-  cl  K    une  conslante.  Dans  le  cas  des  erreurs  synictiiques 

SA-  —  .Si:/.-; 
K    _^,  (lisparaîl  cl  l'on  trouve  K^  =  — -'  ^  ,    ^ ., — ^j  où  A,  et  /.\  indiquent  les   va- 

leurs  moyennes  des  secondes  et  des  quatrièmes  puissances  des  erreurs;  si  s  est 
le  nombre  de  ces  erreurs,  on  a  donc  K^-=-l  —^  — 3j.  L'application  de  ce  ré- 
sultat à  <|ualrc  séries  d'observations  astronomiques  de  Bessel  fait  connaître  des 
diiïérences  petites  très  marquées  entre  les  valeurs  théoriques  et  les  valeurs  ob- 
servées; de  plus,  l'étude  d'une  série  d'observations  géodésiques  du  général  italien 
Kerrero  mène  aux  mômes  résultats.  L'auteur  cherche  à  expliquer  ces  différences 
caractéristiques  à  l'aide  de  deux  influences,  dont  l'une,  la  combinaison  d'obser- 
vations d'exactitude  inégale,  tend  à  donner  à  K;  une  valeur  positive,  tandis  que 
les  fautes  élémentaires  elles-mêmes  ont  ordinairement  l'effet  opposé.  Enfin, 
l'auteur  indique  comment  des  observations  d'exactitude  inégale  doivent  être 
combinées. 

Tome  II;  mai  i(S93-mai  1894. 

Schoute  (P. -II.).  —  Trois  modèles  de  surfaces  développables  en 
rapport  avec  des  équations  algébriques.  (8-12,  44)- 

Il  s'agit  des  surfaces  discriminantes  des  équations  w'+  3a:u'--h  "^yu  +  z  =  0, 
u^ -\-^xu^^  [\yu -\- z  ^^  6,  u^ — i5a^-l- i5a7a--f- 6y  M  +  ^  =  0.  La  dernière 
divise  l'espace  en  quatre  parties  (à  6,  ;^,  2,  0  racines  réelles).  Sections  de  cette 
surface  par  les  plans  x  —  const. 

Van  der    Waals  (J.-D.).  —  La  loi  de  l'attraction   moléculaire. 

(20-21). 

Koi'LcAveg  (D.-J.).  —  Communication  sur  les  formes  fondamen- 
tales des  courbes  de  la  troisième  classe.  (60-64,  81,1  pL). 

Division  en  courbes  à  une  branche  et  courbes  à  deux  branches.  Subdivision 
des  courbes  du  premier  groupe  en  courbes  qui  admettent  et  qui  n'admettent 
pas  des  sécantes  à  six  points  d'intersection  imaginaires.  Représentation  gra- 
phique de  cette  classification. 

y^tn  de  Sande  Bakhuyzen  (II. -G.).  —  Sur  la  variation  de  la  la- 
titude. (i32-i38). 

Meerburrr  (J.-II.y  —  Contribution  à  la  connaissance  de  la  pola- 
risation électrolytique.  (102-1 56). 


23o  SliCONDIi:  PARTI  H. 

Hésuiiié  de  la  tlièsc  du  même  titre.  Klude  de  la  lui 


i=  Acp'(0  +  Br^j-f  (n-    f     I -f(/-  ^J- r(t)    dx\, 

entre  l'intcnsilc  i  du   courant  et  le  temps  t,  où  cp(^)  représente   la    densité   de 
l'hydrogène  sur  l'électrode. 


VERHANDELÎNGEN   der    Koninklijke  Akadkmie    van  Wetexschappen    le 
Amsterdam.  111-4". 

Tome  XVIII;  1879. 

Biei'cns  de  llaan  {D.).  —  Sur  la  déduction  d'équations  dlfféren- 
tielles  d'une  équation  intégrale  donnée.  (37). 

L'auteur  s'occupe  d'équations  intégrales  de  la  forme 

{x  -^  ay  -\-by{x  ^  aj-  +  b^)'>=  P. 

Lorentz  [H. -A.).  —  Sur  la  relation  entre  la  vitesse  de  propaga- 
tion de  la  lumière  et  la  densité  et  la  composition  des  milieux. 

L'auteur  donne  un  résumé  de  la  théorie  de  Maxwell  ;  ensuite  il  étudie  le  mou- 
vement de  la  lumière  dans  un  milieu  isotrope  à  structure  moléculaire.  Cette 
étude  mène  à  des  formules  qui  lient  la  vitesse  de  propagation  à  la  densité  et 
la  composition  du  milieu.  Ces  formules  admettent  une  vérification  expérimen- 
tale à  l'aide  de  la  détermination  des  indices  de  réfraction.  Dans  ces  recherches 
l'auteur  fait  attention  à  la  dispersion  de  la  lumière. 

Bierens  de  Haan  {D.).  —  Sur  la  difTérentiation  de  quelques  in- 
tégrales elliptiques  suivant  le  module  ou  une  fonction  du  module. 

(33). 

Tome  XX;  1880. 

Korteweg    (D  -./.).    —    Théorie    générale    des    forces    pondéro- 
motrices  (56). 

Les  hypothèses  dont  on  se  sert  dans  l'explication  de  la  loi  qui  forme  la  base 
de  la  théorie  électrodynamique  d'Ampère  ont  été  données  par  C.  Neumann 
{Math.  Ann.,  t.  XI,  p.  3i3).  Trois  de  ces  quatre  hypothèses  entrent  dans 
toutes  les  théories  électrodynamiques  plus  récentes.  Seulement  la  quatrième, 
d'après  laquelle  il  n'y  a  pas  de  forces  pondéromotrices  en   dehors  de  la  droite 


HKVIII':    l)i:S   PUBLICATIONS.  -a^i 

(|iii  jitiiil  (liiix  tlcinciils  (le  t'oniaiit  cl  imii  plus  di-s  CDiipIc-î  cIIilm; leurs,  u  (';lé 
iciiiplucco  |)lus  d'uiKî  fois  [)iir  d'aulrcs  liypothèscs  :  d'ahcjrd  paf  Grassrnanri, 
puis  par  voii  Ilclinljoll/.  h'après  l'Iiypollièsc  de  (Irassrnann,  les  forces  pondéro- 
moirioes  sont  perpendiculaires  aux  élériicnls  de  courani;  d'apiès  celle  de 
lloliiilioltz,  les  forces  cl  les  couples  dirccleurs  admclLcnl  un  potenliel.  Chacune 
de  ces  qualrièines  hypollièses  mène  à  une  théorie  éleclrodynarni(|uc,  et  ces 
théories  sont  d'accord  pour  les  courants  fermés  et  en  discordance  par  rapport 
aux  courants  ouverts.  Chacune  des  trois  a  ses  adhérents.  L'auteur  développe 
une  théorie  plus  générale  qui  connprcnd  les  théories  anciennes  comme  des  cas 
particuliers  en  rejetant  et  ne  déplaçant  pas  la  quatrième  hypotlièsc.  Sommaire  : 
l'\)rces  et  couples  en  action  entre  deux  éléments  de  courant.  Les  quatre  posi- 
tions fondamentales.  Les  milieux  des  deux  éléments  se  trouvent  sur  un  même 
axe  de  coordonnées.  Décomposition  des  forces  et  des  couples.  Un  des  éléments 
est  placé  à  l'origine  et  dirigé  suivant  l'axe  des  x.  Élément  de  position  arbitraire. 
Action  d'un  courant  élémentaire  fermé,  placé  à  l'origine,  sur  un  élément  quel- 
conque et  sur  un  courant  fermé  quelconque.  Les  deux  conditions  de  concor- 
dance avec  la  théorie  d'Amjx'rc  pour  des  courants  fermés.  Action  d'un  courant 
fermé  sur  un  clément  incomplel.  Fîésumé.  Les  hypothèses  d'Ampère,  de  Grass- 
mann,  de  Slcfan.  La  théorie  générale  des  potentiels.  Actions  de  forces  d'après 
la  théorie  des  potentiels  de  Ilelmholtz.  Théorie  de  Wand.  Les  théories  élec- 
trodynamiques de  Weber  et  de  Clausius.  L'influence  de  la  polarisation  diélec- 
trique. Action  momentanée  d'une  décharge  statique. 

Van  der  II  aais  (J.-D.).  —  Remarques  sur  le  Mémoire  précédent. 

(.2). 

L'auteur  remarque  qu'il  est  possible  de  remplacer  dans  les  calculs  de 
M.  Korteweg  les  éléments  de  courants  et  les  courants  élémentaires  fermés  par 
des  courants  de  dimensions  finies  sans  que  les  formules  deviennent  plus  com- 
pliquées. 

I  an  der  Waals  (./.-/).).  —  Recherches  sur  les  propriétés  corres- 
pondantes des  courbes  de  vapeur  normale  et  de  fluide  pour  des 
matières  diverses  et  sur  une  modilicalion  de  ces  courbes  dans  le 
cas  de  mélanges.  (32). 

]  an  der  Waals  [J. -[).).  —  Sur  les  coefficients  de  dilatation  et 
de  compression  de  divers  fluides  en  des  circonstances  corres- 
pondantes, (il). 

Tome  XXI  ;  1 88 1 . 

hanierlingh  Onnes  (//.)•  —  Théorie  générale  des  fluides.  (24- 
'4-9)- 

L'auteur  se  hase  sur  l'hypothèse  que  les  molécules  des  fluides  sont  des  corps 
semblables,  élasti(|ues,  à  dimensions  presque  inaltérables,  qui  s'attirent  les  uns 


ï^j.  SlîCOiNDlî   PARTIE. 

les  autres  avec  des  forces  qui  se  réduisent  à  une  pression  à  la  surface,  propor- 
tionnelle au  carré  de  la  vitesse.  De  plus,  il  accepte  le  théorème  de  la  Théorie 
mécanique  de  la  chaleur  d'après  lequel  la  force  vive  du  mouvement  progressif 
mesure  la  température.  Sommaire  :  L'équation  des  isothermes.  Forme  générale 
des  isothermes.  La  température,  le  volume  et  la  pression  critiques  d'après 
l'équation  des  isothermes.  Déduction  de  la  loi  générale  des  fluides  de  Van  der 
Waals.  La  similitude  des  isothermes,  expression  immédiate  de  la  similitude  du 
mouvement.  Théorie  kinétique  des  pressions  de  la  vapeur.  Loi  des  pressions  cor- 
respondantes de  la  vapeur.  Déduction  de  cette  loi.  Extension  du  théorème  que 
la  similitude  du  mouvement  des  molécules  entraîne  celle  des  surfaces  thermo- 
dynamiques. 

Van  der  Waals  [J.-.D.).  —  Remarques  sur  la  loi  des  circon- 
stances correspondantes.  (lo). 

Bierens  de  Haan  {D-)-  —  Réduction  de  quelques  intégrales  où 
entre  le  radical  y/i  +/>  sin'-jo  cos-jc  à  des  intégrales  elliptiques 
et  à  d'antres  intégrales.  (5o). 


Tome  XXII;   i883. 

Bierens  de  Haan  {D.)>  —  Appendice  à  la  Table  des  intégrales 
indéfinies.  (220). 

Formules  générales  de  réduction  pour  des  intégrales  de  la  forme  /  9  (:r)  A  dx, 

f  (f{x)  -  dx  où  A  —  y^i  —  k^  sin-x.  Chapitre  I.  Intégrales  qui  contiennent  A  et 

des  fonctions  goniométriques.  Chapitre  II.  Intégrales  qui  conliennent,  en  outre, 
l'intégrale  elliptique  F  de  première  espèce.  Chapitre  III.  Intégrales  qui  con- 
tiennent, en  outre,  l'intégrale  elliptique  E  de  seconde  espèce.  Chapitre  IV.  In- 
tégrales qui  contiennent  des  fonctions  goniométriques  et  des  produits  ou  des 
puissances  d'intégrales  elliptiques.  En  tout  108  Tables  nouvelles. 


Tome  XXIV;  1886. 

Knni  {N.-M.).  —  Catalogue  d'étoiles,  dont  les  lieux  ont  été  dé- 
terminés par  des  observations  indépendantes  dans  le  méridien, 
publiées  dans  les  Astronomische  Nachrichten^  t.  I-LXVI,  ré- 
duites à  1855,0.  (384). 

Juliiis  [V.-A.).  —  Contribution  à  la  théorie  des  phénomènes  ca- 
pillaires. (63). 

L'étude    des   Mémoires    classiques    de    Laplace,   Gauss    et    Poisson   a    inspiré 
lauteiir  à  étendre  la  théorie  de  Laplace-Oaus-i  à  l'hypothèse  de  la  couche  limi- 


UKVUK    DKS    nJHLlCA noNS.  -^.SS 

fiiiitf  à  (Icnsitc  variable.  (Icllo  extension,  dont  on  lioiive  «les  indications  un 
|itMi  vai;nes  che/.  Heili-and  et.  IJede,  pouvait  être  altcinic  par  deux  voies  dif- 
1('t(MiI('s,  (('Ile  (l(î  Laplaee  et  celle  de  Gauss.  F. a  hase;  uni«|uc  de  la  tln-orie  de 
l..ipKu:ej  c'est  l'IiypotlK'sc  (jue  l'action  de  deux  parlicuhis  ne  se  matiifeste  (|U(; 
dans  le  cas  de  distances  excessivcinent  petites.  Il  parvient  à  ré(|uation  didé- 
renlielle  du  problt^nic ;  seulement,  les  conditions  des  limites  de  la  surface  sont 
iuconiplèles.  A  cet  inconvénient  Gauss  a  porté  remède.  Par  l'application  rlu 
l>rin(ipe  des  déplacements  virtuels,  il  trouva  (|uc  la  somme  de  trois  intéf^rales 
déterminées  est  maximutn  dans  la  position  d'é(juilii)rc.  Après  une  transfoima- 
lioii  (1(>  ces  inlé}?rales,  le  calcul  des  variations  fit  trouver  deux  conditions  d'équi- 
libre; l'une  de  ces  conditions  détermina  la  forme  de  la  surface,  l'autre  fut  de 
rii;ueur  pour  les  limites  de  la  surface.  L'auteur  étend  cette  méthode  de  Gauss. 
Ses  résultats  ne  s'accordent  pas  d'abord  avec  un  théorème  de  Lord  lîaylcigh, 
(|ui  veut  ([uc  la  limitation  brusque  des  deux  milieux  en  contact  est  conditio 
sine  qua  non  par  rapport  aux  phénomènes  capillaires.  Car,  dans  le  cas  d'un 
li(|uidc  en  présence  de  sa  vapeur,  la  tension  superficielle  est  très  petite  dans 
rhy|iolhèse  de  Lord  Haylcigh,  tandis  que  l'auteur  trouve  des  valeurs  assez 
i;randes.  Cette  déviation  s'explique  par  la  remarcjuc  que  la  théorie  de  Lord  Ray- 
Icigh  est  basée  sur  les  considérations  de  Laplacc,  tandis  (juc  l'auteur  continue 
la  théorie  de  Gauss.  Ainsi  l'hypothèse  que  l'épaisseur  de  la  couche  de  passage 
est  un  infiniment  petit  de  même  ordre  que  le  rayon  des  sphères  d'action  ré- 
concilie les  résultats.  A  la  fin  du  Mémoire,  l'auteur  pose  la  question  si  l'intro- 
duction de  la  densité  variable  de  la  couche  de  passage  a  quelque  influence 
sur  la  valeur  des  quantités  N,  N'  qui  figurent  dans  la  théorie  de  Yan  der  Waals 
sur  la  continuité  des  états  gazeux  et  liquide  ;  la  réponse  est  négative. 

Kapteyn  (^J.-C.  et  JV.).  —  Les  sinus  du  quatrième  ordre.  (98). 

Les  auteurs  se  proposent  d'étudier  les  fonctions  ^dz — ,  h ^ :  H-. .. 

'  [j.!      ([J.  +  /0!      ([x  +  2/i)! 

où  .s  représente  une  variable  imaginaire,  n  un  nombre  entier  positif  et  ;x  un  des 
nombres  0,  i,  2,  ..,,  n  —  i.  Ces  fonctions  ont  été  désignées  sous  le  nom 
collectif  de  sinus  supérieurs  d'ordre  [x  —  i  du  genre  hyperbolique  ou  elliptique 
selon  qu'on  prend  les  signes  supérieurs  ou  inférieurs.  Dans  le  présent  Mémoire 
ils  s'occupent  du  cas  n  —  4-  Ce  Mémoire  est  divisé  en  deux  Parties.  La  pre- 
mière Partie  contient  les  formules  fondamentales  qui  sont  d'un  usage  continuel. 
La  seconde  Partie  contient  la  théorie  du  développement  d'une  fonction  holo- 
mor|)he  arbitraire  en  séries,  analogues  à  celles  de  I'\jurier. 

Tome  XXVI;  1888. 

Jaillis  (  V.-A.).  —  Sur  les  spectres  de  lignes  des  éléments.  (120). 
Jiilliis  [V.-A.).  —  Sur  les  raies  doubles  dans  les    spectres  du 
natrium,  du  magnésium  et  de  l'aluminium,  (i  i). 

Tome  XVIII;  1890. 

Sissingli  (/?.).  —  Mesures  sur  le  [)liénomène  de  Kcrr  dans  le  cas 
d'aimantion  parallèle  à  la  surface  rédécliissante.  (64,  r  pi.). 
liiill.  (les  Sciences  niafheni.,   2'  série,   t.  \1\.  (Octobre  189J.)  ll.iS 


:i34  SliCONDFi  PARTIK. 

I.  Introduction.  II.  Méthode  d'observation.  III.  Description  de  l'appareil, 
IV.  Examen  de  la  méthode  d'observation.  V.  Résumé  des  différentes  observa- 
tions et  des  résultats  auxquels  elles  conduisent.  Comparaison  des  résultats  ob- 
tenus avec  ceux  d'autres  observateurs  et  avec  la  théorie. 

Une  traduction  française  du  Mémoire  se  trouve  dans  les  Annales  de  Delft, 
t.  VIII.  p.  1:^-71. 


VERIIANDELTNGEN    der   Koninklijke    Akademie    van  Wetensciiappex    te 

Amsterdam.  Eerste  Scelle  (M-  In-4''- 

Tome  I;  1898. 

Jaillis  (  JV.-fl.).  —  Examen  bolométriqiie  des  spectres  d'absorp- 
tion. (49,  10  pi.). 

Oudemans  (J.-A.-C).  —  Examen  de  niveaux  à  bulle  d'air.  (20, 

.  pi.). 

f^an  Ryn  van  Alkemade  (A.-C).  —  Appb'cation  de  la  théorie 
de  Gibbs  aux  positions  d'équilibre  de  solutions  salines  à  phases 
fixes.  (65). 

Cardlnaal  («/•).  —  La  génération  des  surfaces  du  quatrième 
ordre  à  droite  double  à  l'aide  de  faisceaux  projectifs  de  qua- 
driques.  (63). 

La  surface  S^  à  droite  double  d  est  engendrée  au  moyen  de  deux  faisceaux 
projectifs  (A%  B^)  et  (C%  D")  déterminés  par  les  quatre  quadriques  A%  B%  C% 
D'  passant  par  d.  Pour  étudier  les  différentes  formes  de  S*,  le  système  linéaire 
(A^,  B%  G%  D')  de  quadriques  est  mis  en  rapport  projectif  avec  un  système  li- 
néaire S  de  plans,  comme  l'a  indiqué  M.  Reye  {Leçons  de  Géométrie  de  po- 
sition, t.  II,  p.  252);  la  quadrique  O'  engendrée  par  les  deux  faisceaux  pro- 
jectifs (A,  B)  et  (G,  D)  de  plans  s'appelle  l'image  de  S*.  La  correspondance 
en  question  jouissant  de  propriétés  particulières  dans  le  cas  de  quadriques  à 
droite  commune,  l'étude  de  ce  cas  a  dû  faire  l'objet  d'un  Mémoire  antérieur 
(voir  Rev.  se?n.,  I,  2,  p.  18).  Dans  ce  cas,  la  surface  K  de  S,  qui  correspond  à 
la  surface  jacobienne  du  système  linéaire  de  quadriques  se  compose  d'une  qua- 
drique K'  et  d'une  surface  réglée  K''.  A  l'aide  de  trois  bifurcations  indépen- 
dantes, l'auteur  distingue  huit  familles  de  surfaces  S^  adroite  double.  D'abord 
le  système  de  quadriques  à  droite  commune  est  général  ou  à  côté  de  la  droite 
de  base  il  possède  un,  deux  ou  trois  points  de  base.  Ensuite  l'image  S'  est  une 
surface  générale  ou  un  cône.  Enfin  cette  image  a  une  position  générale  ou  par- 


('  )  Nouvelle  série. 


HEVUF.   DI'.S   lUIlilJCATIONS.  >:Vi 

I  iiMiliiMc    par   ra|>|Hiil    aii\    deux    surfarcs    K'   cl    K'''.   Dans   le   (Iciiiici    (',lia[iilr(; 
raulfiir  ((itiiiiarc  ses  n(»ml»i(ii\   rcsiillals  avcîc,  ceux  (l<;  M.   Saliiioii. 

\  <tn   (1er    \](t((h    (./.-/>.).    —   Tliôoiic    Llicnnodjnamiqiic  dr:   \\\ 
capillarilc.  (5()). 

liio  llu'orio  llienn<)(lMiaiiii(iii('  tic.  la  capillarilc  a  clc  dcvcioppc'C  par  M.  \V. 
("lililis  dans  son  Mt-iiioirc  On  Ihe  eqidlibriuni  of  hcAcrogeneous  substances. 
D'aprcs  l'opinion  de  M.  Van  der  NVaaIs,  ce  li-avail,  en  jurande  partie  consacré  à 
r«'hidc  des  pliénomènes,  conLienl  une  supposition  discnlable.  La  lliéoric  nou- 
velle exposée  ici  est  exempte  de  cette  objeclion.  De  plus,  contiairc  à  celle  de 
M.  Ciihbs,  elle  se  hase  sur  rhyp/)tlièse  de  la  variation  continue  de  la  densité 
tians  la  couche  limite  et  dans  son  voisinage. 

Contenu  :  1.  Introduction.  2.  Le  principe  de  l'équilibre  thermodynamique, 
;}.  \pplicaîion  à  r(''(|uilil)re  sans  faire  attention  aux  phénomènes  capillaires. 
■\.  Déduction  de  l'équibrc  eu  égard  à  la  capillaiité.  5.  Evaluation  de  l'énergie 
dans  le  cas  de  couches  parallèles  et  d'une  variation  continue  de  la  densité. 
G.  La  forme  de  rinlégrale  de  l'énergie  libre.  Loi  de  la  variation  de  la  densité. 
7.  La  stabilité.  8.  L'invariabilité  de  la  pression  dans  la  couche  superficielle. 
0.  L'énergie  capillaire.  10.  La  capillarité  dans  le  cas  d'une  sphère.  U.  Valeur 
de  l'énergie  capillaire  près  de  la  température  critique.  12.  La  dimension  de  la 
couche  capillaire.  13.  Propriétés  thermiques  de  la  couche  capillaire.  14.  Couche 
superficielle  discontinue.  15.  Solution  de  l'équation  didérentielle  exacte. 

Traduction  française  dans  les  Archiv.  Néerl^  t.  XXVIII,  p.  121. 


Tome  II;  1894. 

Bicrens  de  Haan  {D.).  —  Matériaux  pour  l'histoire  des  Sciences 
mathématiques  et  physiques  dans  les  Pays-Bas.  (60,  5  pi.). 

N°'  33.  Constantyn  Huygens  comme  architecte  hydraulique,  Michœl  Florentz 
van  Langren. 

Sclioute  (P.-II.).  —  Sections  et  projections  régulières  de  l'oc- 
laédroïde  et  de  l'iiexadécaédroïde  de  l'espace  à  quatre  dimen^ 
sions.  (i4,  I  pi-). 

Les  corps  réguliers  à  quatre  dimensions  admettent  quatre  espèces  d'axes 
centrales,  les  diagonales  D  par  deux  sommets  opposés  et  les  diamètres  Q,, 
Q,,  Qj  de  première,  de  seconde  et  de  troisième  espèce  qui  joignent  successive- 
ment les  centres  de  deux  arêtes  opposées,  de  deux  faces  opposées  et  de  deux 
corps  limitants  opposés;  de  même,  ils  possèdent  quatre  espèces  d'espaces  tridi- 
mensionaux  centraux  d,  q^,  q^,  q^  perpendiculaires  à  D,  Q,,  Q^,  Q^.  Dans  le 
Mémoire  présent  il  s'agit  des  sections  parc/,  7,,  q^,  q^  et  des  projections  ortho- 
gonales sur  cl,  <7,,  <7j,  <7j.  Dans  Tordre  indiqué,  les  sections  des  deux  corps  sont 
octaèdre  et  oclaèdre  prisme  hexagonale  et  pyramide  double  quadrilatérale, 
parallélépipède  orthogonal  et  pyramide  double  hexagonale,  hexaèdre  et  cojnbi- 
naison  hexaèdre-oclaèdre  en  équilibre.   Dans  le   même  ordre,    les    projections 


23G  SKCONDK   PAHTIIî:. 

sont  (loflécacdrc  rhoinl)i([uo  oL  ocla<';clrc,  prisme  hexaf^oiial  cL  pyramide  doiil)le 
quadrilaLérale,  parailélrpipèdc  orthogonal  et  pyramide  double  hexagonale, 
hexaèdre  cl  hexaèdre. 

Molenbrock  (P-)-  —  Sur  les  applications  des  qualernions  à  la  Mé- 
canique et  à  la  Phjsiqiie.  (38). 

La  résolulion  de  beaucoup  de  problèmes  de  Mécanique  cl  de  Physifiue,  dans 

lesaucls  l'opérateur  V  =  «^^  +/^^ h  k  ^- ■>  appliqué  à   une  fonction  scalaire 

*■  '  ox  oy  oz 

ou  vectorielle  d'un  vecteur  p,  joue  un  rôle  important,  oflre  cet  inconvénient, 
qu'il  n'y  a  pas  de  méthode  directe  pour  obtenir  le  résultat  de  celte  opération, 
de  sorte  que,  dans  la  plupart  de  ces  applications  de  la  méthode  des  quaternions, 
on  revient  aux  éciuatious  en  coordonnées  cartésiennes.  L'auteur  montre  que, 
par  des  considérations  analogues  à  celles  introduites  par  Euler  dans  l'Hydrody- 
namique, les  quantités  résultant  de  l'opération  V  deviennent  identiques  avec 
d'autres  qu'on  rencontre  dans  la  théorie  de  la  fonction  vectorielle  linéaire, 
étudiée  par  Ilamillon.  Dans  la  théorie  du  potentiel,  les  équations  de  Lapiace, 
de  Poisson  et  le  théorème  de  Green  se  présentent  ainsi  dans  une  nouvelle 
forme.  Le  problème  de  déterminer  les  dilatations  et  l'axe  instantané  de  rotation 
dans  le  cas  d'une  déformation  homogène  finie  est  complètement  résolu.  Enfin, 
si  dans  l'Hydrodynamique  on  regarde  la  vitesse  p  au  point  p  comnjc  fonction  vec- 
torielle a  Fj  p  +  a,  EjP  -*-  '^^FjP  du  vecteur  p(F,,  F^,  F^  étant  des  fonctions  sca- 
laires), la  quantité  dp  se  présente  sous  la  forme  d'une  fonction  vectorielle  li- 
néaire cc<ip  =  a,SVj  c/p +a,Sv,  (ip  +  a^Sv,  f/p,  jouissant  des  propriétés  suivantes  : 

L'invariant  .r^  =  Ï5(a,  v^-f- ajVj+ a^vj   est  égal   a j- — ,   ni   désignant   la 

densité  du  fluide,  et  le  vecteur  S  défini  par  l'équation  connue  9  dp=  cp^  f/p-f-Voc/p 
représente  en  même  temps  l'axe  de  rotation  des  tourbillons  et  la  vitesse  an- 
gulaire de  ce  mouvement.  Nouvelle  forme  de  l'équation  du  mouvement  des 
tourbillons  et  démonstration  de  ses  propriétés  Application  de  la  théorie  géné- 
rale au  problème,  étudié  par  MM.  Helmholtz  et  Kirchliofl',  de  l'écoulement 
stationnaire  d'un  fluide  sans  mouvement  rotatoire  des  particules.  Démonstration 
du  théorème  :  A  chaque  point,  où  la  surface  de  la  veine  fluide  est  rencontrée 
par  les  surfaces  équipotentielles,  celles-ci  possèdent  des  rayons  de  courbure 
principaux  égaux  et  opposés. 

Schoute  (P.-II.).  —  Sections  et  projections  régulières  de  i'icosi- 
télraédroïde  de  Tespace  à  quatre  dimensions.  (17,  i  ])1.). 

Par  rapport  aux  quatre  espaces  tridimensionaux  centraux  d,  </,,  g,,  q^  les 
sections  sont  dodécaèdre  rhombique,  combinaison  d"une  pyramide  double 
hexagonale  avec  un  prisme  hexagonal  coaxial,  pyramide  double  hexagonale  à 
sommets  découpés  et  combinaison  hexaèdi-e-octaèdre  en  é(|uilibre.  Dans  le 
même  ordre,  les  projections  sont  dodécaèdre  rhombique,  prisme  hexagonal 
terminé  par  deux  pyramides  hexagonales,  combinaison  de  {S.\t\\\  j^yramides 
doubles  hexagonales  terminée  par  des  plans  normaux  à  l'axe  et  combinaison 
hexaèdre-octaèdre  en  équilibre.  Décomposition  de  l'icositétraédroïde  d'après 
les  sommets  en  un  octaédroïde  et  un  hexadécaédroïde,  de  l'octaédroïde  en 
deux  hcxadécaédroïdcs,  etc. 


i 


in<:viii<:  diis  ininucA  i  ions.  9.37 

Srhoiilcn  {(^•)-  —  '-'('■s  a(MM''l('r;i lions  d'ordre  .siij)('il('iir.  ('■>-('))■ 

M.  .1.  Soiuod",  dans  son  Cours  de  Cine/nalif/ue  (p.  .V.V.)  de  la  iradnclion  alle- 
mande par  M.  Mex.  Ziwcl),  dc-conipose  l'aet-i-lrralion  de  l'ordre  n  d'un  point,, 
on  la  vitesse  de  l'index  d'aeeélérat  ion  d(!  l'ordre  ( //.  —  i),  (|uand  ee  point,  fait 
partie  d'un  eorps  toninanl  antour  d'un  point  (ixc,  en  deux  eoniposantes  :  i°  la 
vil(>sse  due  à  la  rotation  autour  de  l'axe  instantané;  -a"  la  vitesse  (\n(i  à  l'allon- 

.       ,  dv 

i;(Mnent  de  I  index.  Cette  dernière  eoniposante  est  induiuee  siniplcinent  par  —  • 

L'auteur  du  présent  Ménioirc  fait  remarquer  (juc  celte  composante  doit  néces- 
sairement dépendre  des  rotations  autour  des  axes  de  diflérents  ordres.  Son  but 
principal  est  d'indiquer  clairement  cette  dépendance.  Il  démontre  que  l'accé- 
ration  a(")  est  la  résultante  de  (/?+i)  ccnnposantes,  chacune  d'elles  étant 
donnée  d'une  manière  bien  déterniiiK'.e  par  chacun  des  axes  d'accélération 
de  l'ordre  i  à  //.  Les  composantes  suivant  trois  axes  rectangulaires  sont  des 
fonctions  linéaires  des  coordonnées  du  point  en  question;  les  coefficients  sont 
des  fonctions  des  accélérations  angulaires.  Le  déterminant  D  de  ce  système 
n'est  pas  identiquement  nul,  de  sorte  que  chaque  point  du  mobile  en  mouve- 
ment a  son  accélération  spéciale.  En  des  cas  particuliers  (  l'auteur  en  cite  deux  ), 
ce  déterminant  est  zéro  ;  alors  il  existe  un  axe  d'accélération  instantané.  Ensuite 
rauleur  étudie  le  mouvement  d'un  solide  entièrement  libre.  Dans  ce  cas  il  y  a 
un  centre  instantané  d'accélération;  tandis  que  pour  D  =  o  la  projection  de 
l'index  de  chaque  point  du  mobile  sur  une  ligne  déterminée  a  une  valeur 
constante.  Celte  ligne  n'aura  pas  nécessairement  la  direction  de  l'axe  instan- 
tané d'accélération;  toutefois,  si  l'axe  d'accélération  de  l'ordre  n  est  l'axe  in- 
stantané, il  est  axe  d'accélération  et  de  glissement.  Chemin  faisant,  l'auteur  trouve 
que  les  théorèmes  concernant  le  parallélogramme  et  le  parallélépipède  de  vi- 
tesses linéaires  et  de  vitesses  angulaires,  l'équivalence  d'un  couple  de  rotation 
avec  une  translation  se  conservent  pour  les  vitesses  de  tous  ordres. 

Sirks  [J.-L.).    —    Sur  Tastigmalisme    des    réseaux  concaves  de 
Rowlaiid.  (^,   I  pi.). 

Sclioule  (P. -II.).  —  Seclions  et  projections  régulières  de  Tliexa- 

cosiédroïde  et  de  i'hécatonicosaédroïde  dans  l'espace  à  quatre 

dimensions.  {26,  'j  pi-)- 

Ce  Mémoije  termine  la  recherche  commencée  dans  les  deux  Mémoires  pré- 
cédents. De  la  positiim  la  plus  simple  de  l'icosacdre  par  rapport  à  un  système 
de  trois  axes  rectangulaires,  l'auteur  déduit  la  position  la  plus  simple  du  corps 
régulier  à  (|uatre  dimensions  limité  par  six  cents  tétraèdres  par  rapport  à  un 
système  de  quatre  axes  rectangulaires;  ces  axes  sont  des  diagonales  centrales 
du  corps.  Ensuite  la  remarque  que  les  centres  des  six  cents  tétraèdres  forment 
les  sommets  d'un  hécatonicosaédroïde  mène  à  la  position  la  plus  simple 
de  ce  corps.  .V  l'aide  de  transformations  de  coordonnées,  les  autres  positions 
remarquables  des  deux  corps  sont  déterminées.  Ainsi  le  matériel  nécessaire  à 
la  définition  des  sections  et  des  projections  remarquables  a  été  trouvé.  L'au- 
leur  dépose  les  coordonnées  des  sommets  des  deux  figures  en  quatre  positions 
différentes  en  trois  Tableaux  et  il  fait  connaître  la  forme  des  sections  et  des 
pi-njcetions  en  perspoclivc  rapide  sur  sept  planches. 

— — — ^ss>ô<; 


238  SECONDE   PAHTIE. 

MEUW  AKCllIEF  voou  Wisklmjk  ('). 

Tome  XVll;   1890. 

Kluycr  [J.-C).  —  Lieu  géoniclrique  des  poinls  crinlerseclion 
des  tangentes  menées  à  une  eourbe  plane  d'ordre  n  et  de 
classe  m  dans  les  poinls  de  rencontre  avec  une  transversale  qui 
tourne  autour  d'un  point  fixe  (^).  (i-5i). 

Le  problème  a  été  proposé  par  Slcincr  {Œuvres  complètes,  t.  II,  p.  4^9  et 
Journal  de  Crelle,  t.  45,  p.  377);  le  cas  /i  :=  3  a  été  résolu  {Bulletin,  t.  X,, 
p.  242).  L'auteur  délermine  les  nombres  pliickériens  du  lieu  général  et  il 
étend  le  problème  aux  courbes  gauches  et  aux  surfaces. 

Mantel  {W.).  —  Application  de  l'équation  de  Villarceau  au 
mouvement  libre  ou  forcé  d'un  point  matériel  [^).  (02-^6). 

Onnen  {H')-  —  Courbes  bifocales.  (77-129,  i  pi.). 

L'auteur  appelle  coa/'^e  bifocale  toute  courbe  plane  admettant  deux  fo3^ers  A 
et  B  de  manière  que  les  rayons  émanés  de  A  concourent  en  B  après  la  réfrac- 
tion par  la  courbe.  Il  étudie  donc  les  ovales  de  Descartes  (équation  bipolaire 
M  rt  nt^  =  a),  t.  Introduction.  2.  Equation  bipolaire.  3.  Cas  particuliers  (cercle, 
bifocale  hyperbolique,  ellipse  inverse,  bifocale  conchoïdale,  hyperbole  inverse, 
bifocale  elliptique).  4.  Jùjuation  polaire.  5.  Équation  essentielle.  6.  Points 
d'inflexion.  7.  Sommets.  8.  Les  bifocales  typiques. 

Molenbroek  (P-)-  —  Sur  le  roulement  exact  d'un  corps  sur  une 
surface  quelconque.  (i3o-i57). 

L'auteur  donne  d'abord  la  théorie  complète  du  roulement  exact.  Après  avoir 
ramené  la  solution  du  problème  à  l'intégration  d'c(|uations,  il  en  elfeclue  l'in- 
tégration en  six  cas  particuliers  (roulement  exact  d'un  tore  ou  dun  ellipsoïde 
sur  un  plan  horizontal,  d'un  cylindre  droit,  d'un  cône  ou  d'une  sphère  sur  un 
plan  incliné,  d'une  sphère  sur  une  sphère  fixe). 

Prange  i^A.-J.-A.).  —  Quelques  remarques  sur  l'Algèbre  mo- 
derne, à  l'occasion  de  l'apparition  du  IManuel  du  D'"  J .  Diekmann. 

(i58-i  70). 

Van  der Harst  [A.-D.).  —  Démonstrations  générales  de  quelques 


(')  Voir  Bulletin,  t.  XIV^,  p.  169. 

(*)  Sujet  de  prix  proposé  par  la  Société  (n"  l'2,  1S88). 

(')  Sujet  de  prix  proposé  par  la  Société  (  n"  8,  J'^88). 


M  h:  vu  H    DKS   lUJUlJ  CATIONS.  239 

fonmilcs  iinporlanlcs  de  la  rjoiiloiiK-liii;  cl  de  la  Tri^^onomélno 
spliéricjiic.  (i  '-()-i  8^). 

l'u/f  (1er  lldisf  {.-i. -/).).  —  Angle  Irièdre  et  triangle  sphérique 
su|)pl(''nieMlaii-es.  (1  88- 1 ()<>). 

l'(fn  dcn  lH'rg{F.-J.).  —  Sur  la  consLruelion  d'un  triangle  dont 
on  eonnaît  la  longueur  des  trois  ])issectriees  (suite)  (').  (nji- 
•.>.o5). 

Van  Wcttum  {Tli.-B.).  —  Le  quaternion  de  Hamilton  comme 
matrice  de  Cajiey.  (206-?,  i  G). 

Cayley  dit  que  la  théorie  des  quaternions  est  identique  à  celle  des  matrices 
du  second  ordre,  connme  l'a  prouvé  M.  Price  dans  son  Lineav  associative 
Algebra  {Amer.  Journ.  of  Math.,  t.  IV^,  p.  162). 

L'auteur  prétend  que  cette  conclusion  de  Cayley  se  base  sur  une  fausse  dé- 
monstration. Il  tâche  de  remplacer  la  matrice  du  deuxième  ordre  par  une  ma- 
trice du  troisième  ordre  qui  oITre  de  l'analogie  aux  quaternions. 

lleUvig  J.-Az.  (P.-I.).  —  Les  transversales  angulaires  du  triangle. 

(217-228). 

L'auteur  étudie  les  transversales  angulaires  intérieures  et  extérieures  de 
l'ordre  n  (qui  divisent  les  côtés  opposés  en  raison  des  puissances  /i'*"'"  des  côtés 
adjacents). 

D'Ocagne  {M.).  —  Méthode  nouvelle  pour  calculer  s\nma  et 
cosma  en  fonction  de  sina  et  de  cosa.  (229-282). 

RascJi  (J.-W.).  —  Lieu  géométrique  des  points-racines  d'une 
équation  algébrique.  (233-234). 

Stolp  (C).  —  La  surface  d'un  triangle  sphérique.  (235-236). 

Tome  XVIII;  1891. 

Scliouten  (G.).  — -  Lieu  géométrique  des  centres  d'oscillation 
d  un  ellipsoïde  de  révolution  par  rapport  aux  axes  menés  par 
un  des  deux  foyers  (-).  (1-18). 

L'auteur  remplace  l'ellipsoïde  et  son  foyer  par  un  corps  et  un  point  quel- 
conques. Le  lieu  est  une  surface  qu intique. 

C)  Voir  Bulletin,  t.  XIV^,  p.  168. 

C)  Sujet  (le  [)rix  proposé  par  la  Société  (n"  6;  1889). 


>.îo  sia:()Ni)i{  PAirriK. 

Sclioulcn  (6.).  —  Euide  de  la  force  vive  correspoiidanL  aux 
composantes  de  Ja  vitesse  suivant  le  rayon  vecteur  central  et  la 
normale  à  cette  droite  dans  les  divers  points  de  la  trajectoire 
décrite  sous  l'influence  d'une  force  centrale  A/-"  (^).  (19-29). 

Sc/ioulc  (P.-fl.).  —  Post-scriptumaii  Mémoire  de  D'  G.  Scliouten  : 
lieu  géométrique  des  centres  d'oscillation,  etc.  (3o-34). 

Elude  de  la  surface  du  cinquiènie  ordre  à  point  quadruple. 

Van  LogJiern  {W.).  —  Lieu  géométrique  des  points  dont  la  fixa- 
tion soudaine  réduit  à  une  /i'*^'"*^  partie  la  force  vive  d'un  disque 
en  rotation  (-).  (35-4i). 

Fan  clen  Berg  {F.-J.).  —  Sur  la  probabilité  que  les  segments 
d'une  droite  donnée,  cassée  d'une  manière  arbitraire,  se  trouvent 
entre  des  limites  données.  (42-62). 

Simplification  et  extension  des  méthodes  de  Laguerre. 

Van  dcn  Berg  (F.-J.).  —  Sur  la  probabilité  que  des  segments 
d'une  droite  donnée,  cassée  d'une  manière  arbitraire,  on  puisse 
former  des  polygones  fermés.  (63- 1 17). 

Halphen  a  trouvé  que  la  probabilité  cherchée  est  i -^y  si  n  représente  le 

nombre  des  segments. 

Dans  le  Mémoire  présent  l'auteur  résout  la  question  suivante,  plus  générale  : 
Quelle  est  la  probabilité  K,,^  „  ^,  que,  des  m  segments,  la  somme  des  m  —  «  + 1 
plus  petits  surpasse/?  des  segments  restants? 

Comptes  rendus  des  discours  prononcés  aux  séances  en  1889-1890 
et  en   1890-1891.(119-154)- 

AJaniel  (Ji  .).  —  Sur  des  moments  de  mouvements.  (i55-i()j). 

Démonstration  et  application  du  théorème  suivant  : 

«  S'il  est  possible  d'exprimer  quelques  moments  de  mouvement  (dérivées 
partielles  de  la  fonction  de  force  par  rapport  aux  vitesses)  dans  les  coor- 
données correspondantes  de  manière  que  l'énergie  du  système  devienne  in- 
dépendante, de  ces  coordonnées,  ces  relations  valent  continuellement,  aussitôt 
qu'elles  valent  à  un  moment  quelconque.  » 


(')  Sujet  de  prix  proposé  par  la  Société  (  n"  7:   iS8r)). 
(  =  )  JOid.  (  n"  5:  1889). 


Hi<vui<:  i)i;s  riiULicA  I  IONS.  iu 

r<in   WClliim  i'Ili. -/*■).  —  Sur  l;i   maliic.c  de  (jiinl(;iMioiis.  (iG8- 

iS(;). 

DémonsliMlion  de  rideiililc  de  la  inaLric(î  d<*  (|ual(Mni()ns  et  de  la  rnaliice  du 
remplacenicnl  i\\\i\  système  d'axes  rcelangulaires  par  un  autre  à  riièinc  origine 
cl  à  (lélerniiiiaMl  positif.  l'roduiLs  de  malrices  comnie  des  rolalions  successives. 
C'.riti([ue  des  «|  nalernioiis  de  llainilton. 

Esclwr  (//.-./.).  —  Théorie  des  fonctions  algébriques.  (187-2^.2). 
Élude  liisloricjue,  surtout  de  la  théorie  de  Caucliy. 

Tome  XIX;  i8y2. 

Kluyvc/'  (J.-C).  —  Sur  le  complexe  des  génératrices  d'un  réseau 
de  (juadriques  (*).  (i-3/î). 

Le  reseau  des  quadriques.  Histoire  de  la  construction  du  huitième  point  de 
base.  Le  cône  de  complexe  d'un  point  donné  (cône  cubique).  Lieu  des  couples 
de  points  conjugués  sur  les  génératrices  du  cône  [courbe  gauche  du  septième 
ordre  à  point  triconique  (")].  La  courbe  de  complexe  d'un  plan  donné  (courbe 
de  la  troisième  classe  et  du  sixième  ordre).  Relations  entre  cône  et  courbe  de 
complexe.  Cônes  à  arête  double,  à  arête  de  rebroussement,  à  deux  arêtes 
doubles,  cônes  dégénérés.  Courbe  de  complexe  à  une  ou  à  deux  tangentes 
doubles;  courbe  dégénérée.  La  surface  des  singularités  (surface  de  l'ordre  2^, 
de  la  classe  8,  etc.  à  un  système  de  courbes  doubles  contenant  les  28  droites 
par  deux  points  de  base,  28  courbes  gauches  cubiques  correspondantes  et  la 
courbe  focale  du  sixième  ordre).  Liste  des  nombres  caractéristiques  de  la  sur- 
face des  singularités  comparés  avec  ceux  trouvés  par  M.  Voss  dans  le  cas  du 
complexe  cubique  général.  Remplacement  de  la  congruence  (4,  12)  des  rayons 
singuliers  du  cas  général  par  la  courbe  focale.  La  surface  de  complexe  d'un 
axe  (surface  de  l'ordre  12  à  droite  sextuple).  Le  faisceau  de  courbes  gauches 
biquadratiijues.  Le  lieu  des  points  d'inflexion  et  l'enveloppe  des  plans  d'in- 
flexion de  ces  courbes  (surface  de  l'ordre  iG  par  les  28  droites  et  la  courbe 
focale  à  huit  points  sextuples,  surface  des  singularités  comptée  deux  fois).  La 
congruence  (19,  3o  )  des  cordes  d'osculation  double  (cordes  \B  qui  sont  en 
même  temps  les  droites  d'intersection  des  plans  osculateurs  en  A  et  13).  Cas 
particuliers  par  rapport  à  la  position  des  points  de  base  du  réseau. 

ISylaiid  (yi.-A.).  —  Coordonnées  logarithmiques  (35-66). 

Traduction  et  extension  d'un  Mémoire  de  R.  Mehmke  { Civilingenieur, 
t.  XXW).  Transformation  de  f{x)=o  en  f^{x)=f,{x)  ou  y  =  f^{x), 
y  —  fA^)-  Images  logarithmiques  de  ces  courbes.  Extension  du  principe  à  un 
système  de  deux  équations  à  deux  inconnues. 


(')  Sujet  de  prix  proposé  par  la  Société  (  n"  7;   1890). 
C)  Voir  JSuIlctin.  \\  ,  p.  58. 


•24-2  SECONDE  PAIITIE. 

Kredict  (C).  —  Recherche  des  conditions  initiales  de  quatre 
points  qui  en  se  mouvant  sous  l'action  de  leur  attraction  mu- 
tuelle restent  à  la  même  distance  les  uns  des  autres  (').  (66- 

79)- 

Tous  les  points  matériels  sont  coplanaires;  la  résultante  des  forces  agissant 
sur  un  quclconfjue  de  ces  points  passe  au  centre  de  gravité  du  système,  etc. 

Van  den  Berg  {F.-J.).  —  Sur  des  courbes  polaires  auto-réci- 
proques. (80-97). 

Le  problème  en  sa  forme  la  plus  générale.  L'enveloppe  de  la  corde  commune 
à  une  ellipse  et  à  un  de  ses  cercles  osculateurs  (  Salmon-I^iedler,  Hoheren  ebenen 
Ciirven,  p.  90;  1882)  ne  satisfait  pas  aux  conditions  du  problème.  Les  cubiques 
ay^—  x'^.  Les  coniques  harmoniquement  associées  de  Steiner,  etc. 

Tliiel  [J.-M.).  —  Démonstration  nouvelle  du  théorème  d'Euler 
pour  les  polyèdres  convexes.  (98-99). 

Mounier  i^G .-J .-D .Y  —  Démonstration  d'un  théorème  de  l'Algèbre 
supérieure.  (îoo-io4)- 

Une  fonction  algébrique  n'admet  qu'un  seul  développement  suivant  les  puis- 
sances ascendantes  ou  descendantes  de  la  même  valeur  de  la  variable. 

Ekatna  (//.)•  —  Une  propriété  arithmétique  des  coeffîcienls  du 
binôme  (io5-io6). 

Ekama{H.).  —  Sur  le  jeu  de  la  cloche  et  du  marteau.  (107-1  12). 
Calcul  de  la  valeur  mathématique  des  cinq  tableaux. 

Molenbroek  (P-).  —  Sur  la  représentation  des  points  imaginaires 
dans  l'espace.  (ii3-i3i). 

Heprésentation  d'un  point  imaginaire  à  l'aide  du  cycle  des  points  réels  situés 
à  une  distance  zéro  du  point  imaginaire.  Centre,  rayon  et  plan  du  point  ima- 
ginaire. Les  cycles  de  deux  points  imaginaires  conjugués.  Points  imaginaires 
d'un  plan,  d'un  ellipsoïde,  d'une  surface  quelconque.  Extension  des  travaux  de 
Laguerre  et  de  M.  G.  Tarry  à  l'espace. 

Elfrinkhof[L.).  —  La  solution  d'équations  vectorielles  linéaires 
dans  des  cas  spéciaux.  (i32-i42). 

Étude  plus  profonde  des  cas  des  articles  351  cl  352  des  Eléments  of  qiiater- 
nions  de  Hamilton. 

(')  Sujet  de  prix  proposé  par  la  Société  (  n°  12:  1890). 


UKVUK    DKS   PUHMCATIONS.  9,43 

I'^ I lrinhli<tf\lj.).  —  rM;nKn'(jii('s  |);ir  rapporl  aux  ,M(''IM()iics  sur  les 
inalricrs  de  (|iialcrnions  de  J\L  lli.-l).  vaii  WelLurn  {Nieuw 
Arcliicf,  l.  Wir  el  W'III).  (i1.î-.5o). 

Défense  i\c  la  Ihcoiic  de  IlaiiiilLou  coiiLie  les  aUa(|iies  de  IM.  van  W'eLUiiii. 

\(in  <(('f)  lJc/\^(  F. -,/.).  —  Sur  un  [)rol)lèmc  d'uLllilc  pour  la  Géo- 
désie, (i  5i-i8^). 

D'après  la  incliiode  de  simplifier  la  théorie  de  la  fermeture  d'un  réseau  trian- 
gulaire donnée  par  Schleiermacher,  il  reste  à  résoudre  le  problème  suivant  : 

«  Trouver  pour  clia(|uc  triangle  du  réseau  un  nombre  tel,  que  la  somme  des 
trois  excès  des  trois  triangles  à  sommet  commun  surpasse  d'une  quantité  con- 
stante la  somme  des  trois  nombres  correspondants,  si  l'on  ajoute  des  triangles 
à  nombre  zéro  pour  chaque  sommet  où  le  nombre  des  triangles  est  plus  petit 
que  trois  ». 

L'auteur  s'occupe  des  cas  tant  soit  peu  réguliers  de  ce  problème,  le  problème 
général  offrant  trop  de  difficulté.  Chaîne  de  triangles.  Cycle  de  triangles. 
Chaîne  et  cycle  avec  des  triangles  environnants.  Cycle  complet  à  cycle  exté- 
rieur. Chaîne  à  cycle  extérieur.  Couronne  de  cycles.  Deux  chaînes  à  côté  l'une 
de  l'autre. 

Mounier  (G.-J.-D.).  —  Le  calcul  complet  du  jeu  de  la  cloche  et 
du  marteau.  (188-210). 

Critique  et  extension  du  Mémoire  de  M.  Ekama. 

Van  den  Berg  {F.-J.).  —  Les  tables  à  calcul  les  plus  anciennes 
du  monde.  (21 1-2 1  5). 

Ilelwig  J .-Az.  (P.-f.).  —  La  construction  de  quelques  transver- 
sales angulaires  du  triangle.  (2x6-223). 

Extension  du  travail  antérieur  contenu  dans  le  tome  XVII. 


Tome  XX;  1893. 

Van    Weltum  [Tli.-B.).  —   Sur  les  lois  d'opération  auxquelles 
sont  soumises  les  quantités  /,  y,  k  de  Hamilton.  (i-ti). 

Gravelaar    {N.-L.-W.-A .).    —    Sur  les   facteurs    premiers    de 

^.«_,.(-_o.5). 

I. auteur  démontre  lirrédnctibilité  de  la  forme — — ^^ -^-^ — 

ll(a;»:/'—  i)  \\(^x"-vv—i):. . 

étudiée  par    Vnidl  i  Journal  de  Crelle,  t.  50,  p.  178). 


>Î4  SIÎCONDK  PAUTIK. 

JVythoff'  (iW^^  A.-G.).  —  Equations  en  coordonnées  bipolaires 
du  moiivemenl  d'un  point  dans  un  j)lan  sous  l'influence  de 
formes  simples  de  forces  (*).  (26-62). 

Equations  en  coordonnées  bipolaires  et  en  coordonnées  elliptiques.  Cas  de 
l'ellipse,  de  la  lennniscate,  des  ovales  de  Descartes  et  de  quelques  autres  tra- 
jectoires. Calcul  du  rayon  de  courbure  en  coordonnées  bipolaires.  Courbe  tau- 
tochrone  et  courbe  bracliistochrone.  Solution  des  problèmes  72,  73  et  75  de 
Tait  et  de  Steclc,  Dynamics  of  a  Particle. 

Korleweg  [D.-J.).  —  Sur  les  modèles  des  surfaces  cubiques  con- 
struites d'après  les  indications  de  M.  Rodenberg.  (63-96). 

Introduction  historique.  Déduction  des  cinq  classes  à  J'aide  des  procédés 
de  jonction  ou  de  séparation  aux  points  coniques  d'après  M.  Klein.  Les  parti- 
cularités des  modèles  divers.  Annotations.  La  classification  de  M.  Schlafli. 
Post-scriptum. 

Comptes  rendus  des  discours  prononcés  aux  séances  en    1891- 

1892.  (97-127). 

Moors  (/J.-P.y  —  Evaluation  de  la  valeur  approchée  d'une  inté- 
grale définie.  (129-215). 

Evaluation  de  la  valeur  approchée  d'une  intégrale  définie.  Représentation  de 
la  valeur  d'une  intégrale  définie  par  une  aire.  Formules  d'approximation.  Ex- 
pression de  la  valeur  de  l'aire  dont  on  peut  déduire  les  formules  d'approxima- 
tion de  Newton-Cotes.  Sur  la  convergence  d'une  série  qui  y  entre.  Formules 
de  Maclaurin,  Simpson,  Newton,  Cotes,  etc.  Expression  de  la  valeur  de  l'aire 
dont  on  peut  déduire  les  formules  d'approximation  de  INIaclaurin.  Deuxième 
formule  de  Maclaurin.  Formules  déduites  de  la  deuxième  formule  de  Maclaurin. 
Déplacement  de  l'axe  des  ordonnées  vers  le  milieu  de  la  figure.  Déduction  des 
formules  d'approximation  de  Newton-Cotes  et  de  celles  de  Maclaurin.  Déduc- 
tion des  formules  d'approximation  de  Gauss.  Évaluation  de  l'aire  de  la  figure 
à  l'aide  d'ordonnées  de  Gauss.  Termes  de  correction  des  formules  de  Newton- 
Cotes  et  de  Maclaurin.  Termes  de  correction  des  formules  de  Gauss.  Applica- 
tion partielle  de  la  méthode  de  Gauss.  Évaluation  de  l'aire  de  la  figure,  les 
abscisses  de  Gauss  étant  exprimées  en  deux  ou  en  trois  décimales.  Évaluation 
approchée  de  l'intégrale  d'un  produit.  Tables. 

(')  Sujet  de  prix  proposé  par  la  Société  (  n"  7;  1891). 


KKVUK  DKS    PUBLICATIONS.  2 ',5 

ANN  VLKS  DK  i/l'xoLi:  Poi.vtkciiniqi  i:  di:  Dkijt.  Iii-i". 

Tome  I  ;  i885. 

Sc/io/s  (Ch.-I\/.).  —  Sur  remploi  de  la  projection  de  Mercator 
pour  le  calcul  d'une  Lriangulalion  dans  le  voisinage  de  l'équa- 
Icur.  (i-6|). 

La  circonstance  qu'on  allait  commencer  la  tiiangnlation  de  l'île  de  Sumatra 
cl  (|ne  deux  officiers  de  rarniée  des  Indes  étaient  délacliés  à  l'Ecole  Polytech- 
ni(|ne  de  Dcift  pour  s'ai)j)li(|uer  à  l'étude  de  la  Géodésie  afin  d'être  cliar;,'és  de 
cette  triangulation  a  conduit  rautenr  à  l'élude  du  problème  susdit.  L'île  de 
Sumatra  étant  coupée  en  deux  paitics  par  ré(jualcur  et  s'étendant  de  part  et 
d'autre  jus(ju'à  six  degrés  de  latitude,  la  projection  de  Mercator  appliquée  di- 
rectement à  la  spliére  se  présente  d'elle-même.  L'auteur  développe  d'abord 
les  formules  pour  le  calcul  des  coordonnées  rectilignes  d'après  les  coordonnées 
géograpliicjues  et  inversement  et  pour  le  calcul  du  rapport  d'agrandissement. 
Ensuite  il  fait  connaître  les  corrections  qu'il  faut  appliquer  aux  angles  et  aux 
côtés  pour  les  projeter  du  sphéroïde  sur  le  plan  ou  du  plan  sur  le  sphéroïde. 
Les  formules  servant  à  évaluer  ces  corrections  ne  sont  poussées  d'abord  plus 
loin  que  l'exige  la  pratique  ordinaire.  Plus  tard  les  termes  d'ordres  plus 
élevés  font  voir  jusqu'à  quel  point  on  est  autorisé  à  les  négliger.  Mais  aupa- 
ravant l'auteur  s'occupe  du  cas  de  la  terre  sphérique,  non  seulement  parce 
que  les  formules  qui  s'y  rapportent  sont  beaucoup  plus  simples,  mais  aussi 
parce  qu'on  les  trouve  plus  directement  et  qu'elles  donnent  une  vérification 
utile  pour  les  formules  plus  compliquées  du  cas  du  sphéroïde.  1.  Introduc- 
tion. 2.  Calculs  des  coordonnées  et  du  rapport  d'agrandissement.  3.  Équation 
dilVérentielle  de  la  projection  de  la  ligne  géodésique.  4.  Développement  de  ^^^ 
<^^  et  de  logS  —  log*  jusqu'aux  termes  du  second  ordre  inclus.  5.  Développe- 
ment de  ces  mêmes  grandeurs  pour  la  sphère.  6.  Développement  des  termes 
d'ordre  supérieur.  7.  L'azimut  astronomique  et  la  corde. 

Bosscha  (/.).  —  Relation  des  expériences  qui  ont  servi  à  la  con- 
struction de  deux  mètres  étalons  en  platine  iridié,  comparés 
directement  avec  le  mètre  des  archives.  Première  Partie.  (i5- 

i44). 

liapport.  —  1.  Introdution.  2.  Elasticité  d'une  des  règles.  Degré  de  précision 
des  mesures  micrométriques.  3.  Examen  des  qualités  chimiques  des  règles. 
4.  Recherche  d'une  cause  d'erreur  dans  la  mesure  de  la  longueur  d'un  mètre  à 
bouts. 

Ilaga  (^IL).  —  Etude  expérimentale  sur  relTet  thermo-électrique 
df'couverl  par  Thomson,  (i 45- 168). 

Schols  (Ch.-M.).  —  La  série  scmi-convergenlc  pour  l'évaluation 

(le  rinh'oralc '!/(/.)=:=  e^'    f    <>'''  dz.  {'i\?)-'2'j.-). 


>46  SKCONM)l<   PAKTIF. 

L'auteur  développe  quelques  formules  simples  doniianl  avec  grande  approxi- 
malion  la  valeur  du  resle  de  la  série  connue  de  l.aplaee. 


Tome  II;  1886. 
Bosscha  (./.).  —  Relation,  etc.  (i-i9.'>.). 

Suile  du  Mémoire  précédent.  5.  Comparaisons  des  mèlres  19,  23,  27  entre 
eux  et  avec  le  mètre  des  Archives.  6.  Nouvelles  vérifications  des  étalons  19,  23, 
27.  Note.  1.  Analyse  des  erreurs  causées  dans  les  mesures  micrométriques  par 
une  mise  au  point  défectueuse.  Note  2  (de  A. -G.  Oudemans).  Analyse  du 
métal  des  règles. 

Schols  {Cli.-M.).   —  Théorie  des   erreurs  dans  le  plan   et  dans 
l'espace  ('  ).  (123-178). 

Lorsque  l'on  détermine  d'une  manière  quelconque  le  lieu  occupé  par  un  point 
dans  l'espace,  on  trouvera  en  général,  par  suite  de  différentes  causes,  une  po- 
sition qui  diffère  plus  ou  moins  de  la  position  vraie  du  point.  On  commet  donc 
une  erreur,  déterminée  en  grandeur  et  en  direction  par  le  segment  de  droite 
qui  lie  la  position  vraie  à  la  position  trouvée.  En  répétant  plusieurs  fois  cette 
détermination,  on  trouvera  sans  cesse  d'autres  positions  pour  le  point;  on 
commettra  donc  continuellement  d'autres  erreurs,  diiïérant  tant  en  grandeur 
qu'en  direction.  En  répétant  la  détermination  un  grand  nombre  de  fois,  on 
ti'ouvera  que  les  points  qu'on  obtient  de  cette  raïaiiière  se  répartissent  d'une 
façon  inégale  autour  de  la  position  vraie  du  point  et  lorsque  ce  nombre  devient 
très  grand,  on  verra  que  la  répartition  n'est  pas  arbitraire,  mais  qu'elle  suit 
une  certaine  loi.  C'est  de  la  recherche  de  cette  loi  et  des  propriétés  qui  en  dé- 
coulent que  l'auteur  s'occupe  dans  le  présent  Mémoire. 

1.  Introduction.  2.  Propriétés  générales  des  erreurs.  3.  L'erreur  résultante. 
4.  La  loi  de  l'erreur  résultante.  5.  La  loi  limite.  6.  Discussion  des  lois  limites 
pour  les  erreurs  linéaires,  dans  le  plan  et  dans  l'espace.  7.  Applications.  Note 
addilionnelle.  Trois  Tableaux. 

Schols  [Ch.-M.).  —  La  courbure  do  la   projection  de  la  ligne 
géodésique.  (179  :^3o). 

Pour  les  projections  conformes  ou  orthomorphes  les  lois  de  la  courbure  de 
la  projection  de  la  ligne  géodésique  sont  connues;  pour  un  même  point  la 
courbure  varie  proportionnellement  au  cosinus  de  l'angle  que  fait  la  ligne  avec 
la  courbe  pour  laquelle  le  rapport  d'agrandissement  est  constant.  Pour  une 
projection  quelconque  la  courbure  s'exprime  par  une  fonction  homogène  et 
entière  du  troisième  ordre  des  sinus  et  cosinus  de  l'angle  que  fait  la  ligne  avec 
une  direction  quelconque  dans  le  plan  de  la  carte.  L'auteur  prouve  ce  théorème, 


(')  Traduction    française    sans    changements    d'un    Mémoire    lioUandais    paru 
en  iS^'j. 


HF'IVUK    DI'IS    l'UhLICATlONS.  y'^j 

il'.ihiii'd  |n>iii'  h;  ras  d'imc  siiilaco  de  i'(''V()liili()n  cl  ensuite^  (I'iuk;  niaiiirrf-  indr- 
pfiidaiilc  de  la  naliirc  de  la  surface  projetée. 

1.  I'"oriiiu!es  j;éiiéra!es.  '2.  Applications  ù  diverses  [)rojec,lioiis.  3.  ricchcrclics 
des  projections  dans  lesiniclles  les  lif;ncs  géodésiciues  sont  i)rojctécs  par  des 
cercles. 

Tome  III;  1887. 
/A /j?y7  (//.).  —  l^lii(l('  e\|)('iMiTicnlale,  clc.  (/|-)-5i). 

Suite  du   Mémoire  précédent. 

Sclwute  {P.-II.).  — Sur  le  complexe  de  droites  dont  les  dislances 
à  deux  droites  données  sont  entre  elles  dans  un  rapport  con- 
stant. (5'->-9o). 

Klnde  géométrique  d'un  complexe  particulier  du  quatrième  ordre,  dans 
IcqucT  la  génération  de  courbes  et  de  surface  au  moyen  de  faisceaux  projec- 
tifs  joue  un  rôle  important.  Supplément  analytique. 

Schols  [Cli.-M.).  —  Erreurs  dans  les  Tables  de  Callet.  (iSo-iSq). 

L'auteur  indique  126  erreurs,  en  tout  18^  chiffres  fautifs  dans  les  formules 
d'Kuler  pour  le  calcul  des  sinus,  des  cosinus,  des  tangentes  et  des  cotangentes, 
ainsi  que  pour  le  calcul  des  logarithmes  des  sinus  et  des  cosinus  comme  elles 
se  trouvent  avec  des  coefficients  en  20  et  en  22  décimales  dans  la  préface  des 
Tables  de  Callet. 

Schols  [Cil. -M.).  —  La  loi  de  l'erreur  résultante.  (i4o-i5o). 

Les  difficultés  qui  résultent  de  la  discontinuité  n'étant  pas  résolues  par  les 
formules  données  par  Bessel  et  Ivummell,  l'auteur  développe  des  formules  assez 
simples  qui  tiennent  compte  de  toutes  les  discontinuités,  sans  avoir  recours  aux 
ressources  de  la  haute  Analyse. 

Cardinaal{J.).  —  Application  des  principes  de  la  Géométrie  syn- 
thétique à  la  solution  des  problèmes  de  la  Géométrie  descrip- 
live.  (i5i-i9/i). 

L'auteur  s'occupe  de  quelques  problèmes  qui  se  rapportent  à  la  construction 
et  à  l'intersection  de  quadratiques.  1.  Intersection  des  quadratiques.  2.  Projec- 
tion des  courbes  gauches  qui  en  résultent.  3.  Construction  et  intersection  des 
courbes  planes  d'après  les  principes  de  la  Géométrie  synthétique.  4.  Solutions 
de  quelques  problèmes  sur  la  construction  et  l'intersection  des  quadratiques. 

Scliols  (Ch.-A/,).  —  Démonstration  directe  de  la  loi  limite  [)our 
les  erreurs  dans  le  plan  et  dans  l'espace,  (ipo-^too). 


■j.\H  SKCONDK  PAiniK. 

L'uiilciir  a  ticvcloppt';  la  lf)i  liniilc  des  crrciiis  dans  le  plan  cl  dans  l'espaee 
(t.  H,  p.  12.3,  Ghap.  V)  en  partant  de  cette  loi  pour  les  erreurs  linéaires.  Dans 
le  présent  ÎNIcnnoire  il  appli([uc  les  nièmes  raisonnements  et  les  mêmes  déve- 
loppements qui  donnent  cette  dernière  loi  aux  erreurs  du  plan  et  de  l'espace, 
ce  qui  mène  à  une  démonstration  plus  directe  de  ces  lois  limites. 


Tome  IV;   i8«8. 

Schofs  (C/i.-3f.).  —  Remarques  sur  le  calcul  des  efTorls  maxima 
clans  les  niaîtresses-|)oulres  des  ponls  de  chemins  de  fer.  (i3- 
loo,  4  pi.). 

1.  Introduction.  2.  Charge  roulante  des  ponts  de  chemins  de  fer.  3.  Type  de 
locomotive  pour  le  calcul.  4.  KfFort  tranchant  et  moment  de  flexion.  5.  L'effort 
tranchant  maximum.  Considérations  générales.  6.  Cas  oij  V„,  est  produit  par 
l'essieu  d'avant.  7.  Type  modifié  de  la  locomotive  pour  le  calcul.  8.  Suite  de  0. 
9.  Chargement  par  un  nombre  restreint  de  locomotives.  Remplacement  des 
wagons  par  une  charge  uniformément  répartie.  10.  Partie  périodique  du  mo- 
ment des  locomotives.  11.  Cas  où  V„j  n'est  pas  produit  par  l'essieu  d'avant. 
12.  Application  à  la  locomotive  de  67  tonnes.  13.  V^aleur  maximum  du  moment 
de  flexion.  Considérations  générales,  li.  Calcul  du  moment  de  flexion  maximum 
pour  une  charge  composée  de  locomotives.  15.  Influence  de  la  partie  périodique 
du  moment  des  locomotives.  16.  Calcul  du  moment  de  flexion  maximum  pour 
une  charge  composée  en  partie  de  locomotives,  en  partie  de  wagons.  17.  For- 
mule simplifiée  pour  le  calcul  du  moment  de  flexion  maximum  dans  le  cas 
d'une  charge  mixte.  13.  Charge  équivalente  pour  les  ponts  de  grande  portée. 

Rahuseii  {A.-E.).  —  Sur  quelques  propriétés  des  déterminants, 
appliquées  à  une  question  de  Géométrie  à  u  dimensions.  (io4- 

i38). 

Après  avoir  démontré  plusieurs  théorèmes  nouveaux  sur  les  déterminants, 
l'auteur  cherche  le  lieu  géométrique  des  points  de  l'une  de  deux  figures  égales 
ou  symétriques  à  n  dimensions  ([ui  coïncident  avec  les  points  homologues  de 
l'autre.  Il  trouve  les  trois  théorèmes  généraux  suivants  : 

«Deux  figures  égales  à  n  dimensions  ont  en  commun  un  espace  linéaire  à 
distance  finie  à  n  —  2/1  dimensions,  ou  bien  un  espace  linéaire  de  l'infini  à 
n  —  2 A"  —  I  dimensions.  » 

«  Deux  figures  symétriques  à  n  dimensions  ont  en  commun  un  espace  li- 
néaire à  distance  finie  à  n  —  2k  —  i  dimensions,  ou  bien  un  espace  linéaire  de 
l'infini  à  n  —  2  A" — 2  dimensions.  » 

«  Le  lieu  géométrique  des  milieux  des  points  homologues  de  deux  figures 
égales  à  n  dimensions  est  un  espace  linéaire  a  n  —  2A"  dimensions,  celui  de 
deux  figures  symétriques  de  n  dimensions  est  un  espace  linéaire  à  n  —  ik  —  i 
dimensions.  » 


HKVUK    DKS   rUlUJCATIONS.  x1«j 


Tome  V;  1890. 
Julius  {\.-A .).  —   Sur  les  spectres  des  lignes  des  élémenls.  (1- 

Traduction  fr;inr;iisc  du  Mémoire  public  dans  les  Verhandelingen  d'Am- 
sterdam (t.  WVl). 

Julius  {V.-A.).  —  Sur  les  raies  doubles,  etc.  (i  18-128). 

TraducLion  française  du  INIéinoire  puMié  dans  les  Verliandelingen  d'Am- 
sterdam (t.  XXVI). 

Sc/io/s  (Ch.-iU.).  —  La  projection  de  la  ligne  géodésique.  (i33- 
i38). 

Dans  un  INlémoire  antérieur  l'auteur  a  donné  la  loi  de  la  courbure  de  la  ligne 
géodésique,  d'abord  pour  les  surfaces  de  révolution  par  la  relation  connue 
R  sinA  =  const.,  ensuite  pour  des  surfaces  quelconques  par  des  considérations 
géométriques.  Dans  le  présent  Mémoire  l'auteur  établit  la  même  loi  pour  une 
surface  quelconque  à  l'aide  de  l'analyse. 


Tome  VI;  1890. 

Baehr  {G.-F.-W.).  —  Sur  les  points  d'inflexion  de  l'herpolhodie 
de  Poinsot.  (27-50)  (*). 

Schoute  [P. -H.).  —  Théorèmes  généraux  parrapport  aux  figures 
planes  directement  semblables  (01-71,  2  pi.). 

Plusieurs  théorèmes  pour  la  plupart  nouveaux  qui  se  rapportent  à  deux  figures 
planes  directement  semblables  et  aux  faisceaux  ponctuel  et  tangentiel  qui  en 
dérivent.  Lieux  de  points  homologues  et  enveloppes  de  droites  homologues. 

Tome  VII;   1891. 

Bossclia  (/.).  —  Les  équations  des  nouvelles  copies  du  mètre  des 
Archives,  (ji-i  20). 

Schoute  {P. -IL).  —  Le  déplacement  le  plus  général  dans  l'espace 
à  n  dimensions.  (i3c)-i  58). 


(')  Voir  plus  haut,  p.  228. 
//////.  des  Sciences  mnthcm.,  2»  série,  t.  XT\.  (Novembre  1895.)  R.icj 


25o  SECONDE   PARTIE. 

L'auteur  se  propose  un  but  triple.  D'abord  il  cherche  à  simplifier  les  rai- 
sonnements qui  ont  mené  M,  Rahuscn  (t.  IV,  p.  iCi)  à  une  distinction  caracté- 
ristique entre  la  congruence  et  la  symétrie  de  deux  figures  égales  à  n  dimensions, 
en  remplaçant  dans  les  démonstrations  la  plus  grande  partie  de  la  théorie  des 
déterminants  par  des  considérations  géométriques.  Ensuite  il  tâche  d'appro- 
fondir ces  résultais,  en  les  considérant  dans  la  lumière  de  la  théorie  générale 
de  la  projectivité  dans  l'espace  à  n  dimensions.  Enfin  de  cette  généralisation  1 
déduit  une  représentation  géométrique  simple  de  la  relation  entre  deux  figures 
congruentes  et  entre  deux  figures  symétriques. 


ARCHIVES  NÉERLANDAISES  des  Sciencfîs  exactes  et  naturelles,  publiées 
par  la  Société  hollandaise  des  Sciences  à  Harlem  et  rédigées  par  M.  J.  Bos- 

CHA   (1). 

Tome  XXIV;  1891. 

Van  der  Waals  (/.-/).).  —  Théorie  moléculaire  d'une  substance 
composée  de  deux  matières  différentes.  (i-56). 

Dans  sa  thèse  (Leyde,  1873)  l'auteur  a  montré  que  l'expression  analytique  de 
la  courbe  isotherme  d'un  gaz  pv  =  RT  doit  être  remplacée  par 


(p+^,y^-b)=ET. 


Dans  le  présent  Mémoire  oîi  il  est  question  d'un  mélange,  il  substitue 
a^=a,  (i— ar)*+2a,  ^{i—x)x-\-a^x'  pour  aetb^^b^{i  —  a:y-i-2b^^^{i  —  x)x-{-b^xl 
pour  b  en  désignant  par  i  —  x  et  x  les  parties  de  molécules  des  deux  sub- 
stances comprises  dans  l'unité  de   molécules.  Ainsi  il  s'occupe  de  la  surface 

i|/=  — MRTlog(V  — 6J— ^-f-MRT[a?loga;  +  (i-x)log(i-x)]  ou4;=/(V,^). 

Les  points  de  contact  d'un  plan  doublement  tangent  correspondent  à  des 
phases  qui  peuvent  se  présenter  simultanément.  L'auteur  décrit  un  modèle  de 
la  surface  où  les  points  qui  indiquent  des  phases  coexistantes  sont  liés  entre 
eux  par  des  fils.  Appendice  contenant  quelques  remarques  sur  la  marche  de  la 
courbe  spinodale. 

Korteiveg  (D.-J.).    —    Sur  les   points  de   plissement.    (5^-98, 

.  pi.). 

L  Lorsqu'un  plan  bitangent  se  meut  sur  la  surface  qu'il  touche  doublement, 
il  peut  arriver  que  les  deux  points  de  contact  viennent  à  coïncider;  le  point  de 
la  surface  où  cette  coïncidence  se  produit  est  appelé  point  de  plissement.  Ce 
point  se  trouve  tant  sur  la  courbe  spinodale  que  sur  la  courbe  flecnodale.  Equa- 

(')  Voir  Bulletin,  XIV,,  p.  178. 


IIKVIIK    DKS   l»  II  HM  CATION  S.  aSi 

tioii  z  —  cx'-\- d.ry'-\- ey*  ilc  la  surface  dans  la  proximilé  d'un  point  de 
plissement.  Les  points  de  plissement  de  première  cspùcc  (fice>d')  et  leur 
indicatrice  du  t|nalrième  ordre.  Les  points  de  plissement  de  seconde  espèce 
(\ce<d*).  La  conrhe  flecnodale  en  première  approximation.  Les  courbes 
spinodale,  flecnodale  et  connodale  en  seconde  approximation.  Le  point  de 
plisscnHMil  dotihic  liomopènc  {d  —  o).  Le  point  de  plissement  double  hétéro- 
cène  {\ce  =  <:/').  IL  Apparition  et  disparition  de  points  de  plissement  sur  une 
surface  qui  subit  une  déformation  continue.  Points  exceptionnels  de  premier 
ordre.  Calcul  des  points  de  plissement  d'une  surface  z  —  f{x,y).  Détermina- 
tion de  l'espèce.  Transformation  des  points  de  plissement  double  homogène  et 
hétérogène.  Transformation  des  points  d'osculation.  Détermination  des  points 
de  plissement  et  de  leur  espèce.  Transformation  d'un  point  conique.  Hécapilu- 
lalion.  Application  aux  surfaces  cubiques. 

Van  dcn  Berp[  [F.-J .).  —  Quelques  formules  pour  le  calcul  des 
nombres  de  Bernoulli  et  des   coefficients    des   tangentes   (2). 

(99- •'iO- 

Koricweg  (D.-J.).  —  La  théorie  générale  des  plis  et  la  surface  'h 
de  Van  der  Waals  dans  le  cas  de  symétrie.  (295-868,  3  pi.). 

Dans  le  cas  de  symétrie  la  courbe  spinodale  se  prèle  au  traitement  mathé- 
matique. Alors  la  forme  et  les  singularités  de  cette  courbe  font  connaître  la 
forme  et  les  singularités  de  la  courbe  connodale.  Ainsi  l'étude  de  la  courbe 
spinodale  mène  l'auteur  à  la  connaissance  complète  des  différents  phénomènes 
qui  se  produisent  sur  la  surface  symétrique  4'- 

Le  cas  de  symétrie  se  présente  sous  les  conditions  a^=  a,  et  è,  =  b^  {voir 
le  premier  iMémoire  de  ce  Tome);  alors  le  plan  a;  =  ^  est  plan  de  symétrie. 

Le  travail  est  divisé  en  trois  sections.  Dans  la  première  sont  développées  les 
parties  de  la  théorie  générale  des  plis  qui  ont  trait  à  la  surface  4^;  les  démon- 
strations des  théorèmes  qui  y  entrent  seront  publiées  dans  un  Mémoire  ulté- 
rieur. Dans  la  seconde  section  il  s'agit  des  différents  modes  de  passage  pour 
ce  qui  concerne  la  courbe  spinodale  et  les  parties  physiquement  réalisable^  de 
la  courbe  connodale.  La  troisième  section  fournit  des  démonstrations  de  con- 
tr«Jle  par  rapport  à  l'exactitude  des  passages  trouvés.  L  Division  des  plis  en 
espèces  (pli  fermé,  pli  non  fermé  annulaire,  pli  non  fermé  simple);  propriété 
générale  de  la  courbe  connodale.  Points  d'intersection  des  courbes  spinodale  et 
connodale.  Point  de  plissement  doubles,  homogènes  et  hétérogènes.  Points 
d'osculation.  Récapitulation.  Les  points  singuliers  de  la  spinodale  indiquent 
avec  sûreté  des  points  singuliers  de  la  connodale.  Les  trois  modes  de  généra- 
tion d'un  plan  tritangent.  Pli  principal  et  pli  accessoire.  Plan  quadritangent. 
IL  Partie  descriptive.  Les  cas  a,  2^«,-  Le  cas  a,  3<  a,.  Aperçu  général.  Diffé- 
rents sous-cas.  Les  températures  remarquables.  Les  cas  6,  ,<ô,±A  (A  très 
petit).  La  surface  4"  pour  le  mélange  éther-eau.  IIL  Partie  démonstrative. 
L'équation  de  la  surface.  La  courbe  connodale  à  connodes  symétriques;  sa  ter- 
minaison du  côté  des  petits  volumes.  L'hypothèse  6,  ,=  6,.  Etude  de  la  conno- 


(')  Voir  liullelin,  \I\\.  p.  176. 


2.»'i 


SFiCONDK   PAUTIE. 


(laie.  L'équaLion  de   la  spinodalc.  Les  points  tie  jtlisscnicnl.  La   connodale.  Les 
liinilcs  de  l'existence  du  plan  (juadiilan;,'Cnl. 


Tome  XXV;  iSyi. 

De  Vries  (./•).  —  l^olygones  cycliques  sur  des  courbes  cubiques 
planes  (♦).  (i-32). 

De  Vries  (J-)-  —  Sur  un  groupe  de  configurations  planes  régu- 
lières et  quelques  configurations  planes  connexes  de  j)oinls  et 
de  courbes  (^).  (33-56). 

JJe  Vries  (./.).  —  Sur  une  configuration  plane  de  vingt-quatre 
points  et  de  dix-huit  droites  (^).  (5^-69)4 

Kluyver  (X-C).  —  Sur  des  systèmes  de  rayons  déduits  de  quatre 
droites  données  dans  l'espace  ('*).  (70-99). 

Lorentz  {IL-A.)>  —  Sur  la  théorie  moléculaire  des  dissolutions 
diluées.  (lo^-iSo). 

Les  lois  relatives  à  la  pression  osmotique  d'une  solution  sont  si  simples 
qu'on  est  conduit  à  essayer  de  les  déduire  directement  de  la  théorie  kinétique 
sans  se  servir  de  la  thermodynamique.  Étude  entreprise  dans  cette  direction. 

Bosscha  (J-)'  —  Les  équations  des  nouvelles  copies  du  mètre  des 
Archives.  (i65-226). 

Lorentz  (II. -A .).  —  La  théorie  électrique  de  Maxwell  et  son  appli- 
cation aux  corps  mouvants.  (363-552). 

Introduction  (Hypothèses  fondamentales.  Le  principe  de  d'Alembert.  Nota- 
tions). L  Mouvements  électriques  dans  des  corps  en  repos.  (Valeur  de  l'énergie 
kinétique.  Sa  variation.  Quantités  qui  définissent  un  déplacement  virtuel  du 
système.  Application  du  principe  de  d'Alembert.  Valeurs  de  X,  V,  Z  pour  les 
diélectriques  et  les  conducteurs.  Equations  du  mouvenicnl.  Formules  de  l'élec- 
trostatique. Hypothèse  du  lluide  électrique.  Courants  invariables  et  variables. 
Force  électrique.  Charge  électrique  au  sein  d'un  isolateur.  Forces  électronio- 
trices.  Vitesse  de  la  lumière  dans  l'éther).  IL  Phénomènes  élcctron)agnétiques 


(  '  )  loir  plus  haut,  p.  228. 
(')  Voir  plus  haut,  p.  231. 
(')  Voir  plus  haut,  p.  222. 
(*)    ]'oir  plus  haut,  [).  22'S. 


KKVUl':    DIÙS    IHJMI.ICATIONS.  9.Vi 

dans  les  rorps  (jui  se  incuvcnL  el  (|ui  ciilriiliienl  l'rLlicr  conlciui  rhins  I(;ur  inlc- 
ricnr.  (  Valeur  de  l'énergie  kinélique.  Quantité  d'élcclricitc';  (jui  traverse  une 
surface.  Appiicalion  du  principe  de  d'Alcuihert.  Valeur  de  la  force  électiifiue. 
Helalions  entre  les  composantes  du  courant  et  celles  du  déplacement  diélec- 
trique). III.  Kxanien  d'une  hypothèse  qui  a  été  faite  aux  chapitres  précédents. 
IV.  Théorie  d'un  syslènne  de  particules  charf^ées  qui  se  déplacent  à  travers 
l'élher  sans  entraîner  ce  milieu.  (Considérations  préliminaires.  Hypothèses 
fondamentales.  Valeur  de  la  variation  ST.  lùjuations  qui  déterminent  l'état  de 
l'éther.  Action  de  l'éther  sur  une  particule  chargée.  Moment  du  couple  qui  agit 
sur  une  particule  chargée.  Vitesse  de  rotation  d'une  particule.  Influence  des  ro- 
tations sur  les  valeurs  des  forces.  Récapitulation  des  formules).  V.  Applications 
de  la  théorie  précédente  (Electrostatique.  Forces  électrodynamiques  agissant 
sur  un  élément  d'un  circuit  linéaire.  Remarques.  Induction  dans  un  circuit 
fermé.  Pouvoir  inducteur  spécifKjue).  VI.  Propagation  de  la  lumière  dans  un 
diélectrique  pondérable  en  repos.  (Nature  du  problème.  Vibrations  dans  l'éther 
produites  par  une  seule  molécule.  Théorèmes  mathématiques.  Détermination 
de  quelques  quantités.  Intensité  de  la  force  qu'une  particule  vibrante  éprouve 
en  vertu  de  l'état  de  la  molécule  dont  elle  fait  partie.  Détermination  de  la 
force  totale  qui  agit  sur  une  particule  vibrante.  Équations  du  mouvement  d'une 
particule.  Propagation  de  la  lumière).  VII.  Propagation  de  la  lumière  dans  un 
diélectrique  pondérable  en  mouvement.  (Equations  fondamentales.  Vibrations 
produites.  Vibrations  produites  par  une  seule  molécule.  Théorèmes  mathéma- 
tiques. Détermination  de  quelques  quantités.  Valeur  de  la  force  produite  par 
la  molécule  dont  la  particule  fait  partie.  Détermination  de  la  force  totale 
agissant  sur  une  particule  vibrante.  Équations  du  mouvement  d'une  particule. 
Équations  différentielles.  Entraînement  des  ondes  lumineuses  par  la  matière 
pondérable).  Note  additionnelle.  (Valeurs  générales  de/,  g,  h,  <x,  p,  y.  Vérifi- 
cation d'une  formule.  Déplacement  diélectrique  et  force  magnétique  qu'une 
particule  vibrante  produit  à  quelque  distance). 


Tome  XXVI;   1898. 

f^an  der  Waals  (J.-D.).  —  La  valeur  de  la  pression  dans  les 
phases  coexistantes  de  mélanges,  notamment  des  solutions  sa- 
lines. (91-125). 

Van  der  Waals  (J.-D.).  —  La  formule  de  la  dissociation  élec- 
troljtique.  (126-1 36). 

Kuenen  (J.-P.).  —  Mesures  concernant  la  surface  de  Van  der 
Waals  pour  les  mélanges  d'acide  carbonique  et  de  chlorure  de 
méthvle.  (354-422). 

Engelmann  (Th. -IV.).  —  Le  principe  du  conducteur  commun. 

(423-435). 

\ 


254  SliCONDIi   PARTI  H. 

Bosscha(J.).  —  Sur  un  problème  relalifà  la  variation  simultanée 
de  courants  électriques  dans  un  système  de  conducteurs  li- 
néaires. (459-469). 

Tome  XXVII;  1894. 

Sissingh  (/?•).  —  Mesures  relatives  au  phénomène  de  Kerr,  dans 
l'aimantation  parallèle  à  la  surface  réfléchissante.  (1^3-25 1). 

Zeemaa  (P-)-  —  Mesures  relatives  au  phénomène  de  Kerr,  etc. 
se  rapportant,  en  particulier  à  la  diff'érence  de  phase  magnéto- 
optique  de  Sissingh.  (252-3o2). 

Speckmann  {H.-A.-W.).  —  La  méthode  de  M.  Darboux  pour 
l'intégration  d'équations  aux  dérivées  partielles,  non  linéaires, 
du  second  ordre  (').  (3o3-354). 

De  Boev  (/^.).  —  Application  de  la  méthode  de  M.  Darboux  à  l'in- 
tégration de  l'équation  diff'érentielle  s  =1  f[r^  t)  (-).  (355-4  i  2). 


SOGIËTA  REALE  DI  NAPOLI.  Rendiconto  dell'  Accademia  delle  Scienze 
FisicHE  E  MATEMATICHE  ;  Napoll,  in-4°- 

Année  XVIII,  1879. 

De  Gasparis  {A,).  —  Sur  les  perturbations  planétaires.  (34). 

De  Gasparis  (A.).  —  Nouvelle  série  relative  au  mouvement  des 
planètes  sur  l'ellipse.  (67-68). 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  la  valeur  inverse  du  cube  de  la  dis- 
lance variable  de  deux  planètes,  exprimée  par  une  série 
ordonnée  suivant  les  puissances  du  temps.  (8o-83). 

Fergola  {E.).  —  Observations  de  Mars,  Taites  à  l'observatoire 


(')    Voir  plus  haut,  p.  227. 
(^)    Voir  plus  haut,  p.  225. 


UKVUIi    1)1<S   PUBLICATIONS.  255 

rojal  de  Capodimontc,  du  19  août  au  23  octobre  1877.  (i^S- 
i32). 

Salvatore-Dino  {N.).   —   Sur  le   genre   des    courbes    gauches. 
(i33-i36). 

Démonstralion  du  théorème  de  M.  Crcinona  : 

«  Si  deux  surfaces  ont  en  commun  un  point  r,  —  uple  pour  l'une  et  i\  —  uple 
pour  l'autre,  le  nombre  des  points  doubles  apparents  de  leur  intersection  di- 
minue de 

»  Si  les  deux  surfaces  ont  au  point  commun  un  contact  d'ordre  r  —  i,  sans  y 
avoir  de  point  multiple  commun,  leur  intersection  ne  perd  aucun  point  double 
apparent.  » 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  certaines  dérivées,  et  essai  d'un  calcul 
pour  les  perturbations  planétaires.  (i36-i4i). 

Trudi  (A^.).  —  Sur  la  partition  de  lettres.  (i54-i64)- 

Partition  d'un  système  de  lettres  en  un  nombre  donné  de  groupes,  étant 
donné  le  nombre  de  lettres  qui  doit  être  contenu  dans  chaque  groupe  (nombre 
différent  en  général  d'un  groupe  à  un  autre).  L'auteur  résout  cette  question 
autant  pour  le  cas  des  lettres  différentes,  que  pour  celui  des  lettres  répétées. 

Trudi  (iV.).  —  Note  sur  la  dérivée  d'ordre  quelconque  du  pro- 
duit de  fonctions  de  plusieurs  variables.  (181-188  et  299-300). 

Salvatore-Dino  (A^. ).  —   Sur  la  construction  de  la  surface  du 
2^  ordre,  donnée  par  neuf  points.  (195-198). 

L'auteur  donne  la  solution  de  ce  problème,  c'est-à-dire  la  construction  de 
la  section  déterminée  par  un  plan  quelconque  passant  par  deux  des  neuf 
points,  en  employant  la  solution  des  deux  problèmes  suivants  : 

«  1°  Étant  donnés  dans  un  plan  onze  points  A,,  B,,  C^,  D,,  E,  ;  A^,  B^,  C^,  D,, 
E^,  P  et  une  droite  par  P,  trouver  l'autre  point  d'intersection  de  cette  droite 
avec  la  conique  passant  par  P  et  par  les  quatre  points  communs  aux  co- 
niques A,,  .. .,  E,  et  Aj,  . . .,  Ej.  2°  Étant  donnés  dans  un  plan  quinze  point 
A,,  ...,  E,,  A,,  ...,  E^,  A,,  ...,  E^,  déterminer  la  conique  passant  par  deux 
points  donnés  P,  Q  et  appartenant  au  réseau  des  trois  coniques 

A,,  ...,  E,;    A3,   ...,  E^;     A,,   ...,  E,. 
Janni  {V.).  —  Expression  générale  d'un  coefficient  d'une  équa- 


256  SBCONDE   PAUTIK. 

lion  en  fonction  des  sommes  des  puissances  semblables  des  ra- 
cines de  cette  même  équation.  (199-201). 

Caporali  {E .).  —  Sur  les  transformations  uniponctuelles  planes 
involutives.  (212-219). 

Le  nombre  de  couples  de  points  correspondants  qui  se  trouvent  sur  une 
droite  arbitraire  est  appelé  par  l'auteur  la  classe  de  la  transformation. 
Après  avoir  étudié  quelques  propriétés  générales  de  ces  transformations,  il 
trouve  toutes  celles  de  la  première  classe  et  fait  l'application  des  résultats  gé- 
néraux à  deux  cas  particuliers  qui  sont  : 

1°  La  transformation  involutive  du  4*  ordre  à  trois  points  fondamentaux 
doubles  et  trois  simples, 

2"  La  transformation  involutive  du  8®  ordre  ayant  un  point  fondamental 
quintuple,  trois  triples,  deux  doubles  et  trois  simples. 

De  Gaspaj^is  {A.)  —   Sur  le  développement  de  la  fonction  per- 
turbatrice. (227-232). 

Caporali  {E .)  —  Sur  certains  systèmes  de  droites.  (244-249)» 

Les  systèmes  étudiés  par  l'auteur  sont  ceux  que  l'on  obtient  en  joignant  les 
points  d'une  surface  représentable  sur  un  plan  aux  points  correspondants  de 
la  représentation.  Soit  <î>  un  système  linéaire  triplement  infini  de  courbes  al- 
gébriques planes  dans  un  plan  11^.  L'auteur  établit  une  correspondance  linéaire 
entre  le  système  *  et  celui  des  plans  de  l'espace.  Un  point  P  de  n^  détermine 
un  réseau  en  <ï>  et  les  plans  correspondants  passent  par  un  point  P'  correspon- 
dant à  P.  On  a  ainsi  une  surface  S,  lieu  de  P',  et  le  système  des  droites  PP'. 
Étant  n  l'ordre  et  N  le  nombre  des  intersections  variables  des  courbes  <t>, 

la  surface  S  est  de  l'ordre  N, 

le  système  de  droites  est  de  l'ordre  N  -f-  «  +1, 

il  y    a  N-f-2/i-i-i  droites  du  système  rencontrant  deux  droites  quelconques. 

Ce  dernier  résultat  est  obtenu  au  moyen  de  certaines  courbes  T  de  11^  corres- 
pondant aux  droites  de  l'espace.  En  employant  ces  mêmes  courbes  l'auteur 
trouve  aussi  la  classe  de  la  surface  focale  qui  est 

2(2/1  4- /?  —  2), 

p  étant  le  genre  des  courbes  <ï>.  Suit  l'étude  de  cette  surface  focale.  Enfin 
l'auteur  indique  les  modifications  que  le  système  éprouve  en  certains  cas  par- 
ticuliers. 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  la  variation  des  éléments  elliptiques 
dans  les  orbites  planétaires.  (282-287). 


KliVUH  DIÎS  PUMI.ir.ATlONS.  îtS; 

Année  XIX,  1880. 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  une  relation  de  distances  dans  le  pro- 
blème des  trois  corps.  (13-19). 

Padelietti  [D.).  —  Sur  les  axes  conjugues  de  rotation  dont  les 
directions  comprennent  un  angle  constant  et  sur  les  axes  con- 
jugués orthogonaux.  (4;^-5i). 

Contarino  et  Aiigelitti.  —  Sur  la  détermination  des  ascensions 
droites  des  étoiles  en  zone.  (5i-65). 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  la  variation  qui  se  produit  dans  le 
rajon  vecteur  d'une  planète  perturbée  pendant  un  temps  infi- 
niment petit.  (67-70). 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  la  variation  de  la  différentielle  du  carré 
de  la  distance  entre  deux  planètes,  produite  par  l'influence  per- 
turbatrice d'une  troisième  planète.  (81-84). 

Fergola  {E.).  —  Observations  de  Mars  faites  à  l'observatoire 
royal  de  Gapodimonte,   au   cercle  méridien  de  Repsold.    (90- 

92)- 

De  Gasparis  (A.).  —  Emploi  ultérieur  et  extension  de  la  for- 
mule pour  le  calcul  des  perturbations.  (95-99). 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  les  rapports  des  variations  simultanées 
de  quelques  éléments  d'ellipses  instantanées  dans  le  problème 
des  trois  corps,  (i  i8-i32). 

Rubini  {R.).  —  Sur  une  assertion  de  Boole.  (i32-i44)- 

Boole  {Phil.  Trans.,  i844)  applique  son  calcul  des  symboles  d'opération 
à  l'intégration  des  équations  différentielles  linéaires.  Dans  l'intégration  par 
séries  il  suit  le  procédé  d'Euler,  qui  consiste  à  poser  l'intégrale  y  =  Scz^^^» 
et  résoudre  les  équations  que  l'on  obtient  pour  la  détermination  des  coeffi- 
cients a-^.  La  méthode  tombe  en  défaut  lorsque  l'équation  qui  donne  le  premier 
coefficient  n'a  pas  ses  racines  réelles  et  difTérentes.  L'auteur  montre  que  Euler, 
contrairement  à  ce  que  Boole  dit  dans  son  Mémoire,  avait  aussi  donné  la  ma- 
nière de  traiter  ces  cas  exceptionnels,  et  même  les  équations  qui  servent  à  ré- 
soudre le  problème  suivant  la  méthode  de  Boole  coïncident,  à  part  les  nota- 
tions, avec  celles  d'Euler. 


a58  SKCONDIÎ   PAUTIE. 

Salvalore-Dino  (A^. )•  —  Sur  une  surface  minima.  (148-157). 

Surface  algébrique  minima  du  13"  ordre  et  de  la  i2«  classe,  et  sa  représenta- 
tion par  projection  orthogonale. 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  les  rapports  des  variations  simultanées 
de  quelques  éléments  d'ellipses  instantanées  dans  le  problème 
des  trois  corps.  (166-175). 

Année  XX,  1881. 

Caporali  (E.).  —  Sur  l'hexaèdre  complet.  (59-71). 

L'auteur  commence  par  étudier  quelques  particularités  de  l'hexaèdre  polaire 
d'une  surface  du  3®  ordre  possédant  un  point  double.  Ensuite  il  démontre  le 
théorème  suivant,  qui  établit  une  correspondance  univoque  entre  les  surfaces 
du  3*  ordre  ayant  un  hexaèdre  polaire  donné,  et  les  plans  tangents  de  la  dé- 
veloppable  déterminée  par  les  plans  de  l'hexaèdre  : 

Soient  X  les  i5  points  où  les  arêtes  d'un  hexaèdre  sont  coupées  par  un  plan 
osculateur  de  la  cubique  gauche  déterminée  par  les  plans  de  l'hexaèdre.  Sur 
chaque  arête,  le  point  X  appartient  à  un  groupe  de  l'involution  syzygétique 
déterminée  par  les  quatre  sommets;  les  45  points  Y  qui  complètent  ces  i5 
groupes  se  trouvent  trois  par  trois  sur  i5  droites  appartenant  à  une  même 
surface  du  3"  ordre. 

Puis  il  trouve  qu'il  y  a  4o  surfaces  ayant  l'hexaèdre  donné  pour  hexaèdre 
polaire  principal,  et  56  pour  lesquelles  il  est  un  des  hexaèdres  polaires  secon- 
daires. Enfin,  il  donne  quelques  propositions  sur  le  plan  polaire  d'un  point 
par  rapport  à  un  hexaèdre,  et  en  montre  l'application  à  l'étude  de  l'hexa- 
gramme  de  Pascal. 

Govi  (G.).  —  Sur  une  brochure  de  M.  le  prof.  A.  Favaro,  ayant 
pour  titre  :  G.  Galilei  ed  il  dialogo  de  Cecco  di  Ronchitti  da 
Bruzene  in  perpuosito  de  la  Stella  Nuova.  (89-98). 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  certaines  ellipses  instantanées  dans  le 
problème  des  trois  corps.  Note  troisième  et  dernière.  (101- 
1 1 2). 

Caporali  {E.).  —  Théorèmes  sur  les  surfaces  du  3*-'  ordre.  (122- 
i3o). 

Ces  théorèmes  se  rapportent  principalement  aux  pentagones  gauches  com- 
plets inscrits  dans  une  surface  cubique  et  tels  que  le  point  de  rencontre  de 
chaque  côté  avec  la  face  opposée  soit  aussi  sur  la  surface. 

De  Gasparis  (A.).  —  Série  pour  le  mouvement  perturbé,  y  com- 


UKVUli   DliS   PUBLICATIONS.  -i^o 

pris  les  termes  jusqu'aux  so[)li(''mcs  puissances  du  temps.  (i34- 
142  et  I 5i-i58). 

Caporali  {E-)-  —  Sur  les  tangentes  menées  à  une  courbe  algé- 
brique plane  par  un  point  multiple.  (i43-i47)- 

Étant  donnée  une  courbe  F  de  l'ordre  «,  ayant  un  point  (/i  — /^''^'''O 
rn^r*-+-^(/-i)(r-2)J, 

il  y  a  système   linéaire   n  —  rs (/■  — i)(r  —  2)   fois   infini  de  courbes  de 

l'ordre  11  —  s  passant  par  O  avec  n  —  5  — 2^  +  2    branches  et   contenant  les 
points  de  contact  des  tangentes  menées  par  0  à  la  courbe  F. 

Fergola  {E.).  —  Observation  de  la  comète  ^,1881  au  cercle  mé- 
ridien de  Repsold.  (161). 

Angelitti  (F.).  —  Sur  la  détermination  des  ascensions  droites 
des  étoiles  en  zone.  (169-17'^). 

JRubini  (R.).  —  Commémoration  de  F.  Padula.  (181-198). 

Salvatore-Diiio  {N.).  —  Sur  l'intersection  de  deux  surfaces  du 
2^  degré.  (21 2-2 13). 

Construction  de  l'intersection  avec  la  règle  et  le  compas,  en  employant  les 
méthode  de  la  Géométrie  descriptive. 

De  Gasparis{A.).  —  Quelques  théorèmes  sur  les  ellipses  instan- 
tanées planétaires.  (219-227). 

Contarino  (E.)  et  Angelitti  (E".).  —  Observations  micromé- 
triques de  la  comète  Schœberle  c,  1881,  faites  à  l'observatoire 
de  Gapodimonte,  avec  l'équatorial  de  Reichembach.  (228). 

De  Gasparis  (A.).  —  Table  pour  la  résolution  numérique  du 
problème  de  Kepler.  (286-237). 

Angelitti  (E.).  —  Ascension  droite  des  étoiles  en  zone  (240- 
247). 

Padelletti  (D.).  —  Sur  l'équivalence  asiatique  d'un  système  de 
forces  dans  la  rotation  autour  d'un  axe.  (248-255). 


•26o 


SKCONDE  pautih:. 


L'auteur  résume  et  généralise  en  partie  les  résultats  de  Minding,  Darboux  et 
Steichen  sur  ce  sujet  en  donnant  un  exposé  géométrique  de  la  question. 

De  Gasparis  {A.).  —  Autres  séries  pour  les  anomalies  et  le  rayon 
vecteur  dans  les  ellipses  planétaires  (à  suivre).  (260-264). 


Année  XXI,  i88'2. 

De  Gasparis  (A.).  —  Autres  séries  entre  l'anomalie  et  le  rajon 
vecteur  des  ellipses  planétaires  (suite).  (12-19). 

Si,  pour  compter  les  angles,  on  prend  pour  point  de  départ  l'aphélie  au  lieu 
du  périhélie,  on  obtient  des  séries  plus  convergentes. 

Padelletti  {D.).  —  Observations    sur   la   théorie   des    dynames 
(theorj  of  screws).  (3i-44)- 

Une  dyname  (appelée  screw  par  Stawell  Bail  qui  en  a  donné  la  théorie) 
est  l'ensemble  d'un  segment  (force)  et  d'un  couple  dont  le  plan  est  perpendi- 
culaire au  segment.  L'auteur  montre  l'analogie  qui  a  lieu  entre  cette  théorie 
et  celle  des  complexes  linéaires. 

Masoni    {U.).   —    Sur   certaines    courbes    du    qualrième    ordre 
douées  de  points  d'ondulation.  (45-69). 

Un  point  d'ondulation  de  la  courbe  est  un  point  où  la  tangente  a  avec  elle 
un  contact  du  troisième  ordre.  Une  courbe  du  quatrième  ordre  ne  peut  avoir 
plus  de  quatre  ondulations  réelles.  L'auteur  étudie  les  divers  cas  qui  peuvent 
se  présenter,  et  enfin  le  cas  spécial  d'une  courbe  du  quatrième  ordre  possédant 
douze  points  d'ondulation. 

Torelli  (G.).  —  Sur  les  déterminants  circulants.  (83-91). 
Un  circulant  est  un  déterminant  tel  que  le  suivant: 


a.         a. 


L'auteur  donne  une  extension  de  quelques  théorèmes  de  Glaisheret  de  Scott, 
et  de  quelques  relations  de  Stern  et  de  Kummer. 

De  Gasparis  (A.)  —  Première  approximation  d'une  orbile  avec 
cinq  données,  choisies  de  quatre  observations.  (io4-io6). 
Note  H.  (i54-i55). 

On  peut,  à  l'aide  de  cinq  données,  avoir  la  dislance  de  la  planète  à  la  Terre 


REVUE  DES  PUBLICATIONS.  'i(\i 

et  le  rayon  vecteur.  La  sixième  donnée  n'est  nécessaire  que  pour  connaître 
tous  les  cléments  de  l'orbite.  Dans  la  seconde  Note,  l'auteur  fait  l'application 
à  l'orbite  de  Vesta. 

De  Gasparis  {A.)  —  Sur  une  équation  difTérentielle  du  deuxième 
ordre  contenant  seulement  les  distances  mutuelles  d'un  nombre 
quelconque  de  masses  qui  s'attirent.  (106-107). 

L'équation  est  la  suivante  : 

I        d^   \^  ,  ,      'sr^  rn.m. 


—  2]m,m,p^-2/+2; 


Padelletti  {D.).  —  Sur  un  calcul  dans  la  théorie  des  dynames, 
analogue  à  celui  des  quaternions.  (i  i  i-i  19). 

Le  calcul  des  quaternions  ordinaires  est  effectué  sur  des  vecteurs  donnés  en 
grandeur,  dii-ection  et  sens.  L'auteur  étudie  des  opérations  analogues  que  l'on 
effectue  sur  des  segments  donnés  en  grandeur,  position  et  sens,  et  plus  géné- 
ralement sur  des  dynames  données.  On  a  ainsi  deux  espèces  de  quaternions, 
ceux  de  rotation  qui  sont  les  ordinaires,  et  ceux  de  translation.  II  en  résulte 
aussi  un  opérateur  nouveau,  appelé  quaternion  de  torsion.  L'auteur  étudie 
aussi  le  rapport  et  le  produit  dont  les  éléments  sont  des  vecteurs,  des  segments, 
des  dynames  ou  des  quaternions,  ainsi  que  la  somme  de  deux  quaternions  de 
torsion. 

Fergola  {E.).  —  Sur  quelques  équations  relatives  à  la  théorie 
des  fonctions  ellipti(|ues,  et  théorèmes  de  Géométrie  qui  s'y 
rattachent.  (i32-i33). 

Théorèmes  (sans  les  démonstrations)  relatifs  aux  polygones  inscrits  à  un 
cercle  et  circonscrits  à  un  autre. 

Padelletti  {D.),  —  Quelques  corollaires  d'un  théorème  du  pro- 
fesseur Fergola.  (i  55- 107). 

Ce  travail  se  rapporte  au  précédent  de  M.  Fergola.  Le  théorème  est  le  sui- 
vant : 

«  Si  deux  cercles  sont  tels  qu'un  polygone  de  n  côtés  puisse  être  inscrit  à 
l'un  et  circonscrit  à  l'autre,  le  barycentre  des  points  de  contact  reste  fixe  sur 
la  droite  des  centres  de  quelque  manière  que  l'on  fasse  varier  le  polygone.  Aux 
fonctions  qui  restent  constantes  lorsque  le  polygone  varie  sous  les  condition 
énoncées,  et  qui  avaient  été  indiquées  par  ]\L  Fergola,  l'auteur  joint  d'autres 
fonctions  ayant  cette  même  propriété.  Telle  est,  par  exemple,  la  somme  des 
carrés  des  distances  des  points  de  contact  à  un  point  fixe  du  plan.  » 

Triidi  (iV.).  —  Notices  rétrospectives  sur  les  corollaires  déduits 


262  SRCONOE  PARTI  K. 

par  M.  Padellelli  de  quelques  récents  tliéorèmes  de  M.  Fergola. 

(170-172). 

Contarino  (/'.)  et  Angelitti  (/*'.).  —  Observations  micromé- 
triques de  la  grande  comc^-te  de  septembre  1892,  faites  à  l'obser- 
vatoire de  Capodimonte.  IVemière  communication.  (220-222). 

Année  XXII,  i883. 

Padelletti  [D.).  —  Sur  la  forme  la  plus  simple  des  équations 
d'équilibre  d'un  système  rigide  gêné.  (i3-i5). 

L'auteur  rattache  cette  question  à  la  tliéorie  des  dynames,  et  établit  une 
règle  générale  pour  le  choix  des  axes  coordonnés  propres  à  donner  en  chaque 
cas  la  forme  plus  simple  aux  équations.  Il  trouve  ces  équations  pour  les  divers 
cas  qui  peuvent  se  présenter  suivant  que  le  système  a  une  liberté  de  premier, 
deuxième,  ...,  cinquième  ordre. 

Brioschi  [F.).  —  Détermination  absolue  de  l'inclinaison  magné- 
tique à  l'observatoire  royal  de  Capodimonte,  disposée  par  l'as- 
tronome professeur  F.  Brioschi  et  exécutée  par  les  assistants- 
docteurs  F.  Contarino  et  Angelilti.  (23-28). 

Padelletti  (^D.).  —  Sur  les  analogies  entre  la  théorie  de  l'asta- 
tique  et  celle  des  moments  d'inertie.  (29-48). 

La  raison  de  ces  analogies  peut  être  indiquée  dans  le  fait  suivant.  En  dé- 
composant chaque  force  F^.  suivant  trois  directions  orthogonales,  on  peut  sub- 
stituer au  système  donné  trois  systèmes  de  forces  parallèles,  et,  par  conséquent, 
trois  résultantes  partielles  A,,  A^,  A,  appliquées  aux  centres  P,,  P^,  P3  de  ces 
systèmes.  Si  l'on  attribue  aux  points  P,,  P,,  P^  les  masses  A^,  A*,  A3  on  a  un 
système  matériel  S  qui  conserve  même  masse,  même  barycenlre  et  même  mo- 
ment d'inertie  par  rapport  à  tout  plan  ou  axe  de  l'espace,  indépendamment  du 
choix  des  directions  orthogonales  que  l'on  prend  pour  décomposer  les  forces. 
Le  système  indiqué  a  aussi  un  moment  d'inertie  constant  par  rapport  à  toute 
droite  qui  peut  devenir  axe  central.  Ce  même  système  est  intimement  lié  à 
tous  les  éléments  que  l'on  rencontre  dans  la  théorie  des  moments  d'inertie  et 
dont  on  peut  avoir  une  interprétation  dans  la  théorie  de  l'astatique.  Parmi 
les  résultats  nouveaux  de  ce  travail  il  faut  mentionner  la  génération  du  com- 
plexe des  axes  centraux,  comm.e  lieu  des  droites  dont  on  peut  conduire  des 
plans  tangents  orthogonaux  à  des  hyperboloïdes  du  système  triple  de  qua- 
driques  homofocales.  L'étude  est  faite  en  supposant  le  système  de  forces  en  po- 
sition tout  à  fait  arbitraire. 

Contarino  et  Angelitti  (F.).  —  Observations  micrométriques  de 


KI-VUK  I)i:S   rUHLlCATlONS.  263 

la  grande  comole   de   sc|)tcmbrc   icS8.>   faites    à    l'observatoire 
rojal  de  Gapodimonte.  Deuxième  communication.  (/|8-5o). 

Intrigila  {€.).  —  Sur  le  tétraèdre.  (()9-92), 

Une  extension  au  tclrardre  des  propiiclés  du  cercle  des  neuf  points  est 
connue  depuis  un  travail  de  Prouliet  {Nouvelles  Annales,  i863).  Il  existe  une 
sphère  des  12  points.  Cette  question  a  été  traitée  ensuite  par  M.  Bellavitis 
{Atti  deir  Istituto  Veneto,  3"  série,  t.  VITI)  et  d'autres,  mais  toujours  en  se 
bornant  au  cas  du  tétraèdre  orthogonal,  c'est-à-dire  dont  les  liauleurs  se  ren- 
contrent en  un  point.  L'auteur  reprend  cette  étude  pour  un  tétraèdre  quel- 
conque. 

Caporali  {E.),  —  Sur  le  système  de  deux  formes  binaires  cu- 
biques. (95-109). 

L'auteur  donne  les  formes  fondamentales  du  système,  quelques  relations 
nouvelles  entre  ses  covariants,  et  la  recherche  de  l'autre  involution  cubique 
ayant  mêmes  éléments  doubles  avec  une  involution  cubique  donnée. 

Masoni  {U.).  —  Sur  les  connexes  coniques  et  en  particulier  sur 
les  systèmes  de  droites  du  2^  ordre.  (i45-i64). 

On  établit  une  correspondance  algébrique  entre  les  coordonnées  d'un  point 
et  celles  d'une  droite  dans  l'espace.  A  tout  point  correspond  un  complexe.  En 
prenant  seulement  les  éléments  correspondants  qui  s'appartiennent  l'un  à 
l'autre,  on  a  une  variété  de  quatre  dimensions,  que  l'auteur  appelle  connexe 
conique.  A  tout  point  correspond  un  cône,  dont  l'ordre  est  le  degré  du  con- 
nexe, et  à  toute  droite  correspond  un  groupe  de  points  dont  le  nombre  est 
Vordre  du  connexe.  L'auteur,  après  avoir  exposé  des  généralités,  étudie  les 
connexes  coniques  du  premier  degré  et  d'ordre  quelconque.  Puis  il  donne 
quelques  résultats  nouveaux  relatifs  aux  systèmes  de  droites  du  2'' ordre  en  les 
considérant  dans  leurs  rapports  avec  les  connexes  coniques. 

Amodeo  {F.).  —  Sur  certaines  propriétés  du  mouvement  tauto- 
clirone  d'un  point  le  long  d'une  courbe  à  frottement  ou  dans 
un  milieu  résistant.  (i'j5-i9o). 

Extension  de  quelques  propriétés  connues  au  cas  d'un  point  soumis  à  une 
force  quelconque,  centrale  ou  parallèle  à  une  direction  donnée.  L'auleur  étudie 
aussi  un  mouvement  qu'il  appelle  hyper tautochrone  dans  lequel  le  temps 
n'est  pas  une  constante,  mais  une  fonction  donnée  de  l'arc  initial. 

Del  Pezzo  (P-)-  —  Sur  la  courbe  bessienne.  (208-2 18). 

La  hessienne  d'une  courbe  générale  n'a  pas  de  points  doubles.  La  démons- 
tration rigoureuse  de  cette  proposition  est  donnée  par  l'auteur  en  faisant  voir 
que  l'hypothèse  d'un  point  double  dans  la  hessienne  porte  à  écrire  l'équation 
de  la  courbe  fondamentale  sous  une  forme  propre  à  mettre  en  évidence  le  dé- 


'264 


SECONDE   PARTIE. 


faut  de  quelques  constantes.  C'est  bien  la  méthode  suivie  par  Geiser  (Annali 
di  Matematica,  2"  série,  t.  IX  :  Sulla  teoria  délie  curve  del  4°  ordine), 
mais  l'auteur  examine  plus  complètement  les  diverses  espèces  de  points  doubles 
de  la  hessienne.  Il  trouve  aussi  un  cas  nouveau,  dans  lequel  les  premières  po- 
laires des  points  d'une  droite  ont  en  commun  un  point  d'inflexion.  Il  étudie 
enfin  quelques  courbes  particulières  du  4'  ordre  dont  la  hessienne  a  des  points 
doubles. 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  une  série  pour  le  calcul  numérique  des 
perturbations  planétaires.  (236-247). 

Mollame  (F.).  —  Nouvelle  série  de  fonctions  siibstiluables  avec 
avantage  à  celles  de  Sturm  dans  les  calctils  pour  déterminer  le 
nombre  des  racines  réelles  d'une  équation  algébrique.  (256- 

267). 

De  Gasparis  {A.).  —  Formules  et  type  numérique  pour  le 
calcul  de  la  variation  du  grand  semi-axe  de  l'orbite  de  Vesta, 
produite  par  l'action  de  Jupiter.  (272-277). 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  les  déterminations  absolues  des  élé- 
ments du  magnétisme  terrestre  à  l'observatoire  royal  de  Gapo- 
dimonte.  (295-297). 

Fergola  {E .).  —  Sur  la  latitude  de  l'observatoire  royal  de  Capo- 
dimonte.  (3i2-3i4). 

Caporali  {E.).  —  Relation  sur  le  Concours  au  prix  académique 

de  1882.  (3i4-32o). 

Le  thème  proposé  était  la  recherche  des  conditions  de  périodicité  dans  une 
transformation  birationnelle  entre  deux  plans  superposés.  La  relation  détaillée 
de  M.  Caporali  se  rapporte  au  travail  de  Kantor,  le  seul  présenté  et  à  qui  le 
prix  fut  décerné. 


Année  XXIII,  1884. 

Masoni  {U.).  —  Sur  le  choc  des  corps  et  sur  le  mouvement  d'un 
corps  pesant  entre  deux  milieux  résistants.  (39-47). 

L'auteur  traite  principalement  le  cas  où  le  choc  produit  un  rebondissement. 
Puis  il  suppose  qu'un  corps  pesant  rencontre  la  surface  horizontale  d'un  liquide, 
et  cherche  les  conditions  pour  que  le  corps,  après  avoir  pénétré  dans  ce  liquide, 
puisse  remonter.  Ici,  il  y  a  une  erreur  fondamentale,  car  le  corps  est  censé 
devoir  remonter  par  effet  de  la  résistance  du  liquide  {?)  et  indépendamment 


KI':VUE   DKS   PUBLICATIONS.  .^65 

(le  tout  ra|i])(>rt  des  poids  spéciliciucs  du  corps  cl  du  liquide.  Toulefois  les  for- 
mules donnciiL  une  réponse  très  juste.  lOn  cdet,  l'auteur  trouve  que  le  corps 
doit  remonter  lorscju'on  a 


X 


cls 


et  cela  est  bien  vrai,  car  cette  iiitégi-ale  peut  aussi  bien  devenir  négative 
qu'une  pierre  peut  remonter  dans  l'eau  après  y  avoir  été  enfoncée  !  Cependant 
l'auteur  se  borne  à  reconnaître  cette  impossibilité  dans  le  cas  011/(5)  est  une 
constante.  Le  cas  d'un  corps  qui  rebondit  sur  l'eau  est  aussi  traité  par  l'auteur 
d'une  manière  peu  satisfaisante;  il  suppose,  sans  aucun  fondement,  que  la 
réaction  normale  de  la  surface  licjuide  soit,  comme  le  frottement,  proportion- 
nelle au  carré  de  la  vitesse. 

Padelletti  {D.).  —  Sur  une  extension  de  la  notion  de  pôle  et  de 
caractéristique  en  Cinématique.  (54-55). 

En  supposant  dans  l'espace  un  plan  mobile,  celui  de  ses  points  dont  la  vi- 
tesse est  normale  au  plan  est  le  pôle,  et  ceux  qui  ont  une  vitesse  dirigée  dans 
le  plan  forment  une  droite  appelée  caractéristique.  L'auteur  étend  ces  pro- 
priétés à  une  surface  quelconque. 

Del  Pezzo  {P-)-  —  Sur  les  systèmes  de  coniques.  (6i-^3). 

La  première  réponse  à  la  question  relative  au  nombre  de  coniques  qui,  dans 
un  sj'stème  simplement  infini,  satisfont  à  une  condition  donnée,  a  été  celle  de 
De  Jonquières,  qui  trouva  ce  nombre  égal  à  un  produit  de  deux  facteurs  dé- 
pendant l'un  du  système  et  l'autre  de  la  condition.  Ensuite  Chasles  donna  à 
ce  nombre  la  forme  bien  connue  atj.  h- ^v,  et  le  théorème  de  Chasles  a  été 
étendu  par  M.  Cremona  aux  systèmes  doublement  infinis.  Halphen  montra  la 
nécessité  de  distinguer  trois  espèces  de  systèmes  suivant  les  singularités  qu'ils 
possèdent,  et  donna  un  théorème  relatif  au  cas  des  singularités  extraordinaires. 
L'auteur  obtient  les  résultats  de  Halphen  par  une  voie  différente,  et  puis 
détermine  à  quels  systèmes  doublement  infinis  reste  applicable  le  théorème 
de  Cremona.  Cette  étude  est  préparée  par  des  recherches  remarquables  sur  les 
systèmes  doublement  infinis  et  sur  leurs  singularités. 

Mollame  {V -)-  —  [Quelques  relations  entre  des  sommes  de  pro- 
duits de  nombres  entiers  consécutifs].  (^3-^4)« 

Ce  n'est  pas  une  Note,  mais  une  courte  relation.  Nous  en  faisons  mention 
parce  qu'elle  renferme  trois  ou  quatre  résultats. 

Padelletti  {D.).   —   Sur  le  centre  des  forces  dans  le  plan.  (74- 

78). 

Ce  Travail  se  rattache  à  l'autre  du  même  auteur  :   Sur  les  analogies  entre 

la  théorie  de  l'asiatique  et  celle  des   moments  d'inertie   (  Voir   ci-dessus). 

L'auteur  forme  des  systèmes  analogues  au  système  S  de  cet  autre  Mémoire  et 

trouve  la  relation  qui  a  lieu  entre  ces  systèmes  et  le  centre  des  forces,  c'est- 

Bull.  des  Sciences  mathém.,  2'  série,  t.  XIX.  (Décembre  iSgS.  )         R.20 


26G 


SECONDE   PARTIE. 


à-dirc  le  point  autour  duquel  tourne  la  résultante,   lorsque  les  forces  tournent 
toutes  d'un  même  angle  autour  de  leurs  {)oints  d'application. 

De  Gasparis  {A.).  —  Sur  les  perturbations  planétaires  spéciales. 

(88-92). 

Masoni  {U.).  —  Sur  les  forces  impulsives  ayant  même  action 
sur  un  même  point  d'un  système  rigide.  (9'j-io5). 

Les  droites  d'action  de  ces  forces  forment  une  congruence  linéaire.  Après  le 
cas  général,  l'auteur  étudie  celui  où  le  mouvement  se  réduit  à  une  rotation 
autour  d'un  axe,  et  donne  la  distribution  des  axes  permanents  et  de  percus- 
sion, correspondant  respectivement  à  des  axes  de  percussion  et  à  des  axes  per- 
manents qui  passent  par  un  même  point.  Il  y  a  une  objection  à  faire  sur  une 
conclusion  que  l'auteur  donne  dans  les  premières  pages.  Il  trouverait  qu'il  y  a 
une  certaine  quadrique  (paraboloïdc  hyperbolique)  A  =  o  telle  qu'en  appli- 
quant une  force  finie  à  l'un  quelconque  de  ses  points,  un  certain  point  Q  du 
système  donné  reste  fixe.  Cela  est  impossible,  car  en  prenant  trois  points  Q, 
Q',  Q"  du  système,  on  trouverait  trois  paraboloïdes  hyperboliques  A,  A',  A"  et 
toute  impulsion  donnée  à  l'un  quelconque  de  leurs  points  communs  aurait 
pour  edet  de  laisser  en  repos  le  système  donné. 

Masoni  (U.).  —  Sur  les  dérivées  d'ordre  quelconque  de  la  fonc- 
tion potentielle,  l'attraction  étant  proportionnelle  à  l'inverse  de 
la  /^'<'''"''  puissance  de  la  distance.  (106-108). 

La  relation  trouvée  par  l'auteur  est  applicable  à  un  espace  d'un  nombre 
quelconque  de  dimensions.  Pour  les  dérivées  du  2"  ordre,  on  retrouve  comme 
cas  particulier  l'équation  de  Jellett. 

PadeLletti  {D.).  —  Sur  les  systèmes  de  forces  impulsives.  (i4o- 

.43). 

Les  propriétés  des  droites  d'action  des  forces  impulsives  et  autres  analogues 
sont  trouvées  par  l'auteur  d'une  manière  très  simple  au  moyen  des  notions 
de  coordonnées  d^un  système  de  forces  et  de  coordonnées  d'un  mouvement 
infiniment  petit. 

Fergola  {E.).  —  [Notice  sur  N.  Trudi].  (149-1^0). 


Année  XXIV,  i885. 

Fergola{E .).  —  Sur  une  série  d'observations  instituées  dans  les 
observatoires  de  Washington  et  de  Lisbonne  suivant  un  plan 
recommandé   par    la   Commission    géodésique    internationale. 

(59-61). 


uHVun:  Diîs  publications  xe^^j 

G(H'i  {(^■)'  —  13ociiuicnl  incclll  rclalK  à  la  luiiollc  et  anlcricur  à 
la  publication  du  Sidereus  nantiiis  de  Galilée.  (Gi-68). 

Lettre  (le  Serge  ^'enlurini  au  marquis  .1  -B.  Manso,  datée  de  Rome,  26  fé- 
vrier 1610. 

Jl/(7so/n  (U.).  —  Quelques  considérations  sur  la  djnamc  sollici- 
tante et  sur  la  torsion  engendrée  dans  le  mouvement  d'un  sys- 
tème rigide.  (80-89). 

L'auteur  recherche  les  relations  qui  doivent  avoir  lieu  entre  les  coordonnées 
de  la  torsion  lorsque  les  coordonnées  de  la  dynarne  satisfont  à  certaines  rela- 
tions données.  Il  recherche  aussi  les  conditions  pour  qu'il  y  ait  une  fonction 
de  dynanies,  c'est-à-dire  une  fonction  dont  les  dérivées  par  rapport  aux  coor- 
données du  système  soient  les  coordonnées  de  la  dynarne. 

PittarelU  {G.).  —  Sur  les  courbes  du  troisième  ordre  à  point 
double,  (i  I  i-i  p.i). 

L'auteur  étudie  particulièrement  la  représentation  paramétrique.  II  donne 
l'équation  symbolique  de  la  courbe,  celle  des  tangentes  d'inflexion,  la  réduc- 
tion à  la  forme  canonique  et  quelques  propriétés  de  la  hessienne  et  de  la  cay- 
leyenne.  Par  exemple,  il  démontre  que  la  hessienne  et  la  courbe  fondamen- 
tale sont  homologiques;  le  point  double  est  le  centre,  et  la  droite  des  inflexions 
est  l'axe  de  cette  homologie. 

Grassi  (G.).  —  La  théorie  cinétique  des  aériformes  appliquée  à 
l'étude  de  l'atmosphère.  (i45-i54). 

PittarelU  (G-).  —  Les  éléments  imaginaires  dans  les  formes  bi- 
naires cubiques.  (162-164). 

Construction  du  groupe  hessien  d'une  cubique  binaire  représentée  par  une 
conique;  et  construction  des  deux  éléments  imaginaires  conjugués  d'une  forme 
cubique,  étant  donné  l'élément  réel  et  les  deux  éléments  du  couple  hessien. 
Autres  constructions  relatives  à  la  correspondance  (i,  2)  entre  les  éléments  har- 
moniques du  i®""  et  du  2"  ordre  par  rapport  à  la  forme  cubique. 

Del  Pezzo  (P-)-  —  Sur  les  quadriques  polaires  réciproques 
d'elles-mêmes  par  rapport  à  une  autre.  (165-179). 

Sturm  avait  déjà  étudié  les  systèmes  de  quadriques  polaires  réciproques 
d'elles-mêmes  par  rapport  à  une  autre  et  touchant  cette  dernière  suivant  une 
conique.  L'auteur  reprend  cette  étude  en  y  ajoutant  celle  de  l'autre  système 
de  quadriques  qui  ont  la  même  propriété  polaire,  et  coupent  la  quadrique 
fondamentale  suivant  un  quadrilatère  gauche.  Il  appelle  conjointes,  deux  qua- 
driques dont  l'une  est  polaire  réciproque  d'elle-même  par  rapport  à  l'autre,  et 
donne  la  formation  d'un  système  de  huit  quadriques  et  d'un  autre  système  de 
dix  quadriques,  conjointes  deux  à  deux. 


■jm  secondk  PAirriE. 

Bel  Pezzo  {P.).  —  Sur  les   surfaces  d'ordre  //  dans  l'espace  de 
// -h  I  dimensions.  ('^  i  s>.-2  16). 

Il  s'agit  des  surfaces  Fi'  (iIcux  dimensions)  qui  sont  dans  un  espace  S„^, 
sans  être  renfermées  dans  un  espace  d'un  nombre  moindre  de  dimensions. 
Elles  sont  toutes  réglées  et  rationnelles  excepté  une  surface  du  4*  ordre 
dans  Sj.  Ces  surfaces  peuvent  toutes  être  projetées  dans  l'espace  ordinaire  S, 
suivant  des  quadriques. 

Pittarelli  (G.).  —  Les  courbes  du  troisième  ordre  et  de  la  qua- 
trième classe.  Note  l.  (217-225).  Note  II.  (225-233). 

Les  coordonnées  d'un  point  d'une  cubique  peuvent  s'exprimer  par  des  fonc- 
tions elliptiques  d'un  paramétre.  Lorsque  la  courbe  a  un  point  double,  ou  un 
point  isolé,  au  lieu  des  fonctions  elliptiques  interviennent  des  fonctions  circu- 
laires ou  hyperboliques.  Dans  la  seconde  Note,  l'auteur  traite  cette  même 
question  dans  l'hypothèse  que  les  coordonnées  soient  proportionnelles  à  trois 
formes  cubiques. 

De  Gasparis  (A.).  —  Sur  le  calcul  des  perturbations  planétaires 
pour  une  longue  période  de  temps.  (233-245). 

Torelli  (G.).  —  Sur  le  système  de  plusieurs  formes  binaires  cu- 
biques. (258-261). 

Relations   entre    invariants   et    covariants.   Solution   du    problème  suivant  : 

«  Étant  U  une  cubique  binaire  et  V,  II  ses  covariants  cubique  et  quadra- 
tique, représenter  toute  autre  cubique  par  )vU  -\-  \i.\  -h  pH,  X  et  \x  étant  deux 
constantes  et  p  une  forme  linéaire.  » 

Brambilla  {A.).  —  Sur  quelques  cas  particuliers  de  la  courbe 
gauche  rationnelle  du  4^  ordre.  (279-298). 

Étude  de  la  courbe  double  de  la  développable  osculatrice  d'une  quartique 
gauche  rationnelle  dans  les  cas  particuliers  suivants  :  que  la  quartique  ait 
deux  droites  osculatrices,  qu'elle  soit  équianharmonique,  qu'elle  soit  harmo- 
nique, qu'elle  soit  harmonico-équianharmonique.  Pour  le  cas  de  la  quartique 
équianharmonique,  la  développable  a  une  conique  triple,  enveloppe  des  plans 
qui  coupent  la  quartique  équianharmoniquement.  L'auteur  fait  observer  l'iden- 
tité de  cette  courbe  avec  la  quartique  signalée  par  M.  Lie  dans  ses  Untersu- 
chungen  ûher  algebraisclie  Minimaljlàchen  {Math.  Ann.,  Bd.  XV). 

Loria  (G.).  —  Sur  quelques  propriétés  métriques  de  la  cubique 
gauche  osculatrice  au  plan  de  Tinfini.  (299-309). 

Étude  analytique  faite  au  moyen  de  la  représentation  paramétrique.  L'auteur 
obtient  outre  les  résultats  déjà  trouvés  par  Schroter  {Math.  Ann.,  Bd.  XXV) 
par  voie  synthétique,  des  résultats  nouveaux,  dont  une  partie  est  relative  au 
tétraèdre  d'osculalion. 


URVUE   ORS   PUBLICATIONS.  269 

Année  XXV,  iSSG. 
Arnodeo  (/^'.).  —  Sur  les  coniques  bitangentes  à  deux  conicjues. 

(r)r)-(is). 

Énoncés  sans  démonstrations. 

Torelli  {G.).  —   Quelques  relations  entre  les  formes  invarian- 
tives  d'un  système  de  formes  binaires,  (i  26-1 34). 

Extension  du  llicorèmc  de  Clebsch  par  lequel  on  exprime  le  produit  des  dé- 
terminants de  deux  couples  de  formes  binaires  par  ces  mêmes  formes.  Au  dé- 
terminant fonctionnel  l'auteur  substitue  celui  des  r'^"^"  dérivées  d'un  système 
de  r -i- 1  formes.  Par  l'application  à  des  cas  particuliers,  il  trouve  des  relations 
nouvelles  entre  les  formes  invariantives  du  système  de  deux  cubiques  ou  de 
deux  biquadratiques. 

Capelli  (A.).  —  Sur  la  permutabilité  des  opérations  invarian- 
tives. (i35-i4i)- 

Soient  x-,  y-,  . . .,  u-{i  =■  i,  . . .,  /i  -t-  i),  A'  séries  de  variables.  Elles  donnent 
lieu  aux  k^  opérations  invariantives 


D.., 

^^y 

^.u, 

'   •   •  •  J 

•    '    '  J 

*  •   *  J 

D„,„ 

/"/ 

d 
àp, 

0 

-h. 

■-^'"-'àp.... 

étant 


Par  ces  opérations,  on  peut  former  l'opération  plus  générale 

A  =  rAD*'D«^.  ..D^r, 

les  A  étant  des  constantes,  et  les  D,-  n'étant  autre  chose  que  les  D  .  L'au- 
teur démontre  que  si  une  opération  du  type  A  est  permutable  avec  toute  autre 
du  même  type,  elle  doit  être  nécessairement  symétrique  par  rapport  aux  k  sé- 
ries de  variables. 

Govi  (G.).  —  Sur  une  lentille  pour  lunette,  travaillée  par  Evan- 
gelista  Torricelli  et  possédée  par  le  Cabinet  de  Physique  de 
l'Université  de  Naples.  (168-169). 

Del  Pezzo  (P-)-  —  Sur  les  espaces  tangents  à  une  surface  ou  à 
une  variété  dans  un  espace  de  plusieurs  dimensions.  (176-180). 

Cantone  {A.).  —  Théorèmes  sur  la  cubique  gauche  déduits  de 


270  s KC ON  1)1-:    PAiniK. 

l'étude   d'une   Iran sforma lion   involulive  dans  Fcspacc.   (i8i- 
190). 

La  transformation  est  la  correspondance  harmonique  sur  les  cordes  de  la  cu- 
bique gauche. 

Montesano    {D.).    —     Sur    quelques    complexes-Battaglinl    de 
droites.  (194-204). 

Complexes  dont  les  rayons  rencontrent  deux  quadriques  en  des  couples  har- 
moniques de  points.  Le  complexe  étant  donne,  il  y  a  une  simple  infinité  de 
ces  quadriques  formant  un  système  du  quatrième  ordre  et  de  la  quatrième 
classe. 

Del  Pezzo  {P-)-  —   Sur  les  projections  d'une  surface  et  d'une 
variété  de  l'espace  de  n  dimensions.  (2o5-2i3). 

Dans  un  espace  de  n  dimensions,  les  surfaces  d'ordre  m,  n  étant  constant  et 
m  inférieur  à  une  certaine  limite,  ou  bien  m  étant  constant  et  n  supérieur  à 
une  certaine  limite,  sont  toutes  réglées.  L'auteur  établit  cette  proposition  gé- 
nérale, et  en  déduit  cette  autre  :  une  surface  (qui  ne  soit  pas  un  cône)  de 
l'ordre  n  et  de  genre  p  est  renfermée  dans  un  espace  de  n.  —  p  dimensions  au 
plus.  Il  démontre  ensuite  qu'une  variété  de  ï -+- 1  dimensions  et  d'ordre  m, 
renfermée  dans  un  espace  de  n  dimensions,  pour  n  constant  et  m  inférieur  à  une 
certaine  limite,  ou  bien  pour  m  constant  et  n  supérieur  à  une  certaine  li- 
mite, est  toujours  constituée  par  un  nombre  infini  d'espaces  S- de  i  dimensions. 

Pascal  [E .).  —  Relations  entre  les  ellipses  centrales  des  aires,  et 
les  barycentres  des  volumes  engendrés  par  celles-ci.  (239-242). 

Si  l'on  coupe  un  solide  par  des  plans  enveloppant  un  cylindre,  le  barycentre 
du  solide  est  aussi  le  barycentre  de  la  courbe  décrite  par  le  centre  du  se- 
cond degré  de  la  section  par  rapport  à  la  génératrice,  en  attribuant  à  la 
courbe  une  densité  proportionnelle  au  produit  de  l'aire  par  la  distance  du  ba- 
rycentre à  la  génératrice.  L'auteur  démontre  ce  théorème,  et  plusieurs  pro- 
priétés relatives  aux  barycentres  des  solides  engendrés  par  une  aire  plane  dont 
le  pian  reste  tangent  à  un  cylindre  suivant  une  droite  fixe  dans  le  plan  de 
Taire. 

Padellelti  [D.).  • —  Sur  les  surfaces  qui  l'oulent  l'une  sur  l'autre 
dans  le  mouvement  d'un  corps  autour  d'un  point.  (242-244)- 

Étant  donnée  une  surface  liée  rigidement  au  corps,  il  y  un  nombre  infini  de 
surfaces  sur  lesquelles  elle  roule.  Toutes  ces  surfaces  passent  par  une  même 
courbe  et  sont  touchées  le  long  de  cette  courbe  par  une  même  développable. 

Pascal  (E.)  —  Théorèmes  barycentriques.  (209-263). 

En    appliquant    les  réi^ullats    du    Travail    précèdent    { Relations    entre    les 


UKVUH    DHS    PUnLICATlONS.  >;! 

ellipses,  etc.)    raiil(!iii-  donne  une  inclliodc  pour  la   rccliorchc   du    barycenire 
d'un  solide  engendré  [)ar  une  aire. 

Del  Re  {yi-)-  —  Nouvelle  construction  de  la  surface  du  5'  ordre 
douée  d'une  courbe  double  du  5'"  ordre.  (9.'j2-:>.'j6). 

On  obLicnL  ceLLc  surface  par  les  intersections  des  plans  d'une  étoile  avec  les 
droites  qui  joignent  les  points  correspondants  de  deux  plans  liomographiqucs, 
liés  projectivement  à  l'étoile.  L'auteur  donne  aussi  la  génération  du  cône  tan- 
gent au  point  triple,  la  construction  et  la  configuration  de  ses  dix  droites,  et 
une  classification  de  ces  surfaces  fondée  sur  la  configuration  de  leurs  droites. 

Fergola   {E .).   —   Nouvelle  détermination  de   la  différence   de 
longitude  entre  Naples  et  Rome.  (278-280). 


'?y  série,  t.  I  (Année  XXVI),  1887. 

Pascal  {E')-  —  Sur  la  construction  du  polygone  régulier  de 
257  côtés.  (33-39). 

Construction  géonnétrique  par  l'application  de  la  méthode  ennployée  par 
Schroter  {Jourtial  de  Crelle,  t.  LXXV)  pour  le  polygone  de  17  côtés,  et  de 
quelques  résultats  analytiques  de  Richelot  {Ibid.,  t.  IX)  relatifs  au  polygone 
en  question. 

Del  Pezzo  (P-)-  —  Sur  une  propriété  fondamentale  des  surfaces 
et  des  variétés  renfermées  dans  les  espaces  de  plusieurs  dimen- 
sions. (40-43). 

L'auteur  a  démontré  ailleurs  que  les  variétés  d'ordre  m,  renfermées  dans  un 
espace  de  n  dimensions,  pour  m  constant  et  n  inférieur  à  une  certaine  limite, 
ou  bien  pour  n  constant  et  m  supérieur  à  une  certaine  limite,  sont  toutes 
réglées.  Ici,  il  complète  ce  résultat  en  déterminant  ces  limites. 

Emery  (G.).  —  Sur  la  position  de  l'axe  central  des  moments  des 
quantités  de  mouvement  dans  un  système  matériel  rigide  animé 
d'un  mouvement  sphérique.  (97-100). 

En  assimilant  à  un  S3^stème  de  forces  le  complexe  des  quantités  de  mouve- 
ment, on  peut  les  composer  en  les  réduisant  à  une  dyname  équivalente.  L'axe 
central  de  celle-ci,  ou  axe  des  quantités  de  mouvement,  a  des  propriétés  re- 
marquables. 

Capelli  (A.).  —  Observations  sur  les  relations  qui  peuvent  avoir 
lieu   identiquement    entre   les  oj^érations  invariantives.    (iio- 

1 1  5  ) . 


272  SliCONDIi   PARTIH. 

Étant  D^.^,,  U  ,  ....  les  opérations  élénicnlaircs  entre  plusieurs  séries  de  va- 
riables (  D  ,,  =  7,  -r 1-  (I 1-. . .  ),  r»)|)ération  la  plus  générale 

où  F  est  le  symbole  d'une  fonction  rationnelle  entière  à  coefficients  constants, 
dépend  aussi  de  l'ordre  des  D  en  chaque  terme  du  développement.  Il  s'ensuit 
de  là  que  certaines  propriétés  des  fonctions  rationnelles  entières  n'ont  plus 
lieu  lorsqu'on  remplace  les  variables  par  les  D^^,  tandis  que  certaines  autres 
propriétés  sont  conservées.  De  ce  dernier  nombre  est  la  suivante  :  Si  le  pro- 
duit A,  A,  de  deux  opérations  est  identiquement  nul,  un  des  facteurs  au  moins 
doit  l'être  aussi. 

Pannelli  [M.).  —  Sur  les  transformations  multiples  involutives 
de  deux  espaces.  (i53-i()i). 

La  correspondance  est  établie  en  prenant  trois  faisceaux  de  surfaces  dans 
l'un  des  deux  espaces,  et  trois  faisceaux  dans  l'autre,  liés  projectivement  aux 
premiers. 

Del  Re  (A.).  —  Corrélations  qui  transforment  la  quartique 
gauche  à  deux  inflexions  en  la  développable  de  ses  plans  bitan- 
gents.  (167-172). 

Les  couples  des  points  de  contact  des  plans  bitangents  se  correspondent  ho- 
mograpliiquement.  Les  génératrices  de  la  développable  coupent  les  faces  du 
tétraèdre  des  tangentes  trisécantes  et  des  unisécantes  appuyées  à  ces  tangentes, 
suivant  des  groupes  projectifs  de  rapport  anharmonique  donné.  Après  avoir 
démontré  ces  propriétés,  l'auteur  trouve  la  représentation  paramétrique  de  la 
développable  bitangente,  et  il  en  déduit  toutes  les  corrélations  ayant  la  pro- 
priété indiquée  dans  le  titre.  Il  y  en  a  deux  séries.  Celles  de  l'une  sont  toutes 
des  polarités;  dans  l'autre,  il  n'y  a  que  deux  polarités. 

Pascal  {E .).  —  Sur  un  nouveau  symbole  dans  la  théorie  des 
formes  binaires  à  deux  séries  de  variables.  (200-206). 

L'auteur  indique  par  (     \  l'échange  de  a  avec  6,  et  par  (      j  l'échange  de  a 

avec  y  en   un  seul  facteur  a^  combiné  avec  un  seul  facteur  b^  dans  une  ex- 
pression 

Comme  on  a 

a^b^-\-  {xy){ab)  =  a.b^, 
il  est 

Au  moyen  de  ce  nouveau  symbole,  la  formule  de  Gordan,  qui  donne  le  dé- 
veloppement de  la  forme  en  une  série  ordonnée  par  les  puissances  de  {xy), 
et  dont  les  coefficients  sont  des  polaires,  s'obtient  comme  une  identité  numé- 


lU-VUli    DIîlS    PUBLICATIONS.  ^y'i 

riiiuo  oiilrc  ccrlaines  C()riil)iii;iis(»ns  de  cocfficicnls  Miioiiiiiiux.  l/aiilciii'  dcdiiiL 
aussi  le  lliéorème  rclalil'  aux  formes  symclii(|ucs  par  lappoit  aux  deux  séries 
(le  variables,  dont  le  développement  ne  contient  que  les  puissances  paires  de 
(;ry),  quelques  relations  entre  les  coefficients  a-^'  de  la  formule  de  Gordan, 
et  enfin  un  nouveau  développement  par  les  puissances  de  (xy),  dont  les  coef- 
ficients ne  sont  pas  des  polaires. 

Ainodco   {F.).  —  Stir  un  connexe  particulier  (  2,  2).  (216-220). 
Knoncés  sans  démonstrations. 

Capelli  (A.).  —  Détermination  des  opérations  invariantives, 
entre  deux  séries  de  variables,  permutables  avec  toute  autre 
opération  de  même  espèce.  (236-242). 

liftant,  comme  dans  les  autres  travaux  du  même  auteur  sur  ce  sujet, 


^                â               â 

) 

et  si 

l'on  pose 

D..-I-D,,  =  K, 

et 

D,,D..+  D,..,-D^,D,^ 

=  D..D^.^+D^.^,-D,^D,,= 

H, 

on  a  que  l'opération  la  plus  générale  entre  les  deux  séries  x  et  y,  permutable 
avec  toute  autre  opération  entre  les  mêmes  séries,  est  exprimée  par 

A  =  F(K,  H), 

F  étant  le  symbole  d'une  fonction  rationnelle  entière  à  coefficients  constants 
arbitraires. 

Pascal  {E .).  —  Sur  une  méthode  pour  exprimer  une  forme  in- 
variantive  quelconque  d'une  binaire  cubique  par  celles  du  sys- 
tème complet.  (245-201). 

L'auteur  décompose  la  forme  fondamentale  en  ses  facteurs  linéaires,  et  éta- 
blit le  type  des  termes  dont  se  compose  une  forme  invariantive  de  la  cubique 
au  moyen  des  coefficients  de  ces  facteurs,  il  exprime,  par  ces  mêmes  facteurs, 
les  formes  du  système  complet,  et  introduit  ces  expressions  dans  celle  de  la 
forme  invariantive  donnée. 

Fergola  {E.).  —  Positions  apparentes  de  quelques  étoiles  de 
VEridanus  observées  au  cercle  méridien  de  Repsold  à  l'obser- 
vatoire royal  de  Capodimonte.  (251-257). 


274  SECONDIi   PARTIK 


T.  II  (Année  XXyiI),  1888. 

Del Re  {A.).  —  Sur  certains  sjstùmes  de  quarliqucs  et  scxliques 
dcveloppables  qui  se  présentent  dans  les  transformations  li- 
néaires d'une  certaine  quartique  gauche  en  elle-même.  (3^-45). 

C'est  la  quartique  gauche  de  2*  espèce,  dans  laquelle  les  points  de  contact 
des  plans  tangents  stationnaires  coïncident  deux  à  deux.  Trois  homographies 
étant  données,  qui  changent  la  courbe  en  elle-même,  l'auteur  trouve  l'enve- 
loppe des  plans  déterminés  par  les  trois  points  de  la  courbe  correspondant  à 
un  même  point  dans  les  trois  homographies.  Il  résout  aussi  cet  autre  pro- 
blème :  «  Ayant  obtenu  l'enveloppe  précédente,  chercher  les  transformations 
d'ordre  minimum,  qui  la  changent  en  la  courbe.  » 

Pascal  {E.).  —  Sur  une  application  de  la  méthode  pour  expri- 
mer une  forme  invariantive  d'une  binaire  cubique  au  moyen  de 
celle  du  système  complet.  (67-72). 

Expression  de  la  résultante  d'une  cubique  et  d'une  /2''i"^  au  moyen  des  com- 
posés (  Ueberschiebungen)  des  deux  formes  entre  elles.  Application  au  cas 
d'une  cubique  et  d'une  quartique. 

Masoni  {U.)  —  Sur  une  nouvelle  formule  proposée  pour  le  cal- 
cul de  la  portée  dans  les  bouches  à  barrage.  (73-79). 

Marcolongo  (/?.)•  —  Sur  la  représentation  conforme  de  la 
pseudo-sphère  et  ses  applications.  (111-117). 

Nannel  {E.).  —  Les  surfaces  hypercycliques.  (i  19-121). 

Montesano  {D.).  —  Sur  la  courbe  gauche  du  5"  ordre  et  de 
genre  i .  (i  81-188). 

Capelli  {A.)  —  Sur  une  loi  de  réciprocité  pour  les  opérations  in- 
variantives  entre  deux  séries  de  variables  /i-aires.  (189-194)- 

Del  Re  (A.).  —  Les  surfaces  polaires  conjointes  par  rapport  à  un 
connexe  de  plans  et  de  droites  et  à  une  surface  algébrique  fon- 
damentale. (349*362). 

Etant  donnés  un  connexe  algébrique  de  plans  et  de  droites,  une  surface  algé- 
brique {fondamentale)  et  un  point  {fondamental),  l'auteur  cherche  le 
lieu  des  points  tels  que  le  plan  polaire  de  chacun  d'eux  par  rapport  à  la  sui'- 
face  fondamentale  soit   un  des  plans  tangents  de  l'enveloppe  qui.  dans  le  con- 


llKVUli:    13KS   PUnLlCATIONS.  'xji 

ncxe  (lonnro  corrospoiul    à  la    ilroiLc  joignaiiL  If  rnctiic  point  au  point  fonda- 
iiuMilal. 

M ar colonisa  {II.).  —  Sur  réciiiilibro  d'un  (il   llcxible  cL  incxlen- 
siblc.  (3()3-3()8). 

L'auteur  obtient  les  équations  d'équilibre  sous  une  forme  tout  à  fait  ana- 
logue à  la  forme  liamiltonienne  des  équations  du  mouvement.  Comme  applica- 
tion de  ses  résultats,  l'auteur  traite  le  cas  de  la  cliaînelte. 

Pascal  (E.).  —  Stir  quelques  formes  invariantives  du  système 
de  deux  binaires  bic[iiadratiques.  (402-409). 

litant  /',  9  les  deux  formes  biquadratiqucs,  et 

16 


p  =  4(7,9),         a=:--(/,  9)', 


y 


5'  =  (p,  p)'+^(p,  ^)'-^^% 


l'auteur  donne  l'expression,  au    moyen  des   formes  fondamentales,  de  l'inva- 
riant 


et  du  covariant 


I^=(P,  P)^-7^(<^.  ^)% 


®  =-{?,gY-  T7^&  +  ip- 


10 


Marcolongo  {H.).  —  Sur  le  théorème  de  Poisson.  (4  19-423). 

Si  dans  un  problème  de  Mécanique  existe  l'intégrale  des  aires  relative  à  l'un 
des  plans  coordonnés  et  l'intégrale  du  centre  de  gravité  relative  à  l'un  des 
axes  de  ce  plan,  il  existera  aussi  l'intégrale  analogue  relative  à  l'autre  axe  du 
même  plan. 

Del  Re  {A.).  —  Sur  les  systèmes  polaires  réels  bitangents  à  des 
systèmes  polaires  réels  donnés.  (424-429)- 

L'auteur  traite  la  théorie  géométrique  des  coniques  bitangentes  à  deux  co- 
niques données;  en  représentant  les  solutions  imaginaires  suivant  les  vues  de 
Standt.  Au  lieu  d'une  conique  (réelle  ou  imaginaire),  il  considère  le  système 
polaire  correspondant,  en  se  bornant  au  cas  où  ce  système  est  réel,  c'est-à-dire 
où  tout  point  réel  a  une  polaire  réelle  et  réciproquement.  Deux  de  ces  sys- 
tèmes sont  bitangents  lorsque  l'homographie  qui  en  est  le  produit  est  une 
homoiogie. 

De  Gasparis  (A.).   —   Observations  de  la  comète  1888,  a  (Sa- 
werthal)  faites  à  l'observatoire  royal   de  Gapodimonte.   (44o- 

442). 

Marcolongo  (/?.). —  Sur  la  variation  d'une  intégrale  définie  et 


276  SECONDE   PAHTIF. 

sur  la   ihcoric   des   équations   aux  déiivécs   du   j)rcinicr  ordre. 
(5oo-5o8). 


Étant 


on  a 


U  =    f    '  V  clx, 
ù\J  =  SV  d.T  +  /     V 


ex. 


L'auteur  applique  cette  formule  à  la  recherche  de  la  variation  de  la  fonc- 
tion caractéristique  de  Ilamilton,  et  établit  le  théorème  de  Jacobi,  par  lequel 
l'équation  aux  dérivées  partielles  du  premier  ordre,  satisfaite  par  la  fonction 
caractéristique,  a  une  intégrale  complète,  que  l'on  peut  calculer  au  moyen 
d'une  intégrale  définie,  après  avoir  intégré  les  équations  canoniques  du  mou- 
vement. Ce  procédé  de  Jacobi  présente  un  cas  d'exception  lorsque  le  détermi- 
nant fonctionnel 

A  _  V  -h  -^     ^^^  ^'^i^    -  n 


àp'^^^  dp^^'     dp\; 


les  q^  étant  les  coordonnées  du  système,  et 

dans  ce  cas,  l'auteur  obtient  la   solution  sous  la  forme  donnée  par  Mayer,  en 
additionnant  à  l'intégrale  définie 


ra^i^-")- 


une   fonction   arbitraire   des  constantes  d'intégration,    et   en   la    déterminant 
d'une  manière  convenable.  Enfin,  il  résout  les  problèmes  suivants  : 

«  1°  En  connaissant  deux  solutions  complètes,  déduire  l'une  de  l'autre.  » 
«  2°  D'une  solution  générale  déduire  une  solution  complète  donnée.  » 


T.  III  (Année  XXVIII),  1889. 

Del  Pezzo  (P.).  —  Équation  d'une  courbe  du  cinquième  ordre 
douée  de  cinq  rebroussements.  (46-49). 

Capelli  (A.).  —  Sur  certains  développements  de  déterminants. 

(58-63). 

De  Gasparis  (A.).  —  Notices  relatives  à  quelques  appareils  au- 
torégistrateurs  existant  dans  l'observatoire  royal  de  Capodi- 
monte.  (64-69). 


llKVUl!:    DES   PUBLICATIONS.  277 

linttdi^lim'  {G.).  —  Nolicc  nécrologicjiKî  de  A.  (jcnocclii.  (79). 

I*irott(Uifi i^G.).  —  Sur  la  conslniction  des  courbes  dans  l'espace. 

(87-95). 

On  peut  (Irterminer  une  couiho  [)lanc  en  connaissant  les  coordonnées  ortho- 
gonales en  fonction  de  l'arc,  et  une  courbe  gauche  en  connaissant  les  coor- 
données en  fonction  de  l'arc  de  la  projection  sur  l'un  des  plans  coordonnés. 

Marcolongo  (/?•)•  —  Quelques  théorèmes  sur  les  fonctions  cy- 
lindriques de  première  espèce.  (96-99). 


On  a 

r 

puis  en  supposant 


]„{ax)  J„_,(a^)  dx  _  J,.(^)  J„t,(<^0  —  <^J»-.(«)  J„+/^)  —  a  Pgi  a) 
X  in  —  I 


on  a  aussi 


'     rf.l„(«^)  dJ„(Aa;)    ._  ,    .„    /''.I,.(«ar)J„(é«) 


Jo  ^^  ^^^  Jq 


X 


dx  =  0, 


et  pour  a  =  b 

L'auteur  généralise  aussi  ces  deux  dernières  relations  en  considérant,  au  lieu 
des  fonctions  cylindriques,  les  fonctions  P„. 

Del  Re  {A.).  —  Sur  les  réciprocités  birationnelles  nulles  dans  le 
plan.  (101-107). 

Padelletti.   —   Sur  la    composition   graphique    des  forces   dans 
l'espace,  (i 25-i 27). 

Marcolongo  (i?.).  —  Sur  certains  systèmes  d'équations  aux  dé- 
rivées partielles.  (i49-i56). 

L'auteur  donne  le  développement  en  série  d'une  fonction  K  qui,   dans  un 
espace  indéfini  limité  par  un  plan  indéfini,  satisfait  à  l'équation 

A^  K  =  F, 

et  prend  des  valeurs  données  arbitrairement  sur  le  plan  limite,  la  fonction  F 
satisfaisant  dans  le  même  espace  à  l'équation  A"F  =  o.  Il  fait  aussi  dépendre 
de  ce  problème  celui  de  l'intégration  d'un  certain  système  de  trois  équations 
aux    dérivées  partielles,   ainsi    que    l'inlégration  d'un   autre  système  rencontré 


•Î78 


SECONDE   PAUTIE. 


par  Lamé  dans  réluclc  de  l'c([uilibre  d'élaslicilc  d'un  corps  isotrope  liniilc  par 
deux  splièrcs  concentriques. 

Marcolongo  (/?•)•  —  Equilibre  d'élasticité  d'un  corps   isotrope 
indéfini  limité  par  un  plan  indéfini.  (2o5-2ir>.). 

En  appliquant  les  résultats  qu'il  a  obtenus  dans  ses  deux  travaux  précé- 
dents {voit'  ci-dessus),  l'auteur  montre  que  la  métliode  suivie  par  Lamé  pour 
le  cas  d'un  corps  limité  par  deux  sphères  peut  être  appliquée  au  cas  en  ques- 
tion, 

Capelll  (/4-)-  —  ^^^'^  '"^   théorie  de  Iliemann  des  fonctions  abé- 
liennes.  (236-242). 

L'auteur  apporte  quelffues  modifications  à  des  démonstrations  de  Neumann 
dans  l'Ouvrage  :  Vorlesungen  ûber  liiemann's  Théorie  der  AOel'schen  Inté- 
grale. 


BULLETIN  DE  LA  Société  mathématique  de  France. 

Tome  XXI;  1898  (»). 

Picard.    —   Sur  les   transformations  birationnellcs  des  courbes 
algébriques  en  elles-mêmes.  (i-3). 

L'auteur  démontre  d'une  manière  immédiate  ce  théorème  énoncé  comme  très 
probable  par  M.  Klein,  qu'il  ne  peut  y  avoir,  lorsque  le  genre  est  plus  grand 
que  I,  une  infinité  discontinue  de  transformations  birationnellcs  d'une  courbe 
en  elle-même. 

Il  s'appuie  sur  un  théorème  de  M.  Schwartz,  d'après  lequel  une  courbe  de 
genre  supérieur  à  l'unité  ne  peut  admettre  une  infinité  de  transformations  bi- 
rationnellcs en  elle-même  dépendant  d'un  paramètre  arbitraire,  théorème 
dont  M.  Picard  a  donné  d'ailleurs  une  démonstration  très  simple,  fondée  sur 
la  considération  des  intégrales  de  première  espèce. 

D^Ocagne.  —  Sur  les  suites  récurrentes.  (3). 

Toute  fonction  algébrique  entière  des  intégrales  de  plusieurs  suites  récur- 
rentes est  elle-même  l'intégrale  d'une  suite  récurrente. 

Corollaii-e.  —  Les  puissances  [jl'^"''"^  des  nombres  entiers,  pris  dans  leur  ordre 
naturel,  forment  une  suite  récurrente  dont  le  polynôme  générateur  est  {x  —  i)-i*. 

Hujnberl.  —  Sur  une  propriété  des  cônes  du  second  ordre.  (3-4). 


(•)  Voir  Bulletin,  XVIII^,  p.  igi 


HEVUH   DES   l'UBLICATIONS.  9.79 

Le  loni;  (le  loulc  courbe  ;ilf;él)ri(|ue  (raréc;  sur  un  cône  du  second  ordri;,  on 
penl  circons(M'ire  au  cnne  une  surface  alfi;él)ri(|ue  ne  coupant  pas  le  cône  en 
dehors  de  la  c.ouihe  considérée. 

Cette  propriété  n'appartient  ni  aux  (luadricjucs  générales  ni  aux  cônes  d'ordre 
supérieur. 

Ilaton  de  la  Goupillièrc.  —  Théorème  sur  le  centre  des  moyennes 
dislances,  (i^-8). 

Considérant  un  polygone  plan  quelconque  de /^  côtés,  on  réunit  consécutive- 
ment ses  soninncts  de  k  en  /r  par  des  cordes  de  jonction.  Sur  ces  diverses  cordes 
on  construit  des  [)olygones  de  p  côtés,  tous  semblables  entre  eux,  mais  d'ailleurs 
sans  aucune  relation  avec  la  forme  du  proposé.  Le  centre  des  moyennes  dis- 
tances des  np  sommets  de  ces  n  polygones,  sera  toujours  le  même  que  celui 
des  n  sommets  du  proposé, 

Demoulin. —  Sur  une  classe  particulière  de   courbes  gauches. 

(8-i3). 

M.  Demoulin  a  démontré  antérieurement  le  théorème  suivant  : 

«  Lors  du  déplacement  du  trièdre  principal  relatif  à  une  courbe  à  torsion 
constante,  l'axe  hélicoïdal  instantané  décrit,  par  rapport  à  ce  trièdre,  un  conoïde 
de  Plucker.  » 

Depuis,  M.  Mannheim  a  étendu  ce  théorème  aux  courbes  de  M.  Bertrand. 
Actuellement,  M.  Demoulin  se  propose  de  trouver  toutes  les  courbes  jouissant 
de  cette  propriété.  Elles  sont  comprises  dans  la  formule 


A        B 

C         D 

1 

1-  —  =  0 

p         x^ 

px        p^ 

où  A,  B,  C,  D  désignent  des   constantes,  p  et  x  les  rayons  de  courbure  et  de 
torsion. 

L'hypothèse  B  =  o  donne  les  courbes  de  lAL  Bertrand.  L'hypothèse  C  =  o 
constitue  la  solution  générale  du  problème  suivant  : 

En  un  point  O  d'une  courbe  (F),  on  mène  une  normale  OA  faisant  un  angle 
constant  avec  la  normale  principale  à  la  courbe  (T)  en  ce  point.  On  demande 
de  trouver  toutes  les  courbes  (F)  telles  que  les  droites  OA  soient  les  binormales 
d'une  autre  courbe  (F'). 

Chemin  faisant,  l'auteur  rencontre  des  formules  qui  permettent  de  résoudre 
un  certain  nombre  de  problèmes  relatifs  aux  courbes  gauches,  entre  autres 
celui-ci  : 

En  un  point  0  d'une  courbe  gauche  (F),  on  mène  une  normale  OA  faisant 
avec  la  normale  principale  un  angle  constant.  Trouver  toutes  les  courbes  (F) 
pour  lesquelles  les  droites  OA  seront  les  normales  principales  d'une  autre 
courbe  (F'). 

Ilambert   (G.).   —  Expression  de  quelques  aires  sur  le  parabo- 
loïde  elliptique.  (i3-i6). 


i8o  SrîCONDK    PAUTin. 

Soit  un  cône  de  révolution  circonscrit  au  paraboloïde  elliptique 

Y»        /^ 

1 h  2  X  =  o  {p>  o,  rj>o,  p>  rj); 

P  Ç 

son  sommet  est  dans  le  plan  Y  =  o;  désignons  par  x  cl  z  ses  deux  autres  coor- 
données, et  supposons,  par  exemple,^  positif. 

L'aire  a  de  la  calotte  du  paraboloïde,  qui  a  pour  base  le  plan  polaire  du 
sommet  du  cône,  est  une  fonction  entière  du  troisième  degré  de  z,  et  elle  est 
donnée  par  la  formule 


P'ip-Q) 


\^^ à  "^ -'-i^p-nY^-  \'^pq- 


Cette  formule  est  bien  plus  simple  que  celle  qui  exprime  (à  l'aide  des  fonc- 
tions elliptiques)  l'aire  d'une  calotte  ellipsoïdale  limitée  par  une  conique  le 
long  de  laquelle  le  cône  circonscrit  à  l'ellipsoïde  est  de  révolution. 

Humbert  (G.).  —  Expression  de  quelques  nouvelles  aires  sur  le 
paraboloïde  elliptique.  (17-19). 

M.  Humbert  exprime,  à  l'aide  des  fonctions  elliptiques,  l'aire  comprise  sur 
un  ellipsoïde  entre  les  deux  boucles  de  la  courbe  de  contact  de  la  dévelop- 
pable  circonscrite  à  l'ellipsoïde  et  à  une  splière,  le  centre  de  la  spbcre  étant 
supposé  sur  un  des  axes  de  la  quadrique. 

Si  l'on  applique  cette  formule  au  paraboloïde  elliptique,  les  fonctions  ellip- 
tiques disparaissent. 

L'aire  s  comprise  sur  le  paraboloïde  elliptique 

h   —  +  2^  =  O, 

P         9 

entre  les  deux  boucles  de  la  courbe  de  contact  de  la  développable  circonscrite 
au  paraboloïde  et  à  une  spbère  de  rayon  R,  ayant  son  centre  sur  l'axe  du  para- 
boloïde à  une  distance  l^  du  sommet,  est  exprimée,  en  fonction  rationnelle 
de  R  et  de  Z^,  par  la  formule 

R      r  Fi'  "1 

s  =  2TZ-j—^  \'ip'q^+-il^pq{p-\-q)+  —(3/?^+ 3^^+  -ipq)    . 

p-'  q'  L  ■'  J 

Godefroy.  —  Sur  les  courbes  de  Lamé.  (^o-aS). 

La  note  de  M.  Godefroy  est  relative  aux  rayons  de  courbure  des  courbes  de 
Lamé  et  de  leurs  développées.  Ce  sujet,  que  l'auteur  a  déjà  traité  dans  le  Journal 
de  l'École  Polytechnique  (LXII*  cahier),  peut  être  abordé  d'une  manière  plus 
simple,  et  le  résultat  lui-même,  dans  le  cas  des  développées,  peut  être  présenté 
sous  une  forme  nouvelle. 

Cellérier  (G.).  -^  Sur  les  principes  généraux  de  la  Thermody- 
namique et  leur  application  aux  corps  élastiques.  (26-43). 

Les  recherches  de  ^L  G.  Cellérier  ont  pour  but  de  déterminer  les  équations 


HKVUH    DHS   iniinjCATIONS. 


■>..s  I 


f^éiUMiilcs  (|(ii  pciiiictlciil  d'iiil  rodiiiic,  dans  l'rliidt;  des  corps  (dast  iini(;s,  les 
tenues  d'oidre  sii|>(  rien  r  an  premier  pai'  r-ap|)Oil,  an\  f;raiid(Mirs  des  déforma- 
tions. Les  préliminaires  soiiL  consacr(''s  a  (|uel(iues  lln-orémcs  relatifs  à  l'emploi 
des  piinei|)es  lliermi(incs,  en  vue  de  préeistu'  le  nombre  et  le  choix  des  va- 
riables indépendanles. 

L'auteur  elierebe  ensuite  la  valeur  du  travail  inrinit(;simal  développé  par  Vr- 
lément  de  volume  d'un  corps  parfaitement  élasti(iuc.  quand  il  [)assc  d'un  état 
déjà  déformé  à  un  état  in(inim(;nt  voisin. 

Soient  x^^y  ,}'„,  3„  les  coordonnées  initiales  d'un  point  matériel  du  système. 
Les  coordonnées  actuelles  x,  y,  z  dépendent  de  a?,,,  y^,  z^  et  d'un  certain  nombre 
de  paramètres  a,  fl,  ... 

^=  I^C-a?,,  Jo,  ^„,  a,  p,  ...), 
Si,  pour  abréger,  on  pose 


dxj 

^3, 

dx' 

^^^-  dy: 

f)F 
^--"~  âz„ 

^   =  ?.r  %  7..  +  ?v  '^-..  Zx  H-  ?.  ^x-  Zj 

—   =?.x-  "^^^  Zy  —  '-?y  't^x  Z.  -  9.  ^y  Z  r» 

on  aura  pou^'  expression  du  travail  élémentaire  clL, 


dL 


Pxr 


d\ 


d\ 


Jr^^y^J      fx 


u^  désignant  le  volume  spécifique   initial    au   point  x^,  y^,  z^,  et  p^^^  ...    les 
pressions  élasti(iues. 

En  appliquant  à  cette  expression  les  considérations  préliminaires,  on  peut 
déterminer  la  forme  la  plus  générale  de  la  fonction  caractéristique,  celle  des 
pressions,  et,  par  suite,  celle  des  équations  de  l'équilibre  intérieur  d'un  corps 
élastique  homogène  inégalement  déformé  en  ses  divers  points,  sans  restriction 
aucune  sur  l'ordre  de  grandeur  des  déformations. 

Mangeât.    —   De   quelques    propriétés   des   cubiques   planes    et 
gauches.  (44-48). 

Si  l'on  prend  comme  triangle  de  référence  le  triangle  formé  par  trois  droites 
parallèles  aux  trois  asymptotes,  l'équation  de  la  courbe  peut  s'écrire 


xyz  H-  9  =  o, 
Bull,  des  Sciences  matliéin.,  T  série,  t.  \I\.  (Déceuibre  i8y5.) 


W . .'.  i 


•2  8  2 


SliCONDE   PARTIE. 


o  élant  une  fonclion  du  sorond  degré  où  figurent  les  liois  paramètres  qui 
fixent  la  position  du  triangle  de  référence  par  rap[)ort  à  celui  des  asymptotes. 
On  peut  disposer  de  ces  trois  paramètres  de  manièi'e  à  faire  disparaître  trois 
termes  delà  fonction  cp.  Parmi  les  formes  auxquelles  cette  opération  ramènent, 
les  trois  plus  intéressantes  sont 

lyz  -h  mzx  -h  nxy,     l x^ -\- oi y" -h  n z^ ,     lx^-\-  my^-h  n, 

qui  peuvent  être  obtenues  respectivement  de  3,  12  et  4  manières.  Les  diverses 
formes  que  l'on  peut  ainsi  donner  à  l'équation  d'une  cubique  plane  mettent  en 
évidence  diverses  propriétés  de  ces  courbes,  propriétés  qui  peuvent  être  étendues 
aux  cubicjues  gauches. 

Schlegel.  —  Sur  le  théorème  de  M.  Halon  de  la  Goupillière  re- 
latif au  centre  des  moyennes  distances.  (49-5  1). 

Bioche.  —  Sur  les  normalies  des  courbes.  (5i-52). 

Si  deux  normalies  (surfaces  engendrées  par  des  normales  à  une  courbe)  ont 
ême  courbure  tout  le  long  de  leur  directrice,  elles  se  coupent  sous  un  angle 
)nstant  (c'est  la  propriété  bien  connue  des  normalies  développables),  ou  bien 
elles  admettent  pour  bissectrices  des  normalies  développables. 

Si  deux  normalies  se  coupent  sous  un  angle  constant,  elles  ont  même  cour- 
bure tout  le  long  de  leur  directrice. 

En  particulier,   si    l'une  est   développable,    l'autre,   comme   on   le  sait,  l'est 
aussi. 


m 

co 


Genty  [Max).  —  Sur  les  involutions  linéaires.  (52-55). 

L'auteur  établit  un  théorème  qui  résout  dans  toute  sa  généralité  le  problème 
des  points  multiples  d'une  involution  linéaire. 

Carvallo.  —  Théorie  du  pied  équillbrlste  du  gyroscope  Gervat. 

(55-6i). 

Le  pied  équilibriste  est  formé  d'un  fil  métallique  de  i'"'",5  de  diamètre  en- 
viron. Il  se  compose  d'un  demi-cercle  vertical  muni,  au  bas,  d'un  appendice 
qui  a  pour  but  de  le  faire  reposer,  sur  le  plan  horizontal,  par  une  partie  recti- 
ligne  et  perpendiculaire  au  plan  du  demi-cercle.  Aux  deux  extrémités  de  la 
demi-circonférence,  le  fil  est  doublement  recourbé  de  façon  à  former  deux 
coussinets  qui  reçoivent  les  extrémités  de  l'axe  de  la  toupie  gyroscopique. 
Dans  cette  position,  le  plan  moyen  du  tore  de  la  toupie  passe  par  la  partie 
rectiligne  du  pied. 

Si  la  toupie  tourne  sur  elle-même  avec  une  grande  vitesse  (environ  5o  tours 
par  seconde),  le  système  semble  être  en  équilibre  stable;  de  là  le  nom  de 
pied  équilibriste.  En  réalité  le  pied  exécute  autour  de  la  position  apparente 
d'équilibre  des  oscillations  manifestées  par  un  son. 

Tels  sont  les  faits  que  M.  Carvallo  explique  par  la  théorie  en  négligeant  les 
frolterncnls. 

De  sou  analyse  il  résulte  que  le  mouvonient  apparent  esl  une  rotation  autour 


HKVUK  nKS  PUBLICATIONS.  vHÎ 

(le  la  verticiiir.  (Icltc  roLiilion,  inscnsiMt;  (|iiiiii(l  !(;  pied  csL  presque  vertical, 
est  accotiipagnée  de  deux  vibrations  l'une  autour  de  la  verticale,  l'autre  autour 
de  la  partie  rectilipnc  du  pied.  Ce  sont  ces  violations  qui,  par  le  jeu  des  forces 
centrifuges  composées,  maintiennent  l'équilibre  apparent. 

Perott.  —  Sur  les  groupes  de  (ialois.  (61 -(>;)). 

M.  Perott  montre  comment  il  est  possible  d'engendrer  cliacun  des  trois 
groupes  de  Galois  au  moyen  de  trois  opérations  appartenant  à  l'exposant  2,  ou 
opérations  réciproques,  comme  les  appelle  Listing.  L'auteur  s'aj)puie  sur  les 
deux  Icmmes  suivants  : 

1°  Deux  opérations  réciproques  commutatives  non  identiques,  faisant  partie 
d'un  groupe  associatif  quelconque,  engendrent  un  sous-groupe  d'ordre  4; 

1°  Deux  opérations  réciproques  non  commutatives  a  et  6,  faisant  partie  d'un 
groupe  associatif  quelconque,  engendrent  un  sous-groupe  dont  l'ordre  est  le 
double  de  l'exposant  toujours  supérieur  à  2  auquel  ab  appartient. 

Lucas  {F.).  —  Sur  la  nature  des  grandeurs  magnétiques  et  élec- 
triques. (67-69). 

Raffy.  —  Sur  une  nouvelle  classe  de  surfaces  isolliermiques  et 
sur  les  surfaces  déformables  sans  altération  des  courbures  prin- 
cipales. (70-7  i). 

Parmi  les  surfaces  déformables  sans  altération  des  courbures  principales, 
surfaces  dont  0.  Bonnet  a  donné  l'énumération  complète,  figure  une  classe 
étendue  dont  l'élément  linéaire  dépend  de  deux  fonctions  arbitraires,  l'une  X 
de  X,  l'autre  Y  de  y, 

X'Y' 

cis'  =  -{x-hyY  ,^_^YY  ^^^  ^^' 

ÎNL  Raffy  montre  que  ces  surfaces  ont  leurs  lignes  de  courbure  isotliermes  et 
conservent  cette  propriété  dans  toutes  les  déformations  qui  n'altèrent  pas  leurs 
courbures  principales. 

Il  étend  cette  propriété  à  toutes  les  surfaces  admettant  une  série  de  défor- 
mations qui  n'altèrent  pas  ces  courbures. 

Touche.  —  Transformation  des  équations  générales  du  mouve- 
ment des  fluides.  (72-75). 

Aux  trois  équations  classiques  de  l'Hydrodynamique  l'auteur  substitue  les 
suivantes 

I   dp        ,,       dv,  dv, 

f-    rr:    U ;-    —  V,    --r^ -, 

p   ds  dt  ds 

I   iip  _  f/a,  ,  doi 

p  ds'  '  dl  '  ds 

I   dp  „  d%, 


284 


SKCONDFÎ  PAHTIH. 


où  p  csL  la  (lonsilr  (mi  iiii  point  du  fluide,  p  la  [)iession,  l  !<;  Lcinps,  cls  un  élé- 
ment de  trajectoire,  ds'  un  élément  pris  sur  la  norinalc  et  ds"  un  élément  pris 
sur  la  hinormalc  à  la  trajectoire;  U,  U',  U"  les  projections  des  forces  e\té- 
l'ieures  sur  ces  trois  directions;  v^  la  vitesse.  Quant  aux  inliniiiients  petits  c/a, 
f/a,,  c/a.^  voici  leur  sii;nification.  On  considère  l'élément  de  traj(;ctoire  dr:  qui 
au  bout  du  temps  dt  [)ass(î  [)ar  le  point  considéré  A:  si  l'on  projette  di  sur  le 
plan  osculateur  de  la  trajectoire  au  commencement  du  Ii'iiips  dt,  d'x^  sera 
l'angle  de  cette  projection  avec  Télcnjcnt  ds  et  t/x,^  l'angle  de  l'élément  dz  avec 
sa  projection  sur  le  plan  osculateur.  Si,  à  partir  du  point  A,  on  porte  sur  la  tra- 
jectoire la  longueur  ds^  la  tangente  à  la  trajectoire,  (\\\\  part  de  l'extrémité  de 
cet  axe  fait,  avec  la  tangente  à  la  trajectoire  en  A,  l'angle  infiniment  petit  c/a. 

Kohb.  —  Sur  un  poinl  de  la  théorie  des  fonctions  algébriques  de 
deux  variables.  (76-80). 

Chailan.  —  Sur  le  mouvement  d'un  système  à  liaisons  complètes. 

(81-82). 

Lorsqu'un  système  à  liaisons  complètes  admet  une  position  d'équilibre  in- 
stable, s'il  y  a  une  fonction  des  forces,  le  système  ne  peut  se  fixer  dans  cette 
position  au  bout  d'un  temps  fini. 

Ce  théorème  suppose  toutefois  que  la  fonction  des  forces  soit  développable 
en  série  entière  suivant  les  puissances  de  la  variable  unique  dont  elle  dépend. 

Demoulin.  —  Sur  la  relation  qui  existe  entre  les  courbures  to- 
tales de  deux  surfaces  polaires  réciproques  par  rapport  à  un  pa- 
raboloïde  de  révolution.  (83-84). 

Soient  S  et  S'  deux  surfaces  polaires  réciproques  par  rapport  au  paraboloïde 
de  révolution 

_  x--\-  y''- 


A  un  point  quelconque  IM  de  S  correspond  sur  S'  un  point  M'  pôle  du  plan 
tangent  en  IM  par  rapport  au  paraboloïde.  Par  les  points  M  et  iM'  menons,  pa- 
rallèlement à  l'axe  du  paraboloïde,  deux  droites  rencontrant  celte  surface  aux 

points  A    et    A'.   Cela  posé,  on  a  entre  les  courbures   totales  ?  des 

surfaces  S,  S'  aux  points  M,  M'  la  relation  très  simple 

II,I5^.I{;  lU==i(iK\"  FA'", 
F  étant  le  foyer  commun  à  toutes  les  sections  méridiennes. 

U Ocagiie.  —  Remarque  sur  la  déformation  des  surfaces  de  révo- 
lution. (85-86). 

Parmi  les  cas  d'applicabilité  énumérés  par  A!.  d'Ocagnc,  nous  citons  le  sui- 
vant : 

Si  une  courbe  j)lane,    en    tournant   autour  d'une  droite   D,  située  dans  son 


RRVllIÎ  ORS   PUBLICATIONS.  v.8î 

pliiii,  on^^ciulrc  une  siirliicc  ;i|)|il  iciililc  sur  \n  s|)liri-o,  ccl  l(;  courhn,  en  LoiiiiiaiiL 
autour  de  loiitc  droitr  p.iiallclc  à  l>  cl  aussi  silu(-<;  dans  son  plan,  cti^'cndicra 
une  surface  a|»|diealde  sur  un   lore.  • 

Ai'iwu.v.  —  Tcclinol()i;io  graphique;  appareil  pour  la  décompo- 
silion  (\\\u  polynôme  en  facteurs.  ((Sy-():>. ). 

Dcnwulin.  —  Sur  la  eon«;riiericc  des  axes  centraux  des  complexes 
linéaires  passant  par  trois  droites  données.  (92-96). 

Celle  con^i-ucncc  jouil  d'un  grand  nombre  de  propriélés  inléressanles  qui 
onl  été  mises  en  évidence  par  MAI.  Bail,  Slahl,  VVaeIsch.  M.  Demoulin  en  in- 
dique une  nouvelle  : 

Jointe  à  une  congruence  du  premier  ordre  et  de  la  première  classe,  la  con- 
gruence  en  question  constitue  l'intersection. complète  des  complexes  de  Painvin 
relatifs  à  deux  quadriqucs  dégénérées. 

Sélwanoff.  —  Quelques  remarques   sur  les    équations  du  cin- 
quième degré.  (97-1 09). 

Parmi  les  résultats  particuliers  obtenus  par  l'auteur,  signalons  les  suivants  : 
Les  équations  du  cinquième  degré  de  la  forme 

X'±:  X  -\-  V  ^  o, 

où  V  est  un  entier  positif,  ne  sont  pas  résolubles  par  radicaux,  quand  elles  sont 
irréductibles. 
Les  équations  de  la  forme 

^'+■27  — ^«  =  0         (o<t^<777o) 
ne  sont  résolubles  par  radicaux  que  pour 

c^  =  I,  2,  G,  3^,  246,  1028,  3i3o. 
L'équation 

X-  —  X  —  V  —  o 

n'est  pas  résoluble  par  radicaux  si  v  n'est  pas  multiple  de  i5. 
Si  V  est  un  entier  compris  entre  o  et  7770,  elles  ne  sont  résolubles  que  pour 

V  —  i5,  3o,  240,  1020,  3i2o. 

Lucas  (7^^).  —  Propriétés  d'un  système  de  points  dans  un   plan. 

(109-112). 

L'auteur  considère  dans  le  plan  un  système  quelconque  de  p  points  M  ayant 
pour  affixes  les  racines  de  l'équation 

Les  points  centraux  C  sont  définis  par  la   propriété  qu'aurait  cliacun  d'eux 


286 


SECONDE   PARTIR. 


de  rester  en  équilibre  en  présence  d'aLlraclions  inversement  proportionnelles 
aux  distances  exercées  par  les  points  M  doués  de  l'unité  de  masse. 

M.  F.  Lucas  montre  que  le  produit  des  carrés  des  distances  mutuelles  d'un 
système  de  p  points  M  est  égal  à  pv  fols  le  produit  des  distances  de  ces 
points  M  à  leurs  points  centraux  C. 

En  plaçant  les  points  M  aux  sommets  d'un  polygone  régulier  de  rayon  K,  on 
voit  aisément  que  le  produit  des  carrés  des  distances  mutuelles  des  y?  sommets 
est  égal  à  pvWvif-^). 

Frolov.  —  Sur  les  racines  primitives.  (ii3-i28). 

Euler  croyait  qu'on  ne  pouvait  découvrir  que  par  tâtonnements,  c'est-à-dire 
en  essayant  différents  nombres,  les  racines  primitives  de  module  premier. 
Gauss  a  donné  une  méthode  très  ingénieuse  pour  les  trouver  sans  tâtonnement; 
mais  cette  méthode  est  tellement  compliquée  qu'on  ne  l'emploie  guère.  Poinsot 
proposa  de  déterminer  les  racines  primitives  d'un  module  premier  m  par  l'ex- 
clusion des  résidus  des  puissances  dont  les  exposants  sont  les  facteurs  premiers 
du  nombre  tn  —  i.  Mais  cette  méthode  est  impraticable  dès  que  le  module  est 
un  peu  considérable. 

M.  Frolov  expose  un  procédé  qui  permet  de  découvrir  rapideinenl,  sans 
aucun  essai,  les  racines  primitives  de  la  plupart  des  nombres. 

Touche.  —  Transforma  lion  de  l'équation  de  continuité  en  Hy- 
draulique. (i2g-i3i). 

Genty  {Max).  —  Sur  les  système  collinéaires.  (i3i-i34)- 

Caronnet.  —  Sur  des  couples  de  surfaces  applicables.  (i35-i4o). 

Etant  données  deux  surfaces  applicables  l'une  sur  l'autre,  la  distance  M, M, 
des  points  correspondants  varie  en  général  avec  la  position  de  ces  points  sur 
les  surfaces  auxquelles  ils  appartiennent. 

M.  Caronnet  s'est  demandé  s'il  existait  des  couples  de  surfaces  applicables 
pour  lesquelles  cette  distance  fût  constante.  Il  existe  elTectivement  de  telles 
surfaces;  elles  peuvent  se  diviser  en  deux  groupes  : 

Le  premier  groupe  est  tel  que  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  point 
quelconque  d'une  surface  de  ce  groupe  dépendent  de  deux  fonctions  arbitraires 
d'arguments  différents. 

Les  surfaces  du  second  groupe  sont  réglées  et  se  correspondent  par  généra- 
trices parallèles  et  de  môme  sens;  elles  dépendent  de  deux  fonctions  arbitraires 
d'un  même  argument.  Ces  surfaces  avaient  d'ailleurs  été  signalées  déjà  par 
M.  Bel  tram  i. 

Guyou.  —  Sur  les  équations  du  clapotis.  (i4o-  i44)- 

Dans  le  clapotis  comme  dans  la  houle,  les  molécules  appartenant  à  tinc 
même  couche  horizontale  d'équilibre  sont  réparties  à  chaque  instant  sur  le 
contour  d'une  trochoïde  d'autant  plus  aplatie  que  la  couche  est  plus  profonde 
et  celles  qui  appartiennent  à  une  même  ligne  verticale  sont  situées  à  l'cxlré- 
mité  de  rayons  parallèles  des  cercles  générateurs. 


UKVUE   DKS   FUHIJCATIONS.  V187 

Dans  la  lioiilr,  cliii(|H('  tiiuliMnile  (K'-crit  son  cercle  d'un  imni veiiK'tit  uiiifortno, 
(le  sorte  (jue  les  ondes  Iroclioïdulcs  couserveni  la  même  (orme  el  se  propagerïL 
avec  une  vitesse  constante. 

Dans  le  clapotis,  le  rayon  sur  lequel  se  trouve  chaque  molécule  reste  pa- 
rallèle à  lui-môme  el  la  ujolécule  est  animée  sur  la  direction  de  ce  rayon  d'un 
mouvement  pendulaire.  Il  en  résulte  que,  dans  une  demi-période,  les  couches 
primitivement  horizontales  prennent  la  forme  de  trochoïdes  de  plus  en  plus 
aplaties;  dans  la  demi-période  suivante,  les  trochoïdes  se  renversent,  présentent 
leurs  crêtes  aux  points  où  se  trouvaient  précédemment  les  creux  et  réciproque- 
ment. 

Les  rayons  sur  lesquels  oscillent  les  molécules  ne  restent  pas  immobiles.  Il 
faut,  en  cIVet,  (|ue  chaque  trochoïde  limite  au-dessous  d'elle  un  volume  constant 
et,  par  suite,  (jue  le  centre  du  cercle  générateur  reste  situé  au-dessus  de  la 
couche  (le  repos  à  une  hauteur  égale  au  quotient  de  la  surface  du  cercle  par 
la  longueur  de  l'onde,  c'est-à-dire  à  une  hauteur  proportionnelle  au  carré  du 
rayon.  De  là  résulte  que,  par  rapport  à  des  axes  ayant  pour  origine  la  position 
de  repos  et  dirigés  l'un  verticalement  et  l'autre  parallèlement  au  rayon  de  la 
molécule  considérée,  l'abscisse,  c'est-à-dire  le  rayon,  est  proportionnelle  à  la  ra- 
cine carrée  de  l'ordonnée  :  la  trajectoire  est  donc  une  paraliole  dont  l'axe  est 
vertical. 

M.  Boussinesq  avait  étudié  ce  phénomène  dans  le  cas  où  la  hauteur  des 
ondes  est  petite  relativement  à  leur  longueur  et  avait  donné  des  équations  qui 
satisfont  avec  une  grande  approximation  à  la  condition  de  continuité  et  à 
celle  de  la  surface  libre 

M.  Guyou  montre  qu'en  substituant  une  fonction  elliptique  à  la  fonction 
circulaire  qui  exprime,  suivant  M.  Boussinesq,  le  mouvement  oscillatoire  des 
molécules  sur  leur  rayon  respectif,  on  satisfait  rigoureusement  aux  conditions 
du  problème.  Traduit  géométriquement,  le  mouvement  rectiligne,  au  lieu 
d'être  celui  d'un  point  qui  décrit  un  cercle  uniformément,  est  celui  d'un  point 
qui  circule  le  long  d'une  ellipse  avec  une  vitesse  linéaire  constante. 

On  appréciera  l'importance  de  la  solution  de  M.  Guyou,  si  l'on  se  rappelle 
combien  est  petit  le  nombre  des  problème  d'Hydrodynamique  que  l'on  sait 
traiter  en  toute  rigueur,  en  dehors  de  ceux  qui  concernent  les  petits  mouve- 
ments. Le  seul  mouvement  oscillatoire  des  liquides  dont  on  connaissait  exacte- 
ment les  lois  était  celui  de  la  houle  dans  des  eaux  de  profondeur  infinie. 

Genty  (iMax).  —  Sur  un  théorème  de  Laguerre.  (i45-i4^)- 

Solution  élémentaire  de  ce  problème  autrefois  proposé  par  Laguerre  : 

«  On  donne  sur  une  droite  deux  systèmes  de  trois  points  a,  a',  a"  et  b,  b', 
b"  qui  font  partie  d'une  division  homographique.  Sur  ab  comme  diamètre  on 
décrit  un  cercle  G,  dont  le  sens  est  déterminé  par  la  condition  qu'au-dessus  de 
la  droite  le  point  décrivant  aille  de  a  en  b;  les  segments  a' b'  et  a" b"  déter- 
minent de  même  deux  autres  cycles  G'  et  G".  Si  l'on  trace  un  cycle  tangent 
à  G,  G'  et  G",  démontrer  que  les  points  où  il  coupe  la  droite  sont  les  deux 
points  doui)les  de  la  division  homographique.  » 

MangeoL.  —  Sur  une   propriété  des  surfaces  de  symétrie  d'une 
([uadritpie.  (i46'-i47). 


>88  SlîCONM^Ii:    PAirriIL 

Les  seules  surfaces  qui  soienl  symétriques  pur  rapporta  chacune  des  surfaces 
de  l'une  des  classes 

j>a      y^'\  f  x'^      y'' 


r''\  /       r''^ 


^' 

r' 

-2 

+ 

H- 



:zz: 

^, 

a 

c 

>^, 

- — 

-h 



:zr 

b 

C 

sont  respectivennent  les  quadriques 

a         b 

a,  b,  c  désignant  trois  nombres  donnés,  X  un  paramètre  et  9  une  fonction  ar- 
bitraire. 

Genty  [Max).  —   Des  suites  cjclo-projeclives  de  deuxième  es- 
pèce. (i48-i5o). 

Laisant.  —  Un  théorème  général  de  Mécanique.  (i5i-i54). 

Soit  un  système  matériel  en  mouvement  depuis  le  temps  t^  jusqu'au  temps  t. 
Si  ni  représente  la  masse  d'un  quelconque  des  points  qui  composent  ce  système; 
V  tl  V  les  vitesses  de  ce  point  au  commencement  et  à  la  fin  de  la  période  con- 
sidérée; F  la  force  qui  agit   sur  le  point  .M  ;  F,  une  force  de   même  direction 

f'(v) 
appliquée  au   même  point,  mais  dont  la   grandeur  a  pour  expression  1^' ^ 

f{v)  étant  une  fonction  arbitraire  delà  vitesse;  si  enfin  T,  représente  le  travail 
total  des  forces  F^  pendant  la  période  considérée,  l'accroissement  de  la  fonction 
^"'/(^)  sera  égal  au  travail  T,,  c'est-à-dire  que  l'on  aura 


FIN    Dlî    L\    SECONDE    PARTIE   DU    TOME    XIX. 


TABLES  ^'"^ 


[)KS 


MATIÈRES  ET  NOMS  D'AUTEURS. 

TOftlE  XIX;    1895.  -  SECONDE  PARTIE. 


TABLR  ALPHABÉTIQUE 

DES   MATIÈRES. 


RECUEILS  ACADÉMIQUES  ET  PÉRIODIQUES  DONT  LES  ARTICLES 
ONT  ÉTÉ  ANALYSÉS  DANS  CE  VOLUME. 

Acla  Mathematica.  T.  XIV,  iSgo-gr.  —  T.  XV,  1891.  —  i5-8i. 
Annales  de  la  Société  scienlifique  de  Bruxelles.  i4*  année,  1889-90.  —  6-9. 
Annales  de  l'École  Polytechnique  de  Delft.  T.  I  à  VII,  1885-91.  —  245-25o. 
Archives  néerlandaises  des  Sciences  exactes  et  naturelles.  T.  XXIV-XXVII,  1891- 

1894.  —  250-254. 
Bulletin  de  la  Société  Mathématique  de  France.  T.  XXI,  1893.  —  25o-254. 
Comptes  rendus  hebdomadaires  des  séances  de  l'Académie  des  Sciences.  T.  CVI 

et  CVII,  1893.  —  i5o-22i. 
Journal  de  l'École  Polytechnique.  Cahiers  LX-LXII,  1890-92. 
Mathematische  Annalen.  T.  XXXV,  XXXVI,  1890.  —  23-45. 
Mathesis.  T.  X,  1890.  —  9-i4- 

New  Archief  voor  Wiskunde.  T.  XVII-XX,  1890-93.  —  238-244. 
Nouvelles  Annales  de  Mathématiques.  T.  XII,  1893.  —  1 17-130. 
Rendiconti  del  Circolo  matematico  di  Palermo.  T.  III,  1889.  —  i4o-i5o. 
Sitzungsberichte  der  Kôniglich    preussischen  Akademie  der  Wissenschaften   zu 

Berlin.  2*  semestre  1890;  i^"^  semestre  1891.  —  93-117;  181-204. 
Sccieta  reale  di  Napoli.  Rendiconto  dell'  Accademia  délie  Scienze  fisiche  e  mate- 

niatiche.  T.  I-XXV,  1862-1886  et  2«  série,  t.  I  à  III,  1887-89.  —  i3o-i4o;  254-278. 
The  Quaterly  Journal  of  pure  and  applied  Mathematics.  T.  XXIV-XXVI,  1890-93. 

—  55-68. 
Verhandclingen  der  Koninklijke  Akademie  van  Wetenschappen  te  Amsterdam. 

T.  XVIII-XXVIII,  i879-i89(>  et  nouvelle  série,  t.  I  et  II,  1893-1894.—  230-237. 
Verslag  der  Zittingen  van  de  Wis-en  Natuurkundige  Afdeeling  der  Koninklijke 

Akademie  van  Wetenschappen  te  Amsterdam.  T.  I  et  II,  1893-94.  —  228-230, 
Verslagen  en   Mededeelingen    der    Koninklijke  Akademie  van  Wetenschappen  te 

Amsterdam.  3*  série.  T.  VII,  VIII,  IX,  1890-92.  —  221-227. 
Bull,  des  Sciences  mathém.,  2'  série,  t.  XIX.  (Décembre  1895.)  R.22 


FABLli  \m  NOMS  D'AUTEURS 

PAU  ouniui:  AMMiAiifniQUFî:. 


Cl 


Adcr  (II.)-  '27. 

Adam.  170, 

Albcgsiani  (M.-L.).   i/il- 

Anianzio  (  D.).  iSt). 

Amigues.  iio,  119,  120,  i5g,  iGo. 

Amodco  (F.).  2G3,  2(59,  273. 

Anderson.  89,  70. 

Andrade.  .]6,  176. 
*AngeIitti.  267,  269,  262. 

Appell  (P.).  77,  180. 

Arnoux.  285. 

Artemas-Martin.  6G. 

Askwith  (E.-H.).  55,  5;,  65. 

Audibert.  126,  127. 

Autonne.  5i,  172. 

Baehr(G.-F.-W.).  228,  249. 

Baker  (H. -F.).  55,  57. 

Balitrand.  122,  i25^  126. 

Barisien  (E.-N.).  128,  128,  129,  i3o. 

Battaglini  (E.).   i3(),  i3i,  182,  ]33,  i3J, 
i35,  186,  187,  i38,  189,  277. 

Beltrami  (E.).  i48,  i45,  i55. 

Bennet  (G. -T.).  65. 

Bery  (  F.-J.  van  der  ).  22G,  289,  240,  242, 
248,  25l. 

Berger.  20. 

Bergmann  (E.).  22. 

Bertini  (  E.).  3i,  i4o. 

Bertrand  (J.).  120. 

Berzolari  (L.).  i45. 

Bierens   de   Haan    (D.).    226,    280,    282, 

285. 
Biggin  (T.).  61. 
Bioclie  122,  125,  282. 
Blutel.  i56,  217. 
Bœr  (  F.  de).  225,  254. 
Bonolis  (A.).  i4o. 
Borletli  (F.).  129. 
Bosredon  (V.  Lac  de).  14. 
Bosscha  (J.).  245,246,249,  252,  254. 
Bossut  (L.).  122. 

Boussinesq.  178,  180,  204,  20G,  207,  208. 
Brambilla  (A.).  2G8. 


Brill  (A.).  38,  40,  42,  88,  91. 
l>rillouin.  207. 

lîriosclii  (F.).  19,   182,  2G2. 

Brocard  (  H.).  129. 

BrungaLc  (W.-E.).  59. 

Biirkhardt  (H.).  29,  42. 

Burnside  (W.).  83,  84,  87,  90,  92. 

Cahen.  i52,  iGi. 

Campbelle  (J.-E.).  90,  92. 

Cantow  (A.).  269. 

Capelli  (A.).  2G9,  271,  278,  274,  27G,  278. 

Caponi  (E.).  181. 

Caporali  (E.).  25G,  258,  259,   2G8,  26^,. 

Cardinal  (J.).  224,  284,  247. 

Carey  (F.-S.).  68. 

Caronnet.  175,  219,  286. 

Carrara  (  B.).  9. 

CarLan,  i64,  167. 

Carvallo  (E.).  118,   i2r,  12G,  282. 

Casey  (J.).   11. 

Casorati  (  F.).  16. 

Casorati  (J.),  142. 

Cassel  (G.).  68. 

Castelnuovo  (G.).  i4i,  i45. 

Catalan  (  E.).  10,  11,  12,  78. 

Cayley.  57,  59,  60,  68,  64,  65,  67,  83,  84, 

85,  86,  87,  91,  178. 
Cazamian  (A.).   124. 
Cesâro  (E.).  ro,  12,  128. 
Cellerier  (G.).  281. 
Cels.  i54- 
Chailan.  284. 
Chree  (C).  57, 
Cole  (F.-N.).  68. 
Contarino.  257,  259,  262. 
Cunningham  (Allan).  83,  98. 
Delassus.  212. 
Delens  (P.).  125. 

Demoulin.  i55,  168,  279,  284,  285. 
Denys  (A.).  12. 
Dewulf  (E.).  II,  118. 
Dixon  (A.-C).  55,  56,  66,  84. 
Drach.  171. 


'MJl 

Dyson  (F.).  Hi,  (i'|. 

Ebcrliard  (V.)-  3(i. 

Kdwardcs  (D.)-  ('>■>,  ^7- 

Ekama  (H.)-  '^'|2. 

Klfrinkhof  (L.)-  2^:?,  2/|;}. 

KlIioL.  17^1. 

Eniery  (G.).  271. 

End  (VV.).  26. 

Engel.  i65. 

Engclmann  (Th.-W.).  253. 

Escher  (B.-J.)-  241. 

Fawcctt  (  Miss).  67. 

Fergola  (E.)-   i32,    i33,   i34,    i35,   i38, 

254,  257,  259,  261,  26^1,  266,  271,  273. 
Forsyth  (A.-Ù.).  65. 
Fouché  (M.),  120. 
I^'oiiret.  142. 
Frolov,  286. 
Fuhrmann  (W.).  1 1. 
Fujisawa  (  R.),  89. 
Gall  (  von).  25. 
Gasparis  (A.  de).  i3o,  i3t,  182,  i33,  i34, 

i35,  i36,  137,  i38,  i39,  254,  255,  256, 

2')7,  258,  259,  260,  261,  26',,  265,  268, 

275,  276. 
Gclin  (  F.).  i3. 
Genty  (E.).  119,  i25,  128. 
Genly  (M.).  282.  286,  287,  288. 
Gérard.  119. 
Gerbaldi  (F.).  i4i,  142. 
Gerhardt  (K.-J.).  195. 
Gilbert  (P.).  6. 
Glaisher  (J.-W.-L.).  62,  G3,  64,  85,  88, 

90»  91- 
Godefroy.  5i,  119,  120,  220,  280. 

Gordan.  171. 

Goursat.  172. 

Govi  (G.).  i58,  267,  269. 

Gravelaar  (N.-L.-W.-A.).  243. 

Grassi  (G.).  267. 

Greenhill  (A. -G.).  82. 

Grinwis  (C.-H.-C).  221,  227. 

Guccia  (G.-B.).  i47>  i^^- 

Guichard.   161,  174. 

Guldberg.  168,  208,  2i5. 

Guyon,  179,  218,  256. 

Gyidén  (H.)-  71»  '^^i,   170. 

Hacks  (J.).  il,  22. 

Iladamard.  181,  219. 

Ilaga  (H.).  2^5,  247-^ 

Hainmond  (J.).  89,  82,  87. 

llarnack  (  A.)-  23. 

Harst  (A.-D.  Van  dcr).  238,  239.        , 

Halon  (le  la  Goupillière.  279. 

lleawood  (P.-J.).  57. 

llehvig  (.1.).  239,  ■2'|3. 

Ilerniile.   171. 


SKCONDK  i\\irnE. 


Henry   (M.).  62. 

Ilensel  (K.).  21. 

Ilerlz  (  H.).  2A. 

Ililbert  (I).).  19,  43. 

Ilomershamcox.  ôg. 

llorn  (  L.).  22. 

Iludson  (  E.-C).  56. 

Ilunibert.  178,  278. 

Hurnbert  (G.).  118,  209,  279,  280. 

Ilurwitz  (A.).  18,  19.  i65. 

Illigens  (E.).  3. 

Intrigila  (C).  263. 

Jablonski.  i23,  i5o. 

Jamet.  i25. 

Janni  (V.).  i4o,  255. 

Jeiïery  (H. -M.),  56,  62. 

Jobnslon  (J.-P.).  85. 

J.-S.  124. 

Juel.  i5,   128. 

Julius.  (V.-A.).  232,  233,  23'|,  24()- 

Kam  (N.-M.).  232. 

Kamerlingh  Onnes  (H.).  23o. 

Kapleyn  (J.-C).  233. 

Kapteyn  (VV.).  233. 

Killing  (VV.).  3o,  37,  89. 

Kirchhoff  (G.).  17. 

Klein  (F.).  84. 

Kluyver  (G.-C).  i5i,  222,  228,  225,  288. 

24I,   252. 

Knoblauch  (  J.).  75. 

Kobb.  284. 

Koch  (H.  von).  70,  i53,  i54,  i55. 

Kœnigs.  i63,  168,  2i5. 

Ivopecki  (A.).  26. 

Korkine  (A.).  84. 

Korteweg  (D.-J.)-   226,   229,    a3o,    244, 

25o,  25 I. 
Kolter  (F.).  187. 
Kowaleski  (S.).  16,  70. 
Krausc  (M.).  83. 
Krediet  (E.).  242. 
Kronecker  (L.).  98,   96,    100,    104,    109. 

110,  112,  116,   181,  i83,  u)\,  196,  199. 
Kucnen  (J.-B.).  253. 
Lachlan  (  H.).  65. 
Laisant  (G.  A.).  i3,  288. 
Laurent.  4^.  ^23,  12'}. 
Léauté.  49- 
Lebon  (E.),  i44. 
Lelieuvre.  212,  2i5. 
Lemaire  (  J.).  i  28,  129. 
Lemoine  (  E.).  118. 
Le  Paigc  (  E.).  10. 
Lcvy  (L.).  121,  210. 
Lez.  127. 
Liouvillc.  54. 
Lloyd-Tanner  (IL-W.).  85,  91. 


TAinj-:  i)i':s  noms  dautiîuus. 


■Mj-i 


Lni;li('ill    (  W  .    Viin  )    ■.>/i<). 

Ldiuloii  (  !•".).   1.!,  ]],  /|.'). 

I.()iii;rli;im[)s  (  (I.  de).   II. 

Loreiil/.  (11. -A),  'ij;'),  .nS,  230,  jfii. 

l-oria  ((i.).  ufiS. 

Lucas  (  lùl.).  9,  11,  i3. 

Lucas  (  K.).  2S3,  285. 

IMac -^Llll()^  (  l».-A.).  5(i,  S.'). 

iMaddissoii  (  Isalx'l  ).  1)7. 

Maillard  (  L.).  12,'). 

Maisaiu)  (G.).  \\2. 

iMallczos.  209. 

Maiidart  (  IL).   10. 

iMaïull  (iM.).  ()i. 

Mangent  (S.).  121   12'),  28'.>,  287. 

Mannheim.  /j7,  82,  83,  T',n. 

Mansion  (P.).  5,  7,  10,  i3. 

Manlcl  (W.)  208,  2^,0. 

Marcolongo  (IL).  274,275,  277,  278. 

Maschke  (IL).  37. 

Masoni   (U.).   2(10,   263,    26],    266,    26-', 

Malliews  (G. -H.).  59,  ùi,  0],  S.\. 

Meeburg  (J.-IL).  229. 

Meliin  (IL).  79. 

Meyer  (F.).  4 2. 

Michel  (  P.).  121,  129. 

Miltag-Leffler  (G.).  68,  206. 

Molenbrock  (P.).  236,  238,  2'Î2. 

Mollume  (V.).  i'|0,  264,  263. 

Montesano  (D.).  270,  27'!. 

Moors  (B.-P.).  2 '(4. 

Monnier  (G.-J.-D.).  242,  2V3. 

Morley  (F.).  58. 

Nannei  (E.).  27  |. 

N.  J.  121. 

Nobile  (A.).  137,  i38,  139,  140. 

Nyland  (A. -A.).  241. 

Ocagne  (M.  d').   5,   12 1,   127,  209,  239, 

2-8,  284. 
Oudemans  (J.-A.-C).  23f. 
Onnen  (  H.)    238. 
Ovidio  (E.  d'  ).   139. 
Padé.  164. 
Padeletti  (P.).  207,  209,   260,   261,  262, 

2G5,  266,  270,  277. 
Painlevé.    i5i,    102,   i53,    157,    162,   208, 

•21],  266, 
Painiieri  (L.).  i36. 
Pannelli  (M.).  272. 

Pascal  (E.).  270,  271,  272,  273,  27^.  275. 
Peano  (  G.).  1 1,  12,  37. 
Pearson  (K.).  55,  83. 
Pellel.  217. 
Periwai  Frost.  67. 
Pctcrsen  (Julius).  27,  73. 
Peroll  (J.).  60,  283. 


Pc/./.o  (P.  d(d).    i48,  263,  265,  2G7,  268, 


26 


:6. 


"9.  '<7"'  '^7 
Phillips.  61. 
Phiagincn   (  K.  ).   19. 
Picard.  '17,  i56,  i58,  160,  169,  -jio,  -jh, 

21 3,  278. 
Pirondirii.  277. 
Pillandli  (G.).  267,  268. 
PlaLls  (C.).  62. 

l*ochliarririicr  (  I-.).  3i,  32,  35. 
Poincaré.  49,  206,  207,  an». 
Poulain  (a!).  i3. 
Prangc  (A.-J.-A.).  238. 
Pringsheim  (A.).  29. 
Pafly  (L.).  283. 
Hahuscn  (A.-E.),  248. 
Hasch  (J.-W.).  239. 
Maschki  (W.).  .5. 

He(A.  del),  i3,  271,  272,  27',,  275,  277. 
Hesal.  209,  211,  21 3. 
Hévcille  (J.).  121,  1 2'». 
Pichniond  (II.-W.).  63,  65,  89,  90. 
Pi(îuier.  159,  166. 
Rogel  (F.).  40. 
Kogers  (L.-.L).  90. 
Hosanes  (J.).  4o. 
Houso  Bail  (W.).  89. 
KouLh  (E.-J.).  56. 
Hubini  (R.).  i35,  257,  259. 
Runge  (C).  74. 

Ryn  van  Alketnade  (J.-C.  van).  234. 
Saint-Germain  (A.  de).    117,  122,   i23. 
Salvator  Dino  (N.).   i38,  139,  255,  258, 

259. 
Salvert  (de).  7,  ]55,  157. 
Sande  Bakhuyzen  (H. -G.  van).  229. 
Scheeiïer  (L.).  33. 
Schefîers  (G.).   17,  174,  175,  178. 
Schlegel.  282. 
Schols  (Ch.-M.).  219,  2',5,  246,  247,  248, 

249- 
Schonflies  (A.).  33. 
Schoute  (P. -H.).  145,  227,  228,  229,  235, 

236,  237,  240,  247,  249. 
Schouten  (G.).  237,  239,  240. 
Schur  (F.).  28. 
Schroder  (E.).  45. 
Schrœder  (  IL).  18. 
Schottky  (  F.).  190. 
Segar  (H.-W.).  83,  86,  92,  93. 
Seiliger.  2i3. 
SelivanolT.  285. 
Serret  (  P.).  210,  211. 
Servais  (CL).  9,  12. 
Sharpe  (fL-J.).  58. 
Simart.  172. 
Sirks  (J.-L.).  227,  237. 


^94 


SKCONDE   PAKTlIi. 


Sissini^h  (1^).  :i33,   i.Vi. 

SondaL  (!'.).   la'i. 

Sondai  (  H.)-   i'-*9' 

Soudée.  128. 

SpaiTC  (de).  8. 

Speckmann  (ll.-A-\V.).  '>.■?.■]. 

Stackcl  (  l\).  ?.G,  lOo,  177. 

Slahl  (W.).  3(). 

Stenbcrg  (  E.-A.).  76. 

Sticltjes  (T.-J.).  58,  Go. 

Stolp  (C).  23(j. 

StoufT.  157. 

Stroli  (  E.).  37,  39. 

Sludy  (E.),  38. 

Sturm  (U.).  43. 

Sylvester  (J.).  17,  88. 

Taylor  (M. -M.).  5.^,  65,  GG. 

Tchebichefl'  (P.).  21. 

Thiel  (J.-M.).  2^2. 

Torelli  (G.)-  2G0,  2G8,  2G9. 

Touche.  280,  283. 

Trudi  (N.).  i3o,  i3i,  i32,  i33,  i3G,  255, 

2G1. 
Va  Hier,  iG^. 
Vaschy.   162,   17G,  179. 


Vessiol.  iSq,  1G7,  173. 

Vigarié  (E.).  i^. 

Visalli  (!».).   1^5. 

Vivanti  (  G.),   l'i  i,   i\-j . 

Vol  terra  (  V  ).  \f\{). 

Vries  (J.  de).  3o,  221,  222,  223,  202. 

Waais  (J.-D.  van  der),  22G,   228,   229, 

23l,    232,    235,    200,    253. 

Waciscli.  180. 

Wallon  (VV.).  Go. 

Weber  (H.).  3i. 

Weill  (M.).  119. 

Weingarlcn.  162. 

Werncr  (II.).  27. 

WelUnn  (Th.-ii.).  23(),  241,  2'|3. 

Willheiss  (Ed.).  3o,  3G. 

With  (II.-S.).  45. 

WolfTing.  35. 

Workmann  (VV.-P.).  59. 

Woronlzoiï.  119. 

Withofî  (M«"«  A. -G.).  24/1. 

X-  •  •.  128,  129. 

Zeeman  (  P.).  254. 

Zeulhen  (H. -G.).  i45. 


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21G61      Paris.  —  Imprimerie  CAUTIIIEU-VILLARS  ET  FILS,  quai  des  Grands-Aut'usiins,  55. 


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